Содержание к диссертации
Введение
Двухуровневые и трёхуровневые субпуассоновские лазеры. возможность переноса статистики поля генерации при оптической накачке субпуассоновским светом . 14
Полуклассичекая теория лазерных систем, образующих каскадные схемы 34
Квантово-статистическая теория двух связанных лазеров 42
Квантово-статистическая теория трёхуровневой генерации в каскадных схемах 62
Трехуровневый лазер как преобразователь несущей частоты 77
Выводы
- Двухуровневые и трёхуровневые субпуассоновские лазеры. возможность переноса статистики поля генерации при оптической накачке субпуассоновским светом
- Полуклассичекая теория лазерных систем, образующих каскадные схемы
- Квантово-статистическая теория двух связанных лазеров
- Квантово-статистическая теория трёхуровневой генерации в каскадных схемах
Введение к работе
Как известно, применение источников неклассического излучения в измерительных и коммуникационных оптических устройствах могло бы коренным образом улучшить ситуацию с точностью и чувствительностью этих устройств. Однако, в настоящее время приемлемых приборов такого типа нет, и поэтому исследования, связанные с их поиском и возможным применением, и, в частности, представленная здесь диссертационная работа, несомненно, актуальны и своевременны.
Целью диссертационной работы является теоретическое изучение статистических характеристик излучения от так называемого трёх-уровневых лазеров. Эта система интересна тем, что субпуассоновское излучение от неё является следствием внутренних свойств среды, автоматически обеспечивающей отрицательную обратную связь и подавляющей дробовый шум вблизи нулевых частот ниже квантового предела. Здесь будут исследованы два аспекта проблемы: во-первых, возможности улучшения квантовых характеристик излучения с использованием каскадных схем и возбуждающего среду света от субпуассоновских лазеров и, во-вторых, возможности применения трехуровневого лазера в качестве эффективного преобразователя несущей частоты.
Практическая значимость работы определяется тем, что на ее основе могут быть выработаны конкретные рекомендации для конструирования соответствующих приборов и экспериментальных устройств.
Научная новизна связана, прежде всего, с тем, что впервые поставлен и теоретически решен вопрос о возможности именно улучшения квантовых характеристик излучения от уже известного лазерного источника и предложено это сделать постановкой нескольких одинаковых лазеров в каскадные схемы разного типа. Кроме того, впервые указано еще одно возможное применение неклассических свойств излучения трехуровневого лазера для изменения несущей частоты информативно промоделированного лазерного излучения.
Положения, вынесенные на защиту:
1. При возбуждении трехуровневой среды лазера излучением другого
лазера в схеме со скрещенными резонаторами
в случае слабой связи между лазерами особенности статистики излучения возбуждающего лазера несущественны, и любое излучение воспринимается трёх-уровневой средой как пуассоновское;
в случае сильной связи статистика излучения возбуждаемого лазера в главных чертах повторяет статистику излучения возбуждающего лазера.
2. При возбуждении трехуровневой среды информативно
промоделированным излучением другого лазера в схеме со скрещенными
резонаторами в случае сильной связи возможен перенос модуляции на
возбуждаемую генерацию с сохранением исходного отношения сигнала к
шуму.
3. В каскадной схеме, состоящей из N трехуровневых субпуассоновских
лазеров и построенной в варианте скрещенных резонаторов, возможно
подавление дробового шума фототока на низких частотах в N+1 раз по
сравнению с одним изолированным трехуровневым лазером.
4. Каскадная схема из трехуровневых субпуассоновских лазеров в
варианте с пространственно разделенными резонаторами оказывается в
плане возможностей подавления дробового шума менее эффективной, чем
в варианте со скрещенными резонаторами, что связано с отсутствием в этом
случае обратного влияния последующего лазера на предыдущий.
Апробация работы и публикации: Результаты работы докладывались
на Международном семинаре по квантовой оптике (Минск, 1998 и 2000 гг.) и неоднократно обсуждались на межинститутском семинаре (С-Петербург, РГПУ им. А.И.Герцена). В настоящее время по результатам диссертации опубликованы три статьи в ЖЭТФ.
Объем и структура работы: Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и трех приложений. Работа изложена на 123 страницах, содержит 8 рисунков. Библиография содержит 108 наименований.
Весь материал диссертации покоится в основном на двух работах, посвященных двухуровневому (Ю.М.Голубев, И.В.Соколов. ЖЭТФ, Т.87, Вып.2(8) (1984)) и трёхуровневому (H.Ritsch, M.A.M.Marte, P.Zoller, Eu-rophys. Lett., v.19, p.7) субпуассоновсим лазерам. Для более удобного изложения материала в первой главе, которая носит подготовительный характер перед изложением и обсуждением основных результатов диссертации, дано достаточно детальное изложение этих статей под нужным здесь углом зрения. Кроме этого дается описание теоретических методов кинетического уравнения для матрицы плотности генерации и метода уравнения Фоккера-Планака, широко используемых в квантвой оптике и применяемы в диссертации при решении всех представленных задач. Еще там обсуждаются полученные в работе [105] результаты для ширины линии генерации двухуровневого субпуассоновского лазера, что несколько выходит за рамки представленной темы диссертации, однако необходимо для полноты изложения теории субпуассоновской генерации для лазера с регулярной накачкой.
Основной акцент диссертации состоит в том, что теоретически рассматривается система из двух или более лазеров (каскадные схемы), взаимодействующих друг с другом через возбуждение среды одного лазера излучением другого. Особенность подхода связана с тем, что возбуждающее излучение не задаётся в теории в качестве параметров задачи, а все лазеры, образующие каскадную схему, рассматриваются как равноправные. Структурно диссертация строится следующим образом. Для того, чтобы определить роль статистики фотонов возбуждающего лазера в трёхуровневой генерации, сначала изучается каскадная схема, состоящая всего из двух лазеров, возбуждающего пуассоновского или субпуассоновсокго двухуровнего и возбуждаемого трёхуровневого. Затем в последующих
Двухуровневые и трёхуровневые субпуассоновские лазеры. возможность переноса статистики поля генерации при оптической накачке субпуассоновским светом
Лазерные источники неклассического света уже давно иссследуются теоретически [43, 46, 51, 57, 58, 81, 76]) и экспериментально [52, 53], и в этом разделе мы обсудим самое первое предложение, которое было сделано в 1984 г. Голубевым и Соколовым [43], поскольку уже там были сформулированы основные требования к лазеру, способному генерировать субпуассоновский свет.
В достаточно идеализированной, но тем не менее адекватной модели лазера могут быть выделены следующие причины наблюдаемой статистичности лазерного излучения. Конкуренция спонтанного и индуцированного излучения с лазерных уровней приводит к статистичности потока лазерных фотонов от среды в резонаторную моду. Статистический характер возбуждения активной среды приводит к неопределённости числа атомов на верхнем лазерном уровне и стало быть к дополнительной неопределённости в числе лазерных фотонов. И, наконец, прохождение фотонов из резонатора к фотодетектору через выходное зеркало тоже носит статистический характер. Как известно [69], в этой модели в режиме насыщения возможно достичь лазерной генерации с пуассоновской статистикой фотонов. И кажется вполне логичным предположить, что если нам каким-то образом удаётся нивелировать какие-то из перечисленных источников шумов, то возможно преодоление квантового предела.
Как физически очевидно, ничего нельзя сделать с источником шума, связанным с прохождением фотонов через выходное зеркало. А вот с двумя другими источниками вполне можно побороться. Спонтанное излучение с верхнего лазерного уровня конкурирует с индуцированным в двух каналах. Спонтанное излучение на самом лазерном переходе легко нивелируется в режиме насыщения этого перехода сильным лазерным полем. Однако, статистичность связанная со спонтанным излучение на посторонние уровни, остаётся, поскольку даже в насыщении остаётся возможность рабочему атому выйти из лазерной "игры", излучив спонтанный фотон на верхнем уровне. Отсюда становится ясным, что нужно подобрать активную среду таким образом, чтобы скорость спонтанного излучения с нижнего лазерного уровня была бы много больше, чем с верхнего.
Одна из важных заслуг работы [43] состоит в том, что там была обсуждена адекватная схема регулярного (нестатистического) заселения верхнего лазерного уровня. Предполагалось, что активная среда лазера состоит из четырёхуровневых атомов, энергетическая схема которых представлена на рис. 1. Пусть число атомов, составляющих лазерную среду, неизменно и равно N, и все они первоначально находятся в основном состоянии (0). Лазерным является переход (1 — 2).
В некоторый момент времени на переходе (0 — 3) начинает действовать достаточно мощный и короткий электромагнитный импульс накачки, который, как хорошо известно, совместно с быстрым спонтанным распадом (3 — 2) способен перебросить все N атомов из основного состояние на верхний лазерный уровень (2). Если полагать, что в лазерной моде уже достаточно много фотонов, и насыщение перехода обеспечено, а спонтанное излучение с верхнего уровня на посторонние несущественно в силу выбора подходящей среды, то все N атомов на верхнем лазерном уровне неизбежно размениваются на N лазерных фотонов, переходя последовательно на нижний лазерный уровень и затем в основном состоянии. И таким образом атомная среда оказывается подготовленной к воздействию на неё следующего импульса. Процесс повторяется периодически снова и снова, обеспечивая в заданные моменты времени строго гарантированное число атомов на верхнем лазерном уровне.
Приведённые рассуждения позволили авторам работы [43] заключить, что реально можно осуществить регулярную накачку, и этого было достаточно, чтобы обсудить лазерную генерацию именно в этих условиях. Однако, обсуждённая схема была теоретически последовательно обработана только значительно позднее в работе [44]. Тогда же было просто предположено, что атомы на верхнем лазерном уровне впрыскиваются регулярно в резонатор.
Главное отличие уравнения (2.1) от соответствующего уравнения хорошо известной квантово-статистической теории лазера Лэмба и Скалли [69] состоит в том, что справа появилось дополнительное слагаемое, пропорциональное квадрату оператора L. Именно это слагаемое позволило авторам учесть то, что накачка стала регулярной, и именно она даёт в конечных формулах эффект субпуассоновости (подавление дробового шума на околонулевых частотах).
Дробовый уровень шума на ненулевых частотах связан со статистическим характером прохода света через выходное зеркало к фотодетектору. Сразу же при описании субпуассоновского лазера встал вопрос, а что происходит с шириной линии генерации лазера с регулярной накачкой?
В частном случае, когда генерация происходит на центре однородного контура усиления и отсутствуют флуктуации затягивания частоты, переход к регулярной накачке не приводит к уменьшению ширины линии генерации. Для субпуассоновского лазера это было теоретически установлено в ряде работ [43, 57, 58]. Выяснение вопроса о том, в какой степени подавление естественных шумов возбуждения влияет на ширину линии лазера в общем случае произвольной расстройки частот, представляет, таким образом, физический интерес. Этому вопросу была посвящена работа [105].
Полуклассичекая теория лазерных систем, образующих каскадные схемы
Мы будем полагать, что активная среда состоит из трёхуровневых атомов, энергетическая структура которых представлена на рис. 5а. На переходе (1 — 3) происходит возбуждение атомов внешним электромагнитным полем с основного уровня (1) на верхний лазерный (3). Вследствие этого достигается пороговое условие, и на переходе (2 — 3) возникает лазерная генерация. Будем принимать во внимание, что имеет место спонтанная релаксация на переходе (3 — 2) со скоростью 7з и на переходе (2 — 1) со скоростью 72 Нетрудно понять, если в каскадной схеме активная среда каждого из лазеров будет одной и той же, мы не сможем обеспечить условия резонансности, и такая схема работать не будет. Среда должна чередоваться: если, например, среда первого лазера составлена из атомов, схематически представленных на рис. 5а, то среда следующего за ним лазера может быть представлена атомами, изображёнными на рис. 56. В математическом отношении оба типа атомов абсолютно эквивалентны, но в физическом отношении это всё-таки другая среда, в которой на переходе (2 — 1) уж не может быть спонтанной релаксации, и мы должны предусмотреть какой-то механизм, обеспечивающий некогерентный переход (2 — 1).
Понятно, что можно рассматривать и какие-то, как угодно, сложные комбинации обеих возможностей со скрещенными и пространственно разделёнными резонаторами, но здесь они не будут рассматриваться.
Что касается самого первого лазера, который мы предполагаем двухуровневым с каким-то механизмом некогерентной накачки, то мы будем предусматривать для большей общности возможность как пуассоновской, так и субпуассоновской генерации.
В полуклассическом варианте теория лазеров, как известно, среда рассматривается как квантовый объект и обрабатывается в рамках кинетического уравнения для атомной матрицы плотности, а поле считается классическим, для медленной амплитуды которого записывается укороченное уравнение, зависящее, в частности, от атомной когерентности. В задачах, представленных в диссертации, мы всюду предполагаем, что добротность оптических резонаторов очень высокая, и потому развитие атомной среды происходит гораздо быстрее, чем устанавливается поле в рзонаторе, и потому в укороченном уравнении для поля присутствует не просто поляризация лазерного перехода, но стационарная поляризация. Таким образом чтобы потсроить правильную полуклассическую теорию в этом приближении, мы должны прежде всего найти стационарную матрицу плотности трёхуровневого атома. Знание этой матриц нам будет также необходимо при квантово-статистической обработке в дальнейших разделах.
Мы понимаем, что в любом варианте каскадной схемы на трёхуровневый атом дейтсвует два поля: одно поле когерентной накачки на переходе (1 — 3) (рис. 5) с амплитудой с о, а ДРУгое лазерное поле на переходе (2 — 3) с амплитудой ai (Л-конфигурация).
В то же самое время мы видим, что в окрестности лазерного перехода о"2з знак как раз такой, чтобы обеспечить усиление на этом переходе. Это нетрудно понять при рассмотрении укороченных лазерных уравнений, которые проанализируем в следующем разделе. Как видим, в генерации каждого из лазеров сохраняется зависимость от предыдущего в каскаде лазера, но обратного влияния последующего лазера на предыдущий теперь нет.
В уравнении (3.29), строго говоря, имеется ещё одна особенность, связанная с пространственной разделённостью резонаторов. Фигурирующая там величина пм явлется средним числом фотонов в генерирующей моде /л-го лазера, an ] - числом фотонов не в генерирующей моде предшествующего лазера, как это было в ситуации со скрещенными резонаторами, а числом фотонов в возбуждающей моде того же //-го лазера. Возбуждающая мода /u-ro лазера действует на трёхуровневую среду в канале возбуждения и совпадает по частоте с генерирующей модой предшествующего ц — 1-го лазера.
Квантово-статистическая теория двух связанных лазеров
Также, как для двухуровневого лазера, мы можем выделить следующие источники шумов в идеализированной трёхуровневой генерации: шум, связанный с когерентной накачкой на верхний лазерный уровень, шум, связанный со спонтанным излучением на лазерном переходе, и, наконец, шум, связанный с стохастическим характером прохода фотонов через выходное зеркало к фотодетектору. В этих условиях, как помним, для двухуровневого лазера в режиме насыщения достигался минимальный уровень шумов, и лазер становился пуассоновским. В трёхуровневом лазере имеется некий внутренний механизм обратной связи, вследствие чего в этих же условиях возможна субпуассоновость излучения с подавлением дробового шума на околонулевых частотах наполовину. И там, и там можно поставить вопрос, что будет с излучением, если нивелировать шумы, связанные с накачкой. В случае двухуровневой системы мы знаем ответ, а именно, в этом случае возникнет субпуассоновская генерация. Естественно надеяться на обострение квантовых свойств излучения и для трехуровневого лазера.
Нас в этом разделе будут интересовать три вопроса: во-первых, мы знаем, что при заданной когерентной накачке (условие слабой связи между возбуждающим и возбуждаемым лазерами) подавление дробового шума возможно наполовину [65], и мы хотим знать, что будет, когда это условие невыполнимо, и при скрещенных резонаторах режим возбуждающего лазера серьёзно меняется за счет взаимодействия с возбуждаемым лазером (условие сильной связи). Во-вторых, мы хотим знать, возможно-ли, меняя статистику фотонов возбуждающего лазера, изменять статистику фотонов возбуждаемого лазера. И, наконец, в-третьих, мы хотим знать, каким образом меняется статистика фотонов трёхуровневого лазера, если от возбуждается излучением лазера того же типа. Это позволит нам сделать заключение о возможности использования каскадных схем, составленных из однотипных трёхуровневых лазеров, для целей обострения квантовых характеристик излучения.
Для построения квантово-статистической теории мы будем пользоваться методом кинетического уравнения для матрицы плотности поля генерации. Особенностью нашего подхода будет то, что возбуждающий и возбуждаемы лазеры рассматриваются как единое целое, и таким образом мы будем стремиться к построению уравнения для полевой матрицы плотности р, описывающей одинаково хорошо возбуждающую и возбуждённую генеарцию. Здесь го - средняя скорость возбуждения верхнего лазерного уровня в возбуждающим двухуровневом лазере, р параметр, определяющий характер возбуждения среды, а именно, при р = О имеет место совершенно случайная накачка атомов на верхний лазерный уровень и при р = 1 -строго регулярная, KQ - средняя скорость затухания внутрирезонаторного поля генерации возбуждающего лазера, щ - средняя скорость затухания внутрирезонаторного поля генерации возбуждаумого лазера. Здесь операторы RQ, R\ ответственны за затухание внутрирезонаторных квантованных полевых осцилляторов соответственно возбуждающего и возбуждаемого лазеров со скоростями KQ и к\ (см. например [69]).
Одна из сновных целей нашего построения это записать оператор Li, который формирует поле генерации за счёт нелинейного воздействия на него трёхуровневой среды возбуждаемого лазера. В приложении это сделано с достаточной степенью подробности, а здесь мы, по сути, приводим только схему построения, очень близкую к той, которая представлена в главе 1.
До сих пор теория была строгой и не связана ни с какими математическими приближениями. Теперь, однако, удобно применить так называемое кинетическое приближение, согласно которому поведение атомных переменных считается быстрым, а полевых медленным. Как известно, это обеспечивается выбором достаточно добротного резонатора. Это приближение позволяет нам перейти к так называемой грубой временной шкале с характерным масштабом, связанным со временем корреляций, то-есть в данном случае со временем жизни атомов на атомных уровнях, которое по нашему требованию гораздо меньше, чем время жизни фотона в резонатиоре. И тогда, полагая, что состояние атома успевает стать стационарным, можем в наших уравнения положить т = 0 и одновременно имеем право положить 7Г = О, поскольку её временной ход зависит адиабатически только от медленной матрицы плотности р.
Хотя нам удастся в последних двух уравнениях таким образом уйти от дифференциальных уравнений, тем не менее мы имеем теперь систему операторных уравнении, которая в точном виде всё-равно не решается. Поэтом восопльзуемся ещё одним, как известно, хорошо обоснованным предположением, что все члены в наших уравнениях, содержащие производные по комплексным амплитудам поля, малы, и по ним можно применить итерационную процедуру. Необходимо отметить, что хотя эти члены и малы и на деле создают математические трудности, но в то же время они очень важны для нас, так как именно они описывают квантовые эффекты в поле. После применения этого приближения полное кинетическое уравнение будет описывать, как фотонные флуктуации в обеих лазерных модах, так и их фазово-статистические аспекты. Последние здесь для нас неинтересны.
Квантово-статистическая теория трёхуровневой генерации в каскадных схемах
Итак, мы имеем два факта, которые мы собираемся рассматривать как основу для последующего изложения. Во-первых, при когерентном возбуждении трёхуровневой генерации пуассоновским светом возникает субпуассоновская генерация с частичным подавлением дробового шума на околонулевых частотах. Во-вторых, возбуждение субпуассоновской генерацией с полностью подавленным дробовым шумом приводит к подобной же трёхуровневой генерации тоже с полным подавлением дробового шума, однако только в условиях сильной связи между лазерами.
С другой стороны, возбуждение пуассоновским светом в условиях сильной связи приводит тоже к пуассоновской генерации. Мы можем здесь рассудить следующим образом. Имеются обычные источники шумов, характерные для любого идеализированного лазера (шумы, связанные с накачкой, спонтанным излучением и выходом фотонов из резонатора), которые в нашем случае трёхуровневого лазера частично компенсируются действием характерной для трёхуровневой среды отрицательной обратной связи, приводя к подавлению дробового шума наполовину. Переход к субпуассоновскому возбуждению (которое способно сработать только в условиях сильной связи) приводит, как и в случае двухуровневого лазера, к полному подавлению дробового шума. Но естественно предположить, что при возбуждении субпуассоновским светом с неполным подавлением дробового шума тоже должен дать какой-то положительный эффект, хотя бы потому, что в системе стало меньше шума.
Далее мы будем рассматривать каскадные схемы, построенные следующим образом. Самый первый лазер - это двухуровневый пуассоновский лазер со слабой связью со всей последующей цепочкой трёхуровневых лазеров. Это означает, что первый трёхуровневый лазер подвергается в каскаде, стоящий сразу вслед двухуровневому генерирует субпуассоновский свет с подавлением дробового шума наполовину. Это излучение уже в условиях сильной связи используется для когерентного возбуждения следующего трёхуровневого лазера. И мы полагаем в соответствие с рассуждением выше, что его излучение тоже будет субпуассоновским, но с подавлением дробового шума уже больше, чем наполовину. Теперь это идет на возбуждение третьего лазера и т.д. На выходе каскадной схемы мы ожидаем подавление дробового шума уже сильно больше, чем наполовину, если число трёхуровневых лазеров в каскаде достаточно велико.
При записи кинетического уравнения для матрицы плотности всех участвующих в процессе лазерных полей необходимо принимать во внимание, что осбенностью трёхуровневой среды является то, что имеет место влияние не только предыдущего лазера на последующий, но и обратное влияние, вследствие чего у нас нет возможности выделить каку-то пару лазеров в каскаде и проследить, что будет с этой парой, а мы должны всегда рассматривать весь коллектив.
Здесь матрица плотности р = p({ej},t), то-есть является функцией от фотонных флуктуации всех генерирующих полей. Мы исключили из теории самый первый лазер с j — 0, который предположительно являлся пуассоновским со слабой связью с поледующим лазером. Как ясно из предыдущего, когерентное возбуждение первого трёхуровневого лазера при этом в теории может быть внесено параметрически с заданием амплитуды поля как неизменного комплексного числа. Как известно, пуассоновские флуктуации в когерентном представлении означают отсутствие флуктуации, именно потому отсутствуют соответствующие члены в уравнении для флуктуации (5.25).
При записи коэффициентов вторых производных следует принять во внимание, что согласно сделанным выше выводам взаимное влияние лазеров математически описывается коэффициентами 5jj_i и 5jj+i перед первыми призводивши по є, а также коэффициентами Dj-ij перед смешанными производными. Коэффициенты перед вторыми производными (в том числе и перед смешанными) определяются только внутренними свойствами трехуровневой среды лазера в каскаде, не завися от других лазеров, и легко получаются экстраполяцией из коэффициентов для уравнения в случае каскада из двух лазеров в приближении сильной связи, подробно описанного в предыдущей главе (4.58).
Теперь теория на уровне кинетического уравнения сформулирована, и мы можем приступать к конкретным вычислениям. Сначала на основе уравнения (4.56) запишем уравнения для одновременных средних ЩЩ. Проще всего здесь поступить следующим образом: мы будем записывать уравнения последовательно для N — 1,JV = 2,N = 3,..., стараясь выяснять общие закономерности. Анализируя эти уравнения мы придем к заключению, например, что все перекрестные средние при любом N оказываются равными нулю.
