Введение к работе
Актуальность темы исследования. Развитие графических САПР, базирующихся на методах вычислительной геометрии, зачастую приводит к полному или частичному исключению классических методов начертательной и проективной геометрии из арсенала конструктора-проектировщика.
Одним из препятствий к совмещению проективных и компьютерных методов геометрического моделирования в графически ориентированных САПР является невозможность построения кривой второго порядка, заданной произвольным наперед указанным набором пяти линейных инциденций (точек и касательных) – собственных или несобственных (бесконечно удаленных), вещественных или мнимых.
Вплоть до восьмидесятых годов ХХ века разрабатывались и патентовались механические устройства-коникографы для вычерчивания конических сечений. С появлением средств компьютерной графики на смену механическим чертежным приборам пришел электронный кульман и CAD-CAM-CAE технологии сквозного проектирования.
Но при этом так и не появился электронный аналог механических конико-графов. В прикладных графических пакетах применяются полиномы третьего и более высоких порядков, но не предусмотрено вычерчивание кривых второго порядка (КВП), проходящих через заданные точки и касающихся данных прямых. Вместе с тем, современные аппаратные и программные средства компьютерной графики позволяют конструктивно реализовать любые, самые сложные алгоритмы, в том числе проективные графические схемы построения КВП. В связи с этим возникает актуальная проблема классификации, разработки и конструктивной реализации на ЭВМ алгоритмов построения кривой второго порядка, заданной любым внутренне непротиворечивым набором вещественных и мнимых точек и касательных.
Кривые второго порядка играют особую роль как в физике и математике, так и в технических приложениях, в частности – в теории бирациональных (кре-моновых) преобразований, представляющих собой эффективный аппарат геометрического моделирования. Актуальность разработки и компьютерной реализации алгоритмов построения КВП определяется не только широким применением этих кривых при конструировании геометрических форм, машин и механизмов, но и необходимостью диалектического сочетания достоинств аналитических и синтетических инструментов и методов при решении задач геометрического моделирования.
Проведенный анализ позволил выделить три взаимосвязанных актуальных направления научного поиска: A) разработка математического аппарата построения АМХ кривых второго порядка, удовлетворяющих как вещественным, так и мнимым краевым условиям; B) практическое применение КВП в конструктивных задачах компьютерного геометрического моделирования; C) методы конструктивной реализации на ЭВМ графических алгоритмов решения задач теории квадратичных бирациональных преобразований, теории конических сечений и поверхностей второго порядка. На основании триады ABC определены объект, предмет и цель диссертационного исследования.
Объектом диссертационного исследования является пятипараметриче-ское многообразие кривых второго порядка на расширенной евклидовой плоскости.
Предмет диссертационного исследования - проективные алгоритмы образования КВП и методы их конструктивной реализации средствами компьютерной графики.
Цель исследования - разработка математического аппарата построения кривых второго порядка, обеспечивающего возможность их применения как одного из основных формообразующих элементов в практике компьютерного геометрического моделирования, а также в качестве графического инструмента для реализации используемых в начертательной геометрии конструктивных методов моделирования пространств различной размерности.
Для достижения поставленной цели требуется решение следующих теоретических и прикладных задач:
разработать аффинный классификатор всех возможных внутренне
непротиворечивых сочетаний точек и касательных, определяющих кривую второго
порядка на расширенной евклидовой плоскости, с учетом вещественных и мнимых
краевых условий (точек и касательных);
составить геометрически точные, реализуемые на ЭВМ с помощью
графических примитивов «прямая» и «окружность», проективные алгоритмы
построения аффинно-метрических характеристик (АМХ) кривой второго порядка,
удовлетворяющей заданному набору вещественных и мнимых краевых условий;
на основе составленных алгоритмов разработать прикладную программу
построения кривых второго порядка, упрощающую практическое применение
конических сечений как при решении практических задач формообразования в
технике и архитектурно-строительном проектировании, так и при исследовании
теоретических вопросов геометрического моделирования;
разработать методы моделирования кинематических поверхностей в
трехмерном и четырехмерном евклидовых пространствах с использованием средств
компьютерной графики и кривых второго порядка как одного из основных
формообразующих элементов;
составить конструктивно реализуемые на ЭВМ графические алгоритмы
построения соответственных точек в квадратичном бирациональном
преобразовании, заданном как семью парами соответственных точек, так и
фундаментальными точками преобразования (вещественными или мнимыми).
Научная новизна работы состоит в том, что:
составлен перечень (классификатор специализаций) всех возможных аффинно различных сочетаний вещественных и мнимых точек и касательных, определяющих КВП на расширенной евклидовой плоскости;
составлены геометрически точные алгоритмы построения АМХ кривой второго порядка (центра, вершин, фокусов, асимптот), заданной любым внутренне непротиворечивым набором вещественных и мнимых точек и касательных;
разработан метод конструирования кинематических поверхностей,
являющийся пространственным аналогом метода инженерного дискриминанта,
отличающийся применением вспомогательных линейчатых поверхностей в
качестве направляющих;
разработан метод компьютерного моделирования поверхности,
заключающийся в отображении опорного контура на четырехмерное пространство,
позволяющий, в отличие от известных методов, моделировать поверхность как на
четырехзвенном, так и на трехзвенном опорных контурах;
на основании теоремы о мнимом двойном соприкосновении фокальных
квадрик разработана методика соединения квадрик вращения по плоской кри
вой;
разработан компьютерный вариант проективно-синтетического
алгоритма построения соответственных точек в квадратичном бирациональном
преобразовании, заданном как вещественными, так и мнимыми фундаментальными
точками; составлен компьютерный вариант алгоритма реконструкции
квадратичного бирационального преобразования, заданного семью парами наперед
указанных соответственных точек.
Практическая значимость и внедрение. По результатам проведенных исследований разработаны геометрические алгоритмы построения АМХ КВП и методы конструирования кинематических поверхностей, основанные на совмещении достоинств точных компьютерных вычислений и проективных методов формообразования.
Работа выполнена в рамках реализации программы развития ЮжноУральского государственного университета на 2010-2019 гг. по приоритетному направлению развития «Суперкомпьютерные и грид-технологии в решении проблем энерго-и ресурсосбережения». На выполнение работы получен грант в рамках конкурса «Старт-17-1» (договор №2518ГС1/39118 от 03.05.2018 г. «Разработка вихревых инжекционных горелок повышенной эффективности для газовых турбин»), согласно постановлению Правительства РФ от 20.12.2016 по грантовой поддержке центров Национальной технологической инициативы на базе образовательных организаций высшего образования. Подана заявка на изобретение. Получено свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ.
Результаты теоретических исследований диссертационной работы внедрены на предприятиях Челябинской области: на предприятии МЧС «УСПТК-РМЗ», г. Миасс; ООО «Контроль и экспертиза», г. Челябинск; ООО НПП «Сварка 74», г. Челябинск. Выполненные работы подтверждаются актами внедрения.
Методы исследования. В качестве основного метода принят проективно-синтетический метод геометрического моделирования, основанный на установлении коллинеарных и квадратичных соответствий между действительными и мнимыми элементами двух, трех, четырехмерных расширенных евклидовых пространств. Использован математический инструмент проективной и дифференциальной геометрии, теория конических сечений и поверхностей второго порядка, теория мнимых элементов, теория бирациональных преобразований плоскости.
Теоретическую базу диссертационного исследования составили:
– по аналитической и проективной геометрии: труды К.А. Андреева, Ф.М. Суворова, С.С. Бюшгенса, М.М. Постникова, Н.А. Глаголева, Н.Ф. Четверухина, О.А. Вольберга, Е.А. Мчедлишвили, И.С. Джапаридзе и других ученых;
– по дифференциальной геометрии: труды С.С. Бюшгенса, М.Я. Выгодского, А.В. Погорелова, Л.С. Атанасяна и других ученых;
– по начертательной геометрии и ее приложениям: работы Н.Ф. Четверу-хина, И.И. Котова, К.И. Валькова, В.Е. Михайленко, А.М. Тевлина, Г.С. Иванова, В.И. Якунина, В.С. Полозова, В.Я. Волкова, О.А. Графского, Т.В. Аюшеева, А.Л. Подгорного, К.Л. Панчука и других ученых;
– по компьютерному геометрическому моделированию: труды В.С. Полозова, С.И. Роткова, Е.В. Попова, Н.Н. Голованова, Д.В. Волошинова, А.В. Толока, С.Н. Кривошапко и других ученых;
– по моделированию многомерных пространств: труды С.М. Куликова, Н.В. Наумович, Б.А. Розенфельда, Е.А. Глазунова, Н.Ф. Четверухина, Д.З. Гор-девского, В.П. Болотова, В.Я. Волкова, Д.В. Волошинова и других ученых;
– по теории конических сечений и поверхностей второго порядка: работы J.H. Engel, L.O. Hesse, K. Rohn, E. Papperitz, T. Reye, E.O. Staude, Д. Гильберта, Ф. Клейна, З.А. Скопеца, А.В. Акопяна, Я.Л. Геронимуса и других ученых;
– по теории бирациональных преобразований: труды L. Cremona, T. A. Hirst, H.P. Hudson, Fr. Severi, К.А. Андреева, И.М. Яглома, Г.С. Иванова, Н.Д. Вертинской, М.Ф. Евстифеева и других ученых;
– по теории мнимых элементов в геометрии: труды J.V. Poncelet, J. Steiner, K. Staudt, Ф. Клейна, Ф.М. Суворова, О.А. Вольберга, А.Г. Гирша и других ученых.
Апробация работы. Основные результаты диссертационного исследования рассматривались и обсуждались:
на научно-методической конференции «Информатизация инженерного образования» (Инфорино 2012), 10-11 апреля 2012 г., г. Москва, НИУ «МЭИ»;
на 2 (2010г.), 3 (2011г.), 4 (2012г.) и 5 (2013г.) Всероссийских научно-практических конференциях с международным участием «Информационные технологии и технический дизайн в профессиональном образовании и промышленности», г. Новосибирск, НГТУ;
на Международных научно-практических Интернет-конференциях «Проблемы качества графической подготовки студентов в техническом вузе: традиции и инновации», г. Пермь, Пермский национальный исследовательский политехнический университет, 2012…2017 гг.;
на Международной научно-технической конференции «International Conference on Industrial Engineering» (ICIE-2015), 22-23 октября 2015, г. Челябинск, Южно-Уральский государственный университет (НИУ);
на 26-й Международной научной конференции GraphiCon 2016, 19-23 сентября 2016 г., ННГАСУ, Нижний Новгород;
на Международной научно-технической конференции “2016 2nd International Conference on Industrial Engineering, Applications and Manufacturing” (ICIEAM), 19-20 May 2016, г. Челябинск, Южно-Уральский государственный университет (НИУ);
на XII Международном симпозиуме по фундаментальным и прикладным проблемам науки, 12-14 сентября 2017 г., г. Миасс, Россия;
- на Международной научно-технической конференции «International
Conference on Construction, Architecture and Technosphere Safety», 21-22 сентября
2017, г. Челябинск, Южно-Уральский государственный университет (НИУ);
- на 27-й Международной научной конференции GraphiCon 2017, 24-28
сентября 2017 г., Пермский государственный национальный исследовательский
университет, г. Пермь.
Положения, выносимые на защиту
перечень всех внутренне непротиворечивых аффинно различных сочетаний
действительных («Основной классификатор») и мнимых («Дополнительный клас
сификатор») точек и касательных, определяющих кривую второго порядка на рас
ширенной евклидовой плоскости;
проективные алгоритмы построения АМХ кривой второго порядка,
заданной набором вещественных и мнимых точек и касательных, и программный
модуль «Компьютерный коникограф», выполняющий построение АМХ кривой
второго порядка и ее последующее вычерчивание;
метод моделирования кинематических поверхностей, образованных движением кривой второго порядка с переменным эксцентриситетом, отличающийся использованием вспомогательных направляющих линейчатых поверхностей – цилиндроидов и коноидов;
метод компьютерного геометрического моделирования поверхностей четырехмерного пространства с использованием гиперэпюра, позволяющий конструировать гладкую поверхность, проходящую не только через четырехугольный, но и через треугольный замкнутый контур;
методика соединения фокальных квадрик по плоской кривой, основанная
на теореме о мнимом двойном соприкосновении квадрик вращения с общим фо
кусом;
компьютерный вариант алгоритма построения соответственных точек в
квадратичном бирациональном преобразовании, заданном как вещественными, так
и мнимыми фундаментальными точками преобразования;
компьютерный вариант алгоритма реконструкции квадратичного
бирационального преобразования, заданного семью парами наперед указанных
соответственных точек.
Публикации. Материалы диссертационного исследования опубликованы в 40 статьях, из них 4 статьи в изданиях, индексируемых в наукометрической базе Scopus, и 17 статей в изданиях, рекомендованных ВАК (10 статей принадлежат лично автору).
Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, восьми глав с выводами, заключения и списка используемой литературы. Общий объём составляет 323 страницы, 221 рисунков. Библиографический список включает 226 наименований, в том числе 14 иностранных.