Содержание к диссертации
Введение
1. Современное состояние исследований процессов переноса в частично ионизованной многокомпонентной плазме 15
1.1. Метод Чепмена-Энскога. Плазма с бесструктурными частицами 15
1.2. Метод Чепмена-Энскога. Химически активная плазма с частицами, обладающими внутренними степенями свободы 22
1.3. Метод моментов Грэда 29
1.4. Процессы переноса пылевых частиц в плазме 33
2. Система линеаризованных уравнений моментов для частично ионизованной многокомпонентной плазмы в магнитном поле с учетом неупругих столкновений частиц и химических реакций 38
2.1. Уравнения сохранения 38
2.2. Линеаризованное кинетическое уравнение 44
2.3. Линеаризованные уравнения моментов 55
2.4. Общие линейные соотношения переноса для плазмы с учетом процессов неупругого взаимодействия частиц и химических реакций 67
3. Линейные соотношения переноса для электронов плазмы 74
3.1. Система скалярных уравнений переноса для электронов 77
3.2. Оценка величины коэффициента неупругих потерь электронов 87
3.3. Системы векторных и тензорных уравнений переноса для электронов 105
3.4. Оценка вклада неупругих столкновений электронов в величину электропроводности плазмы 110
4. Линейные соотношения переноса для тяжелых частиц плазмы 114
4.1. Линейные соотношения переноса для тяжелых частиц плазмы, обладающих внутренними степенями свободы, в приближении моментов
4.2. Линейные соотношения переноса для бесструктурных тяжелых частиц плазмы в приближении 21 момента 130
4.3. Расчет коэффициентов переноса тяжелых частиц плазмы в магнитном поле в приближении 21 момента 144
5. Термосила, действующая на заряженную пылевую частицу в простой полностью ионизованной плазме 168
5.1. Вводные замечания 168
5.2. Ионная термосила 170
5.3. Электронная сила увлечения 174
Заключение 179
Список цитируемой литературы
- Метод Чепмена-Энскога. Химически активная плазма с частицами, обладающими внутренними степенями свободы
- Линеаризованные уравнения моментов
- Системы векторных и тензорных уравнений переноса для электронов
- Линейные соотношения переноса для бесструктурных тяжелых частиц плазмы в приближении 21 момента
Метод Чепмена-Энскога. Химически активная плазма с частицами, обладающими внутренними степенями свободы
В широко известных работах Брагинского [15, 16] была получена система уравнений переноса для ионов и электронов в полностью ионизованной двухтемпературнои плазме в магнитном поле и найдены выражения для всех электронных и ионных коэффициентов переноса. Выражения для коэффициентов электропроводности, теплопроводности, а также термодиффузии для двухкомпонентной полностью ионизованной плазмы в магнитном поле были рассматривались также в работе [17].
В плазме наряду с заряженными частицами могут также присутствовать и нейтральные компоненты, в общем случае представленные молекулами и атомами. Одни из первых работ, посвященных анализу процессов переноса в частично ионизованной плазме, были выполнены Стахановым и Степановым [18], а также Бисноватым-Коганом [19]. Так, в [18] было получено обобщение результатов Брагинского на случай частично ионизованной неизотермической плазмы в магнитном поле. При описании процессов переноса в плазме считалось, что заряженные и нейтральные частиц взаимодействуют как твердые шарики, в то время как для описания взаимодействия заряженных частиц в кинетическом уравнении использовался интеграл столкновений в форме Ландау. В работе [19] рассматривались процессы переноса в двухтемпературнои трехкомпонентной плазме в магнитном поле. Были получены общие выражения для тепловых потоков и диффузионных скоростей частиц плазмы, а также уравнения, позволяющие определить парциальные коэффициенты теплопроводности, диффузии и термодиффузии частиц плазмы.
Первые зарубежные работы, посвященные анализу процессов переноса в частично ионизованной плазме, были выполнены Чмиелески и Ферпигером [20, 21], а также Дейбелджом [22]. В работах [20, 21] на основе метода Чеп-мена-Энскога, модифицированного для учета неизотермичности плазмы (отличия температуры электронов от температуры тяжелых частиц), была раз вита теория процессов переноса в плазме с учетом и без учета магнитного поля. В рамках второго приближения Чепмена-Каулинга были получены выражения для потоков тепла, массы и импульса, а также связанных с ними коэффициентов переноса плазмы, таких как коэффициенты диффузии, термодиффузии, теплопроводности, электропроводности и вязкости. Главной особенностью работ [20, 21] оказалось выдвинутое авторами предположение о бесконечно малом отношении массы электронов и тяжелых частиц, которое дало возможность отделить кинетическое уравнение для тяжелых частиц от кинетического уравнения для электронов. Применение такого подхода позволило существенно упростить коэффициенты переноса тяжелых частиц, определив их только на температуре тяжелых частиц Ту В работе [22] Дей-белджем были проанализированы процессы переноса в неизотермической плазме в магнитном поле. Кинетические уравнения электронов и тяжелых частиц отделялись друг от друга за счет малости отношения те I т , как и в работах [20, 21]. Однако в [22] было принято, что масса тяжелых частиц конечна, так что функция распределения нулевого порядка для тяжелых частиц оказывается максвелловскои, в отличие от представления // в виде дельта-функции, принятого в работах [20, 21]. Это привело к некоторому изменению соотношений для коэффициентов переноса по сравнению с работами [20, 21].
Обобщение результатов, полученных в [11] для многокомпонентной газовой смеси, на случай многокомпонентной плазмы было выполнено Дево-то в работах [23-26], в которых исследовались процессы переноса в частично ионизованных смесях одноатомных газов без магнитного поля. В работе [23] Девото были получены выражения для коэффициентов диффузии, термодиффузии, теплопроводности и вязкости произвольного компонента смеси в произвольном порядке приближения Чепмена-Каулинга. На основе этих соотношений была проанализирована сходимости значений коэффициентов переноса. В частности, было показано, что для расчета векторных коэффипиен тов переноса полностью ионизованной плазмы необходимо использовать как минимум третье приближение Чепмена-Каулинга, для расчета же тензорных коэффициентов переноса (прежде всего коэффициента вязкости) достаточно второго приближения Чепмена-Каулинга. В случае нейтрального газа для расчета векторных и тензорных коэффициентов переноса можно использовать, соответственно, второе и первое приближения Чепмена-Каулинга. В работе [24] была предложена методика полного отделения кинетического уравнения для электронов от кинетического уравнения для тяжелых частиц за счет малости отношения те I т , обобщающая соответствующие результаты
Это позволило получить упрощенные выражения для коэффициентов переноса электронов, в которых учитываются только сечения столкновения электронов с другими частицами плазмы. Применимость подобного подхода к описанию процессов переноса в плазме была продемонстрирована Девото в этой работе на примере расчета коэффициентов теплопроводности и вязкости аргоновой плазмы. Автором было показано, что значения соответствующих коэффициентов переноса, полученные на основе полных и упрощенных выражений, отличаются не более чем на 1 %. Аналитические результаты работ [23, 24] затем были частично уточнены в работах [25, 26].
Теория процессов переноса, развитая в [23, 24], была позднее использована Девото для расчета коэффициентов переноса ряда частично ионизованных плазменных сред. Так, в [27] на основе полных выражений для коэффициентов переноса работы, полученных в [23], были рассчитаны значения коэффициентов теплопроводности, вязкости, диффузии и электропроводности частично ионизованной аргоновой плазмы. В работах [28, 29] на основе упрощенных выражений для коэффициентов переноса работы [24] были выполнены расчеты соответствующих коэффициентов переноса аргоновой и водородной плазмы в широком диапазоне температур и давлений среды.
Линеаризованные уравнения моментов
В случае В слагаемые R qq и R neq в ФРмУле (2.93) имеют квадратичный порядок малости по числу Кнудсена в силу выполнения условий (2.34) и (2.37). В результате при слабом отклонении плазмы от химического равновесия моменты R mnq могут быть опущены в правой части уравнений (2.71). Несмотря на это, моменты химического интеграла столкновений будут удержаны в уравнениях (2.71), поскольку для некоторых ситуаций, имеющих место, например, в случае бимолекулярных реакций, а также реакции диссоциации в молекулярном газе, может выполняться более мягкое, чем (2.37), условие на число Кнудсена, отвечающее химическим процессам:
Knreact Кщпі. В результате для этих случаев моменты R mnq могут оказаться того же порядка, что и слагаемые Rnq [62, 63, 92-95].
С учетом уравнений (2.72), (2.75), (2.76), (2.91) окончательная общая система линеаризованных уравнений моментов может быть представлена как
Напомним, что введение символов Кронекера 8CQ И 8CJ В правой части уравнений (2.94) связано с обсуждавшимися выше двумя случаями, соответственно, сильного (с = 0) и слабого (с = 1) отклонения плазмы от химического равновесия.
Система уравнений моментов (2.94) должна быть дополнена соотношениями v -]/2о100-П Г 010 int 000 п /-)Q а а v ) следующими из условий (2.14) и (2.70), которые, в свою очередь, вытекают из определения среднемассовой скорости плазмы (2.13) и полной энергии единицы объема плазмы (2.44). Система уравнений (2.94) наравне с линейными по числу Кнудсена членами содержит пространственные производные от членов вида V паа! пС1 , имеющие в общем случае порядок Є . Однако, несмотря на это, мы оставили эти слагаемые в общей системе уравнений моментов, поскольку необходимость в их учете может возникнуть при рассмотрении задач, в которых существенно различными оказываются продольный и поперечный масштабы изменения макроскопических параметров плазмы (примерами служат баро-диффузия в вязком потоке [105], проблемы плазменных неустойчивостей [147]). Подчеркнем, что в отличие от метода моментов Грэда слагаемые вида V паа! псі в рамках метода Чепмена-Энскога появляются в уравнениях переноса лишь во втором, или так называемом барнеттовском приближении [8, 10, 11].
Если опустить эти члены в левой части уравнений (2.94) и исключить производные по времени от па, и и Т при помощи упрощенных уравнений сохранения (2.55), то линеаризованная система уравнений моментов принимает вид: mnq na ra Величину da в литературе по кинетической теории газов [8, 10, 11] принято называть диффузионной термодинамической силой. На самом деле, как следует из линейных соотношений термодинамики неравновесных процессов [89, 148], более уместно присвоить такое название величине pda, которая имеет размерность силы, действующей на частицы в единице объема среды
Напомним, что системы уравнений (2.94), (2.96) были получены выше для частиц плазмы, имеющих внутренние степени свободы, однако они применимы также и к бесструктурным частицам плазмы (в том числе и электронам). В этом случае в соответствующих уравнениях моментов необходимо индексу q придать значение g = 0 и положить /єа ) + є = 0, с у = 0.
Общие линейные соотношения переноса для плазмы с учетом процессов неупругого взаимодействия частиц и химических реакций
Сравнение слагаемых, содержащих производные по времени и координате от коэффициентов разложения а " в левой части системы уравнений моментов (2.96) для векторных и тензорных величин со слагаемыми в пра вой части соответствующей системы с учетом принятой иерархии чисел Кнудсена (2.35) приводит к следующей оценке соотношения этих величин:
Поэтому значения средних энергий могут релаксировать к равновесию за времена, заметно превышающие характерное время упругих столкновений (см. соответствующий анализ такой релаксации в [146]). Однако в силу принятого нами в самом начале условия (2.35), означающего, что все времена релаксации (включая характерные времена неупругих столкновений) оказываются заметно меньшими, чем характерный временной масштаб задачи 9, можно считать условие пренебрежения временными и пространственными производными от моментов в левой части уравнений (2.96) по сравнению с их правыми частями выполненными также и для скалярных величин.
При дальнейшем рассмотрении уравнений моментов удобно перейти от коэффициентов разложения функции распределения а к коэффициентам ЬпУ, определяемым следующим соотношением:
Из структуры уравнений (2.94), (2.96) видно, что при т= 0, 1, 2 обе части линеаризованных уравнений переноса оказываются зависящими только от скалярных, векторных либо тензорных величин соответственно. Поэтому общая система уравнений моментов (2.96) может быть разделена на три независимые подсистемы, описывающие скалярные, векторные либо тензорные свойства переноса компонентов плазмы
Системы векторных и тензорных уравнений переноса для электронов
Объединяя вместе формулы (4.14), а также используя выражения (2.68), получим выражения для парциального теплового потока qa: плазма находится в условиях химического равновесия, второе слагаемое в (4.27), ответственное за конвективный перенос поступательной, внутренней и химической энергий, может быть преобразовано [57, 58], поскольку концентрации компонентов плазмы оказываются однозначными функциями температуры плазмы, так что где Ха - так называемая реактивная теплопроводность компонента а. Поскольку мы рассматриваем случай, когда состояние плазмы может заметно отклоняться от химического равновесия, представление (4.28) может оказаться некорректным. Поэтому ниже мы будем использовать более общее представление qa (2.10).
Суммируя парциальные потоки тепла (4.27) по всем сортам частиц плазмы, можно получить общий поток тепла в плазме
Выражения для приведенных потоков тепла ha и ha позволяют получить выражения для массовых диффузионных потоков Ja = pawa, а также входящих в них коэффициентов диффузии и термодиффузии, используя первое уравнение системы (2.102). В результате несложных, но громоздких преобразований имеем [91]:
Уравнение диффузии (4.33) может быть приведено к виду уравнений многокомпонентной диффузии в форме Стефана-Максвелла. Действительно, входящие в матричные элементы Naa коэффициенты Саа , С а и С а (напомним, что через последние два коэффициента выражаются элементы
Здесь матричный элемент N aa =т= Ц—(1 — Aag) [105, 146], и Aag - поправ ка, связанная с дополнительным учетом вклада от тепловых потоков в уравнение диффузии тяжелых частиц. Явное выражение для Aag громоздко и здесь не приводится. Используя тождество (4.37), перепишем уравнение диффузии (4.33) в форме уравнений Стефана-Максвелла:
До сих пор мы рассматривали векторные коэффициенты переноса для плазмы без магнитного поля. Однако представленные выше результаты могут быть легко обобщены на случай, когда в плазме имеется магнитное поле. Для этого в левой части системы уравнений (2.102) достаточно выполнить преобразование слагаемых с магнитным полем, воспользовавшись комплексным представлением векторного произведения произвольного вектора х на вектор k:xxk zx. В результате такого преобразования матрица А2, фигурирующая в формулах (4.15), (4.16) примет вид:
Окончательные выражения для тепловых и диффузионных потоков тяжелых частиц плазмы в магнитном поле могут быть получены при обратном переходе от комплексного представления векторного произведения векторов х и к к действительному. Тогда в направлении вдоль магнитного поля выражения для транспортных потоков и отвечающих им коэффициентов переноса будут совпадать с соответствующими выражениями, полученными для плазмы без магнитного поля. Поперечные и холловские компоненты диффузионных и тепловых потоков, а также соответствующие им коэффициенты диффузии и теплопроводности определяются соответственно действительной и мнимой частями получаемых комплексных выражений, в которых матрицы
В заключении этого параграфа отметим, что векторные явления переноса в рамках приближения 17 моментов уже рассматривались ранее в работах [90-94, 146] для смеси многоатомных газов. Так, в работах [90, 91, 146] были получены выражения для парциального коэффициента термодиффузии, а также полного коэффициента теплопроводности А, смеси нереагирующих газов. Векторные явления переноса в высокотемпературных смесях газов, в которых могут протекать бимолекулярные реакции, а также реакции диссо 127 циации и рекомбинации молекул, анализировались в [92-94]. В частности в этих работах были получены численные оценки поправок к векторным коэффициентам переноса, возникающие за счет этих химических реакций.
Как известно [16], выражение для парциального тензора вязких напряжений 7іага в магнитном поле может быть представлено как
Явный вид матричных элементов Наа представлен в Приложении 4. В результате таких преобразований уравнений (2.103) получим следующие системы уравнений для определения парциальных коэффициентов вязкости т\ап
В заключении этого подраздела отметим, что выражения для коэффициентов Г\ап (4.54) в более высоком, чем приближения 17 и 13 моментов, приближении 21 момента были получены в работе [163] для частично ионизованной химически инертной плазмы, частицы которой не имеют внутренних степеней свободы. В приближении 17 моментов коэффициенты вязкости рассчитывались в работах [91-94, 146] для смесей многоатомных газов. В частности, в [92-94] были получены численные оценки поправок к полному коэффициенту вязкости смеси, возникающие при учете бимолекулярных реакций, а также реакций диссоциации и рекомбинации.
Линейные соотношения переноса для бесструктурных тяжелых частиц плазмы в приближении 21 момента
Динамика пылевых частиц играет важную роль в различных плазменных средах, начиная от лабораторной плазмы и заканчивая астрофизической [121, 122]. Среди различных сил, действующих на пылевую частицу в плазме, наиболее распространенной является сила трения. Эта сила связана с асимметрией функции распределения заряженных и нейтральных частиц. Как хорошо известно [8, 85, 105], вносящая вклад в силу трения асимметрия функции распределения частиц вызвана относительной макроскопической скоростью частиц по отношению к пыли и температурными градиентами частиц. Часто компоненту силы трения, связанную с температурным градиентом, называют термосилой.
В экспериментах с лабораторной пылевой плазмой [121, 122, 175, 176], в которых температура плазмы относительно мала и степень ионизации невелика, обычно рассматривается лишь термосила, связанная с наличием нейтралов [135].
Однако недавно вопросы пыли привлекли к себе значительное внимание со стороны термоядерного сообщества [137, 177]. Отчасти это было мотивировано угрозой, которую может представлять пыль в термоядерном реакторе из-за химической и радиационной активности и накоплении трития. Кроме того, недавние эксперименты показали, что пыль может играть важную роль в работе термоядерных установок. Для описания динамики пылевой частицы в термоядерной плазме необходимо рассмотреть различные силы, включая термосилу. Однако, в горячей и довольно плотной термоядерной плазме концентрация нейтрального газа мала, в то время как в плазме существуют большие градиенты температуры. Таким образом, вклад компонентов плазмы в термосилу становится преобладающим.
Необходимо отметить, что выражения для термосилы, действующей на ионы, хорошо известны. Но в отличие от ионов (которые можно рассматривать как материальные точки), пылевая частица обладает конечным размером и, таким образом, может поглощать частицы, сталкивающиеся с ней. Как результат, следует учитывать обе компоненты термосилы, вызванные поглощением и рассеянием электронов и ионов плазмы. Ниже будут получены выражения для термосилы, действующей на сферическую пылевую частицу в за-магниченной полностью ионизованной плазме. Мы будем предполагать, что радиус пыли намного меньше ларморовских радиусов электронов и ионов, и пренебрегать влиянием магнитного поля на столкновения пылевой частицы с плазмой.
Компонента силы трения, связанная с относительной скоростью пылевой частицы и ионов плазмы (которую здесь будем называть ионной силой трения) хорошо известна [131]. Таким образом, мы будем рассматривать вклады от ионной термосилы и электронной силы трения. Мы будем также предполагать, что диффузионные скорости ионов wz- и электронов we относительно пылевой частицы намного меньше, соответственно, ионной и электронной тепловых скоростей. В этом случае результирующая сила будет просто аддитивной суммой сил трения (пропорциональных тчец) и термосил (которые не зависят от we/z). Таким образом, далее будем предполагать, что ионы и пылевая частица стационарны.
Пылевая частица в плазме обычно заряжена. В термоядерной плазме, где обычно потоки тепла и частиц на пыль довольно велики, температура материала пыли может быть высокой, и, таким образом, может быть важна термоэлектронная эмиссия. В результате пылевая частица в термоядерной плазме может иметь либо большой отрицательный заряд (термоэмиссия мала), либо небольшой положительный (термоэмиссия велика) [178]. Таким обра 169 зом, ниже будет предполагаться, что пылевая частица имеет либо отрицательное, либо относительно маленькое положительное зарядовое число Z (необходимо отметить, что даже в последнем случае Z может быть много больше одного). Общее выражение для силы трения, действующей на сферическую пылевую частицу со стороны частиц сорта "/" , имеет вид: dj =mj \d3yodj (v)vvfj (v) , (5.1) где m , f являются массой и функцией распределения частиц сорта "/ соответственно, v - относительная скорость частицы и пыли, 5м (v) - сечение столкновений частицы с пылью, которое может быть разбито на две части: из-за поглощения и упругого кулоновского рассеяния частиц. Предполагая течение плазмы дозвуковым, функция распределения /, (v) берется в приближении 21 момента [85, 105] (см. Главу 4):
Рассмотрим часть ионной термосилы, связанную с поглощением частиц отрицательно заряженной пылевой частицей. В этом случае сечение Ojy(v)- это сечение поглощения ионов, которое может быть найдено в приближении Ограниченного Орбитального Движения (00Д) [179]: где Z; - зарядовое число иона. В выражении (5.2) удержим только те члены, которые содержат векторы hz и rz. Подставляя соотношения (5.2), (5.3) в уравнение (5.1), получим следующее выражение для части термосилы, связанной с поглощением частиц. где векторы hz и rz могут быть найдены из стационарных уравнений (4.7), (4.8), записанных для ионов в простой полностью ионизованной плазме [105]: щ 5 (5.5) где b=B/B - единичный вектор в направлении магнитного поля, [3Z- = С0дгхгг- -параметр замагниченности ионов, C0gz = Z?-eB/mz - циклотронная частота ио 1 8л/7Г
Для получения электронной силы увлечения, действующей на пылевую частицу, удержим в уравнении (5.2) слагаемое, пропорциональное скорости дрейфа электронов we, которое будет описывать влияние электрического тока на электронную силу трения (напомним, что здесь мы рассматриваем стационарные ионы). Подобная сила трения рассматривалась ранее в работах [132, 133] для простого смещенного максвелловского распределения для электронов. Однако приближение 21 момента, применяемое в этом параграфе, приводит к существенному отличию электронной силы трения от аналогичного выражения, полученного для простого смещенного максвелловского распределения электронов [105]. Итак, электронные моменты he иге, как и в рассмотренном выше случае ионов, могут быть найдены из следующей системы уравнений [105], следующей из стационарных уравнений переноса плазмы (4.7), (4.8):
