Содержание к диссертации
Введение
1. Обзор работ, посвященных аналитическое йссівдованию напряженно-деформированного состояния слоистых массивов горных пород, окружающих выработку 7
2. Решение задачи напряженно-деформированного состояния слоистого массива горных пород, окружающего выработку прямоугольного сечения 23
2.1. Постановка задачи 23
2.2. Оценка напряженно-деформированного состояния пласта полезного ископаемого 29
2.3. Оценка напряженно-деформированного состояния вмещающих пород 40
2.4. Сведение задачи равновесия слоистого массива горных пород к бесконечной алгебраической системе уравнений 49
3. Равновесие слоистого массива горных пород в случае скольжения на границах пластов с породам 60
3.1. Оценка напряжений в углах выработки 60
3.2. Сведение задачи к бесконечной системе линейных алгебраических уравнений 70
4. Установление зависимостей контактных напряжений, опор ного давления и напряженного состояния пласта полезного ископаемого и вмещающих пород от их физико-механических и геометрических параметров 78
4.1. Пример решения системы алгебраических уравнений и расчета напряжений в слоистом массиве на ЭВМ 78
4.2. Зависимость зон пластических деформаций и опорного давления от механических и геометрических параметров горного массива 88
4.3. Напряженное состояние вмещающих пород и определение границ защищенных зон 98
4.4. Определение напряженно-деформированного состояния краевой части угольного массива и предельных обнажений кровли на Ткварчельской шахте им.В.И.Ленина 105
4.5 .О вязко-упругом равновесии слоистого массива горных пород, окружающих выработку 115
5. Экспериментальное исследование напряженного состояния слоистой модели, имеющей отверстие прямоугольной формы 118
Заключение 127
Литература 131
Приложения 137
- Оценка напряженно-деформированного состояния пласта полезного ископаемого
- Сведение задачи к бесконечной системе линейных алгебраических уравнений
- Зависимость зон пластических деформаций и опорного давления от механических и геометрических параметров горного массива
- .О вязко-упругом равновесии слоистого массива горных пород, окружающих выработку
Введение к работе
С увеличением глубин разработки месторождений, помимо усложнения целого ряда чисто технологических процессов, связанных с добычей и транспортировкой полезного ископаемого, существенно ухудшаются горнотехнические условия строительства и поддержания подземных выработок шахт и рудников. Это, в-основном, выражается в значительном возрастании нагрузок на конструкции крепи, реализации больших деформаций, в пластическом или реологическом разрушении массива и, наконец, в динамических явлениях в виде горных ударов, выбросов угля и породы и пр.
Эти проблемы перед учеными и инженерами ставят важнейшие задачи по развитию комплексных методов исследования напряженно-деформированного состояния массивов горных пород, включающих натурные, лабораторные, аналитические и численные методы.
За последние 20 лет аналитические методы горной механики получили существенное развитие. Это обусловлено, главным образом, расширением фундаментальных исследований в различных областях математики и механики сплошных сред, широким применением ЭВМ и использованием их результатов при решении актуальных технических задач. К настоящему времени решены почти все основные задачи плоского напряженного состояния однородного массива вокруг выработок практически любой конфигурации, количества и взаиморасположения. Достаточно корректные решения получены некоторых осесимметричных объемных задач для однородных полупространств, ослабленных конечной цилиндрической выработкой.
Хуже обстоит дело в решении аналогичных задач для массивов, характеризующихся существенной слоистой неоднородностью. Несмотря на давний интерес советских и зарубежных ученых (С.Г.Михлин -1942 г., Г.И.Баренблатт, С.А.Христианович - 1955 г. и др.) наибо-
лее характерные для горной практики задачи нельзя считать решенными. Допущения, сделанные в постановках задач относительно расчетных схем и свойств массива горных пород, доводили решения до числа, но, илесте с тем, сводили на нет основную специфику задач -неоднородность среды.
Целью работы является разработка аналитического аппарата, моделирующего слоистый массив горных пород с выработкой прямоугольного сечения и метода расчета его напряженно-деформированного состояния.
Для решения поставленной задачи исследуются напряженно-деформированные состояния составляющих частей горного массива. Относительно каждой части решается смешанная задача математической теории упругости. Полученная по условию сопряжения система сингулярных интегральных уравнений относительно контактных напряжений и смещений путем использования ортогональных многочленов Ла-герра сводится к бесконечной алгебраической системе линейных уравнений, решаемых для конкретных задач на ЭВМ. Для определения зон неупругих деформаций и оценки влияния фактора времени используются методы теорий пластичности и ползучести.
С целью проверки правомочности некоторых допущений и полученных результатов проведены лабораторные исследования оптико--поляризационным методом.
Новизна научных результатов заключается в следующем:
получено решение задачи упругого равновесия слоистого разномодульного массива вокруг выработки прямоугольной формы, которое в отличие от уже существующих впервые учитывает неоднородность среды;
впервые получены решения смешанных граничных задач для полуполосы, моделирующей-пласт полезного ископаемого, а также задач изгиба полуполосы;
доказано, что в упругой стадии деформации при любых значениях физико-механических параметров горного массива порядок бесконечности напряжений в углах выработки изменяется в пределах (0-Ю, 5);
показано, что на контактах разномодульяых слоев появляются зоны растягивающих дополнительных нормальных напряжений.
Разработанный аналитический аппарат позволяет:
решить ряд задач упруго-вязко-пластического деформированного состояния слоистых массивов горных пород вокруг выработок и определить границы защищенных зон;
повысить надежность определения оптимальных параметров управления кровлей при разработке пластовых месторождений.
Результаты диссертационной работы использованы для установления предельных обнажений кровли, размеров выемочных участков, блоков и целиков между ними, при разработке и внедрении буровзрывной технологии отработки мощного крутонаклонного пласта без крепления выработанного пространства с поддержанием кровли целиками на"Ткварчельской" шахте имени В.И.Ленина.
О результатах диссертационной работы докладывалось на общем семинаре Института механики АН Армянской ССР (1981 г.); Всесоюзном симпозиуме "%сленные и аналитические методы определения напряженно-деформированного состояния горных массивов в задачах геофизики и геомеханики" (г.Тбилиси, 1982 г.); ІУ Всесоюзном семинаре "Аналитические методы и применение ЭВМ в механике горных пород" (г.Новосибирск, 1982 г.).
Основное содержание диссертации опубликовано в пяти статьях в научных журналах.
Диссертационная работа выполнялась в I975-1981 гг. в соответствии с тематическим планом ИГМ АН ГССР (тема В 78083467 за 1975--1978 гг., тема гё 81032324 за I979-1981 гг.).
_ 7 -
Оценка напряженно-деформированного состояния пласта полезного ископаемого
Пусть на границе упругой полубесконечной полосы 0 ОС оо t -R sy 0 (рис. 2.4), моделирующей пласт полезного ископаемого, заданы условиягде J lot) и 9 (ос) функции, имеющие производные соответственно до третьего и второго порядков, исчезающие на бесконечности и удовлетворяющие условию \ (ос)єН, Q (эс)еН на оси Ох . Требуется определить компоненты напряжений и смещений в области занятой телом.
Вводя обозначениеизвестные формулы Колосова-Мусхелишвили [27 J можно записать в виде (2.5) где ФЫ и (z) голоморфны в области занятой телом. Очевидно, что такой же будет и функция S?(z) .
Отобразим полуполосу конформно на крут )т\ 1 , разрезанный вдоль положительной стороны действительной оси плоскости комплексного переменного т (рис. 2.5) посредством функции
Тогда граничными условиями в преобразованной области будутX Переходя к пределу в последнем равенстве при "J -» є , где -точка окружности, принимая во внимание четвертую формулу (2.6), будем иметьголоморфны вне окружности, причем ЯМ и B( s) исчезают на бесконечности. Поэтому по теореме Коши для з- , находящейся внутри окружности, справедливы равенстваСледовательно, интегрируя равенство (2.10) и его сопряженное получимФДт)=-АР-2Й(4) + В(-і-) -2Ф0(0) + Й,(0), (2Л1)
Для определения постоянных С И С2 положим, что Ф (0): =ЇЇ.ДО)=0. Это равносильно допущению, что напряжения исчезают на бесконечности. Тогда из предыдущих формул можно получить
Заметим, что условие равенства нулю главного вектора внешних сил, приложенных к границе области, для данной задачи имеет вид В заключение отметим, что аналогично можно решить граничную задачу для полубесконечной полосы при заданных на полубесконечных сторонах вертикальных перемещениях и касательных напряжениях и напряжениях, смещениях или же смешанных условиях на торце.
Также можно решить задачу изгиба полуполосы, свободно опертой полубесконечными сторонами, торец которой заделан, свободен, свободно оперт, частично заделан.
Заметим, что все указанные в конце настоящего параграфа задачи имеют выход в механике твердого деформируемого тела и стро ительнои механике и представляют собой независимый математический интерес.
Эти задачи рассмотрены в приложении 2. В настоящем параграфе исследовано напряженно-деформированное состояние вмещающей породы, лежащей над пластом полезного ископаемого, которая, как уже отмечали в 2.1, считается бесконечной ввиду большой глубины залегания пласта по сравнению с его мощностью.
На части границы, находящейся в соприкосновении с пластами, задаются вертикальные перемещения и касательные напряжения, на оставшейся части - нормальные и нулевые касательные напряжения. Для этой цели рассмотрена математическая модель вмещающих пород в виде однородной, изотропной полуплоскости и решена основная смешанная задача плоской математической теории упругости.
Итак, пусть на границе полуплоскости ч 0 (рис. 2.6), которую обозначим через 5 f заданы условия(2.17)где L состоит из всех точек действительной оси Ох за исключением точек отрезка 1г2о;0] , т.е. ь- (-;-2а] U [О; ) .{{ос) и g(oc) удовлетворяют условиям, наложенным на них в предыдущем параграфе и, кроме того, условиям
Сведение задачи к бесконечной системе линейных алгебраических уравнений
Сведение задачи к бесконечной системе линейных алгебраических пород, окружающего выработку для случая скольжения без трения на контактах пластов полезного ископаемого с вмещающими породами, приведена к системе линейных алгебраических уравнений (3.22) с коэффициентами (3.26) и свободными членами (3.27).
В качестве примера рассмотрим случай, когда параметры, входящие в систему линейных алгебраических уравнений (3.22), имеют следующие значения:- полуширина выработки а = 5 м;- мощность пласта f» = 3,14 м;- коэффициент Пуассона = = 0.3;- коэффициент бокового распора J\ = 0,43;- модуль упругости пласта Е2 = 5-Ю3 МПа;- напряжение в нетронутом массиве Р = 20 МПа. Составлена программа для ЭВМ на языке "ФОРТРАН" и проведенывычисления в ВЦ АН Гр.ССР по формулам
Формулы (4.1), (4.2) и (4.3) получены соответственно из формул (2.16), (2.30) и (2.31) в допущении %(Ь) = 0.Причем (4.1) получена из формулы (2.16) путем понижения порядка производной функции і (і) .
Вычислены напряжения:- на средней линии пласта полезного ископаемого = --й- »значения которого приведены в таблице I;- на контакте пласта с породами jj = 0, значения которого приведены в таблице 2;- на линии симметрии подработанного массива эс = -а, значения которого приведены в таблице 3.
Из таблицы I следует, что у стенки выработки напряжения ограничены. Их интенсивность тем больше, чем больше с , т.е. чем меньше величина Ej/E2 .
По мере удаления от выработки напряжения эти уменьшаются и ассимптотически стремятся к нулю, причем, на одной ширине выработки они составляют меньше 8%, а на удвоенной ширине - Ъ% от первичных напряжений Р. На рис. 4.1 приведены графики полных напряжений =С а + Р в середине пласта полезного ископаемого.
Для оценки полученных результатов построен график тех женапряжений, получаемых по Г.Н.Савину задачи равновесия упругой, однородной плоскости с прямоугольным отверстием [38] , представленный на рис. 4.1 графиком 3.
Сравнивая графики I, 2, 3,можно заключить, что решения достаточно хорошо сходятся кроме точек, прилегающих к контуру отверстия. Это объясняется допущением возможности проскальзывания на контактах, принятым в рассматриваемом примере. Об этом свидетельствует также и результат эксперимента (см. рис. 5.5).
Из таблицы I следует, что напряжения 6 мало изменяются в зависимости от отношения модулей Юнга Е /Е2 . Так, например, увеличение последнего в пять раз максимально увеличивает б% на 9%. Зависимость между величинами эа/Р и Е /Е2 представлена на рис. 4.4 графиком I.
Напряжения б на контакте пластов с вмещающими породами, как следовало ожидать, в углах выработки бесконечно возрастают. Их интенсивность, как показывает таблица 2, зависит от отношения Е{/Е2 . Причем, чем меньше величина Е /Е2 , т.е.,. чем "жестче" пласт по сравнению с породами, тем интенсивнее возрастают напряжения. С удалением от стенки выработки эти напряжения уменьшаются, причем тем интенсивнее, чем меньше Е /Е2 переходят в растягивающие и страмятся к нулю.
Таким образом, во всех случаях отношений Е /Е2 , рассмотренных в настоящем примере, на контакте появляется зона растягивающих дополнительных напряжений, которая тем ближе от контура выработки начинается, чем меньше Е /Е2 .
О появлений зоны растягивающих усилий свидетельствуют результаты эксперимента, проводимого оптико-поляризационным методом (рис. 5.3). (Подробно об эксперименте см. главу 5).В работе [4] , в которой рассматривается задача напряженного состояния слоистой плоскости, ослабленной трещиной, перпен дикулярнои слоистости при заданных на бесконечности растягивающих усилиях, на контакте разорванного и боковых слоев также получаются знакопеременные дополнительные напряжения.На рис. 4.2 представлены графики полных контактных напряжений У =б +г . Таблица 2 свидетельствует, что для всех рассмотренных случаев, при пятикратном возрастании отношения Ej/E , напряжения изменяются на 17%. Зависимость безразмерных напряжений от Е /Е2 представлена на рис. 4.4 графиком 2.
Для всех рассмотренных случаев Е /Е2 контактные напряжения Уд быстро затухают и на расстоянии удвоенной ширины выработки от ее стенки составляют 99% от начальных напряжений Р.
Из таблицы 3 следует, что дополнительные напряжения бх в середине подработанной толщи у контура выработки растягивающие. На самом контуре (точка х = -а на рис. 2.3) они конечны и приблизительно равны - Р (свыше 99% от Р). Точное значение напряжения бос в средней точке кровли выработки (впрочем и на всей кровле), как это следует из формулы (4.3), равно -Р (см. также [27] ). По мере удаления от кровли выработки эти напряжения уменьшаются по абсолютной величине и на расстоянии пятикратной высоты выработки практически исчезают. контура отверстия растягивающие, с удалением от него уменьшаются по модулю, переходят в сжимающие и ассимптотически стремятся к начальным напряжениям Р. Из указанного рис. 4.3 также
Зависимость зон пластических деформаций и опорного давления от механических и геометрических параметров горного массива
Следует, что напряжения Хх и расположение точки Ух= О изменяются в зависимости от отношения модулей Юнга пласта полезного ископаемого и вмещающих пород. Увеличение E.,/E2 в пять раз. максимально изменяет Ух на 18%, а точку Хх = 0 удаляет в глубину массива на 15%.
Зависимость безразмерных напряжений Хэс/ Р от отношения Е1/Е2 показана графиком 3 на рис.. Зависимость зон пластических деформации и опорного давления от механических и геометрических параметров горного массива
В настоящем параграфе, опираясь на известное решение Прандт-ля задачи давления штампов на пластический слой [40] , будет решена задача упруго-пластического равновесия пласта полезного ископаемого.
С увеличением глубин разработок месторождений полезного ископаемого увеличивается нагрузка на пласт и при проведении выработки вблизи последнего появляются зоны пластических деформаций, вследствие чего происходит перераспределение напряжений. Для оценки напряженного состояния массива горных пород при образовании в пласте полезного ископаемого зон пластических деформаций, необходимо знать размеры отмеченных зон и характер распределения напряжений в пластической и упругой частях пласта.
Для решения этого вопроса воспользуемся следующими уравнениямигде "Ь - длина пластической зоны.Первое из этих уравнений выражает равенство нормальных напряжений, действующих в пластической и упругой частях пласта в точке их максимума, т.е. на границе указанных частей, а второе -равенство суммарных векторов полных нормальных напряжений в упругой и упруго-пластической стадиях деформаций.Функция У (х) является полным напряжением и его можно представить в видегде Р - первичные напряжения, 6 (.х)- дополнительные напряжения. ископаемого, который устанавливается известивши методами лабораторным или экспериментальным путями.
Сравнивая выражения (4.7) и (4.8) и принимая во внимание (4.9), будем иметьСледовательно, получаемОбозначим через о расстояние от стенки выработки до места снижения интенсивности дополнительных нормальных контактных напряжений до 1% от первичных напряжений Р (зона опорного давления).
Для большего удобства опорное давление в упругой части пласта вместо второй формулы (4.7) будем апроксимировать функцией (об этом подробно будет сказано ниже)
Для определения неизвестных Со , olo и %о можно написать следующие уравненияЗаметим, что если бы вместо функции (4.16) в третье уравнение (4,17) входило выражение (4.7), то система для определения неизвестных постоянных получилась бы трансцендентной и ее решение было бы весьма затруднительно. Именно с этой целью заменено (4.7) выражением (4.16).
С хорошей точностью приближения к реальной картине можно считать, что интенсивность касательных напряжений максимальна в углах выработки, по мере удаления от которых уменьшается и на расстоянии 1о (см. формулы (4.18))составляет 1% от его максимального значения.
Следовательно, справедливы равенстваПредположим, что касательные дополнительные напряжения изменяются по законугде КА и К2 -постоянные, для определения которых по формулам (4.20) можно получить уравнения
Таким образом, формулы (4.14), (4.15), (4.18) и (4.22) показывают, что длины зон пластических деформаций и опорного давления, максимум опорного давления и характер распределения напряжений в пластической и упругой частях пласта полезного ископаемого зависят от размеров выработки, предела текучести пласта и начальных напряжений (в частном случае глубины залегания пласта). Степень зависимости характеристик опорного давления от геомэханических параметров горного массива проиллюстрирована графиками на рис. 4.5 - 4.8,
Из графиков следует, что на длину зоны пластических деформаций существенно влияет лишь ширина выработки, а все остальные геомеханические параметры влияют незначительно;на максимальное значение опорного давления значительно влияют все параметры, однако ширина выработки влияет существеннее;на длину зоны опорного давления также существенно влияет изменение ширины выработки, а остальные параметры горного массива - незначительно. 1. ііаксшлума опорного давления;2. Длины зон опорного давления.
.О вязко-упругом равновесии слоистого массива горных пород, окружающих выработку
Известно [Зб] , что при решении задач линейно-наследственной ползучести упругие постоянные (модуль Юнга и коэффициент Пуассона) заменяются интегральными операторами, ядром которых в горной геомеханике чаще [16] используется ядро Абеля [ -т) .
Усложнение задач линейно-наследственной ползучести по сравнению с задачами теории упругости состоит в следующем. Результат действия функции исходного оператора " (1/Е ) на произ Поэтому при решении задач приходится использовать теорему умножения [ Зб] , таблицы дробно-экспоненциальных функций [37J, или различные апроксимаций [58] , дающие возможность расшифровать оператор с помощью апроксимаций разных приближений. Однако, как показано в работе [з], при решении задач горной геомеханики можно обойтись без таких трудоемких операций.
Используемые на практике OL , & и і таковы, что с достаточной приближенностью выполняется равенствос помощью которого можно получить значения переменных во времени Применение выражения (4.33) сводит решение задачи линейяо--наследственной ползучести при постоянных во времени граничных условиях к подстановке в соответствующие решения задачи теории упругости не оператора, а функцию - от времени E(i) . Этот прием получил название "переменных модулей 1.
Таким образом, заменив в решениях, полученных в настоящей работе, Еі и Е2 соответственно на Е (сУ1; оі;"Ь) и Ь2 [ 1-, 2-,4 , получим решение задачи вязко-упругого равновесия слоистого мае сива, окружающего выработку. Определение параметров ползучести CKj, и Oj, производится в лабораторных и натурных условиях методами, описанными в специальной литературе.
Для оценки влияния слоистой неоднородности массива горных пород на его напряженное состояние, а также для проверки основных расчетных схем и допущений, принятых при аналитическом решении задачи упругого равновесия массива горных пород, были проведены лабораторные исследования оптико-поляризационным методом, способом замораживания.
Слоистый массив моделировался пластинкой, составленной полосами, изготовленными из разномодульных, оптически чувствительных материалов (рис. 5.1). Верхние и нижние от выработки полоски, моделирующие вмещающую породу, изготовлялись из эпоксидной смолы, отвержденной малеиновым ангидридом ЭД-6 и сополимера стироля СД-10 с модулями упругости в высокоэластическом состоянии соответственно Е1 = 45 МПа и Е2 = 2,2 МПа. В высокоэластическом состоянии коэффициенты Пуассона обеих материалов равнялись 0,5.
Следовательно, по степени неоднородности слоистого массива моделирование проводилось в двух вариантах - отношении модулей упругости вмещающих пород Е и пласта Е2 :
С целью определения зависимости напряженного состояния массива вокруг выработок от вида условий на контактах вмещающих пород с пластами, модели делятся еще на две группы: с возможностью свободного проскальзывания на контактах (со смазкой) и со сцеплением (склейкой).
Наружные размеры моделей определены максимальными размерами стандартных пластинок из материала СД-3 и составляют 285 х 285 мм при толщине 10 - 12 мм.
Прямоугольное отверстие, моделирующее выработку, проведенную на всю мощность пласта, имеет ширину 2а = 40 мм и высоту К = 30 мм.
Нагружение моделей производилось согласно принятой расчетной схеме (рис. 5.1) равномерно распределенными вертикальными силами Р = 0,147 МПа и при коэффициенте бокового распора /\ = = 0,381. Эта нагрузка прикладывалась к моделям, разогретым в термостате Н-5804 до высокоэластического состояния (120С), после чего они плавно охлаждались до комнатной температуры, т.е. "замораживались" в напряженном состоянии.
Замороженные модели помещались в поле полярископа МВ-56 и фотографировались с использованием тонохроматического света натриевых ламп при параллельных и скрещенных поляроидах. Соответствующие картины полос, полученные при скрещенных поляроидах, даны на рис. 5.2, 5.3. Цифрами на этих картинах обозначены порядки интерференционных полос в боковых от отверстия полосках, моделирующих пласт полезного ископаемого и изготовленных из материала СД-3.
Полоски с одной стороны отверстия в каждой модели были разрезаны перпендикулярно к плоскости модели и контактным поверхностям на 24 - 26 срезов толщиной 2,5 мм. По срезам, способом компенсации,определялись разность хода в длинах волны поляризованного света и их изменение от контура отверстия в глубину. По ним определялись нормальные напряжения 6% по контактным по Цена интерференционной полосы материала СД-3 для данных моделирования определялась на дисковых образцах нагруженных в высокоэластическом состоянии, выдерживая тот режим температуры замораживания, в котором находились модели.
По интерференционным картинам полос, разностям хода поляризованного света слоя и ценам полосы модели в относительных координатах построены эпюры вертикальных нормальных контактных напряжений (рис. 5.4), по середине слоя (рис. 5.5) и на вертикальной оси симметрии модели (рис. 5.6) при разных соотношениях их модулей и условий на контактах.
Анализ картины полос и эпюр упругих нормальных напряжений позволяет заключить следующее:
Нормальные контактные напряжения максимальных неопределенных значений достигают у контура отверстия (угла выработки). По мере удаления от контура интенсивность этих напряжений быстро снижается и на расстоянии порядка ширины выработки становится меньше средних напряжений, которые могли бы действовать на контактах слоев до проведения выработки. Такая картина имеет место в обеих случаях контактных условий, но при сцеплении на контактах снижение интенсивности напряжений и пересечение ими уровня средних напряжений с удалением от контура выработки происходит быстрее, чем в случае скольжения на контактах. В обеих случаях контактных условий напряжения вблизи выработки скорость их уменьшения по мере удаления от контура больше при меньшем значении соотношения модулей упругости вмещающих пород и слоя полезного ископаемого, хотя количественная разница невелика.
В отличие от контактных напряжений, напряжения б по середине полосы, моделирующей пласт полезного ископаемого, у контура выработки имеют конечную интенсивность. При некоторых со