Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Применение метода фокусированного ионного пучка в современных технологиях 10
1.1. Метод фокусированного ионного пучка 10
1.2. Взаимодействие ионного пучка с образцом 15
1.2.1. Процессы ионной имплантации, аморфизации, распыления и переосаждения 15
1.2.2. Моделирование взаимодействия ионного пучка с образцом методом Монте-Карло в приближении бинарных столкновений 21
1.2.3. Функциональные зависимости параметров, используемые при моделировании 24
1.2.4. Осаждение и травление материала при подаче газов в рабочую камеру 26
1.3. Формирование рельефа поверхности и наноструктур с помощью ФИП 28
1.4. Компьютерное моделирование процесса формирования наноструктур методом ФИП 36
1.4.1. Методы моделирования эволюции топографии поверхности при проведении технологических процессов 37
1.4.2. Методы предсказания формы получаемой при воздействии ФИП поверхности 40
1.5. Применение метода ФИП в сочетании с просвечивающей электронной микроскопией для исследования материалов 42
1.6. Выводы по главе 45
Глава 2. Осаждение и вторичное распыление материала, осаждаемого при формировании структур методом ФИП 47
2.1. Переосаждение материала при формировании структур фокусированным ионным пучком 47
2.1.1. Формирование тестовых структур 48
2.1.2. Исследование тестовых структур методами просвечивающей электронной микроскопии 52
2.2. Аналитическое описание процесса распыления вторично осажденного материала 57
2.3. Расчеты коэффициентов распыления и концентраций методом Монте-Карло 60
2.4. Выводы по главе 68
Глава 3. Моделирование формирования прямоугольных и осесимметричных углублений с низким аспектным отношением при распылении материала фокусированным ионным пучком 70
3.1. Моделирование формирования прямоугольных углублений 70
3.1.1. Модель процесса распыления и вычисление дозы ионов при сканировании. 71
3.1.2. Форма распыляемой поверхности в приближении постоянного коэффициента распыления 78
3.1.3. Границы применимости приближения постоянного коэффициента распыления 81
3.1.4. Влияние шага пучка на глубину и перепад глубины поверхности дна прямоугольных углублений 83
3.1.5. Экспериментальная проверка результатов моделирования, определение формы пучка 85
3.2. Моделирование формирования структур с осевой симметрией 91
3.2.1. Модель процесса распыления и вычисление дозы ионов при сканировании 92
3.2.2. Форма распыляемой поверхности в приближении постоянного коэффициента распыления 99
3.2.3. Экспериментальная проверка результатов моделирования осесимметричных углублений 104
3.3. Выводы по главе 108
Глава 4. Моделирование процесса распыления материала фокусированным ионным пучком 110
4.1. Модель процесса распыления 110
4.1.1 Моделирование эволюции поверхности методом функций уровня 113
4.1.2 Моделирование формирования тестовых структур 120
4.2. Экспериментальная проверка результатов моделирования 126
4.3. Выводы по главе 128
Заключение 130
Список литературы 132
- Процессы ионной имплантации, аморфизации, распыления и переосаждения
- Исследование тестовых структур методами просвечивающей электронной микроскопии
- Модель процесса распыления и вычисление дозы ионов при сканировании
- Моделирование формирования тестовых структур
Введение к работе
Актуальность работы.
Широкое применение микро- и наноструктур во многих областях
науки и технических приложениях требует разработки новых методов
обработки материалов, удовлетворяющих современным
технологическим требованиям к размерам и прецизионности
формирования объектов. Метод фокусированного ионного пучка (ФИП)
является одним из важных примеров использования заряженных частиц,
как правило, ионов галлия для наноструктурирования поверхностей. С
помощью ФИП возможно воспроизводимое формирование трехмерных
структур с размерами от единиц нанометров до десятков и даже сотен
микрометров с заданной морфологией поверхности, что является одной
из главных задач современных нанотехнологий. Наиболее часто
распыляемым материалом является технологически важный
монокристаллический кремний.
Сложность изготовления структур методом ФИП может
существенно отличаться в зависимости от их аспектного отношения. В
случае углублений с низким аспектным отношением их глубину можно
считать пропорциональной локальной дозе ионов, которая с
применением компьютерного суммирования находится исходя из
параметров технологического процесса и формы ионного пучка. При
формировании рельефа с высоким аспектным отношением необходимо
дополнительно учитывать угловую зависимость коэффициента
распыления и вторичное осаждение на обрабатываемую поверхность распыленных атомов. Из-за сложности создания таких структур часто используется трудоемкий метод проб и ошибок, и поэтому для оптимизации процесса их получения необходимо развитие методов компьютерного моделирования распыления материала фокусированным ионным пучком.
Так как процесс обработки материала методом ФИП основан на
облучении образца ускоренными ионами, то для предсказания формы
получаемой поверхности важно иметь детальную модель
взаимодействия ионов галлия с монокристаллическим кремнием. В том числе представляют интерес процессы вторичного осаждения и повторного распыления атомов, в особенности их экспериментальное изучение. При этом важным методом для получения информации о структуре и составе измененного под действием облучения слоя является просвечивающая электронная микроскопия. Помимо важных с фундаментальной точки зрения данных о распылении обогащенного
галлием кремния, такие исследования позволят повысить точность предсказания формы создаваемых структур, а также предоставят экспериментальные данные для сравнения с теоретическими расчетами методом Монте-Карло.
Таким образом, развитие методов предсказания и количественного
описания процесса формирования микро- и наноструктур на основе
углубления представлений о взаимодействии ионного пучка с
материалом образца будет способствовать эффективному
использованию ФИП в различных приложениях современных
нанотехнологий.
Цель диссертационной работы – развитие теоретических подходов и методов моделирования для количественного описания формирования трехмерных микро- и наноразмерных структур при распылении материала фокусированным ионным пучком, сравнение расчетных результатов с полученными экспериментальными данными.
Задачи диссертационной работы:
1. Исследовать закономерности вторичного распыления материала,
осажденного на поверхность кремниевой подложки при воздействии на
нее фокусированным ионным пучком.
-
Для выявления различий в распылении монокристаллического кремния и переосажденного материала выполнить моделирование процесса взаимодействия ионов галлия с образцом методом Монте-Карло в динамическом режиме.
-
Разработать теоретический подход и получить выражения для нахождения доставленной в образец дозы ионов и предсказания формы поверхности при формировании прямоугольных и осесимметричных углублений с низким аспектным отношением.
4. Развить метод моделирования и разработать комплекс программ
для вычисления эволюции поверхности образца под воздействием
фокусированного ионного пучка, в котором реалистично описываются
процессы взаимодействия ионов с образцом.
5. Для сопоставления результатов расчета с экспериментом
отработать методы формирования структур с различными
геометрическими характеристиками с помощью фокусированного
ионного пучка, экспериментально определить параметры, описывающие
распределение плотности тока ионного пучка.
Научная новизна работы заключается в следующем:
1. С использованием предложенных и изготовленных кремниевых микроструктур разработан метод определения скорости распыления
переосажденного материала и показано, что она примерно в 1.3 раза
выше, чем у монокристаллического кремния. Установлено, что
распределение атомов галлия в приповерхностной области
переосажденного материала и кремниевой подложки является
одинаковым после их распыления фокусированным ионным пучком.
2. Предложена модель расчета поверхностной энергии связи
атомов кремния, учитывающая образование преципитатов галлия при
воздействии фокусированного ионного пучка и адекватно описывающая
процесс распыления материала при моделировании методом Монте-
Карло. Она позволяет получить значения коэффициентов распыления
переосажденного и монокристаллического материалов, хорошо
согласующиеся с экспериментальными данными.
3. На основе применения преобразования Фурье развит
теоретический подход для количественного аналитического описания
формы поверхности прямоугольных и осесимметричных углублений,
формирующихся при распылении материала фокусированным ионным
пучком, найдены выражения для средней глубины и перепада глубины
поверхности дна углублений, установлены границы применимости
предложенного подхода.
4. Показано, что моделирование методом функций уровня с учетом
увеличения скорости распыления переосажденного материала дает
возможность адекватно описывать форму структур с высоким
аспектным отношением, получаемых при воздействии фокусированного
ионного пучка, и позволяет достичь количественного соответствия
между результатами расчета и экспериментом.
Теоретическая и практическая значимость результатов работы:
-
Предложенная в работе модель расчета поверхностной энергии связи атомов кремния и галлия является важной с точки зрения развития подходов для моделирования процессов взаимодействия пучка с образцом методами Монте-Карло.
-
Найденные выражения для формы поверхности прямоугольных и осесимметричных углублений позволяют предсказывать геометрические характеристики микро- и наноструктур, изготавливаемых методом фокусированного ионного пучка.
-
Разработанный программный пакет может использоваться для количественного моделирования процесса распыления методом ФИП и позволяет существенно повысить точность изготовления наноразмерных структур. Применение высокоэффективного метода
функций уровня способствует дальнейшему развитию методов моделирования процессов ионного наноструктурирования.
4. Экспериментально установленные закономерности распыления
переосажденного кремния при воздействии фокусированным пучком
ионов галлия позволяют повысить точность формирования
наноструктур методом ФИП. Предложенный подход для изготовления тестовых структур и измерения скорости распыления переосажденного материала может быть использован для различных комбинаций сорта ионов пучка и материала подложки.
Методы исследования:
Создание тестовых структур осуществлялось методом
фокусированного ионного пучка на микроскопе Helios Nanolab 650 с
электронной и ионной колоннами. Для исследования сформированных
тестовых структур применялись методы растровой (РЭМ) и
просвечивающей растровой (ПРЭМ) электронной микроскопии.
Приготовление образцов осуществлялось методом фокусированного
ионного пучка. Для компьютерного моделирования процесса
распыления материала фокусированным ионным пучком использовался известный метод функций уровня. Для проверки адекватности моделирования проводилось сравнение с результатами расчетов, выполненных другими методами.
Основные положения, выносимые на защиту:
1. Скорость распыления материала, переосажденного на
поверхность кремниевой подложки при воздействии на нее
фокусированным пучком ионов галлия, примерно в 1.3 раза выше, чем у
монокристаллического кремния.
2. Предложенная модель расчета поверхностной энергии связи
атомов кремния, учитывающая образование преципитатов галлия при
воздействии на него фокусированного ионного пучка, позволяет
адекватно моделировать распыление переосажденного и
монокристаллического материалов.
3. Форма поверхности прямоугольных и осесимметричных
углублений с низким аспектным отношением, формируемых
фокусированным ионным пучком, адекватно описывается
выражениями, полученными на основе аналитического вычисления
дозы ионов с применением преобразования Фурье.
4. Моделирование рельефа поверхности с применением метода
функций уровня, учитывающее увеличение скорости распыления
переосажденного материала, позволяет корректно описывать форму
углублений с высоким аспектным отношением, получаемых с помощью фокусированного ионного пучка.
Степень достоверности и апробация результатов работы.
Для формирования и исследования тестовых структур
использовались хорошо известные методы фокусированного ионного
пучка, растровой и просвечивающей электронной микроскопии.
Компьютерное моделирование процесса распыления материала
фокусированным ионным пучком выполнялось методом функций
уровня, который широко используется для описания эволюции
поверхности при проведении технологических процессов. Результаты
моделирования микро- и наноструктур сравнивались с
экспериментальными данными и в предельных случаях сопоставлялись с результатами аналитических вычислений.
Основные результаты диссертационной работы представлены
докладами на следующих конференциях: Микроэлектроника и
информатика – 2013-2016, 2018 (Москва, 2013-2016, 2018 г.), XVIII, XIX
Российский симпозиум по растровой электронной микроскопии и
аналитическим методам исследования твердых тел. (Черноголовка,
2013, 2015 г.), XXVI Российская конференция по электронной
микроскопии. (Москва, 2016 г.), Международная конференция
«Взаимодействие ионов с поверхностью» (ВИП-2017). (Москва, 2017
г.), 2-й Международный форум «Техноюнити – Электронно-лучевые
технологии для микроэлектроники». (Москва, 2017), XXVII Российская
конференция «Современные методы электронной и зондовой
микроскопии в исследованиях органических, неорганических
наноструктур и нано-биоматериалов». (Черноголовка, 2018).
По материалам диссертации опубликовано 17 работ, включая 5 статей в рецензируемых журналах, рекомендованных ВАК, 1 главу в коллективной монографии и 11 тезисов на различных конференциях и научных семинарах.
Структура и объем диссертационной работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы из 184 наименований. Общий объем диссертации – 148 страниц, в том числе 55 рисунков и 4 таблицы.
Процессы ионной имплантации, аморфизации, распыления и переосаждения
Ключевым процессом, на котором основаны технологические применения ФИП, является распыление. Однако, прежде чем подробно рассматривать распыление, остановимся на ряде сопутствующих процессов, в частности, на ионной имплантации и связанной с ней аморфизации материала.
1. Ионная имплантация и аморфизация. Ионная имплантация является одним из основных технологических процессов современной электроники, где она главным образом применяется для легирования полупроводников с целью контролируемого изменения их электрических свойств [37]. При распылении материала методом ФИП происходит также внедрение ускоренных ионов в образец. Так как для модификации рельефа поверхности, как правило, требуются значительные времена воздействия, метод ФИП является типичным примером ионной имплантации с высокой дозой.
В процессе ионной имплантации высокоэнергетичный ион индуцирует каскад столкновений атомов подложки. При этом его энергия передается ядрам и электронам атомов образца, соответствующие потери энергии называются упругими и неупругими. Потери в ядерных процессах приводят к разупорядочению решетки и генерации фононов, а в электронных процессах – к возбуждению внутренних электронных оболочек вплоть до ионизации атомов.
Для количественного описания торможения ионов вводят величину потерь энергии на единицу длины где – потери энергии в упругих процессах, – потери энергии в неупругих процессах. В диапазоне энергий падающих ионов 0.5-100 кэВ, интересном для распыления, доминируют ядерные потери энергии.
Теоретические основы описания упругих и неупругих потерь энергии хорошо изучены и могут быть использованы, например, для предсказания длины пробега иона в мишени где – энергия ионов пучка. Заметим, что в ионной имплантации больший интерес представляет не сама величина , а значения ее проекции на направление нормали к поверхности образца.
Помимо глубины проникновения ионов, важной является величина плотности энергии, занесенной в образец в ядерных столкновениях . Энергия считается занесенной в данную точку, если передача энергии при столкновении с расположенным в ней атомом образца не превысила граничного значения, необходимого для его выбивания из занимаемого узла кристаллической решетки. Также энергия заносится в точку при остановке движущегося атома в ее окрестности [36]. Плотность занесенной в образец энергии может быть описана гауссовой функцией [38], поверхностями постоянного уровня которой являются эллипсоиды (рис. 1.3б): где и – стандартные отклонения распределения потерь энергии вдоль направления падения иона и перпендикулярного ему направления соответственно, – полная величина ядерных потерь энергии.
Схематически данное распределение показано на рис. 1.3б. В особенности важна величина , которая непосредственно пропорциональна коэффициенту распыления.
По мере накопления в образце точечных дефектов при ионной имплантации упорядоченная кристаллическая структура образца переходит в аморфную фазу, в которой отсутствует дальний порядок [39]. Данный процесс называется аморфизацией и активно изучается в связи с его важностью в технологии полупроводниковых приборов. Особый интерес представляет величина глубины залегания границы между кристаллическим и аморфным материалом и ее теоретическое предсказание. Для ее экспериментального нахождения обычно используют методы просвечивающей электронной микроскопии [39] и спектроскопии обратного резерфордовского рассения [39]. Изображения области, аморфизованной ионным пучком ионов галлия различных энергий, полученные в просвечивающем электронном микроскопе, показаны на рис. 1.4 [40], из которого следует, что ширина аморфизованного слоя монотонно возрастает с ростом энергии ионов. Рис. 1.4. ПЭМ-изображения аморфизованного слоя при энергиях 30 (а), 5 (б) и 2 (в) кэВ и скользящем (88) угле падения ионов.
Для теоретического предсказания положения границы аморфизации разработаны различные подходы. В первом из них рассчитывается пространственное распределение упругих потерь энергии в образце . При превышении этой величиной критического значения в определенной пространственной области образец в ней считается аморфизованным [41]. Другим способом нахождения положения границы является расчет пространственного распределения точечных дефектов в образце [42]. Данный метод получил развитие благодаря возможности моделирования радиационных повреждений методом Монте-Карло в приближении бинарных столкновений. При достижении критической концентрации точечных дефектов считается, что материал переходит в аморфное состояние. Вычисления ширины аморфного слоя для случая распыления широким пучком ионов и формы аморфизованной области при воздействии ФИП проводились в работах [43] и [42, 44-45] соответственно.
Эффекты аморфизации материала и ионной имплантации всегда имеют место при обработке поверхности материала фокусированным ионным пучком. Существует ряд возможностей для их использования, в частности, хорошо известен метод определения плотности тока пучка по форме аморфизованной области [44]. Имплантация галлия применяется для создания каталитических областей для роста нанотрубок [46] и нанопроволок [47], формирования стоп-слоев для реактивного ионного травления [48], модификации магнитных свойств материала [49]. Однако в основном указанные эффекты оказывают негативное влияние и должны быть минимизированы. Так, например, галлий в кремнии образует нежелательную акцепторную примесь [50], что в сочетании с неизбежной аморфизацией верхнего слоя материала несколько ограничивает применение ФИП в микроэлектронике. Для удаления поврежденного слоя существует ряд подходов, наиболее перспективным из которых является обработка поверхности низкоэнергетичными ионами аргона [51]. При приготовлении образцов для просвечивающей электронной микроскопии для получения наиболее достоверных сведений о структуре материала ширина аморфизованной области минимизируется путем утонения образца при скользящих углах падения ионов и использования низких ускоряющих напряжений. При модификации металлических образцов важно принимать во внимание, что при имплантации галлия возможно образование интерметаллических соединений.
2. Распыление. Распыление – процесс удаления атомов, ионов или кластеров путем их физического выбивания с поверхности падающими ионами. Как видно из рис. 1.3а, атомы, принимающие участие в каскаде столкновений, находящиеся в непосредственной близости от поверхности образца и имеющие достаточную энергию, могут покинуть материал подложки. Эффективность данного процесса зависит от отношения массы ионов к массе атомов подложки, а также свойств материала подложки. Процесс распыления отличается от удаления атомов путем испарения (сублимации) при нагревании или облучении подложки потоком электронов распределением эмитированных частиц по энергиям. Кроме того, распыление может идти в пределе очень низких плотностей потоков падающих частиц. Данный процесс широко используется во вторичной ионной масс-спектроскопии [52], при напылении тонких пленок [53] и наноструктурировании поверхности [54].
Важной величиной, необходимой для описания процесса распыления, является коэффициент распыления , который определяет среднее число распыленных атомов, приходящееся на один падающий ион. Коэффициент распыления зависит от множества факторов, таких как энергия пучка, угол падения, сорт атомов пучка и подложки. Теория, позволяющая предсказать значение коэффициента распыления, может быть построена на основе транспортного уравнения Больцмана [55]. Результатом его решения с использованием ряда приближений, в том числе приближения парных столкновений, является выражение, связывающее коэффициент распыления с плотностью ядерных потерь на единицу глубины – [эВ/нм] на поверхности образца: где и – сечение ядерного торможения при энергии , – атомная плотность распыляемого образца.
Исследование тестовых структур методами просвечивающей электронной микроскопии
Пример структуры, полученной после формирования области вторичного распыления, показан на рис. 2.3. Хотя профили травления тестовых структур, полученные вдоль пунктирной линии на рис. 2.1в (A-A на рис.2.3), могут изучаться методом РЭМ, в работе использовался метод просвечивающей растровой электронной микроскопии с использованием большеуглового кольцевого детектора темного поля для получения более детальной информации о структуре и составе .
На рис. 2.4 представлены изображения, полученные от образцов поперечного сечения в режиме ПРЭМ. На изображениях хорошо выявляются прилегающие друг к другу области переосажденного и кристаллического материала и сформированное на границе между ними прямоугольное углубление. Хотя номинальные размеры областей сканирования оставались фиксированными при всех энергиях ионного пучка, латеральные размеры получившихся углублений несколько уменьшаются с ростом ускоряющего напряжения из-за его лучшей фокусировки на поверхности образца. Слабо видные горизонтальные полосы в области обусловлены некоторой неравномерностью осаждения материала при сканировании ионного пучка вдоль оси в пределах дискретных отрезков шаблона травления (рис. 2.1a).
Глубины распыления и были измерены с использованием изображений на рис. 2.4 и было установлено, что отношение скоростей распыления переосажденного кремния и кристаллического кремния равняется . Найденное отношение можно связать с отношением коэффициентов распыления переосажденного материала, значение которого можно непосредственно сравнить с теоретическими расчетами и результатами атомистического моделирования. Для этого используется известная формула (1.12). Если в ней время измеряется в мкс, ток в пА, а линейные размеры в нм, то можно получить удобную формулу для глубины распыления кремния ( нм-3, ) нм
Расчеты с помощью (2.1) дают хорошее согласие при распылении кристаллического кремния с указанными параметрами, например, для 30 кэВ расчетное значение , что близко к экспериментально измеренному значению 230 нм. Принимая во внимание, что и равенство дозы при распылении и , имеем Полученные по формуле (2.2) отношения коэффициентов распыления приведены в таблице 2.2.
Для выявления причин увеличения скорости распыления проводились дополнительные исследования структуры и состава осажденного материала методом дифракции электронов [143], часто используемым при анализе ближнего порядка в аморфных материалах [144] и при изучении структуры нанообъектов [145], а также методом рентгеновского микроанализа. На вставке на рис. 2.4г приведена дифракционная картина от , который осажден при ускоряющем напряжении ионного пучка 30 кэВ и имеет аморфную структуру. На рис. 2.4г усредненный одномерный профиль интенсивности для дифракционной картины сравнивается с соответствующим профилем от аморфного кремния, полученного методом химического осаждения из газовой фазы при низком давлении (Low pressure chemical vapor deposition – LPCVD) с приведенными в [146] параметрами. Оба профиля получены после вычитания фона из исходного распределения интенсивности. Они нормированы так, что интенсивности главных дифракционных максимумов равны друг другу.
Незначительные различия между профилями на рис. 2.4г исключают образование химических соединений между атомов Ga и Si и указывают на то, что имеет структуру, которая характерна для аморфного кремния. Так как плотности [56] и коэффициенты распыления [57] кристаллического и аморфного кремния практически совпадают, то различия структуры и материала подложки не влияют на скорость их распыления ионным пучком.
На рис. 2.5 представлены увеличенные ПРЭМ-изображения, полученные вблизи границы и , вместе с распределениями вглубь образца средних концентраций атомов Ga ( ) в областях, выделенными прямоугольниками на рис. 2.5а-в. На изображениях хорошо виден светлый приповерхностный слой, который обогащен атомами Ga и является практически одинаковым после распыления кристаллического кремния и переосажденного материала. Светлый контраст этого слоя обусловлен большим атомным номером атомов Ga по сравнению с атомами Si. Из сравнения изображений на рис. 2.5а-в видно, что увеличение энергии пучка приводит к большей пространственной неоднородности распределения галлия в приповерхностном слое из-за образования преципитатов [147].
Со стороны материала подложки в правой части рис. 2.5а-в виден темный слой.
Он соответствует аморфизованному кремнию, возникающему под воздействием ионного пучка. Со стороны такой слой отсутствует, так как осажденный материал имеет аморфную структуру, как обсуждалось выше. Зависимости на рис. 2.5г-е показывают, что концентрация галлия в приповерхностном слое после распыления и является практически одинаковой.
Ширина этого слоя увеличивается с ростом ускоряющего напряжения, и максимальное значение концентрации галлия в нем приблизительно равно 50%. Для каждой энергии пучка приблизительные границы этого слоя в глубине образца показаны вертикальной линией. Глубже этой границы концентрация атомов Ga остается практически неизменной и равной примерно 20% для , в то время как для она постепенно убывает до нуля.
Отметим, что на поверхности обоих распыляемых материалов имеется тонкий слой кремния, в котором концентрация галлия примерно в два раза меньше максимального значения. Его наличие визуализируется на ПРЭМ-изображениях как тонкий темный слой, расположенный непосредственно под слоем a-C+Pt.
Модель процесса распыления и вычисление дозы ионов при сканировании
Формирование углубления с осевой симметрией методом ФИП осуществляется путем перемещения пучка по шаблону, состоящему из концентрических окружностей с центром в точке (рис. 3.9). Сканирование происходит вдоль каждой из окружностей с шагом , затем происходит переход на следующую окружность с шагом . Аналогично случаю прямоугольных углублений, глубина распыления пропорциональна числу циклов сканирования и времени остановки пучка в каждой точке и обратно пропорциональна и . Отношение шага пучка к его диаметру также определяет перепад глубины поверхности дна получаемых углублений.
Для описания формы получаемого углубления функцию удобно записывать в полярных координатах . Ее значения определяют расстояние точки с координатами в момент времени от ее положения в момент . Если процесс изготовления структуры включает в себя большое число проходов пучка по шаблону с маленьким значением времени остановки, то выполняются условия ПКР-приближения, так как эффектом переосаждения и угловой зависимостью коэффициента распыления можно пренебречь. Здесь – это угол между нормалью к распыляемой поверхности и направлением падения ионов, и если он меньше 30 в случае кремниевой подложки, можно предположить, что . При выполнении данных условий связь между и доставляемой в образец за один проход пучка дозой ионов (1/см2) является линейной где – полное время воздействия пучка, необходимое для осуществления проходов, – атомная плотность материала подложки и – коэффициент распыления при нормальном падении ионов.
В декартовой системе координат доза ионов определяется выражением где и – число концентрических окружностей и число остановок на каждой из них соответственно, . Величина , определяемая внутренним и внешним радиусами структуры (рис. 3.9) как , число остановок на каждой из окружностей меняется и равно . Так как и принимают целые значения, параметры процесса должны выбираться таким образом, чтобы результат вычисления и был близок к целому числу. Также предполагается, что если , то пучок останавливается в точке в центре структуры.
Вследствие осевой симметрии перемещений ионного пучка выражение (3.33) целесообразно переписать в полярной системе координат где обозначает операцию свертки в полярных координатах. Выражение (3.34) учитывает, что пучок имеет осесимметричную форму, а функция определяет точки остановки пучка как произведение двух дельта-функций. Важно отметить, что в отличие от случая прямоугольных углублений представление дозы ионов в виде свертки плотности потока ионов с массивом дельта-функций, соответствующих точкам остановки пучка, существенно упрощает выполнение дальнейших вычислений.
Кольцевые канавки. Для аналитического вычисления (3.34) вначале будет выведено выражение для дозы ионов с вдоль окружности, соответствующей некоторому значению и радиусу . Следуя [168], свертка (3.34) в полярных координатах может быть представлена как Для сдвинутой функции имеем где является фурье-коэффициентом функции по отношению к полярному углу и – оператор сдвига, равный и вычисляемый с помощью функций Бесселя. Так как для вычисления с только один член в сумме по в выражении (3.33) должен приниматься во внимание, функция может быть записана как Учитывая, что , и предполагая, что является нечетным числом, вычислим сумму
Аналогично случаю прямоугольных углублений используем известное разложение для функции и, вводя символ Кронекера , имеем Используя выражения (3.40)-(3.42), получим для После подстановки (3.43) в (3.37), суммирования по и учитывая, что 1=1 для нечетных , получаем Подставляя (3.44) в (3.36), интегрируя по углу и суммируя по , имеем Вводя обозначение и принимая во внимание выражение (3.45) может быть переписано в следующей форме с Функция в (3.47) в соответствии с (3.39) и (3.46) вычисляется с помощью функций Бесселя и имеет вид где интеграл в квадратных скобках является преобразованием Ганкеля функции . Число слагаемых в выражении (3.47) зависит от отношения к диаметру пучка и как будет показано далее, в практически важных случаях достаточно учитывать одно слагаемое с .
Для проведения дальнейших вычислений будем полагать, что плотность потока ионов пучка описывается суперпозицией двух гауссовых функций (3.16). При использовании выражения (3.16) функция может быть вычислена аналитически с применением известных интегралов [169]. Тогда для с мы имеем с Так как аргумент модифицированных функций Бесселя в (3.49) принимает большие значения, а их произведение с экспоненциальным членом отличается от нуля только для близких к , можно считать, что в аргументах этих функций. С использованием асимптотического разложения для функций Бесселя, можно представить в виде произведения и экспоненциальной функции.
В соответствии с (3.57) доза экспоненциально спадает с увеличением расстояния от середины канавки. Данная вариация в основном определяется распределением потока ионов, в то время как конечное значение шага пучка отвечает за осцилляции с азимутальным углом, описываемые косинусоидальными членами. Осесимметричные углубления. Используя выражение (3.57), которое определяет дозу ионов для одной окружности и, учитывая (3.35), выражение (3.34) может быть представлено как с Выражение (3.58) может быть применено для описания формы осесимметричного углубления с глубиной, осциллирующей вдоль радиального и азимутального направлений. Для многих структур, имеющих практическое применение, такие осцилляции с углом являются пренебрежимо малыми. Это означает, что в выражении (3.57) выполняются условия . Как отмечалось в разделе 3.1.1, посвященном прямоугольным углублениям, для реальных систем с фокусированным ионным пучком такие условия выполняются, когда или . В случае кольцевых канавок, принимая во внимание и формально полагая, что (3.57) остается применимым для всех значений , (3.58) можно переписать в виде где и предполагается нечетным.
Аналогично случаю прямоугольных углублений суммирование в (3.58) может быть проведено аналитически, и окончательно имеем
Очевидно, что это выражение не применимо для малых значений , так как при выводе (3.55) мы воспользовались асимптотическим разложением для больших значений аргумента. Как следует из численных расчетов, выражение (3.60) обеспечивает хорошую точность при вычислении на расстояниях больше, чем приблизительно от центра структуры.
Моделирование формирования тестовых структур
Для демонстрации результатов расчета использовалась тестовая структура, представляющая собой массив точечных углублений с увеличивающимся временем остановки. При моделировании ток пучка составлял 800 пА, стандартное отклонение пучка нм, , шаг между точками нм, время воздействия от 1 мс до 6 мс с шагом 1 мс. Трехмерное изображение результатов расчета представлено на рис. 4.7а, показана сетка, использованная при моделировании, количество элементов которой возрастает в более искривленных местах поверхности.
Как было показано в 3 главе, форма структур с низким аспектным отношением хорошо описывается в рамках ПКР-приближения, и при его выполнении результаты численных и аналитических расчетов должны совпадать. Поэтому на рис. 4.7 вместе с поперечными сечениями углублений, полученных путем численных расчетов, представлены также профили, описываемые аналитическим выражением.
На данном примере можно проследить, как форма точечного углубления перестает описываться в рамках приближения постоянного коэффициента распыления и начинают проявляться эффекты переосаждения и угловой зависимости коэффициента распыления. Так, начиная со времени воздействия 6 мс, края углубления распыляются быстрее, а глубина увеличивается медленнее, чем в случае выполнения условий ПКР-приближения.
Для дальнейшей проверки результатов моделирования выполнялся расчет тестовых структур, описанных в 3 главе. Ток пучка составлял пА, время остановки мс, стандартное отклонение пучка нм, нм, весовой множитель и значения шага пучка в двух перпендикулярных направлениях нм, нм. Моделирование проводилось при варьируемом числе циклов сканирования в диапазоне от 1 до 40, и его результаты представлены на рис. 4.8. с профилями, полученными при использовании аналитических выражений (3.28). Видно, что при увеличении времени воздействия форма профиля все хуже описывается синусоидальной функцией, что связано с увеличением коэффициента распыления при увеличении угла падения ионов. Отметим, что при применении метода функций уровня, в отличие от альтернативных подходов, возникающие острые выступы на поверхности не приводят к нестабильности численного решения. Так как структура имеет большое отношение , то ПКР-приближение перестает выполняться достаточно быстро.
На рис. 4.9 представлены графики зависимости нормированного значения перепада глубины от глубины , полученные при использовании численных расчетов и аналитических выражений. В соответствии с формулами (3.27), (3.28), средняя глубина структур и ее перепад прямо пропорциональны числу циклов сканирования. Точный расчет предсказывает постоянное значение перепада глубины, когда ПКР-приближение перестает выполняться.
Для экспериментальной проверки результатов были получены тестовые структуры при таких же параметрах процесса, которые использовались при моделировании. Измеренные значения перепада глубины показаны на графике рис. 4.9 крестиками. Видно, что перепад глубины поверхности дна практически не изменяется с ростом глубины структур, то есть моделирование предсказывает правильный характер зависимости величины от .
Как было подробно описано в главе 1, форма получаемых структур зависит не только от дозы ионов, но и от стратегии сканирования пучка по шаблону. Для того чтобы продемонстрировать влияние выбранной стратегии сканирования на форму получаемых углублений, было выполнено моделирование распыления при одинаковой дозе, доставляемой в образец различными способами.
На рис. 4.10 представлены изображения углубления, полученного с использованием различного числа сканирований при сохранении постоянного значения суммарной дозы ионов. Видно, что при увеличении числа сканирований форма дна ямы становится все более горизонтальной. При числе циклов сканирования более четырех дно становится практически плоским. Это еще раз иллюстрирует то, что при большом числе циклов сканирования с коротким временем остановки получаемая структура повторяет распределение дозы ионов (ПКР-приближение). Предсказание формы структур, получаемых при использовании единственного прохода пучка по шаблону (рис. 4.10а), является наиболее сложным с точки зрения моделирования, так как в этом случае эффекты переосаждения и угловой зависимости коэффициента распыления выражены особенно сильно. Именно такие структуры представляют наибольший интерес для экспериментальной проверки результатов моделирования, результаты которой приведены в разделе 4.2
Как было отмечено в главе 1, метод функций уровня является только одним из способов моделирования эволюции поверхности. Поэтому для дополнительной проверки адекватности расчетов данным методом, было проведено моделирование структур с теми же параметрами, с использованием метода движения сегментов. При моделировании учитывалась угловая зависимость коэффициента распыления, а эффект переосаждения для простоты игнорировался. При использовании метода движения сегментов функция задавалась на двумерной равномерной расчетной сетке (см. рис. 4.11б). Моделирование выполнялось таким образом, что координаты узлов при движении оставались постоянными, а изменялось значение координаты на основе формул (4.1), (4.3). Для учета того, что элементы поверхности по прежнему должны двигаться в нормальном направлении, использовалось следующее выражение для скорости .
Для сравнения результатов расчета использовалась тестовая структура, аналогичная представленной на рис. 4.7. Трехмерные изображения одного из углублений, вычисленного методами функций уровня (а) и движения сегментов поверхности (б) представлены на рис. 4.11.
На рис. 4.11в-г вместе с поперечными сечениями углублений, полученных путем численных расчетов, представлены также профили, описываемые аналитическим выражением. Из рис. 4.11 видно, что для структуры с глубиной порядка одного стандартного отклонения пучка результаты, полученные тремя методами, совпадают. При увеличении глубины ПКР-приближение ожидаемо плохо описывает получаемую форму, в то время как два других метода дают практически идентичные результаты, что говорит о достоверности получаемых результатов.
Из рис. 4.11в-г видны недостатки метода движения сегментов: по мере увеличения угла наклона поверхности уменьшается плотность точек на единицу площади поверхности, что уменьшает точность моделирования. Как уже упоминалось, процедуры, связанные с добавлением точек, являются достаточно трудоемкими. При использовании метода функций уровня используется треугольная сетка, плотность элементов которой значительно выше в искривленных областях рельефа (см. рис. 4.11а).