Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Описание резонансных дифракционных структур на основе матрицы рассеяния 29
1.1. Матрица рассеяния резонансной дифракционной структуры 29
1.1.1. Матрица рассеяния 29
1.1.2. Резонансное представление матрицы рассеяния 32
1.1.3. Резонансы в периодических и непериодических дифракционных структурах. Профиль Фано 34
1.2. Построение аналитического продолжения матрицы рассеяния 38
1.2.1. Метод фурье-мод 39
1.2.2. Построение аналитического продолжения 43
1.2.3. Аномалии Рэлея 47
1.2.4. Расчёт мод непериодической структуры 48
1.3. Методы расчёта полюсов матрицы рассеяния 53
1.3.1. Расчёт полюсов на основе линеаризации матрицы, обратной к матрице рассеяния 54
1.3.2. Расчёт полюсов на основе резонансного приближения 55
1.3.3. Расчёт полюсов на основе контурного интеграла и теоремы Коши 58
1.3.4. Сравнение методов расчёта полюсов матрицы рассеяния 60
1.4. Выводы 68
Глава 2. Обобщение профиля Фано для пространственно-временных оптических сигналов 69
2.1. Пространственно-временной профиль Фано в резонансных дифракционных решётках 71
2.1.1. Построение обобщения профиля Фано 71
2.1.2. Симметрия, взаимность и закон сохранения энергии 77
2.1.3. Причинность 82
2.2. Пространственно-временная теория связанных мод в двумерном случае 86
2.2.1. Уравнения связанных мод 86
2.2.2. Коэффициенты пропускания и отражения 90
2.2.3. Результаты численного моделирования 93
2.3. Пространственно-временная теория связанных мод в трёхмерном случае 95
2.3.1. Теория связанных мод без учёта поляризации 96
2.3.2. Теория связанных мод с учётом поляризации 102
2.4. Выводы 115
Глава 3. Реализация временных операций обработки сигналов с помощью резонансных дифракционных структур 117
3.1. Дифракция импульса на резонансной дифракционной структуре 117
3.2. Интегрирование оптических импульсов
3.2.1. Теоретическое описание 120
3.2.2. Расчёт структуры для вычисления интеграла 122
3.3. Дифференцирование оптических импульсов 127
3.3.1. Теоретическое описание 127
3.3.2. Метод расчёта дифференцирующих структур 130
3.3.3. Расчёт структуры для вычисления первой производной 132
3.3.4. Расчёт структур для вычисления производных высших порядков 135
3.4. Вычисление дробной производной и дробного интеграла 140
3.4.1. Преобразования оптических сигналов в аномалиях Рэ лея–Вуда 141
3.4.2. Расчёт структуры для вычисления дробного интеграла 144
3.4.3. Расчёт структуры для вычисления дробной производной 146
3.5. Выводы 149
Глава 4. Реализация пространственных и пространственно-временных преобразований оптических сигналов 151
4.1. Преобразование двумерных пучков 152
4.1.1. Дифракция пучка на резонансной дифракционной структуре 152
4.1.2. Структура для пространственного дифференцирования 155
4.1.3. Преобразование модовых лазерных пучков 158
4.2. Преобразование трёхмерных пучков 160
4.2.1. Дифракция трёхмерного пучка на системе слоёв 160
4.2.2. Преобразование пучка при отражении 165
4.2.3. Структура для вычисления оператора Лапласа 166
4.2.4. Преобразование модовых лазерных пучков 168
4.2.5. Преобразование пучка при прохождении 170
4.2.6. Наклонное падение 173
4.3. Пространственно-временные преобразования оптических полей 178
4.3.1. Дифракция сфокусированного оптического импульса на дифракционной структуре 178
4.3.2. Аппроксимация спектров отражения и пропускания брэг-говской решётки с дефектом 180
4.3.3. Результаты численного моделирования 184
4.4. Выводы 187
Глава 5. Резонансные магнитооптические эффекты в волновод ных и плазмонных дифракционных структурах 189
5.1. Теория связанных мод для намагниченных волноводных дифрак ционных решёток 192
5.1.1. Формулировка теории связанных мод 192
5.1.2. Меридиональная геометрия намагниченности 194
5.1.3. Полярная геометрия намагниченности 199
5.1.4. Экваториальная геометрия намагниченности 201
5.2. Резонансные магнитооптические эффекты в периодических дифракционных структурах, намагниченных меридионально 203
5.2.1. Интенсивностный магнитооптический эффект 203
5.2.2. Симметрия мод структуры 208
5.2.3. Экспериментальное исследование интенсивностного магнитооптического эффекта 213
5.2.4. Фазовый магнитооптический эффект 217
5.2.5. Магнитооптический эффект Фарадея 225
5.3. Резонансные магнитооптические эффекты в периодических дифракционных структурах, намагниченных полярно 228
5.3.1. Результаты численного моделирования 228
5.3.2. Анализ на основе расчёта полюсов матрицы рассеяния 231
5.3.3. Усиление эффекта Фарадея в трёхслойных структурах 232
5.4. Резонансные магнитооптические эффекты в периодических плаз монных структурах 234
5.4.1. Дисперсионные уравнения магнитоплазмонов 235
5.4.2. Результаты численного моделирования 242
5.4.3. Природа резонансного магнитооптического эффекта 245
5.4.4. Анализ на основе профиля Фано 250
5.4.5. Анализ на основе расчёта полюсов матрицы рассеяния 252
5.5. Возбуждение поверхностных плазмон-поляритонов магнитоопти ческими резонаторами 257
5.5.1. Геометрия рассматриваемой структуры 257
5.5.2. Следствия симметрии структуры 258
5.5.3. Метод фурье-мод и обобщённая теорема взаимности Лоренца 262
5.5.4. Результаты численного моделирования 265
5.6. Выводы 269
Заключение 272
Список сокращений 276
Список литературы
- Построение аналитического продолжения матрицы рассеяния
- Симметрия, взаимность и закон сохранения энергии
- Дифференцирование оптических импульсов
- Пространственно-временные преобразования оптических полей
Построение аналитического продолжения матрицы рассеяния
Рассмотрим теперь случай когда на структуру падает насколько плоских волн у которых -компоненты волновых векторов также задаются формулой (1.1). При этом будем считать, что электромагнитные волны падают на структуру как сверху, так и снизу (см. рисунок 1.1(б)). В этом случае -компоненты волновых векторов дифракционных порядков также определяются формулой (1.1), а решение задачи дифракции состоит в нахождении амплитуд рассеянных плоских волн (порядков дифракции) по заданным амплитудам падающих плоских волн. Если структура не содержит нелинейных материалов, то решение задачи дифракции можно представить через матрицу рассеяния [38 , 9, 41]. Матрица рассеяния дифракционной решётки связывает комплексные амплитуды волн, падающих на решётку (inc), и амплитуды рассеянных волн (scatt): Здесь R и T — векторы комплексных амплитуд отражённых и прошедших порядков дифракции, а / и J — векторы комплексных амплитуд волн, падающих на структуру сверху и снизу Таким образом, элемент матрицы рассеяния (S)ij — комплексная амплитуда рассеяния j -й падающей волны в направлении г-й рассеянной.
Отметим, что при дифракции падающих волн на решётке формируется бесконечное число распространяющихся и затухающих порядков дифракции. При этом размерность матрицы S также бесконечна. При численных расчётах рассматривают усечённую матрицу рассеяния [161 , 7, 162], которую удобно вычислять по методу фурье-мод [7]. Метод фурье-мод предполагает рассмотрение падающих и рассеянных порядков дифракции с номерами т = — п,... , п в (1.1) В этом случае матрица рассеяния связывает 2N падающих и 2N рассеянных волн. С учётом двух состояний поляризации падающих и рассеянных волн, размер матрицы рассеяния составляет 47V х 47V [161 , 7, 162]. При этом величина N = 2п + 1 называется числом фурье-гармоник [7].
Для заданных геометрии и материалах решётки матрица рассеяния S является функцией угловой частоты и и ж-компоненты волнового вектора падающей волны с номером т = 0: S = S(uj,kx). Если направление падающей волны фиксировано, то матрицу рассеяния становится функцией угловой частоты: S = S(UJ). 1.1.2. Резонансное представление матрицы рассеяния
Рассмотрим аналитическое продолжение матрицы рассеяния S(UJ),UJ Є С на область D комплексной w-плоскости, ограниченную замкнутой кривой Г. Будем предполагать, что аномалии Рэлея структуры находятся вдали от интересующей нас области частот. В этом случае аналитическое продолжение S(cu) в рассматриваемой области D будет однозначно [42, 163].
Пусть в области D аналитическое продолжение матрицы рассеяния имеет простой полюс1 при комплексном2 значении ш = 6 jp. Далее будем рассматривать случай, когда полюсы матрицы рассеяния — простые. Данное предположение допустимо для задач электродинамики и квантовой механики [25]. В этом случае можно определить вычет матрицы S(cu) [38 , 16]: Res Siuj) = —: S(uj)duj, (1.3) ш=шр 27ГІ где контур интегрирования 7 выбирается таким образом, чтобы в него попал только один полюс ujp. Формулу (1.3) следует понимать как поэлементную операцию. Если матрица рассеяния имеет единственный полюс в области D, то справедливо следующее представление: а матричнозначная функция А(си) не имеет полюсов в области D, то есть является голоморфной в этой области. В общем случае, когда в области D содержится М полюсов, разложение (1.4) принимает следующий вид:
Под полюсом матрицы рассеяния понимается полюс определителя матрицы рассеяния. Комплексная частота соответствует решениям уравнений Максвелла с зависимостью от времени в виде e-ip. При Imp 0 такие решения являются затухающими во времени. где Вт = Res S(UJ). (m) UJ=UJp Первое слагаемое в (1.4), (1.5) описывает нерезонансное рассеяние света, второе слагаемое — резонансное.
Рассмотрим теперь матричные свойства S(cu) в контексте решаемой задачи рассеяния (дифракции). Предположим, что S(UJ) имеет простой полюс при ш = 6 jp, а элементы обратной матрицы S l(co) не имеют полюса на данной частоте. В этом случае det S l(cop) = 0 и, в соответствии с (1.2), существуют нетривиальные решения однородного уравнения S 1((x p) scatt = 0. (1.6) То есть при частоте сир существует нетривиальное решение уравнений Максвелла, не содержащее падающих волн, а это значит, что частоте сир соответствует мода структуры [38 ]. При этом ker S 1(UJP) описывает распределение поля моды над и под структурой.
Несложно показать, что Іт В = ker S 1(UJP), следовательно rank В = dim ker S 1(UJP) [25]. Обычно rank В = 1, то есть одной частоте соответствует только одна мода. Однако при определённых параметрах структуры частоты нескольких различных мод могут совпасть. В этом случае rank В 1, а соответствующие резонансы называются вырожденными. Структуры с вырожденными резонансами обладают интересными оптическими свойствами и могут быть использованы для проектирования фильтров выделения каналов (англ. channel drop niters) и фазовых фильтров (англ. all-pass flter) [164, 165].
Симметрия, взаимность и закон сохранения энергии
Будем предполагать, что rankL = rank R = TOrankLTO = TOrank Rm. Это предположение говорит о том, что столбцы матрицы L являются линейно независимыми, или, что то же самое, ядра матриц S l(u)p ), т = 1,...,М являются линейно независимыми. Последнее означает, что распределения рассеянных полей для разных мод являются линейно независимыми. Данное предположение как правило выполняется, когда размер матрицы рассеяния больше числа мод (dim S rankL).
Полагая в (1.33) си = шп, получим систему из двух матричных уравнений относительно неизвестной диагональной матрицы С1p. Метод решения систем вида (1.33) приведён в приложении В. Используя данный метод (см. (В.5)), можно вычислить диагональную матрицу С1p по следующей формуле: flp = ujnI + 2(\\&ge\g{U S {ujn)VrY, ), (1.34) где diag eig F — диагональная матрица, составленная из собственных значений матрицы .F, а матрицы Ur)Y,r)Vr получаются из компактного сингулярного разложения S"(ujn) = UrY,rV . Вычисляя собственные числа матрицы в правой части (1.34), приходим к следующей итерационной процедуре: 6 jn+i = шп + 2 mineig (U S \ujn)VrY, ) . (1.35) Аналогично (1.31), выбор минимального по модулю собственного числа в (1.35) означает, что в качестве следующего приближения полюса иіп+\ выбирается приближение наиболее близкое к начальному сип.
Итерационная процедура (1.35) предполагает, что в окрестности начального приближения присутствует несколько полюсов. На практике можно считать, что в окрестности сип присутствует единственный полюс, соответствующий невырожденному резонансу. В этом случае, с учётом соотношения (В.8), итера 57 ционная процедура принимает следующий простой вид: maxeig S (ujn) UJn+1 = UJn + 2 . (1.36) msxeig S" \шп)
В отличии от (1.31), итерационные методы (1.35) и (1.36) основаны на резонансном приближении (1.32), а не на линеаризации матрицы S 1(UJ). Результаты численных исследований в подразделе 1.3.4 показывают, что итерационные методы (1.35) и (1.36) обладают лучшей сходимостью по сравнению с (1.31). Кроме того, преимуществом предложенного подхода является то, что он остаётся численно устойчивым при большой размерности матрицы 5ив случае, когда полюсы матрицы рассеяния и матрицы, обратной к ней расположены близко друг к другу (см. приложение Б).
Отметим, что метод (1.31) имеет смысл метода Ньютона для матричнознач-ных функций, в то время как методы (1.35), (1.36) можно рассматривать как матричное обобщение метода Галлея для решения уравнения вида 1/ f(x) = 0. Более того, можно записать матричный аналог метода Хаусхолдера [174] на основе производных матрицы рассеяния порядка р и р— 1 (S(p)(un), S(p 1) (ип)). В этом случае итерационная процедура (1.35) будет частным случаем (р = 2) следующей итерационной процедуры: un+1 = ujn + pmineig ( U S(P ){ujn)VrY, ) , (1.37) где матрицы Ur)Y,r)Vr определяются из компактного сингулярного разложения матрицы S(p){ujn) = UrYirV . Аналог процедуры (1.36) записывается следующим образом: max eig S 1) (шп) шп+1 = шп + p (). (1.38) maxeigi3 (a;n) Последнее выражение напоминает метод Хаусхолдера (1.28) для решения уравнения (1.27) за тем исключением, что операции дифференцирования и вычисления максимального собственного числа переставлены местами. При р = 1 методы (1.37), (1.38) будут являться аналогом метода Ньютона, но, в отличии от (1.31), указанный метод основан на вычислении матрицы рассеяния S(UJ) и её производной, а не матрицы S 1(UJ).
Работоспособность рассмотренных выше методов (1.26), (1.27), (1.31), (1.35), (1.36) существенно зависит от начального приближения полюса си = сип. Кроме того, указанные методы позволяют найти только один полюс в окрестности начального приближения. Отметим, что при расчёте полюсов методами (1.31), (1.35), (1.37) можно использовать все собственные числа при вычислении следующих приближений полюса. Однако такой подход также не гарантирует, что в интересующей нас области D будут вычислены все полюсы матрицы рассеяния. Ниже рассмотрен подход для вычисления всех полюсов матрицы рассеяния в заданной области. Подход основан на вычислении контурного интеграла и применении интегральной формулы Коши. Такой подход используется при расчёте мод многослойных плоскопараллельных [23, 24] и фотонно-кристаллических [17, 25] волноводов. Следуя работам [17, 25, 26], вычислим два контурных интеграла от матричнозначных функций:
Дифференцирование оптических импульсов
Это обусловлено тем, что гиперболическое приближение учитывает два полюса при нормальном падении. Кроме того, закон дисперсии мод лучше описывается гиперболой, чем параболой. Отметим, что гиперболическое приближение целесообразно использовать для описания волноводных резонансов, когда при каждом значении присутствуют два полюса. Параболическое приближение может быть использовано в малой окрестности единственного полюса. В частности, данное приближение удобно для описания резонансов типа Фабри–Перо.
Отметим, что приближения (2.9)–(2.12) были получены для коэффициента пропускания. Однако аналогичные выражения справедливы и для коэффициента отражения. Более того, в соответствии с (2.6), знаменатели приближений для коэффициентов отражения и пропускания одинаковые, в то время как числители разные.
В настоящем подразделе предполагалось что коэффициент пропускания (отражения) является чётной функцией аргумента . Это предположение выполняется для симметричной структуры, изображённой на рисунке 2.1. Вопрос о справедливости данного предположения в отношении структуры с другой симметрией рассматривается в следующем подразделе.
Симметрия одномерной РДР может быть описана одной из семи групп фризов [180]. Примеры дифракционных решёток различных симметрий приведены на рисунке 2.4. В настоящем подразделе рассмотрены наиболее важные симметрии и их свойства. Получены частные случаи приближений (2.10) и (2.11), которые учитывают симметрию структуры.
Как было отмечено выше, выражения (2.5), (2.9)–(2.12) были получены в предположении что амплитуда рассеяния (коэффициент пропускания или отра 78 жения) является чётной функцией аргумента . Для отражения это следует из условия взаимности [41, 45]. Для пропускания же выполнение соотношения (,) = (-,) возможно лишь при дополнительных предположениях о симметрии структуры.
Для дальнейшего изучения свойств симметрии РДР, рассмотрим элементы матрицы рассеяния как функции аргумента . Условия взаимности и симметрии накладывают существенные ограничения на общий вид матрицы рассеяния [1, 41, 45]. В таблице 2.1 представлен вид матрицы рассеяния для каждой из сими групп симметрии. В данной таблице различные функции обозначены разными буквами; чётные функции записаны как функции аргумента 2. В соответствии с таблицей 2.1, коэффициент отражения всегда является чётной функцией . Таким образом, приближения (2.9)–(2.12) могут быть использованы для описания коэффициента отражения структуры любой симметрии. Использование указанных приближений для коэффициента пропускания допустимо лишь для РДР, обладающих одной из следующих групп симметрии: p11m, p11g, p2mg, p2mm, p1m1. Остальные группы симметрий не обеспечивают выполнение предположений, использованных при выводе выражений (2.9)–(2.12). Структуры, описываемые группами симметрии p1 и p2, требуют использования более общих приближений. Знаменатели данных приближений будут иметь тот же вид, что и в выражениях (2.9)–(2.12), в то время как числители могут содержать дополнительные члены, нечётные по (например, и ).
Рассмотрим теперь две важные симметрии, которые позволяют упростить общие представления (2.11) и (2.10). Вертикальная плоскость симметрии В настоящем параграфе основное внимание уделяется гиперболическому приближению (2.11) для структур обладающих плоскостью симметрии (группы симметрии p2mm, p1m1, p2mg). Обычно эффекты обусловленные симметрией проявляются когда падающая волна обладает той же симметрией, что и сама структура. Поэтому в настоящем параграфе рассмотрен случай нормально падающей плоской волны ( = 0).
Рассмотрим симметрию поля мод структуры относительно плоскости симметрии. Приближение (2.11) предполагает, что при = 0 в структуре есть две различные моды с соответствующими полюсами p1 и p2. Можно показать, что распределение поля мод симметричной структуры либо чётно, либо нечётно (см. приложение Ж). Более того, одна из двух рассматриваемых мод будет чётной, в то время как вторая — нечётной. Без потери общности положим, что мода с частотой p2 — нечётная. Нечётная мода не может быть возбуждена в симметричной структуре нормально падающей плоской волной [53 , 41]. Это означает, что соответствующий полюс х р2 не должен оказывать влияние на спектр пропускания Т(0,си). Это возможно лишь в том случае, когда один из нулей компенсирует полюс (т. е. если x Z2 = соР2). Учитывая данный факт, можно переписать выражение (2.12) в следующем виде:
Существует два канала рассеяния моды в РДР: излучение в незатухающий порядок дифракции и омические потери, обусловленные поглощением [181 ]. Из соображений симметрии антисимметричная мода не может рассеиваться в нулевой порядок дифракции. Следовательно, антисимметричная мода непогло-щающей структуры не затухает во времени и её частота всегда действительна
Пространственно-временные преобразования оптических полей
В соответствии с (3.6), ПФ дифракционной решётки Н(си) = T{UJ+UJQ) принимает вид (3.8) при а = 0 и шо = Иешр в (3.6). Таким образом, дифракционная решётка позволяет выполнить интегрирование входного сигнала с экспоненциальным весом (3.10).
При указанных значениях а и х о, из уравнений (3.6) и (3.8) можно получить следующее выражение для постоянной времени:
Отметим, что, согласно условиям причинности, lmujp 0, поэтому г в (3.6) является неотрицательной. Постоянная времени г описывает точность интегрирования (идеальное интегрирование происходит при г — оо), а величина Ъ характеризует амплитуду прошедшего сигнала и определяет энергетическую эффективность интегратора. Определим связь между параметрами гиб. Без ограничения общности будем считать, что коэффициент пропускания T{uS) является нормированным так, что Т(бо )2 — интенсивность нулевого прошедшего порядка дифракции. Согласно закону сохранения энергии, Т( х )2 1. Тогда из (3.6) при о = 0иш = ReWp получим \Ь\ (3.12) Формула (3.12) описывает связь между параметром т, определяющим качество интегрирования и амплитудой & прошедшего сигнала. В частности, из (3.10), (3.12) следует, что идеальное интегрирование невозможно, так как ему соответствует нулевая амплитуда прошедшего сигнала.
Условие а = 0 в (3.6) соответствует резонансам, у которых зависимость интенсивности прошедшего света от частоты падающего света имеет лоренцев профиль: \1 (со)\ = т: т= 2- (3.13) (со — ReWp)2 + (lmujp) В частности, такой вид функции пропускания характерен для металлических дифракционных решёток, обладающих эффектом экстраординарного оптического пропускания (англ. extraordinary optical transmission) [125, 126]. Данный эффект состоит в появлении на определённых частотах в спектре пропускания перфорированного металлического слоя резких пиков и связан с возбуждением в решётке мод плазмонного типа.
Вид функции Т(си) и параметры а,6,бо p в (3.6) зависят от геометрических параметров решётки (период, ширина и высота щелей и т.д.). За счёт выбора данных параметров можно управлять соотношением между качеством интегрирования и энергией прошедшего сигнала. Как было отмечено выше, определение конфигурации дифракционной решётки и расчёт её параметров из условия получения заданной функции Н(си) является сложной задачей, которая не может быть решена аналитически.
В качестве примера была рассчитана дифракционная решётка, соответствующая периодической системе щелей в плёнке серебра (см. рисунок 3.2), для интегрирования TM-поляризованных импульсов с центральной частотой 0 = 1.2153 1015 c-1 (0 = 1550 нм). Для диэлектрической проницаемости серебра была использована модель Друде с параметрами о;рі = 1.3695 х 1016 c_1, єо = З, Г = 3 х 1013 c-1. В качестве диэлектрических проницаемостей материалов над решёткой и в щелях решётки использовалось значение ssup = 1. Для диэлектрической проницаемости материала подложки использовались значения евиъ = 1 и евиъ = 2.09. Значение esub = 2.09 соответствует плавленому кварцу. Параметры решёток указаны в подписи к рисунку 3.2. Значения указанных параметров были получены в результате оптимизации по критериям Ъ — max, г — max при условиях а = 0, ReWp = UJQ. Для вычисления критериев 6, г на каждой итерации строилась аппроксимация Паде порядка [1/1] для функции Т(си) в окрестности угловой частоты UJQ. Для расчёта функции T{uS) использовался метод фурье-мод [7, 9, 12].
Геометрия интегрирующей дифракционной решётки (параметры решётки при sub = 1: период d = 1540 нм, высота h = 90 нм, ширина щелей а = 185 нм; параметры решётки при esub = 2.09: период d = 1070 нм, высота h = 110 нм, ширина щелей а = 20 нм) На рисунке 3.3 представлены спектры пропускания решёток, рассчитанных для случаев sub = 1 и sub = 2.09. Для объяснения резонансных пиков на рисунке 3.3 были рассчитаны комплексные частоты собственных мод дифракционных решёток по методу матрицы рассеяния, изложенному подразделе 1.3.2 настоящей диссертации. При sub = 1 было получено следующее значение ком 124 плексной частоты моды р = 1.2153 х 1015 — 1.5535 х 10ni c-1, соответствующей резонансу на рисунке 3.3. Указанное значение позволяет оценить добротность моды = Re р/(—2Imp) = 3911, ширину резонанса по полуспаду интенсивности А = 3.11 х 1011 c-1 (А = 0.40 нм) и постоянную времени = 6.4 пс. Для решётки на подложке (sub = 2.09) были получены следующие значения: р = 1.2152 х 1015 — 5.1155 х 10ni c-1, = 1188, А = 1.02 х 1012 c-1 (А = 1.31 нм), = 1.95 пс. Отметим, что толщины рассчитанных дифракционных решёток составляют 90 нм и 110нм. Для сравнения, характерный размер волоконной брэгговской решётки, осуществляющей интегрирование импульса с длительностью в несколько пикосекунд составляет единицы миллиметров [90].
Спектр пропускания (интенсивность прошедшего порядка дифракции) металлической решётки (пунктир, ось справа) и металлической решётки на диэлектрической подложке (сплошная линия, ось слева)
Полученные значения комплексных частот р мод решётки близки к частотам поверхностных плазмон-поляритонов (ППП), распространяющихся вдоль границы раздела серебро-диэлектрик. Комплексные частоты ППП могут быть вычислены из условия равенства константы распространения ППП и константы распространения =Ы-го порядка дифракции решётки: