Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Состояние вопроса и общие задачи исследования
1.1. Математические модели консолидации водонаоыщвнного грунта и оценка возможности их использования для торфа 14
1.2. Существующие методы определения параметров одномерной консолидации 35
1.3. Обратные задачи в теории моделирования процессов тепломассопереноса 42
1.4. Выводы по главе и задачи исследования 48
Глава 2. Интегральные методы определения параметров консолидации торфа по данным компрессионных испытаний
2.1. Описание используемой математической модели и прямая задача линейной одномерной консолидации торфа 53
2.2. Идентификация консолидационных параметров методом обращения математической модели процесса уплотнения 59
2.3. Определение консолидационных параметров торфа экстремальным методом в пространстве интегральных преобразований Лапласа-Карсона 76
2.4. Результаты практического использова ния интегральных методов при обработке лабораторных испытаний торфа и других дисперсных систем на компрессию 85
Глава 3. Идентификация консолидационных параметров торфа в условиях его естественного залегания
3.1. Общие замечания 114
3.2. Обратная задача пространственной консолидации для метода эквивалентного однородного слоя 116
3.3. Определение консолидационных параметров для многослойных оснований в методе эквивалентного слоя 128
3.4. Применение интегральных методов в моделировании испытаний штампами и при обработке результатов натурных экспериментов на торфе 133
3.5. Выводы по главе 141
Глава 4. Некоторые аспекты применения и развития интегральных методов
4.1. Нелинейные модели уплотнения торфа и построение интегральных аналогов урав нений нелинейной консолидации 143
4.2, Использование интегральных аналогов уравнений консолидации для прогноза осадок торфа во времени 153
4.3. Выбор минимальной высоты уплотняемого слоя в консолидационных испытаниях для надежного определения консолидационных параметров торфа 159
4.4. Расчет экономического эффекта от использования интегральных методов 173
Общие выводы 179
Литература 182
- Существующие методы определения параметров одномерной консолидации
- Идентификация консолидационных параметров методом обращения математической модели процесса уплотнения
- Обратная задача пространственной консолидации для метода эквивалентного однородного слоя
- Использование интегральных аналогов уравнений консолидации для прогноза осадок торфа во времени
Существующие методы определения параметров одномерной консолидации
Практическая ценность результатов решения ПЗК в значительной степени определяется погрешностями схематизации сложного явления уплотнения расчетной моделью, а также достоверностью КП.Объем КП однозначно связан с применяемой ММК. К важнейшим КП относятся параметры уравнений состояния фаз и фильтрационных свойств грунта.
Характеристики склерономных уравнений состояния скелета определяются по результатам испытаний грунтов в одометрах и по сути являются параметрами зависимостей, аппроксимирующих компрессионные кривые. Учет фактора времени для твердой фазы вносит принципиальные трудности, связанные с выполнением требования о неизменности соотношения фаз в единице объема. Нейтрализация воздействия поровой жидкости при выявлений параметров ползучести скелета грунта осуществляется следующими методами.І. В экспериментах создаются условия, когда влиянием движения поровой жидкости можно пренебречь. С этой целью:высоты, которая еще обеспечивает допустимое нарушение естественной структуры грунта при его вырезке из монолита fl5l].
Так,Р.С.Месчяном было найдено, что при двухстороннем дренировании предварительно уплотненных образцов глинистого грунта высотой 20 мм их деформации практически обусловлены только ползучестью скелета [125] ;б) проводят консолидационные испытания образцов-близнецовс высотами 10, 20 и 30 мм. Для любого момента времени относи тельные деформации аппроксимируются параболой Е. = a1h2+a&h + + a, . Экстраполяция формулы при h - О позволяет выделить отно Осительную деформацию ползучести, равную а3 [152];в) выполняют консолидационные испытания грунта, искусственно переведенного путем высушивания из водонасыщенного состояния в квазиоднофазное. Этот метод был использован В.Н.Бро-ниным и Н.Н.Морарескулом для исследования ползучести торфа, высушенного до влагосодержания 3,5 - 4,5 г/г, при котором свободная вода уже удалена, но торф еще находится в пластическом состоянии и не претерпевает значительных необратимых деформаций усушки [129].2, Параметры ползучести определяют в условиях длительных дренированных компрессионных испытаний с замерами давления в поровой жидкости. Это позволяет весь процесс уплотнения разделить на два этапа: первый - когда преобладают фильтрационные явления,и второй, протекающий при их отсутствии за счет вязкого деформирования скелета грунта. Так,в ММК по варианту I [139] осадка на втором этапе используется для нахождения параметра экспоненциального ядра ползучести Ьі . Он равен тангенсу угла наклона прямой относительной скорости на единицу давления в координатах t - In [$(1:)/( б h)] . Коэффициент относительной мгновенной сжимаемости скелета определяется из выражения тс= к(ф)р (0)/( К с б) , где cv - коэффициент консолидации на первом этапе уплотнения, когда влиянием ползучести можно пренебречь, например, при U("t) = 0,2.
Величина тс находится также по значениям начального поро-вого давления и осадки: mc= S(0)/{h[d-p (0)]} » а параметр ядра ползучести . - из теоретического решения для функции р (\) при условии ее максимума в известный момент времени [139].
Для пятиэлементной модели консолидации, основанной на реологических моделях, предложены формулы, которые определяют вязкость структурных связей и коэффициент фильтрации по величинам осадок, порового давления и их производных во времени [99].3. Проводят недренированные компрессионные испытания квазидвухфазных грунтов продолжительностью 1-2 суток. Интенсивность перераспределения напряжений между скелетом и поровой жидкостью будет зависить от ползучести твердой фазы и сжимаемости газированной жидкой фазы. Измеренное в подобных опытах давление ри, позволяет найти реологические характеристики, на-пример, mc = nmw pw(0)/[ J - pw(0)] [l80].
Реализация этих методов на практике приводит к большим погрешностям КП в связи с неизбежными ошибками в замерах р (0) и $(0) , использованием трудновоспроизводимого даже в лабораторных условиях коэффициента фильтрации, отсутствием рекомендаций по осреднению ряда величин. В методах [99, 139] положение усугубляется некорректностью операции дифференцирования экспериментально найденных функций.
Немаловажное значение для решения ПЗК имеет комплексный параметр cv , конкретное содержание которого зависит от используемой модели уплотнения. Величина cv может быть найдена по формулам через коэффициенты сжимаемости и фильтрации. Полевые исследования водопроницаемости грунтов, связанные с наливом и откачкой в шурфах и скважинах, с измерением расхода воды в скважинах, подробно описаны в [бЗ, I55J. Соответствующие зависимости для вычисления к(ф) лишь приближенно отвечают реальному строению толщи грунта и граничным условиям, поскольку реализуются только частные схемы фильтрации: плоская, освоим метричная или сферическая.
Прямые лабораторные способы выявления (ф) имеют ряд недостатков [з, 58, 78, 155]. Главные трудности заключаются в надежном сохранении структуры грунта, в создании условий для принудительного движения воды сквозь грунт, в невозможности проведения экспериментов при неустановившемся режиме фильтрации и газонасыщении воды, а основная погрешность - в неконтролируемом движении воды.
Еще большие сложности возникают при определении водопроницаемости торфа. Величина к(ф) зависит не только от начального состояния торфа, внешнего давления, текущей пористости, действующего напора, но и от времени, прошедшего с начала фильтрации. Так, по данным [і08],значение k(q ) может уменьшаться на порядок при выдерживании образца в течение месяца при неизменных условиях его существования. Это явление объясняется как механической закупоркой пор мельчайшими коллоидными частицами, так и более сложными физико-химическими процессами, которые протекают в торфе при движении через него воды, отличающейся от порового раствора [22, 77]. Поэтому оценку водопроницаемости торфа для прогноза длительности осадок в опытах на прямую фильтрацию можно рассматривать как весьма грубое допущение.
Косвенные лабораторные методы определения 1 {ф) достаточно разнообразны [92, 179]. Большое количество таких методов связано с расчетом к(ф) через коэффициент консолидации, соответствующий теории К.Терцаги-Н.М.Герсеванова.
Нахождение су по результатам длительных испытаний позволяет уменьшить несоответствие между фактическими закономерностями уплотнения грунтов и основными предпосылками теории фильтрационной консолидации [77]. Выявление cv может быть вы
Идентификация консолидационных параметров методом обращения математической модели процесса уплотнения
Для успешного решения ПЗК, математические модели которых представлены интегро-дифференциальным уравнением (2.8), необходимо, в первую очередь, установить значения коэффициентов первичной относительной сжимаемости скелета торфа тс и консолидации с ; параметра В , учитывающего сжимаемость газированной поровой жидкости, а также ядер ползучести КСШ и К (t). Если при известной структуре ядер ползучести входящие в них постоянные величины отнести к КП, то для нахождения полного спектра параметров можно сформулировать обратную ко эффициентную задачу.
При восстановлении КП в такой постановке необходима определенная в экспериментах информация о динамической функции уравнения уплотнения. На основании выводов,изложенныхв 1.4-, в качестве дополнительного условия ОЗК примем hгде S(t) - известная из опытов на компрессию величина осадок торфа во времени.Следует отметить, что характер уравнения (2.8) и выражения (2.II) не позволяют в рассматриваемой 03 найти коэффициент тр , поскольку он лишь неявно, через параметр В и отношение тр{\/шр, фигурирует в математическом описании процесса консолидации. Поэтому приведенный выше набор КП дает возможность в прогнозных задачах рассчитатьЗ(і) , а величину р вычислить только с точностью до постоянного множителяfi0 mc/rnp , который в обобщенной теории Терцаги-Герсева нова тождественно равен единице.
Рассмотрим решение ОЗК методом обращения ММК, при котором КП определяются непосредственно с помощью уравнения консолидации без его решения. Для исключения из (2.8) производных используем аппарат специальных интегральных преобразований, позволяющих заменить исходное интегро-дифференциальное уравнение интегральным аналогом.
Предварительно, учитывая интегральный характер дополни тального условия (2.II) для поля распределения относительных вертикальных деформаций, перейдем от (х,і) в (2.8) к перемещениям uU.t) :
Структура интегральных преобразований уравнения (2.12) определяется теми трансформациями, которым надо подвергнуть члены со старшими производными относительно каждой независимой переменной. В качестве таких преобразований примемгде внутреннее кратное интегрирование служит для ликвидации дифференцирования по х , а внешнее интегрирование - по t . Используя тождество Коши, найдем
Исключая из этих выражений производную и г ,получим интегральный аналог ( 3-аналог) уравнения (2.8)где QCT)=/(0,5h-x)uUJ)dx. оКомпоненты зависимости (2.14) интерпретируются следующим образом:ФСТ) - статический момент площади эпюры перемещений F квазиоднофазной системы относительно центра уплотняемого слоя (рис. 2.1);[hbm {оЧТ)}/{2-ФСП] - статический момент площади F2 , заключенной между эпюрой перемещений за счет ползучести скелета торфа, и эпюрой перемещений, учитывающих фильтрацию поровой жидкости;интеграл в правой части (2.14) - площадь Р3 » заключенная между кривой осадок квазиоднофазной системы, отражающей вязкое деформирование скелета, и кривой фактических осадок торфа.
Полная запись (2.14) с учетом введенных сокращений имеетвид:Найдем предельный вид ] -аналога (2.14), устремив в нем значение времени Т к бесконечности. Обозначим через S вели-чину стабилизированной осадки. Тогда u(x,ooN) = (-y /bN)SKи Ф(о)= SK h2/i2 . Следовательно, компонента с коэффициентом 0-В)/В в (2.14) превращается в ноль. Кроме тогодля определения тр{Ф(оо)}/глр вычислимт
Р(оо)= Игл /Кр(Т-і)Фа)сИ. (2.15)T-»OQ QПоскольку величина Р(Т) представляет собой свертку двух функций, ее односторонее преобразование по Лапласу можно записать следующим образом: В операционномисчислении известна предельная теорема о связи конечного значения оригинала функции y(t) с начальным значением ее изображения у ((аз) при существовании конечного предела у(оо) [I90] :Применив это соотношение к (2.15), найдемПоэтому 3 -аналог при Т оо примет вид
Для квазидвухфазных грунтов, ползучестью скелета которых можно пренебречь, из (2.16) вытекает исключительно простое выражение
Отметим, что зависимость (2.16) и ее частные случаи, соответствующие различным моделям консолидации, можно получить из известных аналитических решений прямых задач [79, 139, 177, 182] путем интегрирования set) по времени в пределах от О дооо Интегральный аналог (2.14) связывает искомые КП со значениями осадки SCt) Однако его использование в таком виде невозможно из-за отсутствия в ФШ информации о перемещениях uU,t) на всей, кроме границ, области их существования.
Процедуру нахождения Ф(Л) можно выполнить при условии определенной аппроксимаций динамической функции уравнения консолидации по высоте уплотняемого слоя торфа. Аналогично толщине пограничного слоя (в методе Кармана-Польгаузена) или термического слоя (в методах теплового баланса) [29] введем в рассмотрение величину X,(t) , которую назовем глубиной возмущения. Она обладает следующими свойствами. Для всех ХДі) х$ h-X it) при t t, можно считать, что вертикальная относительная деформация равна начальному значению Е(Х,0) (этап инерционного возмущения). Возмущение, вызванное дополнительным деформированием из-за оттока поровой жидкости к дренирующим поверхностям, постепенно проникает в глубину уплотняемого слоя (рис. 2.3). В момент времени t,, это возмущение охватывает всю толщу торфа (этап регулярного возмущения).Профиль относительных деформаций в пределах глубины возмущения аппроксимируем квадратной параболойудовлетворяющей граничным условиям задачи (2.6). Подобное
Обратная задача пространственной консолидации для метода эквивалентного однородного слоя
Пусть на границе торфяной залежи помещен штамп, к которому приложена вертикальная нагрузка СШ По методу эквивалентного слоя пространственную консолидацию торфяного основания под штампом сведем к одномерному уплотнению торфа мощностью h = 2 h 3) , где h(3)- толщина эквивалентного слоя, зависящая от коэффициента поперечной относительной деформации торфа, размеров и жесткости штампа [l8l]. Эпюра тотальных вертикальных напряжений d(x,t) имеет треугольное очертание с основанием у нагруженной поверхности и высотой h , то есть o4x,t) = C((.i)x/h , где х - расстояние от нижней границы консолидируемого слоя до рассматриваемого уровня (рис. 3.1).
Наделяя торф в расчетной схеме свойствами, принятыми в компрессионной задаче (см. 2.1), относительные вертикальные деформации выразим следующей зависимостью:
Тогда интегро-диффаренциальноб уравнение консолидации имеет видс начальным условием
На дневной поверхности для любого момента времени гидростатическое давление в поровой жидкости равно нулю. Поэтому из (3.1) вытекает
Граничное условие на подошве уплотняемого слоя торфа зависит от фильтрационных свойств подстилающего грунта. Если он является дренирующим (схема А), то возникает двухоторонняя фильтрация поровой жидкости, и тогда
Анализ эпюр распределения тотальных вертикальных напряжений в методе эквивалентного слоя и при компрессии позволяет сделать вывод о том, что консолидация по схеме А сводится к уплотнению слоя мощностью h ,обе поверхности которого водопроницаемы, с равномерным распределением напряжений q(t) по высоте (рис. 3.2). Однако найденные таким образом значения осадок во времени должны быть уменьшены в два раза.
Полагаем, что в процессе проведения штампових испытаний замеряются осадки во времени. Поэтому дополнительное условие в ОЗК имеет вид (2.II).
Аналогично выводу зависимости (2.) перейдем в интегро-дифференциальном уравнении консолидации (3.2) к перемещениям uU,t) :
С учетом u(0,t)-0 , u(h,t) = SCif) и краевых условий (3.3), (5Л) выполним над (3.7) следующие интегральные преобразования:
Отметим, что зависимости (3.10) и (3.12) совпадают с 3-аналогом для случая компрессионного сжатия, если в него подставлять удвоенное значение осадки штампа.
При реализации схемы Б 32u(0,t)/3x2 = mc{q,(i)}/h . Поэтому решая совместно (3.8) и (3.9) относительно производной Предельные выражения ]-аналогов (3.12) и (3.15) можно получить путем интегрирования по времени от 0 до оо известных аналитических зависимостей S(f) , найденных при решении ПЗК.
Непосредственное использование 3 -аналогов (3.10) и (3.13) для нахождения коэффициентов консолидации с и относительной мгновенной сжимаемости скелета тс , величины 5 , учитывающей сжимаемость газированной поровой жидкости, а также параметров ядер ползучести К (t) и КрШ невозможно в связи с отсутствием в Ф (Т) и ФДЛ информации о перемещениях в полном объеме. Поэтому необходимо выполнить аппроксимацию эпюры относительных вертикальных деформаций подходящими функциями, которые, с одной стороны,удовлетворяли бы граничным условиям задачи, а с другой - интегрально соответствовали бы в каждый момент времени известной осадке штампа. Так,для схемы А, воспользовавшись подходом, изложенным в 2.2, профиль относительных вертикальных деформаций в пределах зон возмущения представим в виде кубической параболы
Параметр аппроксимации A(t) и абсциссы фронтов возмущения Xj , j= 1,2 для этапа инерционного возмущения (рис. 3.3) находятся из условийих совместного решения получимгде Х = Ь — X4 , а Х является меньшим корнем уравнения в котором M fhrn Wl S j/fm l i-Mm CO)] .
Определив таким образом характеристики эпюры относительных вертикальных деформаций е. (хД) і можно вычислить перемеще
Использование интегральных аналогов уравнений консолидации для прогноза осадок торфа во времени
Конечной целью идентификации КП торфов является решение ПЗК, в частности, для расчета развития деформаций оснований сооружений. При этом методы восстановления осадок во времени по своим возможностям,очевидно, должны соответствовать математическим моделям уплотнения, которые рассматриваются в ОЗК. Так,на основании гипотез консолидации, изложенных в 2.1 и 3.2, ПЗ должны учитывать сжимаемость газированной поровой жидкости, переменность во времени прикладываемых к торфу нагрузок, неравномерное их распределение по высоте слоя, достаточно общий вид функций, используемых в качестве ядер ограниченной ползучести скелета.
Большое методологическое значение предложенных интегральных методов заключается в том, что их зависимости позволяют не только идентифицировать КП в рамках ОЗК, но и выполнить расчеты осадок во времени. Действительно, интегральные аналоги уравнений консолидации можно рассматривать как одну из форм связи между КП и SCt) , в которой известными величинами выступают коэффициенты операторов уравнений и параметры краевых условий, а значения осадок подлежат определению.
В общем случае 3-аналоги для линейных моделей одномерной консолидации являются нелинейными уравнениями вольтерро-ва вида второго рода относительно SCt) . Поэтому, с одной стороны, их решение обладает устойчивостью, а с другой - целиком определяется значениями функции S(t) в предшествующие рассматриваемому моменты времени [40]. Последнее свойство реализуется в следующем достаточно простом алгоритме восстановления осадок во времени.
На временную координату t накладывается сетка точек Т- , последовательность которых образует геометрическую прогрессию, например, 1[Т], 2[Т], 4 [т] , 8[Т], ... , где [т] - размерность времени. Решение интегрального уравнения аппроксимируется совокупностью кусочно-гладких функций, зависящих на каждом участке разбивки от двух параметров: сь и Ь- . Такиео вфункции могут описываться формулами S:(t) = ci: + 5-10,s , $:(1:) = = ai + 0:t , S.(t)=ai + U2, S:(i)=ai+Unt , S-CtbcL + b. exP(-6\t) и т.д., конкретный вид которых не влияет на окончательные результаты.
Последовательно рассматриваются все участки, начиная с первого. На каждом j-том участке функция S.(t) должна удов-летворять ]-аналогу с верхним пределом интегрирования Т- .аПоскольку один из параметров, например, о- выражается черезадругой из условия сопряжения осадок на смежных участкахS. (Т. )= S-CT. ) , то для нахождения величины а. можно«И Н і М &использовать 3-аналог, который является в общем случае нелинейным алгебраическим уравнением относительно а- . В связиQс тем, что для любого Т. yt T. справедливо неравенствоS.(t) mc{6(t)} , начальное значение параметра а- , уточняемое в дальнейшем итерационном расчете, принимается из выражения S.(Tj) = m г{б(Т-)} .
Для некоторых ММК поиск параметров аппроксимации S(t) может существенно упроститься. Например, в случае применения теории I Ю.К.Зарецкого [79] ] -аналог на стадии регулярного режима для функции S(t) = a.+ o. Int превращается в урав і Линение первой степени относительно a.- :оІИь2 оПосле выполнения вычислений для участка, на которомпроисходит стабилизация осадки, сетка точек сгущается и расчет циклически повторяется. Значения осадок в опорных точках, полученные на двух смежных итерациях, сравниваются между собой. При их совпадении с заданной степенью точности процесс поиска S(t) прекращается.
Развитие данного метода численной реализации ММ уплотнения водонасыщенных грунтов может быть связано с улучшением свойства гладкости получаемых решений, которое достигается за счет увеличения количества параметров в функциях, аппроксимирующих поведение осадки на отдельных участках разбивки. Дополнительно введенные параметры определяются из условия равенства первых, вторых и т.д. производных в точках сопряжения участков. В этом направлении широкие возможности открываются для использования сплайнов различных типов [і58].о -аналоги уравнений консолидации являются изображениями по Лапласу функции осадок. Проблема восстановления на их основе зависимости SU) сводится к нахождению оригинала для известной трансформанты S ((fl)).
Обратное преобразование Лапласа в ряде случаев может быть выполнено аналитически с привлечением аппарата теории функции комплексного переменного или таблиц соответствий между оригиналами и изображениями [7l] , теорем разложения, формул обращения, использующих операции дифференцирования изображений и предельного перехода. Таким образом могут быть получены решения для ММК К.Терцаги-Н.М.Герсеванова, В.А.Флорина, Ю.К.За-рецкого, З.Г.Тер-Мартиросяна [79, 139, 177, I8l]. Поскольку эти решения имеют вид сумм с бесконечным количеством убывающих слагаемых, то их нахождение рекомендуется осуществлять с помощью ЭВМ.
Для учета всей совокупности факторов, лежащих в основе рассмотренных моделей консолидации, целесообразно использовать ЭВМ уже на этапе обращения изображений S (ta)) , В литературе описано много численных методов поиска оригиналов [29, 40], Некоторые из них оформлены как стандартные процедуры и
