Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Развитие и современное состояние теории уравновешивания рычажных механизмов
1.1 Общие замечания 11
1.2 Статическое уравновешивание 11
1.3 Динамическое уравновешивание 21
1.4 Оптимизационное уравновешивание 25
1.5 Метод замещения (размещения) масс 32
1.6 Проектирование рычажных механизмов
в связи с задачей их уравновешивания 37
1.7 Современное состояние теории уравновешивания механизмов 41
ГЛАВА 2. Теоретические предпосылки уравновешивания плоских рычажных механизмов
2.1 Основные понятия и определения. Постановка задачи 46
2.2 Определение обобщенных реакций стойки 49
2.3 Приведение функции Лагранжа к виду обобщенного полинома 53
2.4 Определение обобщенных инерционных параметров для динамического уравновешивания рычажных механизмов 62
2.5 Специальные обобщенные полиномы 83
2.5.1 Полиномы Lj приведенного момента инерции (приведенной массы) механизма 83
2.5.2 Полином LM для составления аналитического выражения момента на кривошипе (силы на ползуне) 85
2.5.3 Полином LR ДЛЯ составления аналитических выражений реакций в кинематических парах 87
2.5.4 Полиномы для механизмов
с несимметричными звеньями 89
2.5.5 Полиномы для статического уравновешивания 91
2.5.6 Полиномы LG для уравновешивания тихоходных механизмов 92
2.6 Выводы 93
Глава 3. Приближенное динамическое уравновешивание рычажных механизмов
3.1 Постановка задачи 94
3.2 Условия полного динамического уравновешивания рычажного механизма в конечном виде
3.3 Невесомые звенья в механизмах 96
3.4 О невозможности получения полного динамического уравновешивания основного (исходного) механизма 98
3.5 Способы приближенного динамического
уравновешивания основного (исходного) механизма 101
3.6 Остаточная неуравновешенность механизма и ее оценка 114
3.7 Выбор способа приближенного динамического уравновешивания. Определение параметров
геометрии масс звеньев 118
3.8 Общий случай приближенного
динамического уравновешивания исходного механизма 125
3.9 Рациональные способы приближенного уравновешивания 129
3.10 Выводы 133
ГЛАВА 4. Полное динамическое уравновешивание рычажных механизмов
4.1 Постановка задачи 135
4.2 Уравновешивающие звенья 136
4.3 Уравновешивающие диады 141
4.4 Сдвоенные присоединяемые контуры 146
4.5 Полное динамическое уравновешивание четырехзвенных механизмов 152
4.6 Полное динамическое уравновешивание многозвенных механизмов 161
4.7 Определение параметров геометрии масс звеньев уравновешенного механизма 170
4.8 О практической реализации методов полного уравновешивания механизмов 172
4.9 Выводы 173
ГЛАВА 5. Решение задач уравновешивания по методу приближения функций
5.1 Постановка задачи 175
5.2 Уравновешивание механизмов
по методу приближения функций 176
5.3 Составление аналитических выражений сил
в задачах уравновешивания 179
5.4 Алгоритмы решения задач уравновешивания механизмов
по методу приближения функций 187
5.5 Метод уравновешивающего звена 200
5.6 Выводы 204
ГЛАВА 6. Проектирование рычажных механизмов в связи с задачей их уравновешивания
6.1 Постановка задачи 205
6.2 Теоретические предпосылки проектирования уравновешенных рычажных механизмов 207
6.3 Проектирование присоединяемого контура с использованием неподвижной прямой 213
6.4 Установка уравновешивающей диады на вращающиеся звенья механизма 217
6.5 Проектирование ромбоидных и антипараллелограммных контуров 223
6.6 Выводы 229
Заключение 230
Список литературы
- Оптимизационное уравновешивание
- Приведение функции Лагранжа к виду обобщенного полинома
- Условия полного динамического уравновешивания рычажного механизма в конечном виде
- Уравновешивающие диады
Введение к работе
Актуальность проблемы. В технике широкое распространение получили технологические машины различного назначения, в которых передача энергии от двигателя к рабочему органу осуществляется через рычажный механизм. Ввиду возросших скоростей движения рабочих органов машин проблема уравновешивания приобретает особую значимость. От качества уравновешивания передаточного механизма зависит не только уровень вибрации машины, но и ее ресурс, надежность и точность работы, качество технологических процессов. Имеются данные о том, что потери энергии на возбуждение вибрации в машинах могут достигать 30%. Кроме того, под влиянием вибрации происходит виброшумовое загрязнение окружающей среды, ухудшаются условия безопасной жизнедеятельности обслуживающего персонала, снижается производительность труда и повышается риск заболевания виброболезнями. Поэтому повышение качества уравновешивания механизмов и машин имеет не только технический, технологический, экономический аспект, но и социальный.
Кроме того, развитие электронно-вычислительной техники создало предпосылки для разработки эффективных систем автоматизированного проектирования (САПР). Основное преимущество САПР заключается в ускорении цикла проектирования, замене дорогостоящего натурного эксперимента вычислительным, а также в получении изделий более высокого качества. Использование математических моделей позволяет не только резко увеличить число экспериментов, но также провести многовариантный анализ и исследовать объект в условиях, недоступных для натурного макета. В настоящее время автомати-іация проектирования все шире охватывает различные отрасли промышленно-:ти. Внедрение же раздела по расчету уравновешенных рычажных механизмов з САПР сдерживается из-за отсутствия программных средств.
Цель и основные задачи исследования. Целью работы является создание ,'ниверсальной методики динамического уравновешивания рычажных меха-іизмов и разработка на ее основе алгоритмов для автоматизированного реше-іия задач уравновешивания любых механизмов.
Объекты исследования. Ими являются механизмы, соответствующие до-гущениям: звенья - абсолютно твердые; связи - голономные, идеальные, удер-кивающие.
Методы исследования. В теоретических исследованиях использовались юложения и методы аналитической механики, аналитической геометрии, тео->ии приближения функций, а также численные методы анализа и математиче-:кого программирования.
Научная новизна. Разработано теоретическое обоснование общего метода (инамического синтеза плоских уравновешенных рычажных механизмов и раз-иты перспективные направления их динамического уравновешивания, вклю-[ающие разделы:
- приближенное уравновешивание;
полное (точное) динамическое уравновешивание;
уравновешивание механизмов по методу приближения функций;
проектирование механизмов в связи с задачей их уравновешивания. Достоверность научных положений, рекомендаций и выводов. Результаты
работы получены строгими математическими методами на основе положений аналитической механики. С помощью предложенных методов могут быть получены все известные результаты уравновешивания рычажных механизмов.
Практическая ценность и реализация результатов работы. Разработанные методы позволяют получить механизмы с требуемыми характеристиками как по отдельным показателям, так и по комплексным критериям качества: степени уравновешенности; конструктивным ограничениям на геометрию масс звеньев; габаритам, расположению опорных кинематических пар и удобству компоновки узлов машины; уровню пиковых нагрузок на электропривод; ограничению давлений в подвижных соединениях звеньев. Эти методы позволяют избежать непроизводительных затрат сил и времени, так как они применяются на начальной стадии проектирования, которая фактически предопределяет параметры машины в целом. Предложенные алгоритмы и программы могут был включены в системы автоматизированного проектирования механизмов для создания конкурентоспособных машин. Разработанные алгоритмы и программы по синтезу динамически уравновешенных механизмов после защиты будут переданы в промышленность.
Результаты работы внедрены в учебный процесс ряда вузов страны, а также использовались в НВЦ «Путевые машины» МПС РФ при определении пара метров рычажных механизмов автоматизированных поточных линий для разборки и сборки звеньев железнодорожного пути. Результаты испытание опытных образцов механизмов показали соответствие их характеристик заданным техническим условиям. Получен патент на способ полного динамическогс уравновешивания шарнирного четырехзвенника.
Диссертация выполнена по программе исследований Дальневосточного государственного университета путей сообщения в соответствии с координацией ным планом НИР АН РФ по проблеме 1.11.1 «Теория машин и систем машин> (1981-1993 гг.), комплексной программой фундаментальных исследований про блем машиностроения, механики и процессов управления по проблеме «Маши ностроение» раздел 1.1.2 Динамика машин и систем машин, различные видь приводов и государственной межрегиональной научно-технической программоі «Дальний Восток России» раздел 2/22 Машиностроительный и приборостро ительный комплексы Дальнего Востока, проблемы конверсии (1993-1996).
Апробация работы.
Результаты работы были представлены и одобрены на:
- родственных кафедрах вузов страны: МИИТ (г.Москва, 1970, 1971, 1972 1984, 1989, 1998); КПИ (г.Киев, 1985); ХГТУ (г.Хабаровск, 1987, 1995) КнАГТУ (г.Комсомольск-на-Амуре, 1991, 1994); ОмГТУ (г.Омск, 1998);
научно-технических конференциях Хабаровского института инженеров железнодорожного транспорта: систематически с 1960 по 1997 год;
региональных совещаниях и семинарах заведующих кафедрами и ведущих лекторов по теории механизмов и машин (г.Хабаровск; 1972, 1974; г. Вла-аивосток,1986; г.Калинин,1989);
Дальневосточном филиале семинара по ТММ Научного совета по про-элемам машиноведения РАН: с 1975г. ежегодно по настоящее время;
- семинаре секции уравновешивания машин и приборов Центрального
правления Всесоюзного научно-технического общества им. С.И.Вавилова
[г.Москва, 1971, 1972, 1984, 1988);
региональных научно-технических конференциях: Дальневосточной научно-практической конференции «Проблемы транспорта Дальнего Востока» [г.Владивосток, 1995); «Повышение эффективности работы железнодорожно--о транспорта Дальневосточного региона» (г.Хабаровск, 1995); НТК по итогам зыполнения межрегиональной научно технической программы «Дальний Восток России» (г.Хабаровск, 1996);
Всесоюзных и международных научно-технических конференциях и се-иинарах: Всесоюзной НТК по применению современных методов и средств фавнозешивания машин и приборов (г.Тольятти, 1973); Всесоюзном научном ювещании по проблемам виброизоляции машин и приборов (г.Звенигород, 1986); НТК «Современные методы и средства уравновешивания машин и призеров» (г.Москва, 1983; г.Воронеж, 1989); НТК «Механизмы переменной лруктуры в технике» (г.Бишкек, 1991); Первой Всероссийской НТК (Балансировочная техника» (г.Москва, 1994); II Международной НТК (Динамика систем, механизмов и машин»(г.Омск,1997).
Публикации. Основное содержание диссертации опубликовано в 32-х пе-ттных работах.
Структура н объем диссертации. Диссертация состоит из введения, шести лав, заключения и приложений. Она изложена на 253-х страницах машино-шсного текста, содержит 56 рисунков и 13 таблиц. Список литературы вклю-тет 335 наименований.
Оптимизационное уравновешивание
В 1935 году М.В.Семенов предложил использовать для приближенного уравновешивания плоского механизма два дополнительных звена (толкателя) с корректирующими массами, приводимыми в движение двумя кулачками, закрепленными на ведущем звене механизма. Толкатели движутся в двух взаимно перпендикулярных направлениях. Их массы и профили кулачков рассчитаны таким образом, чтобы общий центр всех масс был неподвижен. И.И.Артоболевский, оценивая эффективность этого метода, отметил, что практическое значение его невелико, т.к. для многих механизмов профили кулачков получаются очень сложными и "с динамической стороны плохо удовлетворяют условию наличия выгодного угла передачи" [5],с.20. Л.В. Берестов показал, что для уравновешивания таким способом первой гармоники неуравновешенных сил профиль кулачка должен быть очерчен по окружности. Уравновешивание же гармоник более высокого порядка осуществить нельзя, так как невозможно построить реальный профиль кулачка [34].
O.Fischer [310] предложил определять положение общего центра масс механизма с помощью векторов главных точек подвижных звеньев. Поскольку вектор главной точки звена имеет постоянную длину и всегда параллелен оси звена, то легко определяется траектория общего центра масс механизма. Метод оказался весьма эффективным для анализа изменения траектории центра масс при изменении параметров звеньев и ориентировоч - 14 ной оценке статической неуравновешенности механизма.
Используя векторы главных точек, И.И.Артоболевский указал на возможность, за счет добавления к исследуемому механизму кинематических цепей с нулевой степенью подвижности, построения вспомогательного механизма, одна из точек которого описывает траекторию, совпадающую с траекторией истинного центра тяжести механизма [4]. В.В.Добровольский предложил для образования вспомогательного механизма использовать пантограф [101]. В.А.Щепетильников в работе [281] предложил новый способ построения вспомогательного механизма с помощью метода двойного подобного преобразования контура. Сущность метода заключается в том, что выделение вектора, определяющего положение центра масс подвижных звеньев механизма, осуществляется вычитанием из общего выражения суммы векторов главных точек так называемых нулевых векторов. Это упрощает схему вспомогательного механизма. Кроме того, вспомогательный механизм от исходного механизма может быть отделен, что позволяет при решении задачи ограничиться кинематикой вспомогательного механизма. В работах [285, 286, 290] метод распространен на кинематические цепи с несимметричными звеньями.
Как показал H.Hilpert [313], добавление уравновешивающего пантографа к любому из вспомогательных механизмов позволяет привести центр всех масс в неподвижную точку.
Используя векторы главных точек, И.И.Артоболевский указал возможные способы реализации неподвижности центра масс механизма [5]. Первый способ заключается в том, чтобы векторы главных точек звеньев механизма были бы пропорциональны соответствующим длинам звеньев или, что то же, чтобы векторы главных точек образовывали контур, подобный контуру самого механизма (метод подобия). Для механизмов с поступательными парами этот метод не дает полного уравновешивания. Так, уравновешивание кри-вошипно-ползунного механизма методом подобия переводит траекторию центра масс на прямую, параллельную линии движения ползуна [4]. Таким образом, достигается лишь уравновешивание составляющей главного вектора сил инерции, направленной перпендикулярно оси движения ползуна. В 1975 году В.А.Щепетильников, введя понятие "векторов главных точек отрезков звеньев", распространил идею метода подобия на механизмы с несимметричными звеньями [185] и развил ее [285...289].
Второй способ статического уравновешивания заключается в таком распределении масс, чтобы векторы главных точек звеньев были равны нулю (метод нуль-векторов). Этот способ приводит к большим массам звеньев, т.к. общий центр масс уравновешенного механизма последовательно переводится в один из опорных шарниров. В.А.Щепетильников указал на интересную возможность полного статического уравновешивания центрального криво-шипно-ползунного механизма, когда его общий центр масс не находится на оси неподвижного шарнира [287]. Так как вектор главной точки ползуна постоянен по величине и направлению, то условие равенства нулю векторов главных точек остальных звеньев приводит к равновесию трех подвижных масс звеньев.
И.И.Артоболевский для приближенного уравновешивания многозвенных механизмов предложил использовать "специальные приспособления" [5]. Силы инерции подвижных звеньев механизма приводятся к оси ведущего кривошипа. В предположении, что составляющие главного вектора сил инерции механизма удовлетворяют условиям Дирихле, каждая из вышеуказанных величин раскладывается в ряд Фурье. Ограничивая ряд Фурье конечным числом гармоник, амплитуды которых имеют наибольшие значения, уравновешивают каждую из них в отдельности. Практически это сводится к механическому возбуждению в механизме сил той же величины, но обратного знака. Для уравновешивания k-й гармоники для сил, действующих вдоль оси абсцисс, предлагается использовать два расположенных на зубчатых шестернях груза. Аналогично уравновешивается k-я гармоника состав - 16 ляющей силы инерции, по направлению оси ординат. Показано также, что грузы, уравновешивающие гармоники одного порядка, могут быть сложены и посажены на одну общую шестерню. Для разгрузки опорного шарнира главного вала машины от действия сил инерции уравновешивающее приспособление рекомендуется устанавливать отдельно на том же фундаменте или раме [5 ... 7].
В работе [5] сделана попытка детализировать метод вращающихся шестерен для уравновешивания механизмов с поступательными парами. Так, например, для дезаксиального кривошипно-ползунного механизма установкой противовеса на кривошипе сначала переводят силы инерции на прямую, параллельную направляющей ползуна. В оставшейся неуравновешенной силе подавляют две первые гармоники с помощью двух приспособлений. Для уменьшения неуравновешенного момента размеры приводных шестерен подбираются так, чтобы линия действия неуравновешенной и уравновешивающей силы совпали.
Приведение функции Лагранжа к виду обобщенного полинома
Поскольку кинематические соотношения не зависят от геометрии масс звеньев, то линейная связь (2.25) будет справедлива и для звеньев с произвольными массами. Эта сложная зависимость между функциями иу для двух подвижных звеньев, соединенных шарниром, была получена В.И. Дорониным и успешно использована в решении различных задач динамического синтеза [108] и уравновешивания рычажных механизмов [111, 198, 294, 75,... ,81]. Следовательно, обобщенный полином функции Лагранжа для двух звеньев, соединенных вращательной кинематической парой, будет содержать не 8, а только 7 членов, т.к. с помощью линейной связи (2.25) один из членов первичного полинома может быть исключен. Таким образом, уравнение связи (2.25) позволяет получить из первичного полинома восемь различных вариантов обобщенного полинома с семью членами, отличающимися друг от друга выбором свободных параметров. Так, если в первичном полиноме исключить miUn (параметр т\ - свободный), то по (2.20) получим L = [Syi - m ] uJ2 + [Sxi - m i] uB + [JAi - m ai2 + b]2)] uu + + [m2 + m!]u21 + [ Sy2 + m,a2]u22+ [S + mjb2] u23 +[1 + mi(a22 + b22)]u24 . В квадратных скобках заключены 7 обобщенных инерционных параметров кинематической цепи, изображенной на рис.2.3. В других вариантах обобщенного полинома для этой цепи ОИПы будут иметь иную структуру (см. таблицу 2.1).
После исключения всех линейных зависимостей (2.22 , 2.24, 2.25) между функциями Uy первичный полином (2.20) становится обобщенным с вполне определенным количеством членов в нем и фиксированной структурой -обобщенных инерционных параметров. Число членов обобщенного полинома будет меньше числа членов первичного полинома ровно на столько, сколько линейных соотношений между функциями иу существует при движении звеньев механизма. Кроме того, вид обобщенного полинома зависит от того, какие функции Uy были исключены с помощью соотношений (2.22), (2.24), (2.25), т.е. от выбора свободных параметров. Это приводит к тому, что структура обобщенных инерционных параметров в различных вариантах полиномов будет несколько изменяться. Анализ различных вариантов обобщенных полиномов функции Лагранжа показывает, что все полиномы равноправны и выбор конкретного варианта может быть увязан с принятым способом уравновешивания. Отметим также, что исключенные (свободные) параметры, изменившие свое положение в полиноме за счет приведения подобных членов, учитываются теми обобщенными инерционными параметрами, в состав которых они вошли.
Для получения аналитических выражений сил при решении задачи уравновешивания, в соответствии с (2.11), необходимо выполнить операции дифференцирования и подставить в полученные выражения фиксированные значения (2.5) дополнительных обобщенных координат. При этом, некоторые члены обобщенного полинома могут дать постоянные составляющие в окончательных выражениях сил. Поскольку такие составляющие не оказывают вибрационного действия, то при решении задачи уравновешивания они могут быть опущены.
Несущественной функцией (параметром) будем называть функцию (параметр), которые после взятия оператора Эйлера по обобщенным координатам, принятым в рассматриваемой задаче уравновешивания, дают постоянные составляющие в аналитических выражениях сил или же совсем в них не войдут. Введем обозначение fijq = Eq(uy ) (2.26) - 61 где fijq - некоторая функция, зависящая от обобщенных координат механизма и кинематических параметров его схемы. Эта функция, полученная при взятии оператора Эйлера над функцией иу полинома функции Лагранжа, вместе с обобщенным инерционным параметром, дает составляющую в аналитическом выражении силы, соответствующей обобщенной координате q. Рассмотренные выше функции щ, иг, из в (2.22), (2.24) для дополнительных обобщенных координат X, Y и 9 являются несущественными. Поэтому в задачах динамического уравновешивания соотношения (2.22), (2.24) можно записать с точностью до несущественных слагаемых, т.е. в виде : Ui4 = k Ufl+ny ; (2.22а) ии = к U(i+n)i, ІІІЗ = к ІІ(І+П)З . (2.24а) Если звено і вращается в плоскости хОу вокруг неподвижного полюса АІ5 то в функцию ии, согласно (2.17), войдут в качестве переменных только дополнительные обобщенные координаты X, Y и 9 . При нахождении Rx , RY, М0 по формулам (2.11) и последующей подстановки фиксированных значений X, Y, 9 в этих выражениях от члена mjUn останутся только постоянные составляющие. Таким образом, для звена, присоединенного к стойке вращательной парой, его масса ІЇІІ - несущественный параметр. Величина этого параметра в задаче уравновешивания может быть выбрана конструктором произвольно. Поэтому звено, вращающееся относительно неподвижного полюса, имеет три ОИПа : Syi, SXj, JA,.
Если звено і вращается вокруг полюса Aj с постоянной угловой скоростью фі = С, то функция Uj4 имеет вид ui4 = (C + 9)2/2. При нахождении Rx , Ry, М0 по формулам (2.11) и последующей подстановки фактического значения 9, равного нулю,член с JAJU;4 не будет давать слагаемых в Rx , Ry, Mo. Поэтому величина параметра JAi при решении задачи уравновешивания может быть произвольной, т.е. параметр JAi - несущественный.
Если звено і движется относительно стойки поступательно, то фі = 0. В соответствии с изложенным выше, параметр JAi этого звена - несущественный. При прямолинейном поступательном движении звена становится несущественной также функция Uj2. Это легко проверить, если в формулы (2.17) подставить фі=0 и выполнить дифференцирование в соответствии с формулами (2.11). Следовательно, в задачах уравновешивания для ползуна, движущегося по направляющей стойки, параметр Syi - несущественный.
После исключения из первичного полинома (2.20) несущественных функций uy и приведения подобных членов из-за наличия линейных связей типа (2.22), (2.24), (2.25), первичный полином функции Лагранжа превратится в обобщенный, коэффициенты которого есть обобщенные инерционные параметры механизма для рассматриваемой задачи. Число членов обобщенного полинома функции Лагранжа и, соответственно, число ОИПов для динамического уравновешивания механизма строго определенно и может быть подсчитано по формуле N = 4n-sc-qH, (2.27) где п - число подвижных звеньев; sc - число свободных параметров; qH -число несущественных параметров.
Приведение функции Лагранжа к виду обобщенного полинома
Перечисленные признаки рационального способа приближенного динамического уравновешивания не требуют пояснений. Многие из них можно получить, если проанализировать выражение обобщенного полинома функции Лагранжа, записанное для исходного механизма при условиях где n - число подвижных звеньев; sc - число свободных параметров.
Признак рационального уравновешивания механизма, соответствующий пониженному значению остаточной моментной неуравновешенности, объясняется тем, что при условиях (3.52), (3.53), центры масс подвижных звеньев будут либо неподвижными, либо их траектории будут располагаться вблизи рабочей зоны кривошипа. Эти траектории в общем случае будут иметь вид достаточно гладких замкнутых овальных кривых. Поэтому движение tцентра масс звена по такой траектории не имеет ярко выраженных крайних положений и, следовательно, центр масс при движении не будет иметь остановок, рывков и т.п. аномалий. Кроме того, большое значение обобщенного инерционного параметра, стоящего в полиноме функции Лагранжа перед функцией им, увеличивает постоянную составляющую в приведенном моменте инерции механизма, что уменьшает неравномерность хода машины при установившемся движении. Тем самым уменьшается ускорение ведущего звена в начальном движении и, соответственно, уменьшаются силы и моменты сил инерции звеньев.
Схемы рационального динамического уравновешивания механизмов приведены на рис.3.8-3.14. Для кривошипно-ползунного механизма такая схема может быть получена как промежуточный вариант схем, изображен ных на рис. 3.26 и 3.2г при условии Sy2 = 0 . Рациональное уравновешивание шарнирного четырехзвенника (рис. 3.9) может быть получено из вариантов приближенного уравновешивания, показанных на рис.3.36 и З.Зд, если принять Sy3 = Sy2 = 0. При этих условиях обобщенный полином будет иметь простой вид - см. (3.18).
Схеме рационального динамического уравновешивания механизма хо-лодновысадочного автомата (рис.3.12) соответствует обобщенный полином функции Лагранжа (2.37), если принять значение свободного параметра Sy2 равнымнулю.
Рациональное уравновешивание шестизвенного механизма (рис. 2.10) соответствует варианту приближенного уравновешивания на рис. 3.4а при условии Sy2 = 0; рю = рі і = 0 - см. формулы (2.43).
Уравновешенный шестизвенник 4-го класса показан на рис.3.14. Для него обобщенный полином функции Лагранжа соответствует (2.49), при условии, что в формулах (2.50) параметры имеют значения, равные : Sy4 = пи U ; Sy5 = ш515; Sy3 = Sx3 = 0 ; р4 = ps= 0 . В заключение отметим, что конструктивные решения механизмов, построенные для схем, близких к схемам рационального динамического уравновешивания, могут оказаться для практического конструирования более простыми и, следовательно, более приемлемыми. Такие решения показаны на соответствующих схемах механизмов с возможным расположением центров масс звеньев в заштрихованных зонах.
Доказано, что в общем случае выполнить условия полного уравновешивания механизма невозможно, т.к. всегда остается вполне определенное число ОИПов, которые не могут быть обращены в нуль за счет перераспределения масс по звеньям.
Показано, что приближенное динамическое уравновешивание любого рычажного механизма может быть выполнено многочисленными и самыми разнообразными способами. Эти способы отличаются друг от друга как распределением масс по звеньям, так характером и уровнем остаточной неуравновешенности. Многообразие способов и наличие свободных параметров при конструировании звеньев в каждом из них - все это является той основой, на которой могут быть получены практически приемлемые простые конструктивные решения уравновешенных механизмов.
Предпочтительными способами приближенного динамического уравновешивания являются такие, в которых невесомыми звеньями являются ползуны и шатуны или их возможные комбинации. При этом, желательно стремиться к полному статическому уравновешиванию с такой остаточной моментной неуравновешенностью, которая создавалась бы вращающимися звеньями, расположенными на стойке.
Рациональные способы приближенного динамического уравновешивания рычажных механизмов позволяют уменьшить их габариты и металлоемкость, получить удобную компоновку узлов, устранить из конструкции высшие кинематические пары. По уровню остаточной неуравновешенности, эти способы могут дать решения, близкие к оптимальным. Поэтому, если к уравновешенности механизма не предъявляются особые требования, то следует искать приемлемый вариант его рационального приближенного динамического уравновешивания.
Уравновешивающие диады
Выполнив статическое уравновешивание механизма, получим ARX=ARY== 0. Эти условия приводят к определенным соотношениям между массами ш, и статическими моментами Sxi, Sy\ звеньев механизма. Тем не менее, указанные соотношения содержат большое количество свободных параметров геометрии масс звеньев и всегда могут быть реализованы многочисленными и разнообразными способами. Таким образом, приходим к важной для практических приложений задаче оптимизации неуравновешенного момента Мо в статически полностью уравновешенном механизме.
Во многих случаях, особенно если функция F(x) задана графиком или таблицей, для оценки степени приближения рассматривают разности (5.3) не для всех точек интервала (х{, хт), а только для отдельных заранее выбранных точек хь х2, ... , Хь (h п). В этих случаях вместо интеграла (5.15) обращают в минимум сумму - 198 S=J;[P(xi)-F(xi)]2. (5.28) Тогда условия минимума S по (5.16) также дают линейную систему уравнений (5.20), в которой коэффициенты cki и ук вычисляются по формулам си = cik = fk(Xj) fi(x0, 1, k = 1, 2,..., n, (5.29) 7k = ;F(xi)fk(xi), k=l,2,... ,n, (5.30) Численный пример решения задачи динамического уравновешивания механизма шарнирного четырехзвенника по методу квадратического приближения функций с построенными областями для определения параметров геометрии масс звеньев приведен в приложении В.
Квадратическое приближение функций обеспечивает получение минимального среднеквадратического отклонения от заданной функции, но на отдельных участках отклонение может значительно отличаться от него. Метод наилучшего приближения функций устраняет этот недостаток. В этом случае минимизируется модуль максимально возможного отклонения на всем рассматриваемом отрезке изменения аргумента. Следуя Н.И.Левитскому, при вычислении неизвестных коэффициентов pi приближающей функции (5.4), будем считать, что число предельных отклонений на единицу больше числа неизвестных коэффициентов. Тогда для выбранных (п+1) точек на отрезке приближения можно записать систему (п+1) уравнений (5.3), выражающих условие, что отклонения в этих точках достигают предельных значений, равных М :
Систему (5.31) следует дополнить системой (п+1) уравнений, выражающих условие равенства нулю производной отклонения от заданной функции по аргументу х в точках предельных отклонений
Объединенная система состоит из 2(п+1) уравнений, содержит 2(п+1) неизвестных (pi, р2,..., Рп, М, Xi, х2,..., xn+i) и имеет нелинейный характер. Решение такой системы затруднительно, поэтому обычно прибегают к методу последовательных приближений (уравнивания отклонений).
Анализ возможных алгоритмов решения оптимизационных задач уравновешивания рычажных механизмов показывает, что все они имеют много общего. Это объясняется тем, что аналитические выражения отклонений для минимизируемых функций приведены к виду обобщенного полинома. Поэтому при любом методе приближения функций искомые коэффициенты, определяющие геометрию масс механизма, могут быть найдены из линейной системы уравнений. Аналитические методы решения таких задач к настоящему времени настолько хорошо разработаны, что в задачах уравновешивания можно применять любой из них. Поэтому выбор конкретного метода приближения функций можно сделать лишь на основе общих положений.
Интерполирование функций обеспечивает выполнение заданных условий лишь в некоторых положениях механизма, число которых обычно невелико. Поэтому метод интерполирования целесообразно применять в тех случаях, когда по условиям задачи уравновешивания достаточно ограничиться лишь теми положениями механизма, в которых минимизируемые функции имеют предельные значения. Кроме того, интерполирование может быть использовано для вычисления первого приближения при вычислении искомых параметров по методу наилучшего или квадратического приближения. При соот - 200 -ветствующем выборе узлов интерполирования, можно получить приближение, близкое к наилучшему или квадратическому. В некоторых случаях это приближение может быть вполне приемлемым и не требующим дальнейших уточнений.
Наилучшее приближение обеспечивает получение минимально возможного отклонения от заданной функции. Применять его следует в том случае, когда необходимо получить воспроизведение заданной зависимости с максимальной точностью на всем отрезке приближения.
Квадратическое приближение обеспечивает минимизацию среднего квадратического отклонения от заданной функции. Метод применяется в тех случаях, когда должно быть мало среднее значение отклонения, а на отдельных участках отрезка приближения можно допустить относительно большие отклонения. Если квадратическое приближение выполняется с использованием формул (5.29), (5.30), а число точек принято равным числу коэффициентов приближающей функции, то оно переходит в интерполирование .
Как уже отмечалось, достижение полного динамического уравновешивания рычажного механизма неизбежно приводит к ухудшению некоторых его эксплуатационных характеристик, так как усложняет и утяжеляет механизм, делает его более громоздким. Указанные выше способы придания уравновешивающим звеньям соответствующего технологического назначения или применения специальных материалов позволяют до некоторой степени уменьшить недостатки полного уравновешивания, но устранить их не могут.
Другой путь улучшения характеристик уравновешенного механизма заключается в применении алгоритмов решения задач уравновешивания по методу приближения функций, которые не требуют введения звеньев специального назначения. Эти методы нацелены на реализацию оптимальных зна - 201 -чений обобщенных инерционных параметров при распределении масс по звеньям механизма. Наименьшую остаточную неуравновешенность обеспечивает алгоритм решения задачи уравновешивания по полному числу параметров. При этом встречаются случаи, когда найденные оптимальные значения ОИПов приводят к нереализуемым вариантам параметров геометрии масс отдельных звеньев механизма. Ввиду этого, приходится решать задачи с ограничениями (по неполному числу параметров), что увеличивает остаточную неуравновешенность.
С другой стороны, существует класс задач динамического уравновешивания механизмов, когда по условиям их проектирования нельзя устанавливать корректирующие массы на некоторые звенья. Увеличивая количество таких звеньев до максимально возможной величины, приходим к постановке задачи динамического уравновешивания с искомыми параметрами, принадлежащими только одному звену - уравновешивающему звену.
5.5.2 В качестве уравновешивающего может быть выбрано любое звено механизма, параметры геометрии масс которого можно изменять без ущерба для функционирования механизма. Параметры геометрии масс остальных звеньев принимаются такими, какими они получаются при конструировании механизма из условий его оптимального функционирования. Эти параметры в задаче уравновешивания считаются заданными (входными) - они создадут при работе механизма вполне определенную неуравновешенность. Задача уравновешивания ставится следующим образом : надо так подобрать параметры уравновешивающего звена, чтобы наилучшим образом компенсировать неуравновешенность остальных звеньев.