Содержание к диссертации
Введение
1. Флуктуации в полупроводниковых приборах 11
1.1. Традиционные методы исследования шумовых процессов 13
1.2. Измерение шумов в приборах и требования к измерительной аппаратуре 16
1.3. Классификация шумов по виду СПМШ 19
1.3.1. Белый шум 19
1.3.2. Фликкер-шум или шум типа І/f. 24
Выводы по первому разделу 42
2. Методы шумовой диагностики для обнаружения временной структуры флуктуанионных процессов .
2.1. Постановка задачи 43
2.2. Анализ возможностей дискретного Фурье преобразования в случае исследования флуктуационных процессов 44
2.3. Принципы вейвлет-преобразования дискретных рядов 50
2.4. Возможности вейвлет-анализа временной структуры 59
2.5. Статистический анализ поля вейвлетной плотности мощности шума 71
2.6. Количественные характеристики фрактальных свойств поля ВПМШ 73
2.7. Описание программно-аппаратного комплекса 80
Выводы по второму разделу 86
3. Применение вейвлет-анализа для детектирования изменений шумовых процессов в полупроводниковых приборах 88
3.1. Исследование шумов силовых диодов большой площади 89
3.2. Детектирование влияния облучения у-квантами кремниевого биполярного транзистора с помощью вейвлет анализа 108
3.3. Шумовая диагностика диодных термодатчиков 119
3.4. Исследование релаксационных и деградационных процессов в полупроводниковых приборах с помощью вейвлет-анализа 129
3.5. Исследование кремниевых фотодиодов 136
3.6. Вейвлет-анализ фотодиодов из антимонида индия 139
3.7. Исследование пленочных резисторов на основе Sn02 142
Выводы по третьему разделу 144
4. Связь вейвлет анализ шумовых процессов в полупроводниковых структурах с существующими моделями низкочатотного шума 146
4.1. Сопоставление основных экспериментальных результатов с моделями шума 147
4.2. Пример реализации возможности определения "шумящих" областей в полупроводниковых структурах 151
Выводы по четвертому разделу 159
Заключение 160
Список использованных источников 162
Приложения 178
- Измерение шумов в приборах и требования к измерительной аппаратуре
- Анализ возможностей дискретного Фурье преобразования в случае исследования флуктуационных процессов
- Детектирование влияния облучения у-квантами кремниевого биполярного транзистора с помощью вейвлет анализа
- Пример реализации возможности определения "шумящих" областей в полупроводниковых структурах
Введение к работе
АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ
Шумовые характеристики полупроводниковых приборов являются одним из наиболее эффективных и информативных источников сведений о протекающих в структуре процессах, связанных с внутренним несовершенством. Одним из преимуществ их измерений является возможность неразрушающего контроля приборов. Исследование их позволяет судить о надежности и долговечности приборов и анализировать качество приборов.
Шумовые характеристики являются основными параметрами для таких приборов, как сенсоры, так как определяют их пороговую чувствительность. Точно так^ке знание их необходимо и для усилительных приборов первых каскадов. Однако важность исследования шумов полупроводниковых приборов далеко не ограничивается указанными примерами.
Обнаружение связи шумов с пространственно-временными параметрами полупроводниковых приборов позволяет применить шумовые характеристики для исследования процессов самоорганизации. А это, в свою очередь, дает возможность использовать полупроводниковые приборы в качестве модельных объектов в развивающихся в последнее время исследованиях самоорганизации физических, биологических и т.д. процессах.
Наиболее распространенным методом анализа шумовых процессов до настоящего времени было представление их в виде спектральной плотности мощности шума (СПМШ) [1], которую можно измерить с помощью панорамных приборов или найти с помощью фурье-преобразования временного ряда шумового сигнала. Особенно информативны данные по низкочастотным шумам, которые имеют частотную зависимость типа 1/f, где а лежит в пределах 0.3...3.0, и переходят при некоторой частоте frp в
независящий от частоты тепловой, дробовой или генерационио-рекомбинационный шум. Шум со спектральной зависимостью типа 1/f получил название "фликкер-шума" или "шума типа 1/f. В настоящее время, несмотря на значительное число моделей, предложенных за более чем 75-летнюю историю его исследования, не существует однозначного понимания природы фликкер-шума и физической интерпретации величин а и/гр.
Дальнейшее развитие шумовых исследований может быть в анализе временных характеристик шумового процесса. Это даст возможность анализировать источники шума и самоорганизованные процессы. Одним из методов временного анализа сигнала, наряду со спектральным, является вейвлет-анализ. Этот метод в последние 10-15 лет находит всё большие применение. Как правило, он используется в радиотехнике, биологии, ядерной физике, обработке изображений для выделения сигнала из шума и сжатия данных. Однако мы считали, что он может быть применен и в шумовой диагностике полупроводниковых приборов.
ЦЕЛЬ РАБОТЫ состоит в теоретическом и экспериментальном изучении эффективности применения вейвлет-анализа для исследования флуктуационных явлений в полупроводниковых приборах, поиске характерных временных особенностей (временной структуры) шумовых процессов, связи их с технологическим качеством и остальными параметрами и характеристиками приборов.
В ходе выполнения работы решались следующие задачи :
Создание методики вейвлет анализа флуктуационных явлений полупроводниковых приборов для оценки временной структуры, мощности и длительности событий при сопоставлении указанной методики с традиционным анализом СПМШ.
Создание и апробация измерительной установки, методик измерения и программной обработки результатов измерений с помощью быстрых
вейвлет и фурье-преобразований значений временного ряда шумового сигнала.
Экспериментальное исследование І/f шума для определенного ряда приборов, позволяющих наиболее эффективно выяснить возможности разрабатываемой методики, а также имеющих важное практическое значение для конкретных задач.
Использование полученных результатов для анализа и сопоставления с известными моделями І/f шума с целью лучшего понимания электрофизической природы шумовых процессов в полупроводниковых приборах.
ОСНОВНЫЕ НАУЧНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ, ВЫНОСИМЫЕ НА ЗАЩИТУ:
На основе сопоставления результатов вейвлет-анализа шумовых процессов и их СПМ установлено характерное отличие вейвлет-картины для белого и l/f-шума, заключающееся в том, что в случае белого шума наблюдается ряд кратковременных максимумов в области, соответствующей высоким частотам, а в случае l/f-шума наблюдаются максимумы во всем частотном диапазоне.
Наличие долговременных областей выделения плотности мощности на частотно-временной вейвлет-картине сопоставляется с «событиями» генерации длинно-временных импульсов в пространственных областях (релаксаторах) полупроводниковых приборов.
Характерная самоподобная в широкой области частот частотно-временная вейвлет-картина в случае исследования различных приборов, дает основание говорить о существовании пространственно-временных фрактальных процессов генерации-рекомбинации носителей зарядов на ловушках в релаксаторах, а также о самоподобии указанных процессов, что подтверждается предложенными моделями.
Энергетическая размерность шумового процесса, построенная по разработанному методу двумерных максимумов вейвлет-картины,
коррелирует с технологическими и электрическими параметрами приборов и определяется степенью взаимосвязи локальных флуктуаторов.
Применение предложенного метода двумерных максимумов на вейвлет-картине для анализа шумовых процессов, позволяет эффективно детектировать малые внешние воздействия. Данная методика, благодаря переходу от качественного к количественному анализу, обладает значительно более высокой чувствительностью. Она позволила обнаружить влияние гамма-излучения на биполярные транзисторы, не обнаруженное с помощью СПМШ.
Шумовые свойства сильноточных диодов определяются релаксаторами в области пространственного заряда р-п—перехода, что установлено на основе разработанной методики учета большой емкости и проведения систематических исследований шумовых свойств сильноточных диодов.
На основании анализа проведенных исследований сделано заключение об адекватности представления І/f шума, как отражения пространственно-временных фрактальных процессов, согласованности такого представления основным моделям фликкер-шума и наибольшей достоверности объединенных моделей l/f-шума основанных на самоподобных в широком диапазоне длительностей импульсах и пространственных релаксаторах. При этом не решенным остается вопрос о методике определения указанных областей в полупроводниковых структурах. НАУЧНАЯ НОВИЗНА И ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ. Все основные представленные в работе результаты получены впервые.
Предложена методика вейвлет-анализа шумовых процессов, которая может использоваться для исследования и прогнозирования надежности различных полупроводниковых приборов.
Впервые применены числовые методы количественного анализа вейвлет-картин флуктуационных процессов в полупроводниковых приборах. Проведено сравнение результатов числового анализа с измерениями
основных параметров полупроводниковых приборов. Найдена корреляция параметров вейвлет-анализа шумовых процессов В: полупроводниковых приборах со статическими параметрами (напряжение пробоя, характер В АХ) и вариацией технологий изготовления приборов.
На основе проведенных исследований были выработаны рекомендации по оптимизации технологических процессов изготовления силовых диодов, кремниевых диодных термодатчиков, газовых сенсоров на основе Sn02.
Впервые показана более высокая чувствительность вейвлет анализа по сравнению с традиционным фурье-анализом к облучению гамма-квантами кремниевых биполярных транзисторов, работающих в режиме лавинного пробоя коллекторного перехода.
Впервые проведены шумовые исследования приборов с большой емкостью.
Впервые показана возможность исследования шумов на фоне медленных релаксационных процессов с помощью вейвлет-анализа на примере кремниевых диодных термодатчиков и обнаружено наличие разномасштабных событий на фоне тренда. Продемонстрирована аналогичность временной структуры тренда и событий, приводящих к появлению І/f шума.
АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ Результаты работы обсуждались на международных семинарах «Шумовые и деградационные процессы в полупроводниковых приборах» 1994, 1995, 1996, 1997, 1998, 2003 гг., международной конференции по электротехническим материалам и компонентам (2-7 октября 1995 г., Крым), 2ой междунар. конф. по электротехнике и электротехнологии. (1-5 октября 1996 г., Крым), 5-й международной научно-технической конференции "Моделирование электронных приборов и процессов, обеспечение качества, надежности и радиационной стойкости приборов и аппаратуры" (Севастополь, 12-20
сентября 1998 г.), международной конференции по акустоэлектронике и генерации сигналов 1998 г. (Москва - С. Петербург), на семинарах ФИАЫ.
Полученные результаты были использованы при оптимизации технологии изготовления полупроводниковых приборов,
ОБЪЕКТЫ И МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЙ
Диссертация включает материалы по исследованию образцов полупроводниковых приборов, таких как: силовые кремниевые диода, кремниевые термодатчики, кремниевые биполярные транзисторы, кремниевые фотодиоды и PIN-фотодиоды, фотодиоды на основе InSb, пленочные резисторы на основе SnOx. Кроме того, исследовались разрабатываемые в последнее время приборы в рамках совместных НИР, проводившихся в соответствии с договорами между заводом «Сапфир» и кафедрой «Полупроводниковая электроника» МЭИ (ТУ).
Проводились комплексные исследования шумовых свойств приборов, включая вольт-шумовые характеристики (ВШХ), спектральную плотность мощности шума (СПМШ), в сочетании со стандартными измерениями ВАХ.
ОБОСНОВАННОСТЬ НАУЧНЫХ ПОЛОЖЕНИЙ основывается на проведенном сравнительном комплексном анализе большого количества серийно выпускаемых полупроводниковых приборов и достоверной выборке приборов каждого типа.
ДОСТОВЕРНОСТЬ ПОЛУЧЕННЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ подтверждается непротиворечивостью полученных результатов публикациям других авторов, а также сопоставлением экспериментальных данных с предложенными моделями.
Измерение шумов в приборах и требования к измерительной аппаратуре
При измерении шумов к измерительной аппаратуре предъявляются достаточно жесткие требования. Вследствие малости измеряемого сигнала необходимо применение линейных усилителей с малыми собственными шумами. Однако динамический диапазон входного напряжения усилителя должен быть достаточно высок, чтобы флуктуации напряжения проходили без искажений.
Измерительный прибор с амплитудным коэффициентом 3 не реагирует на пики шума, наблюдающиеся в течение времени примерно 0,25% общего времени и общая ошибка составляет при этом около 1,5 %. При амплитудном коэффициенте 4 ошибка уменьшается до 0,5% [27] .
Шумовые спектры плотности мощности можно получать непосредственно измеряя напряжение на квадратичном детекторе с интегрирующим фильтром, имея узкополосный перестраиваемый усилитель. Однако такой метод с достаточной достоверностью применяется на частотах больших 10 Гц. А на меньших частотах дает погрешность, связанную с большим временем на регистрацию данных.
Автоматизация получения СПМШ и увеличение частотного диапазона в сторону нижних частот стала возможной с появлением средств вычислительной техники и устройств автоматического сбора данных [18].
В этом случае измеряется ряд значений шумового сигнала через равные промежутки времени — последовательный временной ряд. СПМШ является результатом применения дискретного преобразования Фурье к такому ряду.
Отметим, что, имея временную последовательность значений амплитуды флуктуирующей величины можно анализировать [28] не только СПМШ, но и корреляционную функцию, разностные моменты различного порядка Ф w (г) = \X(t) - X{t + т)]р .
Эффективным методом применения СПМШ для характеристики приборов является исследование зависимости шума от различных внешних параметров [15, 18, 19]. Это может быть ток, протекающий через структуру, напряжение смещения, освещенность, влажность, состав атмосферы, температура и т.д. Выбор параметра обуславливается тем, что бы была возможность сопоставить изменения в шумовом сигнале с известными физическими явлениями. Одним из наиболее широко используемых методов является исследование зависимости амплитуды шумового сигнала от напряжения смещения на какой-либо выбранной частоте (вольт-шумовая характеристика (ВШХ)). Рядом авторов [18-20] установлена корреляция между характером ВШХ и деградационными свойствами прибора. Обычно ВШХ аппроксимируется степенной функцией S U\ При этом, чем больше показатель степени ,, тем данный прибор потенциально менее надежен.
В работе [20] показана возможность отбраковки приборов по показателю ВШХ, а в работах [18, 19] применение ВШХ позволило определить возможный источник избыточного шума и внести изменения в технологический процесс.
При исследовании СПМШ характеристическими параметрами являются значения плотности мощности шума на определенной частоте, угол наклона а аппроксимирующей прямой в двойном логарифмическом масштабе, значение частоты (/ ,), где меняется угол наклона СПМШ. В качестве примера эти параметры показаны на рис. 1.2.
Пример СПМШ полупроводникового прибора По значению наклона v различают частотнонезависимый (белый) шум (а=0) и шум типа І/f, который при 0,3 а 3 носит название фликкер-шума или шума типа І/f. На частотах выше 1МГц коэффициент v может принимать различные значения, как отрицательные, так и положительные [15]. К описанному виду СПМШ могут приводить различные физические процессы в структуре полупроводника.
Под «белым» шумом понимается флуктуационный процесс, мощность которого не зависит от частоты, но определяется шириной полосы частот в котором он измеряется [13-15, 22, 23, 26]. Шумовой сигнал x(t) можно рассматривать как случайную последовательность импульсов с формой f(t), так что (1.5) где a.k - амплитуда к-го импульса в момент времени tk. Распределение tk подчиняется закону Пуассона. Спектральная плотность мощности - Sx может быть представлена в виде:
В этом выражении со - угловая частота, Р(]ос )-преобразование Фурье функции f(t) формы отдельного импульса, 0 -средняя частота событий, а" -значение среднего квадрата амплитуды импульса. В том случае, если длительности составляющих импульсов малы, и их последовательность можно считать импульсным процессом, СПМШ имеет вид
Анализ возможностей дискретного Фурье преобразования в случае исследования флуктуационных процессов
Касаясь остальных поставленных вопросов, можно также отметить отсутствие ясности. Так ряд исследователей пришли к выводу, что указанный шум имеет пространственную корреляцию на весьма малом ( 1 мкм) расстоянии [41]. В то же время существуют модели (о них будет говориться ниже), предполагающие значительно большие расстояния. Измерения на лепестковых образцах показывают скалярный характер шума. В ряде исследований было показано, что стохастические временные ряды значений мощности шума являются стационарными и подчиняются гауссовскому распределению. В то же время оппоненты указывают, что истинным доказательством гауссовости является соотношение между вторым и четвертым моментами 5V2 и 5V4 , что не удалось проверить. Кроме того, в ряде исследований обнаружены отклонения от гауссовости [33, 42, 43].
Рассмотрение, приведенное в [23], показывает, что два подхода к анализу шума в ограниченной полосе частот (со і - й2) приводит к единой зависимости от частоты в виде 1п(со2/К і). Из этого делается вывод, что плотности вероятности, составляющие основу для второго момента, зависят только от времени запаздывания, но не от абсолютных отрезков времени в течение которых фиксируется временной ряд. Это означает, что І/f шум в ограниченной полосе частот можно считать стационарным в широком смысле слова.
Вопрос о стационарности шума является очень важным, так как с одной стороны практика показывает, что шум велик для деградирующих приборов, а с другой, что в ряде приборов шум оставался неизменным в течение целого ряда лет. Наконец, не обнаружено однозначной закономерности в температурной зависимости рассматриваемого шума, а модель и роль тепловых флуктуации в его образовании являются основой для целого ряда теоретических спекуляций.
В заключение этой части следует еще раз подчеркнуть, что в большинстве исследований не обнаружено насыщения шума вплоть до 10"7 Гц [44]. Следующим шагом в анализе шума І/f является обзор математических и физических моделей его возникновения. Одной из первых и наиболее привлекательных моделей шума была модель, основанная на релаксационных эффектах. Зависимость СПМШ для процесса с временем релаксации т имеет вид, аналогичный (1.16):
Когда произведение со т становится больше единицы, S уменьшается как 1/ю2. Такая зависимость не вызывает коренного противоречия с зависимостью 1/го. Все значительно усложняется при переходе к корреляционному подходу, так как интеграл (1.3, 1.4) может дать только четную функцию в неограниченных пределах и нечетную, каковой является зависимость 1/ю, в ограниченных. В [33] указывается, что обычно под анализируемой зависимостью понимается ш "а, которая является четной, независимо от значения а. Зависимость же ( а, при дробном значении а вообще не действительная функция, а бесконечное множество комплексных функций. Кроме того, ограничение частотного интервала противоречит отсутствию низкочастотного насыщения шума.
Абстрагируясь от математических ограничений следует подчеркнуть, что и в случае определения СПМШ с использованием релаксационных процессов, для получения необходимой зависимости 1 /ю в приемлемом частотном интервале необходим достаточно большой набор больших постоянных времени т и явлений, с ними связанных. Предположения о требуемом наборе глубоких ловушек в конкретных полупроводниках не подтверждались ни экспериментом, ни физическими основами процесса, так как работают ловушки с энергиями в запрещенной зоне, расположенные только вблизи уровня Ферми.
Одной из попыток найти соответствующий механизм было привлечение достаточно медленных процессов диффузии примеси в шумящих областях. Но и это вызывает заслуженные возражения. К тому же оказалось, что интервал времен релаксации от Ті до т2 должен перекрывать в два раза больше декад, чем интервал частот, чтобы получить достаточное совпадение с функцией 1/ о [24].
С математической точки зрения необходимую частотную зависимость СПМШ можно получить исходя из временной последовательности импульсов с формой единичного импульса где (3 и &о положительны и не зависят от времени, (3 - приближенно, но не точно равна 1, a a(t) — единичная ступенчатая функция. В этом случае: где С можно считать константой. Более подробный анализ содержится в монографии [33].
С физической точки зрения реализация формы f(t) кажется более чем проблематичной. Модель же последовательности цуга импульсов использовалась в модели термофлуктуаций. К ряду математических моделей можно отнести и модель интегралов дробного порядка [33], физический смысл которой заключается в возникновении нужной частотной зависимости при пропускании белого шума через фильтр с передаточной функцией вида (jo) . Однако природа такого фильтра не ясна.
Детектирование влияния облучения у-квантами кремниевого биполярного транзистора с помощью вейвлет анализа
Хаотические колебания обусловлены диэлектрической релаксацией. При этом инжектированные носители заряда захватываются ловушками, что приводит к росту напряженности электрического поля. Этим усиливается ударная ионизация захваченных носителей заряда, что порождает большее число свободных носителей и приводит к уменьшению напряженности поля из-за ускорения диэлектрической релаксации.
Другая возможность появления хаоса, индуцированного генерационно-рекомбинационными процессами в полупроводниках была отмечена в связи с дискретностью каждого события генерации или рекомбинации. В этом случае записываются не дифференциальные уравнения, а разностные, когда состояние системы X в момент t; определяется состоянием tj-i. Получаемые уравнения аналогичны уравнениям хаотической динамики одномерных отображений - X,+i = т Xs (1-Xj), где хаос наступает в зависимости от коэффициента г. Отметим, запись разносных уравнений более точно для неравновесных систем, чем дифференциальных. Так как нет процессов с постоянным времени жизни т, описывающим релаксацию системы. 3. Модель энергетической релаксации. В структуре полупроводника существует перекрестное влияние и пространственная корреляция между двумя электрически разделенными частями. Нелинейность возникает вследствие потери энергии в результате ионизации. Каждая ячейка описывается набором уравнений баланса энергий [74]. Экспериментальные данные, приводимые в работе Шолля [74] показывают, что в случае хаоса спектральная плотность мощности самоорганизованных процессов имеет вид І/f. Но в данной работе рассматривались только низкотемпературные процессы ударной ионизации. Шумовые явления, процессы при комнатных температурах, а также локализация областей, в которых происходят самоорганизованные процессы не рассматривались.
Вопросы самоподобных процессов в полупроводниковых приборах, скачкообразно изменяющих его свойства в неравновесных условиях, рассматривались в работах Врачева А.С. [75]. Основная идея заключается в механическом разрушении, приводящем к І/f шуму. Как известно [71] процессы механических разрушений происходят иерархически от микроуровня к макроуровню.
Предполагается, что источники шумов типа І/f локализованы только в термодинамически неравновесных, подверженных старению областях. По экспериментальным данным было замечено, что образцы, подверженные деградации, являются источниками мощных І/f шумов. К термодинамически неустойчивым областям относится и р-п-переход, образованный градиентом концентрации легирующих примесей. Рассматривая деградацию полупроводникового прибора с точки зрения термодинамического равновесия [76, 77] получим, что с течением времени р-п-переход будет терять свои функциональные свойства из-за того, что будут накапливаться дефекты, компенсирующие энергетическую неравновесность между носителями заряда и решеткой, другими словами р-п-переход будет "расплываться", что приведет к появлению І/f шума где Nt = Na [1 - exp(-?/r)] - концентрация дефектов, образованных за время t; і = (qNo/J„p) ехр[(Еа - Uk)/kT\; N0 - концентрация основных атомов решетки; Jnp - плотность прямого тока через р-п-переход, Еа - энергия активации, Uk -контактная разность.
Это дает спектр шума вида І/f в широких пределах. Развитие деградационной модели получило в работах [78]. Основная идея заключается в том, что полупроводниковый прибор является термодинамически неравновесной структурой и идет временной процесс сброса накопленной энергии. Этот сброс носит иерархический характер и осуществляется самоподобными циклами с различным периодом, образующим фрактал (самоподобную структуру) [88]. Максимальный цикл определяется временем, когда прибор сохраняет свои функциональные свойства. При увеличении внешнего воздействия уменьшается период и порог перехода между циклами. При таком подходе можно получить очень малую нижнюю частоту І/f шума. Однако эта модель не описывает физической природы появления циклов в структуре полупроводника.
Общим элементом приведенных моделей является с одной стороны предположение существования мощных флуктуации, а с другой — предположение о наличие самоподобных самоорганизованных структур в системе. Однако эти модели не имеют связи с экспериментальными параметрами конкретных приборов.
Пример реализации возможности определения "шумящих" областей в полупроводниковых структурах
Таким образом, измерительная установка должна обладать достаточно широкой полосой пропускания, и содержать фильтры верхних и нижних частот. Значения граничных частот фильтров взаимосвязаны с временем дискретизации и длительностью временного ряда, т.е. с числом элементов ряда, которое должно быть не слишком малым (порядка 100 по оценочным данным). Перейдем непосредственно к возможности получения спектров плотности мощности по измеренному временному ряду отсчетов амплитуды шума [86].
Для получения СПМШ к временному ряду значений амплитуды шума применяют дискретное преобразование Фурье. При этом используется пара дискретно-временных рядов Фурье, являющихся частным случаем непрерывно-временного преобразования Фурье: интервал между отсчетами сигнала, N-количество отсчетов, s[ri\- дискретные отсчеты непрерывного сигнала s(t), X\f] -комплексное значение дискретно-временных рядов Фурье для/той частоты.
Из N значений дискретно-временных рядов Фурье можно вычислить спектральную плотность мощности измеряемого шумового сигала:
Для вычисления дискретно-временных рядов Фурье разработан метод быстрого преобразования Фурье. Основная идея этого преобразования -деление N-точечного дискретно-временного ряда Фурье на два более меньших ряда, каждый из которых можно вычислить отдельно, а затем линейно просуммировать с остальными. В общем случае вычисление N-точечного дискретно-временного ряда Фурье (на пример - 4096 точек) требует выполнение примерно Nlog2N операций сложения (49152) и Nlog2 (N/2) умножения (45056) комплексных чисел, что значительно меньше тех N2 операций (94208 и 16777216), которые необходимы для вычислений без быстрого преобразования Фурье. При этом видно, что число N должно выбираться из условий N=2in, где m = 1, 2, 3... , что является требованием к экспериментальной установке измерения шумов.
Необходимо отметить, что, оценивая СПМШ полупроводниковых приборов по одному временному ряду, обычно предполагают флуктуационные процессы эр годичными [89]. Это означает, что шум стационарен и спектральные характеристики шума не зависят от времени. В этом случае усреднение по ансамблю, необходимое при анализе случайных величин, заменяется усреднением по времени для одной выборочной реализации. Тогда выборочный спектр конечной последовательности данных запишется как спектральной плотности мощности.
Этот выборочный спектр имеет большую дисперсию. Поэтому применяются специальные методы для сглаживания полученных данных. Одним из наиболее эффективных является периодограмный метод Уэлча, в котором усреднение производится по множеству спектров, получаемых по сегментам исходных данных. При этом исходный ряд делится на М перекрывающихся сегментов по D отсчетов в каждом с перекрытием R отсчетов. Использование этого метода позволяет получить устойчивые сглаженные спектры плотности мощности шума по дискретному временному РЯДУ.
Кроме того, необходимо отметить, что исследование флуктуации полупроводниковых приборов требует достаточно широкого - в несколько декад - спектрального диапазона для выявления характерных зависимостей и наклонов. Перекрытие такого большого частотного диапазона увеличением числа элементов во временном ряде приведет к громоздким вычислениям и сложно интерпретируемым результатам. Поэтому целесообразно варьировать время дискретизации, например, изменяя его кратно 10. Тогда можно получить СПМШ на разных декадах, объединение которых перекроет достаточно широкий частотный диапазон.
Из приведенных данных можно сделать следующие выводы: 1. Для получения СПМШ полупроводниковых приборов может применяться дискретизация непрерывного шумового сигнала, что позволяет представить последний в виде временного ряда - последовательности отсчетов через время дискретизации At. При этом, верхняя частота спектрального интервала определяется временем дискретизации, а нижняя - длительностью временного ряда — произведением времени дискретизации на число элементов ряда. 2. Для получения сглаженного, статистически устойчивого спектра необходимо применять дополнительные математические методы. 3. Измерительная установка должна обеспечивать возможность изменять время дискретизации, учитывая, что время дискретизации должно быть много больше времени измерения одного значения. 4. Усилительный тракт установки должен быть широкополосным. Верхняя граничная частота полосы пропускания определяет минимальное значение времени дискретизации, а нижняя граничная частота - максимальную длительность временного ряда. Для исключения влияния гармоник в установке необходимы фильтры верхних и нижних частот. При условии меняющегося времени дискретизации фильтры должны быть перестраиваемыми. Мы определили возможности и требования фурье-анализа флуктуационных явлений. Теперь перейдем к рассмотрению принципов вейвлег-анализа. Математической основе этого метода посвящен ряд публикаций [79-85]. Имеется и отечественный обзор [63]. Приведем основные положения этого метода.
