Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Размерное квантование в полупроводнике 9
1.1. Низкоразмерные структуры 9
1.1.1. Основные приближения 9
1.1.2. Классификация 10
1.2. Двумеризация носителей заряда в плёнке 13
1.2.1. Постановка самосогласованной задачи 13
1.2.2. Расчёт уровней энергии носителей заряда 17
1.2.3. Позиционирование уровня Ферми 21
1.3. Выводы 23
Глава 2. Электронный транспорт в низкоразмерных структурах 24
2.1. Моделирование разветвлённых низкоразмерных структур 24
2.1.1. Специфика электронного транспорта 25
2.1.2. Методы расчёта матрицы рассеяния 28
2.2. Рассеяние электрона в квантовой сети 33
2.2.1. Соглашения и обозначения 33
2.2.2. Постановка задачи 36
2.2.3. S-матрица узла квантовой сети 40
2.2.4. S-матрица квантовой сети в терминах S-матриц её узлов 46
2.3. Квантовый электронный транспорт 52
2.3.1. Потоки вероятностей и S-матрица 52
2.3.2. Электрические токи 56
2.4. Выводы 60
Глава 3. Электронные наноустройства на основе низкоразмерных структур 62
3.1. Эффекты размерного квантования в наноэлектронике 62
3.1.1. Трёхполюсный баллистический узел 63
3.1.2. Трёхполюсный баллистический переключатель 68
3.1.3. Логические элементы 71
3.2. Двумерная квантовая сеть из Q-, I- и Y-узлов 74
3.2.1. Проект сети 74
3.2.2. Расчёт S-матриц узлов сети 80
3.3. Логический элемент NOT в двумерном электронном волноводе 84
3.3.1. Проект устройства 84
3.3.2. Оптимизация параметров 85
3.4. Двухузловой переключатель в двумерной полупроводниковой структуре 86
3.4.1. Проект устройства 87
3.4.2. Оптимизация параметров 89
3.5. Логический элемент XOR в двумерной полупроводниковой структуре 92
3.5.1. Проект устройства 93
3.5.2. Оптимизация параметров 96
3.6. Выводы 102
Заключение 104
Литература
- Двумеризация носителей заряда в плёнке
- Рассеяние электрона в квантовой сети
- Трёхполюсный баллистический переключатель
- Двухузловой переключатель в двумерной полупроводниковой структуре
Двумеризация носителей заряда в плёнке
В таблице 3 Lx , Ly , Lz – размеры структуры вдоль осей X , Y , Z соответственно; p – квазиимпульс; s =1,2 – спиновое квантовое число; n – квантовое число, отвечающее размерному квантованию. Размерность структуры – число направлений, в которых движение носителя заряда не ограничено. Размерность структуры равна размерности вектора квазиимпульса в мультииндексе одночастичного состояния M .
Применительно к системам в таблице 3 в литературе также используется термин «ква-зинизкоразмерная структура» [5]. Это актуально в случаях, когда математическая модель физической системы имеет размерность меньше трёх. Целесообразность такого приближения определяется спецификой конкретной задачи. Например, для квазиодномерной физической системы (квантовой проволоки) могут использоваться одно-, двух- и трёхмерные математические модели. В данной работе, в названиях структур приставка «квази-» опускается, а размерность модели конкретизируется в соответствующих разделах.
Каждую квантовую структуру в таблице 3 характеризует свой закон дисперсии и плотность одночастичных состояний. В качестве примера приведём данные характеристи 12 ки для изотропной электронной подсистемы с квадратичной зависимостью энергии от скобки с утверждением равны 1, если оно истинно, и равны 0, если оно ложно. Поскольку здесь не учитывается спин-орбитальное взаимодействие, и отсутствует магнитное поле, в законе дисперсии нет явной зависимости от спинового квантового числа. За счёт этого суммирование по нему при вычислении плотности состояний согласно определению (1) даст дополнительный множитель 2. Суммирование по квазиимпульсу заменяется интегрированием, так как он принимает непрерывный ряд значений.
Из таблицы 4 видно, что за счёт размерного квантования меняется закон дисперсии носителей заряда. Это, в свою очередь, ведёт к изменению плотности состояний и, следовательно, к изменению термодинамических характеристик структуры.
На сегодняшний день особо актуальны низкоразмерные структуры на основе двумерного газа носителей заряда. Это связано с их перспективностью для наноэлектроники на базе планарной технологии. Данные системы также интересны возможностью их описания в рамках двумерных математических моделей, что существенно упрощает расчёты. Двумеризация носителей заряда в планарных полупроводниковых структурах является самостоятельной задачей и требует отдельного рассмотрения. Поэтому в разделе 1.2 данный процесс будет рассмотрен на примере квантового самосогласованного расчёта области пространственного заряда полупроводниковой плёнки. 1.2. Двумеризация носителей заряда в плёнке
Современные технологии позволяют формировать полупроводники с практически идеальной поверхностью (однородной, без поверхностных состояний и дефектов). В совокупности с высокоточными измерениями электрофизических характеристик это даёт возможность детально исследовать явление размерного квантования в области пространственного заряда (ОПЗ). В связи с этим возрастают требования к точности сопровождающих эксперимент расчётов.
История расчетов ОПЗ полупроводников с учетом размерного квантования носителей заряда насчитывает более 40 лет [7-18]. Исторически первый метод модельных потенциалов [7, 11-13] прост в реализации, но имеет низкую точность. Поэтому он малопригоден для количественного анализа результатов современных экспериментов. Для этих целей предпочтителен подход, основанный на самосогласованном решении уравнений Шрёдин-гера и Пуассона [8-17]. Однако его применение в режиме реального времени, в частности, при автоматизированном измерении проводимости в зависимости от поверхностного потенциала, имеет ряд трудностей. Они связаны с низкой скоростью расчётов и с неустойчивостью схемы в широких диапазонах значений параметров задачи. Для решения этих проблем нужны специальные алгоритмы вычислений на основе оптимальных численных методов.
Рассмотрим однородно легированную полупроводниковую плёнку, предполагая отсутствие поверхностных состояний, полную ионизацию примесей и омический контакт с металлом на тыльной стороне (рис. 1). Приложенный к её лицевой стороне электростатический потенциал Vs формирует в ней ОПЗ с поверхностной плотностью заряда Q =\ dzp(z) (4) p(z) = e0nd - e0na + e0n+ (z) - e0n (z) (5) где p - объёмная плотность заряда; e0 - элементарный заряд; nd, па - концентрации ионизованных донорной и акцепторной примесей соответственно; гг - концентрации носителей заряда, здесь и всюду ниже в разделе 1.2 верхний индекс «-» отвечает электронам, «+» - дыркам. a
Схематичное изображение полупроводниковой плёнки. a – плёнка в структуре с верхним затвором: 1 – металл, 2 – диэлектрик, 3 – полупроводник. b – расположение системы координат в плёнке, L – толщина плёнки.
Используя классическое приближение для описания движения носителей заряда в плоскости плёнки, выражения для их концентраций запишем в виде [10] где /w - эффективные массы носителей заряда в плоскости плёнки, к0 - постоянная Больцмана, Т - температура кристалла, h - постоянная Планка, F0 - интеграл Ферми-Дирака порядка 0 (см. приложение A), EF - уровень Ферми, Ес и Ev - энергии краёв зоны проводимости и валентной зоны соответственно. Волновые функции носителей заряда р]_ и их уровни энергии j можно найти из уравнения Шрёдингера:
Рассеяние электрона в квантовой сети
Разграничение понятий матрицы, связывающей волновые амплитуды, и матрицы, связывающей потоковые амплитуды, позволяет избежать двусмысленности в интерпретации аналитических рассуждений и результатов расчёта. С учётом (187) из (198) получим Таким образом, унитарным является блок расширенной потоковой матрицы рассеяния, отвечающий за связь между открытыми каналами - потоковая матрица рассеяния С++ . Согласно свойству (200), квадраты модулей её элементов имеют вероятностную интерпретацию.
В подразделе 2.3.1 была установлена связь S-матрицы квантовой сети с вероятностями рассеяния носителей заряда. От вероятностей рассеяния зависят электрические токи через сеть в формализме Ландауэра-Бюттикера. Адаптируем его к используемой системе обозначений. Это является заключительным шагом в формулировке развиваемой схемы расчёта квантового электронного транспорта в низкоразмерных полупроводниковых структурах.
Токи в рукавах-каналах
Проведём последовательный вывод формулы для токов в терминах средних значений по ансамблю носителей заряда во внешних рукавах сети. Пусть они плавно соединяются с резервуарами электронов. Вне участков соединения внешние рукава трансляционно-инвариантны. Поскольку конструктивно рукав - это квантовая проволока (табл. 3), закон дисперсии носителей заряда в системе отсчёта энергии подраздела 2.2.2 примет вид (табл. 4): Ek=Ek = Ек + -- - (201) Ек1п = h21 (2mL2) Лкп (202) где Е\п - размерная энергия рукава-канала кп, рх - проекция квазиимпульса вдоль рукава, т - эффективная масса носителя заряда. Переходя в плотности состояний (1) от суммирования по рх к интегрированию, получим где gkn - плотность состояний в рукаве-канале кп, Lkx - длина k-го рукава. На основе gk можно найти среднее значение физической величины Q в рукаве-канале кп: где Nn - число частиц в рукаве-канале п, / - функция распределения в k-м рукаве, Ер уровень Ферми в k-м рукаве (резервуаре). Как видно из (207), функции распределения в рукавах отличаются расположением уровней Ферми. Уровень Ферми Ер записывается в виде EkF=EF-eUk (208) где EF - уровень Ферми квантовой сети при отсутствии напряжений на резервуарах (рассчитывается из уравнения электронейтральности); е - заряд носителя заряда; Uk - напряжение, приложенное к k-му резервуару.
Разность напряжений на резервуарах приводит к появлению токов через квантовую сеть. Поскольку внешние рукава сети имеют большую длину, пренебрежём эффектами подбарьерного туннелирования в них. Это означает учёт только открытых каналов. Для тока в k-м рукаве имеем: где У" - ток, падающий на сеть из k-го рукава, J k - ток, рассеянный сетью в k-й рукав. Согласно (180), токи в каналах аддитивны: т к к
Выражение для токов в рукаве получим на основе (213)—(217) и упростим с помощью свойства унитарности (200) (см. приложение F): где {Рк1пУ к - матричные вероятности прохождения в k-й рукав (прозрачности). Погрешность расчёта тока по формуле (218) можно оценить по величине полного тока Теоретически он равен 0 в силу закона сохранения заряда. Выражение (218) также можно записать в псевдолинейном по напряжению виде: водимости, \Ртп) - средняя вероятность рассеяния из рукава-канала п в рукав-канал IIа - напряжение между резервуарами киї (напряжение смещения). Выражение (220) известно в литературе, как формула Ландауэра-Бюттикера при измерении проводимости по двухточечной схеме. Формула (220) приближается к линейной при малых напряжениях (см. приложение F).
Наконец, выражение для токов (218) запишем также в безразмерном виде. Это удобно при вычислениях совместно с предложенной в разделе 2.2 схемой расчёта S-матрицы квантовой сети. Из (218) и (212) с учётом (78) получим
Таким образом, в данном подразделе к используемой в работе системе обозначений был адаптирован формализм Ландауэра-Бюттикера. В итоге было записано безразмерное выражение для электрических токов через квантовую сеть. Это стало заключительным шагом в формулировке объединённой схемы расчёта квантового электронного транспорта в низкоразмерных полупроводниковых структурах.
В этой главе была предложена объединённая схема расчёта электронного транспорта в низкоразмерных полупроводниковых структурах в модели квантовой сети. Схема построена на оригинальной системе обозначений, упрощающей численную реализацию. В зависимости от возможностей вычислительного пакета для расчёта расширенной матрицы рассеяния узла сети рекомендованы два широко известных метода. Граничные условия рассеяния. Удобны при наличии возможности численно поставить интегро-дифференциальные граничные условия, а также для аналитических расчётов. В данной работе для них была предложена лаконичная наглядная форма записи. ND-map. Достаточна возможность постановки граничных условий Неймана.
Для расчёта S-матрицы всей сети в терминах S-матриц образующих её узлов в работе была предложена сетевая формула. Она представляет собой развитие и обобщение известной в литературе операции объединения S-матриц соседних узлов. Сетевая формула учитывает в явном виде длины рукавов, а также является универсальным алгоритмом расчёта, пригодным для сетей произвольной структуры.
К используемой в работе схеме расчёта был адаптирован формализм Ландауэра-Бюттикера. Был продемонстрирован простой, интуитивно понятный способ получения формулы для электрических токов на основе среднего по статистическому ансамблю носителей заряда. В совокупности с граничными условиями рассеяния это позволит развивать предложенный подход для квантового самосогласованного расчёта электронного транспорта в низкоразмерных полупроводниковых структурах. Представленная в этой главе объединённая схема расчёта была реализована в виде вычислительной процедуры на языке C++. За счёт специфических особенностей языка (указатели, наследование, виртуальные функции и пр.) создан гибкий и универсальный программный код (приложение G). Он позволяет рассчитывать транспортные свойства квантовых сетей, включая также взаимодействие с внешними вычислительными пакетами посредством файлов S-матриц типовых узлов сети.
Трёхполюсный баллистический переключатель
Для расчёта S-матриц Q- и Y-узлов можно использовать один из методов, предложенных в подразделе 2.2.3. Преимуществом метода ГУР (117), (116) является его универсальность и наглядность. Однако на данный момент не все вычислительные пакеты поддерживают постановку нелокальных граничных условий. Более простыми для реализации прямого численного расчёта на основе триангуляции являются методы DN- и ND-map. S-матрицы Q- и Y-узла найдём методом ND-map (127), (129) в вычислительном пакте FreeFem++. Расчёты показали, что в сравнении с DN-map для потоковой матрицы рассеяния С++ , рассчитанной с его помощью, лучше выполняется условие унитарности (200). Поэтому метод ND-map является предпочтительным. S-матрица I-узла S-матрицу I-узла найдём аналитически с помощью ГУР. Для краткости в этом подразделе редуцируем его идентификатор. Конструктивно он представляет собой участок двумерного волновода, к которому приложено электрическое поле (рис. 18). Рассмотрим I-узел с потенциалом вида напряжённость поперечного электрического поля. Поперечный линейный потенциал (240) - грубое приближение к реальному. Однако он отражает определяющий признак управляющего элемента: наличие в нём неоднородности в виде изменяемого электрического поля. Поэтому потенциал (240) может служить для выявления характерных особенностей транспортных свойств сети, которые будут присутствовать в эксперименте. Кроме того, в этом случае можно организовать расчёт S-матрицы I-узла, превосходящий по скорости на 2-3 порядка общий алгоритм, предложенный в приложении В.
Найдём S-матрицу I-узла на основе формализма G0 (121), (118). С учётом (78), (240) и (238) при L = В будем использовать следующие безразмерные величины
Формулы (257) и (121) позволяют с высокой скоростью рассчитать S-матрицу I-узла с поперечным потенциалом (242). 3.3. Логический элемент NOT в двумерном электронном волноводе
Управляющими элементами QIY-сети, предложенной в разделе 3.2, являются 1-узлы. С их помощью посредством изменения напряжений на латеральных затворах модифицируются рассеивающие свойства сети и, следовательно, электрические токи через неё. В данном разделе выясним, насколько эффективно 1-узел может влиять на рассеяние электронов. Для этого решим задачу инверсии потоков в каналах двумерного электронного волновода посредством І-узла. В этом разделе также всюду опустим его идентификатор.
С точки зрения компьютерной техники, инверсия электронных потоков в двух каналах эквивалентна логической операции NOT. Двухуровневая система в этом случае формируется за счёт эффектов размерного квантования в двумерном волноводе. Функциональность элемента достигается за счёт управления электронным транспортом через него внешним электрическим полем в 1-узле (рис Рассмотрим диапазон энергий электрона, соответствующий двум открытым каналам: є є (Я , Лз=), О = {\,2,2,2} . Пусть электрон падает на узел только из 1-го канала 1-го рукава: cm = I\mk . Согласно (170) и (197), поток во 2-м канале 2-го рукава запишется в виде где p – вероятность. 18). того, что электрон пройдёт сквозь узел, изменив канал. Ассоциируем поток в 1-м канале с логическим нулём («0»), а поток во 2-м канале – с логической едини цей («1»). В силу симметрии задачи C Схема работы логического элемента NOT в двумерном электронном волноводе: преобразование «0» в «1» и «1» в «0». На рисунке 19 сплошные линии - энергии каналов Л,= и Я , стрелки на них указывают направление электронного потока в каналах. Штриховые линии и стрелки на них иллюстрируют
принцип работы устройства: смена электроном канала с вероятностью p при упругом рассеянии в узле.
Наиболее эффективно устройство будет работать в случае, когда значение p будет близким к 1. Для этого оптимизируем параметры задачи (242) є, е±, a с помощью генетического алгоритма (приложение G). В качестве примера рассмотрим следующие диапазоны: єє(А ,А ), є± є [-700,-100], a є [0.1,1.5]. S-матрицу I-узла, отвечающую за эффективность работы устройства согласно (258) и (198) вычислим посредством (121) и (257). В результате расчётов был найден набор параметров, отвечающих локальному максимуму функции p . Зафиксируем значения е± и a, построим график вероятности p как
Как видно из таблицы 11, высокая ( 90%) эффективность работы логического элемента NOT достижима при ширине волновода, существенно превосходящей постоянную решётки (табл. 9). Это говорит о применимости используемой при расчётах зонной теории твёрдого тела. Напряжённость электрического поля укладывается в принятый диапазон значений max = 10s В/м (см. подраздел 3.2.1) только при АЕ = к0Т=. Тем не менее, можно отметить, что с ростом j и уменьшением В работоспособность устройства повышается. Это связано с тем, что его функциональность обеспечивают эффекты размерного квантования, которым способствуют как большое электрическое поле, так и малая ширина волновода. В целом высокая эффективность логического элемента NOT говорит о возможности гибкого управления рассеянием электронов посредством 1-узла.
Рассмотренная в разделе 3.3 модель логического элемента NOT является в большей степени теоретической, чем практической. В ней было показано применение эффектов размерного квантования для простейшей логической операции, но не рассматривался вопрос об измерении потоков в каналах. Для этих целей можно использовать элемент квантовой сети, разделяющий потоки в каналах по отдельным рукавам. Однако при этом оба элемента должны иметь близкий рабочий диапазон энергий, что усложняет численное моделирование и практическую реализацию. С практической точки зрения, для наноэлектроники больший интерес представляет переключатель – устройство, направляющее ток из входного рукава в один из выходных. В этом разделе будет предложена модель переключателя на основе QIY-сети. Используемый в расчётах формализм Ландауэра–Бюттикера [25, 26] позволит учесть статистику электронов в полупроводнике, что особенно важно для моделей наноустройств, работающих при комнатной температуре.
В последнее время в литературе широко обсуждается переключатели, функционирующие за счёт квантовых эффектов в двумерном электронном газе [47–54]. Для этого устройства характерно наличие в области ветвления (в Y-узле) внешнего электрического поля, управляющего электронным транспортом. Согласно проекту QIY-сети (раздел 3.2), в Y-узлах электрическое поле отсутствует. Тем не менее, на её основе можно смоделировать устройство с функциональностью переключателя (рис. 21a). Его особенностью является то, что управляющее электрическое поле предшествует области ветвления (рис. 21b).
Двухузловой переключатель в двумерной полупроводниковой структуре
Таблица истинности логического элемента XOR (табл. 20) демонстрирует принцип его работы. Значения входных битов определяются напряжённостями электрического поля в
кодирующих узлах { и _[ (рис. 24). Напряжённость, равная "{ , соответствует логическому «0», напряжённость, равная Sf - логической «1». С учётом (277) и (241) Sf = 0 В/м, а _[ для каждого полупроводника указана в таблице 18. Значение выходного
бита определяется проводимостью устройства при заданных {и и Ef . Сопоставив таблицы истинности логического элемента (табл. 20) и логической операции XOR (табл. 16), можно видеть, что для всех материалов проводимость 10 5 См соответствует логическому «0», а проводимость 10"6 См - логической «1». Ячейки, отвечающие логической «1», всюду для наглядности затенены.
С точки зрения эксперимента, проведённая в этом подразделе оптимизация напряжённостй электрического поля логического элемента XOR носит оценочный характер. Это означает, что расчёты указывают только их порядок, при котором достигается функциональность устройства. Уточнение рабочих значений напряжённостей возможно с дальнейшим совершенствованием модели. Однако их точный расчёт затруднён из-за проблемы применимости приближений, которые неизбежно будут использоваться. Расчёт же из пер 101 вых принципов квантовой механики является сложной вычислительной задачей. Поэтому поиск рабочих напряжённостей электрического поля устройства целесообразней провести под управлением ЭВМ в конкретном эксперименте. Можно полагать, что время отклика данной квантовой системы будет существенно меньше, чем её эмуляции на суперкомпьютере, что ускорит процедуру оптимизации.
Предложенная реализация логического элемента XOR также допускает аналогию с искусственными нейронными сетями [61]. Они широко применяются для решения нефор-мализуемых задач: распознавание образов, кластеризации и т.д. Обучение нейросети происходит путём настройки её свободных параметров для достижения целевого отклика (выходных значений) на основе внешних стимулов (входных значений) [61, с. 89]. В случае логического элемента XOR свободные параметры - є} , є} , є} , є , внешние стимулы - напряжённости еи и eD , отклик устройства - ток через него J3. Соответствие отклика целевому определяется согласно (276) и (275). Поэтому, с точки зрения теории искусственных нейронных сетей, оптимизация параметров устройства наиболее близка к парадигме обучения с учителем [61, с. 107]: обучение на основе знаний об окружающей среде, представленных в виде пар вход-выход. Проведённый численный эксперимент позволил получить нужный отклик системы на внешние стимулы. В результате на примере логического элемента XOR было показано, что низкоразмерные полупроводниковые структуры способны к обучению.
В данном разделе была обоснована модель логического элемента XOR, в котором логическая операция выполняется напрямую за счёт квантовой интерференции. Принцип его работы состоит в задании значений входных битов напряжённостями электрического поля в двух I-узлах и определении значения выходного бита по выходному току.
Проведённая оптимизация напряжённостей электрического поля и уровня Ферми устройства из InP, GaAs и GaSb подтвердила его высокую эффективность. Вольт-амперные характеристики логического элемента XOR оказались близкими к линейным. Это позволило записать для него наглядную таблицу истинности в терминах приближённой проводимости при малых напряжениях смещения.
В силу приближённого характера использованной при вычислениях модели рассчитанные значения параметров устройства являются оценками. Их точные значения целесообразно получить в эксперименте под управлением ЭВМ. Поэтому основной результат данного раздела - это возможная конструкция логического элемента XOR и подтверждение его функциональности посредством численного моделирования.
В этой главе была продемонстрирована эффективность развитой в главе 2 схемы расчёта электрических токов через низкоразмерную структуру. Для этого была предложена двумерная квантовая сеть из гладких Q-, I- и Y-узлов (QIY-сеть) как основа для моделирования полупроводниковых наноэлектронных устройств. Данная структура лучше отвечает применимости зонной теории твёрдого тела, а также позволяет избежать роста вычислительных затрат при расчётах. На базе неё с учётом показанного в главе 1 принципа позиционирования уровня Ферми в двумерном электронном газе были спроектированы следующие наноустройства.
Логический элемент NOT. На базе двумерного электронного волновода было продемонстрировано применение эффектов размерного квантования для простейшей логической операции. Этим было установлено, что I-узел обеспечивает эффективное управление рассеянием электронов посредством внешнего электрического поля.
Двухузловой переключатель. На базе сети из I- и Y-узла было смоделировано управление токами в рукавах с участием эффектов размерного квантования. Было установлено, что этот эффект может быть существенным при наличии электрического поля в малой области перед ветвлением.
Логический элемент XOR. На базе сети из 4-х Q-, 6-и I- и 6-и Y-узлов была предложена конструкция устройства, в котором логическая операция XOR выполняется напрямую за счёт квантовой интерференции. Его функциональность достигается с помощью электрического поля в I-узлах и положения уровня Ферми в нём. На основе аналогии с искусственными нейронными сетями на примере данного устройства было показано, что низкоразмерные полупроводниковые структуры способны к обучению. При оптимизации параметров двухузлового переключателя и логического элемента
XOR рассматривались также зависимости вероятностей прохождения от энергии. Было обнаружено, что для рассмотренных материалов (InP, GaAs и GaSb) при T = 300 K оптимальное положение уровня Ферми нельзя найти без учёта статистики электронов. Он существенно смещён относительно целевых пиков вероятностей. Приближённое совпадение наблюдается только при T = 77 K и ниже.
Для всех рассмотренных устройств проведено сравнение коэффициентов рассеяния, полученных по сетевой формуле и методом ND-map (127), (129) на основе триангуляции всей сети. С учётом вычислительной погрешности они совпали. Проверка закона сохранения заряда показала приемлемый уровень неизбежной ошибки вычислений.
Для расчёта электрических токов через QIY-сеть разработанный в качестве программного сопровождения к главе 2 код на C++ был дополнен следующим образом. S-матрицы как функции энергии вычислялись один раз для типовых Q- и Y-узлов, так как их параметры фиксированы. Расчёт соответствующих загружаемых в основной код файлов проводился методом конечных элементов для ND-map (127), (129) в пакете FreeFem++. Для этого была создана процедура вычисления S-матрицы произвольного двумерного узла, а также процедура задания из программного кода гладких границ из любых дуг и отрезков. S-матрицы управляющих I-узлов рассчитывались по формулам (121) и (257) в подпрограмме на C++. Такой подход обеспечил высокую скорость оптимизации параметров сети. Оптимизация происходила посредством генетического алгоритма также в подпрограмме на C++. Таким образом, разработанный на C++ программный код (приложение G) позволил легко подключить все необходимые вычислительные модули и провести моделирование низкоразмерных полупроводниковых устройств.