Содержание к диссертации
Введение
I Кинетическое описание плазмы в магнитных ловушках 12
1.1 Движение отдельных заряженных частиц в магнитных ловушках . 12
1.2 Иерархия кинетических уравнений для функции распределения . 20
1.3 Системы координат в пространстве импульсов 25
1.4 Кулоновские соударения -. 29
1.5 Оценка характерных времен 39
II Электронно-циклотронное взаимодействие при квазипоперечном распространении излучения в тороидальной плазме 40
2.1 Введение 40
2.2 Квазилинейная диффузия в тороидальной плазме 42
2.3 Моделирование кулоновских соударений при описании нагрева плазмы 50
2.4 Самосогласованная модель ЭЦ нагрева плазмы в тороидальной ловушке 67
2.5 Квазилинейное возмущение спектра излучения плазмы в окрестности частоты ЭЦ нагрева 74
2.6 Генерация безындукционного тока при квазипоперечном вводе ЭЦ излучения 91
2.7 Заключение к главе II. 102
III Ускорение электронов при магнитном снсатии корональнои плазмы 106
3.1 Введение 105
3.2 Динамика магнитного поля в солнечной короне 106
3.3 Динамика фоновой плазмы 109
3.4 Распределение энергичных электронов 113
3.5 Предельный запас энергии горячих электронов 121
3.6 Заключение к главе III 124
IV Ионно-циклотронные неустойчивости термоядерной плазмы при нагреве методом инжекщш нейтральных пучков 126
4.1 Введение 126
4.2 Экспериментальное исследование на стеллараторе W7-AS 127
4.3 Моделирование функции распределения быстрых ионов при нейтральной инжекции 136
4.4 Нижнегибридная неустойчивость в условиях двойного резонанса . 139
4.5 Неустойчивость ионных бершптейновских волн 146
4.6 Заключение к главе IV 149
Заключение 151
Литература 153
- Иерархия кинетических уравнений для функции распределения
- Квазилинейная диффузия в тороидальной плазме
- Динамика фоновой плазмы
- Моделирование функции распределения быстрых ионов при нейтральной инжекции
Введение к работе
Особенностью нагрева высокотемпературной плазмы является существенно неоднородное распределение вкладываемой мощности по фазовому пространству частиц. Например, при нагреве плазмы за счет резонансного поглощения высокочастотного излучения энергия вкладывается в выделенную в пространстве импульсов группу частиц, удовлетворяющих резонансному условию; при нагреве с помощью инжекции пучков быстрых атомов энергия передается в плазму через возбуждение и последующую релаксацию ионных пучков; при магнитном сжатии плазмы эффективность ускорения отдельных частиц зависит от их импульса и т.п. Таким образом, под действием того или иного механизма энерговклада при нагреве плазмы создаются условия для формирования неравновесных функций распределений заряженных частиц. С другой стороны, кулоновское взаимодействие между частицами плазмы приводит к возникновению «термодинамических сил*, стремящихся восстановить равновесное распределение. Кроме того, в случае селективного энерговклада в выделенную группу частиц, соударения приводят к распространению возмущений функции распределения из локализованной области на все пространство импульсов, что в конечном итоге проявляется как нагрев основной компоненты плазмы.
Исследование неразновесных процессов, протекающих при интенсивном нагреве плазмы, является одной из фундаментальных задач физики плазмы. Эта задача имеет не только очевидное общефизическое значение, по и представляет значительный практический интерес, в первую очередь, в приложении к современным и планируемым установкам управляемого термоядерного синтеза (УТС) с магнитным удержанием плазмы. Условия, при которых нагрев сопровождается формированием неравновесных распределений частиц, сравнительно легко реализуются и в космической плазме — в атмосферах звезд, в том числе, в солнечной короне, и в радиационных поясах планет — здесь моделирование неравновесных процессов играет важную роль при интерпретации результатов наблюдений таких объектов.
Теоретический аппарат для исследования явлений, связанных с формированием неравновесных функций распределений в результате совместного действия кулонов-ских соударений в высокоионизованной плазме и того или иного механизма нагрева частиц, хорошо разработан, см., например, [1-8]. В большинстве случаев эволюция функции распределения может быть описана кинетическим уравнением, включающим оператор кулоновских соударений типа Фоккера-Планка и операторы, описывающие взаимодействие с внешними полями, источники и стоки частиц и т.п. Тем не
Введение менее, благодаря богатству физических процессов, укладывающихся в приведенную схему, существует большое число актуальных физических приложений, теоретическое исследование которых далеко от завершения. Целый ряд задач подобного рода связан с описанием интенсивного нагрева плазмы, удерживаемой в тороидальных магнитных ловушках УТС {токамаках и стеллараторах). К таким задачам относится, прежде всего, «самосогласованное» определение функции распределения одновременно с профилем энерговклада с учетом пространственного переноса вещества н/нлп излучения, формирующихся при том или ином способе нагрева, используемом в эксперименте. Другую группу составляют задачи, направленные на развитие методов диагностики неравновесных распределений электронов и ионов в термоядерной плазме. И, наконец, весьма продуктивным и интересным в настоящее время является перенос идей и подходов, разработанных при исследовании лабораторной высокотемпературной плазмы, в смежные области физики, в частности, в исследования физики Солнца.
Данная диссертационная работа посвящена развитию кинетической теории неравновесной плазмы в обозначенных выше трех направлениях. С единых позиций в диссертации рассмотрены следующие проблемы: задача о взаимодействии мощного высокочастотного поля с плазмой в условиях электронного циклотронного (ЭЦ) резонанса при квазипоперечном распространении излучения в тороидальной ловушке; задача об ускорении электронов на подготовительной стадии солнечной-вспышки при адиабатическом магнитном сжатии плазмы в процессе крупномасштабной топологической перестройки магнитного поля в солнечной короне; задача о формировании и устойчивости функции распределения быстрых ионов при нагреве термоядерной плазмы путем инжекции нейтральных пучков.
Основное внимание уделяется эффектам, обусловленным совместным влиянием внешнего воздействия на систему и кулоновского взаимодействия частиц плазмы, и явлениям, являющихся следствием неравновесных распределений и способных служить косвенной диагностикой таких распределений — генерации нетеплового собственного излучения и некоторых типов микронеустойчивостей плазмы...
В первой главе диссертации излагается общий подход к построению кинетической теории высокотемпературной плазмы, на который опирается исследование конкретных задач в последуюпщх главах. Используется ставшая уже классической схема усреднения кинетического уравнения Больдмана для функции распределения частиц. по быстрым движениям отдельной заряженной частицы в неоднородном магнитном поле без учета кулоновских соударений [2,9-13]. В результате получено так называемое баунс-усредяенпое кинетическое уравнение, зависящее только от двух проекций
Введення импульса и времени вместо шести динамических переменных и времени в исходном уравнении Больцмана. Это уравнение используется в остальных частях диссертации для описания неравновесных процессов с учетом кулоновского взаимодействия между заряженными частицами. Здесь лее обсуждаются физические особенности и детали математического описания кулоновского взаимодействия л сформулирована единая для всей диссертации система обозначений.
Во второй главе диссертации приведен систематический анализ задачи об ЭЦ взаимодействии при квазипоперечном распространении излучения. в тороидальной плазме с учетом модификации функции распределения электронов в квазилинейном приближении. Здесь под квазипоперечным направлением понимается такое направление распространения излучения, при котором доплеровский сдвиг частоты в условии циклотронного резонанса либо мал, либо одного порядка но сравнению с релятивистской поправкой к частоте циклотронного вращения (тепловых) электронов. Исследованы два наиболее важных с практической точки зрения случая, при которых реализуется максимальное при квазипоперечном распространении излучения; циклотронное поглощение — взаимодействие с обыкновенной волной на первой циклотронной гармонике и с необыкновенной волной на второй гармонике. В рамках единой модели рассмотрены ЭЦ нагрев плазмы, генерация тока в плазме и модификация спектров собственного излучения плазмы, к которой может приводить возмущение функции распределения электронов при взаимодействии с интенсивным СВЧ полем. Эволюция функции распределения электронов на системе магнитных поверхностей: моделируется в рамках кинетического уравнения типа Фоккера-Планка, включающего два основных члена — оператор кулоновских соударений и оператор квазилинейной диффузии. Интенсивность СВЧ поля в заданной точке определяется поглощением излучения в предшествующей вдоль геометрооптической трассы пучка области.. Коэффициент поглощения и профиль энерговклада, а свою очередь, модифицируются в результате квазилинейной релаксации функцяп распределения электронов. В такой постановке, решения кинетического уравнения, соответствующие различным магнитным поверхностям, оказываются связанными общим уравнением переноса интенсивности греющего излучения вдоль трассы его распространения.
Первые два раздела главы посвящены вопросам моделирования кулоновских соударений и взаимодействия электронной компоненты с высокочастотным полем в условиях циклотронного резонанса. Путем решения квазилинейного кинетического уравнения с учетом кулоновских соударений проведено численное моделирование квазилинейной модификации электронной функции распределения на выделенной магнитной поверхности в условиях заданного спектра греющего излучения. Предложены две упрощенные модели интеграла соударений, позволяющие описывать нагрев электронной компоненты под действием СВЧ излучения. Первый оператор получен путем модернизации линейного интеграла соударений, в который введена парамет-
Ваедение ричесхая зависимость от времени температуры фонового максвелловского распределения. Показано, что если определять динамику температуры фонового распределения электронов, псходя из уравнения баланса энергии, определяемого величиной поглощаемой СВЧ мощности в условиях квазилинейной модификации функции распределения, то получаемый результат непротиворечивым образом описывает квази-стацпонарный нагрев основной электронной компоненты. Этот же результат более строго подтвержден при сопоставлении с решениями, полученными с использованием второго модельного интеграла кулоновских соударений — нелинейного оператора, получающегося усреднением распределения рассевающих электронов по питч-углам. Опираясь на нестационарный линейный интеграл соударений, получены аналитические решения, описывающие квазистационарный нагрев электронной компоненты с учетом квазилинейной деградации поглощаемой СВЧ мощности.
В следующих разделах рассматривается пространственно неоднородная задача о квазилинейной эволюции функции распределения электронов на системе магнитных поверхностей в тороидальной магнитной ловушке. Модификация 'электронной функции распределения в условиях циклотронного поглощения СВЧ поля в тороидальной плазме наиболее ярко выражена в экспериментах по ЭЦ генерации тока при внутреннем или наклонном по отношению к тороидальному магнитному полю вводе внешнего излучения. При этом энергия вкладывается в энергичные надтешювые электроны. В случае квазппоперечного ввода внешнего излучения со стороны слабого магнитного поля, обычно используемого для ЭЦ нагрева плазмы, для оптически толстого плазменного шнура основная доля поглощаемой СВЧ мощности приходится на низкоэнергичные электроны, для которых отклонение функции распределения от равновесной подавлено в результате эффективных кулоновских соударений. Поэтому, в условиях современного эксперимента с использованием ЭЦ нагрева плазмы возмущение функции распределения резонансных электронов приводит лишь к небольшому смещению и расширению области поглощения мощности, не оказывая заметного влияния на формирование глобальных профилей концентрации и температуры. Тем не менее, подобные эффекты могут оказаться принципиальными при использовании дополнительного ЭЦ нагрева с целью стабилизация МГД неустойчи-востей плазменного шнура, когда энерговклад должен быть локализован с высокой точностью. Кроме того, самосогласованный учет динамики функции распределения и греющего излучения является принципиальным для расчета собственного ЭЦ излучения плазмы, которое в случае оптически толстого плазменного слоя чувствительно к пространственной структуре распределения резонансных электронов.
Модификация спектров собственного ЭЦ излучения плазмы в тороидальной магнитной ловушке, к которой может приводить возмущение функции распределения электронов при взаимодействии с интенсивным внешним ЭЦ излучением, может возникать вследствие трех основных эффектов: (і) формирования энергичного «хвоста»
Введешгв функции распределения, (п) формирования квазилинейного плато в резонансной области в пространстве импульсов и (Ш) образования резких градиентов функции распределения на границах резонансной области. Во второй главе диссертации подробно рассмотрен эффект (іі), наиболее ярко проявляющийся при ЭЦ нагреве плазмы, когда вводимая СВЧ мощность в основном вкладывается в нпзкоэнергнчные частицы в тепловой области энергий и доля энергичных надтепловых электронов мала. Формирование плато приводит к подавлению резонансного поглощения в окрестности частоты нагрева. Из-за появления своеобразного окна прозрачности в спектре поглощения основной компоненты плазмы уровень собственного излучения плазменного пшура в соответствующем: частотном интервале повышается по сравнению с тепловым. Важно отметить, что это увеличение проявляется и в том случае, если общее число резонансных электронов возмущается слабо, т.е. независимо от наличия в плазме энергичных частиц. В диссертации показано, что рассматриваемый эффект увеличения уровня циклотронного излучения в окрестности частоты нагрева может быть заметным, если оптическая толщина плазмы достаточно велика, что открывает возможность для диагностики слабо выраженных квазилинейных возмущений электронной функции распределения в тепловой области энергий, характерных для эксперимента с использованием ЭЦ нагрева плазмы. В частности, с помощью модифицированного с учетом квазилинейного возмущения функции распределения электронов уравнения переноса собственного излучения плазмы получены аналитические оценки для возігущенпй спектров ЭЦ излучения в двух характерных случаях: бесстолкно-вительной функции распределения и функции распределения, возмущенной в узкой резонансной области в пространстве импульсов. В отличие от спектров излучения энергичных электронов, для которых существует большое количество тестовых аналитических решений для модельных «хвостов» функций распределения, аналитические решения для случая квазилинейного возмущения основного тела функции распределения получены, насколько известно автору, впервые. Результаты качественного анализа использованы для интерпретации численных расчетов, проведенных для круглого токамака масштаба Т-10 и стелларатора W7-AS в случае ввода греющего излучения со стороны слабого магнитного поля.
Интересными особенностями обладает механизм генерации тока увлечения при квазипоперечном вводе ЭЦ излучения. Как уже отмечалось, при квазипоперечном вводе со стороны слабого магнитного поля основная доля поглощаемой СВЧ мощности приходится на низкоэнергичные электроны из тепловой области энергий. Эти электроны подвержены интенсивным кулоновскпм соударениям, поэтому циклотронное взаимодействие с СВЧ полем приводит к существенно меньшей анизотропии функции распределения электронов по сравнению с «классическими» схемами ЭЦ генерации тока, когда энергия вкладывается преимущественно в надтепловые электроны [14]. Однако из-за большого удельного числа тепловых электронов даже сла-
Введевие бая анизотропия их функции распределении может оказаться достаточной для тока, сопоставимого с током надтепловых частиц. Таким образом, квазшгоперечный ввод излучения представляется весьма интересным в задачах, когда необходимо получить большую плотность тороидального тока в некотором выделенном сечении плазменного шнура при заданной СВЧ мощности, а эффективность генерации полного тока не является параметром оптимизации. В диссертационной работе обращается внимание на неоднозначность направления тороидального тока, связаіпгую с геометрией резонансной области при квазипоперечном вводе, когда условие циклотронного резонанса определяется одновременно релятивистской зависимостью гирочастоты электрона от его энергии и доплеровским сдвигом частоты поля (который, собственно, и отвечает за асимметрию энерговклада в пространстве импульсов). В этом специфическом случае эффективно прогреваются как частицы, имеющие компоненту скорости, сонаправленную с направлением распространения СВЧ излучения, так ц частицы, двигающиеся навстречу. Это может приводить к снижению эффективности генерации тока или, даже, к смене направления тока относительно направления ввода СВЧ излучения, что, в некотором смысле, дополняет известные тороидальные механизмы генераціш бут-стреп тока и тока Окавы [14]. В диссертации получено общее выражение для плотности ЭЦ тока в случае квазипоперечного распространения излучешія с заданным спектром и проведена оценка эффективности генерации полного тока в тороидальной системе, показывающая, что эффективность генерации в случае квазипоперечного ввода шлучения может быть сопоставима со стандартной эффективностью, определенной в работах Фиша и Бузера для «наклонных» схем генерации ЭЦ тока. Проведен анализ влияния продольного электрического поля на ВЧ генерацию тока, из которого следует, что для типичных параметров эксперимента на стационарной фазе разряда электрическое поле приводит в основном к аддитивному вкладу в ток, описываемому спитцеровской проводимостью.
В третьей главе диссертационной работы предложен простой, а потому достаточно универсальный механизм ускорения частиц на подготовительной стадии солнечной вспышки, основанный на адиабатическом магнитном сжатии плазмы. Магнитное сжатие вполне типично для активных областей, в которых происходит сравнительно быстрая перестройка крупномасштабных магнитных полей, обусловленная всплыванием новых магнитных трубок и процессами пересоединения магнитных силовых линий [15]. Ускорение электронов связано с так называемым явлением «убегания» заряженных частиц в индукционном электрическом поле [16,17j. Этот процесс по своей природе аналогичен убеганию в статическом электрическом поле — из-за резкой зависимости от энергии кулоиовское взаимодействие быстрых частиц оказывается слабым, поэтому даже относптельно небольшое электрическое поле приводит к сильному искажепию функции распределения электронов в области высоких энергий и, в частности, к образованию потока (в пространстве импульсов) убегающих
Введение электронов, для которых потери при столкновении меньше набора энерпш в электрическом поле на длине свободного пробега [13,18-24], При высокой по сравнению с темпом сжатия частоте электрон-электронных и электрон-ионных кулоновских соударений в условиях солнечной короны в режим ускорения уходит лишь малая доля частиц с достаточно большой исходной энергией. Процесс «убегания» является сильно неравновесным и требует детального расчета функции распределения электронов по импульсам.
Задача о генерации ускоренных электронов при сжатии заполненной плазмой магнитной силовой трубки разбивается иа две отдельные подзадачи: динамика основной плазмы моделируется в рамках магаптогпдродинамического приближения, а для определения распределения эффективно ускоряемых энергичных электронов по импульсам решается кішетическое уравнение. Данный подход позволяет наиболее простым и естественным образом учесть специфические факторы, действующие на каждую из групп частиц.
В результате моделирования найден режим адиабатического магнитного сжатия. плазмы, при котором ускорение энергичных электронов сопровождается охлаждением основной компоненты плазмы за счет радиационных потерь. Показано, что для этого режима возможно значительное накопление энерпш в ^хвосте» убегающих электронов до момента включения ограничивающей накопление циклотронной неустойчивости на свистовых модах. Это позволяет рассматривать магнитное сжатие в качестве возможного источника энергичных частиц в короиальных петлях на подготовительной фазе вспышки.
Четвертая глава диссертации посвящена экспериментальному и теоретическому исследованию мелкомасштабных неустойчивостей ионной функции распределения, формирующихся при пнжекпии нейтральных пучков на стеллараторе W7-AS (Wendelstem 7-AS, Гархинг, Германия). Специфическая особенность измерений спектров коллективного рассеяния заключается в том, что данный метод позволяет регистрировать мелкомасштабные флуктуации электронной плотности непосредственно внутри плазменного объема (в том числе и моды, запертые внутри плазмы) с фиксированным волновым вектором, определенным геометрией рассеяния и частотой зондирующего излучения. В отличие от предыдущих исследований с использованием указанных диагностик на W7-AS.[25-27], особое внимание было уделено исследованию инжекщш мощных пучков нейтральных атомов, используемых для нагрева плазмы. Для объяснения результатов измерений было проведено моделирование функции распределения быстрых ионов, формирующейся в условиях нейтральной гшжекшш, с учетом кулоновского взаимодействия с частицами основной плазмы и дрейфовых потерь в неоднородном магнитном поле стелларатора. Полученные распределения исследованы на устойчивость относительно возбуждения электростатических плазменных мод в окрестности ионных циклотронных гармоник. Проана-
Ввадеяие лизированы два случая, соответствующие наблюдаемым спектрам турбулентности плазмы: гидродинамическая неустойчивость в условиях двойного резонанса, когда нижнегибридная частота совпадает с высокой ионной циклотронной гармоникой, и кинетическая неустойчивость ионных бернштейновских мод на более низких гармониках. Показано, что возбуждением указанных неустойчивостей могут быть объяснены наблюдаемые в эксперименте повышенные уровни рассеяния и циклотронного излучения.
В заключении к сформулированы основные результаты диссертации.
Результаты диссертационной работы изложены в научных статьях в отечественных п зарубежных журналах и сборниках трудов [28-43]. Всего по теме диссертации автором опубликовано 6 статей в реферируемых журналах (Астрономический журнал, Физика плазмы, Известия вузов. Радиофизика, Plasma Phys. Control. Fusion), 2 препринта, 5 статей в сборниках трудов международных конференций и 8 тезисов докладов. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на семинарах Института прикладной физики РАН и Института физики плазмы общества Макса Планка (MPI fur Plasmaphysik), на конкурсах научных работ, на международных и общероссийских конференциях и совещаниях: 10th Joint Russian-German Workshop on ECRH and Gyrotrons (N. Novgorod, June 16-22, 1998), VII Симпозиум по солнечно-земной физике России и стран СНГ (Москва, ИЗМЙРАН, 15-18 декабря 1998), XXVI Звенигородская конференция по физике плазмы и управляемому термоядерному синтезу (Звенигород, 5-9 апреля, 1999), IV Нижегородская сессия молодых ученых (1999), IV International Workshop «Strong Microwaves in Plasmas» (N, Novgorod, August 2-9,1999), Kinetic theory workshop (Garching, Germany, June 12-15, 2000), 13th Joint Russian-German Workshop on ECRH and Gyrotrons (Greifswald, Germany, July 16-21, 2001), 29th EPS Conference on Controlled Fusion and Plasma Physics (Montreux, 17-21 June 2002), 14th Joint Russian-German Workshop on ECRH and Gyrotrons (N. Novgorod, June 24-28, 2002), V International Workshop «Strong Microwaves in Plasmas» (N. Novgorod, August 1-9, 2002), Kinetic theory workshop ( Greifswald, Germany, October 21-23, 2002), 5-Й конкурс молодых ученых ИПФРАН (Нижний Новгород, май 2003), 30th EPS Conference on Controlled Fusion and Plasma Physics (St. Petersburg, Russia, July 7-11, 2003). Результаты, полученные в главе IV, использовались в подготовке и проведении экспериментальной-кампании в ноябре 2001 года на стеллараторе Wendelstein 7-AS в Гархинге.
Введенеє
Иерархия кинетических уравнений для функции распределения
Вывод кинетического уравнения, описывающего динамику функции распределения заряженных частиц, удерживаемых в неоднородном магнитном поле ловушки можно найти в работах [2,9-13]. Ниже мы кратко изложим основные этапы общей процедуры и выделим класс кинетических уравнений, который исследуются в настоящей работе. В качестве исходного рассмотрим кинетическое уравнение Больцмана [13,60} для функции распределения /(г,р, ), нормированной на концентрацию частиц, Здесь р и v. — р/ ут — трехмерные векторы импульса и скорости частицы, Е и-В определяют полное электромагнитное поле, действующее на частицу и включающее в себя квазистатическое поле ловушки (Ё, В) и быстро осциллирующее поле (Е, В) возбужденных в плазме электромагнитных волн. В правой части стоит оператор С, описывающий изменение функции. распределения в результате соударений частиц между собой и с другими частицами, и источник или сток частиц Г. Основной механизм взаимодействия частиц в сильно ионизированной плазме — малоугловое рассеяние в кулоновском поле - приводит к диффузионному оператору соударений типа Фоккера-Планка, который будет обсуждаться в разделе 1.4.
Процессы, описываемые уравнением Больцмана, могут быть классифицированы по временному масштабу. Наиболее быстрыми движениями являются циклотронное вращение (та = 2тг/ив) и осцилляции в поле высокочастотных волн, возбуждаемых для нагрева плазмы или генерации тока (тс{ = 2тг/и). Следующее время определяется баунс движением ведущего центра частицы вдоль силовой линии магнитного поля [тъ). Более меДЛеННЫМ ЯВЛЯетСЯ ДВИЖение, СВЯЗанНОе С Дрейфом ЧаСТИЦ ( dr/Vdr, где аг — характерный размер неоднородности поперек магнитного поля). И, наконец, наиболее медленными являются процессы столкновительной релаксации (гс), усредненной динамикп системы в высокочастотном поле (тч\) и ускорение частиц внешним электрическим полем (тЕ). Предполагается, что все три процесса происходят с примерно одинаковыми характерными временами. В итоге имеем следующую иерархию времен Указанные неравенства отражают наличие малых параметров в задаче, позволяющих провести серию усреднений исходного кинетического уравнения. Усреднение по фазе циклотронного вращения обычно проводится одновременно с усреднением по осцилляниям в высокочастотном поле. При этом функция распределения раскладывается на сумму медленно меняющейся части / и быстрой осциллирующей части /. Малость тв и rrf по сравнению со всеми остальными временами задачи дозволяет в первом порядке теории возмущений пренебречь зависимостью медленной функции распределения / от фазы циклотронного вращения. В результате можно получить так называемое дрейфовое кинетическое уравнение в котором функция распределения задана в двумерном пространстве импульсов р, аксиально симметричном относительно локального направления магнитного поля. Величина р определяется из условия сохранения магнитного момента и энергии (или продольного адиабатического инварианта в случае медленно меняющегося магнитного поля) при движении частицы по невозмущенной баунс-траектории вдоль магнитной силовой линии.
Последующие выкладки значительно упрощаются, если при определении продольного движения учитывать только так называемое радиальное электрическое поле, определяемое потенциалом, постоянным на магнитных поверхностях, т.е. постоянным вдоль невозмущенной траектории.частицы. В правой части уравнения сгруппированы эффекты, рассматриваемые как возмущение — дрейф частиц поперек магнитного поля, ускорение за счет оставшейся компоненты электрического поля Е вдоль магнитного поля, кулоновскне соударения и взаимодействие частиц с высокочастотным полем. Оператор Q определяет усредненный коллективный отклик на высокочастотное поле и осцилляции функции распределения, индуцированные этим полем, Функция / может быть определена как линейный по высокочастотному полю отклик: Подстановка решения этого уравнеия в выражение (1.24) приводит к так называемому оператору квазилинейной диффузии, описывающему эволюцию усредненной функции распределения под действием высокочастотного поля2. Так же, как и оператор соударений, квазилинейный оператор описывает диффузию в двумерном пространстве импульсов. Мы вернемся к формулировке квазилинейного оператора в начале главы II, посвященной исследованию процессов квазилинейной релаксации в условиях ЭЦ резонанса. Баунс-движение, описываемое вторым и третьим членами в левой части уравнения (1.23), является быстрым по сравнению с остальными процессами, описываемыми правой частью уравнения. Чтобы провести усреднение по этому движению 2Впервые квазилинейная теория была. разработана для анализа пучковых электостатичесхих неустойтивостей в работах {61—63]; в последующих работах [64-67] теория была расширена на случай однородной замагниченноЙ плазмы. Общий вывод квазилинейного оператора дія произвольного набора собственных мод в однородной плазме приведен, например, в [1,6], где обсуждаются также и общие критерии применимости теории.
Квазилинейная диффузия в тороидальной плазме
Оператор квазилинейной диффузии, описывающий взаимодействие электронной компоненты с высокочастотным полем в условиях циклотронного резонанса в тороидальной магнитной ловушке, рассматривался в большом количестве работ [2,71, 100,106-115]. Обзор современных баунс-усреднеиных квазилинейных кодов дан в [5]. Интересно, что наиболее популярный подход к определешпо оператора квазилинейной диффузии, основанный на работах G. Giruzzi, приводит к результату, не совпадающему с общим видом этого оператора, определенным в [71] для произвольной магнитной конфигурации, в которой возможны баунс-осциллящш. Мы ограничимся рассмотрением довольно простой модели для квазилинейного оператора, удовлетворяющей критериям работы [71] и отражающей основные физические особенности циклотронного взаимодействия в тороидальной установке. В выделенной пространственной точке условие резонансного взаимодействия электрона с монохроматической волной выглядит как где у.— частота волны,.к\\ и V\\- проекции волнового вектора и скоростн электрона на направление внешнего магнитного поля, п — номер циклотронной гармоники, ufBe и у — «холодная» гирочастота и релятивистский фактор яэлектрока. Нас будет интересовать случай квазшюперечного распространения излучения, когда до-плеровский член &циц в этом условии либо мал (разделы 2.3-2.5), либо одного порядка (раздел 2.6) по сравнению с релятивистским сдвигом резонансной частоты поля w — nwee/7 я \ л v2/c?. Это дает ограничения на диапазон углов распространения излучения по отношению с внешнему магнитному полю: либо ЛГд g; \vjc Д.е в первом случае, либо JV[] Де во втором. Здесь N\\ = скц/и/ — продольный показатель преломления, 0te = Vte/c. Соответствующая ЭЦ резонансу длина волны греющего излучения3 в современных установках много меньше основных масштабов неоднородности плазмы п магнитного поля.
За исключением специальных случаев это позволяет рассматривать распространение излучения в рамках приближения геометрической оптики или ква-зпоптикп [100,104,116-119]. Поэтому электронно-циклотронный нагрев плазмы или генерацию тока можно описывать в рамках граничной задачи, в которой квазиоптический волновой пучок с конечной апертурой (или семейство лучей, моделирующее диаграмму направленности излучающей антенны) распространяется в вдоль известной траектории, определяемой локальными дисперсионными свойствами плазмы. При определении лучевой траектории, а также поляризации излучения вдоль нее, хаотическим движением частиц плазмы либо пренебрегают (приближение холодной плазмы), либо учитывают его для электронов, предполагая равновесное распределение электронов по импульсам. Это объясняется тем обстоятельством, что лучевая траектория и поляризация излучения в основном определяются эрмитовой компонентой тензора диэлектрической проницаемости плазмы, которая в целом менее чувствительна к нетепловым искажениям функции распределения, чем антиэрмитова компонента4. Интенсивность излучения в заданной точке определяется поглощением на предшествующем участке геометрооптической трассы или, в конечном счете, распределением антиэрмитовой компоненты диэлектрического тензора в пространстве. Эту характеристику естественно определять с учетом возмущенной функции Для первой электронной циклотронной гармоники А[см] « 1/В[Тл]. 43а исключением довольно экзотического случая, когда необыкновенная волна распространяется па первой ЭЦ гармонике почти под прямым углом к магнитному полю. уравнения. Совместное действие неоднородности тороидального магнитного поля я вращательного преобразования силовых линий специфическим образом модифицирует механизм циклотронного поглощения СВЧ излучения в тороидальной системе. Допустим, что волновой пучок засвечивает ограниченную область некоторой магнитной поверхности, см. рис. 2.1. В соответствии с результатами главы I распространение возмущений вдоль магнитных силовых линий происходит заметно быстрее рассматриваемых ниже процессов, поэтому усредненное распределение электронов на этой магнитной поверхности полностью определяется их функцией распределением /ое в области минимума напряженности магнитного ноля (на внешнем обходе тора). Электрон, двигаясь вдоль силовой линии, каждый раз пересекает занятую СВЧ полем область при разных значениях модуля и направления внешнего магнитного поля. Это обеспечивает конечный разброс по расстройке частот в условии циклотронного резонанса (2.1).
Допустим, что между двумя последовательными пролетами через область нагрева, электрон «забывает» свою фазу относительно поля волны. Тогда, время когерентного взаимодействия с полем ограничено временем пролета электрона через область поля; Рассмотренные эффекты в конечном счете, приводят к стоха-стизации взаимодействия ансамбля электронов с монохроматическим излучением, типичным для современных экспериментов в рамках программы УТС. Если относительное изменение импульса электрона за один пролет через область поля мало по сравнению с шириной резонансной полосы энергий, то при усреднении по большому числу оборотов возникает броуновское движение электронов в пространстве импульсов, а их функция распределения описывается баунс-усредненным кинетическим уравнением типа Фоккера-Планка, введенным в главе I. В соответствия с логикой главы I, можно пытаться определить искомый оператор путем баунс усреднения локального оператора квазилинейной диффузии, описыва44
Динамика фоновой плазмы
Эволюция короыальной плазмы в процессе крупномасштабной перестройки магнитного поля рассматривалась неоднократно. В частности, в работе [168] получены: достаточно общие автомодельные решения при осесимметричном сжатии (расширении) магнитной силовой трубки, характеризующие пространственно-временную динамику параметров плазмы — концентрации, температуры и макроскопической скорости. В зависимости от исходных параметров плазмы в процессе магнитного сжа-тпя реализуются режимы либо с нагревом, лпбо с охлаждением исходной плазмы. Не претендуя на принципиальную новизну результатов, в данном разделе мы рассмотрим упрощенную пространственно однородную модель сжатия для нахождения гидродинамических параметров плазмы в активной области. Эти параметры будут использоваться для дальнейшей оценки эффектов ускорения электронов и максимальной запасенной энергии в ловушке перед вспышкой, которую мы отождествляем в соответствии с [161] с взрывным включением циклотронной неустойчивости. Для применения гидродинамического описания необходимо, чтобы время перестройки магнитного поля (время магнитного сжатия) было существенно больше характерного времени соударений между тепловыми электронами фоновой плазмы: тс Vі - Рассмотрим следующее кинетическое уравнение для функции распределения электронов «холодной» фоновой плазмы где У"1 ИУ 1 определяют конечное время удержания частиц и энергии в магнитной петле (см., например, [69]). В гидродинамическом пределе (/ес /М) из этого уравнения следуют следующие уравнения для для концентрации пс и температуры Те электронов фоновой плазмы: В гидродинамическом приближении функция распределения почти изотропна, поэтому поперечное и продольное сжатие описываются единым параметром vmc. Изменение концентрации холодных электронов в магнитной силовой трубке определяется двумя основными факторами: вмороженностью силовых линий магнитного поля при магнитном сжатии и потерями частиц. Вообще говоря, время жизни электронов может зависеть от всех гидродинамических параметров. Так, например, для потерь, связанных с диффузией электронов поперек магнитного поля, i/p ss Dj_/L\ ос Те/В (Dx — коэффициент Бомовской диффузии, L±_ — поперечный размер ловушки, % — температура электронов фоновой плазмы); для рекомбинаци-онных потерь — ур ос пс.
Однако мы убедились, что сложный характер потерь не оказывает существенного влияния на качественную картину как нагрева холодных, так и ускорения энергичных электронов [30,32,169]. Поэтому в диссертационной работе мы рассмотрим простейший случай с постоянным временем жизни фоновых электронов и постоянным временем сжатия {у-р = const, итс = const), оставив более детальный количественный анализ для конкретных физических приложений. В этом случае решение первого уравнения (3.4) тривиально: или, если учесть зависимости B{t) = BQ exp( cf) и L\\{t) = Lp exp( ct), Здесь и далее индекс 0 обозначает величины, взятые в начальный момент времени. Из-за наличия потерь частиц концентрация электронов растет медленнее, чем соответствующая величина, удовлетворяющая простому условию вмороженности. Параметр и отражает этот эффект. Помимо нагрева за счет магнитного сжатия, температура холодных электронов в значительной степени определяется энергетическими потерями при соударении электронов с ионами, при этом основным каналом потерь является тормозное излучение. В процессе сжатия имеется тенденция к увеличению роли радиационных потерь, поскольку данные потери пропорциональны возрастающей со временем концентрации рассеивающих центров (ионов). Это может привести даже к охлаждению фоновой плазмы, несмотря на постоянную накачку энерпш за счет магнитного сжатия. Могут присутствовать также и потери, связанные с теплопроводностью вдоль магнитного поля. Для учета радиационных потерь в уравнение для температуры вводится энергетическая функция потерь [170]. Модельный член, описывающий теплопроводность, может быть получен заменой реального диффузионного оператора вдоль магнитного поля его разностным аналогом. В итоге второе уравнение 3.4 можно представить в Рис. 3.1. а) Зависимость функции радиационных потерь [170] от температуры фоновой плазмы. Пунктиром изображена функция(3.8), используемая в аналитических оценках, б) Зависимость температуры холодных электронов от времени. Пунктир — аналитическое, сплошная линия — численное решение. Начальная температура варьировалась: I - То = 1.8 х 105 К, 2 — % = 2.82 X 105 К, 5 — Т0 = 4 х 105 К, - Т0 = 2.88 х 105 К; остальные параметры п0 = 3 х 109 см-3, и \ = 20 с, і/"1 - 40 с, 1ц0 = 10е и. температура в пробках магнитной ловушки, чаще всего равная температуре фотосферы (TPh 6000 К). При записи радиационных потерь предполагалось, что концентрации ионов и электронов совпадают ( = 1). Качественное представление о динамике температуры фоновой плазмы можно получить из простейшего аналитического анализа МГД уравнений. Для этого в соотношении (3.7) пренебрежем тегогопроводностным членом, а для оценки радиационных потерь воспользуемся упрощенной эмпирической формулой [170J: В результате для температуры получается следующее решение: при vp ф 0 при Up = 0 (потери частиц отсутствуют) множитель в квадратных скобках следует заменить на t. Здесь щ и То — концентрация и температура в начальный момент времени. Заметим, что коэффициент, стоящий перед выражением в квадратных скобках и фактически определяющий интенсивность радиационных потерь энергии, равен частоте электрон-электронных соударений I/ Q в начальный момент времени, умноженной на безразмерную численную константу: cmo/7o = 2 со гДе а = л/2теа/{2-кеА In Лее) Й; 2х10 5. В зависимости от соотношения характерных времен задачи v l, v x и ( )-1 возможно различное поведение температуры холодных электронов, определяемой решением (3.9). Если потери частиц слабые, ир аі%е0і то рост радиационных потерь в процессе сжатия приводит к охлаждению плазмы до нулевой температуры за конечное время, равное t — u l In [ai e0/{ai 0 — fp)] при vp ф 0, t = (a i o)_1 при i/p = 0. При этом температура либо монотонно убывает во времени, если.IV: ai o или fp = 0, либо имеет максимум в момент времени t І/"1 ІП [(1 - Vp/umc)/(l " /( о))]. если Р av% mc И Up ф 0. Для более ИН тенсивных потерь частиц, удовлетворяющих условию 1/р a coj реализуется режим неограниченного монотонного нагрева фоновой плазмы.
Численное интегрирование уравнений (3.4) с реалистичной функцией радиационных потерь приводит к результатам, в целом совпадающим с аналитической оценкой. В качестве примера на рис. 3.1(6) приведены зависимости температуры от времени, построенные численным и аналитическим способом. Кривые 1, S и 3 соответствуют трем различным типам решений (3.9), рассмотренным выше. Кривая 4 демонстрирует, что в области параметров, в которой происходит переход от режима нагрева к режиму остывания, аналитическое приближение работает плохо, а сам переход происходит весьма быстро, Заметим, что если потери частиц fp связаны с выносом вдоль магнитного поля п высыпанием частиц через пробки магнитной ловушки (например, в газодинамическом режиме i/p vg/L, где vs — скорость ионного звука в пробках), то при определении потерь энергии необходимо также учитывать наличие амбиполярного электрического поля, обеспечивающего квазинейтральность потока частиц из ловушки. Это поле тормозит поток электронов, в результате ловушку покидают лишь достаточно энергачные электроны с кинетической энергией, превышающей величину амбипо-лярной разности потенциалов U&. Это приводит увеличению средней энергии, приходящейся на каждый высыпающийся электрон — с точностью до близкого к единице численного коэффициента эта энергия равна Те + Са!- С этой же точностью скачок амбиполярного потенциала равен величине так называемого плавающего потенциала, который определяется в рамках классической модели двойного слоя [171-173] из условия равенства потоков электронов и ионов — /а и Те In \/Тет /Т\т,е. Приведенные соотношения получены в приближении функции распределения электронов, близкой к максвелловской. Пренебрегая теплопроводностными потерями, мы приходим к следующему уравнению баланса для температуры: При доминирующих «продольных» потерях иг — ир 0, поэтому при любом соотношении остальных параметров задачи рост радиационных потерь в процессе сжатия приводит к охлаждению плазмы до нулевой температуры за конечное время, равное t = ("г - Ъ)-1 Ь [( r -
Моделирование функции распределения быстрых ионов при нейтральной инжекции
В данной работе эволюция функции распределения быстрых ионов в пространстве скоростей моделируется путем численного решения нестационарного фоккер-планковского кинетического уравнения, усредненного по времени баунс-осцилляций ионов в неоднородном магнитном поле. Для расчетов используется модифицированный вариант кода FPTM, созданного для описания кинетики частиц в стелларато-ре [68]. С помощью этого кода процесс формирования неравновесной ионной функции распределения рассчитывается начиная с момента включения нейтральной инжекции с учетом: 1) источника быстрых ионов, возникающих вследствие перезарядки и ионизации нейтралов, 2) замедления быстрых ионов из-за соударений с частицами основной плазмы и 3) конвективных потерь локально-запертых ионов. Функция распределения быстрых ионов определяется следующим кинетическим уравнением: где /ъ(и_!_о, Що, t) — баунс-усредненная функция распределения по скоростям (в отличие от предыдущих разделов, где использовалась функция распределения по импульсам), г __0 и уцо — поперечная и продольная составляющие скорости иона в минимуме магнитного поля3, С(/ь) — линейный оператор кулоновских соударений с частицами 3С использованием законов сохранения энергии и поперечного адиабатического инварианта функция распределения, заданная в минимуме магнитного поля, может быть пересчитана для любой основной плазмы (1.93), Г — источник быстрых ионов, v&t определяет интенсивность дрейфовых потерь захваченных ионов (1.32), {...)ь обозначает введенную в первой главе операцию баунс-усреднения (см. формулу (1.30) на стр. 23). Источник ионов (не усредненный) взят в следующей форме: (4.2) где индекс j = 1,2,3 обозначает компоненты пучка с различной энергией, Wj и Vbj = y/2Eo/jmi — весовые коэффициенты и скорости, соответствующие каждой компоненте; s и sNBi — координаты иона и плоскости нейтральной инжекции вдоль силовой линии; JJ, = v\\/v и ц ві — cos#NBI — косинусы питч-углов ионов и инжектируемых атомов, Д мві sin 0NBI A0NB1; коэффициент a = ві/Кки определяется удельной поглощаемой мощностью при инжекции пучка (около 1 Вт/см3). В некоторых случаях порог неустойчивости для нижнегибридных волн очень чувствителен к энергетическому составу источника ионов, поэтому весовые коэффициенты Wj рассчитываются с учетом ослабления нейтрального пучка по мере распространения в плазме: где vPj — энергетический состав инжектируемого нейтрального пучка, заданный в таблице 4.1; т — суммарное сечение всех процессов, приводящих к рождению быстрых ионов (перезарядка + ударная ионная и электронная ионизация [202]); интеграл берется вдоль оси пучка. Поскольку полное сечение рождения ионов уменьшается с увеличением энергии, низкие энергии обычно входят в ионный источник с большим весом, чем в исходном нейтральном пучке. Однако, из-за различного ослабления энергетических компонент пучка вес низкоэнергичных фракций уменьшается во внутренних областях плазменного шнура.
Для стандартной магнитной конфигурации W7-AS конвективные потери быстрых ионов определяются в основном вертикальным V Я-дрейфом частиц, захваченных в области с сильпой тороидальной кривизной («эллиптическое» сечение). Игнорируя вклады пролетных частиц, а также частиц, запертых в области «более прямого» магнитного поля («треугольное» сечение), мы можем принять следующую модель для описания магнитного поля в стеллараторе где fm — АВ/В и ft = r/R определяют глубину магнитной ямы с учетом вариации магнитного поля в локальном рипле и за счет тороидальной кривизны. Здесь t? и р обозначают полоидальный и тороидальный угол, R — эффективный главный радиус, NT = 5 — число периодов поля стеяларатора. Конфигурациям с минимумом другой точки вдоль силовой линии магнитного ПОЛЯ. В в «эллиптическом» сечении (в области инжекции) принят эффективный главный радиус Я = 120 см. Для конфигураций с минимумом магнитного поля, смещенным в область с уменьшенной тороидальной кривизной («треугольное» сечение), эффективный большой радиус становится очень большим, что позволяет пренебречь дрейфовыми потерями. Для близких к стандартной магнитных конфигураций обратное время ионных потерь рассчитывается по формуле: , ч v? + lvl і U при ЄЬ Є тг - 81с и miv2/2 єЕ агшві Qt в остальных случаях где а — вертикальный размер области энерговклада, wB,- — ионная циклотронная частота, В\с и єв определяют область потерь в пространстве скоростей. Угловой размер конуса потерь определен вариацией магнитного поля: cos20]C = АВ/В, что соответствует в\с 78 для стандартной конфигурации W7-AS. Второе условие, определяющее границу конуса потерь по энергиям, возникает из-за наличия отрицательного радиального электрического поля, что является типичным для оптимизированных режимов удержания, реализованных на стеллараторе W7-AS. Максимальная энергия удерживаемого электрическим полем иона ЕЕ) которая может быть оценена в соответствии в формулой (1.19), лежит в диапазоне 10 — 20 кэВ. Введение нижней границы по энергии в конусе потерь позволяет избежать проблем, связанных с конвективными потерями в тепловой области.
При решении кинетического уравнения (4.1) можно пренебречь низкоэнергичной тепловой частью функцпи распределения, возникающей в результате замедления быстрых ионов. Независимо от вида потерь, учитываемых в модели, функция распределения быстрых ионов развивается к стационарному состоянию. Характерное время замедления быстрого иона можно ввести как г = гаь//{Г)ь d3Vo, где пь = j /ь d3v0 — плотность быстрых ионов, рассчитанная для стационарного решения кинетического уравнения. Важно отметить, что время удержания запертых быстрых ионов (около 100 /хс для стандартной конфигурации) обычно много меньше времени столкновительной релаксации. Если ион рождается внутри конуса потерь, то за время жизни он не успевает существенным образом провзаимодействовать с основной плазмой, и функция распределения таких частиц может быть представлена как сумма -функций, соответствующих энергетическому составу пучка: /ь = (Г)ь/ ( г)ь- Такие распределения, реализующиеся при инжекции диагностического пучка, были проанализированы в работе [27]. В случае использования нейтральной инжекции для пагрева плазмы, функции распределения быстрых ионов формируются в основном за счет соударений. Примеры переходного (t — Tsd/З) и установившегося (t = 2.5 г ) ионных распределений при одновременном вводе радиального и продольного греющих пучков представлены на рис. 4.4. Быстрые поны рождаются вне конуса потерь и при продольной, и при радиальной инжекции, но в последнем случае ионный источник
Похожие диссертации на Неравновесные процессы при интенсивном нагреве плазмы с кулоновскими соударениями
