Введение к работе
Актуальность проблемы. Рыночная экономика непременно обостряет конкуренцию в сфере сбыта, поэтому борьба за повышение качества продукции и роста производительности труда яз ляетея основным стратегическим направлением интенсификации современного производства. Предпринимаемые реальные усилия для решения этих проблем охватывают почти все виды человеческой деятельности, з том числе и системы автоматизированного проектирования. Применение средств автоматизации и вычислительной техники позволяет значительно повысить производительность конструкторского труда и привести к сокращению сроков разработок. Эффективность всего этого проявляется в том, что разрабатываемые и применяемые новые математические методы действительно позволяет найти более простые конструктивные резенпя и избежать роста стоимости продукции при использовании более современной технологии производства.
Математическим основам САПР,в том числе геометрическому моделированию, посвящено большое количество работ. Основное внимание при этом уделяется методам представления плоских, пространственных кривых и поверхностей. Следует сказать, что линь недавне появились работы, посвященные решению задачи точного описания геометрической формы объекта с помощью простых методов. Например, методы интерполяции, аппроксимации кривых и поверхностей с помощью различных функции, в тем числе с помощью полиномов и сплайнов, методом конечных элементов п теории полюсов. Практическая реализация этих методов обычно требует большого времени вычислений, большого объема памяти ЭРИ при их вычислительной устойчивости.
пъ анализа существующих методов конструирования геометрических форм вытекэют следующие ВЫЕС'ДЫ:
существующие конструктивные методы геометрическое: моделирования имеют определенную область применения, у некоторых эта область обширна, у других - узка, уровень привлечения современных достижений математических и смежных технических наук для комплексного решения задач проектирования и технологии еще не достиг своего завершающего этапа;
а существующих подсистемах геометрического обеспечения САПР не применимы методы оптимизации, например, в- теории интерполяции поиск экстремальных решений становится рутинным делом и по этой причине до сих пор на практике сохраняется
интуитивный метод определения "правильности" кривой;
- существующие методы интерполяции на основе кусоч
но-полиномиальных или В-сплайнов дают достаточно точные ре
зультаты при проектировании одномерных обводов, но, к сожа
лению, при конструировании двумерных обводов добиться такого
эффекта не просто из-за сегментации задачи, что, в конечном
итоге, приводит к увеличению объема вычислений и памяти ЭВМ.
Совершенно ясно, что основная сложность подгонки и проектирования кривых заключается в том,что пока нет ясного определения "правильности" кривой. Решение этой проблемы представляется возможным только е том случае, если строго конкретизировать смысл слова "правильность" и заменить его на оптимальность или рациональность, при определенных ограничениях, используя методы решения задач условной оптимизации. Следовательно, решение конструктивных задач описания обводов и поверхностей на основе методов оптимизации представляет собой актуальную научную проблему.
В настоящее время, под влиянием идей теории оптимизации подверглись эволюции представления о задачах и методах геометрического моделирования, о возможных сферах его практического приложения.
Основной целью настоящего исследования является:
разработка, на основе единой методологии исследования экстремальных задач, общей конструктивной теории моделирования геометрических форм;
разработка аппарата геометрического конструирования плоских и пространственных сегментов кривых и на его основе предложить практический удобный метод аналитического описания обводов и поверхностей, позволяющий с единой точки зрения оценить оптимальность и полноту дискретной информации, т.е. самым непосредственным образом определить локальные характеристики и параметры кривой, а также вычислить координаты точек без предварительного построения ее проекции.
Для достижения этой цели в работе решаются следующие теоретические и прикладные задачи:
выполнить систематизацию краевых задач сопряжения по параметрам расположения граничных условий б R;
разработать теоретическое обоснование методов конструирования со' многообразия фокальных поверхностей 2-го порядка и некоторых экстремальных поверхностей вращения,
инцидентных в R5 к произвольно заданным точкам касания двух скрещивающихся прямых и несущих на себе множество сегментов регулярных кривых без особых точек, кроме точки перегиба;
разработать конструктивный аппарат моделирования геометрических форм для проектирования по заданным граничным условиям плоские и пространственные сегменты рациональных кривых 3-го и кривых 4-го порядков, позволяющий оценить их оптимальность и полноту дискретной информации;
разработать практически удобный метод математического описания сложных обводов и поверхностей, обеспечивающий гладкость 2-го порядка и позволяющий проектировать как составные поверхности по методу Кунеа и Еезье, так и трубчатые переходные поверхности;
разработать способ графического построения геодезической линии, проходящей через деє заданные точки произвольной поверхности, ка основе принципа условного экстремума, позволяющий получить решение задачи на исходной поверхности без ее аппроксимации п без построения линии е данном направлении;
разработать алгоритм построения минимального связывающего дерева, на основе выбора оптимального поведения, позволяющий на 50% ускорить сходимость функции цели.
Методика исследования. В работе используется в основном синтетические, аналитические методы и единая методология исследования экстремальных задач. При этом применяются аппараты начертательной, проективной, аналитической, дифференциальной и нечислительной геометрии, математического анализа и теории оптимизации.
Теоретической базой настоящего исследования послужили работы:
- по геометрическому моделированию и прикладной геомет
рии поверхностей: И.И. Котова, И. С. Джапаридзе, Г. С. Иванова,
A. М. Тевлина, В. Н. ПервикоЕой, К. И. Валькова, Н. Н. Рыжова,
B. А. Осипана, В. А. Бусыгина, В. Е. Михайленко, А. Л. Подгорного,
Е.С.Обуховой, А. В. Павлова, В. Я. Волкова и других;
- по вычислительной геометрии к кибернетики графики:
Е. И. Якунина, С. А. Фролова, В. С. Полозова, К. М. Наджароза,
А. Д. Тузова, Ю. В. Котова, В,А,Зубкова, В. М. Най дыша, С. Н. Коза-
лева и других;
зарубежных ученых: Ж. Фергюсон, П. Безье, С. Кунса, П. Кастельжо, М. Коснар, П. Шенен, А. Фокса и других;
по теории оптимизации: 3. И. Галеева, В. М. Тихомирова, Ф. П. Васильева, Л. А. Люстерника, И. Е. Моцкуса, Е. К. МудроЕа, А. Г. Сухарева, А. В. Тимохова, В. В. Федорова, Л. Э. Эльсгольца, Г. Буземана, Р.Беллмана и других.
Научная новиана работы заключается в следующем: -систематизация краевых задач сопряжения по параметрам расположения в R является новым подходом к решению конструктивных задач проектирования сегмектов пространственных кривых ;
теоретическое обоснование методов конструирования многообразия фокальных поверхностей S-го порядка и некоторых экстремальных поверхностей вращения, инцидентных в R3k произвольно заданным точкам касания двух скрещивающихся прямых и несущих на себе множество невырожденных сегментов регулярных кривых без особых точек, кроме точки перегиба, является новым подходом в области прикладной геометрии, позволяющим решать, на осноеє выпуклого анализа, конструктивные задачи моделирования геометрических форм, а также представляющим полную свободу их ЕЫбора;
конструктивный аппарат моделирования геометрических форм для проектирования по заданным граничным условиям, плоских и пространственных сегментов кривых 3-го и 4-го порядков является новым методом, позволяющим оценить оптимальность и полноту дискретной информации, т. е. непосредственно определить локальные характеристики и параметры кривых и вычислить координаты точек без предварительного построения их
проекций;
практически удобный способ математического представления сложных обводов и поверхностей является новым методом, обеспечивающим гладкость 2-го порядка (на осноеє экстремального принципа Ферма) и позволяющий проектировать как составные поверхности по методу Кунса и Еезье, так и трубчатые переходные поверхности;
новым е графическом способе построения геодезической линии, проходящей через две заданные точки произвольной поверхности, является то,что, н отличие от существующих способов задача решается на исходной поверхности без аппроксимации и без построения ликин в данном направлении;
- коекм в алгоритме построения минимального связывающе-
го дерева является то, что, в отличие от существующих спосо
бов, процесс разбиения данного счетного множества на подмно
жества и последовательность выполнения этого разбиения стро
го взаимосвязаны.
Практическая ценность диссертации состоит:
- в разработке конструктивного аппарата моделирования
геометрических форм для проектирования, по заданным гранич
ным УСЛОВИЯМ, ПЛОСКИХ И ПрОСТраНСТЕеННЫХ СЄГМЄНТ03 КрИЕЫХ
3-го и 4-го порядков, позволяющего оценить оптимальность и полноту дискретной информации, т.е. непосредственно определить дифференциальные характеристики и параметры кривых и вычислить координаты точек без предварительного построения их проекций:
в разработке практически удобного метода математического описания обЕодов и поверхностей, ускоряющего процесс вычислений, расширяющего возможности конструирования и воспроизведения технических форм, позволяющего найти белее простые решекпл и, тем самым, добиться сокращения сроков разработок к избегать роста стоимости продукции;
в разработке геометрического способа решения экстремальных краевых задач сопряжения, который на основе методов вариационного исчисления позволяет реїлить некоторые прикладные задачи оптимального управления;
в разработке графического способа построения геодезической линии, позволяющего провести предварительную "кратчайшую" трассировку, т.е. реально возможную траекторию между двумя точками на кзззнэкзидпетантной топографической поверхности для выполнения маловысотных полетов;
е разработке алгоритма построения минимального связывающего дерева, ускоряющего сходимость функции цели на 50%.
Реализация результатов работы. Енедренпе результатов исследования в производство осуществлялось совместно с лабораторией "карьерного транспорта" АН Республики, которые были опубликованы в виде информационных листков Джамбулского ЦНТИ, КаэНИИНТИ при Госплане Каз. ССР, в IV кв. 1977 г.
Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы доложены и обсуждены:
- на Всесоюзном семинаре "Автоматизация проектирова
ния", проведенном как совещание работников авиационной про-
мыадекностк в МАИ им. С. Орджоникидзе, М. , XI. 1978 г.; - на Всесоюзном семинаре "Кибернетика графики" в МАИ им. С.Орджоникидзе, М. , XI 1.1983 г.;
на Московском семинаре по начертательной геометрии и черчению в МАДИ, М. , XI 1.1983 г. ;
на областной научно-практической конференции "Развитие научных исследований на переходном si-апе к рыночным отн-шениям", Жаыбкл, Г/. 1991 г.;
на семинара;-: кафедр: "Прикладная геометрия" МАК им. С. Орджоникидзе, М. , XI,1983 г.; "Инженерной графики и черчения" МАИ им. С. Орджоникдзе, М. ,1.1394 г.; "Начертательной геометрии к черчения" МИИСП им. В. П. Горячкина, М., XI. 1983 г.; "Начертательной'геометрии и черчения" КаэПТИ им. Ленина, А-Ата,11. 1991 г.; "Подъемно транспортных машин и гидравлики" КаэНТУ, А-тк,VI. 1994 г.; "Геометрии" КазНУ, А-ты, VI. 1994 г.; "Маркшейдерское дело и геодезия" КазНТУ, A-th,VI.1994 г.; "Начертательной геометрии и черчения" ЖГМСИ, Жамбыл,V. 1993 г.
Публикация. Результаты исследования изложены в статьях научных сборников, технических отчетов, имеющих номер гссре-гистрацип, опубликовано 27 публикаций, из них одна кандидатская диссертация и два технических отчета.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, семи глав, седьмая глава написана в качестве приложения I, приложения II, заключения и списка литературы.