Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Пространственная когерентность, средние характеристики волнового фронта вихревого лазерного пучка, излученного частично-когерентным источником или прошедшего через слой случайно-неоднородной среды 16
1.1. Исходные волновые уравнения и основные определения .16
1.2. Поле направлений среднего вектора Пойнтинга частично-когерентного вихревого пучка и оптический вихрь Скалли 19
1.3. Пространственная когерентность и характеристики среднего вектора Пойнтинга вихревого пучка за случайным фазовым экраном. Аналитический подход 27
1.3.1. Функция когерентности второго порядка вихревого пучка 27
1.3.2. Средний вектор плотности потока энергии и его характеристики .30
1.3.3. Поле направлений среднего вектора Пойнтинга вихревого пучка. Линии тока энергии .31
1.3.4. Средний локальный волновой вектор вихревого пучка и его
топологические свойства. Численная модель .39
Основные результаты главы 1 .43
ГЛАВА 2. Случайные блуждания вихревых лазерных пучков, распространяющихся через слой турбулентной атмосферы .45
2.1. Методы расчета случайных блужданий вихревого лазерного пучка в турбулентной атмосфере .46
2.1.1. Аналитические подходы для расчёта дисперсии случайных блужданий центра тяжести вихревого лазерного пучка в турбулентной атмосфере .47
2.1.2. Численная схема на основе метода фазовых экранов (метод Монте-Карло) 49
2.2. Дисперсия случайных блужданий центра тяжести лазерного пучка Лагерра-Гаусса в турбулентной атмосфере. Аналитический подход 51
2.2.1. Гауссов и лагерр-гауссов пучки в ближней и дальней дифракционных зонах .55
2.2.2. Кольцевой и лагерр-гауссов пучки в ближней и дальней дифракционных зонах 57
2.3. Влияние вихревой фазы на блуждания лагерр-гауссова пучка в турбулентной атмосфере: результаты численного эксперимента .59
2.3.1. Блуждания LG пучка в зависимости от интенсивности турбулентности 61
2.3.2. Блуждания LG пучка в зависимости от топологического заряда .63
2.3.3. Блуждания LG пучка в зависимости от радиального индекса 64
2.3.4. Блуждания LG и DH пучков в зависимости от внешнего масштаба турбулентности .66
2.4. Влияние типа вихревых пучков на величину их случайных блужданий в турбулентной атмосфере .68
2.4.1. Эффективные размеры и выбор параметров пучков .69
2.4.2. Дисперсии случайных блужданий пучка Лагерра-Гаусса,
пучка Бесселя-Гаусса и гипергеометрического пучка 71
2.4.3. Эффективные объёмы, занимаемые вихревыми LG, BG и HG пучками .74
2.4.4. Блуждания LG, BG и HG пучков в зависимости от внешнего масштаба 76 Основные результаты главы 2 .79
ГЛАВА 3. STRONG Флуктуации орбитального углового момента вихревых лазерных пучков
в турбулентной атмосфере STRONG .81
3.1. Орбитальный угловой момент лазерного пучка и методы расчетов его
статистических характеристик в турбулентной атмосфере 82
3.1.1. Орбитальный угловой момент лазерного пучка. Основные определения .82
3.1.2. Соотношения для расчетов средних и флуктуационных характеристик орбитального углового момента лазерного пучка на основе формулы Берри 83
3.1.3. Соотношения для расчетов средних и флуктуационных характеристик орбитального углового момента лазерного пучка на основе статистических моментов поля .87
3.2. Асимптотические оценки дисперсии флуктуаций орбитального углового момента
вихревого лазерного пучка в турбулентной атмосфере 89
3.2.1. Слабые флуктуации орбитального углового момента лазерных пучков .89
3.2.1.1. Когерентный гауссов пучок 91
3.2.1.2. Частично-когерентный гауссов пучок 92
3.2.1.3. Зависимость дисперсии флуктуаций орбитального углового момента гауссова пучка от разъюстировки передающей и приемной систем 95
3.2.1.4. Лагерр-гауссов пучок 98
3.2.2. Сильные флуктуации орбитального углового момента лагерр-гауссова пучка 104
3.3. Орбитальный угловой момент лазерного пучка в турбулентной атмосфере:
численное моделирование 107
3.3.1.Численная схема .107
3.3.2. Статистическое среднее и дисперсия флуктуаций ОУМ. Численный эксперимент и асимптотические оценки 109
Основные результаты главы 3 .114
Заключение 116
Литература
- Поле направлений среднего вектора Пойнтинга частично-когерентного вихревого пучка и оптический вихрь Скалли
- Численная схема на основе метода фазовых экранов (метод Монте-Карло)
- Орбитальный угловой момент лазерного пучка. Основные определения
- Зависимость дисперсии флуктуаций орбитального углового момента гауссова пучка от разъюстировки передающей и приемной систем
Введение к работе
Актуальность работы
Одно из актуальных направлений в современной оптике связано с созданием лазерных пучков, в минимальной мере подверженных влиянию случайных неоднородностей показателя преломления. Ведь распространение через атмосферную турбулентность приводит к искажениям фазы пучков, блужданиям пучка как целого, к флуктуациям интенсивности в поперечном сечении пучков. Лазерные пучки разного вида применяются в системах оптической связи, работающих через атмосферу, как на приземных, так и на космических трассах. Среди таких пучков значительное внимание уделяется пучкам, являющимися носителями оптических вихрей (optical vortices), -вихревым пучкам. Такого рода пучки обладают механическим моментом импульса относительно оси распространения за счет поперечной циркуляционной составляющей вектора Пойнтинга. В отличие от обычных оптических пучков такие пучки содержат сингулярность - топологическую особенность фазовой структуры в виде винтовой дислокации. Круг проблем, включающий изучение фазовых сингулярностей оптического поля, оптических вихрей и орбитального углового момента оптических пучков, образует новое научное направление, получившее название «Сингулярная оптика».
Основополагающий вклад в формирование современных представлений о световых сингулярностях внесли Berry M.V. и Nay J.F., которые в числе прочего, предложили концепцию дислокаций волнового фронта. Статистика дислокаций волнового фронта в спекл-полях, препятствовавших использованию адаптивной оптики в турбулентной атмосфере, исследовалась научной группой под руководством Зельдовича Б.Я. Разные аспекты проявления дислокаций в акустических полях исследовались Кравцовым Ю.А. Значительную роль в прояснении картины возникновения сингулярностей сыграли исследования Розанова Н.Н. и Короленко П.В. Важный шаг в понимании световых сингулярностей был сделан с осознанием того факта, что в световых полях могут создаваться оптические вихри. Сам термин «оптический вихрь» появился в 1989 г. Изучению оптических вихрей способствовало использование лазеров, способных генерировать самые экзотические световые поля. Научное направление «сингулярная оптика» сформировалось как результат интенсивных исследований российских и зарубежных научных групп и продолжает развиваться в настоящее время. Изучались фундаментальные свойства вихревых пучков, их трансформация в процессе распространения в оптических системах (Соскин М.С. Васнецов М.В., Ангельский О.В., Воляр А.В., Волостников В.Г., Абрамочкин Е.Г., Бекшаев А.Я., Padgett M.J.,
Heckenberg N.R.), природных и искусственных, регулярных (Torner L.,
Kivshar Yu.S.) и случайных средах (Лукин В.П., Фортес Б.В.,
Тартаковский В.А., Арсеньян Т.И., Freund I., Swartzlander G.A.).
Разрабатывались способы генерации таких пучков и измерений их параметров. В настоящее время вихревые пучки используются не только в оптике, лазерной физике и фотонике, но и в радиофизике, физике плазмы, информатике и криптографии, зондировании атмосферы, разработке средств манипуляции микрообъектами.
Свойства оптических вихрей в когерентном свете уже достаточно
хорошо исследованы [1 3]. В [4] была предложена гидродинамическая
модель, предполагающая представление вектора наклонов волнового фронта
через соленоидальную и дивергентную компоненты и описывающая
пространственную динамику сингулярных волновых фронтов через
пространственную динамику ротора градиента фазы. Эта модель
использовалась, в том числе, при разработке адаптивно-оптической системы
для компенсации сингулярных искажений фазы, возникающих в лазерных
пучках, распространяющихся в турбулентной атмосфере [5]. Однако,
значительное число приложений сингулярной оптики использует частично-
когерентные световые поля. Несмотря на то, что исследование оптических
вихрей в частично-когерентных световых полях, как и частично-когерентных
вихревых пучков, к моменту начала работы над диссертацией проводилось
уже на протяжении ряда лет, многие особенности поведения таких вихревых
пучков, оставались еще неизученными. Если когерентный вихревой пучок
распространяется в однородной среде, нули интенсивности составляют нуль
линию, совпадающую с осью пучка, а оптический вихрь сохраняет свою
структуру на всем протяжении пучка. Когда исходная когерентность пучка
уменьшается, нуль превращается в минимум среднего распределения
интенсивности. Надо было установить, что происходит с оптическим вихрем.
Также надо было исследовать, как случайная среда влияет на средние
характеристики оптического вихря, когда первоначально когерентный свет
распространяется в турбулентной атмосфере. Примерно то же самое время
подобные проблемы вставали перед исследователями из США
(Swartzlander G.A.) и Мексики (Hernandez-Aranda R.I.) [6].
Основными факторами, ограничивающими пропускную способность оптических систем передачи данных на горизонтальных и наклонных трассах, являются, наряду с флуктуациями интенсивности, блуждания пучков. Созданные к концу 80-х годов XX века теоретические методы исследования статистических характеристик случайных блужданий пучков, были апробированы, в основном, на простейших коллимированных или сфокусированных гауссовых пучках [7]. В последние годы в связи с развитием оптических линий связи Земля Космос интерес к исследованиям
флуктуаций интенсивности и случайных блужданий лазерных пучков на таких трассах проявился заново. Ведется поиск пучков, минимизирующих искажающее влияние атмосферной турбулентности. Установлено, что наличие оптических вихрей в структуре лазерного пучка может снизить влияние атмосферы на распространение вихревого лазерного излучения по сравнению с распространением обычных гауссовых пучков. Так, включение оптических вихрей в структуру фемтосекундных лазерных импульсов замедляет распад лазерного пучка на филаменты. Поэтому возникла необходимость уделить внимание смещениям центра тяжести вихревого пучка как целого, которые происходят под действием крупномасштабных неоднородностей показателя преломления. Так как вихревые пучки обладают орбитальным угловым моментом, который подчиняется закону сохранения, следовало ожидать, что пучок должен быть более устойчив к воздействию случайных неоднородностей показателя преломления атмосферы, подобно тому, как раскрученный волчок устойчив к сторонним механическим воздействиям. Мы были обязаны проверить это предположение и рассмотреть, как различаются случайные блуждания обычного гауссова пучка и пучка, с включенным в его структуру оптическим вихрем.
В 1992 г. Allen L., Beijersbergen M.W., Spreeuw R.J.C., Woerdman J.P.
осознали, что вихревой лазерный пучок обладает квантованным
орбитальным угловым моментом, который не зависит от спинового
орбитального момента пучка (поляризации). Следствием этого нового
знания, которое полностью соответствовало представлениям классической
электродинамики, стала серия исследований по механическим аналогиям
спинового и орбитального моментов светового пучка, по передаче
орбитального углового момента (ОУМ) поглощающим частицам, его
трансформации в оптических системах и т.п., выполненных наиболее
авторитетными специалистами в области сингулярной оптики. В 1997 г.
Berry M.V. получил интегральное соотношение, описывающее
трансформацию полного орбитального углового момента светового пучка в рефракционной среде. Возникла необходимость оценки средних и флуктуационных характеристик ОУМ пучка в среде со случайными неоднородностями показателя преломления. Решение этой задачи стало еще актуальней, когда в 2004 г. экспериментаторы из университетов Глазго и Стратклайд, Шотландия (Gibson G., Courtial J., Васнецов M., Barnett S., Franke-Arnold S., Padgett M.) предложили использовать орбитальный угловой момент вихревых пучков для кодирования информации в атмосферно оптических каналах связи.
В связи с этим целью диссертационной работы явились
теоретические исследования средних и флуктуационных характеристик вихревых лазерных пучков, распространяющихся в случайно неоднородной
атмосфере на основе асимптотического анализа и численного
моделирования.
Для достижения данной цели решались следующие основные задачи:
1. Построение статистической гидродинамической модели
оптического вихря для описания пространственной динамики волнового
фронта вихревых пучков, сформированных частично-когерентными
источниками света, или распространяющихся в среде со случайными
неоднородностями показателя преломления.
2. Исследование случайных блужданий различных типов вихревых
пучков в турбулентной атмосфере с учетом топологического заряда,
дифракционных параметров пучков и параметров атмосферной
турбулентности.
3. Разработка теоретических методов исследования орбитального
углового момента оптических пучков в среде со случайными
неоднородностями показателя преломления.
4. Построение асимптотических оценок статистических характеристик
и численное моделирование трансформации орбитального углового момента
вихревого лазерного пучка в турбулентной атмосфере в зависимости от
начальных значений момента, дифракционных параметров пучка и
турбулентных условий распространения.
Основные положения, выносимые на защиту:
1. Вихревые свойства частично-когерентного лазерного пучка с
когерентными свойствами, соответствующими коррелятору Гаусса-Шелла,
определяемые соленоидальной составляющей направлений среднего вектора
Пойнтинга, описываются моделью вихревого течения жидкости «вихрь
Скалли». При снижении исходной когерентности пучка соленоидальная
составляющая уменьшается. В ходе пространственной эволюции
дивергентная составляющая направлений среднего вектора Пойнтинга может
менять знак, определяя фокусировку пучка в приосевой области и
дефокусировку на периферии пучка.
2. Вихревые лазерные пучки, несущие орбитальный угловой момент,
при распространении в турбулентной атмосфере оказываются более
устойчивыми к воздействию неоднородностей показателя преломления
воздуха, размер которых сравним с поперечным размером пучков, чем пучки,
не обладающие орбитальным угловым моментом. При увеличении
орбитального углового момента случайные блуждания распространяющегося
в турбулентной среде пучка уменьшаются. Из разных типов вихревых
пучков, обладающих одинаковыми начальными орбитальными угловыми
моментами и поперечными размерами, наиболее устойчивыми являются
пучки, занимающие в пространстве наибольший эффективный объем.
3. Для условий слабой турбулентности на трассе, когда параметр
Рытова В «1, флуктуации орбитального углового момента лазерного пучка
имеют порядок малости В , в то время как флуктуации интенсивности в том
же самом пучке пропорциональны В .
Г0
Научная новизна работы:
1. Впервые установлено, что, несмотря на исчезновение нулевых точек
интенсивности, являющихся признаком существования оптических вихрей в
когерентных световых полях, в частично-когерентных вихревых лазерных
пучках сохраняются признаки вихревого движения световой энергии. А
именно: поле направлений среднего вектора Пойнтинга вихревого пучка
имеет отличную от нуля циркуляцию, сохраняется ротор поля направлений
среднего вектора Пойнтинга, который в плоскости поперечного сечения
пучка представляет собой двумерную регулярную функцию и может служить
индикатором оптического вихря. Эта функция совпадает с распределением
завихренности в модели вихревого течения жидкости, называемой «вихрь
Скалли». Поле направлений среднего вектора Пойнтинга частично-
когерентного вихревого пучка или пучка, прошедшего слой турбулентной
среды, может быть представлено в виде дивергентной и соленоидальной
частей. Соленоидальная часть уменьшается при снижении когерентности или
усилении турбулентности в слое. Эта часть проявляет те же свойства, что и
соленоидальная часть среднего волнового вектора. Показано, что при
изменении продольной координаты дивергентная часть поля направлений
может менять знак, определяя направление потока энергии к центру или на
периферию пучка.
2. Аналитически и в численном эксперименте впервые получены
оценки влияния турбулентных условий распространения, дифракционных
параметров и азимутального индекса (топологического заряда) пучка на
величину дисперсии смещений его центра тяжести. Обнаружен «эффект
гироскопа», заключающийся в том, что в режимах слабой и умеренной
турбулентности случайные смещения центра тяжести вихревого лазерного
пучка оказываются тем меньшими, чем большим топологическим зарядом
обладает включенный в пучок оптический вихрь. Показано, что лазерный
пучок с начальным распределением интенсивности, совпадающим с
распределением интенсивности пучка Лагерра-Гаусса, но не обладающий
вихревым распределением фазы, менее устойчив к воздействию атмосферной
турбулентности, чем пучок Лагерра-Гаусса, за исключением ближней зоны
дифракции. Установлено, что из разных типов вихревых лазерных пучков:
лагерр-гауссова, модифицированного бессель-гауссова и
гипергеометрического гауссова, имеющих одинаковые начальные
эффективные размеры и ОУМ, наиболее устойчивым является лагерр-гауссов пучок, занимающий в пространстве наибольший эффективный объем.
3. Впервые получены интегральные соотношения, связывающие
статистические характеристики орбитального углового момента лазерного
пучка, распространяющегося в случайно-неоднородной атмосфере, с
функциями когерентности второго и четвертого порядков волнового поля
пучка в плоскости наблюдения. На основе этих соотношений впервые
получена асимптотическая оценка дисперсии флуктуации орбитального
углового момента лазерного пучка, распространяющегося в турбулентной
атмосфере в условиях сильной турбулентности.
4. В результате асимптотического анализа дисперсии флуктуаций
интенсивности орбитального углового момента лазерного пучка,
распространяющегося в турбулентной атмосфере в условиях слабой
турбулентности, впервые показано, что флуктуации орбитального углового
момента имеют больший порядок малости, чем флуктуации интенсивности в
том же самом пучке. Эта оценка оказывается справедливой, если
погрешность позиционирования измерительной системы относительно оси
лазерного источника в поперечном направлении оказывается равной нулю.
Впервые асимптотические оценки подтверждены результатами численного
эксперимента.
Научная и практическая значимость работы
Модель оптического вихря в частично-когерентном свете позволяет
оценить возможности создания оптических ловушек и пинцетов при
использовании стохастических источников света, а также разработать новые
принципы функционирования датчиков волнового фронта в условиях
возникновения фазовых дислокаций при распространении света в
турбулентной среде, разработать новые методы определения степени
пространственной когерентности оптических пучков, а также параметров
турбулентной атмосферы. Результаты асимптотических расчетов и
численного моделирования блужданий вихревых лазерных пучков позволяют
выявить лазерные пучки, наиболее устойчивые к воздействию атмосферной
турбулентности и составить основу для разработки алгоритмов оценки
эффективности распространения лазерного излучения на горизонтальных и
наклонных трассах в земной атмосфере, а также на трассах Земля Космос.
Предложенные способы аналитической оценки статистических
характеристик орбитального углового момента в случайно-неоднородных средах и результаты численных экспериментов позволяют оценить потенциальные возможности оптических линий связи, использующих принцип кодирования информации с помощью значений полного орбитального углового момента и дать прогноз помехоустойчивости и скрытости таких линий.
Работа выполнялась в рамках бюджетных планов научно-
исследовательских работ ИОА СО РАН.
Полученные в ходе выполнения диссертационной работы результаты
использовались при выполнении гранта РФФИ, № 09-02-90452
«Исследование устойчивости и методов детектирования сигналов на основе оптических вихрей при распространении пучков в неоднородных средах», выполнении НИР по ФЦП Минобрнауки РФ, № 14.613.21.0035, «Разработка системы формирования лазерных пучков с управляемой пространственной структурой для задач беспроводной оптической связи».
Достоверность полученных результатов подтверждается: их
физической непротиворечивостью, а также их согласием с современными
представлениями о распространении волновых пучков; совпадением
аналитических расчетов с результатами численного эксперимента;
соответствием в частных случаях полученных результатов с результатами аналогичных исследований, полученными из литературных источников и выполненных другими авторами.
Публикации
Основные результаты работы представлены в 27 публикациях. Из них 13 – в периодических изданиях, рекомендованных ВАК РФ для публикации основных результатов диссертации.
Апробация результатов исследований
Результаты исследований по теме диссертации доложены и обсуждены
на следующих российских и международных научных мероприятиях:
Всероссийская конференция молодых ученых «Фундаментальные проблемы
новых технологий в 3-м тысячелетии» (Томск, 2006 г.); Международная
школа молодых ученых и специалистов «Физика окружающей среды»
(Томск, 2006 г.); Всероссийская научная конференция «Распространение
радиоволн» (Иркутск, 2014 г.); Международные конференции «Сингулярная
оптика» (Алушта, 2008 г. и Севастополь, 2012 г., Украина); Международные
конференции «Оптика лазеров» (г. Санкт-Петербург, 2006, 2008 и 2016 гг.);
Международные конференции «Корреляционная оптика» (Черновцы,
Украина, 2009, 2011 и 2013 гг.); Международные симпозиумы «Оптика атмосферы и океана. Физика атмосферы» ( Улан-Удэ, 2007 г., Томск, 2009, 2011 гг., Иркутск, 2012 г., Барнаул, 2013 г., Новосибирск, 2014 г., Томск, 2015 и 2016 гг.).
Личный вклад автора
Автор диссертации участвовал в постановке и решении основных задач работы, в разработке методик теоретического анализа, получении, обсуждении и интерпретации полученных результатов. Представленные аналитические результаты получены или лично автором, или при его непосредственном участии совместно с научным руководителем д.ф.-м.н.
ст.н.с. Аксёновым В.П. Результаты численного моделирования, связанные с распространением вихревых лазерных пучков в турбулентной атмосфере и их сравнение с результатами асимптотического анализа выполнены совместно с д.ф.-м.н. Каневым Ф.Ю., д.ф.-м.н. Колосовым В.В. и к.ф.-м.н. Филимоновым Г.А.
Структура и объём диссертации
Диссертация состоит из введения, трёх глав, заключения, приложения и списка литературы. Полный объем диссертации 128 страниц, включая 48 рисунков и 1 таблицу. Список цитируемой литературы содержит 98 наименований.
Поле направлений среднего вектора Пойнтинга частично-когерентного вихревого пучка и оптический вихрь Скалли
Будем предполагать для общности, что лазерный пучок распространяется в полупространстве z 0, заполненном преломляющей средой с диэлектрической проницаемостью є(х,y,z) = 1 + s(x,y,z), где (\є\) «1, (угловые скобки означают усреднение по случайным реализациям среды), а комплексная амплитуда пучка подчиняется параболическому уравнению: + Aiu(r,z)+k2 ir,zMr,z) = 0, (1.1) где M(r,0) = M0/(r) - комплексная амплитуда пучка в начальной плоскости, к=2п/Х - волновое число, Д± - двумерный оператор Лапласа. На основе (1.1) можно построить уравнение для функции когерентности второго порядка [29] r2,1(r1,r2,z) = (M(r1,z)/ (r2,z)) (1.2) лазерного пучка, распространяющегося в турбулентной среде. Это уравнение принимает следующий вид 2 -Гу(р1,р2,г) + (А11-А12 1(р1,Р2,г)+—Я(р1-р2,г)Гу(р1,р2,г) = 0, (1.3) tf(p,z) = 2Jj jK,z)[l-cosKp], (1.4) где Ф,(\к\,г) - спектр флуктуаций диэлектрической проницаемости среды[29]. Существует аналитическое решение уравнения (1.3) [29], которое выражается следующим образом r2l(R,r,z) = {U2(R, r, z)) = \\d2R \\d2r U2(R ,r ,0)e4 (r-r XR-R )-— ftf Д + rjl- W, 0-5) 4 2z2jj jj 2 I 4 j I z z k2 22[ 2UrL+M сї\ где C/2(r,p,0) = w0)/(r + p/2)j/o)/(r-p/2). Если p = 0, второй момент поля превращается в интенсивность U2(rA0) = u0J(ry0J(r) = \u0J(rf=l(r). (1.6) В приближении параболического уравнения (1.1) вектор плотности и направления энергии (вектор Пойнтинга) P{P±,PZ] обладает продольной и поперечной компонентами, причем продольная компонента имеет вид [29] Pz=al(R,z), (1.7) а поперечная Р± = (M(r,z)V/(r,z)-/(r,z)VlM(r,z)). (1.8) Здесь а - нормировочный множитель. Вектор V± = {дх,ду}. В системе СГС а = фж (с -скорость света), но пока положим для простоты а = к, как и в [29]. Если комплексную амплитуду поля представить через интенсивность и фазу u(r, z) = [/(г, z)\2 exp \iS(r, z)}, то вместо (1.8) будем иметь P±=I(r,z)V±S(r,z). (1.9) Напомним, что угловыми скобками мы обозначаем процедуру усреднения по случайным реализациям среды. Чертой сверху обозначим усреднение по ансамблю случайных реализаций комплексной амплитуды поля частично-когерентного источника. Очевидно, что (Р){(РД (Р±)}= ezk(l(r, z)) + (Р±) (1.10) или p{ ,P }=ez/(r,z) + P , (1.11) где ez - единичный орт продольной оси координат. Вектора «,M = i = №ffii , (112) Pz kl{r,z) или ,,)M = -f , (1.13) V 7 (Pz) (/(r,z)) являются поперечными компонентами поля направлений [24] средних векторов Пойнтинга (1.10) и (1.11). Очевидно, что в случае регулярных полей вектора (1.12) и (1.13) совпадут с поперечными компонентами поля направлений градиента фазы -V,S(r,z) (наклонами к ± волнового фронта). Так же очевидно, что as(r,z)и а (г,z)совпадут с -V,S(r,z) или с — (W,S(r,z)), соответственно, только в случае некоррелированности интенсивности и фазы. Поперечные компоненты среднего вектора Пойнтинга Р± или (Р±) могут быть представлены через функцию когерентности второго порядка = lVlpr21(R,p,z , (1.14) ik P=0 где V,„={S„ ,дп 1, r2,(R,p,z) = u(R + p/2,zy(R-p/2,zl (1.15) или для (Р r2;1(R,p,z) = (W(R + p/2,zK(R-p/2,z)). (1.16) С учетом (1.12) и (1.13) будем иметь a!(R,z) = (/yt)1V±plnr21(R,p 0,z), (1.17) где i=s или m в зависимости от выбора функции когерентности (1.15) или (1.16).
Отметим, что вектор вида (1.12) впервые, насколько нам известно, было предложено использовать в работе [22] для задач адаптивной оптики, и в работе [97] оценена эффективность его применения. В работе [97] вектора a,(r,z) и ат(г,z)называются «наклонами волнового фронта, усредненными по спеклам». 1.2. Поле направлений среднего вектора Пойнтинга частично-когерентного вихревого пучка и оптический вихрь Скалли
Воспользуемся интегральным представлением (1.5) для однородной среды (#(г) = 0), в котором, кроме того, положим C/2(R ,r ,0) = r24(R,p,0) = M(R + p/2,0)M (R-p/2,0). Как и в работе [79] будем считать источник света квази-монохроматичным и частично когерентным, обладающим лагерр-гауссовым исходным профилем, соответствующим LGl0 моде, и корреляционными свойствами, описываемыми коррелятором Гаусса-Шелла [26]. Это означает, что r21(R,p,0) может быть представлена как R2 }) Г2Д(К,р,0) = \R 2- + l(RxPy-RyPx)QW - - -iL а в пространстве z 0 в соответствии с (1.5) и с интегралом Гюйгенса-Френеля [79] следующим образом г fn а2 \ R2 р2 .Хп] r2;1(R,p,z) = w02—ехр - V + / Rp x a a l 4pa,i g2 L г2 \ о2 4Q a2 Rp rxp-rpx (1.18) XI Г Г1 2 2 _/ 2 2_/ 2 g 2+4« L «-J 4 ,2 g +4« «" «. «. I I «0 «0 J Здесь м- амплитуда поля, ас - поперечный размер когерентности, а - эффективный начальный радиус пучка в исходной плоскости, ае=а\\ + Q"2 + а2) с J РаЛ = ае a 1 + a2 с J -1 2 Г1 В частном случае R = 0 соотношение (1.18) становится проще. -r2,l(0,P,ZJ = M0 exP /7 4РаД _ 4a2 2 / J 2 V а2 4р2а2 \ g + 4— с а-1 a Окружность радиуса а 2ра2 Rpd= 1 (119) «2 ограничивает область положительных значений T21(0,p;z). Величина (1.19) является радиусом кольцевой дислокации [69], одной из разновидностей фазовых сингулярностей комплексной функции r2,1(R,p,z). Подставляя (1.18) в (1.17), и, переходя к цилиндрической системе координат {Я,ф,г}, получим as(RJ,z) = aRer+a (p, (1.20) где ег и е единичные вектора, Д z 2а2 кПсє2 ай = — j1-2L2cL2 z (Rlz2Y 1 + {R/eY\\, (1.21) а =11ЦЩ2 (1.22) радиальная и азимутальная (тангенциальная) компоненты вектора а соответственно, а Q =——, є = е +4а ar2g . Радиальная компонента является одновременно 4z kacl J потенциальной частью вектора as, а тангенциальная компонента - вихревой частью. Применение операции rot к векторному полю (120) дает величину вектора завихренности, который для данного поля имеет единственную компоненту Qz(R,z) = 2[1 + (R/sj\2. (1.23) Откуда следует, что є имеет смысл эффективного размера ядра вихря (завихренности). Введем функцию R T(R,z)=2 jai(R\z)R dR, (1.24) которая будет определять суммарный топологический заряд (суммарную интенсивность вихрей), находящихся внутри круга радиуса R. Согласно теореме Стокса эта величина будет равна циркуляции [52] векторного поля а по окружности, с центром в начале координат. Обозначим циркуляцию поля as по контуру, охватывающему ядро вихря, r(oo,z). Легко получить для завихренности (1.23) R2 K,) z 1 + (R/s2 к 2 2 acg J (1.25) (1.26) Из сравнения (1.22) с (1.25) следует, что (1.27) Y(R,z) ф 2лК Результат (127) может быть получен для произвольного осесимметричного распределения завихренности с использованием решения уравнения Пуассона [52, 79]. Из (1.22) следует, что максимум профиля тангенциальной скорости достигается на радиусе Rm=e. Это значение существенно отличается от величины радиуса кольцевой дислокации в функции пространственной когерентности Rpd (1.19), которая может быть представлена в следующем виде 4а2У 2 2 1 + 4z п; s2+a2g2 v ) a j Отметим, что в соответствии с (1.12), когда интенсивность и фаза в (1.12) оказываются некоррелированными, o,(R,z)= -V,S(r;z). На рисунке 1.1 изображена циркуляция T(R,Z), вычисленная по формуле (1.25). Расчет выполнен для значений продольной координаты z = zd, где zd = ка2 - длина дифракции. Рисунок 1.2 демонстрирует распределение аф по сечению вихревого пучка, если z = zd.
Численная схема на основе метода фазовых экранов (метод Монте-Карло)
Случайные смещения (блуждания) гауссовых лазерных пучков в турбулентной атмосфере хорошо изучены [18, 27]. Эта величина определяется выражением rc(z) = -f fd 2 rI(r,z)r, (2.1) w —00 —00 где I(r,z) - случайное распределение интенсивности в поперечном сечении пучка, 00 00 P0 = \I(p,z)dp. Для расчетов статистических характеристик величины (2.1) используют — 00 —00 численные [20] и аналитические подходы [18, 27]. Будем считать, что среднее по ансамблю реализаций среды значение (rc(z)) = 0 . Будем использовать один из аналитических подходов [21], который базируется на следующем интегральном представлении rc (z) Tc(z) = L\dZ Г \d 2 r(z-AI(rAvirs(rA, (2.2) u 0 —oo —00 где e(x,y,z) - флуктуации диэлектрической проницаемости среды. Представление (2.2) позволяет получить следующее выражение для c = (c ) - дисперсии вектора r c(z), (если (rc(z)) = 0) z 00 00 00 00 exp K -Гз) I , )I , )) s(2.3) P О —оо —оо —оо —оо где Фв(к,) - спектр флуктуаций диэлектрической проницаемости среды. Получило распространение «среднеинтенсивное» приближение, заключающееся в приближенной замене в представлении (2.3) {I{r )I{r2 )) {I{r )){I{r2 )). (2.4)
Это приближение с хорошими результатами [27] применяется для расчетов флуктуаций «центра тяжести» лазерных пучков в случайно-неоднородной среде. Нас не должно смущать, что при распространении в свободной атмосфере интенсивность в центре вихревого пучка обращается в нуль. Формула (2.4) содержит поперечный профиль интенсивности. Этот профиль при включении в пучок оптического вихря, принимает вид пончика [15, 56], демонстрируя перераспределение плотности энергии от центра к периферии. По мере распространения пучка в случайно-неоднородной среде начальное распределение «расплывается», оптический вихрь (с нулем интенсивности в центре) смещается случайным образом с начального осевого положения, оптические вихри с топологическим зарядом / 1 распадаются на совокупность вихрей с / = 1. Тем не менее, среднее распределение интенсивности не достигает нулевых значений ни в одной из точек поперечной плоскости. Используя Фурье-представление для интенсивности I(r,z) = j(K,z)eKrd2K, (2.5) J(K,Z)= L T/(r;z)e-!Kr d2r, (2.6) 4л-2 JJ (J (K,Z) = J(-K,Z)), с учетом (2.4) получим 2= \dt(zf \ р2«Фв(к )с2(У(к,Й (У(-к,Й . (2.7) P02 Для получения функции (J(K,{)) воспользуемся так же, как это было сделано в [21], представлением ( \ ( "О \ \TJ {л С dC\, (2.8) y\K,p,z)=y\ к,р ,0 \ехр \Н р 1 /V ) / ,н к ) \ 4 J [F к{ z где Н(р) описывается формулой (1.4), а y(K,p,z) = TJJril(R,p,z)eH"Rrf2i? (2.9) - спектр функции взаимной когерентности второго порядка T21(R,p,z) (1.15). Очевидно, что первый сомножитель в правой стороне равенства (2.8) представляет собой Фурье-спектр функции когерентности в свободном пространстве, и, что у\ к, ,0 \ = JJK,{) - Фурье-спектр Л к J интенсивности в свободном пространстве (I0{r,z) - соответствующая интенсивность). Тогда вместо (2.8) будем иметь (/(R,z))= fj0(K,z)exp /KR- — \н -—[\- к\ z d\d2K. (2.10) Применяя формулу (2.6), получим лк2)\ KZ(1 С 4 J _ H z j(K,z)) = J0(K,z)eW \- Ы-Щ V " V J \ d\, (2.11) 2.1.2. Численная схема на основе метода фазовых экранов (метод Монте-Карло) Выполним исследования случайных блужданий пучка с помощью численного решения параболического волнового уравнения, с применением метода статистических испытаний на основе метода фазовых экранов [67, 76, 81].
Алгоритмы численного моделирования базировались на методе расщепления по физическим факторам, в рамках которого дифракционная и рефракционная составляющие параболического волнового уравнения, описывающего распространение оптического излучения, разделяются. Также была использована известная двухцикличная схема [67, 76] с квадратичной сходимостью по эволюционной переменной z. Дифракция вычислялась с использованием алгоритма быстрого преобразования Фурье (БПФ) на двумерной сетке. Все преобразования, связанные с рефракцией, соответствовали прохождению излучения через псевдослучайный фазовый экран, статистика которого удовлетворяла условиям атмосферной турбулентности.
Случайные фазовые набеги, вычислялись на дискретной сетке размером 1024x1024 в каждой из десяти равноудаленных плоскостей по следующему правилу: S(p) = FTi/ I S(K_L) ехр [і(р(к± )]} (2.12) где FT - оператор дискретного преобразования Фурье, р(к±) - дельта коррелированные значения дискретной случайной функции, равномерно распределенные в интервале [0, 2л], фя(к±) – двумерный спектр флуктуаций геометрооптической фазы плоской волны, распространяющейся в турбулентной среде на шаге z, который связан с трехмерным спектром флуктуаций показателя преломления среды Фп следующим выражением [29]
Моделирование распространения излучения после прохождения турбулентного слоя в дальнюю зону дифракции осуществлялось с использованием линзового преобразования [93] одним шагом. Для получения статистических характеристик блужданий пучка использовался метод Монте-Карло (метод статистических испытаний). Расчеты для различных типов пучков проводились для одной и той же выборки из 1000 случайных реализаций наборов фазовых экранов. Для каждой реализации определялось положение центра тяжести пучка в конце турбулентного слоя и в дальней зоне дифракции по формуле r0W(z) = LJ Jrf2r/W(r,z . (2.14) U —00 —00 Здесь / (r,z) - распределение интенсивности в поперечном сечении пучка, 00 00 р0 = Г Г l(pfi)d2p. Дисперсия случайных блужданий а] вычислялась стандартным способом —00 —00 из массива отсчетов \&\z\j = 1,2,...,100о}. Число реализаций должно было обеспечивать приемлемую точность расчетов значения дисперсии. Оценки, выполненные на основе математической статистики [23], показывают, что относительное отклонение выборочного значения дисперсии (для 7V=1000) от значения дисперсии при JV -QO составляет приблизительно l/-JN к 0,03. Такая точность является приемлемой, так как целью наших расчетов являлся сравнительный анализ дисперсии блужданий пучков с различной конфигурацией.
Орбитальный угловой момент лазерного пучка. Основные определения
Отношение дисперсий случайных блужданий лагерр-гауссова пучка ( т;ш ) к дисперсии блужданий гауссова пучка ( ос G )в зависимости от топологического заряда LG пучка, приведено на рисунке 2.10. Здесь также приведены результаты соответствующего расчета, выполненного по формуле (2.29). (б) и рисунок 2.10 демонстрируют хорошее совпадение между зависимостями, полученными на основе полуаналитического подхода (2.29) и с помощью численного эксперимента. Рисунок 2.10. Отношение дисперсий блужданий пучка Лагерра-Гаусса о2сШ с топологическим зарядом / и гауссова пучка с нулевым топологическим зарядом rcG в конце турбулентного слоя на дистанции z = 0,55zd . Интенсивность турбулентности $ = 0,21 (радиус Фрида г0,и = 3,53 ). Малые кружки - результаты вычислений по формуле (2.29); большие кружки результаты численного эксперимента.
Далее на рисунке 2.11 и рисунке 2.12 показаны результаты расчетов дисперсии блужданий пучков Лагерра-Гаусса с равными азимутальными, но различающимися радиальными индексами. Оказывается, что пучок Ш13 с большим радиальным индексом блуждает слабее пучка LGl0. Подобная закономерность выполняется для ситуации, когда плоскость наблюдения находится как в пределах турбулентного слоя, так и за слоем. По-видимому, это обусловлено тем, что пучок с большим радиальным индексом имеет больший поперечный размер [95] и поэтому диапазон размеров неоднородностей показателя преломления, приводящих к блужданию пучка, оказывается более узким. Отметим, что ка2 z/zd = Q"1 , где Q = параметр Френеля, определяющий режим дифракции на передающей z апертуре [29]. Уменьшение величины блужданий с ростом координаты точки наблюдения на оси абсцисс на рисунке 2.12 связано, по-видимому, с тем, что флуктуации фазы пучка, накопленные в турбулентном слое, сглаживаются за счет дифракции лазерного пучка за слоем.
На рисунках 2.13 и 2.14 приведены зависимости дисперсий блуждания лагерр-гауссова лазерного пучка и doughnut hole beam. Особенности распространения пучков такого вида, пространственные распределения их интенсивности с ростом эволюционной координаты z должны, как предполагалось в разделе 2.2.2, привести к тому, что DH пучок будет блуждать сильнее, чем пучок Лагерра-Гаусса. Как следует из рисунков, результаты численного моделирования процесса распространения пучков в турбулентной атмосфере подтверждают сделанные ранее предположения. Действительно, начиная со значений эволюционной переменной z/zd \, LG пучок блуждает под действием крупномасштабных неоднородностей показателя преломления слабее, чем DH пучок. Рисунки 2.13 и 2.14 демонстрируют также, что с увеличением внешнего масштаба турбулентности блуждания обоих пучков, как и фундаментального гауссова пучка [54], возрастают.
В результате численного эксперимента нами показано, что случайные блуждания фундаментального гауссова пучка превосходят величину блужданий LG пучка, для не равного нулю топологического заряда последнего (азимутального индекса пучка). Случайные блуждания DH пучка превосходят величину блужданий LG пучка, если выполняется дифракционное условие z/zd \. Дисперсия блужданий уменьшается, если величина
топологического заряда вихря, который несет пучок, становится больше. Дисперсия случайных блужданий LG пучка уменьшается также, если радиальный индекс пучка возрастает или, если внешний масштаб турбулентности уменьшается.
Большую устойчивость вихревого пучка к воздействию случайных атмосферных неоднородностей показателя преломления по сравнению с пучками, не обладающими сингулярной фазой, можно интерпретировать, на наш взгляд, следующим образом. При распространении пучка с кольцевым распределением интенсивности, не обладающим вихревой фазой, дифракция приводит к появлению пика интенсивности на оси пучка. Для пучка с тем же распределением интенсивности, имеющим начальную вихревую фазу, данный эффект отсутствует и его форма остается кольцевой. То есть, на трассе распространения вихревые пучки имеют больший поперечный размер, чем пучки с безвихревой фазой, а дисперсия смещения центра тяжести пучка в турбулентной среде уменьшается с ростом его поперечного размера. (б)
В настоящем разделе предполагается провести сравнительный анализ дисперсий блужданий пучков разного типа и выявить тип пучка, который наиболее устойчив к воздействию случайных неоднородностей показателя преломления. Блуждания LG пучка мы будем сравнивать с блужданиями модифицированного бессель-гауссова (BG) [66] и гипергеометрического Гауссова (HG) [63, 78] пучков.
Будем рассматривать следующие вихревые пучки: обобщенный Лагерра-Гаусса (2.28), BG пучок ива , ч 1 \ш\т(р2а2У \ P2a2\T(Q, \ г2 7 1 a V с и HG пучок (г,(9,0) = - — 7, — ехр - /Д г)ехр --т + // з (2.30) а V с I 2 J 4 2а 2?+И 2 ttgofcl ,0) = -J— // J-1 expJ—Ц + // з1 (2.31) где /,(/&) - модифицированная функция Бесселя [34], q - параметр пустотелости, а р радиальная частота. Для определенности будет считать, что l 0. Для сравнения блужданий всех трех пучков предположим, что параметры a и l у них совпадают, а для задания оставшихся параметров найдем и приравняем эффективные размеры пучков в начальной плоскости. Очевидно, что все пучки будут обладать одинаковыми орбитальными угловыми моментами [53, 68, 94].
Зависимость дисперсии флуктуаций орбитального углового момента гауссова пучка от разъюстировки передающей и приемной систем
Алгоритмы численного моделирования, как и во второй главе, базировались на методе расщепления по физическим факторам. Случайные фазовые набеги, вычислялись на дискретной сетке размером 1024x1024, в каждой из десяти равноудаленных плоскостей.
Для получения статистических характеристик орбитального углового момента использовался метод Монте-Карло (метод статистических испытаний). Для многократного ускорения расчетов применялись методы параллельного программирования на основе технологии NVidia CUD А [77]. Расчеты для различных типов пучков проводились для одной и той же выборки из 4000 случайных реализаций наборов фазовых экранов.
При вычислении градиентов использовалось определение численной производной по пространственной координате через центральную разность где функция f(r) = S(r), а значения смещений Ax и Ay равнялись шагу вычислительной сетки по направлению осей Ох и Оу, соответственно.
При вычислениях производных фазы данный подход потребовал дополнительных мер регуляризации. Это связано с тем, что в численных расчетах вычисляется главное значение аргумента комплексного поля arg[w(r,z)], приведенное к интервалу [-ж, ж]. В этом случае на плоскости, в которой определяется фаза, появляются линии, на которых фаза испытывает разрыв (скачок), равный ±2тг. Следовательно, если значения фазы в (3.57) окажутся по разные стороны от этой линии, то значение градиента будет вычисляться с ошибкой, равной ±2л;/2х или +27Г/2У. Подобная проблема возникает при решении задач восстановления фазы в радиофизике и оптике (Phase Unwrapping) и успешно решается [70]. Мы для этого в расчетах использовали следующее выражение при вычислении частных производных фазы частная производная фазы по y вычисляется с помощью формулы (3.58), в которой переменная x заменена на y. В самом центре оптического вихря, где фаза не определена, специальной регуляризации производных и не требуется, так как за счет нулевой интенсивности в центре вихря происходит коррекция погрешности вычисления производных фазы при расчетах интеграла (3.56).
Преимуществом выражения (3.58) является то, что изменение среднего параболического фронта поля не вносит ошибки в определение градиентов фазы, так как центральная разность дает точное значение градиента для параболической фазы. При численном вычислении градиента фазы через градиенты вещественной и мнимой частей поля возникает ошибка, связанная с параболичностью средней фазы, и эта ошибка тем больше, чем больше кривизна среднего фронта.
Данный вывод подтверждается численными результатами. В расчетах задавалось вихревое поле с заданным топологическим зарядом (от нуля до 15). Для плоской начальной средней фазы численно вычислялся угловой момент начального поля. Погрешность расчетов не превышала долей процента. Далее к начальной фазе поля прибавлялась параболическая фаза (физически это соответствовало прохождению данного поля через фокусирующую или дефокусирующую линзу) и выполнялся расчет углового момента.
Для каждой реализации определялось значение орбитального углового момента в конце турбулентного слоя и в дальней зоне дифракции по формуле
Среднее по реализациям вычислялось стандартным способом из соответствующих tW(i ,z),[zW( ,z)n, у = 1,2,...,4000. Предполагалось, что турбулентность на трассе статистически однородна (d= const). Интенсивность турбулентности задавалась, как 11 5 к2гС2у и в главе 2 с помощью комплексного параметра Д2 =1,23C2A:6z6 или г0п =1,68 радиуса Фрида, нормированного на эффективный радиус гауссова источника a. 3.3.2. Статистическое среднее и дисперсия флуктуаций ОУМ. Численный эксперимент и асимптотические оценки Известно [83], что смещение оси измерительной системы относительно оси лазерного пучка может существенно влиять на величину орбитального углового момента. Ввиду того, что оценка влияния величины IRJ на статистические характеристики ОУМ в турбулентной среде приведена в разделе 3.2.1, сосредоточимся на ситуации, когда в отсутствие турбулентных неоднородностей центр приемной системы совпадает с осью лазерного пучка, т.е. RC = 0.
Будем считать, что необходимая юстировка приемо-передающей системы может быть достигнута с помощью системы адаптивной оптики. Очевидно, что такая система должна быть более простой, чем система, предложенная в [86] для коррекции искажений в линии связи, работающей по принципу мультиплексирования с разделением по модам.
Для минимизации погрешности вычислений добивались выполнения с приемлемой погрешностью «законов сохранения» 00 00 00 00 J \{l(r,z))dr = J J/(r,z)fr = Р0, (3.62) —00—00 —00—00 (40,) = 4(0,0). (з.бз) Закон сохранения (3.62) общеизвестен [29], равенство (3.63) доказано в предыдущих разделах данной главы. Значения среднего ОУМ в случае гауссова пучка (/=0) равны нулю. Результаты проверки выполнения закона сохранения (3.63) в нашем численном эксперименте, начиная с 1=1, приведены в таблице 1, где представлены значения относительной погрешности вычисления среднего значения ОУМ лазерного пучка на выходе из турбулентного слоя. Видно, что в широком интервале значений ОУМ погрешность не превышает 1,2% , даже для режима умеренной турбулентности А0 =3,8. Отметим, что при расчетах по формуле (3.4) погрешность вычислений достигала 5-8% для тех же ситуаций.