Функция распределения ионов по скоростям в плазме собственного газа Аинов Мацак Алексеевич

Содержание к диссертации

Введение

Глава 1. Обзор литературы 11

1.1 Введение 11

1.2 Анализ работ по определению ФРИ в разрядах различного типа 12

Выводы к главе 1 18

Глава 2. Экспериментальное определение ФРИ в плазме тлеющего газового разряда 19

2.1 Введение и постановка задачи 19

2.2 Метод измерения ФРИ с помощью плоского одностороннего зонда

2.2.1 Теоретические основы метода 19

2.2.2 Описание установки, конструкции зондов и зондового узла 24

2.2.3 Восстановление полной ФРИ ионов в положительном столбе газового разряда в Не, Аг и парах Hg 30

2.3 Обсуждение результатов главы 2 36

Выводы к главе 2 41

Глава 3. Расчет ФРИ в плазме собственного газа в условиях, когда основным процессом является резонансная перезарядка 42

3.1 Введение и постановка задачи 42

3.2 ФРИ в случае сильного поля с учетом только резонансной перезарядки

3.2.1 Получение основных соотношений 43

3.2.2 Сравнение с экспериментальными данными по ФРИ и обсуждение результатов для случая сильного поля 51

3.3 ФРИ в случае произвольного поля с учетом только резонансной перезарядки 61

3.3.1 Получение основных соотношений з

3.3.2 Сравнение с экспериментальными данными по ФРИ и

обсуждение результатов для случая произвольного поля 67

3.4 Учет упругих столкновений при расчете ФРИ в собственном газе 77

3.4.1 Получение основных соотношений 78

3.4.2 Обсуждение результатов по учету упругих столкновений и сравнение с данными других авторов 84

Выводы к главе 3 95

Приложение 3.1 96

Приложение 3.2 98

Приложение 3.3 102

Приложение 3.4 104

Глава 4. РІС моделирование 107

4.1 Введение и постановка задачи 107

4.2 Моделирование движения ионов в собственном газе

4.2.1 Выбор модели для описания столкновения иона с собственным атомом с учетом упругих столкновений 109

4.2.2 Выбор модельного дифференциального сечения рассеяния при столкновении иона с собственным атомом 116

4.3 Расчет ФРИ для ионов Не+, Аг+ и Нд+ в собственных газах 121

4.4 Обсуждение полученных результатов и сравнение расчетов ФРИ методом Монте-Карло с результатами аналитической теории и данными эксперимента 124

Выводы к главе 4 150

Заключение 152

Список сокращений и условных обозначений 154

Список литературы

• Анализ работ по определению ФРИ в разрядах различного типа
• Описание установки, конструкции зондов и зондового узла
• Сравнение с экспериментальными данными по ФРИ и обсуждение результатов для случая сильного поля
• Выбор модели для описания столкновения иона с собственным атомом с учетом упругих столкновений

Введение к работе

Актуальность работы

Функция распределения ионов (ФРИ) по скоростям представляет особый интерес в связи с тем, что процессы с участием ионов играют важнейшую роль во многих явлениях. К ним относятся: плазмохимические реакции, идущие с участием ионов в различных видах газового разряда; процессы, протекающие в ионосфере под влиянием солнечного ветра; процессы взаимодействия потоков ионов с поверхностями твердых и жидких веществ; влияние ионов на свойства пылевой плазмы, и ряд других. Среди технических приложений можно отметить: современные плазменные нанотехнологии; тонкую очистку ионами поверхности материалов; технологии создания рельефов на поверхности за счёт избирательного травления при бомбардировке потоками ионов; ионные двигатели малой тяги для космических аппаратов и др. Вполне понятно, что основные характеристики процессов, протекающих в вышеперечисленных явлениях, определяются именно ФРИ.

Несмотря на то, что первые попытки нахождения ФРИ предпринимались еще в середине прошлого века [; , можно с уверенностью утверждать, что задача нахождения ФРИ в плазме газового разряда, далека от своего решения как с экспериментальной, так и с теоретической точки зрения. Действительно, успехи в экспериментальном определении ФРИ, в основном, связаны с применением масс - спектрометрии в разрядах, перспективных для плазмохимических технологий травления поверхностей с применением индуктивно связанного разряда, различных модификаций емкостных разрядов и т. п. Кроме того, основной интерес исследователи здесь проявляют к ФРИ, бомбардирующих поверхность образца.

Теоретическое исследование ФРИ началось, аналогично, примерно в середине прошлого века. Развитие методов решения уравнения Больцмана, особенно метода моментов, привело к тому, что в рамках, так называемых, двух и трех температурных приближений были вычислены основные параметры дрейфа ионов - подвижности, коэффициенты поперечной диффузии, дрейфовые скорости вдоль поля [—. При решении задачи о диффузии ионов в рамках этих приближений ФРИ по энергиям полагается максвелловской, температура которой различна в направлениях параллельном и ортогональном полю, а распределение по направлениям движения описывается в виде ряда по некоторой системе ортогональных функций. Как следует из результатов настоящей работы, реальная ФРИ по энергиям в DC - разряде весьма далека от максвелловской.

В других работах делалась попытка аналитического решения нахождения ФРИ в собственном газе без учета рассеяния в поляризационном потенциале (упругих столкновений), при этом авторы, либо ограничивались приближениями слабых или сильных полей [—, либо использовали нереалистичные предположения. Так, в [— использовалось BGK - приближение постоянной частоты столкновения, в [ предполагалось постоянным сечение перезарядки, в [] резонансная перезарядка не учитывалась вообще. Надо отметить, что ФРИ в большинстве газовых разрядов является сильно анизотропной, что существенно затрудняет ее исследование. В последнее время появляются отдельные работы по численному моделированию ФРИ в объеме плазмы [; — с учетом перезарядки и поляризационного рассеяния, однако, среди исследователей существуют серьезные разногласия в вопросах описания процессов столкновения ионов

с атомами, особенно ионов с собственными атомами в условиях, когда велика вероятность процесса резонансной перезарядки. В частности, нет единого мнения по поводу концепции учета упругого рассеяния иона при его столкновении с собственным атомом.

Таким образом, вышесказанное позволяет заключить, что тема настоящего исследования является актуальной.

Цель диссертационной работы.

Экспериментальное и теоретическое исследование ФРИ в DC - плазме газового разряда собственного газа в широком диапазоне параметров плазмы

При этом теоретическое рассмотрение будет проводиться с применением как аналитических методов исследования, так и численного моделирования методом Монте - Карло.

Практическая значимость результатов исследования.

Разработанные методы диагностики анизотропной плазмы и принцип моделирования открывают новые возможности для:

создания новых приборов плазменной энергетики, исследования их электрокинетических характеристик, измерения анизотропии распределения;

дальнейшего совершенствования методов диагностики анизотропной плазмы, повышения их точности и надежности;

Созданные методы диагностики и выполненные исследования анизотропной плазмы, вносят вклад не только в развитие новых приборов и методов экспериментальной физики, но и в развитие новых направлений в плазменной электронике и физике плазмы.

В качестве технических приложений полученные результаты применимы в современных плазменных нанотехнологиях, в частности, для тонкой очистки ионами поверхностей изделий, для создания рельефов на поверхности.

Положения, выносимые на защиту:

1. Экспериментальный метод восстановления полной ФРИ по энергиям и углам в плазме собственного газа с помощью плоского одностороннего зонда путем измерения конечного числа коэффициентов в разложении ФРИ по полиномам Лежандра для Не, Аг и Eg.

2. Аналитическая теория для расчета ФРИ в плазме собственного газа при произвольных электрических полях с учетом процессов резонансной перезарядки и упругих столкновений ионов с атомами.

3. Результаты численного моделирования ФРИ методом Монте-Карло и их сравнение с данными эксперимента и аналитической теории для ионов Не⁺, Аг⁺ и Нд⁺ в собственном газе.

Научная новизна полученных результатов:

Создан метод диагностики неравновесной анизотропной плазмы плоским односторонним зондом и разработана аналитическая теория, позволяющие восстанавливать полную ФРИ и регистрировать диаграммы направленного движения ионов в плазме в произвольном электрическом поле. Данные методы апробированы и получены следующие результаты:

1. Впервые измерена ФРИ по энергиям для Не⁺ в Не, Аг⁺ в Аг и Нд⁺ в Нд. Измерения выполнены при отношении длины пробега иона к характерному размеру плоского зонда равном 0.7, 2 и менее 0.1, соответственно.

2. Развита аналитическая теория для описания ФРИ в собственном газе при условии, что основнвім процессом с участием ионов в плазме является резонансная перезарядка. При этом учтено поляризационное рассеяние при столкновении иона с собственным атомом. Величина электрического поля в плазме может быть произвольной.

3. Полученные результаты позволяют сделать вывод о том, что в плазме самостоятельного газового разряда даже при умеренных полях, когда параметр Е/Р ~ 10 -г- 20В/(см Тор), ФРИ обладает заметной анизотропией и сильно отличается от максвелловского распределения.

4. Проведено сравнение измеренных и рассчитанных по разработанной теории полной ФРИ и первых семи коэффициентов полинома Лежандра для ионов Не⁺ в Не, Аг⁺ в Аг и Нд⁺ в Нд.

Апробация работы и публикации.

Основные результаты диссертации были доложены и опубликованы в трудах следующих конференций:

1. 54th Meeting of the APS Division of Plasma Physics, 2012 г., Providence, RI, USA.

2. XL Международная конференция по физике плазмы и управляемому термоядерному синтезу, 2013 г., Звенигород, Россия.

3. Ежегодный Международный Форум молодых Ученых Национальный минерально-сырьевой университет «Горный», секция нанотехнологии, 2013 г., Санкт-Петербург, Россия.

4. XXIY International Forum-Competition, 2013 г., Gottingen, Germany.

5. 66th Annual Gaseous Electronics Conference, 2013 г., Princeton, NJ, USA.

6. XLI Международная конференция по физике плазмы и управляемому термоядерному синтезу, 2014 г., Звенигород, Россия.

7. 41st IEEE International Conference on Plasma Science, 2014 г., Washington, DC, USA.

8. Ежегодный Международный Форум молодых Ученых Национальный минерально-сырьевой университет «Горный», секция нанотехнологии, 2014 г., Санкт - Петербург, Россия.

9. XLII Международная конференция по физике плазмы и управляемому термоядерному синтезу, 2015 г., Звенигород, Россия.

10. Международная конференция молодых физиков, Физический институт им. П.Н. Лебе
дева РАН. МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2015 г., Москва, Россия.

11. 42nd European Physical Society Conference on Plasma Physics, 2015 г., Lisbon, Portugal.
Публикации автора в рецензируемых изданиях:

10. Мустафаев А.С. Сухомлинов B.C. Айнов МА. Экспериментальное и теоретическое определение сильно анизотропной функции распределения ионов по скоростям в плазме собственного газа при больших полях // ЖТФ. — 2015. Т. 85, № 12. — С. 45.

11. Мустафаев А.С, Сухомлинов B.C., Айнов МА. Функция распределения ионов по скоростям в плазме собственного газа // Физическое образование в вузах. — 2015. Т. 21, № 1. - С. 20.

3. Мустафаев А.С. Сухомлинов B.C., Айнов А. М. Функция распределения ионов по энергиям и углам в плазме // Физическое образование в вузах. — 2016. Т. 22, № 1С. — С. 28.

4. Mustafaev A.S., Soukhomlinov V.S., Ainov М.А.. Experimental and theoretical determination of the strongly anisotropic velocity distribution functions of ions in the intrinsic gas plasma in strong field. // Technical Physics. 2015. V.60, p. 1778.

5. (Патент) Мустафаев А.С, Грабовский А.Ю., Страхова А.А., Айнов М.А. . Способ стабилизации высоковольтного напряжения на базе разряда с сужением плазменного канала. Заявка на патент 102014153822 от 29.12.2014. Положительное решение о выдаче патента от 04.02.2016.

Структура и объем диссертации

Анализ работ по определению ФРИ в разрядах различного типа

Дальнейшее развитие данной тематики проходило в соответствии с тем, что, с одной стороны, численные методы решения уравнения Больцмана и, тем более методы, основанные на алгоритме Мойте - Карло, требовали не существовавших на то время больших вычислительных мощностей, а с другой - стали появляться технические и технологические приложения, в которых требовалось детальное знание процессов дрейфа ионов (в том числе, и ФРИ). В соответствии с этим стали развиваться аналитические методы расчета ФРИ для вычисления скоростей дрейфа и подвижностей при малых [7],[8] и сильных [9] полях. Однако, в этих работах при расчете случая отношения масс иона и атома равном 1 не учитывалась резонансная перезарядка, что затрудняло применение результатов при описании диффузии иона в собственном газе. В других работах использовались нереалистичные предположения о зависимостях сечений взаимодействия иона и атома от относительной скорости (относительной скорости относительного движения). Так в ряде работ были проведены вычисления констант дрейфа ионов в BGK - приближении [10] или, как его называют, приближение постоянной частоты (или времени) столкновения [11],[12]. Кроме того, в этих работах не учитывалась резонансная перезарядка. В работе [13], напротив, резонансная перезарядка учитывалась, но теория разработана также в BGK - приближении, что, как будет показано ниже, приводит к существенным ошибкам при вычислении ФРИ, особенно, в случае сильных полей.

Другим приближением, которое использовали авторы, пытаясь получить аналитическое решение уравнения Больцмана для ионов, было рассмотрение иона и атома как максвелловских молекул, то есть взаимодействующих по закону ос 1/г , где г - расстояние между сталкивающимися частицами [14],[15]. При этом, очевидно, в случае столкновения иона с собственным атомом не учитывается резонансная перезарядка и результаты вычисления ФРИ для этой ситуации непригодны для использования.

Развитие методов решения уравнения Больцмана с целью вычисления параметров дрейфа заряженных частиц в плазме привело к появлению мощных аналитических методов, которые если и требовали численных вычислений, но в гораздо меньших масштабах, чем прямое решение интегро-дифференциаль-ного уравнения Больцмана или моделирование методом Монте - Карло. Так появилось сначала двухтемпературное приближение [16—19], а затем и трех-температурное приближение для описания плазмы с целью вычисления параметров дрейфа ионов [16; 19—23]. В двухтемпературном приближении ФРИ по энергиям (скоростям) получается максвелловской с температурой, определяемой величиной поля в плазме, при этом распределение по направлениям дви 14 жения ионов не изотропно. Угловая зависимость ФРИ описывается в виде разложения по некоторой ортогональной системе функций, например, полиномов Лежандра. Коэффициенты этого разложения и являются моментами решения уравнения Больцмана. Это позволяет вычислять дрейфовую скорость в направлении поля и подвижность ионов. В трехтемпературном приближении ФРИ по энергиям представляется уже в виде произведения максвеллианов с двумя разными температурами, одна из которых соответствует средней энергии иона в направлении электрического поля, другая же - поперек поля. Сюда добавляется максвелловское изотропное распределение атомов со своей температурой - отсюда и название метода. Таким образом, трехтемпературное приближение позволяет вычислять также и коэффициент поперечной полю диффузии ионов. Расчеты констант дрейфа о трехтемпературной теории хорошо согласуются с экспериментальными данными по подвижности и коэффициентам поперечной диффузии ионов в инертных газах [20],[21].

Указанные методы являются модификациями, так называемого, метода моментов решения уравнения Больцмана. Систематическое применение момент-ных методов к теории переноса частиц получило мощный импульс, когда эти методы стали применяться в связи с попытками описания диффузии нейтронов в различных веществах. Одними из первых работ по данной тематике следует считать, по - видимому, [24],[25] и несколько позднее, [26]. Отметим, что схема применения метода моментов к решению уравнения Больцмана, для нейтральных и заряженных частиц принципиально не отличаются, за исключением того, что несколько иначе записывается система уравнений для нахождения моментов функции распределения.

С использованием метода моментов были вычислены подвижности, скорости дрейфа и коэффициенты поперечной диффузии для большого числа различных пар ион - плазмообразующий газ [17; 27—29].

Надо отметить, что метод моментов и его модификации и в настоящее время являются, пожалуй, одним из самых мощных (наряду с численными методами) способов решения уравнения Больцмана для различных задач, связанных с коллективным поведением частиц. Так, он позволяет вычислять характеристики дрейфа заряженных частиц, в том числе, и в присутствии магнитного поля [30]. Этим методам уделяется внимание в обзорах по данной тематике [19; 31; 32]. Из интересных модификаций моментного метода можно отметить, в частности, работы [33—35], где развивается методика расчета нестационарной функции распределения заряженных частиц при "внезапном включении электрического поля". Этот метод основан на расчете матричных элементов интеграла столкновений, который применен к решению нестационарного уравнения Больц-мана методом моментов для ионов, в том числе, и в условиях, когда основной процесс - резонансная перезарядка. Тем не менее, в сильных полях, когда отношение тепловой энергии атома к энергии иона, приобретаемой на длине пробега, менее 0.05, использование данного подхода для расчета стационарной ФРИ затруднительно.

Несколько особняком стоит работа [36], где получено аналитическое решение задачи о ФРИ в собственном газе с учетом только резонансной перезарядки и в предположении постоянного сечения этого процесса. Надо отметить, что, это не единственное приближение, которое сделано в [36] при получении аналитического решения. А именно, авторы предполагали, что, во-первых, распределение по скоростям ионов в плоскости, ортогональной направлению электрического поля, при любой фиксированной проекции скорости иона на направление поля является максвелловским, во - вторых, что ФРИ по скоростям можно представить в виде произведения функций, зависящих только от продольной (по отношению к полю) и поперечной скоростей. Как будет видно из анализа в Гл.З и 4, данные предположения существенно искажают реальную ФРИ, как при малых, так и при больших энергиях. Отметим, что в работе также приведены результаты моделирования методом Монте - Карло.

В последнее время развиваются методы моделирования процессов в плазме и, в частности, движения ионов в разрядах различного типа [36—40] методами Монте - Карло. Тщательное изучение работ по данной тематике позволяет сделать вывод о том, что в настоящее время в литературе отсутствуют данные о ФРИ в собственных газах в DC - разряде, полученные таким способом. Исключение составляет работа [36], где сечение резонансной перезарядки считалось постоянным и не учитывалось поляризационное рассеяние иона на атоме. Так, в работе [37] авторы не учитывали процесс резонансной перезарядки, [38] посвящена моделированию движения иона в дрейфовой трубке, в [39],[40] вычисляются параметры дрейфа заряженных частиц в плазме, но сама функция распределения ионов не приводится.

Описание установки, конструкции зондов и зондового узла

Настоящая работа посвящена теоретическому решению задачи об определении ФРИ по скоростям в тлеющем разряде собственного газа в постоянном поле произвольной величины. При этом учтено, что медленные ионы возникают с максвелловским распределением по скоростям (с атомной температурой) в результате перезарядки, которая считается доминирующим процессом.

Отметим, что кроме резонансной перезарядки ионы при столкновении с собственными атомами могут упруго рассеиваться. Однако, как известно, во-первых, сечение упругого рассеяния сравнимо с сечением резонансной перезарядки только при малых энергиях (порядка 0.1 эВ и ниже) [90], во вторых, вид ФРИ по энергиям слабо зависит от величины этого сечения [6],[13],[36],. Таким образом, сравнение расчетов ФРИ (полученной в предположении о доминировании процесса резонансной перезарядки) с полученными в [89] и Главе 2 экспериментальными данными, позволят получить дополнительную информацию о влиянии процесса упругого рассеяния иона на атоме на вид ФРИ по энергиям. Ниже, мы, сначала решим задачу для случая сильного поля без учета упругого рассеяния, затем распространим это решение на случай произвольного поля и, наконец, основываясь на полученных результатах, учтем упругие столкновения при расчете ФРИ в собственном газе.

Как отмечалось, механизмы взаимодействия ионов с остальными компонентами низкотемпературной плазмы в настоящее время достаточно хорошо изучены [36],[91],[90],[92]. Установлено, что доминирующим процессом при столкновениях иона в собственном газе является резонансная перезарядка, в результате которой ион во время столкновения с атомом передает ему за счет туннельного эффекта свой заряд, сохраняя импульс и энергию.

Имея в виду основной механизм взаимодействия ионов с нейтральными атомами, рассмотрим установившееся распределение по скоростям при условиях: — атомы газа движутся в соответствии с законом Максвелла; — движение ионов происходит в собственном газе с низкой степенью ионизации; — доминирующим процессом, формирующим функцию распределения ионов по скоростям, является резонансная перезарядка; — отсутствуют продольные градиенты параметров плазмы. Последнее условие необходимо, поскольку в противном случае будет зависеть от продольной координаты и ФРИ. Решение задачи в этом случае также не вызывает затруднения, но требует постановки физически обоснованных граничных условий по координате Z. В стационарной плазме при сделанных предположениях уравнение Больц-мана имеет вид: ViS7r{fi) + —Vv{f\) = Su (3.1) lib где є, т - заряд и масса иона; Е - напряжённость электрического поля; V{ -скорость ионов; fi - ФРИ по скоростям; Si -интеграл столкновений. Учитывая, что ион, возникающий как в результате перезарядки, так и в результате электронного удара, имеет скорость атома, определим интеграл столкновений следующим образом: Si{vi) =па J J (JVrfa{va)f\{v )[6{va - Vi)-6{v i - v,)]dvadvl (3.2) гДе fa(Va) - функции распределения атомов; na - концентрация атомов, а - сечение перезарядки, vr - модуль относительной скорости ион - атом; va - скорость атомов. В интеграле столкновений не учитываются процессы ионизации и электрон-ионной рекомбинации ввиду того, что при сделанных предположениях их характерное время велико по сравнению со временем резонансной перезарядки. Функция распределения ионов нормирована на концентрацию, а атомов -на единицу.

Отметим, например, что в случае инертных газов неравенство (3.4) выполняется только при малых значениях произведения 1 ( - характерный размер объема, в котором создается плазма), когда из-за быстрой диффузионной гибели электронов значительно возрастает электрическое поле в плазме [95]. В этом случае полагаем, что относительная скорость ион-атом перед столкновением имеет лишь одну составляющую вдоль направления напряженности электрического поля Ё и определяется только скоростью иона. Будем полагать также, что частота межатомных столкновений значительно больше частоты ион - атомных столкновений. Это позволяет использовать для атомов равновесное распределение Максвелла, но накладывает ограничение на величину степени ионизации. При сделанных предположениях интеграл столкновений сводится к следующему выражению:

Рассмотрим сначала случай, когда плазма не ограничена стенками и электрическое поле имеет одну компоненту, направленную вдоль оси Z. При этом положим, что эта компонента поля, концентрация атомов и ионов не зависят от координаты. Тогда функция распределения fi зависит только от скорости V{ и можно, используя (3.5), привести кинетическое уравнение к следующему виду

Сравнение с экспериментальными данными по ФРИ и обсуждение результатов для случая сильного поля

Отметим, что формула (3.14) для дрейфовой скорости иона совпадает с результатами работ [5],[91] в предельном случае сильного поля. Аналогично, формула (3.19) совпадает с результатом, приведенным в [2]. Как уже говорилась, в работе [3] было вычислено время, в течение которого ион имеет составляющую скорости вдоль электрического поля в промежутке от Viz ДО Viz+dviz. Это время определяет ФРИ по Z - компоненте скорости. Полученное нами распределение (3.10) с точностью до переобозначений соответствующих величин совпадает с формулами [3] (47) (для V{z 0) и [3] (46) (для V{z 0) упомянутой работы для случая — 1. При выполнении соотношения л/—— оо распределение (3.10) переходит в распределение Максвелла, тождеенное полученному авторами [98]. Как уже упоминалось, это соответствует условию пренебрежения ионами, которые рождаются в результате перезарядки с тепловыми скоростями. Таким образом, можно констатировать, что полученные нами результаты для ФРИ по скоростям согласуются с результатами других авторов.

Обсудим теперь некоторые особенности функции распределения (3.9). Как видно, распределение ионов по модулю скорости зависит от двух параметров «о и /3, что существенно отличает его от известного равновесного распределения Максвелла.

На рис. 3.1 приведены графики функций x2fi(x), где х = \ffivi при различных значениях параметра согласно (3.9), распределения Максвелла x2fm(x) = - ж2exp(—х2) и распределения, полученного при постоянном сечении резонансной перезарядки в работе [96]: 2/sW = 8 2 (f)1.5 2 exp ( - 2) . (3.20) Видно, что для функции x2fi(x) число частиц в области больших скоростей значительно больше, чем для равновесного распределения с температурой атомов. Обратное соотношение наблюдается в области малых скоростей. Это легко объяснить тем, что в области больших скоростей избыток ионов связан с их ускорением в электрическом поле, в области же низких скоростей дефицит ионов по сравнению с максвелловским распределением обусловлен непрерывным уходом из этой области ионов в результате того же ускорения в электрическом поле. В то же время, уход частиц из области малых энергий при равновесном распределении происходит дискретно - только в момент их столкновения с другими частицами (при этом часть столкновений приводит к потере энергии).

Отметим также, что группа медленных ионов, которые формируют ФРИ в районе ее максимума, имеет характерную скорость порядка атомной. Это, однако, не означает, что для данной группы ионов нарушается предположение, что скорость ионов перед столкновением должна быть много больше тепловой скорости атомов. Действительно, группа ионов с тепловыми скоростями появляется как раз в результате перезарядки, то есть это ионы, которые только что родились и до следующего столкновения им необходимо пройти расстояние порядка длины пробега, на котором они и ускорятся в поле до больших, по сравнению с тепловыми, скоростей.

Из сравнения распределений (3.9) и (3.20) (см. рис. 3.1,3.2) видно, что они кардинально отличаются. Это связано с отличием использованных физических моделей. Как уже упоминалось, авторы [98] пренебрегали рождением ионов в результате перезарядки, считая, что это можно сделать на основании того, что скорость родившегося таким образом иона по условию задачи много меньше средней скорости иона (приобретаемой за счет поля на длине пробега). Это действительно так, но при этом не учитывается, что концентрация, которую создает медленный родившийся ион, много больше, чем таковая, которую создает быстрый ускоренный в поле ион при условии равенства потоков. Именно поэтому наиболее вероятная скорость (полученная в данной работе) определяется температурой атомов - то есть ионами, которые только что родились.

Как видно из полученных результатов (см. (3.14), (3.15)), при увеличении амбиполярного поля растут средняя и среднеквадратичная скорости ионов, что вполне понятно физически, поскольку ионы дополнительно ускоряются в амби-полярном поле. В то же время, средняя скорость вдоль аксиального поля согласно (3.19) падает. Этому полностью соответствуют данные рис. 3.2, на котором приведены ФРИ при различных параметрах є(р). Здесь же приведена функция распределения x2fg(x) [96]. Как мы видели, наиболее вероятная скорость ионов по порядку величины равна наиболее вероятной скорости нейтральных атомов и определяется параметром (3. Средняя же и среднеквадратичная скорости ионов согласно (3.14) и (3.15) определяются параметром а(р).

На рис. 3.3 показаны результаты сравнения ФРИ при р = 0; — = 100 для случая ионов Не+ при комнатной атомной температуре с учетом зависимости сечения перезарядки от скорости и без нее. Видно, что наблюдается небольшое отличие этих функций в области низкотемпературного экстремума, связанное различием сечений при таких небольших скоростях.

Для проверки полученных результатов мы рассчитали скорость дрейфа собственных ионов в плазме инертных газов и парах ртути, используя теоретически найденную ФРИ. На рис. 3.4 приведено сравнение экспериментальных данных и расчетов по функции распределения (3.8) дрейфовой скорости ионов Не+ в Не, Нд+ в парах Нд и Аг+ в Аг. При вычислении этой скорости мы учитывали, что полученная формула для концентрации (см. (3.9)) верна, строго говоря, только при — 0. Поэтому при этих расчетах и везде далее мы использовали нормировочный множитель J0 Fi(si)d,i. Расчет проводился с учетом зависимости сечения перезарядки от скорости. В качестве данных о сечениях для Не+ брались результаты [93],[92], для Нд+ - [92], а для Аг+ - [97]. Ссылки на экспериментальные данные приведены на рисунке. Видно, что соответствие измеренных и рассчитанных скоростей дрейфа хорошее, что еще раз подтверждает правильность полученных формул. Отметим, что, несмотря на то, что формулы (3.9) и (3.11) получены в предположении выполнения неравенства (3.4), результаты проведенных сравнений позволяют сделать вывод о том, что данной теорией можно пользоваться, когда параметр, стоящий в левой части неравенства (3.4) превосходит 3. На рис. 3.5 приведена зависимость полученной функции распределения ионов (3.8) от азимутального угла# для = 0.01 (что, например, в Не соответствует значению s 300——) при различных относи 117 j J-J ami orr L L тельных скоростях x = Vi\ffi = 0.1; 5 и при отсутствии є = 0 и наличии є = 1 амбиполярного поля. Интересно отметить, что при ж = 0.1 распределение близко к изотропному, несмотря на сильное поле и наличие амбиполярного поля. Это связано с тем, что группу ионов со скоростями і 1 составляют те из них, которые только родились в результате перезарядки, имеют Максвелловское (в том числе, изотропное) распределение и не успели ускориться в электрическом поле. По мере роста относительной скорости угловое распределение ионов по скоростям все более вытягивается в направлении поля (см. рис. 3.5). Из данных, представленных на этом рисунке также видно, что при наличии амбиполярного поля максимум функции распределения по углам отклоняется от оси разряда ( = 0) и, например, для параметра = 1 (амбиполярное поле равно осевому) соответствует углу = j.

Выбор модели для описания столкновения иона с собственным атомом с учетом упругих столкновений

Методы Монте-Карло - это численные методы прямого статистического моделирование различных процессов и решения математических задач при помощи получения и преобразования случайных чисел. По-видимому, первая работа по применению данного метода была опубликована по результатам организации стохастического процесса при экспериментальном определении числа 7Г путём бросания иглы на лист линованной бумаги [122]. Другой пример раннего использования методов Монте-Карло - моделирование траекторий нейтронов в лаборатории Л ос Ал амоса в сороковых годах прошлого столетия. Одна из первых работ, где этот вопрос излагался систематически, была опубликована в 1949 году Уламом и Метрополисом [123]. Авторы применили метод Монте-Карло для решения линейных интегральных уравнений. В нашей стране одной из первых можно привести работу Владимирова и Соболя [124].

Общая схема метода Монте-Карло основана на классической Центральной предельной теореме теории вероятности [125], согласно которой случайная величина равная сумме большого количества N случайных величин W{ с одинаковыми дисперсиями а\ и математическими ожиданиями ЇЇУ, всегда распределена по нормальному закону с дисперсией Na\ и математическим ожиданием Nw. Пред-пол ожим, что нам нужно найти результат какого либо процесса или решение уравнения Y. Если сконструировать случайную величину сг]е плотностью вероятности р(х) таким образом, чтобы математическое ожидание этой величины равнялось искомому решению M(rj) = Y, то получаем оценку для решения и соответствующей погрешности:

В соответствии с этой схемой строятся и алгоритмы, реализующие метод Монте-Карло при описании ансамблей частиц, в которых частицы взаимодействуют по типу "парных столкновений". При известном дифференциальном сечении единичного столкновения случайным образом разыгрывается одна из величин, которая определяет угол рассеяния (а значит, и скорости рассеянных частиц). Часто этой величиной является прицельный параметр столкновения, однако мы будем использовать другую величину, на чем подробно остановимся ниже.

При практической реализации данного метода для конкретного процесса одна из важнейших частей программного кода - так называемый "генератор случайных чисел". Далее все строится по стандартной схеме с учетом особенностей моделируемого процесса. Существует большое число программных кодов, в которых реализуется поведение ансамбля частиц, основанное на парных столкновениях. Все они имеют схожую архитектуру, поэтому мы не будем на этом останавливаться, тем более, что все основные пакеты современных математических программ (типа Maple, Mathcad, Mathlab, GNU Octave и др.) содержат встроенные генераторы случайных чисел достаточно высокого качества (то есть, плотность вероятности которых с высокой точностью постоянна на всем промежутке изменения случайной величины).

Что касается особенностей моделируемого процесса, то в данном конкретном случае физическая модель процесса Y должна учитывать следующие особенности явления взаимодействия иона с атомом: — атомы имеют максвелловское распределение по скоростям с температурой Та; — ион, имеющий равную массу с атомом, ускоряется в постоянном однородном электрическом поле и сталкивается с атомом, в результате чего возможна реализация следующих событий: обмен электроном с атомом и упругое рассеяние в поляризационном потенциале с зависимостью ос г (где г - расстояние ион - атом), который соответствует взаимодействию точечного заряда с дипольным моментом атома; — в результате вышеупомянутых процессов атомам передаются импульс и энергия, которые много меньше суммарного импульса и энергии распределенных по максвеллу атомов (в силу этого температура Та не меняется со временем). Как видно, одна из основных проблем при решении поставленной задачи - это выбор сечения дифференциального рассеяния при столкновении иона с собственным атомом, которое учитывало бы два процесса - резонансную перезарядку и рассеяние в поляризационном потенциале. Этому будет посвящен отдельный параграф данной главы.

Как уже говорилось, при описании столкновения иона с собственным атомом необходимо учитывать процессы резонансной перезарядки и упругого рассеяния. По этому поводу в литературе нет общей концепции методологии расчетов. На наш взгляд существует три основных вопроса при описания этого явления (по которым нет единого мнения у исследователей): 1. можно ли разделить два вида взаимодействия иона с атомом (перезарядка и упругое рассеяние) на независимые [126—129]. 2. насколько адекватно описывает ситуацию изотропное в системе центра масс дифференциальное сечение упругого рассеяния [13; 126—132]? 3. насколько существенен вклад упругого рассеяния в формирование ФРИ и, следовательно, в формирование параметров, описывающих дрейф ионов в собственном газе [14],[15] при различных величинах электрического поля?

Рассмотрим эти вопросы подробнее. Будем здесь и далее (если это не оговорено особо) все описание строить в системе координат, связанной с центром масс сталкивающихся частиц. Очевидно, что угол рассеяния при перезарядке в этой системе равен тг, а энергия относительного движения (при равных массах иона и атома) равна половине энергии относительного движения в лабораторной системе координат. Для описания столкновений иона с атомом используются два подхода: