Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Основные факторы, влияющие на распределение скоростей при турбулентном течении в гладких границах 9
1.1 Перемешивание водных масс – важнейшая физическая особенность турбулентного течения 9
1.2 Уравнение движения водных потоков и трудности их практического использования 12
1.3 Касательные напряжения как главный фактор формирования градиента скорости в сдвиговом течении 18
1.4 Гипотеза Ж. Буссинеска о вязкой и турбулентной составляющих трения 21
1.5 Полуэмпирическая теория турбулентности Л.Прандтля. Критика априорных гипотез 24
1.6 Современные экспериментальные данные о распределении скоростей в турбулентных потоках 28
1.7 Нестационарность вязкого подслоя и перемежаемость течения в буферной зоне потока 31
1.8 Задачи диссертационных исследований 40
ГЛАВА 2. Расчетно-аналитическое обоснование уточненного распределения скоростей течения в гладких границах 41
2.1 Распределение скоростей в периоды вязкого течения с учетом вязкой и турбулентной составляющих трения в пристенной зоне потока 41
2.2 Определение зоны влияния вязких напряжений 46
2.3 Перемежаемость течения и профиль скорости в буферной зоне потока 50
2.4 Распределение скоростей над буферной зоной потока. Слой Прандтля
2.4.1 Толщина слоя Прандтля при течении в гладких и шероховатых трубах 55
2.4.2 Анализ экспериментальных данных Никурадзе для определения параметров логарифмического профиля скорости для потоков в трубах 58
2.5 Распределение скоростей в ядре потока над слоем Прандтля. Уточнение гипотезы
Ж. Буссинеска о напряжении турбулентного трения в ядре потока
2.6 Задачи экспериментальных исследований и анализа опытных данных 65
ГЛАВА 3. Методика и техника экспериментальных исследований 66
3.1 Конструкция, параметры, измерительная техника и гидравлические режимы работы экспериментального канала 66
3.2 Лазерный доплеровский измеритель скорости (ЛДИС). Принцип работы и устройство. Точность позиционирования элементов комплекса и активного пятна 76
3.3 Программный комплекс ЛДИС 85
3.4 Методика точного определения нулевой плоскости отсчета при измерениях распределения скоростей по глубине потока 91
3.5 Определение граничной динамической скорости трения 93
3.6 Определение коэффициента гидравлического сопротивления по опытным данным с использованием «расходной» и «профильной» средней скорости течения 94
3.7 Интегральные гидравлические характеристики исследованных течений в гладких открытых каналах. Оценка точности измерений 98
ГЛАВА 4. Анализ и обобщение экспериментальных данных. проверки уточненных аналитических зависимостей для расределения скоростей в трубах и открытых турбулентных потках
4.1 Сопоставление констант турбулентности по данным измерений в гладких трубах, каналах и пограничных слоях 100
4.2 Экспериментальная проверка расчетного распределения скоростей в буферной зоне потока данными измерений в гладких каналах и трубах 105
4.3 Определение безразмерного параметра для предлагаемого распределения скоростей в ядре потока и сопоставление его с турбулентной вязкостью Ж. Буссинеска 108
4.4 Сопоставление расчетных профилей скорости с данными измерений в ядре потока в трубах, каналах и пограничных слоях 115
4.5 Примеры инженерных гидравлических расчетов с использованием полученных зависимостей 117
4.5.1 Сопоставление объемов кавитационной эрозии гладких и шероховатых поверхностей при определении характерной скорости натекающего потока по традиционным и предлагаемым зависимостям 117
4.5.2 Сопоставление значений скоростей для прогнозирования переноса и рассеивания примесей в поверхностных слоях потока 122
4.5.3 Силовое воздействие потока на высотное здание 124
Заключение 129
Список условных обозначений 130
Список литературы 133
- Касательные напряжения как главный фактор формирования градиента скорости в сдвиговом течении
- Перемежаемость течения и профиль скорости в буферной зоне потока
- Методика точного определения нулевой плоскости отсчета при измерениях распределения скоростей по глубине потока
- Экспериментальная проверка расчетного распределения скоростей в буферной зоне потока данными измерений в гладких каналах и трубах
Введение к работе
Актуальность работы. В настоящее время существует большое количество подходов к решению задачи поиска пути (ПП) в известной среде со статическими препятствиями. Большинство из них сводиться к задачам интеллектуального управления движением подвижного объекта. Выделяется целый ряд требований к характеристикам получаемого маршрута или группы маршрутов в зависимости от особенностей его практического применения. Обеспечение этих требований для получаемых траекторий осуществляется различными методами, как правило, с использованием дополнительных численных алгоритмов. Так устранение угловатости траекторий, например, для летательных аппаратов, осуществляется с помощью алгоритмов сглаживания уже полученной трассы. Предел безопасного сближения с объектом требует ввода дополнительных весовых коэффициентов. А системы управления мобильных роботов используют вспомогательные планировщики для выхода из локальных минимумов. Также существуют подходы к перестроению маршрута в случае динамически возникающих статических объектов по ходу движения подвижного объекта. Все вышеперечисленные алгоритмы основываются на различных геометрических моделях описания среды с препятствиями. На фоне многообразия методов отсутствует единая модельная организация для решения задач ПП, которая позволила бы в зависимости от особенностей постановки задачи адаптировать аналитическое описание среды построения маршрутов.
Возможным подходом к комплексному решению подобных задач является
использование метода функционально-воксельного моделирования (ФВМ), где с
помощью функциональных описаний строится поверхность, исследуемая
локальными геометрическими характеристиками. При этом присущее ФВМ
увеличение размерности пространства для рассматриваемой задачи добавляет
параметры к расчётной модели, снимая ряд неопределённостей, возникших в
традиционной постановке. Основой метода является принцип получения
графического образа для пространства функции увеличенной размерности,
позволяющего отобразить ее локальную геометрическую характеристику
(компоненту нормали в точке). Такой подход позволяет получать
дифференциальные и интегральные характеристики в точках функциональной
области, что обеспечивает его применимость в задачах аналитического
моделирования, включая задачи поиска пути. Аналогичные задачи, решаемые
другими методами, предполагают применение алгоритмов поиска
дифференциальных характеристик посредством численных методов, которые имеют ряд ограничений, легко преодолеваемых средствами ФВМ.
Поэтому адаптация аналитических подходов к решению задач ПП функционально-воксельным методом является актуальной задачей, поскольку позволяет не только привести к единому функционально-воксельному моделированию различные аналитические решения задач ПП, но и значительно расширить класс задач для функционально-воксельного метода.
Объектом исследования являются аналитические модели и методы построения траекторий маршрута с обходом препятствий.
Предметом исследования является метод функционально-воксельного моделирования применительно к задачам поиска пути.
Цель работы – исследование эффективности применения принципов функционально-воксельного моделирования к существующим аналитическим подходам к решению задачи поиска пути за счёт получения дополнительных расчётных параметров от увеличения размерности пространства и разработки единого метода построения расчётной модели для таких подходов.
Для достижения поставленной цели требуется решение следующих задач:
1. Комплексный анализ подхода к существующим алгоритмам поиска
пути использующих аналитическое представление модели.
-
Решение задачи поиска пути методом потенциалов на основе функционально-воксельного моделирования.
-
Подбор средств порождения М-образов для выявления геометрической конструкции скелета плоской фигуры.
-
Разработка принципов рельефной трассировки на основе функционально-воксельного моделирования.
Методы исследования.
Диссертационная работа базируется на методах: функционально-воксельного моделирования (ФВМ), R-функционального моделирования (RFM), а также применяются теоретические основы аналитической и дифференциальной геометрии. При этом рассматриваются методы аналитического подхода к задачам ПП, такие как метод потенциалов и метод скелетной сегментации.
Научная новизна результатов исследования состоит в том, что 1. Согласно с основными принципами решения задачи поиска пути методом потенциалов разработана R-функциональная градиентная модель поверхности (RfG-модель), применимая к функционально-воксельному методу построения градиентного спуска. В отличие от алгоритмов на основе метода потенциалов предложенная модель позволяет отказаться от компьютерных дифференциальных вычислений, заменяя их простыми алгебраическими
конструкциями, а также позволяет находить решение для задач в многомерном пространстве.
-
Разработана функционально-воксельная модель для R-функционально описанного скелета (RfS-модель), применимая в алгоритме графического выделения точек прямолинейного скелета с помощью получения дополнительных образов, содержащих графическое представление значения компоненты нормали пониженной размерности. Преимуществом разработанного алгоритма является возможность графического выделения равноудалённых точек диаграммы Вороного на множестве заданных точек для любой размерности пространства.
-
Разработан подход к организации движения между опорными точками, как фокусами эллипса, с последовательным добавлением статических препятствий. В отличие от существующих моделей такой подход позволяет отказаться от построения ограничивающего контура сцены, что упрощает геометрическую постановку задачи, сводя её лишь к описанию формы препятствий и указанию опорных точек для прокладки пути.
-
Разработана геометрическая модель рельефной организации решения на основе R-функционального описания (RfR-модель) для выделения особых точек маршрута, посредством применения графически представленных локальных характеристик её функционально-воксельной модели. Подход к построению поверхности самой RfR-модели имеет преимущество перед другими алгоритмами поиска пути на основе прямолинейного скелета, поскольку не требует применения дополнительных алгоритмов сглаживания трассы и позволяет организовать вариативную модель движения.
Достоверность и обоснованность полученных в работе результатов и выводов обеспечиваются корректным применением аппарата компьютерной геометрии и графики, математического и R-функционального моделирования. Подтверждается положительным результатом тестирования алгоритмов с опытной эксплуатацией программного обеспечения.
Практическая значимость работы.
Результаты диссертационной работы использованы лабораторией
промышленной робототехники, мобильной и специальной робототехники, мехатронных модулей и цифровых приводов «Технологического полигона» ГИЦ МГТУ «СТАНКИН» в системе навигации мобильных роботов для обхода стационарных препятствий, АО «НИИ ТП» в системе анализа картографических изображений земной поверхности для распознавания объектов на основе вычисления прямолинейного скелета.
Разработано и зарегистрировано в официальном реестре программ для ЭВМ (РФ) программное обеспечение «Система воксельного моделирования объектов прототипирования» (№2013613586 от 10.04.2013), приводящее контурное представление модели к функционально-воксельному представлению.
Основные положения, выносимые на защиту:
-
Единый модельный подход к разработке алгоритмов на основе метода функционально-воксельного моделирования для решения задач поиска пути, включающий ряд моделей (RfG, RfS и RfR-модели), которые используются в зависимости от особенностей практического применения алгоритма ПП.
-
Алгоритм поиска пути на основе градиентного спуска, реализованный средствами ФВМ и позволяющий в зависимости от значений локальных геометрических характеристик в каждой точке функционального пространства выбирать направления движения к цели.
-
Алгоритм выделения прямолинейного скелета для замкнутого контура и диаграммы Вороного для массива точек с применением функционально-воксельной RfS-модели, позволяющий организовать траекторию движения по скелету или дорожной карте.
-
Алгоритм нахождения характерных точек рельефа поверхности функции на основе геометрической RfR-модели, формирующих многовариантную модель маршрутов плавного обхода препятствий.
Публикации. Основные результаты исследований изложены в 9 научных трудах, 5 из которых опубликованы в изданиях, рекомендованных ВАК. Получено свидетельство о регистрации программы для ЭВМ.
Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на IV Международной научно-практической конференции «Современная наука: тенденции развития» (Краснодар, 2013 г.), на XII Международной научно-технической конференциях «Материалы и технологии XXI века» (Пенза, 2013 г.), на XV научной конференции «Математическое моделирование и информатика» (ФГБОУ ВО МГТУ «СТАНКИН», Москва, 2013 г.), на 15-ой международной конференции «Система проектирования, технологической подготовки производства и управления этапами жизненного цикла промышленного продукта (CAD/CAM/PDM-2015) (Москва, 2015 г.).
Структура и объем работы: диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Общий объем диссертационной работы составляет 117 страниц, включая 71 рисунок и 1 таблицу. Список литературы включает 107 наименований, в том числе 47 на иностранных языках.
Касательные напряжения как главный фактор формирования градиента скорости в сдвиговом течении
Характерной особенностью течения в трубах, каналах и пограничных слоях является наличие градиента скорости по нормали к твердой границе потока [22, 24, 25]. При этом с удалением от твердой границы потока скорость течения возрастает, и слои жидкости более удаленные от жесткой границы движутся с более высокими скоростями и как-бы сдвигаются по отношению к нижележащим слоям, движущимся более медленно. По этой причине рассматриваемый класс течений часто называется – сдвиговыми течениями [22]. Многочисленные измерения [22, 24, 26] показали, что градиент скорости максимален вблизи твердой границы. Согласно закону внутреннего трения И. Ньютона [27], с увеличением градиента возрастают внутренние напряжения трения в потоке, максимальные значения которых регистрируются вблизи твердой границы [28-31].
При первоначальных попытках описания турбулентных течений и отсутствии экспериментальных данных о структуре турбулентности предполагалось, что турбулентность есть некоторые хаотические возмущения, наложенные на осредненное течение. Впервые разделение турбулентного движения на осредненное (по времени) и пульсационное было введено О. Рейнольдсом, при этом пульсационное движение считались неупорядоченным хаотическим, аналогичным броуноскому движению частиц. Вследствие неупорядоченности пульсационного движения не удается описать его во всех деталях, как функцию времени и пространственных координат. Вместе с тем, неупорядоченность турбулентного движения позволяет определение точных значений характеристик течения осреднением по времени и пространственным координатам, т.е. определить статистически точные их осредненные значения. Такие представления о турбулентных течениях определили необходимость использования в гидромеханике статистических методов исследования [32], которые позволили получить ряд полезных количественных соотношений, однако статистические методы не позволяют определить причинно-следственные связи между гидродинамическими характеристиками турбулентных потоков.
Исследования турбулентности сдвиговых течений [33], выполненных в последнее десятилетие, показали, что прежние представления о турбулентности, как о движениях хаотичных и неупорядоченных, не отвечают данным измерений. Эти измерения выявившие признаки когерентности открывают новые возможности для разработки методов расчета турбулентных течений. Принимая во внимание локальное число Рейнольдса [34], включающего местную скорость, расстояние от стенки и физическую вязкость, легко представить, что в непосредственной близости от стенки там, где толщина рассматриваемого слоя невелика и скорости течения малы. Локальное число Рейнольдса оказывается меньше критического, что соответствует ламинарному режиму течения. С удалением от стенки толщина рассматриваемого слоя и скорость течения в нем увеличиваются, при этом локальное число Рейнольдса превышает критическое значение, и течение на некотором расстоянии от стенки приобретает турбулентный характер [35]. Наблюдения показывают [36], что этот процесс имеет нестационарный характер, и течение при этом в некоторой пристенной области является перемежающимся (то вязким, то турбулентным). Вследствие этого, передача импульса силы трения от стенки в толщу потока изменяет свою физическую природу и определяется турбулентным перемешиванием масс жидкости между слоями потока. В результате такого перемешивания медленные массы жидкости из пристенных слоев переносятся в толщу потока и передают таким образом тормозящий импульс силы трения слоям удаленным от стенки, что создает пульсации скорости отрицательного знака в этих слоях. Пульсации скорости положительного знака возникают в результате восстановления течения в точке измерений после смещения по течению медленных масс жидкости [37]. В действительности, схема турбулентного перемешивания имеет более сложный пространственный характер, при котором поступление медленных масс из пристенных слоев в толщу потока сопровождается (по условиям неразрывности) компенсационным поступлением быстрых масс жидкости в пристенную область потока, что рождает пульсации скорости положительного знака. Эти процессы имеют крупномасштабный характер и обладают признаками когерентности [17, 38]. Мелко масштабная турбулентность по всей видимости образуется в виде вторичных процессов взаимодействия между собой крупномасштабных турбулентных образований, а также в результате образования мелкомасштабных структур при обтеканий медленных масс жидкости окружающей жидкостью слоев удаленных от стенки и имеющих более высокие скорости.
Установленные последними исследованиями [24, 39] особенности турбулентных течений сдвиговых потоков позволяют представить пристеночное сдвиговое течение и рассчитывать его в виде комбинации периодов вязкого и периодов турбулентного течения, которое связано с нестационарностью вязкого подслоя, являющейся физическим фактором, определяющим перемежаемость течения в пристеночной зоне. При этом вероятностные характеристики турбулентности будут, существенным образом, связаны с расстоянием от жесткой границы потока. С увеличением расстояния от стенки мелкомасштабные турбулентные образования будут вырождаться, и в потоке в большей мере будут сохраняться крупномасштабные структуры, хотя вероятность их появления с увеличением расстояния от стенки будет снижаться при общем незначительном росте интегральной вероятности пульсаций. Это обстоятельство позволяет при оценке вероятностных характеристик пульсаций скорости использовать в качестве аргумента изменяющееся расстояние от твердой границы, которое функционально связано с интенсивностью турбулентности [10, 22, 29]. Учет перемежаемости течения и изменения вероятностных характеристик турбулентности с расстоянием от стенки позволяют разработать более точный метод расчета распределения скоростей в буферной зоне потока. Кроме того, для уточнения распределения скоростей в буферной зоне необходим более точный расчет распределения скоростей в слое чисто вязкого течения и уточнение параметров логарифмического профиля скорости для слоя потока, расположенного над буферной зоной.
Рассматриваемая пристенная область течения является зоной интенсивной генерации турбулентности [22], которая приводит к нарастанию турбулентной составляющей трения, что приводит к вытеснению масс жидкости из этой зоны в поток. За пределами буферной зоны процесс генерации турбулентности снижает свою интенсивность в то время, как процесс диссипации турбулентности нарастает [22, 32]. При этом, интенсивность продольных пульсаций скорости заметно снижается в то время, как вертикальные пульсации скорости с расстоянием от буферной зоны возрастают. Эти противоположно направленные процессы позволили Л. Прандтлю [14] сделать предположение о том, что в пристенном пограничном слое потока турбулентные касательные напряжения изменяются слабо и с использованием этого предположения получить логарифмическое распределение скоростей. Однако, параметры логарифмического профиля скорости теоретически установить не удалось [39, 40]. Последние измерения [41-48] показали, что эти параметры не являются константами и для расчета распределения скоростей в пограничном слое они должны уточняться. Следует заметить, что размер зоны потока, в переделах которой выполняется логарифмическое распределение скоростей до настоящего времени не определен.
С удалением от внешней границы слоя, в пределах которого подтверждается логарифмическое распределение скоростей, градиенты скорости уменьшаются, и генерация турбулентности становится незначительной, в то время как процессы диссипации начинают преобладать [22, 32]. Корреляционные измерения в этой зоне потока [29, 31, 49, 50] показывают, что продольные размеры турбулентных образований увеличиваются с расстоянием от стенки пропорционально осредненной местной скорости, при этом продольные пульсации скорости обнаруживают заметную асимметричность с преобладанием пульсаций отрицательного знака [10]. Эти эффекты оказывают влияние на формирование турбулентных касательных напряжений, которые в приповерхностной зоне ядра потока уменьшаются до нулевых значений.
Перемежаемость течения и профиль скорости в буферной зоне потока
При рассмотрении распределения скоростей в непосредственной близости от твердой границы обычно считается, что течение определяется действием сил вязкого трения. Эта область потока называется вязким подслоем. Обычно считается, что его толщина незначительна
(порядка = (5 -=-11,5)) и в ее пределах вязкая составляющая трения принимается постоянной v и равной полному трению г0. В связи с этим для расчета распределения скоростей в этой зоне обычно используется закон внутреннего трения И. Ньютона (1.3), на основе которого с учетом того, что г0 = const = pu 2 получают линейное распределение скоростей в вязком подслое (1.36). Однако, решение (1.36) является приближенным, в связи с тем, что согласно уравнению равномерного движения (1.24), касательные напряжения линейно распределяются по глубине потока. С учетом этого изменения трения уравнение (1.3) можно записать в следующем виде: (2.1) где h - характерный размер: для каналов - глубина потока; для труб h = r0- радиус трубы. Разделяя переменные и интегрируя выражение (2.1) получаем более точное линейно-параболическое распределение скоростей в вязком подслое: iUM(1_1fi (2.2) и v \ 2hJ Полученное выражение (2.2) показывает, что в пристенном слое, толщиной - близкой к h 0,1, учет изменения полного напряжения трения дает поправку в скорости вязкого течения не выходящую за пределы 5 %.
Многочисленные измерения [29-30, 70, 100] в слоях потока практически вплоть до самой стенки обнаруживают пульсационное движение жидкости, как в продольном направлении, так и по нормали к стенке. Это указывает на действие в потоке механизма обмена количеством движения, имеющего в отдельные моменты времени турбулентную природу вплоть до самой стенки. Таким образом, устоявшееся мнение о том, что вязкое трение вблизи твердой границы потока соответствует полному напряжению трения, является ошибочным.
Как показали многочисленные исследования [65, 89-97], течение в вязком подслое имеет нестационарный характер: толщина вязкого подслоя в течение некоторого времени нарастает до определенного предела, затем вязкое течение разрушается с возникновением турбулентного течения вплоть до самой стенки. В связи с этим в пристеночной зоне потока изменяется физическая природа полного напряжения трения г , которое при осреднении по времени можно представить в виде двух составляющих: вязкой тВ и турбулентной тТ :
Для определения доли вязкой компоненты трения выделим турбулентную составляющую трения из суммарного трения, для расчета которой используем известное выражение для коэффициента взаимной корреляции между продольной их и вертикальной и г компонентами вектора скорости [29, 101]: xz Rxz = "і "- (2.4) (где и х и u z - соответствуют пульсациям скорости и и о главы 1). Числитель этого выражения согласно Лоренцу [39] связан с турбулентным трением соотношением: тТ = p-ux-uz Знаменатель этого выражения представляет собой произведение стандартов (среднеквадратичных величин) продольной -Щ и вертикальной -Juj пульсаций скорости. С учетом этого можно записать: Тр = К-Щ-Щ (2.5)
Стандарты продольной и вертикальной пульсационных составляющих скорости могут быть найдены аппроксимацией данных многочисленных измерений [29, 30, 70, 84, 100] в пристеночной зоне, приведенных на Распределение стандартов продольных О и О", и вертикальных z пульсаций u скорости вблизи стенки, нормированных динамической скоростью, по данным измерений разных авторов в пограничном слое на пластине и в каналах по данным: 1-3 – Ж. Конт-Белло [29]; 4, 5, 7, 8 – Дж. Лауфер [84]; 6, 11 – П.С. Клебанов [30]; 9 – Е.М. Хабахпашева [100]; 10 – Г.С. Таранов [70]. Аппроксимационные зависимости для продольной Jw 2 и вертикальной Jit пульсаций wz скорости для 5,5 — 100 подобраны в виде: V + 14- 140 V 2 , 2,3. "х Vw I v ; zz zz u.tz к v J (2.6) 0,28 -In — -0,24 v (2.7)
Данные измерений показывают, что коэффициент корреляции Rxz в пристенной зоне течения изменяется слабо и близок к 0,4 [29, 101]. Некоторые измерения обнаруживают некоторую тенденцию к уменьшению Rxz с приближением к стенке, однако, учет этого требует специального исследования.
Анализ показал, что исключение из полного трения (2.3) турбулентной компоненты, найденной с использованием полученных аппроксимационных зависимостей (2.6-2.7) и коэффициента корреляции (2.4), позволяет определить изменение вязкой составляющей трения с расстоянием от твердой границы:
Методика точного определения нулевой плоскости отсчета при измерениях распределения скоростей по глубине потока
Как уже было сказано в первой главе, порожденные М-образы формируют графическую информацию, которую можно применять в ряде прикладных задач. В работе [17] рассматривается алгоритм расчета направления градиентного пути на основе анализа градации оттенков цвета. В качестве примера выбраны растровые М-образы для функции двух аргументов co=f(x,y).
Информация, хранящаяся в каждой точке функционально-воксельной модели, позволяет вычислить направление движения. На рисунке 2.1 приведен пример однозначного выбора направления движения точки на основе пары ортогональных Мобразов. Центральная точка образа является экстремумом функции, в которую помещается начало координат. Рассмотренное в работе [17] движение точки А имеет начальные координаты / и j, которые являются индексами растровой модели. а) б)
Из рисунка 2.1 (а) видно, что значение косинуса нормали к оси Ох в точке А определяет направление движения точки к экстремуму функции под углом а. Однако существует альтернативная точка А с таким же значением компоненты косинуса нормали, но определяющая новое направление движения под углом –а к оси Ох. В результате появляется неопределенность движения для точки А. Для разрешения такой ситуации следует обратиться к ортогональному образу СI I (рис. 2.1, б). Из которого видно, что направление движения точки определяется значением косинуса нормали к оси Оу и направлено под углом Р = — а к этой оси. Причем, точка А на образе сII, также имеет альтернативное направление под углом -/? к оси Оу. Таким образом, единственно верное направление смещения точки находиться путем сопоставления значений с обоих образов.
Используем принципы смещения начальной точки A0(iJ) в одну из 8 соседних точек, предложенные в работе [17]. Количественные характеристики градации палитры цвета в начальной точке на М-образах сI I и сI I принимают значения соответственно СаA 0 ( i , j) и СрA 0( i , j) . На основании этих значений, строится матрица выбора направления смещения точки по градиенту (Табл. 2.1). Таблица 2.1. Матрица смещения точки направления движения по градиенту С II 2P P II 2P 3 С 0«J) 3 II P СII P i-lj+l i, j+l i+lj+l P II 2P— СВ ( i j — 3 Р ,) 3 i-l,} A0(i, j)(Текущее положение) i+l, j С 0 (i,j) 3 i-l, j-l i, j-l i+l, j-l Величина P является максимальным значением градации палитры цвета, в предложенном случае 255. Как видно из матрицы, величина палитры цвета с первого образа С (i , j ) попадает в сегмент значений и формирует колонку смещения, тяготеющую влево. Соответственно величина С II формирует строку смещения, тяготеющую вниз. Пересечение колонки и строки, определяет изменение индексов для следующей точки А\.
С помощью алгоритма движения по градиенту для начальной точки Ao(ij) формируются возможные положения С II A 1 и СрA 1 для следующей точки движения, которые могут быть представлены следующим образом:
В результате решения уравнения (2.1) находится единственно верное решение, снимающее проблему неопределенности выбора направления смещения. Представленный в работе [17] подход показывает возможность использования ФВМ в решении задач поиска пути градиентным спуском. Принципиальное отличие данного подхода от метода функциональных потенциалов, заключается в использование пары ортогональных М-образов. В случае необходимости и уточнения результатов, возможно создание дополнительных образов за счет поворота сцены. Помимо этого, функционально-воксельная структура позволяет использовать зрительную оценку информации, что значительно повышает уровень анализа градиентного движения [20]. 2.2 Построение геометрической Я/С-модели ( -функциональная градиентная модель)
Рассмотрим поведение градиента в среде с препятствиями, с помощью организации соответствующей геометрической модели. Аналитическое описание такой модели выполняется с помощью математического аппарата і?-функций, описанного в первой главе. Представим целевую точку с координатами (хі, у і) уравнением окружности с единичным (минимальным) радиусом: щ=(х1-х)2+(у1-У)2-г12 , (2.2) где п -0 минимальный допустимый радиус. Помимо этого, необходимо ввести дополнительный организации котловины в целевой точке. Котловина является одним из шести проявлений рельефных свойств наряду с вершиной, хребтом, склоном, лощиной и седловиной [78]. Рисунок 2.2 - -функциональное построение сцены с препятствиями Добавим несколько препятствий с помощью -функционального объединения функции цели с отрицательной областью препятствий (рис. 2.2). Причем каждую из препятствий представим окружностью a (Xi-x)2 + (yi-y)2-r2. Таким образом, результирующая функция представляет собой геометрическую R-функциональную модель градиентного движения - RfG-модель: co = kl(-a\)vco2v...vcoi. (2.3) На основании рассмотренного ранее принципа порождения М-образов, получаем пару ортогональных образов С xI I и СI Iy (рис. 2.3), которые формируют функционально-воксельное представление ф&модели. Для такой модели будет применяться алгоритм градиентного спуска, поскольку она содержит необходимую информацию о локальных геометрических характеристиках в каждой точки функционального понижающий коэффициент к! для изменения рельефа поверхности функции и пространства.
Полученная RfG-модель позволяет найти градиентное движение к цели из любой точки на выбираемой области сцены. Применим полученные М-образы для организации градиентного спуска. Как видно из рисунка 2.4 все выставленные точки достигают цели, обходя препятствия согласно сформированному рельефу поверхности. Даже в случае отклонения от назначенной траектории, возможно построить новую траектории без перестроения сцены. Рисунок 2.4 - Построение градиентного спуска на основе RfG-модели
Очень часто в методе функциональных потенциалов препятствия представляют простыми выпуклыми объектами, чтобы избежать попадания в локальный минимум [79]. Таким образом, задача градиентного движения по потенциальному полю значительно упрощается. Рассмотрим предложенный в диссертационной работе принцип градиентного спуска на примере препятствия «ловушки», для проверки попадания в локальный минимум (рис. 2.5).
Экспериментальная проверка расчетного распределения скоростей в буферной зоне потока данными измерений в гладких каналах и трубах
Предыдущие исследования показали, что использование системы R-функций (3.7) позволяет получать прямолинейный скелет формы, с четко выраженными цветовыми переходами на ребрах скелета. Следует отметить, что RfR-модель отличается от RfS-модели значением коэффициента . При =0 RfS-модель переходит в RfR-модель и позволяет использовать рельефные свойства модели отлично от свойств прямолинейного скелета. Воспользуемся предложенным в предыдущей главе подходом к организации движения между опорными точками, как фокусами эллипса. Объединив функцию фокусного эллипса с функцией простейшего препятствия-окружности, получим і?/К-модель сцены: со = соэл+ сопр + Jcolэ л + colп р , (4.1) где соэл- функциональная область эллипса, выраженная через фокусные точки (3.11), сопр - функциональная область препятствия.
На полученных М-образах (рис. 4.1) наблюдается изменение поведения рельефа функции, он начинает плавно огибать препятствие с двух сторон, создавая хребты и лощины. И если рельефные элементы зрительно выделяются достаточно очевидно, то для компьютерного анализа обработка таких образов весьма затруднительна. Поскольку во многих местах отсутствует четкая разница в значениях цветовой палитры на рельефных элементах поверхности функции.
Для выделения цветовых переходов на месте нечётких рельефных элементах, помогут дополнительные М-образы С+х и С+у (рис. 4.2), которые отображают знак косинуса отклонения от ортогональных осей в каждой точки функционального пространства. Графические образы знака косинуса С и СІу соотносятся с образами Сшх и С; . Дополнительные образы для Д/К-модели Сїх и С+у также относятся к классу порожденных М-образов, поскольку формируют дополнительную графическую информацию о локальных геометрических характеристиках среды. Из рисунка 4.2 видно, что образы знака косинуса в отличие от своих прообразов (рис. 4.1) позволяют более чётко выделить цветовые переходы на местах рельефных проявлений поверхности функции. а) С+х б) Сty Рисунок 4.2 - Выделение рельефных свойств с помощью образов знака косинуса Следующим шагом алгоритма является выделение линий возможных цветовых переходов и наложение их на один образ (рис. 4.3, а). Участки трасс, полученных от разных образов, дополняют друг друга, и пересекаются в определенных точках, являющихся экстремальными. При этом наблюдаются участки, как огибающие препятствие, так и ведущие к тупиковому решению. С помощью дополнительного алгоритма фильтрации исключаются определенные сегменты трассы, которые либо выходят за область эллипса, либо приводят внутрь препятствия.
Алгоритм фильтрации основан на сопоставлении отдельных участков каждого образа в зависимости от их знака на другом образе. Граница положительной и отрицательной области одного образа, например образа С, разделяется на сегменты, которые попадают либо в положительную область другого образа С+у, либо в отрицательную. Для демонстрации такого разделения на рисунке 4.3 (б) представлены участки трасс, имеющие разные цвета в зависимости от их принадлежности к образу С+х и знаку на ортогональном ему образе С1У.
После подобного разделения, появляется возможность анализа каждого участка трассы отдельно и исключения выхода за допустимую зону трассировки. Необходимо оставить только те участки, которые не выходят за границу эллипса и не попадают внутрь препятствия [95]. В результате получаем две возможные трассы (рис. 4.4, а), которые не только плавно огибают препятствие с двух сторон, но и отображают поведение рельефа функции.
Очевидно, что не во всех случаях препятствия представляют собой окружности. На рисунке 4.4 (б) представлен случай, когда объектом служит многоугольник с острыми углами. Применяя разработанный алгоритм, получаем две трассы обхода препятствия, которые согласно своему рельефу функции плавно огибают острые углы многоугольника.
В случае возникновения более сложных препятствий, или группы объектов, предложенный алгоритм не способен определить все возможные варианты траекторий. Появляется необходимость в разработке многовариантного (вариационного) определения маршрутов для RfR-модели. В работах [21, 95, 96] приводились лишь базовые принципы вариационной трассировки, поэтому следует рассмотреть более подробно создание многовариантной модели на примерах с более сложной геометрией построения препятствий.
Обход трех препятствий. Рассмотрим случай поиска огибающих траекторий для нескольких препятствий. Для этого с помощью уравнения (4.1) добавим на сцену два дополнительных объекта-круга, каждый из которых описан уравнением окружности. В результате поверхность функции образуется уже тремя объектами. Применение предложенного алгоритма рельефной трассировки на основе двух ортогональных образов строит две трассы, огибающие все препятствия лишь с двух сторон (рис. 4.5). Становится очевидным, что полученное решение не является единственным и существуют маршруты, проходящие между препятствиями.