Введение к работе
Актуальность темы исследования,. В последнее время оаметло воорос интерес ученых и инженеров х теории и методам прикладной многомерной геометрпн. Это объясняется тем обстоятельством, что подавляющее большинство процессов в раояичпых областях окапай зависят от многих влияющих на них факторов. Возможность использования вычислительной техники для управления такими процессами определяется наличием их математичесхнх моделей. Геометрическими моделями многопараметрыческях зависимостей в общем случае являются фигуры многомерного пространства. Таким образом зооїшкает проблема аналитического описания и графического представления многообразий, моделирующих исследуемые процессы.
Анализ опубликованных работ покалывает, что для исследования многомерных фигур пак моделей оависпмостеи многих переменных иеппльоуютса всевозможные подходы: комбинаторная геометрия, матричное исчисление, векторная алгебра, дифференциальные и интегральные уравнения, регрессионный анализ, планирование эксперимента, дифференциальная, алгебраическая п интегральная геометрии (включая преобразования) и т. д.
Поскольку ыногообраоид рассматриваются как многомерные обобщения линии и поверхностей трехмерного пространства, то в работе применяются и последние достижения прикладной геометрии пространства трех намерении.
Поучая труды и опыт работы ведущих ученых-геометров, можно (заметить, что несмотря на многоплановость их деятельности и широкий круг решаемых оадач, особый интерес проявляется к конструированию технических п многомерных поверхностей по наперед оаданным услозиям. Это обстоятельство можно объяснить как актуальностью самой задачи, так и возможностями непрерывно-каркасного и параметрического методов отдания и конструирования поверхностей.
Подавляющее большинство работ по моделированию многопара-метряческих процессов или явлений основывается на использовании алгебраических многообразий. Это в полной мере относится и к таким разделам математики.как регрессионный анализ, планирование оксперпмента, восстановление зависимостей по эмпирическим
данным. Однако при таком подходе не всегда имеется вооможность учесть априорную информацию о частных функциональных зависимостях функции отклика от отдельных факторов.
Конструктивно-прикладные вопросы м-делирования многообра-оий требуют дальнейшей раоработки и исследования применительно к решению инженерных задач, поотому цель диссертационной работы заключается в раоработке геометрических подходов к исследованию и решению определенного класса оадач математической фнопки п техники.
Для достижения поставленной цели потребовалось:
-
Исследовать и испольоовать преобразования гомотетии для моделирования гомотетичных относительно поворота кривых и поверхностей, испольоуемых при проектировании антенн.
-
Применить формализованную методику конструирования гиперповерхностей с плоскими обраоующими, сечениями которых являются поверхности, гомотетичные относительно сдвига или поворота.
-
Решить граничные оадачп електростатики для конической поверхности с произвольными линиями проводимости.
-
Решить уравнения в конечных разностях.
-
Разработать графоаналитический способ восстановления эмпирической зависимости, что пооболило уточнить параметры системы обработки информации для получения курсового угла бугли-руемого подводного аппарата.
Методика выполнения работы. Решение оадач, поставленных в диссертационной работе,баоируется на методах аналитической, многомерной евклидовой, исчислительной, дифференциальной, интегральной, алгебраической геометрий, функционального анализа, вычислительной математики.
При решении прикладных оадач выявляется их геометрическая сущность и устанавливается связь с проводимыми теоретическими исследованиями.
Информационной и теоретической базой для выполнения исследовании явились работы ведущих ученых:
по вопросам параметризации и моделирования многомерных объектов: К.И.Валькова, В Л-Волкова, Н.С.Гумена, Б.А.Рооенфельда, Н.Н.Рыжова, П.В.Филшшова, Н.Ф.Четверухина и др.;
в области прикладной геометрии кривых и поверхностей:
А.В.Бубеннпюва, Г.С.Иванова, И.И.Котова, В.Е.Михайленко, А.В.Павлова, А.М.Тевлпна, С.А.Фролова, В.И.Якунина и др.;
в области алгебраической п интегральной геометрии, дифференциальных уравнений и уравнений математической фшзпкп: В.И.Арнольда, Б.А.Дубровпна, И.М.Гельфанда, Ф.Грпффптса, П.К.Рашевского, И.Р.ШафареБпча, Б.Шутца и др.;
по вопросам радиотехники и конструирования антенн: Л.С.Бененсана, А.Б.Горощени, В.Рамося, Д.М.Салонова л др.
Обоснованность и достоверность полученных результатов подтверждается доказательствами и сравнением с известными теоретическими и практическими результатами и натурными испытаниями. Раоработашше алгоритмы использования аналитических и графических Ьюделел реалпоованы программно на персональном компьютере.
Научная новизна проведенных исследований определяется следующими реаультатами:
-
получены поверхности, гомотетичные относительно поворота или относительно сдвига вдоль заданной прямой;
-
решены граничные оадачп электростатики для конических спиральных антенн с любыми линиями проводимости;
-
предложен метод решения уравнений в конечных разностях с использованием дифференциального оператора группы сдвигов на прямой;
-
раоработаи критерий выбора впдаомпирической формулы парной зависимости по определенного набора функций, наиболее употребляемых в цраЕтике обработки результатов наблюдений;
-
разработана методика восстановления (эмпирической зависимости, которую можно представить в виде суперпозиции двух фун-гций, одна ко которых является гармоникой; '
-
сформулирована и доказана теорема о раоыерности образующих к направляющих, необходимых для однозначного задания многомерной цилиндрической гиперповерхности. '
Практическая ценность выполненной работы заключается в разработке методик, математических моделей, алгоритмов и программ моделирования многопараметрических зависимостей, а также способов конструирования гомотетичных относительно сдвига, и поворота кривых и поверхностей, которые могут быть пспольоованы при проектировании антенн. Кроме того.получена математическая
модель, описывающая днкадшьу циалимии оуісщіуеиасо подводного аппарата, которая лшволяет существенно упростить систему управленца движением отого аппарата.
На оащиту выносятся методика моделирования кривых и гиперповерхностей, применяемая при исследовании и решения определен-ного класса оадач математической фшшки и техники, ц раоработан-ные на основе методов интегральной геометрии способы решения оадач электростатики,которые включают в себя:
способы конструирования кривых и поверхностей, гомотетичных относительно сдвига или поворота';
способы решения граничных оадач илектростатики дм конических спиральных антени с любыми линиями проводимости;
методику конструирования гиперповерхностей с плоскими образующими, сечениями которых являются поверхности, гомотетичные относительно сдвига или поворота;
теорему о раок.орности обраиующих и направляющих, необходимых дня однооначпого оадання многомерной цилиндрической гиперповерхности;
критерий выбора вида омпирическай формулы парной оависи-мости ио определенного набора функций, наиболее употребляемых в практике обработки реоультатов наблюдений;
способ восстановления омпиричесхой оависимости, которую можно представить в виде супериоаищш двух функций, одна ио которых является гармоникой.
Реалиоадия реоультатои проведенных исследований. Предложенная методика моделирования многопараметричесхих оависимостей была использована при выполнении научно-исследовательской работы "Исследование и разработка систем курсовой и гориоонталь-ной ориентации буксируемых подводных аппаратов" для восстановления функциональной оависимости, моделирующей частные решения дифференциальных уравнений, описывающих динамику движения буксируемого подводного аппарата. Результаты решения граничных оадач електростатики для конических спиральных антенн с любыми линиями проводимости и способы конструирования кривых е поверхностей, гомотетичных относительно поворота, были использованы при выполнении НИР ОмГТУ.
Апробация работы. Основные результаты исследования были доложены и обсуждены:
на научных конференциях Омского политехнического института, г. Омск, 1985 - 1989 г.;
на Пятой школе молодых математиков Сибири и Дальнего Востока, г. Новосибирск, 1990 г.;
на международной научно-технической конференции "Проблемы графической технологии", г. Севастополь, 1991 г.;
на Всеукрапнсхой научно-методической конференции "Перспективы развития машинной графики в преподавании графических дисциплин", г. Одесса, 1992 г.
Публикации. Помимо отражения материалов исследования в отчетах о НИР Омского государственного технического университета, по теме диссертации опубликовано 8 научных работ, в которых достаточно полно представлены полученные теоретические и прикладные результаты.
Структура и объем работы. Диссертация состоит по введения, трех глав, оаключенпя, библиографии, включающей 103 наименования, п содержит 120 страниц машинописного текста, 28 рисунков и б таблиц.