Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Коаксиальный плазменный волновод в сильном внешнем магнитном поле 16
1.1. Дисперсионное уравнение для спектров частот цилиндрического коаксиального волновода с полностью замагниченной трубчатой плазмой.
Структура электромагнитного поля 16
1.2. Спектры частот коаксиального плазменного волновода в длинновол новой и коротковолновой областях 21
1.3. Результаты численного исследования спектров частот и структур полей коаксиального плазменного волновода в сильном магнитном поле .24
1.4. Предел бесконечно тонкой трубчатой плазмы .33
1.5. Волны плотности заряда полностью замагниченного релятивистского электронного пучка в цилиндрическом коаксиальном волноводе .37
1.6. Предельный вакуумный ток релятивистского электронного пучка в коаксиальном пространстве дрейфа 41
Глава II. Коаксиальный плазменный волновод в отсутствие внешнего магнитного поля .47
2.1. Дисперсионное уравнение для спектров частот коаксиального волновода с трубчатым плазменным заполнением. Структура электромагнитного поля .47
2.2. Результаты численного исследования спектров частот коаксиального плазменного волновода в отсутствие внешнего магнитного поля .50
2.3. Длинноволновое приближение 54
2.4. Использование метода эффективных граничных условий в теории поверхностных волн тонкой трубчатой плазмы в коаксиальном волноводе в
отсутствие внешнего магнитного поля 57
Глава III. Коаксиальный плазменный волновод в конечном внешнем магнитном поле 63
3.1. Дисперсионное уравнение и структура электромагнитного поля для коаксиального волновода с однородным плазменным заполнением .63
3.2. Некоторые особенности спектров частот электромагнитных волн коаксиального волновода с однородным плазменным заполнением. Кабельные волны коаксиального плазменного волновода. Длинноволновое при-ближение 66
3.3. Использование метода эффективных граничных условий в теории поверхностных волн тонкой трубчатой плазмы в коаксиальном волноводе в конечном внешнем магнитном поле 72
Глава IV. Теория плазменных релятивистских черенковских излучателей с коаксиальной электродинамической системой в сильном внешнем магнитном поле 77
4.1. Дисперсионное уравнение пучково-плазменного взаимодействия в коаксиальном волноводе 77
4.2. Усиление электромагнитных волн в коаксиальном волноводе с тонкими трубчатыми плазмой и электронным пучком. Классификация механизмов усиления 83
4.3. Результаты численного исследования дисперсионного уравнения пучково-плазменного взаимодействия в коаксиальном волноводе 85
4.4. Условия самовозбуждения и к.п.д. плазменного СВЧ-излучателя с коаксиальным резонатором 95
Глава V. Теория пучково-плазменного взаимодействия в коаксиальных волноводах в конечном внешнем магнитном поле 98
5.1. Использование метода эффективных граничных условий для получения дисперсионного уравнения пучково-плазменного взаимодействия в
конечном внешнем магнитном поле 98
5.2. Вывод дисперсионных уравнений пучково-плазменного взаимодействия в конечном внешнем магнитном поле 101 5.3. Классификация механизмов неустойчивостей в конечном внешнем магнитном поле 104
Выводы 108
Список литературы
- Спектры частот коаксиального плазменного волновода в длинновол новой и коротковолновой областях
- Результаты численного исследования спектров частот коаксиального плазменного волновода в отсутствие внешнего магнитного поля
- Некоторые особенности спектров частот электромагнитных волн коаксиального волновода с однородным плазменным заполнением. Кабельные волны коаксиального плазменного волновода. Длинноволновое при-ближение
- Усиление электромагнитных волн в коаксиальном волноводе с тонкими трубчатыми плазмой и электронным пучком. Классификация механизмов усиления
Спектры частот коаксиального плазменного волновода в длинновол новой и коротковолновой областях
Рассмотрим бесконечно тонкий трубчатый слой однородной плазмы в приближении сильного внешнего магнитного поля, полагая для этого 8р -»о, со2р - о, причем а 2р8р = Const. Существует два способа получения дисперсионного уравнения для предела бесконечно тонкой трубчатой плазмы. Первый способ - использование метода эффективных граничных условий [115]. Второй - путем предельного перехода из уравнения (1.1.12) [99].
Метод эффективных граничных условий позволяет исследовать медленные поверхностные волны (волны с фазовой скоростью меньше скорости света) тонкой трубчатой плазмы в металлических волноводах. Эффективные граничные условия упрощают решение многих задач теории поверхностных плазменных волн и теории возбуждения поверхностных плазменных волн релятивистскими электронными пучками. С их помощью стало возможно аналитически исследовать дисперсионные свойства волноводов с плазменным заполнением, не прибегая к решению уравнений поля в плазменных областях. Отметим, что еще одним важным преимуществом метода эффективных граничных условий является то, что его можно применять при исследовании взаимодействия тонкого трубчатого пучка с тонкой трубчатой плазмой в волноводах, помещенных в магнитное поле, причем величина магнитного поля значения не имеет. Данное обстоятельство позволяет использовать метод эффективных граничных условий в задачах плазменной релятивистской СВЧ-электроники. Например, при изучении плазменных релятивистских СВЧ-излучателей (СВЧ-усилителей, СВЧ-генераторов), где основную роль играет черенковское возбуждение поверхностной плазменной волны в волноводе электронным пучком.
Получим дисперсионное уравнение, используя первый способ. Поле Е - типа описывается следующим уравнением второго порядка: A±Ez- s(r)Ez=0 . (1.4.1) Расписывая это уравнение, получаем d dEz I2 J (r)) r - E-xl 1-Ц =0. (1.4.2) r dr dr r 2 z \ со2 ) z Для того чтобы использовать метод граничных условий следует положить a l(r) = a 2pSpS(r-rp), а]- постоянная (мы не вводим нового обозначения, чтобы не загромождать формулы).
Интегрируя уравнение (1.4.2) по г в окрестности плазмы (в пределах от г-а до r + а, «г- 0), получим граничное условие. Данное граничное условие совместно с условиями на металлических поверхностях коаксиального волновода и условием непрерывности тангенциальной составляющей электрического поля на границах плазменной трубки составляет систему граничных условий для описания бесконечно тонкой трубчатой плазмы: (Ez(R1) = Ez(R2) = 0, \\ b(r)\ = -S х2 тЕ(г), (1.4.3) \{dr р ) со2 [{Ег(гр)} = 0. Применение граничных условий (1.4.3) позволяет не выписывать в явном виде решение уравнения (1.4.2) в области волновода, занятой плазмой, а ограничиться только решениями в вакуумных областях. При co kzc (т.е. в случае быстрых электромагнитных волн) решение уравнения (1.4.2) имеет вид \AJ(XJ) + B1N,(y0r), R1 r r , Е = 1 Л/Со A/Co р (1.4.4) [A2Jl(%0r) + B2Nl(x0r), rp r R2. Подставляя решения (1.4.4) в граничные условия (1.4.3) и исключая, постоянные А12 и в12, приходим к дисперсионному уравнению для быстрых электромагнитных волн 1 + Srr2 -G =0, (1.4.5) р р Л0 со2 2 р где введены обозначения FiR rJFir, ) N,tioR) N,(X0r) p2 и F(R,r) (1.4.6) G =JfU0rpy F(RiM JAx0R) Міс/) Дисперсионное уравнение (1.4.5) целесообразно переписать в следующем виде: M-M =_ ,A %fM %0r)F r)F( rR ) (1.4.5а) \_JAX&) JAXM] 2 p v (oL
Левая часть уравнения (1.4.5а) определяет спектры частот вакуумного коаксиального волновода. Таким образом, для быстрых электромагнитных волн присутствие в волноводе тонкой трубчатой плазмы приводит только к малым поправкам к частотам вакуумного волновода. Структура поля для быстрых волн имеет следующий вид:
Из дисперсионного уравнения (1.4.9) следует, что в длинноволновом пределе закон дисперсии медленной плазменной волны записывается в виде (1.2.3), где величина q2 определяется выражением {rlRxf -{rlR2f 2/ Р I 2 1 [(г /Д,)2 -1][1-(г IR2)21\ Sprp\ \nR2!Rx / = 0 \nrp/Rl\nR2/rp / 0, (1.4.11) В обратном коротковолновом случае (г- оо) решение уравнения (1.4.9) имеет вид co = a)p(kzSp/2)y2. Однако данное выражение неправильно описывает поведение дисперсионной кривой, вследствие того, что модель бесконечно тонкой плазменной трубки не применима в коротковолновом пределе [97]. Для медленных волн структура поля выглядит следующим образом: Г /,(х0г)М(г,Д), І кгкГр I,(x()r)M(R2,г)J" l ,r r R2 Е(г) = \ Щг„Л) (14 12) Выражение для Ez(r) в случае медленных волн в длинноволновом пределе kzR2 «1 при 1 = 0 имеет вид Г KRjr), Rx r rp, E=l /ОЛНУ ) _ (1.4.13) z ln( r/R7) liL ,r r R7. 1 h(rp/R2) p 2 Перейдем к численному решению дисперсионных уравнений (1.4.5) и (1.4.9). Значения параметров возьмем такие же, как и в случае точного дисперсионного уравнения (1.1.12): сор = 20-1010 рад с-1, 1 =0,5 см. R2=2см, гр =ісм, др =0,1 см. На Рис. 1.4.1-1.4.2 представлены полученные зависимости со(к2) и структура поля. На Рис. 1.4.1 кривая 1 описывает кабельную плазменную волну, кривые Г,2 ,3 описывают соответственно объемные волны волновода, которые существуют и в отсутствие плазмы. Мы видим, что на рисунке отсутствуют дисперсионные кривые высоких мод (1.2.9). Но это и понятно, так как в модели бесконечно тонкой плазмы частоты этих мод равны нулю.
В соответствии с формулами (1.1.7), (1.4.4), (1.4.8) зависимость от радиуса носит поверхностный характер для кривой 1 и объемный характер для оставшихся трех кривых. Качественный вид кривых совпадает с Рис. 1.3.2а и Рис. 1.3.2д, где представлена структура поля в случае плазмы конечной толщины. z
Дисперсионные кривые a(kz) коак- Рис. 1.4.2. Поперечное распределение Ez ком сиального волновода с тонкой плазменной поненты электрического поля для kz = 2см"1 . трубкой толщиной 8р = 0.1 см и средним ра- Нумерация кривых соответствует рис. 1.4.1. диусомг , = 1см. Выше было сказано, что дисперсионные уравнения (1.4.5) и (1.4.9) можно получить двумя способами: с использованием метода граничных условий и предельным переходом из дисперсионного уравнения (1.1.12). Чтобы проверить правильность данного утверждения возьмем выражения (1.4.11) и исследуем их в пределе q8p«\. Также возьмем формулу (1.2.10), которая была получена из точного дисперсионного уравнения (1.1.12) для случая низких мод, и сделаем в ней переход к бесконечно тонкой плазме. В результате преобразования формулы (1.2.10) для основной моды п = \ получаем вторую формулу выражения (1.4.11) при / = 0
Результаты численного исследования спектров частот коаксиального плазменного волновода в отсутствие внешнего магнитного поля
Перейдем к численному решению уравнения (2.1.8). Параметры плазменного волновода выберем близкими к используемым в экспериментах [65, 66, 83, 85]: R1 =0.5см, R2 = 2см, /J = 0.95см и Г2 = 1.05см. На Рис. 2.2.1 представлены дисперсионные кривые для значения плазменной частоты сор =20 1010 рад с"1 и вышеназванных радиусов плазменной трубки. Пунктирные линии 3 и 4 - это со = со /V2 и co = kzc, пунктирная кривая 5 а = со2р+ку . Кривые 1 и 2 - дисперсионные кривые низкочастотной и высокочастотной поверхностных плазменных волн. Кривые 1 -5 - дисперсионные кривые высокочастотных электромагнитных волн. Дисперсионные кривые поверхностных волн 1, 2 при kz oo выходят на линию co = cop/42. Электромагнитные волны 1 , 2 и 3 являются объемно-поверхностными волнами, волны 4 , 5 чисто объемные, а у волны 3 поле в плазме близко к некоторой константе, что следует рассматривать как случайное явление. зо
Стоит отметить, что высокочастотная поверхностная плазменная ветвь в коаксиальном волноводе отличается от аналогичной ветви обычного цилиндрического волновода. В коаксиальном волноводе высокочастотная поверхностная плазменная ветвь начинается из нуля (имеет нулевую частоту отсечки), что обусловлено наличием внутреннего цилиндра коаксиала. Высо-51 кочастотная плазменная поверхностная ветвь может представлять интерес для применения в плазменной релятивистской СВЧ-электронике, так как на основе возбуждения данной ветви могут быть сконструированы плазменные генераторы, работающие в режиме лампы обратной волны. В настоящее время реализованы только генераторы, работающие в режиме лампы бегущей волны.
Дисперсионные кривые коаксиального плазменного волновода с тонкой трубчатой плазмой при меньшей плазменной частоте =5-1010 рад с-1 показаны на Рис. 2.2.2. Видно, что в случае малой плазменной частоты только одна дисперсионная кривая 1 электромагнитной волны лежит ниже кри вой со = Jco2p + к2с2 , поэтому только эта волна является объемно поверхностной волной. Дисперсионные кривые поверхностных плазменных волн заметнее выходят на прямую а = а р/\І2, причем высокочастотная поверхностная волна в коротковолновой области имеет явные признаки аномальной дисперсии (dco/dkz 0 ).
На Рис. 2.2.3, 2.2.4 построены дисперсионные кривые поверхностных плазменных волн для большего диапазона значений компоненты волнового вектора кг, значения плазменных частот и радиусов волновода и плазменной трубки такие же, как на Рис. 2.2.1 и Рис. 2.2.2. Далее Рис. 2.2.3 соответствует частоте сор =20-1010 радс -1, Рис. 2.2.4 - сор =5-1010 радс -1. Кривая 2 - дисперсионная кривая высокочастотной плазменной поверхностной волны имеет явно выраженную аномальную дисперсию, дисперсионная кривая низкочастотной поверхностной волны (кривая 1) имеет нормальную дисперсию. Прямая 4 - co = kzc. Аномальная дисперсия высокочастотной поверхностной волны появляется при выполнении неравенства при выполнении обратного неравенства аномальная дисперсия не проявляется.
Дисперсионные кривые поверх- Рис. 2.2.6. Дисперсионные кривые поверхностных волн коаксиального плазменного ностных волн коаксиального плазменного волновода без внешнего магнитного поля волновода без внешнего магнитного поля при 5p=0.4см,соp =20-1010 радс -1. при дp =0.8см, соp =20-1010 радс -1.
Параметры плазмы, используемые при построении Рис. 2.2.1-2.2.4 удовлетворяют неравенству (2.2.1), то есть одна из поверхностных плазменных волн действительно имеет в коротковолновой области явно выраженную аномальную дисперсию. Кроме этого на Рис. 2.2.3-2.2.4 оставлена прямая 3 -co = kzu, чтобы можно было представить местоположение волн плотности заряда пучка. Однако сразу отметим, что в случае нулевого магнитного поля электронный пучок будет «выталкиваться» на стенки волновода и поэтому в Главе 2 не будут вводиться понятия предельных вакуумных токов, как это было сделано в 1.6 Главы 1. На Рис. 2.2.5, 2.2.6 построены дисперсионные кривые поверхностных плазменных волн для плазмы большей толщины: Sp=0.4см (гх=0.8см, г2= 1.2см) и ?, = 0.8см (г1=0.6см, г2=1.4см). Обозначения соответствуют
Перейдем к аналитическому решению дисперсионного уравнения (2.1.8) в длинноволновом пределе. Интерес представляют фазовые скорости длинноволновых поверхностных плазменных волн. Вследствие этого считаем, что выполнены условия kz 0, а 0, a /kz=v = Const. (2.3.1.)
Некоторые особенности спектров частот электромагнитных волн коаксиального волновода с однородным плазменным заполнением. Кабельные волны коаксиального плазменного волновода. Длинноволновое при-ближение
Проанализируем дисперсионные уравнения для волн Е- типа. При условии (3.2.8) следует различать два случая. Первый случай - частота со при условии (3.2.8) не стремится к нулю. При этом из уравнения (3.2.11) определяются частоты отсечки электромагнитных волн Е- типа со2 = со] + кіс2. (3.2.14) Второй случай соответствует ситуации, когда при условии (3.2.8) частота со стремится к нулю. При этом величины, входящие в уравнение (3.2.11) упрощаются и принимают вид: = -со2р/соПе,1=1 + со2р/П2е = х4-(со4р/П2е)(со2/с4),11=-со2р/со2. (3.2.15) В результате получаем следующее уравнение четвертой степени относительно со: юЧ с2 + ) - { 2с2±( с2+2 ) + (4/П )( с2+ )} + 4с4 =0.(3.2.16)
Данное уравнение имеет четыре корня. Однако, нам подходят только те два, которые обращаются в ноль при к2 - о соХ2=±л 2с2±(2с2 +2«2) + («4/Q2)(2c2 + co2p)-F р± 2(к2±с2+со2)є (3.2.17) где F = [k2c2eL{klc2 +2a 2p)+(a l/Q2e)(klc2+ co2p)f -4(klc2+со2р)єІк4с4со2р . На Рис. 3.2.2 а-г представлено численное решение выражения (3.2.17) для сор =5-1010 рад/с и для четырех разных значений циклотронной частоты: і-іо10,з-іо10,зо-іо10,іоо-іо10 рад/с. На Рис. 3.2.2 а и б представлен «чистый» геликон, на Рис. 3.2.2в начинает проявляться линейная зависимость, на Рис. 3.2.2г зависимость практически линейная, не считая малого начального участка.
Исследуем уравнение (3.2.16) при условиях (3.2.8) и со О. Для этого пренебрежем к2 во втором члене уравнения (3.2.16) (при этом следует иметь в виду, что предельный переход Qe - оо становится невозможным), что приводит к следующему уравнению: а)\к1с2+а)2р)є1-а)2(а)4р/ф(к1с2+а)2р) + к42с4а)2р=0. (3.2.18) Сравним первые два члена в уравнении (3.2.18). Имеют место два случая. Первый, когда магнитное поле слабое и выполнено неравенство co2{\ + co2p/Q2eJ «co2pco2p/Q2e. (3.2.19) При таком условии в уравнении (3.2.18) можно пренебречь первым членом, в результате чего приходим к со2 = к4 с4 Q2/со4 (3.2.20) решению, описывающему геликон [98]. Если же выполнено неравенство обратное (3.2.19), то приходим к спектрам, описывающим косые ленгмюров-ские волны [34]: со2=к2с2сор(к2±с2+со2рУУ2. (3.2.21) При увеличении магнитного поля неравенство (3.2.19) меняется на противоположное, что приводит к изменению спектра низкочастотной плазменной волны от геликона (3.2.20) до косой ленгмюровской волны (3.2.21), что наглядно демонстрируется серией рисунков 3.2.2а-г.
Использование метода эффективных граничных условий в теории поверхностных волн тонкой трубчатой плазмы в коаксиальном волноводе в конечном внешнем магнитном поле
В случае конечного магнитного поля, как и в случае нулевого магнитного поля, можно говорить о двух типах плазменных волн со скоростью меньше скорости света - это высокочастотная и низкочастотная поверхностные волны. Как уже было сказано в предыдущих главах, именно эти волны наиболее интересны при изучении плазменной релятивистской СВЧ-электроники.
В работе [115] предложен метод эффективных граничных условий применительно к случаю распространения поверхностных плазменных волн, у которых фазовая скорость меньше скорости света с в вакуумном металлическом волноводе с тонкой трубчатой плазмой, помещенном в конечное внешнее магнитное поле. Применим данный метод к нашему случаю.
Известно, что в случае конечного внешнего магнитного поля не происходит расщепления электромагнитного поля на волны Е- и Н- типов. Для получения эффективных граничных условий высокочастотной плазменной волны записываются условия непрерывности компонент EZ,BZ,EV,BV электромагнитного поля на границах плазменной трубки, после этого они «сшиваются». Для высокочастотной плазменной волны в случае конечного внешнего магнитного поля граничные условия имеют вид [115]
Усиление электромагнитных волн в коаксиальном волноводе с тонкими трубчатыми плазмой и электронным пучком. Классификация механизмов усиления
Для приложений в плазменной СВЧ-электронике наибольший интерес представляют электромагнитные взаимодействия замедленных поверхностных волн коаксиального плазменного волновода с поверхностными волнами электронного пучка, рассмотрением которых в настоящей главе мы и ограничимся. Как было показано в предыдущих главах, в плазменных волноводах существуют два типа поверхностных замедленных волн: низкочастотная и высокочастотная плазменные волны, которые отличаются знаками зарядов на границах трубчатой плазмы.
Как и в предыдущих главах в случае тонких трубчатых плазмы и пучка при описании поверхностных волн будем использовать метод эффективных граничных условий [115], позволяющий не записывать в явном виде решений уравнений поля в областях волновода занятых плазмой и пучком. Для низкочастотных поверхностных волн эффективные граничные условия имеют вид [115] (решения уравнений поля ищутся в виде Ez(r)exp(-i Dt+ikzz), рассматриваются только азимутально-симметричные волны Е-типа) {Е(га)} = 0, \ — (га)\ = 8ахІ8щаЕ (га). (5.1.1) [dr J Здесь а- сорт частиц: а = р- плазма, а = Ь- пучок, остальные обозначения совпадают с введенными ранее и /"і 2 2-3 Se=—f, Ssb= аьГ 2 (5.1.2) у со2 " (co-kzu) вклады плазмы и пучка в продольную диэлектрическую проницаемость [34, 98], соа- ленгмюровские частоты частиц сорта a, а Ez(r)- продольная компо нента напряженности электрического поля в волноводе. Для высокочастотных поверхностных волн эффективные граничные условия записываются следующим образом [115]: J L(r)L0, {E(ra)} = Sa fg dEz (ra), (5.1.3) [dr J %2 0є1а dr где Є1а = 1 + &Г± -X)V &?, = p Sslh= b( ) r (5 14) вклады плазмы и пучка в поперечную диэлектрическую проницаемость [34, 98], х2а=к2-є1аа2/с2 . Вне областей, занятых пучком и плазмой, напряженность электрического поля удовлетворяет уравнению А±Е2-%ЇЕ2=0 , (5.1.5) На границах волновода r = R12 обращаются в ноль тангенциальные составляющие напряженности электрического поля Ez(R1) = Ez(R2) = 0. (5.1.6) Соотношения (5.1.1) - (5.1.6) являются основными для дальнейшего исследования проблемы пучково-плазменного взаимодействия.
Ранее были выяснены основные свойства поверхностных волн коаксиального плазменного волновода в отсутствие в нем электронного пучка. Это именно те волны, которые могут излучаться (возбуждаться) в волноводе электронным пучком. Дисперсионное уравнение низкочастотной поверхностной волны коаксиального волновода имеет вид (1.4.9). Из уравнения (1.4.9) в длинноволновом приближении kzR«1 следует выражение для квадрата частоты низкочастотной плазменной волны (4.1.6). Строго говоря, выражение (4.1.6) не является окончательным выражением для частоты, поскольку величина Gp сама зависит от ю. В дальнейшем для исключения этой зависимости будем использовать условие резонансного возбуждения волны (4.1.6) пучком. Дисперсионное уравнение (4.1.6) описывает не весь спектр, а только длинноволновую часть спектра, чтобы качественно верно получить полный спектр, включая коротковолновую часть, следует, как показано в [97], сделать в уравнении (1.4.9) замену
Дисперсионное уравнение для высокочастотной плазменной волны также было получено ранее (см. первую формулу (3.3.6)). Было получено выражение для квадрата частоты высокочастотной плазменной волны в длинноволновом пределе при равном нулю азимутальном числе (3.3.8). Выражение (3.3.8) было исследовано при нулевом магнитном поле и магнитном поле конечной толщины. Также для высокочастотной плазменной волны была получена структура поля.
Обратимся теперь к пучковым поверхностным волнам коаксиального волновода в отсутствии в нем плазмы. Для получения дисперсионного уравнения низкочастотной ленгмюровской пучковой волны подставим решение уравнения (5.1.5) в граничные условия (5.1.1) при а = Ъ. По аналогии с предыдущими главами, исключая постоянные A,B,C,D, найдем дисперсионное уравнение для частоты низкочастотной поверхностной волны коаксиального волновода с тонким трубчатым пучком. Оказывается, что это уравнение совпадает с уже исследованным нами ранее уравнением (1.5.4).
Для нахождения дисперсионного уравнения высокочастотной пучковой волны подставим решение уравнения (5.1.5) в граничные условия (5.1.3) при а = Ь, в результате получим Наконец перейдем к рассмотрению резонансного взаимодействия поверхностных волн коаксиального плазменного волновода с поверхностными волнами электронного пучка. Условия резонансов определяются совместным решением одного из уравнений (1.4.9) или первого уравнения (3.3.6), и одного из уравнений (1.5.4), или (5.1.9). Если плотность электронного пучка мала, то уравнения (1.5.4) и (5.1.9) можно заменить одночастичными условиями черенковского и циклотронного резонансов а)=кги, cD = kzu±Qjy. (5.2.1)
Получается, что имеется 6 точек резонансного взаимодействия плазменных волн с электронным пучком, что схематически представлено на Рис. 5.2.1. В точках 1 и 2 пересекаются дисперсионные кривые высокочастотной и низкочастотной плазменных волн с прямой co = kzu (черенковский резонанс); в точках 3 и 4 пересекаются дисперсионные кривые низкочастотной и высокочастотной плазменных волн с прямой co=kzu-Qjy (аномальный доплеровский резонанс); в точках 5 и 6 пересекаются дисперсионные кривые низкочастотной и высокочастотной плазменных волн с прямой co = kzu + Qjy (нормальный доплеровский резонанс).