Введение к работе
Актуальность темы исследования. Современная практика решения задач реальной направленности определяется высоким уровнем применения методов математического моделирования на основе системного анализа физических, экономических, технологических, социальных и иных процессов и объектов в сочетании с объемной и качественной информационной поддержкой.
Такой совместный процесс информационно-математического моделирования (ИММ) особенно эффективен при решении задач геометризации, определяет системный подход к анализу и исследованию формы, структуры, взаимосвязей (количественных отношений и функциональных зависимостей) реальных объектов (объектов-оригиналов) в целях создания или проектирования геометрической модели (ее визуализации, включая компьютерную), обеспечивает выявление основных (важных и определяющих с точки зрения поставленной проблемы) характеристик и их базовых свойств, что позволяет (при достаточном уровне компетентности субъекта-исследователя и возможностях имеющихся средств исследования):
-
интерпретировать в геометрическом смысле поставленную проблему через выявленные характеристики;
-
сформулировать в геометрической постановке проблему, при этом, возможно потребуется сформулировать несколько связанных между собой геометрических задач;
-
оценить перспективные пути решения этих задач;
-
определить, какие дополнительные исследования необходимо провести для получения содержательной информации (уточняющего и/или конкретизирующего характера).
Дальнейшее исследование целевой проблемы (в геометрической постановке) выполняется методами геометрического моделирования (ГМ). Для качественного моделирования сложных пространственных форм, без сглаживания поверхностей, с учетом особенностей топологии тонкой структуры реальных объектов требуется разработка новых методов ГМ, направленных на поиск приемлемых (практически реализуемых) решений требуемых геометрических задач, практических способов геометрического представления (отображения) и конструирования объемных тел и форм, поверхностей и кривых, расчета их характеристик. Использование методов геометризации особенно существенно в процессах конструкторско-технологической практики. Требуется не только получение геометро-графического описания (в целях формирования визуально-образного представления модели исследуемого или проектируемого объекта), но и обеспечение корректности такого описания в контексте последующего прототипирования (реального воспроизведения), которое должно допускать однозначное понимание конструирования объекта и обеспечивать его технологическое воплощение. Такое описание включает последовательное детализированное представление объекта: состав и структуру, размерности, способы соединения частей и элементов, сопряжения поверхностей, точную координацию одних элементов и узлов относительно других, пространственные отображения отдельных частей и в целом, все необходимые проекции и сечения. При этом особо следует отметить возможности применения современных информацион-
ных технологий, использование специализированных автоматизированных средств для обработки пространственной информации и построения объемных цифровых моделей.
Выполнение ГМ в рамках общего процесса ИММ реальных объектов определяется взаимосвязанностью основных составляющих этого процесса (аналитической, информационной, геометрической), причем каждая из выделенных составляющих ИММ характеризует определенный подход к описанию и изучению исследуемого объекта (являясь при этом источником геометрических процедур, применяемых к модели в процессе моделирования), отражая, таким образом, возможность получения его представления в определенной форме и определенным способом, что обеспечивает реализацию различных аспектов системного анализа, полноту исследования совместным дополнением разных системных представлений.
Геометризация объектов использует методы ГМ, предметом которой являются как теоретические исследования по вопросам формообразования, топологии и морфологии объектов, так и решения практических задач проектирования и конструирования. Основу ГМ составляют теоретические результаты начертательной и проективной геометрий, алгебраической геометрии, практические методы инженерной графики. В теоретическую область ГМ большой вклад внесли Н. Ф. Четверухин, К. И. Вальков, И. С. Джапаридзе, Г. Б. Гуревич, Г. С. Иванов, В. А. Пеклич, 3. А. Скопец и другие. Значительные результаты в области практических приложений разработанных теоретических методов получили В. А. Калинин, В. Н. Первикова, А. Л. Подгорный, Е. В. Попов, А. Д. Тузов, В. Е. Турлапов, А. Г. Кремлев, В. И. Якунин и др.
Общие вопросы многомерной геометрии рассмотрены как в работах зарубежных ученых - R. Sturm, D. М. Y. Summerville, Н. F. Baker, Th. Reye, W. Bu-rau и др., так и в работах отечественных - Б. А. Розенфельда, П. В. Филиппова, П. С. Александрова, В. П. Радищева, Д. 3. Гордевского, А. С. Лейбина, Н. Ф. Ефимова, Э. В. Розендорна и др. В последнее время заметно укрепились связи ГМ с теорией алгебраических линейчатых многообразий (А. Л. Подгорный), теорией кремоновых преобразований (Г. С. Иванов, В. А. Пеклич), исчисли-тельной геометрией (В. Я. Волков, В. Ю. Юрков). Проникновение в ГМ идей (методов) теории групп, алгебраической геометрии позволяет значительно расширить спектр используемых теоретических средств.
Обратимые отображения, изучаемые в ГМ, устанавливают связи между объектами различной природы и сложности, позволяют сводить исследование сложных объектов к изучению простых. Данные и искомые геометрические образы и состояния между ними трансформируются в другие образы с другими соотношениями, что позволяет упростить исходную задачу. Однако следует заметить, что каждая модель позволяет решать лишь определенный, сравнительно узкий круг задач. Поэтому продолжает оставаться актуальной разработка новых методов ГМ, исследование новых конструктивных линейных и нелинейных моделей многомерных пространств и нелинейных алгебраических многообразий, в частности, поиск перспективных ассоциированных аналогов для многих классических моделей высшей и алгебраической геометрий.
Актуальными в этом направления являются исследования по обобщению классических методов при переходе от объектов в трехмерном пространстве
(носителе) к многообразиям произвольной структуры и размерности (с использованием параметризации, количественных отношений элементов), замены традиционного метода проецирования обобщенными методами отображения, обобщение аппарата косого проецирования для конструирования нелинейных соответствий в пространствах различной размерности, конструирование нелинейных преобразований плоскости с заданными характеристиками. Основным инвариантом таких отображений является размерность. С точки зрения параметризации геометрических объектов требуется разработать методы (практические приемы) подсчета параметров неточечных многообразий в пространствах различной размерности, а также алгоритмы для автоматизации счета характеристик бирациональных соответствий плоскости.
Известны различные модели отображения многомерных пространств, предложенные в работах указанных авторов. В настоящее время все большее внимание привлекают кремоновы преобразования. Это связано как с теоретическими исследованиями ГМ (косые и стереографические проецирования алгебраических многообразий, кремоновы преобразования в пространствах высшей размерности), так и разработкой ее приложений (конструирование поверхностей технических форм). Исследуются возможности использования конструктивных моделей теории ГМ применительно к получению характеристик плоских кривых высших порядков. В данной работе рассматриваются кремоновы (бирациональные) преобразования, которые возникают в трехмерной и многомерной начертательной геометрии в результате композиции косых проецирований плоскости на плоскость.
Весьма перспективным может стать новое направление ГМ на стыке с теорией симметрии и пропорциональности, особенно в развитии практических методов инженерной геометрии, использования компьютерной графики. Различное выделение структурньк подуровней у одного и того же объекта приводит к различному определению его групп симметрии. Перевод алгебраических понятий симметрии на наглядный геометрический язык может оказаться очень полезным.
Исследования, выполненные в данной работе, относятся к обобщениям методов отображения геометрических многообразий произвольной структуры и размерности (обобщение аппарата косого проецирования), разработке конструктивных моделей квадратичных точечных отображений в пространствах различной размерности, а также направлены на основе предложенных обобщений получение различных симметричных конфигураций элементов цветной симметрии на плоскости. Особое внимание обращается на единый подход к процессу геометризации объектов в совокупном исследовании в рамках ИММ.
Научные исследования по представленной тематике проводились в рамках Постановления Правительства РФ «О государственной поддержке развития науки и научно-технических разработок» 1995 г. НИР: строительство и архитектура задание №2014/234 на выполнение государственных работ в сфере научной деятельности; информационно-коммуникационный аспект в практической деятельности архитектора 672013/17 - 12 в рамках базовой части государственного задания Минобрнауки России.
Объектом диссертационного исследования являются теоретические основы ИММ объектов с позиции инвариантов геометрических многообразий.
Предмет исследования - развитие теоретических основ ИММ геометрических форм и многообразий для решения задач инженерной практики.
Цель и задачи исследования:
глобальная цель - развитие теоретических основ ИММ в контексте практического решения задач геометризации объектов инженерной практики;
достижение поставленной цели потребовало решения ряда взаимосвязанных задач, главными из которых являются:
обзор проблематики ИММ, его содержания и структуры с выходом на пакет прототипов;
систематизация теоретических основ геометрического моделирования в соответствии с результатами и методами смежных разделов математики (алгебраическая геометрия, абстрактная алгебра, нелинейный анализ);
формализованное системотехническое описание основных объектов исследования ИММ;
комплексные научные исследования в целях развития подсистем и блоков ИММ и обоснование преимуществ такого подхода при решении задач геометризации объектов инженерной практики;
исследование методологии системного анализа в информационно-математическом моделировании объектов инженерной практики;
параметризация геометрических многообразий в многомерных пространствах, геометризация параметров объемных задач горного производства на основе параметризации конструктивных моделей;
исследование полученных конструктивных моделей линейчатых алгебраических многообразий, выявление их свойств, особенностей и практическое применение в задачах определения характеристик плоских алгебраических кривых высших порядков;
проведение научно-практической реализации предложенных решений.
Методы исследования:
общенаучные (логический, индуктивный, аналогий, системного подхода и системной интеграции);
конкретно-научные методы (сравнительный анализ научных источников информации, математическое моделирование, инженерная геометрия, алгебраическая геометрия, инженерная графика);
эмпирические (компьютерные эксперименты, компьютерная графика).
Научная новизна:
выделена усовершенствованная методика геометризации объемных задач инженерной практики, отличающаяся получением теоретических результатов на основе ГМ;
сформирован базовый пакет прототипов моделирования объектов и процессов, отличающийся четырехранговой структурой;
разработаны (уточнены) и выделены для введения в научный оборот термины «информационно-математическое моделирование», «геометрическая мо-
дель», «геометризация» для отражения системного подхода и интеграционной основы процесса моделирования объекта познания в целях создания и исследования визуально-образного представления модели;
предложены системно-структурные модели подсистем и блоков системы ИММ, отличающиеся модернизацией прототипов;
предложен пакет алгоритмических моделей процессов ИММ, отличающихся структурой и последовательностью;
разработана методика геометризации задач инженерной практики, отличающаяся использованием графоаналитических методов конструирования каркасных поверхностей на основе нелинейного моделирования алгебраических кривых, выявленных их свойств и особенностей;
предложена системно-структурная организация ИММ, отличающаяся усовершенствованием ее подсистем, а также дополнительной системно-интеграционной адаптацией моделей подсистем и блоков системы ИММ к решению поставленных задач;
получены качественные характеристики и их количественная оценка алгебраических кривых высших порядков на основе кремоновых (бирациональ-ных) преобразований;
получена алгоритмическая модель вычисления характеристик бирацио-нальных соответствий плоскости, основанная на разработанном методе композиции квадратичных соответствий;
развит метод нелинейных преобразований плоскости с заданными свойствами;
разработана методика вычисления параметрического числа алгебраических кривых и поверхностей в пространствах различной размерности;
разработана методика геометрического моделирования форм на основе алгоритмического подхода и предложенной матрицы операций симметрии, инвариантов S-чисел Фибоначчи.
Положения, выносимые на защиту:
четырехранговый пакет научных прототипов по теме диссертационного исследования, как база для моделирования предлагаемых решений на основе детальной проработки недостающих элементов организации моделей;
пакет концептуальных, системно-структурных, алгоритмических моделей системы ИММ, ее подсистем и блоков;
систематизация теоретических основ ГМ, исследование взаимосвязей методов геометризации с результатами и методами смежных разделов математики, численными и графо-аналитическими методами, компьютерными методами обработки пространственной информации и построения объемных цифровых моделей;
методика геометризации объектов инженерной практики на основе обобщенных методов ГМ по следующим направлениям обобщений: объект, модель, носитель модели, аппарат отображения;
конструктивное моделирование каркасных поверхностей различных объектов (месторождений);
методика ИММ геомегрических многообразий и форм на основе размерности, матрицы операций симметрии, инвариантов S-чисел Фибоначчи.
Теоретическая и практическая значимость результатов исследования.
Основные теоретические положения и выводы, содержащиеся в диссертации, представляют собой новое направление в развитии теории ГМ и могут быть использованы для совершенствования методологии ИММ.
Предложенные решения прошли практическую апробацию и нашли применение в решении задач инженерной практики и теоретической подготовки специалистов и магистров УралГАХА, УГГУ и УрФУ.
Использование результатов диссертационного исследования подтверждено документами внедрения.
Теоретические и практические положения диссертационного исследования рекомендованы для использования в учебном процессе.
Апробация и публикация работ
Материалы диссертации докладывались на многих (более 20) Всероссийских (Всесоюзных), Международных и региональных конференциях и семинарах (1988 - 2014 гг.).
По теме диссертации опубликовано более 50 печатных работ, среди которых шесть монографий, три учебных пособия с грифом УМО, 18 статей в изданиях, рекомендуемых ВАК.
Структура диссертационного исследования приведена на рис. 1. Подпроекты: 1.1.1 - идентифицирующие признаки ГМ; 1.1.2 - сущность и специфика ГМ, 1.1.3 - методы ГМ; 1.1.4 - проблематика теории ГМ; 1.2.1 - аналоги по направлениям; 1.2.2 -формирование пакета прототипов; 2.1.1 - общая концептуальная модель ИММ; 2.1.2 — баэо-во-уровневая концептуальная модель ИММ; 2.2.1 - тезаурусная (иерархическая) модель к термину «Информационно-математическое моделирование»; 2.2.2 -тезаурусная (иерархическая) модель к термину «Модель»; 2.2.3 - отношения «субъект - объект - модель»; 2.3.1, 2.3.2, 2.3.3 - структурно-функциональные модели прототипов нулевого, первого и второго рангов; 2.4.1, 2.4.2 - алгоритмические модели процессов ИММ; 3.1.1 - методология геометрического моделирования; 3.1.2 - параметрическое число алгебраической кривой и поверхности в пространствах различной размерности; 3.1.3 - ИММ горно-геометрических объектов; 3.2.1 - косое проецирование плоскости на плоскость в пространстве R3; 3.2.2 - композиция косых отображений с произвольно выбранными директрисами конгруэнции; 3.2.3 - композиция косых отображений с заданной директрисой одной из конгруэнции; 3.2.4 - обобщение аппарата косого проецирования плоскости на плоскость; 3.2.5 - алгоритм вычисления характеристик бирациональных соответствий плоскости; 3.3.1 - жоикьеровское преобразование л-го порядка; 3.3.2 - бирациональное преобразование л-го порядка типа /«"„{Г'3, *', у2, z'); 4.1.1 - операции симметрии на плоскости; 4.1.2 - характеристики композиций симметрии; 4.1.3 - ИММ цветной симметрии на плоскости; 4.2.1 - ГМ на основе инвариантов S-чисел Фибоначчи; 4.2.2 - геометризация эволюционной структуры города на основе метода ритмокаскада; 5.2.1 - методология системного анализа в архитектуре; 5.2.2 - методология ИММ в архитектуре; 5.3.1 - внедрение в учебный процесс УралГАХА; 5.3.2 - внедрение в учебный процесс УГГУ.
Социальный заказ
Состояние проблемы
Программа 1. Анализ проблематики информационно-математического моделирования
Проект 1.3.
Гипотезы о предполагаемых решениях
Программа 3. ИММ геометрических многообразий
Проект 3.1. ИММ на
основе размерности
геометрических
многообразий
Проект 3.2. Конструирование бирационалъных соответствий плоскости
Проект 3.3. Бирацио-нальные преобразования с заданными характеристиками
Программа 4. ИММ геометрических форм на основе принципов симметрии и подобия
Проект 4.3. Геометрическое моделирование на основе фрактальной геометрии
Программа 5. Рекомендации по использованию ИММ и их практическому применению
Проект 5.1. ИММ горногеометрических объектов на основе данных спутниковых измерений
Проект 5.2. ИММ в архитектуре и градостроительстве
Проект 5.3. Внедрение в учебный процесс
Выполненный заказ
Новые решения Новые знания
Рис. 1. Структура диссертационного исследования