Основы теории проективных рациональных поверхностей Надолинный, Владимир Александрович

Введение к работе

Актуальность. В настоящее время, как никогда ранее,воэросла роль науки в жизни общества.В Прогрш.ше Коммунистической партии Советского Союза, принятой ХХУІІ съездом, политика партии в области науки направлена на создание благоприятных условий развития наиболее перспективных направлений, призванных ускорить достижение намеченных съездом экономических и социальных задач.$ун~' даментальные научные исследования должны занимать ведущие позиции по основным направлениям научно-технического прогресса, на-' ходить эффективные и современные решения текущих и перспективных производственных и социально-экономических проблем.

Важное место.в ускорении научно-технического прогресса отводится созданию современной передовой техники, широкому ее внедрению,созданию прогрессивных технологических процессов и гибких производств, позволяющих оперативно перестраиваться на выпуск новой продукции с наибольшим экономическим и социальным эффектом.

Решение поставленных ХХУІІ съездом задач предусматривает ши
рокую автоматизацию производства и внедрение ЭВМ во все сферы
человеческой деятельности. .

Создание всех без исключения современных машин тесно связано с теорией поверхностей. Постановка вопроса о полной автоматизации их производства выдвигает проблему создания соответствующей современной геометрической теории сложных поверхностей и на ее основе создания нового геометрического метода исследования и конструирования поверхностей, позволяющих решать поставленные задачи на базе ЭВМ и связанных с ними устройств с наибольшим эффектом. При этом новый метод исследования и конструирования поверхностей должен быть более эффективным по сравнению с существующим методом математического анализа.

Актуальность создания указанного геометрического метода вы-' ходит за предела общей теории поверхностей,т.к. научные результаты теории поверхностей используются другими разделами математики.

Целью работы является создание новой" теории проективных
рациональных поверхностей и на ее основе разработка нового мето
да исследования поверхностей, более универсального по сравнению
с существующими методами, который позволил бы значительно расши
рить круг решаемых геометрических-задач при значительной эконо
мии машинного времени. -f-

В качестве основных приложений метод используется для конструирования простых кусков поверхностей и их стыковки.

Предлагаемый современный геометрический метод разрабатывается на основе теории проективных рациональных поверхностей. В этой теории в качестве основного принято геометрическое понятие поверхности, составленной из простых кусков рациональных поверхностей, стыкующихся по заданному порядку гладкости,

С целью распространения предложенного метода на всю теорию поверхностей, решены две задачи:

1. Конструирование простых кусков рациональных поверхностей.

2. Стыковка простых кусков рациональных поверхностей по заданному порядку гладкости.

Метод исследования. В качестве основного принят разработанный геометрический метод. Как вспомогательные используются методы алгебраические и. математического анализа.

Предложенный метод основывается на методе проективной геометрии, так как проективная рациональная поверхность бирационально изоморфна проективной'плоскости. .

Характерные особенности предложенного метода следующие:

3. Уравнения простых кусков рациональных поверхностей задаются или определяются в векторном рациональном параметрическом виде.

4. Все параметры уравнений имеют простой геометрический смысл, а именно, являются точками, простыми или сложными отношениями точек.

5. Уравнения касательных поверхностей, в частности плоскостей, в произвольной точке проективной рациональной поверхности определяются простым Перераспределением переменных параметров, в уравнении исходной поверхности.

6. Уравнения соприкасающихся поверхностей в произвольной точке проективной рациональной поверхности определяются с помощью эамены переменных параметров в уравнении исходной поверхности.

Научная новизна состоит в создании теории проективных рациональных поверхностей, и на ее основе - метода исследования рациональных поверхностей, главными составляющими которых являются:

7. Вложенное уравнение простого куска (треугольной формы) проективной рациональной поверхности.

8. Уравнение касательных поверхностей к исходной рациональной поверхности.

На защиту выносится: I ,_Теоия проективных Д05ионмьнкх_,пгаерхностей.

1.1. Современный геометрический метод исследования и его
исходные элементы.

1. Форма записи вложенного уравнения проективных рациональных поверхностей.

2. Форма записи и способ получения уравнений касательных поверхностей.

3. Уравнения и способ получения соприкасающихся поверхностей.

4. Проективная рациональная поверхность как множество касательных поверхностей.

1.2. Геометрия простого куска рациональной поверхности и ее
элементов.

1.2.1. Треугольная форма простого куска поверхности и ее
частные виды.

2. Исследование поверхности с использованием координатной сети проективной рациональной поверхности.

3. Геометрическая сущность параметров уравнения простого куска рациональной поверхности. ...-"'

4. Геометрическая сущность коэффициентов второй квадратичной формы.

2._П]эиложение т_еории_пр_оективних^адаональннх

ПОВЄХНОТЄЙ\_

2.1. Задача конструирования простых кусков рационачьных поверхностей.'

1. Способы конструирования простых кусков рациональных поверхностей по координатной сети,

2. Способы записи уравнений кинематических поверхностей.

3. Способы конструирования простых кусков кинематических поверхностей минимального'порядка.

4. Методика определения выпуклости простых кусков кинематических поверхностей минимального порядка.

2.1.5. Способы конструирования и исследования рациональных кривых и, в частности, рациональных нормальних кривых.

2.1.6. Способы конструирования и получения уравнения в векторном параметрическом виде пучка второго порядка.

3. Уравнения соприкасающихся поверхностей от первого до ц-го порядка к исходной рациональной поверхности п-го порядка.

4. Стыковка простых кусков проективных рациональных поверхностей ц-го порядка по /7?-му порядку гладкости (/^/77^/?-/).

5. Уравнения касательных поверхностей вдоль кривой линии проективной рациональной поверхности, .

Практическая ценность теории проективных рациональных поверхностей и разработанного на ее основе геометрического метода исследования и конструирования простых кусков поверхностей . состоит:

І/ в создании более простого и удобного для использования на ЭВМ математического аппарата по сравнению с существующими;

2/ в большой емкости математической информации;

З/ в экономичности (меньшем количестве операций) при решении классических задач дифференциальной геометрии;

4/ в экономичности при решении классических задач конструирования поверхностей по сравнению с алгебраическими методами ;

5/ в большей универсальности метода по сравнению с известными, позволяющей решать важные практические -задачи теории поверхностей, которые не могут быть решены известными методами, как например:

а/ осуществить общий случай стыковки простых кусков рациональных поверхностей п-го порядка по ГП -му порядку гладкости

и*т*п~();

б/ строить касательные плоскости и поверхности к рациональ
ным поверхностям в заданной точке без использования дифференциро
вания; " ' -.

в/ строить поверхности /77-го порядка, соприкасающиеся по
/7? -му порядку гладкости с исходной рациональной поверхностью
п-го порядка (/^/77 й/?-/ ); ,

г/ определить уравнения касательных поверхностей и плоскостей к рациональной поверхности, не имея аффинных координат точки.' касания;

д/ определить касательные поверхности вдоль граничной линии выделяемого простого куска рациональной поверхности,

3:

2.2. Задача стыковки простих кусков рациональных поверхностей.

1. Геометрический способ общего случая гладкой стыковки-простых кусков рациональных поверхностей.

2. Способы гладкой стыковки,по"соприкасакщимся плоскостям" и по второму порядку гладкости простых кусков кинематических поверхностей минимального порядка.

3. Способы общего случая стыковки простых кусков проективных рациональных поверхностей п-го порядка по W -щ порядку гладкости (//7? =/?-/ ).

4. Уравнения поверхностей, касательных вдоль кривой-линии к проективной рациональной поверхности.

Реализация работы. На основе теории проективных рациональных поверхностей на Киевском механическом заводе /КМЗ/ разработан и внедрен в промышленность способ конструирования и расчета поверхностей летательных аппаратов с помощью кривых второго порядка. На КМЗ и другие предприятия отрасли переданы инструкции по теории кривых второго и пространственвых третьего порядков, а также алгоритмы и программы конструирования рациональных кривых п-го порядка.

Апробация работы. Основное содержание работы было долоиено
и обсуждено на научно-технических конференциях профессорско-препо
давательского состава Киевского политехнического института (1975-
1986гг.), на Республиканской конференции по прикладной геометрии
и инженерной графикь в г.Киеве (1976г.), на семинарах "Кибернети- -
ка графіки" в Москве (1967,1983,1985гг.), на Всесоюзном семинаре-
совещании "Новейшие методы организации и ведения расчетно-плазо-
вых работ" в г.Ташкенте (1967г.),на совещании "Автоматизация рас-
четно-плазовых работ с помощью ЭЦВМ и устройств с программным
управлением" в г.Москве (1969г.), на межзональной научно-методичес
кой конференции вузов Сибири, Урала и дальнего Востока по приклад
ной геометрии и инженерной графике в г.Омске (1974г.), на семина
ре "Геометрия САПР" в г.Москве (1983г.), на семинаре "Математичес
кие методы геометрического проектирования" в г.Харькове (1984г.), .
на семинаре "Начертательная геометрия и черчение" в г.Москве
(1984г.), на семинаре "Теория функций" в г.Киеве (1986г.), "на ка
федре начертательной геометрии и черчения КИСИ в г.Киеве (1987г.),
на семинаре по классической дифференциальной геометрии при КГУ в
г.Киеве (1987г.). _с

Публикации. По теме диссертации опубликовано 40 статей. Объем работы. Работа состоит из введения, трех глав, выводов, списка использованной литературы. Работа содеркит 280 страниц . машинописного текста, 39 рисунков, 2 таблицы.