Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Анализ проблемы и постановка задач геометрического моделирования динамических поверхностей 9
1.1 Обзор и анализ методов формообразования динамических поверхностей 9
1.2 Обоснование геометрического моделирования динамических поверхностей на основе масс-инерционных характеристик образующих линий .29
Выводы по первой главе .33
Глава 2. Масс-инерционное геометрическое моделирование направляющей линии поверхности ...
2.1 Предпосылки разработки модели направляющей линии на основе масс-инерционных характеристик образующих линий поверхности.. 35
2.2 Модель направляющей линии на основе масс-инерционных характеристик образующих линий поверхности 37
2.3 Геометрические и скалярные инварианты пространственной направляющей линии и ее ортогональных проекций 46
2.4 Особенности моделирования пространственной направляющей линии некоторыми интерполяционными сплайн-функциями 58
Выводы по второй главе .65
Глава 3. Масс-инерционное геометрическое моделирование динамических поверхностей
3.1 Образование двумерных линейчатых обводов по масс-инерционным характеристикам отрезков прямых линий каркаса .67
3.2 Образование двумерных криволинейных обводов по масс-инерционным характеристикам дуг незамкнутых линий каркаса 78
3.3 Образование каналовых поверхностей по масс-инерционным характеристикам образующих линий каркаса 86
3.4 Геометрическое моделирование поверхностей проточных частей агрегатов и машин 95
Выводы по третьей главе 103
Заключение 104
Список сокращений .106
Список литературы .
- Обоснование геометрического моделирования динамических поверхностей на основе масс-инерционных характеристик образующих линий
- Модель направляющей линии на основе масс-инерционных характеристик образующих линий поверхности
- Особенности моделирования пространственной направляющей линии некоторыми интерполяционными сплайн-функциями
- Образование двумерных криволинейных обводов по масс-инерционным характеристикам дуг незамкнутых линий каркаса
Введение к работе
Актуальность темы исследования. Среди множества поверхностей технических изделий выделяются своим функциональным назначением динамические поверхности, предназначенные для организованного подвода к агрегатам или отвода от них рабочих веществ: жидкостей, газов и сыпучих материалов. Для формообразования таких поверхностей по каркасам образующих линий в качестве исходных данных принимаются: дискретный набор плоских образующих, направляющая линия, моделирующая ось тока рабочего вещества и закон изменения площадей поперечных сечений.
Каждая образующая заданного дискретного каркаса конструируемой динамической каналовой поверхности характеризуется геометрической формой, площадью, положением плоскости образующей и центром масс. С теоретических позиций динамики твердого тела, к которому с допущениями по однородности и плотности можно отнести геометрическую фигуру, перечисленные элементы образующей могут быть объединены одним математическим объектом – матрицей масс-инерционных характеристик, к которым относятся осевые и центробежные моменты инерции. Матрица моментов инерции, или тензор инерции в терминах динамики, имеет взаимнооднозначный геометрический образ – эллипсоид инерции, поверхность которого моделирует закон изменения моментов инерции относительно его центра, а пара его центральных осей моделирует положение плоскости образующей дискретного каркаса в пространстве. Таким образом, задание дискретного набора образующих конструируемой динамической поверхности эквивалентно заданию дискретного набора тензоров инерции или эллипсоидов инерции.
Все элементы тензора инерции находятся в прямой зависимости от площади сечения, ограниченного образующей. В прямой зависимости от площади находятся и динамические параметры, характеризующие поток рабочего вещества, такие как расход потока, средняя по сечению потока скорость, мощность потока в сечении и др. Следовательно, тензор инерции содержит геометрическую информацию об образующей и может быть применен для формообразования каналовой поверхности в соответствии с динамическими параметрами рабочего вещества.
Разработка геометрической модели и алгоритма непрерывного
заполнения пространства плоскими образующими между заданными образующими дискретного каркаса конструируемой поверхности должна вестись исключительно на основе закона непрерывного изменения тензора инерции. Однако в существующих методах формообразования динамических поверхностей тензор инерции не рассматривается, а вместо этого применяются
4 независимые друг от друга различные алгоритмы непрерывного изменения формы плоских образующих и положений их плоскостей. По этой причине вводятся дополнительно допустимые поправки для выполнения закона изменения площадей, что делает модели формообразования некорректными в отношении сохранения заданных динамических параметров потока рабочего вещества.
Таким образом, возникает необходимость разработки геометрических моделей формообразования динамических поверхностей на основе масс-инерционных характеристик образующих.
Объект исследования. Геометрическое моделирование технических поверхностей.
Предмет исследования. Методы геометрического моделирования динамических поверхностей на основе масс-инерционных характеристик образующих линий.
Цель исследования. Развитие методов геометрического моделирования в формообразовании и конструировании динамических поверхностей на основе использования масс-инерционных характеристик образующих линий в качестве параметроносителей.
Задачи исследования:
– разработать геометрическую модель формообразования и
конструирования направляющей линии на основе масс-инерционных характеристик линий каркаса образуемой поверхности;
– разработать алгоритм определения кручения пространственной направляющей линии по ее модели – паре ортогональных проекций;
–разработать геометрические модели формообразования и
конструирования динамических поверхностей по каркасам образующих линий, в которых в качестве параметроносителей выступают масс-инерционные характеристики линий каркаса;
– выполнить практическую реализацию формообразования поверхностей, используемых в проточных частях агрегатов и машин, ограничивающих объем газового потока, на основе масс-инерционных характеристик образующих линий.
Методы исследования. При выполнении работы использовались конструктивный и аналитический методы геометрического моделирования, методы векторного исчисления, методы дифференциальной геометрии, теоретической механики, компьютерной графики.
Научная новизна работы заключается в следующем:
1. Разработан вычислительный алгоритм, позволяющий определять
5 кручение пространственной кривой линии по ее модели – паре ортогональных проекций, тем самым завершено решение одной из обратных задач инженерной геометрии: восстановление геометрических инвариантов (ортов трехгранника Френе) и скалярных инвариантов (кривизны и кручения) кривой лини по ее ортогональным проекциям. Возможности существующих алгоритмов не позволяют восстанавливать кручение кривой по ее ортогональным проекциям.
-
Разработана геометрическая модель формообразования и конструирования направляющей линии на основе масс-инерционных характеристик линий каркаса образуемой поверхности. В отличие от известных методов, она позволяет конструировать направляющую линию поверхности исходя только из условий задания линий каркаса образуемой поверхности с привязкой к их масс-инерционным характеристикам.
-
Разработаны геометрические модели формообразования и конструирования динамических поверхностей по каркасам образующих линий, в которых в качестве параметроносителей выступают масс-инерционные характеристики линий каркаса. В отличие от известных моделей в них используется математический объект – тензор инерции, содержащий геометрическую информацию об образующей и позволяющий выполнять формообразование поверхности во взаимосвязи с динамическими параметрами рабочего вещества, взаимодействующего с поверхностью.
Теоретическая и практическая значимость работы.
Разработанный вычислительный алгоритм позволяет определять
кручение пространственной кривой линии по ее модели – паре ортогональных
проекций, что дополняет известные в инженерной и компьютерной геометрии
результаты исследований по восстановлению формы, геометрических и
скалярных инвариантов кривой линии по ее проекциям. Предложенные в
работе геометрические модели формообразования поверхностей на основе
масс-инерционных характеристик образующих линий позволяют на этапе
проектирования моделировать поверхность технического изделия во
взаимосвязи с динамическими параметрами рабочего вещества,
взаимодействующего с поверхностью. Результаты теоретических исследований работы реализованы при конструировании проточных частей агрегатов и машин в виде математической модели и вычислительного алгоритма и приняты к внедрению в АО «Омское моторостроительное конструкторское бюро».
Степень достоверности и апробация результатов. Результаты
теоретических исследований работы подтверждены публикациями в
рецензируемых изданиях и обсуждены на научно-технических конференциях различных уровней: Международная конференция «Современное состояние,
6
развитие инженерной геометрии и компьютерной графики в условиях
информационных и компьютерных технологий» (Алматы, 2011), 65-я
Всероссийская конференция «Ориентированные фундаментальные и
прикладные исследования – основа модернизации и инновационного развития
архитектурно-строительного и дорожно-транспортного комплексов России»
(Омск, 2011), 66-я Международная конференция «Ориентированные
фундаментальные и прикладные исследования – основа модернизации и
инновационного развития архитектурно-строительного и дорожно-
транспортного комплексов России» (Омск, 2012), Конференция
«Информационно–телекоммуникационные системы и технологии» (Кемерово,
2012), V Всероссийская конференция с международным участием «Россия
молодая: передовые технологии – в промышленность!» (Омск, 2013), XVIII
Международная конференция «Математическое и компьютерное
моделирование в решении задач строительства, техники, управления и образования» (Пенза, 2013), 16-th International Conference on Geometry and Graphics (Austria, 2014), 26-я Международная конференция GraphiCon2016 (Нижний Новгород, 2016).
Основные положения, выносимые на защиту:
-
Вычислительный алгоритм, позволяющий определять кручение пространственной кривой линии по ее модели – паре ортогональных проекций.
-
Геометрическая модель формообразования и конструирования направляющей линии на основе масс-инерционных характеристик линий каркаса образуемой поверхности.
-
Геометрические модели формообразования и конструирования динамических поверхностей по каркасам образующих линий, в которых в качестве параметроносителей выступают масс-инерционные характеристики линий каркаса.
Публикации по теме диссертации
Основные результаты исследований опубликованы в 17 научных работах, 4 из которых опубликованы в изданиях, рекомендованных ВАК Минобрнауки РФ, получены 2 свидетельства о регистрации электронных ресурсов.
Структура и объем работы
Обоснование геометрического моделирования динамических поверхностей на основе масс-инерционных характеристик образующих линий
В науке известны «родственные» взаимосвязи геометрии и законов раздела механики – кинематики, которые используются для доказательства и интерпретации соответствующих в них теорем. Так, например, в дифференциальной геометрии известны кинематические интерпретации формул Френе [89]. Известны применения и интерпретации кинематики в инженерной геометрии, например, кинематический метод образования поверхностей [28, 31, 74, 79, 101], который подразумевает, что поверхность образуется путем непрерывного перемещения линии в пространстве по определенному закону.
Из пункта 8 раздела 1.1 следует, что при проектировании ДП, каркас которых представляет собой множество плоских линий, симметричных относительно точки, априорно задействуется ЦМ [5, 10, 22, 74], поскольку он совпадает с точкой симметрии, что подтверждается известной в динамике теоремой [26]: «если тело симметрично относительно точки, то ЦМ лежит в центре симметрии». Из этого же пункта также следует, что другие МИХ в задачах геометрического моделирования поверхностей не используются. Вместе с тем существует исследование с применением моментов инерции в решении задачи распознавания образов [58], где моменты инерции выступают в качестве ориентиров для распознавания объектов по их изображениям путем сличения моментов инерции эталонных и распознаваемых изображений.
Из сказанного следует, что частично МИХ используются при образовании поверхностей, но при этом вне поля рассмотрения остаются другие важные МИХ: осевые и центробежные моменты инерции, их геометрические интерпретации и возможности использования в геометрическом моделировании поверхностей. Поэтому, естественным является вопрос о возможности использования в полном объеме МИХ: ЦМ и моментов инерции линий для решения задач геометрического моделирования поверхностей.
Из проведенного в разделе 1.1 анализа известных методов можно сделать вывод о том, что в подавляющем большинстве случаев формообразование поверхностей выполняется по заданному каркасу образующих линий и по заданной НЛ. Назовем такую задачу формообразования поверхности прямой задачей. Формообразование же поверхностей по каркасу образующих без задания НЛ, но с последующим ее определением, в принципе не рассматривалось. Назовем соответствующую этому случаю задачу обратной.
В прямой задаче взаимосвязь (или привязка) НЛ с образующими, как правило, устанавливалась геометрически посредством прохождения ее через ЦМ образующих, при этом положение плоскостей образующих либо определялось геометрией НЛ [74], т.е. зависело от нее, либо не определялось [10]. Отмеченная геометрическая взаимосвязь НЛ с образующими при проектировании каналовой поверхности со сложной пространственной осью (например, в задачах телесной трассировки [67, 69]) недостаточна для обеспечения высокого порядка гладкости поверхности. В задаче формообразования поверхности по каркасу пространственных образующих (возможность задания указана в работах [7, 74]) привязка НЛ к образующим становится еще менее определенной. Логичным является выявление дополнительных зависимостей между НЛ и образующими с целью: обеспечения возможности управления формой НЛ через образующие; установления однозначной привязки НЛ к образующим любой формы. Выявление новых закономерностей и зависимостей позволило бы перейти к решению обратной задачи, т.е. к задаче формообразования поверхности по каркасу образующих линий.
При рассмотрении линий с позиции динамики твердого тела, к которому с допущениями по однородности и плотности можно отнести геометрическую фигуру, обнаруживаются неиспользованные ранее резервы - это МИХ линий: осевые и центробежные моменты инерции линий. Рассматривая понятия ЦМ и моментов инерции применительно к линиям, дадим их определение по отношению к линиям. ЦМ тела называется геометрическая точка С, положение которой задается радиус-вектором по известной формуле [21] \rdm i 33 где М = \rdrn - масса тела. В случае тела в виде тонкой проволоки dm = p\dl, имеем М = /?//, где pi - линейная плотность, dl - длина элемента проволоки, / длина проволоки [21]. Представляя линию по методу аналогии [103] как тонкую проволоку с линейной плотностью равной единице, придем к выражению радиус-вектора ЦМ линии
В этом случае ЦМ линии характеризует распределение точек вдоль линии относительно начала координат, в которых рассматривается радиус-вектор. Очевидно, что ЦМ для любой линии, будь то плоская или пространственная, разомкнутая или замкнутая, определяется однозначно при условии задания уравнения линии. Это обстоятельство обуславливает выбор именно этой точки, связанной с линией, а не какой-либо другой точки, принадлежащей линии. Вместе с этим выбор ЦМ образующей в качестве параметра проектируемой поверхности, в случае, когда поверхность направляет рабочую среду, обуславливается ее связью с физической стороной функционального назначения поверхности [74], при которой средняя линия тока среды или ядро потока [22], проходит через ЦМ.
«Моментом инерции тела относительно оси называется величина, … равная сумме произведений масс всех частиц тела на квадраты их расстояний от той же оси» [107]. Относительно декартовых осей координат моменты инерции тела вычисляются следующим образом: jx = j(y2 +z2)dm, Jу = \(x2 + z2)dm, Jz = \(x2 + y2)dm, m m m где m - масса, x, y, z - координаты элементарной частицы тела с массой dm. «Центробежным моментом инерции тела по отношению к осям прямоугольной системы координат (Ox, Оу, Oz) называются следующие выражения» [107]: Jxy = \yzdm, Jxz = \xzdm, Jyz = \xydm. т т т Как и раньше, представляя тело в виде тонкой проволоки с dm = p\dl и принимая линейную плотность равной единице, придем к выражениям осевых и центробежных моментов инерции для линии: Jx=\(y2 +z2)dl, Jy = \(x2 + z2)dl, Jz=\(x2 +y2)dl, I I I Jxy=\yzdl, Jxz=\xzdl, Jyz=\xydl. I I I Осевые и центробежные моменты инерции задают тензор инерции [21] jA-JyX J у -Jyz. CJzx -Jzy Jz ) Кроме осевых и центробежных моментов инерции необходимо рассматривать их геометрический образ - эллипсоид инерции (ЭИ) [60] Jxx2 + Jyy2 + Jzz2 - 2Jxyxy - 2Jxzxz - 2Jyzyz = 1, являющийся поверхностью второго порядка, коэффициентами уравнения которой являются коэффициенты тензора инерции. Будем рассматривать ЭИ, соответствующий ЦМ линии, в этом случае ЭИ называется центральным.
По аналогии с материальной линией в виде тонкой проволоки примем, что геометрические линии обладают условной плотностью, постоянной по длине. Тогда, используя условную плотность при вычислении моментов инерции и изменяя значения плотности, получим возможность варьирования значениями моментов инерции, что необходимо для получения параметрической модели формообразования.
Модель направляющей линии на основе масс-инерционных характеристик образующих линий поверхности
Далее по выражениям (2.4) и (2.5) вычислим осевые и центробежные моменты инерции для отдельных сегментов каждой образующей, а затем суммируем соответствующие моменты инерции для соответствующих образующих. В результате расчетов получим уравнения ЭИ в общем виде (2.2): 3,47х2 + 2,25у2 +1,93z2 +1,43ху - 2,84yz +1,36zx = 1 - для первой образующей, 2,41х2 +1,49у2 +1,05z2 + 0, OOlxy - 2, Olyz -0,23zx = l - для второй образующей, 3,55х2 + 2,06у2 + 2,24z2 +l,61xy-3,13yz-l,51zx = l - для третьей образующей. Данные ЭИ показаны на рис. 18. Запишем инварианты найденных уравнений ЭИ. Для первого ЭИ имеем: Ij =3,47 + 2,25+1,93 = 7,65, h 3,47 -1,43 -1,43 2,25 + 3,47 -1,36 -1,36 1,93 + 2,25 2,84 2,84 1,93 = 15, h 3J7 -1,43 -1,36 -1,43 2,25 2,84 -1,36 2,84 1, 4,67. Аналогично для второго ЭИ имеем: I1 = 4,95, I2 = 6,66 , I3 = 1,31, I4 = -1,31. Инварианты третьего ЭИ: I1 = 7,85, I2 = 16,21, I3 = 3,15, I4 = -3,15.
Решив для каждого ЭИ характеристические уравнения (2.6), получим канонические уравнения в виде (2.8): 2 2 2 1 + ч !- = 1 - для первого ЭИ, 1,692 0,532 0,5I2 7 + + =7- для второго ЭИ 2 2 2 ч — ч — = 7 - для третьего ЭИ. 2,152 0,522 0,512 Принимаем направления осей ЭИ в качестве осей локальных систем координат Оjxjyjzj, О2x2y2z2, О 3x3y3z3 образующих линий /7, /2, 13 в ЦМ ОJ О2 О3 (см. рис. 18). Через общие и канонические уравнения ЭИ вычислим компоненты векторов касательных для НЛ в ЦМ образующих, и примем длины касательных равными полуосям ЭИ с;, с2, сз: fj = (0,47 0,2 0,02) - касательный вектор в точке О\, т2 = (0,56 0,22 - 0,21) - касательный вектор в точке О 2, т3 = (0,48 0,12 0,1) - касательный вектор в точке О 3. По координатам ЦМ О], О 2, О 3 и касательным векторам fj, f2, f3 с помощью кубической интерполяции [91] получим НЛ т, представленную на рис. 19, в виде двух сегментов кубического сплайна: Pj = (-10,2бт3 +15,87т2 + 5,22т + 3,32 0,14т3 - 0,12т2 + 2,22т - 5,34 2,54т3 + 2,53т2 + 0,21т + 8,93); Р2 = (- 9,35т3 +13,63т2 + 5,59т +14,15 4,43т3 - 7,13т2 + 2,19т - 7,59 - 4,21т3 + 7,87т2 - 2,12т + 9,13); где 0 т 7. Вычисления по описанному алгоритму были выполнены с помощью Maple-программы «Проектирование направляющей линии» [44, 45], листинг которой представлен в приложении А. Программа зарегистрирована в «Объединенном фонде электронных ресурсов «Наука и образование» и имеет свидетельство о регистрации (приложение Б). Вернемся к упомянутой выше условной плотности образующей линии каркаса. Из формул (2.4) и (2.5) видно, что путем изменения в них условной плотности мы можем менять значения осевых и центробежных моментов инерции, что в свою очередь приведет к изменению размеров ЭИ, т.к. расстояние от центра ЭИ до точки на его поверхности определяется зависимостью l/JJ .
Поскольку в рассматриваемой модели модуль касательной в ЦМ образующей берется равным длине полуоси ЭИ, то получаем возможность управлять формой НЛ через модули касательных в узловых точках (они же ЦМ образующих) проектируемой НЛ.
Существуют исследования [18], [22], [24], [74] в которых рассматриваются способы задания и моделирования НЛ в виде проекций обводов на плоскости проекций. В этой связи является актуальным решение обратной задачи инженерной геометрии по восстановлению геометрических инвариантов (ортов ТФ) и скалярных инвариантов (кривизна и кручение) пространственной кривой линии по ее модели - паре ортогональных проекций. Частично эта задача решена в работах [15] и [85], в которых были восстановлены геометрические инварианты и кривизна пространственной кривой линии по ее проекциям, а в работе [85] к тому же была рассмотрена логическая схема пути определения кручения. Поскольку пространственная кривая линия полностью определяется заданием кривизны и кручения с точностью до положения в пространстве [89], предлагаем рассмотреть вычислительный алгоритм, позволяющий определять кручение пространственной кривой линии по ее модели - паре ортогональных проекций. Данный алгоритм описан нами в работах [34] и [47].
В основу алгоритма определения кручения пространственной кривой линии по ее ортогональным проекций положены результаты исследования [85]. Для полноты изложения материала и логики алгоритма приведем получение результатов по определению кривизны кривой линии по ее проекция. Рассмотрим пространственную кривую а, заданную своими ортогональными проекциям ai и а2 на плоскостях проекций 711 и 712 , соответственно (рис. 20). Пусть эти проекции описываются векторными уравнениями: fj=f1(s1), f2 =r2(s2), где SQI SJ snl - длина дуги проекции ai, Рисунок 20 – Проекционная схема для пространственной кривой s02 - s2 - sn2 – длина дуги проекции а2. Тогда на основании проекционной схемы (рис. 20) имеем зависимости для радиус-вектора кривой У :
Особенности моделирования пространственной направляющей линии некоторыми интерполяционными сплайн-функциями
Образование линейчатых поверхностей на основе МИХ образующих линий рассмотрим на примере обводов линейчатых полос. Под обводом линейчатой полосы будем понимать ограниченные отрезками образующих линий отсеки линейчатых поверхностей, образуемые путем непрерывного перемещения образующего отрезка через наперед дискретно заданные образующие отрезки. Перемещение образующего отрезка обвода линейчатой полосы производится вдоль НЛ, которая непрерывно связанна с заданными образующими отрезками и определяется как линия, содержащая ЦМ образующих отрезков проектируемого обвода линейчатой полосы, при этом длина и положение образующей в локальной системе координат НЛ определяется на основе ее моментов инерции.
Рассмотрим алгоритм, лежащий в основе предлагаемой модели образования обводов линейчатых полос. Исходными данными для образования служат дискретно заданные образующие в виде отрезков прямых линий, представленные в расчетной декартовой системе координат Oxyz уравнениями в параметрическом виде п =x„(t), уп =УпО), zn=zn(t), (3.1) где п - порядковый номер образующего отрезка; t - параметр, 0 t l. Для построения обводов будем рассматривать каждый из п исходных образующих отрезков в собственной локальной системе координат Onxnynzn, получаемой как результат переноса начала базовой системы координат Oxyz в ЦМ Оп соответствующего образующего отрезка, при этом оси Опхп, Опуп, Onzn локальных систем координат Onxnynzn остаются параллельными осям Ox, Оу, Oz базовой системы координат Оxyz. Введем в рассмотрение пространственную кривую, являющуюся геометрическим местом вершин локальных систем координат, именуемую НЛ [74]. Эта линия будет обеспечивать направление формообразования обвода линейчатой полосы. Локальные системы координат для построения текущих образующих отрезков будут совершать пространственно-параллельные перемещения вдоль НЛ, при этом текущая точка НЛ будет являться началом координат локальной системы координат. Очевидно, что от точки к точке будет изменяться лишь положение начала координат, в то время как одноименные оси остаются параллельными базовым осям координат.
С целью получения исходной информации, необходимой для проектирования НЛ, будем использовать геометрические образы, связанные с каждым из n образующих отрезков и являющиеся одновременно параметрами линии с позиции механики твердого тела. Такими параметрами являются ЦМ Оn образующих отрезков. Таким образом, определив ЦМ образующих отрезков, получим в виде координат дискретную информацию для проектируемой НЛ. Эту дискретную информацию преобразуем в непрерывную с помощью нормализованных кубических сплайнов [91]. В результате НЛ будет являться кусочной кривой, описываемой полиномами третьей степени, обеспечивающим в точках соединения непрерывность второго порядка, т.е. в каждой узловой и промежуточной точке все производные до второго порядка не будут иметь разрыва. Применение данного типа сплайна позволяет получить цельный обвод, состоящий из отрезков кривых линий, описываемых уравнениями одного класса функций, удовлетворяющими граничным условиям, а именно прохождение через ЦМ образующих отрезков. Как показал анализ [41] данный тип интерполяции является универсальным как для работы на плоскостях ортогональных проекций, так и в пространстве, поскольку существует взаимно однозначное соответствие между пространственной интерполяцией и интерполяцией на паре плоскостей проекций.
Кроме информации о НЛ необходима информация, позволяющая в каждой точке этой направляющей восстанавливать образующий отрезок моделируемого обвода линейчатой полосы. С этой целью произведем преобразование уравнений образующих отрезков (3.1) в базовой системе координат Oxyz к уравнениям в полученных локальных системах Onxnynzn, соответствующих каждому образующему отрезку п. В результате получим новые уравнения образующих отрезков х п = х п (О ,Уп=Уп (О , z n=z n (О . (3.2) Используя преобразованные уравнения образующих отрезков, вычислим их осевые JXn , Jyn , JZn и центробежные Jxyn , JXZn , JyZn моменты инерции [21] относительно связанных с ними локальных систем координат Onxnynzn. На основании рассчитанных осевых и центробежных моментов инерции получим тензоры инерции (2.3) образующих отрезков [21], позволяющие составить уравнения центральных ЭИ образующих отрезков в общем виде (2.2). Поскольку используемые образующие являются отрезками прямых линий, то для них ЭИ вырождаются в цилиндрические поверхности вращения [21].
Таким образом, каждому образующему отрезку будет соответственно определена цилиндрическая поверхность вращения, являющаяся его МИХ (рис. 26).
Направляющий отрезок с цилиндрической поверхностью вращения Выполнив сечение каждой из цилиндрических поверхностей вращения (2.2) плоскостью параллельной плоскости Оxy базовой системы координат, получим уравнения сечений, являющиеся в общем случае уравнениями эллипсов JXn -х2 +Jyn-y2 -2- JXnyn -х-у = 1. (3.3) Выполнив соответствующие преобразования [20] уравнения (3.3), получим каноническое уравнение эллипса 7, (3.4) х2 v2 + 2 h2 ап ип найдем значения больших an и малых bn осей эллипсов (рис. 27). Рисунок 27 – Проекция направляющего отрезка с сечением цилиндрической поверхности вращения Отметим следующее: – в пересечении цилиндрической поверхности вращения с плоскостью у получаемого в сечении эллипса малая полуось bn является равной радиусу rn направляющей окружности цилиндрической поверхности вращения; – из известной теоремы механики [26]: «если через какую-нибудь точку будем проводить прямые L и, определив относительно каждой из них момент инерции К данного тела, будем откладывать на этих прямых L от взятой точки векторы, выражаемые числом то концы этих векторов будут лежать на поверхности л/К эллипсоида, имеющего центром упомянутую точку» следует, что момент инерции отрезка относительно оси перпендикулярной отрезку равен величине 1/ гп ; - момент инерции стержня [21] относительно оси проходящей через ЦМ перпендикулярно стержню определяется по формуле ,2 J = M —, 12 где М = pi- масса стержня; / - длина стержня. р - плотность стержня, и если принять отрезок прямой линии за стрежень с плотностью р =1, то момент инерции отрезка относительно оси, проходящей через его центр равен I3 J = —, (3.5) где / - длина отрезка.
Образование двумерных криволинейных обводов по масс-инерционным характеристикам дуг незамкнутых линий каркаса
В практике конструирования проточных частей агрегатов и машин при модернизации существующих образцов техники и в новых разработках возникает задача профилирования ДП, отвечающих определенным требованиям, накладываемым на них в результате газодинамических расчетов потоков газов, которые они ограничивают или направляют. В частности, требуется проектировать внешнюю поверхность соосного канала, у которого площадь проходного сечения между внешней и внутренней поверхностью в направлении перпендикулярном срединной поверхности канала должна быть постоянной. Такие поверхности встречаются, например, в двухконтурном турбореактивном двигателе (рис. 38).
В результате анализа специализированной литературы по теории и конструированию авиационных газотурбинных двигателей [3], [11], [23], [32], [65], [96] не удалось выявить математические модели и расчетные алгоритмы для профилирования внешней поверхности соосного канала. В области решения задач профилирования соосных каналов известны исследования, в которых расчет поверхностей ведется исходя из условия задания линии тока среды [98] или исходя из того, что есть возможность задать форму канала через уравнение его средней поверхности [33]. Также известна работа [110] в которой кривые на плоскости получаются как огибающие однопараметрического семейства окружностей перемещающейся вдоль срединной оси. Однако по условию постановки задачи эти методы являются не применимыми, т.к. отсутствует информация о лини тока и срединной поверхности.
Исходными данными для конструирования поверхности в рассматриваемой задаче является: - геометрия внутренней поверхности соосного канала в виде дискретного набора точек, принадлежащих образующей, вращением которой вокруг прямолинейной оси образуется внутренняя поверхность; - площади на входе и выходе канала равные между собой. По исходным данным требуется получить дискретный ряд координат точек, принадлежащих образующей линии внешней поверхности, исходя из условия обеспечения постоянства площади сечений, образующие которых перпендикулярны касательным к образующей срединной поверхности соосного канала.
Рассмотрим модель для профилирования поверхности соосного канала, приведенную на рис. 39. Согласно принятой модели площадь сечения канала по нормали к срединной поверхности с канала представляет собой площадь боковой поверхности усеченного конуса S = 7i(R + r)L, (3.48) где R - ордината точки на профиле Ъ (см. рис. 39); г - ордината точки на профиле а; L - длина образующей усеченного конуса. На основе исходных данных в формуле (3.48) нам известны площадь S = const и ордината г точки на профиле а в дискретном виды. Для получения непрерывного ряда точек профиля поверхности а воспользуемся сплайн интерполяцией, например кубическими сплайнами, тогда линия а будет представлять собой обвод из дуг, описываемых полиномами третьей степени.
Неизвестными остаются два параметра, для нахождения которых введем в расчет осевой момент инерции боковой поверхности усеченного конуса относительно оси канала Оx, вычисляемый по формуле [104]
В формулах (3.50), (3.51) в качестве r будем рассматривать ординату текущей точки на профиле a как функцию от параметра t, т.е. r=r(t).
Таким образом, неизвестные параметры L и R будут определяться параметрами t и JOx. Для нахождения параметра JOx обратимся к схеме на рис. 39, из которой выразим координаты точки на профиле с, соответствующей
Исходя из условия, что у сечения канала образующая сечения L перпендикулярна к касательной г образующей линии с срединной поверхности канала, запишем через скалярное произведение векторов условие перпендикулярности [17] Lxx+Lyy=0. (3.54) Решая уравнение (3.54) определим параметр J0x, через который с помощью выражений (3.50) и (3.51) вычислим координаты точки принадлежащей искомому профилю b. Полученные координаты точек поверхности служат основой создания программ, по которым на станках с ЧПУ изготавливают соответствующие детали.
Предложенная математическая модель и вычислительный алгоритм профилирования поверхности проточных частей агрегатов и машин на основе определения осевых моментов инерции сечений канала внедрены в АО «Омское моторостроительное конструкторское бюро», что подтверждается актом о внедрении (приложение Д). Внедрение в производство позволяет сократить временные затраты на проектирование, дает возможность оперативно вносить изменения в конструкцию изделия, а также позволяет получать изделия, наиболее точно отвечающие заданным требованиям на проектирование.
Листинг варианта программы на языке Maple «Профилирование образующей линии внешней поверхности соосного канала с постоянной площадью его проходных сечений на основе инерционных характеристик сечений канала», позволяющей по координатам точек на профиле поверхности а и площади сечения S вычислять координаты точек искомого профиля b, выглядит следующим образом: