Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Скиновые явления в плазме 9
1.1 К теории проникновения магнитного поля в проводящую среду . 9
1.2 Скиновые явления в пылевой плазме 14
Глава 2. Стохастический транспорт в плазме 22
2.1 Ускоренная супердиффузия и конечная скорость полетов Леви 22
2.2 Эффекты памяти в стохастическом транспорте 39
2.3 К теории теплопереноса в замагниченной высокотемпературной плазме 48
Глава 3. Нелинейная динамика решетки электронных вихрей 59
3.1 Исходные уравнения и общие свойства 59
3.2 Нелинейная динамика решетки электронных вихрей 62
Заключение 70
Рисунки 73
Список литературы 80
- К теории проникновения магнитного поля в проводящую среду
- Ускоренная супердиффузия и конечная скорость полетов Леви
- К теории теплопереноса в замагниченной высокотемпературной плазме
- Нелинейная динамика решетки электронных вихрей
Введение к работе
Процессы переноса в плазме представляют собой отдельную большую область исследований. Механизмы и законы, лежащие в их основе чрезвычайно разнообразны, да и сами переносимые субстанции различны по своей природе. Это могут быть обыкновенные нейтральные или имеющие заряд частицы, пассивные или активные примеси, излучение, тепло, магнитное поле, волны. Ввиду очевидной важности этих явлений в плазме, они подробно изучаются в течение многих лет, накоплен богатейший экспериментальный материал и сопровождающая его теория. Однако в результате постоянно растущей точности, усовершенствования методики и постановки экспериментов, уменьшения характерных времен и пространственных масштабов появляются результаты, которые не могут быть объяснены хорошо известной, привычной теорией и требуют нового рассмотрения и более детального анализа.
В данной диссертации рассмотрены примеры таких транспортных процессов, которые выходят за рамки классического переноса, и поэтому могут быть названы нестандартными, но при этом они отнюдь не являются экзотическими. Эти примеры различны природой исследуемых объектов, но едины средой в, которой они происходят - это прежде всего плазма. Ниже следует их краткий обзор.
Мы будем обсуждать теорию скин-эффекта и, следовательно, изучать транспорт магнитного поля при некоторых дополнительных условиях -в присутствии пучка заряженных частиц и в случае наличия пылевого компонента. Инжекция пучка в плазму приводит к быстрому вносу его собственного магнитного поля, а учет инерции электронов приводит к специфическому поведению фронта проникновения. Тем самым, на малых временах и масштабах задачи наблюдается отклонение от классической теории скин-эффекта или обычной диффузии магнитного поля. При наличии пылевого компонента в плазме поведение магнитного поля описывается уравнением нелинейной диффузии с коэффициентом диф-
фузии, зависящим от его величины (магнетосопротивление), что вновь соответствует более сложной динамике, чем в стандартной ситуации.
Исследуя процесс переноса излучения в линиях в корональной плазме, можно обнаружить, что наличие далеких корреляций в полетах фотонов приводит к нелокальности транспорта и более быстрому, чем обычная диффузия, расплыванию начального возмущения. Оказывается, что новый класс уравнений стохастического переноса, который активно использует математический язык дробных производных, позволяет существенно продвинуться в аналитическом исследовании асимптотик такого процесса и обладает нетривиальными и интересными свойствами. Эти уравнения существенно обобщают и дополняют диффузионные, а их решения расширяют класс так называемых устойчивых законов. Существуют механизмы, которые приводят к уравнениям подобного же типа, но с временной нелокальностью и более медленной чем диффузионная эволюцией. Примером служит рассмотренная в диссертации "двойная диффузия" замагниченных заряженных частиц поперек сильного магнитного поля, имеющего малую случайную поперечную составляющую.
Двумерные решетки электронных вихрей являются примером регулярных структур в плазме и обладают целым рядом важных свойств, отличающих их от обычных двумерных кристаллов и обычных волновых сред. Они являются причиной специфической динамики и волнового движения в такой среде. Эти особенности становятся еще более выразительными при учете нелинейных эффектов.
Как мы видим, в основном базой для сравнения служит классическая диффузия, которая действительно хорошо описывает многие процессы, протекающие в плазме. Однако более тонкое изучение некоторых явлений показывает, что для их адекватного объяснения необходимо использование новых типов зависимостей, которые должны быть получены с должным уровнем строгости, исходя из физической сути задачи. Можно сказать, что развитие и претворение в жизнь такого подхода и является связующей нитью содержания диссертации, к краткому изложению которого мы переходим.
Первая глава посвящена вопросам динамики магнитного поля в плазме. В первой ее части рассмотрен процесс быстрого вноса магнитного поля пучком заряженных частиц.
Задача о транспортировке сильноточных пучков заряженных частиц имеет не только целый ряд физических особенностей, но и важное прикладное значение. Так, некоторое время назад активно обсуждалась идея их использования в программе УТС для подвода необходимой мощности к термоядерной мишени [1]. При этом их ток намного превышает альфве-новский, а это означает, что необходима токовая и зарядовая нейтрализация пучка, что может быть достигнуто, например, при транспортировке по плазменному каналу. Но даже слабая разбалансировка этой системы может привести к развороту пучка в собственном поле и его разрушению. Не менее важным является вопрос о динамике магнитного поля пучка при его инжекции в проводящую среду.
Малые характерные пространственные и временные масштабы этой задачи позволяют воспользоваться приближением электронной магнитной гидродинамики (ЭМГ)[2]. Рассмотрение подобных процессов в рамках ЭМГ позволило обнаружить множество интересных фактов, остававшихся скрытыми при использовании классической теории скин-эффекта, и вылилось в серию задач под общим названием: "Теория недиффузионо-го (нелинейного) проникновения магнитного поля в плазму". Как один из важных результатов, следует отметить работу [3], где авторами был предсказан механизм проникновения поля в плазму в виде нелинейной волны постоянной амплитуды, движущейся с постоянной скоростью.
Нашей целью является изучение особенностей поведения магнитного поля сильноточного пучка заряженных частиц при его инжекции в плазму с учетом инерции электронов.
Было получено одномерное уравнение, описывающее динамику поля, проведен его асимптотический анализ с помощью метода Лэкса разложения решения по гладкости, который показал, что начальный разрыв магнитного поля распространяется в глубь плазмы с токовой скоростью, экспоненциально при этом затухая.
Некоторым обобщением на случай многокомпонентной плазмы можно назвать задачу о скиновых явлениях в пылевой плазме, которым посвящена вторая часть главы, потому как многие ее результаты имеют свои аналогии в работах по скин-эффекту в ЭМГ.
Плазменно-пылевые структуры хорошо известны в космической плазме - это планетные кольца, межзвездные облака и хвосты комет. Пыль неизбежно присутствует в плазме экспериментальных, а также промышленных установок. Например, присутствие пыли ухудшает качество компьютерных микросхем, изготовленных методом плазменного травления. Важность и сложность решения этих проблем заставили экспериментаторов и теоретиков заняться целенаправленным изучением плазменных процессов, обусловленных влиянием пыли [4].
Целью этой части диссертации стало изучение динамики магнитного поля в пылевой плазме, выполненное в приближении многокомпонентной МГД. Движение электронного и ионного компонента рассматривалось на фоне неподвижной, произвольно заряженной пыли. В случае наличия градиента концентрации пыли, но при пренебрежении инерцией ионов и электронов, а также диссипацией, связанной со столкновением компонент с пылью, мы, как и в работе [3], имеем дело с нелинейной волной конвективного проникновения поля в плазму. В случае однородного распределения концентрации пыли поведение такой системы описывается уравнениями нелинейной диффузии. В зависимости от параметров задачи (частоты столкновения ионов и электронов с пылью, различное соотношение концентраций компонентов плазмы) рассмотрены предельные случаи этих уравнений и найдены некоторые их решения, включая автомодельные режимы. Полученные результаты применимы также и для описания процессов в физике твердого тела, где аналогом компонентов плазмы могут выступать электроны и дырки полупроводников, а аналогом пыли -кристаллическая решетка и атомы примеси [5].
Во второй главе рассматриваются уравнение и свойства стохастического транспорта и их применение для описания переноса излучения в корональной плазме и переноса тепла в сильном магнитном поле, имею-
щем малую случайную поперечную компоненту.
Стохастический транспорт - это также одно из чрезвычайно популярных в настоящее время направлений в физике процессов переноса. Возросший интерес к нему связан с развитием математического аппарата
«
дробных производных [6], которые характеризуют и отражают нелокальность изучаемых явлений. Существует обширная литература, в которой обсуждаются возможные причины возникновения такой нелокальности, соответствующие уравнения и их свойства (см., напр., обзоры [7, 8, 9, 10]). Часто такой причиной являются микроскопические особенности случайных блужданий, которые служат моделью для описания макроскопического транспорта.
В первой части главы рассмотрена модель случайных блужданий с непрерывным временем и учетом конечности скорости движения отдельных частиц. Выведено уравнение в дробных производных (аналог субстанциональной производной дробного порядка), описывающее процесс "переключения" стохастического переноса с быстрого расплывания х ос ta, а > 1 на псевдоволновой режим а = 1 за счет конечности скорости движения отдельных частиц. Обсуждены качественные особенности нового режима, а также возможность применения данной модели для описания переноса излучения в линиях в корональной плазме, где блуждающими частицами являются фотоны и возбуждения ионов, в которые они преобразуются при поглощении, а дальность полета фотонов определяется формой контура линии.
Во второй части обсуждаются эффекты памяти в стохастическом переносе - зависимость вида описывающих его уравнений от макроскопического времени. Получены уравнения, явно учитывающие микроскопические особенности задачи, без которых невозможно адекватное описание процесса переноса, предложены способы их решения и проанализированы их асимптотические свойства. На модельном примере было продемонстрировано, что начальное условие может сильно изменить эволюцию даже в случае диффузионных параметров задачи - эффективным уравнением будет диффузия, но с постоянным источником. Аналогичная замена
имеет место и для субдиффузионных режимов.
Субдиффузия обладает целым рядом интересных свойств. Ее возникновение связано с наличием временной нелокальности процесса переноса. Примером субдиффузионного поведения может служить модель случайных блужданий с ловушками [11], когда среднее время нахождения частицы в одной точке бесконечно. Однако примеров, когда субдиффузия оказывается строгим следствием обоснованной физической модели, не так уж и много. Таковым, по нашему мнению, также является процесс теп-лопереноса в стохастическом магнитном поле, рассмотренный в третьей части главы. Начало данной тематике было положено в известных работах [12, 13]. Используя общепринятое диффузионное приближение для описания плотности магнитных линий, а также предположив диффузионный закон движения замагниченных частиц вдоль них, мы получим так называемую "двойную диффузию" частиц со скейлингом х ос t1/4. В диссертации показано, что в случае "вытянутого" начального распределения частиц эффективное уравнение для их плотности будет иметь субдиффузионный характер. Были проанализированы границы и условия применимости данной модели, также рассмотрены различные формы начального распределения, обсуждены эффекты памяти.
Третья глава диссертации связана с изучением нелинейной динамики регулярной решетки электронных вихрей в плазме.
Динамика двумерных точечных вихрей является еще одной популярной областью исследования, которой посвящены множество работ и обзоров [14, 15, 16, 17]. Причина этого - широкая распространенность данного объекта в различных физических явлениях и его необычные свойства.
Первая часть главы посвящена выводу основных уравнений (следуя работе [18]), описывающих динамику решетки вихрей, кратко обсуждаются основные свойства ее поведения и важные отличия от обычных двумерных кристаллических решеток обычных частиц: отсутствие массы у отдельного вихря, динамические уравнения низшего порядка, совпадение фазового пространства с координатным, чувствительность к геометрии решетки и др.
Во второй части проанализированы слабо- и сильнонелинейные эффекты, определяющие эволюцию регулярных ансамблей электронных вихрей в замагниченной плазме: нетривиальный эффект зависимости воздействия нелинейности от формы фронта, связь уравнений с геометрией поверхностей, возникновение различных типов особенностей за конечное время, один из которых может быть описан с помощью нелинейного уравнения диффузии. Выявлены качественные отличия в поведении такой среды от стандартных нелинейных волновых сред.
В Заключении коротко перечислены основные результаты работы.
Итак, автор выносит на защиту:
Решение в рамках ЭМГ задачи о вносе в плазму магнитного поля пучком заряженных частиц с учетом инерции электронов плазмы.
Классификацию скиновых явлений в пылевой плазме, где пыль считается точечной и имеющей постоянный заряд.
Обобщение модели ускоренной супердиффузии на случай конечной скорости движения отдельных частиц.
Описание эффектов "памяти" в стохастическом транспорте.
Анализ нелинейной динамики решетки электронных вихрей.
К теории проникновения магнитного поля в проводящую среду
Стохастический транспорт - это также одно из чрезвычайно популярных в настоящее время направлений в физике процессов переноса. Возросший интерес к нему связан с развитием математического аппарата дробных производных [6], которые характеризуют и отражают нелокальность изучаемых явлений. Существует обширная литература, в которой обсуждаются возможные причины возникновения такой нелокальности, соответствующие уравнения и их свойства (см., напр., обзоры [7, 8, 9, 10]). Часто такой причиной являются микроскопические особенности случайных блужданий, которые служат моделью для описания макроскопического транспорта.
В первой части главы рассмотрена модель случайных блужданий с непрерывным временем и учетом конечности скорости движения отдельных частиц. Выведено уравнение в дробных производных (аналог субстанциональной производной дробного порядка), описывающее процесс "переключения" стохастического переноса с быстрого расплывания х ос ta, а 1 на псевдоволновой режим а = 1 за счет конечности скорости движения отдельных частиц. Обсуждены качественные особенности нового режима, а также возможность применения данной модели для описания переноса излучения в линиях в корональной плазме, где блуждающими частицами являются фотоны и возбуждения ионов, в которые они преобразуются при поглощении, а дальность полета фотонов определяется формой контура линии.
Во второй части обсуждаются эффекты памяти в стохастическом переносе - зависимость вида описывающих его уравнений от макроскопического времени. Получены уравнения, явно учитывающие микроскопические особенности задачи, без которых невозможно адекватное описание процесса переноса, предложены способы их решения и проанализированы их асимптотические свойства. На модельном примере было продемонстрировано, что начальное условие может сильно изменить эволюцию даже в случае диффузионных параметров задачи - эффективным уравнением будет диффузия, но с постоянным источником. Аналогичная замена имеет место и для субдиффузионных режимов.
Субдиффузия обладает целым рядом интересных свойств. Ее возникновение связано с наличием временной нелокальности процесса переноса. Примером субдиффузионного поведения может служить модель случайных блужданий с ловушками [11], когда среднее время нахождения частицы в одной точке бесконечно. Однако примеров, когда субдиффузия оказывается строгим следствием обоснованной физической модели, не так уж и много. Таковым, по нашему мнению, также является процесс теп-лопереноса в стохастическом магнитном поле, рассмотренный в третьей части главы. Начало данной тематике было положено в известных работах [12, 13]. Используя общепринятое диффузионное приближение для описания плотности магнитных линий, а также предположив диффузионный закон движения замагниченных частиц вдоль них, мы получим так называемую "двойную диффузию" частиц со скейлингом х ос t1/4. В диссертации показано, что в случае "вытянутого" начального распределения частиц эффективное уравнение для их плотности будет иметь субдиффузионный характер. Были проанализированы границы и условия применимости данной модели, также рассмотрены различные формы начального распределения, обсуждены эффекты памяти.
Третья глава диссертации связана с изучением нелинейной динамики регулярной решетки электронных вихрей в плазме. Динамика двумерных точечных вихрей является еще одной популярной областью исследования, которой посвящены множество работ и обзоров [14, 15, 16, 17]. Причина этого - широкая распространенность данного объекта в различных физических явлениях и его необычные свойства.
Первая часть главы посвящена выводу основных уравнений (следуя работе [18]), описывающих динамику решетки вихрей, кратко обсуждаются основные свойства ее поведения и важные отличия от обычных двумерных кристаллических решеток обычных частиц: отсутствие массы у отдельного вихря, динамические уравнения низшего порядка, совпадение фазового пространства с координатным, чувствительность к геометрии решетки и др. Во второй части проанализированы слабо- и сильнонелинейные эффекты, определяющие эволюцию регулярных ансамблей электронных вихрей в замагниченной плазме: нетривиальный эффект зависимости воздействия нелинейности от формы фронта, связь уравнений с геометрией поверхностей, возникновение различных типов особенностей за конечное время, один из которых может быть описан с помощью нелинейного уравнения диффузии. Выявлены качественные отличия в поведении такой среды от стандартных нелинейных волновых сред.
В Заключении коротко перечислены основные результаты работы. Итак, автор выносит на защиту: Решение в рамках ЭМГ задачи о вносе в плазму магнитного поля пучком заряженных частиц с учетом инерции электронов плазмы. Классификацию скиновых явлений в пылевой плазме, где пыль считается точечной и имеющей постоянный заряд. Обобщение модели ускоренной супердиффузии на случай конечной скорости движения отдельных частиц. Описание эффектов "памяти" в стохастическом транспорте. Анализ нелинейной динамики решетки электронных вихрей.
Ускоренная супердиффузия и конечная скорость полетов Леви
В данном разделе рассматривается процесс расплывания в однородной и изотропной среде макроскопического облака микроскопических пассивных (т.е. не влияющих на среду) частиц, характеризуемых некоторым "внутренним" законом случайного блуждания. Последнее обстоятельство относит этот процесс к весьма популярному в современной физике классу стохастических переносов (см., напр., обзоры [7, 8, 9] или недавние оригинальные статьи [11], [29]-[33]). В зависимости от особенностей блуждания на микроскопическом уровне макроскопические уравнения переноса для плотности облака n(x,t) могут быть весьма отличными от классической диффузии (содержа ее в качестве частного случая) и, как правило, включают в себя дробные производные (см. [6]) по пространственным и/или временным переменным.
Стандартная модель блужданий заключается в следующем. Рассматривается одномерное движение частиц по прямой х (многомерные обобщения обсуждаются ниже), характеризуемое следующими вероятностными законами д(\х\) и f(t): частицы, находящиеся в любой точке (скажем, хо) могут совершать мгновенный перескок в соседние точки таким образом, что вероятность попасть в интервал (XQ + х: XQ + х + dx) равна g(x)dx, причем происходит это перемещение после некоторого процесса ожидания, так что вероятность покинуть свое местонахождение (все то же гго) в интервале (t,t-\- dt) (после прибытия сюда) равна f(t)dt. Именно случайность микроскопического закона движения ответственна за стохастичность соответствующего макроскопического переноса: в его процессе происходит "забывание" начального состояния щ(х) = п(х,0) и выход распределения n(x,t) на универсальный автомодельный профиль (см. процитированную литературу и ниже).
Исторически первым исследованным примером таких блужданий была толпа пьяных матросов с весьма примитивными д и / (см. [7]), но изложенная модель весьма универсальна и допускает самые разные физические наполнения математических выкладок. Нам, например, в качестве реальной базы наиболее симпатичен перенос излучения в линиях в коро-нальной плазме (см. [34, 35]). В этом варианте пробег микроскопической частицы (фотона или у -кванта) до поглощения зависит от того, излучилась ли она (он) в центре или на крыле линии, так что д(х) однозначно определяется формой контура последней, в то время как /() описывает спонтанный излучательный распад возбужденного состояния иона, в которое трансформируется квант после своего поглощения. Реальный процесс лучистого переноса [36, 37], конечно, сложнее изучаемой модели (в частности, она требует однородности и стационарности плазменных характеристик, например, концентрации и температуры), но многие его черты она все же охватывает.
Конкретным вопросом, решению которого посвящена работа, будет определение влияния на расплывание "облака" возбуждений конечности фиксированной скорости движения частиц v, т.е. учет отклонения от стандартной модели. Однако для лучшего понимания возникающей проблематики требуется краткое изложение специфики процесса в классической постанове задачи, т.е. с v = со . Мы будем следовать в основном [11], хотя многое содержится и в других работах. Важными характеристиками, определяющими характер расплывания облака частиц, являются такие моменты пространственной и временной функций распределения как средний квадрат смещения (длины пробега) и среднее время ожидания:
В случае их конечности эффективное уравнение переноса асимптотически (т.е. на макроскопических временах t (t) и пространственных масштабах х \[(х2)) переходит в классическое уравнение диффузии
В случае же расходимости этих выражений (из-за наличия медленно спадающих степенных "хвостов" уд и /), ситуация кардинально меняется. Вариант с (а:2) = оо, называемый "полетами Леви", приводит к пространственной нелокальности процесса переноса (в уравнении появляется дробная степень лапласиана — интегральный оператор типа свертки с некоторой степенной функцией х) и более быстрому расплыванию облака, тогда как вариант с (t) = оо (для него используется термин "ловушки") порождает временную нелокальность (дробную производную по времени — несколько другого типа!) и замедляет макроскопическое движение. В общем случае асимптотическое уравнение переноса выглядит как где постоянная К, равно как и показатели 7 1 и /3 1 связаны со степенями "хвостов" / и д, так что характерная ширина облака n(x,t) эволюционирует по закону "Лишние" минусы при лапласиане легко объясняются видом соответствующего оператора в пространстве Фурье, см. ниже. Стандартная терминология характеризует любые стохастические процессы, описываемые (2.3), в случаях а 1/2 и а 1/2 как супер-и субдиффузионные соответственно1. Эта уже неоднократно помянутая стохастичность или "забывание" начальных условий заключается здесь в "навязывании" общему решению (2.2) автомодельности его функции Грина G(x,t) = l/ta {x/ta): как только характерная ширина G, увеличивающаяся согласно (2.3), начинает превышать начальный размер облака (часто говорят о "достаточности удвоения масштаба в процессе расплы-вания"), распределение плотности
К теории теплопереноса в замагниченной высокотемпературной плазме
Последовательное претворение в жизнь программы по выявлению асимптотических свойств стохастического переноса микроскопических частиц позволило вывести новые макроскопические уравнения, описывающие кинетику этого процесса с учетом конечности скорости движения частиц. Несмотря на иной тип присутствующих в них дробных производных, эти уравнения оказались вполне удобными для достаточно подробного изучения привносимых конечностью v эффектов: "переключения" автомодель-ности функций Грина, "вымирания" сидящих частиц и нетривиальности влияния размерности задачи. Все они могут иметь самое непосредственное отношение к практике, в частности, к транспорту излучения в плазме.
Существует много различных физических причин, приводящих к нело-кальностям (дробным производным) в уравнениях переноса (см. обсуждение этого вопроса выше и в [41, 47]). Одной из наиболее часто встречающихся является наличие медленно спадающих пространственных и временных корреляций в движении отдельных частиц расплывающегося облака. Поскольку в таких случаях макроскопическое (для облака) уравнение переноса выводится как раз из модели случайных блужданий отдельных частиц (не обязательно являющихся обычными частицами), то они имеют принципиально асимптотический смысл. В предыдущем разделе (см. [47]), посвященном в основном эффектам, привносимым конечностью скорости блужданий, мы упоминали о нетривиальности такого асимптотического перехода и сложной зависимости макроскопического транспорта от микроскопических деталей и начального условия. Теперь мы хотим детально выявить физические последствия этой идеологической и математической нетривиальности.
Очевидно, что у любых физических процессов, удовлетворяющих принципу причинности, следует ожидать преемственности эволюции: если решение описывающих процесс уравнений функционально связано с начальным состоянием через функцию Грина Gt п(х, t) — Gt n(t = 0), то Иными словами, рассматривая достигнутое в какой-либо момент t\ состояние как новое начальное условие, мы не нарушаем плавности эволюции. Тем не менее, уравнения, обсуждаемые во всех известных нам работах, посвященных нелокальному недиффузионному транспорту с дробной временной производной (2.2), включая недавний прекрасный обзор [10], таким свойством в строгом смысле не обладают. Это неприятное обстоятельство практически никак не обсуждается в литературе, тогда как именно оно должно было бы помочь в осознании скрытого дефекта описания — неполноты представления состояния облака частиц только его макроскопической концентрацией n(x,t). Интересно, что схожие проблемы возникают при рассмотрении сильносвязанных кулоновских систем в рамках квантовой кинетической теории, где проявляется сильная зависимость решений от начальных корреляций [46]. Попытка разобраться в явлении приводит к парадоксальному выводу о том, что даже в тех случаях, когда эффективное уравнение для макроскопической эволюции сводится к классическому уравнению диффузии с обычной первой производной по времени (очевидно удовлетворяющему (2.24)), дефект часто всего лишь скрыто заметен под ковер. На самом деле время выхода на макроскопический режим эволюции существенно зависит от начального условия и может быть много больше микроскопи «««топя?" ческого времени (т), характеризующего блуждание отдельных частиц. Тем более это характерно для субдиффузионных временных операторов. Таким образом, обсуждаемые в данной работе эффекты "памяти" заключаются не в наличии уже привычной временной нелокальности (дробной производной) в эффективном транспортном уравнении, а в зависимости от макроскопического (см. ниже) времени t самого вида этого уравнения. Для вывода уравнений переноса, мы, как и в предыдущем разделе (см. также [11, 47]), будем использовать стандартную модель случайных блужданий. Еще раз отметим, что частицы, находящиеся в данной точке х "помнят" момент своего прибытия сюда, так что их пространственная плотность п представляет собой интеграл распределения N по "времени жизни" г: Теперь мы можем выписать уравнение баланса для находящихся в данный момент в данной точке частиц (ср. с (2.8) при v = оо): Последний член в правой части уравнения отвечает за влияние начального распределения частиц No{x,r) = N(x,0,r) по времени жизни. Система (2.25-2.26) полностью описывает ситуацию и, очевидно, удовлетворяет условию (2.24). Отметим, что если: No = щ5+(т), то (см. выше) в результате прибытия новых частиц в каждой точке мгновенно (при любых t 0) формируется автомодельный профиль (2.9) с коррелированной зависимостью от t и т. В этом случае, как и в предыдущем разделе главы, от системы (2.25-2.26) можно перейти к одному базовому уравнению для макроскопической плотности п [11]: Уравнение переноса может быть также записано в терминах только п, если / = fiexp(—fj,t) (fj, = l/(r)). Тогда F и / просто пропорциональны друг другу. Причина такой выделенности экспоненциального закона абсолютно прозрачна: только при нем в единицу времени выбывает фиксированный процент сидящих частиц не зависимо от того, когда они прибыли сюда, то есть все, помещенные "в общий мешок" / N(T) dr, находятся в равных условиях. В остальных случаях розыгрыш в рулетку зависит от времени ожидания т, и нельзя пренебрегать деталями распределения Щт). В большинстве работ уравнение (2.27) выписывается сразу, что должно подразумевать либо выполнение одного из двух указанных выше условий, либо иную заложенную модель (что авторами этих работ не обсуждается). В общем случае уравнение (2.27) справедливо лишь в некотором асимптотическом смысле — должно пройти достаточно времени (см. ниже), прежде чем автомодельная зависимость (2.9) займет большую часть профиля N(r) и начинает играть доминирующую роль в Q по сравнению с TVo- Нетрудно убедиться, что для (2.27) условие (2.24) выполняется, только если / = /лехр(- і). В остальных случаях для адекватного описания процесса переноса необходимо пользоваться исходной системой (2.25-2.26). Ниже мы предложим способ точного решения этой системы и покажем, как начальное распределение частиц по времени жизни отражается на последующей эволюции.
Нелинейная динамика решетки электронных вихрей
В данном разделе рассматривается процесс диффузии замагниченных заряженных частиц, находящихся в сильном продольном магнитном поле, которое имеет малую случайную поперечную составляющую. Такая ситуация встречается довольно часто в системах, где имеется выделенное направление магнитного поля, например в токомаках, открытых магнитных ловушках и других системах магнитного удержания. Для описания стохастического магнитного поля мы воспользуемся простейшим диффузионным приближением [12, 13, 51]. Хотя этот подход хорошо известен, имеет давнюю историю и широко применяется в задачах теплопереноса в плазме, мы кратко изложим его основные моменты, которые понадобятся для более ясного понимания рассматриваемого явления. Геометрия задачи выглядит следующим образом. Магнитное поле В направлено преимущественно вдоль оси z. Это означает, что величина его составляющей, коллинеарной оси z, В\\ дВ, где 5В малая случайная поперечная компонента поля. Важно, что магнитное поле является бездивергентным V В = 0. На рис.П.4, заимствованном из прекрасного обзора [9], изображена магнитная трубка такого поля. В некоторой плоскости z = гд. выберем контур, охватывающий пучок магнитных линий. Смещаясь в продольном направлении (причем неважно в положительном или отрицательном), мы видим, что отдельные магнитные линии удаляются друг от друга, контур деформируется. Его граница становится все более искривленной, однако вследствие сохранения магнитного потока площадь, охватываемая контуром, сохраняется. Это ведет к экспоненциальному уменьшению расстояния d между стенками трубки. Чем дальше мы будем отходить от плоскости z = ZQ , тем более равномерно будет заполнять плоскость деформированный контур. Проведя усреднение по площади сечения, мы можем говорить, что средняя плотность линий Ь магнитного поля уменьшилась и удовлетворяет диффузионному уравнению, где роль времени играет координата z (или в более общем случае - супердиффузионному, тогда место лапласиана занимает его дробная степень (А±/,/3 1):
Здесь Db - эффективный коэффициент диффузии, z имеет смысл абсолютного расстояния от начального положения контура. Дадим еще один небольшой комментарий к этому уравнению. В нашей постановке задачи средняя напряженность магнитного поля, вообще говоря, одинакова-во всем пространстве и равна некоторой постоянной величине BQ . Однако, если мы захотим проследить за эволюцией плотности "пучка" магнитных линий, "покрашенных" находящимися на них частицами, то вследствие влияния флуктуации магнитного поля она будет подчиняться диффузионному закону, что и отражено в (2.39). То есть под 6, удовлетворяющей (2.39), мы подразумеваем плотность выделенных магнитных линий. Как уже говорилось, до усреднения это соответствует выбору некоторого контура, их охватывающего, за деформацией и расплыванием которого при смещении вдоль оси z мы наблюдаем.
Таким образом, мы определили как в нашей модели будет представлено магнитное поле. Следующим этапом будет описание поведения заряженных частиц. Как хорошо известно, квадрат отношения циклотронной частоты и частоты столкновений частиц задает отношение продольного и поперечного коэффициентов переноса в магнитном поле. Будем считать магнитное поле сильным, а частицы, следовательно, замагничен-ными: {и)в/ъ )2 ос Dn\\j Dn± 1. Это означает, что движение частиц происходит практически строго вдоль линий магнитного поля, и они не могут перескочить с одной магнитной линии на другую (более подробно вопрос поперечного транспорта и границы применимости обсуждаются ниже). Столкновения частиц, находящихся на одной силовой линии, друг с другом ответственны за распределение их концентрации вдоль линии, которое мы также будем описывать диффузионным уравнением:
Здесь I координата вдоль магнитной линии, Dn - коэффициент продоль ной диффузии, постоянный и одинаковый для всех частиц (здесь и далее мы будем опускать индекс, указывающий на продольное направление диффузии). В силу малости флуктуации магнитного поля можно положить I z. Таким образом, мы описали модель, на основе которой будем описывать транспорт частиц в стохастическом магнитном поле. Несмотря на внушительное количество допущений, все они представляются физически оправданными и адекватными реальной картине, наблюдаемой в многочисленных экспериментах по теплопереносу в плазме. Хотя эволюция магнитного поля и частиц описывается простыми и хорошо изученными уравнениями диффузии, совместное их решение в рамках рассматриваемой модели является нетривиальной задачей. Несложные скейлинговые оценки системы (2.37-2.38) дают следующую автомодельную связь переменных или новое отношение масштабов в задаче: г ос t1 . Первыми кандидатами, которые обладают такой автомодельностью, и могут применяться для описная диффузии пассивных (не оказывающих влияния на среду) частиц являются, например, уравнение с квадратом лапласиана в правой части и уравнение с переменным коэффициентом диффузии. Однако уравнение первого типа приводит к нефизическому занулению второго момента функции распределения, а уравнение второго типа подразумевает пространственную неоднородность задачи. Эти предварительные рассуждения показывают, что ответ нужно искать в несколько ином классе уравнений.
Постепенно двигаясь к построению ответа для наиболее общего случая, рассмотрим простую задачу с локализованным начальным распределением частиц в точке (г0, С): щ{т) = 8(г — ro)5(z — ). Координата точки г задается парой (rr,z), где г координата в плоскости, перпендикулярной оси z и проходящей через точку z. Ответ в этом случае достаточно очевиден и представляет собой простое произведение решений (1) и (2) с начальными условиями bo и щ/Ъо соответственно:
Похожие диссертации на Теоретическое изучение нестандартных явлений переноса в плазме
