Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Обзор по теории волн в плазме с резкими границами .13
1.1. Поверхностные волны в плазме с резкими границами в отсутствии внешнего магнитного поля 13
1.2. Поверхностные волны в плазме с резкими границами во внешнем магнитном поле 19
1.3. Цилиндрически симметричные плазменные системы. Плазменный волновод 26
Глава II. Поверхностные волны в плазменных системах с плавными границами в плоской геометрии 32
2.1. Вывод основного уравнения теории поверхностных волн в плаз ме 32
2.2. Длинноволновое приближение. Необходимость аналитического продолжения и проблема разрыва потенциала 34
2.3. Общая теория поверхностных волны на границе плазменного полу-пространства .41
2.4. Учет теплового движения и обоснование правила Ландау .49
2.5. Волны плазменного слоя с одной свободной границей в волноводе. Исчезновение поверхностных волн .58
2.6. Поверхностные волны плазменного слоя с двумя свободными плавными границами .64
2.7. Случай произвольной зависимости плотности плазмы от пространственной координаты 72
Глава III. Поверхностные волны в плазменных системах с плавными границами в цилиндрической геометрии .76
3.1. Постановка задачи, основные уравнения и выбор общего реше-ния 76
3.2. Плазменный цилиндр со свободной внешней поверхностью в волно-воде 78
3.3. Полый плазменный цилиндр в волноводе 84
3.4. Трубчатая плазма с размытыми границами в волноводе 86
Глава IV. Поверхностные волны в плазменных системах с плавными границами во внешнем магнитном поле .90
4.1. Основное уравнение теории поверхностных волн в магнитоактивной плазме .90
4.2. Поверхностные волны магнитоактивной плазмы с одной плавной границей в длинноволновом приближении 92
4.3. Поверхностные волны плазменного слоя в длинноволновом прибли жении .97
4.4. Общее дисперсионное уравнение для поверхностных волн магнито активной плазмы с плавной границей .100
Заключение 105
Литература
- Поверхностные волны в плазме с резкими границами во внешнем магнитном поле
- Общая теория поверхностных волны на границе плазменного полу-пространства
- Плазменный цилиндр со свободной внешней поверхностью в волно-воде
- Поверхностные волны магнитоактивной плазмы с одной плавной границей в длинноволновом приближении
Введение к работе
Актуальность работы
Значительное внимание при исследовании электродинамических систем с плазменным заполнением уделяется волнам, имеющим фазовые скорости меньшие скорости света в вакууме. Изучение этих медленных плазменных волн важно для решения многих актуальных проблем плазменной СВЧ электроники, физики газового разряда, физической электроники и ряда других областей физики. Свойства медленных плазменных волн зависят от геометрии плазмы, от характера границ раздела между плазмами разной плотности и между плазмой и другими средами. В зависимости от структуры электромагнитного поля обычно выделяют следующие типы медленных плазменных волн: объемные волны, объемно-поверхностные волны и поверхностные волны [1]. Особую роль для многочисленных приложений играют поверхностные плазменные волны. Достаточно упомянуть прикладные проблемы, решаемые в рамках таких современных направлений физики плазмы, как плазменная СВЧ электроника [2] (черенковская генерация электромагнитного излучения СВЧ диапазона) и плазмоника [3] (локализация электромагнитной энергии в сверхмалых областях пространства). Этим проблемам, а значит и исследованию поверхностных волн в плазме, в последнее время уделяется особо большое внимание, чем и определяется актуальность темы диссертации, посвященной исследованию поверхностных волн в различных плазменных электродинамических системах.
К настоящему времени в плазменной СВЧ электронике достаточно подробно и теоретически и экспериментально исследованы объемно-поверхностные волны в замагниченной плазме [4]. Однако переход к использованию в экспериментальных установках плазменной СВЧ электроники неза-магниченной плазмы приводит к необходимости дополнительного теоретического исследования поверхностных волн [5]. Дело в том, что в отсутствии магнитного поля частота поверхностных волн всегда меньше максимальной лен-гмюровской частоты плазмы и, кроме того, поверхности разрыва нормальной составляющей напряженности электрического поля волны совпадают с границами плазмы. В реальных условиях резких границ у плазмы нет. Обычно имеется пространственная область, в пределах которой плотность плазмы изменяется от нуля до некоторого максимального значения. Возникает вопрос, к каким точкам размытой границы плазмы «привязана» поверхностная волна и может ли она вообще существовать? Другими словами, при какой степени размытости границы плазмы поверхностная волна в плазме становится невозможной. Далее, ленгмюровская частота электронов плазмы в пределах размытой границы плазмы изменяется от нуля до некоторого максимального значения. Поэтому, где-то внутри границы имеется особая точка плазменного резонанса. Возникает вопрос о поведении поля в точке плазменного резонанса и появляется связанная с этим математическая проблема правильного учета (обхода) особой точки. Понятно, что для теории поверхностных волн в плазме и для приложений, существенно использующих поверхностные волны, поставленные вопросы имеют принципиальное значение. Ответ на поставленные вопросы, чему в значительной мере посвящена настоящая диссертационная работа, принципиален для физики поверхностных волн в плазме и чрезвычайно актуален для современных прикладных исследований, использующих поверхностные волны в плазме.
Цели диссертационной работы
Определение комплексных спектров частот и структур полей поверхностных волн плазменных систем с плавными границами с различной геометрией.
Выяснение условий существования поверхностных волн различного типа в плазменных системах с плавными границами.
Обоснование применения правила Л.Д. Ландау в рамках теории поверхностных волн плазмы с плавными границами и исследование поведения поля волн в окрестности точки плазменного резонанса.
Учет внешнего магнитного поля в теории поверхностных волн плазмы с плавными границами.
Научная новизна
-
Впервые в аналитическом виде получены дисперсионные уравнения для определения комплексных спектров частот поверхностных волн различных плазменных структур с плавными границами в плоской и цилиндрической геометриях. Аналитически и численно из дисперсионных уравнений определены комплексные частоты поверхностных волн, учитывающие бесстолкновительное затухание, обусловленное резонансным возбуждением поверхностной волной локальной ленгмюровской волны непрерывного спектра.
-
Впервые обнаружены и исследованы новые типы поверхностных волн в плазме, обусловленные размытостью границ плазмы. Показано, что в области коротких длин волн (длина волны меньше толщины границы плазмы) существуют поверхностные волны нового типа, отсутствующие в плазме с резкими границами.
-
Впервые показано, что при увеличении размытости границ плазмы обычные поверхностные волны в плазме пропадают. Установлены условия существования поверхностных волн в плазме с плавными границами.
-
Впервые учтено влияние внешнего магнитного поля на комплексные спектры частот поверхностных волн плазменного полупространства и плазменного слоя с плавными границами.
Практическая ценность результатов
Разработанная в диссертационной работе теория поверхностных волн в
плазме с плавными границами для различных геометрий в отсутствии и при наличии внешнего магнитного поля, может быть использована:
- при решении прикладных задач плазменной СВЧ-электроники (постановка
новых экспериментов и обсуждение имеющихся экспериментальных данных);
- при теоретическом исследовании резонансных взаимодействий волна-частица,
обусловленных пространственной неоднородностью плотности плазмы;
-при разработке новых теоретических курсов и практических задач по физике
плазмы и плазменной СВЧ-электронике.
Достоверность результатов
Достоверность результатов диссертационной работы доказывается тем, что они были получены с использованием современных математических методов, вычислительных средств и программного обеспечения. Кроме того, достоверность аналитических результатов доказывается их сравнением с результатами численных расчетов, а также соответствием полученных результатов в предельных случаях. Полученные результаты находятся в соответствии с результатами, известными из литературных источников.
Публикация и апробация работы
По материалам диссертационной работы опубликовано четыре статьи [А1-А4] в научных журналах из перечня ВАК.
Результаты исследований докладывались и опубликованы в материалах XLIII Международной конференции по физике плазмы и управляемому термоядерному синтезу, г. Звенигород, 8-12 февраля 2016 г. [А5].
Результаты работы также докладывались на конференциях «Ломоносов-2008» [A6] и «Ломоносов-2009» [A7], на семинарах по физике плазмы на кафедре физической электроники МГУ им. М.В. Ломоносова и на семинаре теоретического отдела в ИОФ РАН им. А.М. Прохорова.
Личный вклад автора
Все результаты, представленные в диссертационной работе, получены
лично автором, либо при его непосредственном активном участии. Автором осуществлялись: аналитические расчеты, разработка программ для численного решения поставленных задач, анализ полученных результатов. Совместно с научным руководителем диссертант непосредственно участвовал в постановке задач, написании научных статей, обсуждении научных результатов, подготовке и представлении докладов на научных конференциях. Значительная часть результатов исследований докладывалась лично автором.
Структура и объем работы
Поверхностные волны в плазме с резкими границами во внешнем магнитном поле
Теперь рассмотрим случай магнитоактивной плазмы с двумя резкими границами в безграничном пространстве (Рис. 1.3а). В этом случае решение уравнения (1.2.1) имеет вид: Г,4ехр(гх), х -х0, ф)= Cexp(/rx)+Z)exp(-/rx), -х0 х х0, (1.2.12) х х„ . Подставляя это решение в граничные условия при х = ±х0, получим следующее дисперсионное уравнение: ехР(4гх0 JZK) = у g" \2 . (1.2.13а) Откуда следуют два дисперсионных уравнения для частот двух поверхностных волн на границах слоя магнитоактивной плазмы /е± + th(k2x0 /sL ) = 0 , e1jeje1 +сЩк2хол]є11/є1) = 0. (1.2.13б) При Qe - о уравнения (1.2.12а) и (1.2.12б) переходят в уравнения (1.1.13а) и (1.1.13б) соответственно. Поэтому первое уравнение (1.2.13б) определяет частоту нечетной волны, а второе уравнение (1.2.13б) - четной.
В коротковолновом пределе (kzx0 - оо) оба уравнения (1.2.13б) переходят в уравнение (1.2.5), т.е. частоты нечетной и четной поверхностных волн в пределе коротких длин волн выходят на частоту (1.2.7).
В противоположном длинноволновом пределе (kzx0 - о) дисперсия нечетной и четной поверхностных волн оказывается существенно различной, как и при нулевом внешнем магнитном поле. В случае нечетной поверхностной волны первое уравнение (1.2.13б) при kzx0 «1 преобразуется к виду Js]]/s1(s1+kzx0) = 0. (1.2.14) Откуда для квадрата частоты находим следующее выражение: aj2=Q2g-aj2pkzx0. (1.2.15) Заметим, что в длинноволновом пределе выражение (1.1.13) со знаком плюс преобразуется к виду a2 =a2p(l-kzx0). Именно в это выражение переходит (1.2.15) при Пе= о. Для нахождения длинноволновой части спектра четной волны запишем дисперсионное уравнение (1.2.13а) в виде exp(2zJ x0) = ± p2Li . (1.2.16) S± j /s± + 1
Уравнение (1.2.16) со знаком плюс описывает четные волны, а уравнение со знаком минус - нечетные волны. Сейчас нас интересует только четная волна. Легко видеть, что при kz=0 уравнение (1.2.16) со знаком плюс не может иметь решений, если величина /є± не имеет особенности. Особенностями являются или нуль є±, или полюс г,,. Нуль є± не подходит, поскольку при kz =0 этот ноль определяет частоту нечетной волны (1.2.15). Остается полюс єц, т.е. точка о = 0. Таким образом, дисперсионная кривая четной волны выходит из точки a = 0,kz=0 (как и при Qe =0, см. формулу (1.1.13) со знаком минус). Однако, согласно неравенству (1.2.6), в области частот 0 а Пе четная волна в объеме плазмы не является поверхностной волной, что при мнимом к следует также и из формулы (1.2.12).
Предполагая, что выполнены неравенства k2x0 \sJS]\«1, е±Єц»1, (1.2.17) преобразуем дисперсионное уравнение (1.2.16) со знаком плюс к виду k2x0s+1 = 0. (1.2.18) Откуда для квадрата частоты имеем выражение a2=a2pk2x0(1-k2x0). (1.2.19) Учитывая уравнение (1.2.18), видим, что неравенства (1.2.17) оказываются тождественными и могут быть записаны в виде следующего ограничения на частоту: aj2aj2-Q2e«aj2pQ2g. (1.2.21)
Последнее легко выполнимо для частот от нуля до значений превосходящих Qe, особенно, если неравенство (1.2.8) является достаточно сильным. Заметим, что в длинноволновом пределе спектр (1.2.19) получается из формулы (1.1.13) со знаком минус. Таким образом, в длинноволновой области частота четной поверхностной волны не зависит от внешнего магнитного поля [70].
Частоты волн плоского плазменного слоя со свободными границами: жирная линия - четная ветвь; обычная линия - нечетная ветвь; пунктир -Дисперсионные зависимости ЙХ(АГ), построенные численно по точным дисперсионным уравнениям (1.2.16), представлены на Рис. 1.7 (1е/а р =1/4). Для полноты изложения рассмотрим еще слой магнитоактивной плаз мы в волноводе (Рис. 1.3б). Решение уравнения (1.2.1) запишем в виде (см. (1.1.16)) ( Ash[kz(L + x)l -L x -x0 ф) = \ Вехр(кх) + Сехр(-кх\ -х0 х х0 , (1.2.22) {Dsh[kz(L-x)l x0 x L
Подставляя решение (1.2.15) в граничные условия и исключая постоянные A, B,C,D, получаем следующее дисперсионное уравнение: , (s1JsJs1th[kz(L-x0)]-\Y exp(4kzx0J7J ) = v/v "; 1 . (1.2.23а) (є1 sll/s1th[kz (L - x0)] +1) Откуда находим два дисперсионных уравнения для частот двух поверхностных волн на границах слоя магнитоактивной плазмы в волноводе (см. уравнения (1.1.17)): s.JsJs.Mk (L-x())] + th(kx()JsJS] ) = 0, iv її/ ov її/ (1.2.23б) s± js]]/s1th[kz (L -x0)] + cth(kzx0 JeJeL) = 0.
При L co уравнения (1.2.23) переходят в дисперсионные уравнения (1.2.13). Уравнения (1.2.23) решаются примерно так же, как и уравнения (1.2.13). Поэтому, опуская промежуточные выкладки, приведем окончательный результат. В коротковолновом пределе частоты нечетной и четной поверхностных волн выходят, как и положено, на Qg/V2. В длинноволновом пределе (kzx0 «1 и kz(L-x0)«\) частота нечетной и четной поверхностных волн определяется формулами (см. (1.1.19)) а2=п2е+а)2р , co2=co2pk2x0(L-x0) . (1.2.24) Дисперсионные зависимостиш(к), построенные численно по точным дисперсионным уравнениям (1.2.23), представлены на Рис. 1.8 (по оси абсцисс отложено безразмерное волновое число /c = kzL1, по оси ординат - безразмерная частота ш = со/сор, Qe/cop = 1/4). Рис. 1.8 Частоты волн плоского плазменного слоя в плоском волноводе: жирная линия - четная ветвь; обычная линия - нечетная ветвь; пунктир - Qg /v2 . 1.3. Цилиндрически симметричные плазменные системы. Плазменный волновод Большое значение для приложений имеют плазменные системы с осевой симметрией в цилиндрических волноводах [57]. Представляют интерес три конфигурации плазмы с цилиндрической симметрией: плазма, имеющая одну резкую внешнюю границу (Рис. 1.10а); плазма с одной внутренней резкой границей, примыкающая к стенке волновода (Рис.1.10б); плазма с двумя резкими границами - трубчатая плазма (Рис.1.10в).
Общая теория поверхностных волны на границе плазменного полу-пространства
С учетом сказанного легко определить спектры поверхностных волн простого слоя. Пренебрежем пока возможным наличием у частоты со мнимой части. Из выражения (2.1.5а) следует, что а Фа p(x) всюду, за исключением точки, в которой Ex=0. Поскольку это есть точка x = Д/2, то для профиля (2.2.1) находим для частоты со известную формулу а = a p0 I \2. Тот же результат имеет место и для всех профилей n0(x) с симметричной относительно средней точки производной.
Выражение (2.1.5а) дает ответ и на основной поставленный вопрос - о разрыве решений (2.2.5) и (2.3.1). Если затухание исследуемых поверхностных волн мало, то основным фактором, определяющим их структуру, является рассмотренный выше простой слой. В точке x = x0, где со2 =а2p(x), производная dyjdx и разность а 2 -а 2p(x) меняют знаки, т.е. возмущение плотности (2.1.5а) знака не меняет. При учете затухания (т.е. при комплексной частоте со) величины d p/dx и а 2-а p(x) меняют знаки в несколько разных точках. При этом, как видно из выражения (2.1.5а), возмущения плотности электронов слева и справа от точки x0 противоположны по знаку. Таким образом, простой слой поверхностной волны приводит к формированию в окрестности точки x = x0 двойного слоя возмущения плотности заряда электронов плазмы.
Известно, что потенциал двойного слоя резко меняется внутри слоя, а поперечное поле Ex велико. Если толщина двойного слоя стремится к нулю, то потенциал претерпевает разрыв. Структура зарядовых слоев в неоднородной плазме, аналогичных описанным выше, рассмотрена в работе [8]. Перейдем теперь к обсуждению Рис. 2.5. На Рис. 2.5а в зависимости от поперечной безразмерной координаты = х/А изображены действительная часть потенциала (обычная линия) и действительная часть напряженности поля Ех (жирная линия); на Рис. 2.5б такими же линиями показаны мнимые части потенциала и поля. Если не принимать во внимание небольшого разрыва потенциала, то действительные части потенциала и поля напоминают потенциал и поле простого слоя, Напротив, мнимые же части потенциала и поля напоминают потенциал и поле двойного слоя. На Рис. 2.5а видно, что производная dcp/d обращается в ноль не в средней точке слоя = 0.5. Что касается небольшого разрыва действительной части потенциала на Рис. 2.5а, то в рамках гидродинамического приближения его природа не имеет объяснения. В следующем разделе, используя результаты кинетической теории, мы покажем, что разрыв потенциала на самом деле отсутствует.
У поверхностной волны (2.2.8) имеется и бесстолкновительное затухание, обусловленное тепловым движением. Комплексная частота, учитывающая только такое затухание определяется формулой [3] «,= 1-,-2щО (23.12) где VTe- тепловая скорость электронов. Из (2.2.8) и (2.3.12) следует что затухание, обусловленное размытостью границы плазмы, превосходит затухание, связанное с тепловым движением, при выполнении неравенства А 1бж 3/2УГе/а р0, означающего, что размер области неоднородности плазмы больше дебаевского радиуса электронов.
Из Рис. 2.4 следует, что в области к т« 0.45 имеется еще одна новая ветвь плазменных волн с комплексной частотой (о2 =Re 2 +zimfi 2. При zA«l эта частота приближенно также определяется из уравнения (2.2.7), имеющего следующее большое по абсолютной величине решение: со2=сор0 і. (2.3.13) 1-і 4 kA Формула (2.3.13) дает комплексную асимптотику кривой со 2{к) на Рис. 2.4 при гД 0. В длинноволновой области плазменная волна со спектром (2.3.13) является сильнозатухающей, поэтому на фоне поверхностной волны (2.2.8) она может не учитываться. Потенциал и поле сильнозатухающей волны близки к потенциалу и полю двойного слоя с центром в точке Х0 = 0.5А.
В области волновых чисел кхт 0.45, исследованные решения дисперсионного уравнения исчезают, сменяясь, на качественно новые корни. Изменение характера дисперсионных кривых хорошо видно из Рис. 2.4. Происходит оно в точке ветвления к = а комплексных функций а {к). Пренебрегая в приближенном уравнении (2.2.7) логарифмическим членом, имеем
Приравнивая в последнем уравнении к нулю подкоренное выражение, для точки ветвления находим к = kzA = 2/ж « 0.64. Численный анализ точного дисперсионного уравнения (см. Рис. 2.4) для точки ветвления дает к = а»0Л5.
В рамках плазменной модели с профилем (2.2.1) предельный переход к плазме с резкой границей (Д = о) состоит в следующем. В размерной форме положение точки ветвления определяется соотношением г =оД_1 «0.45Д-1. При Д - о точка ветвления уходит в право, и в любой конечной части плоскости а, к2 остается только обычная слабозатухающая поверхностная волна с законом дисперсии (2.2.8).
Плазменный цилиндр со свободной внешней поверхностью в волно-воде
Выражения (2.6.18) дают длинноволновые асимптотики комплексных спектров частот поверхностных волн плазменного слоя с размытыми границами. Если положить x1=x2=x0, то получим в точности выражения (1.1.19) для плазмы с двумя резкими границами в волноводе. Бесстолкновительное затухание волн (2.6.18) обусловлено возбуждением в плазме локальных ленгмю-ровских волн в точке плазменного резонанса со = соp (x).
Обсудим теперь численные решения точного дисперсионного уравнения (2.6.14), которые удобно представить в виде комплексных безразмерных дисперсионных кривых Q.(kz) = co (kz)/cop0. Для случая нечетных волн (когда Th(kzxl) = ih(kzxl)) дисперсионные кривые (действительная часть и модуль мнимой части частоты d{kz)) изображены на Рис. 2.15. Рис. 2.15 Дисперсионные кривые нечетных волн: а- x2 - x, = 0.5 см, б- x2 - x, = 1 см Рис. 2.15а построен для следующих параметров плазменного волновода: 1 x, = Зсм, L, = 1см, x = 0.5см. Видно, что каждому значению kz соответст вуют две безразмерные частоты Q.(kz). Причем имеются две области значений kz, в пределах которых зависимости Q(kz) качественно различные. Эти области, судя по рисунку, разделены точкой ветвления дисперсионных кривых, расположенной при kz 0.9см1. Таким образом, существуют четыре волны неоднородного плазменного слоя в волноводе. В области к2 0.9см1, т.е. левее точки ветвления, имеется обычная слабозатухающая нечетная поверхностная волна. Комплексная частота данной волны при малых kz определяется первой формулой (2.6.18), а на Рис. 2.15а действительной и мнимой частям этой частоты соответствуют кривые 1 и 1. Также из Рис. 2.15а следует, что в области левее точки ветвления имеется еще одна новая ветвь плазменных волн, аналитическую формулу для частоты которой найти не удается. Действительная и мнимая части частоты этой волны изображены кривыми 2 и 2".
В области волновых чисел kz 0.9см1, т.е. правее точки ветвления, дисперсионные кривые, как видно из Рис. 2.15а, имеют качественно иной характер (на рисунке им соответствуют линии 3 , 3" и 4 , 4"). Чтобы определить частоты волн в области правее точки ветвления, рассмотрим плазму с еще большим размером области неоднородности. На Рис. 2.15б представлены дисперсионные кривые, рассчитанные для случая х2-х1=1см при прежних значениях параметров х1 и L0. Видно, что точка ветвления сместилась влево (в точку kz 035см-1), а при дальнейшем увеличении границы х2 она вообще смещается левее значения kz = 0. Это означает, что в плазменном слое с большим размером области неоднородности обычная нечетная поверхностная волна 1, 1 отсутствует; отсутствует также и вторая поверхностная волна 2 , 2" (в рассматриваемом плазменном слое это происходит при х2 -х1 1.2см1). Таким образом, при достаточно большом размере области неоднородности плазмы остаются только те волны, дисперсионные кривые которых расположены на Рис. 2.15 правее точки ветвления.
Рассмотрим подробнее решения правее точки ветвления. Эти решения, описывают так называемые граничные поверхностные волны. Судя по Рис. 2.15б в коротковолновой области, т.е. при больших кг можно предположить существование следующих асимптотик: ReQ3(kz - оо)- 1, ReQ4(kz oo) 0, (2.6.19) ImQ34(kz - oo)- -0,
С ростом kz область локализации поля поверхностных волн у волны с частотой Q3 смещается к внутренней границе области неоднородности плазмы, а у волны с частотой Q4 - к внешней. Поэтому эти волны и названы граничными поверхностными волнами. Оказывается, что граничные поверхностные волны существуют только в плазменных слоях с достаточно размытыми границами: чем резче граница слоя, тем в более коротковолновую область смещаются граничные поверхностные волны. Из анализа результатов численных расчетов можно предположить, что точка ветвления на Рис. 2.15 определяется из соотношения kz(x2 -xх) = const « 0.4
Рассмотрим теперь четные волны (когда ТЬ(kz x) = сШ(kz x)). Результаты численного решения точного дисперсионного уравнения (2.6.14) представлены на Рис. 2.16, который построен для тех же случаев, что и Рис. 2.15.
Главным отличием от случая нечетных волн является отсутствие точки ветвления дисперсионных кривых. Однако, как видно из рисунка, имеется некоторое значение kz, правее которого существуют граничные поверхностные волны (2.6.19). Левее этого kz имеется обычная четная поверхностная волна (кривые Г и Г на Рис. 2.16), в длинноволновом пределе описываемая второй формулой (2.6.18). Здесь же имеется и новая четная сильнозатухающая поверхностная волна (кривые 2 и 2" на Рис. 2.16), частота которой, как следует из уравнения (2.6.16), в длинноволновом пределе определяется формулой со = со p0 + . (2.6.20) Видим, что при увеличении размера области неоднородности плазменного слоя (Рис. 2.16б) уменьшается диапазон волновых чисел, при которых существует обычная четная поверхностная волна, и наоборот, растет область существования граничных поверхностных волн.
Рассмотрим еще структуру электрического поля рассмотренных волн. Для примера на Рис. 2.17 и Рис. 2.18 в зависимости от поперечной координаты х представлены составляющие поля исследуемых волн для нечетного случая (когда Th(A:zjc1) = th(A:zjc1)), рассчитанные для kz =0,6см1 при различных значениях размера области неоднородности плазмы х2-х1. На Рис. 2.17 изображены составляющие напряженности электрического поля волны Г и Г (см. Рис. 2.15а) для случая х2 -х, =0.5 см. Из Рис. 2.15а видно, что расчетная точка попадает в область обычной нечетной поверхностной волны. На Рис. 2.17а изображены действительная часть составляющей напряженности поля Е2 (1) и мнимая часть этой же составляющей (2). На Рис. 2.17б так же обозначены действительная и мнимая части составляющей напряженности поля Ех. Область неоднородности плазмы ограничена на рисунках штриховыми линиями. Если не принимать во внимание разрыва функции Re(z) то действительные части составляющих Ez и Ех напоминают напряженность поля простого слоя электрического заряда, сосредоточенного в области неоднородности плазмы. Разрыв Re(z), как уже говорилось выше, обусловлен возбуждением в средней точке слоя (х 3.25 см) локальных ленгмюровских волн.
Поверхностные волны магнитоактивной плазмы с одной плавной границей в длинноволновом приближении
Основное уравнение теории поверхностных волн в магнитоактивной плазме Рассмотрим плоский слой холодной электронной плазмы, неоднородный вдоль оси х и помещенный во внешнее магнитное поле направленное вдоль координатной оси z [81-84]. Вдоль оси z плазма является однородной. Исходим из следующих уравнений холодной многожидкостной гидродинамики для электронной компоненты, отличающихся от уравнений (2.1.1) учетом внешнего магнитного поля в0 ={0,0,В0}: + (v-V)V = --Vp + -[VB0jl dt т\ с JJ + V(«-V)=0, (4.1.1) dt v А р = -4ле(п-п0(х)). Линеаризуем систему (4.1.1), пренебрегая квадратичными по возмущениям vx,vy,vz и п=п-п0(х) членами и предполагая, что д/ду = 0. Таким образом, получаются следующие уравнения: dVx _ т. е дер dVy dVz є дер dt y m дх dt e x dt m dz + -{n0Vx)+ {n0Vz) = 0, (4.1.2) + JL(nV) + A dt dxy 0 x/ dz cp о cp —2 л = — 4жп. d2cp d2cp dx2 dz2 здесь Qe =eB0/mc - электронная циклотронная частота. Поскольку коэффициенты уравнений (4.1.2) не зависят от координаты z и времени t, ищем их решение в виде n=n(x)exp(-imt + ikzz), Vx y z =VX y z(x)exp(-imt + ikzz), (4.1.3) p = p(x)exp(-imt + ikzz). Подстановка выражений (4.1.3) в уравнения (4.1.2) дает следующий результат: -icoV -Q.V =_ Ld(P е у т дх -icoVy+CleVx=0 -iaVz=-i-k(p, (4.1.4) т -icon+ ikzn0 (х) Vz + [п0 (x)Vx ] = 0, -к2ср = -4ле . dx 2 z
Выражая из первых трех уравнений системы (4.1.4) скорости VX,VZ и подставляя их в предпоследнее уравнение, получаем выражение для возмущения плотности электронов плазмы п d ( dq? п(х) = п0 к2 р и0 . (4.1.5) 0 тсо2 m(co2-Q2 e)dx{ dx) Подставляя далее выражение для возмущения п в последнее уравнение системы (4.1.4), получим уравнение для потенциала р(х) = р(ю, х) 22 L -29 = -4WK, + !L ;W f», (4.1.6) dx 2 z со2 dx(ct)2-n2 e)dx которое можно записать в следующем виде: —s(a,x) d -k 2s (a,x)(p = 0, (4.1.7) dx ± dx z ll где є,(со,х) = 1- /( 2 и є(со,х) = 1- ) (4.1.8) со2-П ] со2 - поперечная и продольная диэлектрические проницаемости холодной электронной неоднородной магнитоактивной плазмы [68]. Заметим, что в отличие от величин (1.2.2), диэлектрические проницаемости в уравнении (4.1.8) зависят от координаты x (через плазменную частоту). Пусть в области неоднородности плазмы (в области плазменной границы) ленгмюровская частота электронов монотонно изменяется от нуля до некоторого максимального значения, т.е. 0 сор(х) сор0, где сор0- постоянная.
Тогда, для частот из диапазона, задаваемого неравенством n2e a)2 n2e+a)2p0=n2g0 (4.1.9) уравнение (4.1.8) имеет особую точку х = х0(со), определяемую из уравнения є±((о,х) = 0. (4.1.10) Легко видеть, что особая точка попадает в область плавной границы плазмы. Если в окрестности особой точки є± х-х0, то, как известно из теории дифференциальных уравнений [77], одно из линейно независимых решений уравнения (4.1.8) имеет при х х0 логарифмическую особенность. (Анализ обхода особой точки был проведен во второй главе). Из уравнения (4.1.7) следует, что в области значений х, где диэлектрическая проницаемость є±(а ,х) непрерывна и не обращается в ноль, функция р(х) непрерывна вместе со своей первой производной. В точках разрыва є±(а),х) непрерывность функции ср(х) сохраняется, а производная dtp/dx терпит разрыв, так, что [eL \ =f —1 , (4.1.11) VLdx)G_0 V dx)G+0 где x = G- координата точки разрыва поперечной диэлектрической проницаемости.
Поверхностные волны магнитоактивной плазмы с одной плавной границей в длинноволновом приближении Во втором параграфе первой главы были получены дисперсионные уравнения и найдены спектры частот поверхностных волн в случае плазмы с резкими границами при наличии внешнего магнитного поля, направленного вдоль границ плазмы. В настоящем параграфе перейдем к рассмотрению плазмы с нерезкими (плавными) границами. Исследуем случай плазмы с ли нейно-постоянным профилем ленгмюровской частоты (2.2.1) (Рис. 2.1а). Из уравнения (4.1.7) и формулы (2.2.1) следует, что в области неоднородности плазмы 0 х А комплексная функция ср(а ; х) удовлетворяет уравнению ±(х-х0) Р-х\х-х0) р = о, (4.2.1) dx o dx где /7)2 — О2 х0=х0(са)=[(са2-П2)/са2]А, х0 = х0(са) = [са2/са2]А Xі =Кг . (4.2.2) со При изменении частоты со в диапазоне (4.1.9) особая точка 5с0 перемещается на оси х в пределах плазменной границы 0 х А. Общее решение уравнения (4.2.1) выражается, как известно, через вырожденную гипергеометрическую функцию и функцию Лагерра [85](см. далее). При х0 = х0, т.е. при Qe =0, общее решение есть линейная комбинация функций Инфельда и Макдональда , как и было показано во второй главе. Возможностью построения аналитических решений и определяется задание профиля плотности плазмы в виде (2.2.1).