Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Статистическое основание уравнения фурье-спектроскопии и некорректность традиционного подхода 6
1.1. Прямая и обратная задачи фурье-спектроскопии.. 28
1.2. Исследование основного уравнения фурье - спектроскопии 32
1.3. Спектральное и корреляционное окна в фурье-спектрометре 38
1.4. Эффект доплера в фурье-спектрометре динамической структуры 47
1.5. Основное уравнение фурье-спектроскопии в стати ческих структурах фс. 57
1.6. Фурье - преобразование в фурье - спектроскопии ив фурье-оптике ...v.. 61
1.7. Фурье-спектрометр и оптический фурье- процессор 64
1.8. Фурье-спектроскопия как обратная задача оптики.Интегральное уравнение фурье - спектроскопии 65
ГЛАВА 2. Оптимальная обработка информации в фурье-спектроскопии с фиксированным планом 74
2.1. Исследование оптимальных алгоритмов обработки интерферометрической информации 74
2.2. Априорная информация и модельный подход 84
2.3. Гармоническая модель 85
2.4. Несогласованные или слабые гармонические модели. Вторичная обработка информации 88
2.5. Негармоническая модель .97
2.6. Оценка максимального правдоподобия частоты и амплитуды монохроматического излучения в фурье-спектрометре 99
2.7. Контурная модель. Оценка полуширины лоренцева контура по
2.8. Модели финитных спектров. Собственные функции преобразования фурье.. 118
2.9. Модели авторегрессии и скользящего среднего 136
Глава 3. Проблемы оптимального формирования и обобщенной обработки информации 148
3.1. Концепция планирования эксперимента 148
3.2. Априорная информация и планирование фурье-спектроскопического эксперимента 152
3.3. Основная схема планирования регрессионного эксперимента 162
3.4. Оптимальный закон сканирования .166
3.5. Оптимальное обнаружение оптических сигналов с использованием фурье-спектрометра 169
3.6. Оптимальный светофильтр в системах обнаружения оптического излучения 180
3.7. Обнаружение оптического векторного сигнала 189
ГЛАВА 4. Спектрально-пространственная двойственность приизмерении оптических полей и сигналов в фурье -спектроскопии 195
4.1. Спектрально-пространственные оптические поля как объекты случайных полей 195
4.2. Геометрический фактор и пространственное разрешение в фурье-спектроскопии 202
4.3. Проблемы создания единой спектрально-пространственной модели оптических полей 204
4.4. Спектрально-пространственные измерения в фурье-спектроскопии,... 206
4.5. Модели спектральных и пространственных характеристик объектов и фонов 209
4.6. Проблема создания спектрально-пространственных баз данных 218
4.7. Спектральное представление стационарных случайных процессов 220
4.8. Спектральное представление нестационарных случайных процессов 229
ГЛАВА 5. Исследование фазовых ошибок, шумов и флуктуациив фурье-спектрометре 237
5.1. Фазовые ошибки в фс 237
5.2. Флуктуации оптической разности хода .260
5.3. Шумы фотоприемного устройства 267
5.4. Флуктуации фотонов в исследуемом излучении и дробовые шумы регистрации 271
5.5. Флуктуации считывающего когерентного излучения в оптическом процессоре .274
5.6. Измерение фазового спектра двухлучевого отражения , 275
Выводы 278
ГЛАВА 6. Фурье-спектрометр с оптическим преобразованием фурье 279
6.1. Фурье- спектрометр с оптическим процессором 279
6.2. Фурье-спектрометр с использованием эшелона майкельсона 289
6.3. Фурье-спектроскопия с использованием псевдоэшелона майкельсона 291
6.4. Статический фурье-спектрометр дифракционной структуры 301
ГЛАВА 7. Теоретические основы синтеза фурье - спектрометров 311
7.1. Интерференционные и альтернативные принципы развития фурье-спектрометрии 311
7.2. Интегрально-дифференциальные преобразования интерференционно-дифракционного типов - основные средства кодирования спектра в фурье-спектрометрах 313
7.3. Объединение статистических методов фурье-спектроскопии, фурье-оптики и теории случайных полей 316
Выводы 323
Заключение 324
Литература 329
- Исследование основного уравнения фурье - спектроскопии
- Априорная информация и модельный подход
- Априорная информация и планирование фурье-спектроскопического эксперимента
- Геометрический фактор и пространственное разрешение в фурье-спектроскопии
Введение к работе
Статистическая фурье-спектроскопия (ФС) представляется относительно новой теорией по сравнению с такими дисциплинами как статистическая физика, статистическая оптика, статистическая радиофизика. Вместе с тем отдельные разделы этого направления в той или иной степени касаются, примыкают или присутствуют в этих фундаментальных статистических теориях. В настоящее время назрела необходимость выделить в отдельную концепцию аксиоматику, методы и средства вероятностно-статистического подхода к оптическому спектральному анализу и, в частности, к спектроскопии и спектрометрии с использованием преобразования Фурье для получения закодированной промежуточной информации и последующего обращения ее в спектральные оценки.
Для адекватного определения этого нового направления и его места среди упомянутых статистических теорий целесообразно коротко остано виться на сущности и содержании статистической оптики, в которую ста тистическая фурье-спектроскопия должна входить и вписываться как естест венная составная часть. V Статистическая оптика изучает стохастические свойства световых полей и особенности взаимодействия их с веществом. Статистический характер световых полей является следствием сложения полей большого числа хаотически распределенных в пространстве и не связанных между собой (детерминированно) атомов и молекул, которые являются генераторами случайных колебаний. Кроме того, случайность колебательных и волновых процессов обусловлена случайными неоднородностями среды распространения и рассеянием на частицах со случайными траекториями.
В зависимости от концепции описания и методов и средств исследования внутри статистической оптики сформировались два направления: классическая и квантовая статистическая оптика.
Классическая статистическая оптика как и статистическая радиофизика (а также статистическая радиотехника) базируются на классической электродинамике и на представлении электромагнитных (ЭМ) полей как совокупности элементарных полей со случайными амплитудами, частотами, фазами и состоянием поляризации. При этом в классической статистической оптике более полно представлены задачи, связанные с пространственными флуктуа-циями излучения. Различные ее разделы такие, как интерференция и дифракция немонохроматического излучения, рассеяние в дисперсных и турбулентных средах и ряд других направлений были на определенном этапе объединены в теории когерентности, исследующей вероятностные характеристики световых полей в различных наборах пространственно-временных точек на уровне моментов до второго порядка включительно.
Квантовые генераторы и усилители со специфическими статистическими свойствами сред, а также методы и средства голографии и нелинейной оптики, квантовых и фотонных флуктуации в совокупности с проблематикой регистрации фотонов относятся к квантовой статистической оптике и интенсивно изучаются, начиная с момента разработки лазеров.
Классический и квантовый разделы статистической оптики развиваются в значительной степени независимо и вместе с тем, существенно дополняя друг друга, нуждаются в нетривиальном объединении, в частности, по таким направлениям, как описание функции когерентности высших порядков, функции распределения состояний и вероятностных моментов, кооперативные и модуляционные процессы в излучателях и средах, оптических резонаторах и волноводах.
Большое теоретическое и прикладное значение индивидуальных и совместных исследований обоих направлений статистической оптики имеет определение минимальных уровней флуктуации лазерного излучения, представляющих собой физический предел, а также исследование возможности и целесообразности его достижения. Последнее особенно актуально для спектроскопических задач.
Наряду с электродинамическим и квантовым направлениями статистической оптики очевидна общность последней со статистической радиофизикой в ее широком смысле: исследование флуктуации в колебательных и волновых генерируемых и фоновых процессах, сохранение и нарушение принципа суперпозиции сигнальных и шумовых составляющих и их канонических (спектральных) компонент. Практическое значение результатов и рекомендаций обеих теорий в отдельности и в совокупности их подходов отчетливо наблюдается в таких приложениях, как локация, навигация, связь, системы управления, поиска, контроля, патрулирования и в других областях, где используется электромагнитные поля оптического или радиодиапазонов.
Статистическая фурье-спектроскопия является составной частью статистической оптики. Обладая всеми признаками последней, СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФУРЬЕ-СПЕКТРОСКОПИЯ в собственном смысле выступает как теория вероятностного представления и статистического оценивания спектрального разложения случайных полей напряженности, интенсивности и интерференции электромагнитного излучения оптического диапазона с использованием в качестве базового преобразования Фурье. Это определение охватывает, вообще говоря, и классическую, и квантовую статистическую трактовку.
В настоящем исследовании более наглядной представляется классическая интерпретация оптического излучения, хотя связь с квантовой концепцией и разработка соответствующих спектральных разложений потоков фотонов могут быть естественно осуществлены без каких-либо ІфИНЦИПИ-альных трудностей, исходя из корпускулярно-волнового дуализма и на физическом, и на статистическом уровнях. Статистический уровень этого дуализма обеспечивается очевидной связью и взаимно обратным преобразованием непрерывных случайных процессов и случайных дискретных ( импульсных) последовательностей.
Общность спектральных разложений случайных процессов и случайных последовательностей при некоторых естественных условиях непрерывности, дифференцируемости и существовании первых двух моментов обеспечивается еще одним фундаментальным условием - стационарностью вероятностного описания непрерывного и дискретного представлений. В последнем варианте важно подчеркнуть произвольный характер индивидуального события дискретного описания, в частности, волнового процесса, характеризующего фотон или разновидности фотонов: эти элементарные описания могут быть случайными или детерминированными, но моменты наступления этих индивидуальных событий с необходимостью должны быть случайными и стационарными.
Фурье-спектроскопия является одним из наиболее эффективных ме- (\ тодов оптического спектрального анализа, особенно, в ИК области спектра. Об этом свидетельствуют многочисленные примеры успешного использования фурье-спектрометров для решения самых разнообразных задач спектроскопии, а также большой набор соответствующих приборов, выпускаемых различными фирмами в Европе, США и в других странах, а также отечественные разработки [1-15].
Имеются большие перспективы для внедрения ее в видимую и ультрафиолетовую области спектра, а также для решения различных геофизических и космических экспериментов [6,15-26]. Вместе с тем, для дальнейшего развития этого направления необходимы анализ и исследования основных теоретических положений, на которых базируется все здание фурье-спект-
0> о'::>( - J. ' і роскопии. В существующей теории имеется ряд противоречий, приближений/ и неточностей, которые не позволяют сделать вывод о том, что основы фурье| спектроскопии в настоящее время сформулированы окончательно. v
Фурье-спектроскопия начинается с обоснования основного уравнения о связи интерферограммы и искомого спектра [2-5]. Традиционно вывод этого уравнения опирается на фундаментальную теорему Винера-Хинчина о спект- ральном представлении случайных процессов, которыми являются электрическое и магнитное поля напряженностей оптического излучения, т.е. использует вероятностную основу. Хотя эта основа безупречна сама по себе, она все же не может быть использована в реальном спектроскопическом эксперименте, так как интерферометр не дает нам для процессорной обработки автокорреляционную функцию полей напряженности [27-33], как это почти повсеместно утверждается [7-14].
Отождествлять интерферометр с коррелятором можно лишь с определенным статистическим приближением [34]. Действительно, интерферограм-ма есть не автокорреляционная функция, а лишь ее оценка. Это уточнение решающим образом сказывается на выводе самого основного уравнения фурье-спектроскопии, методах его решения, свойствах полученных оценок спектра и всех дальнейших следствиях в части оптимальной обработки, методах повышения разрешения и др. Как будет показано, имеет место явное противоречие традиционного обоснования ФС и математической статистики.
Кроме того, получаемые оценки автокорреляций содержат неизбежные шумы приемника и флуктуации сканера. Таким образом, фурье-спектроско-пия с необходимостью должна рассматриваться как статистическая теория, так как флуктуации и шумы органически проникают в интерферограмму и присутствуют в ФС-эксперименте и как полезная, и как мешающая информация.
Естественно, что это направление следует рассматривать как раздел статистической оптики [35-37], которая сама находится в состоянии интенсивного развития и постоянно пополняется новыми направлениями. Таким образом, весьма актуальными являются разработка и создание основ статистической фурье-спектроскопии, под которой следует понимать синтез физической оптики, в части интерферометрии, и статистики случайных процессов и случайных полей, которыми описываются случайные колебания и волны при спектральном представлении и анализе оптического излучения [34].
Наряду с этими основными статистическими аспектами фурье-спект-роскопии важно также рассмотреть вероятностно-статистическое описание самого спектрального представления оптического излучения, абстрагируясь в определенном смысле от самого спектрального анализа. Другими словами, речь идет о предмете исследования в фурье-спектроскопии и в спектроскопии вообще. Необходимо четко сформулировать и ответить на вопрос: "Что такое спектр?". Несмотря на то что спектрам и анализу посвящено большое число работ [27-33,35-37], многое остается невыясненным До конца при спектральном анализе случайных процессов любой информационной природы и, в частности, оптических случайных процессов.
Здесь стоит напомнить о тех трудностях такого эффективного аппарата, каким является преобразование Фурье, которые возникают при его использовании для случайных процессов и случайных полей [27,30-40]. Теорема Вине-ра-Хинчина и законность канонического спектрального представления предполагают стационарность случайного процесса, хотя бы в широком смысле. Такие процессы определены на бесконечном интервале. Они не являются абсолютно интегрируемыми и поэтому интеграл Фурйье-Римана к ним не применим и теорема Винера-Хинчина относится к спектральным разложениям энергетических (мощностных) характеристик. В то же время, в исследованиях по фурье-спектроскопии и физической оптике, например, при классическом максвелловском подходе, спектральные разложения ЭМ полей широко используются, что на самом деле является формальным приемом. Такими спектральными разложениями оперируют при решении различных задач, хотя самого преобразования Фурье таких случайных инфинитных процессов, т.е. имеющих бесконечный интервал определения, не существует.
Преодолеть это противоречие можно на пути использования интеграла Фурье-Стильтьеса или какого-либо его аналога [43-45]. При этом сразу следует оговорить тип сходимости выбранных спектральных разложений. Разнообразие возможных разложений приводит к неоднозначности и возможной нестыковке результатов, если строго не оговаривается и последовательно не поддерживается тип сходимости.
Подробное рассмотрение спектрального анализа собственно самих реализаций напряженностей полей - это специальная задача и она выходит за рамки наших проблем и относится к проблематике основ самой оптики в электромагнитном максвелловском подходе. В общей концепции статистической ФС важно подчеркнуть, что спектральное представление возможно и для самих реализаций [45], вопреки тем критическим суждениям, которые вообще отрицают спектральное представление реализаций, оставляя эту возможность только для энергетических (квадратичных или билинейных) характеристик.
Успехи ФС хорошо известны. Они же, в свою очередь, порождают и новые задачи. Круг традиционных научных и технических задач и многочисленных приложений также достаточно широк. Интерферометрическая основа, общая для различных типов приборов этого класса, является также статистической основой для их совместного исследования в части формирования интерферограмм, их спектрального представления и обращения. По этой причине многие принципиальные результаты, полученные здесь для ФС, могут быть непосредственно использованы или модифицированы для других типов интерференционных спектральных приборов.
Эти приборы обладают комплексом совместно высоких ключевых параметров: светосилой, мультиплексностью и рядом других, обеспечивающих их преимущество по чувствительности, разрешению и т.п. над дифракционными, призменными и другими спектрометрами [2-15].
Вместе с тем, для более широкого научного и прикладного внедрения ФС необходимо решить ряд серьезных проблем в части разработки новых ФС-структур, схем и систем интерферометров и их сопряжения с ЭВМ, математического, программного и аппаратного обеспечения, формирования и обработки интерферометрической и спектральной информации.
Вместе с тем, для более широкого научного и прикладного внедрения ФС необходимо решить ряд серьезных проблем в части разработки новых ФС-структур, схем и систем интерферометров и их сопряжения с ЭВМ, математического, программного и аппаратного обеспечения, формирования и обработки интерферометрической и спектральной информации.
Кроме того анализ состояния и тенденций теории и приложений фурье- спектроскопии ставит ряд дополнительных и принципиальных проблем по существу этого направления в оптическом спектральном анализе. Традици онные трактовка и обоснование фурье-спектроскопии оказываются несосто ятельными и это относится прежде всего к физико-математическим основам кодирования и декодирования спектральной информации, т.е. к выводу и / использованию ОСНОВНОГО УРАВНЕНИЯ ФС, связывающего формируемую интерферограмму и искомый спектр. ^/
Сопоставляя фурье-спектроскопию со статистическими теориями получения, преобразования и передачи информации с использованием оптической несущей или, более широко, электромагнитного поля в оптическом диапазоне длин волн, мы неизбежно приходим к необходимости и возможности создания основ статистической фурье-спектроскопии по образу и подобию и по аналогии со статистической радиофизикой и статистической оптикой [41-44].
Исследование основного уравнения фурье - спектроскопии
Теория фурье-спектроскопий содержит ряд противоречий при обосновании основного уравнения, которое описывает сявзь интерферометричес-кой и спектральной информации. При выводе этого уравнения традиционно используется схема допущений, приемов и следствий, которые входят в противоречие с физической оптикой и математической статистикой. В практическом плане эти противоречия содержат ряд аспектов: некорректность рекомендаций теории по получению неограниченно большого разрешения за счет увеличения интервала оптической разности хода; неоптимальный выбор параметров интерферометра и процессора и игнорирование совместного и противоречивого влияния ошибок смещения « и дисперсии на критерий оптимальности; нереализованность теоретической разрешающей способности при использовании методов преобразования Фурье. Эти противоречия необходимо разрешить для использования традиционных и разработки современных методов спектрального анализа в фурье-спектроскопии. Здесь будет дано обоснование методов фурье-спектроскопии, использующих преобразование Фурье, а также другие подходы, позволяющие повысить разрешение. При выводе основного уравнения фурье-спектроскопии (ФС) традиционно дается интерпретация интерферограммы как автокорреляционной функции напряженности электромагнитного поля источника [2-4]. Следующим шагом является использование преобразования Фурье в виде теоремы Вине-ра-Хинчина для связи с искомым спектром. Этим переходом от пространства интерференции к пространству источников делается неявное признание случайного характера оптического излучения, что само по себе является тривиальным.
Сам искомый спектр, таким образом, должен рассматриваться как детерминированная функция случайного оптического излучения. Помимо этого формального обоснования случайности оптического излучения стохастический характер оптических полей надежно подтверждается классической и квантовой оптикой [1,15,63,81]. Отсюда следует, что ФС должна использовать аппарат преобразования Фурье (ПФ) для анализа и статистических выводов из данных пространства интерференции в строгом соответствии с рекомендациями статистики случайных процессов. Ключевой проблемой спектрального анализа случайных процессов в общем случае и в ФС является несостоятельность оценок спектра, которые получаются в результате использования ПФ оценки автокорреляционной функции (АКФ), а также противоречия совместного снижения смещения и дисперсии оценок спектральной плотности мощности (СПМ). В многочисленных исследованиях по ФС эти вопросы не рассматриваются. Таким образом, пересмотр вывода основного уравнения ФС и его корректное обоснование оказывается весьма актуальным и в плане интерпретации интерферограммы, и для выбора базовых параметров ФС и анализа устойчивости интерферограмм и спектрограмм. Оптическое излучение макрообъектов, т.е. совокупности большого числа микрообразований является результатом сложения или смешения некоррелированных актов перехода между разрешенными стационарными состоя ниями. Результирующая векторного сложения большого числа полей со слу чайными амплитудами, фазами, поляризацией и другими параметрами может быть описана адекватным образом только случайным процессом с соответст вующей вероятностной мерой [82-89]. Большинство оптических излучателей представляют собой источники случайных полей. Сказанное в полной мере относится и к процессам поглощения света. Случайное описание охватыва ет некогерентное, частично когерентное и даже когерентное излучение. Последнее в определенных случаях может быть выделено в класс детер минированных источников. Таким образом, первичное поле - поле напряженностей электрического и магнитного векторов могут и должны быть описаны случайной функцией времени. Спектральное разложение случайной функции может быть осуществлено различными способами, используя, например, каноническое разложение Колмогорова, разложение Винера-Хинчина, разложение по собственным значениям матрицы автокорреляций и другие представления [82-86]. Большое распространение в приложениях, как известно, получило разложение Винера-Хинчина, которое традиционно используется в ФС. Однако, хотя ПФ связывает АКФ и СПМ безукоризненно точно (эта связь является математическим тождеством), сама теорема относится к проблематике теории случайных процессов, построенных на соответствующих вероятностных аксиомах, и основывать на ней процедуру оценивания СПМ по той или иной оценке АКФ можно только при специальном обосновании. Если в качестве ИГ берется широко распространенная оценка АКФ типа временного среднего произведения сдвинутых полей (в частности, полей концевых зеркал интерферометра Майкельсона), а именно к этому сводится традиционный анализ интерференции в ФС, то интуитивно примененная процедура обратного ПФ приводит к оценке типа периодограммы[27-39]. Как известно, периодограмма является несостоятельной оценкой, флуктуирующей около среднего значения, асимптотически приближающегося к истин ному спектру, однако, с разбросом, имеющим порядок самого спектра [30-34]. Это делает оценку обратного ПФ неприемлемой для отыскания СПМ оптического излучения.
В статистике случайных процессов предложены и обоснованы методы сглаживания этих флуктуации оценки СПМ: корреляционное или спектральное окна. Это означает, что используя оценку АКФ в том виде, в котором она представляет ИГ при традиционном обосновании ФС, без постановки и разрешения проблемы состоятельности, невозможно проводить обоснованный спектральный анализ. Практика ФС не обнаруживает больших флуктуации оценки ИГ, так как оценки ИГ типа АКФ являются состоятельными. Но, что удивительно, не обнаруживаются также флуктуации оценки СПМ, которые предсказываются статистической теорией. Предвосхищая последующий анализ, можно сказать, что в интерферометре Майельсона, включая в него регистрирующую систему, происходит сглаживание оценок СПМ типа периодограмм. Эта устойчивость имеет место как при накоплении ИГ или оценок СПМ, что само по себе приводит к сглаживанию и было бы тривиальным объяснением, так и для оценок по единичной ИГ. Ниже будет дан анализ этого расхождения положений теории (статистики случайных процессов) и практики ФС, который одновременно позволит получить новое - обоснованное основное уравнение фурье-спектроскопии.
Априорная информация и модельный подход
Обратное преобразование Фурье в цифровом процессоре ФС применяется, как правило, как прямая альтернатива прямому, имеющему место в интерферометре. Априорная информация при этом либо отсутствует, либо используется только на этапе обработки, например, параметрические модели контуров Лоренца, Гаусса и др. В этом случае имеются черты активного подхода к статистическим методам оптического спектроскопического эксперимента. Это можно рассматривать как первый шаг к планированию ФС-экспе-римента, направленному на улучшение полученных оценок спектра (улучшение таких параметров, как отношение сигнал/шум, разрешение, быстродействие и др.). При модельном подходе в спектральном анализе алгоритм ОДПФ, как правило, уступает свое место другим преобразованиям в классе оптимальных. Некоторые критерии могут быть объединены в группы эквивалентных, характеризующихся одинаковой эффективностью. Так например, в планировании статистического эксперимента разработана теория эквивалентности, имеющая важное значение для выбора конкретного критерия из группы. Критерии имеют различные алгоритмы реализации, т.е. процедуры обработки и выбор наиболее удобной вычислительной последовательности операторов завершает процесс формирования программного обеспечения. В теории оценивания, появившейся раньше статистического планирования и в настоящее время существующей в виде самостоятельного направления, категория эквивалентности выражена в заметно меньшей степени.
Алгоритмы метода наименьших квадратов, метода максимального правдоподобия, теории статистических решений и другие подходы отнюдь не всегда могут быть приведены к стадии однозначного сопоставления. В этом случае выбор алгоритма и критерия должен опираться на специфику ФС-эксперимента и на усмотрение пользователя спектрометрической информации. Отметим возможные модели источника, которые можно положить в основу классификации априорной информации для задач фурье-спектрос-копии. В дальнейшем они будут фигурировать также при анализе возможностей и ограничений оптимального планирования: гармоническая, контурная, одиночный лоренцев или гауссов контур или набор таких контуров, т.е. трех-параметрические контуры, монохроматическая линия с неизвестной частотой и амплитудой, конечный набор таких линий, негармоническая модель дискретных ( неэквидистантных) линий, модель авторегрессии, модель скользящего среднего, комбинированная модель авторегресии - скользящего среднего. Этот перечень моделей может быть продолжен. Гармоническая модель означает, что спектр состоит из отдельных линий, расположенных на равном расстоянии друг от друга, т.е. из эквидистантных гармоник. Ширина линий предполагается равной нулю, т.е. контуры всех линий описываются дельта-функцией или настолько узкими контурами, что на физическом уровне описания ширина не отличима от нуля. Амплитудное распределение спектра, естественно, может быть любым и его определение составляет задачу спектрального анализа для этой модели. Как показано в разделе 2.1 гармоническая модель и обратное дискретное преобразование Фурье идеально подходят друг для друга. Оценки спектра обладают такими важнейшими свойствами, как несмещенность и эффективность, т.е. имеют минимальный объем эллипсоида ошибок. Сказанное обосновывается математически как соответствующие теоремы.
Для физической интерпретации этих положений важно дать дополнительный ракурс этим утверждениям, из которых сразу следует, в частности, бесполезность и даже недопустимость такой широко распространенной процедуры, как аподизация интерферограмм перед их обращением в спектрограммы для гармонической модели. Действительно, при ОДПФ из всей аппаратной функции выбираются лишь такие дискретные значения, которые соответствуют максимальному отсчету этой функции, однозначно и линейно связанному с амплитудой каждой из "накрываемых" гармоник, и всем нулевым отсчетам, которые укладываются в область определения частот спектра. Чтобы убедиться в этом, достаточно рассмотреть расстояние между максимумом и нулями функции типа SINC, которой описывается аппаратная функция ФС, не искаженная какой-либо аподизацией где Т-полуширина двусторонней ИГ, coo-угловая частота линии. Отсчеты оценок спектра при использовании ОДПФ будут располагаться Очевидно, что все отсчеты спектрограммы для одной линии кроме максимального будут равны нулю. Отсчеты спектрограмм любых других линий при гармонической модели обладают такими же свойствами, т.е. они не искажают максимальные отсчеты каждой линии, так как нулевые отсчеты приходятся на максимальные, а максимальные - на нулевые.
Поэтому оценки любых совокупностей линий гармонической модели и являются несмещенными. Из сказанного следует также важнейшая рекомендация по организации ФС-эксперимента: длина интерферограммы (одно- или двусторонней) должна быть согласована с ключевым параметром гармонической модели - периодом самой модели Af: Т о Af, 2Т Af = 1.. Это условие может быть названо условием согласованности параметров гармонической модели и параметров ФС-эксперимента (параметров ОДПФ). Ниже будет дано расширение алгоритма ОДПФ на случай несогласованности этих параметров, а также применительно к "слабой" гармонической модели, когда дискрет по частоте алгоритма ОДПФ оказывается больше, чем минимальное расстояние между линиями, совместно попадающими в этот интервал, т.е. неразрешаемые собственно ОДПФ. Для гармонической модели важно также такое ее свойство, как детерминированность функций, описывающих излучение, т.е. поля не должны иметь каких-либо свойств из категории "случайные ". Поля должны меняться по синусоидальному закону и не иметь случайной модуляции амплитуды и фазы, хотя бы на уровне физической строгости этих требований, Это означает, что всегда имеющие место (неустранимые) флуктуации реальных источников и условий спектральных измерений должны быть достаточно малыми, чтобы не могли сказаться на результатах ФС-эксперимента с данным фурье-спектрометром. Другими словами, реальные источники удовлетворяющие гармонической модели, должны пониматься как монохроматические на физическом уровне описания, согласованным с конкретной спектроскопической задачей, В зависимости от требуемых разрешения и точности оценок спектра одни и те же источники могут или не должны описываться гармонической моделью. Сказанное в равной степени относится и к такой типичной невозможности и допустимости монохроматичности излучения, как конечный интервал времени измерения интерферограмм. Любое конечное время существования реальных излучений неизбежно уширяет линию и трансформирует ее оценку в контур, В тех случаях, когда информационным параметром является также
Априорная информация и планирование фурье-спектроскопического эксперимента
Обратное преобразование Фурье цифровом процессоре ФС применяется, .как правило, формально, как прямая_альтернатива прямому преобразованию Фурье в интерферометре. Априорная информация при этом либо отсутствует, либо используется только на этапе обработки ИГ, например, в случае параметрических моделей Лоренца, Гаусса и др. В этом случае имеются черты активного подхода к статистическим методам спектроскопического эксперимента. Это можно рассматривать как первый шаг к планированию ФС-эксперимента, направленному на улучшение полученных оценок спектра (улучшение таких параметров, как отношение С/Ш, разрешение, быстродействие и др.). Сам способ получения первичной информации, т.е. интерферограммы был исторически канонизирован (так сказать, по умолчанию). Появление новых, более сложных и специфических задач извлечения и использования оптической спектральной информации требует существенно новых подходов к увеличению эффективности обработки, не сводящихся к тривиальным рекомендациям увеличения ресурса наблюдений и накоплению интерферограмм или спектрограмм. Для этого среди статистических методов обработки наиболее подходящим оказывается направление планирования эксперимента, идущее, как принято считать, с работ Кифера [149-153]. Хотя возможность увеличения (или уменьшения) численного значения критерия оптимальности, напрмер, увеличения отношения СЛП, уменьшения риска, уменьшения обобщенной дисперсии, вообще говоря, была очевидна и раньше ( теория статистических решений Вальда [30,108,125], статистические теории радиолокация, оптической локации, гидролокации, оптимизация формы сигнала в активных сис-темах[125-127,139]). Действительно, теория статистических решений, байесовские, минимаксные, информационные подходы уже сами содержали возможность и необходимость формирования пространства сигналов и их смеси с шумом еще на стадии проектирования прибора [30,108] .Применительно к фурье-спектроскопии это касается, прежде всего, выбора закона сканирования по оптической разности хода или обобщенного сканирования по области параметров.
Однако, с работ Кифера планирование статистического эксперимента, как таковое, получило форсированное развитие. Возможности и трудности оптимального планирования в значителной степени связаны с проблемой априорной информации (АИ). Ее можно условно классифицировать по способам получения следующим образом. 1. АИ, полученная из теоретических (физических, химических и др.) описаний, например, из квантово-механических расчетов контуров, астрофизических, геофизических исследований. Это-аксиоматический подход. 2. АИ полученная из проведенных ранее спектрометрических экспериментов. Следует отметить, что использование методов оптимального планирования, в частности, в фурье-спектроскопии не может быть сведено к формальному применению готовых разработок общей теории, так как при этом не учитывается специфика самого ФС-эксперимента. Более того, большие возможности теории планирования статистического эксперимента для фурье-спектроскопии в полном объеме следует рассматривать пока как богатую перспективу. Этому направлению должно быть посвящено специальное адресное исследование, учитывающее общий подход оптимального планирования и специфику ФС. Такое исследование могло бы составить самостоятельный и единственный в рамках и объеме, отведенных для нашего рассмотрения, раздел статистической фурье-спектроскопии. По этой причине здесь будут затронуты лишь основные принципивльные проблемы и возможности планирования ФС-эксперимента, которые продемонстрируют причины и источники получения существенно более высоких параметров этого нового класса ФС, а также изменения структуры и математического обеспечения, т.е. интерферометрического и процессорного блоков этих приборов. Следует подчеркнуть, что планировани оптимального статистического ФС-эксперимента неизбежно изменит облик обоих блоков спектрометра: это затронет и интерферометр в части привода и системы управления положением и движением подвижного зеркала и приведет к смешанной статическо-динамической структуре, и процессор в части математического обеспечения и существенно новых алгоритмов обработки. Рассмотрим общую концепцию планирования и специфику фурье-спектроскопии. Планирование эксперимента в полной мере подтверждает своевременность и современность модельного подхода к измерениям и обнаружению оптических излучений и оптических сигналов на фоне флуктуации и шумов, неизбежно присутствующих и в "пространстве источников", и в "пространстве измерений". Базисные функции, через которые представляются измеряемые интерферограммы и спектрограмммы, вероятностное описание ошибок измерения из-за мешающих излучений и приборных шумов и способ взаимодействия полезного сигнала и помех - это три основных составляющих, которые полностью или частично предполагаются известными к началу планирования ФС-эксперимента.
В этом подходе пока никакой специфики планирования еще не заявлено и нет отличия, например, от схемы Гаусса-Маркова, метода наименьших квадратов и др. Специфика и новизна планирования заключается в двух основных моментах: -отказе в ряде задач от несмещенности оценок, введении новых критериев оптимальности и отыскании алгоритма обработки входных данных, обеспечивающего этот оптимум, -отказе от интуитивного предположения о равноценности всех значений естественных переменных в области возможного формирования измеряемого сигнала, т.е. входных данных; например, интерферограмма в сканирующем ФС формируются не непрерывно и с постоянной скоростью перемещения подвижного зеркала, а лишь в некоторых оптимально и априори выбранных точках, длительность измерения в которых почти наверное не одинакова и определяется априорной информацией об источнике, шумах и приборе. Несмотря на сложность теоретических построений важно отметить, что в значительной степени для некоторых типовых моделей соответствующий математический аппарат в значительной степени уже разработан и ждет своего использования и в части отыскания оптимального плана (закона сканирования или съема информации), который, таким образом, определяется априори и один раз (для фиксированной модели), и в части самого алгоритма обработки, реализация которого не вызывает каких-либо принципиальных проблем для ФС, традиционно имеющих в своем составе вычислительные средства. Более того, как показывает теория и практика планирования оптимального эксперимента в самых различных областях применения в физике, химии, биологии и др. размерность базиса оказывается во много раз меньше, чем, например, традиционный базис обратного дискретного преобразования Фурье, широко используемый в ФС. Это представляет собой важное преимущество и при съеме информации (небольшое число точек, в которых надлежит "стоять" неподвижно в соответствии с планом при отсутствии каких-либо жестких требований к равномерности движения) и при обработке входных данных, объем которых существенно меньше, чем в традиционном ФС-эксперименте.
Таким образом, в значительной степени упрощается кинема тическая часть ФС, уменьшается во много раз число отсчетов ИГ, снижаются требования к памяти и соответственно сокращается время обработки такой псевдоинтерферограммы. Сказанное здесь в значительной степени относится и к ФС статической структуры, хотя в этих приборах появляется определенное своеобразие ресурса наблюдений и самого оптимального плана, так как все точки ИГ формируются параллельно и непосредственно увеличить вес "избранных точек" за счет мало информативных не удается. С учетом другой специфики статических структур - в части полной или частичной потере выигрыша Фелжета здесь возникает возможность совместного анализа планирования и муль-типлекс-фактора. Исходя из общих положений планирования эксперимента необходимо представить АИ в виде некоторых моделей источника. При этом параметрические и непараметричекие модели соответственно приводят к задачам оценки параметров и проверки гипотез. Среди параметрических моделей применительно к планированию ФС-эксперимента можно отметить следующие. Ml. Набор отдельных линий (8-функций) произвольно неэквидистантно расположенных с неизвестным распределением амплитуд. Эта модель нелинейная и негармоническая. Можно выделить две ее разновидности: с известным или неизвестным числом линий, которые нужно определить полностью, или информативными являются лишь часть из них. Для нелинейной модели аппарат теории оптимального планирования разработан заметно менее полно, чем для линейной модели, результаты некоторых полученных решений как правило не подходят для такой ФС-задачи, либо плохо интерпретируются. Поэтому данный случай был рассмотрен выше с позиций теории статистических решений (ММП, МНК, локальный подход для несогласованной и слабой гармонической модели).
Геометрический фактор и пространственное разрешение в фурье-спектроскопии
Геометрический фактор g определяет светосилу ФС и в задачах чисто спектральных предпочтение отдается схемам интерферометров с наиболыпи ми значениями этого параметра. Исторически это было показано Фелжетом [2-3] при сопоставлении интерферометра Майкельсона и дифракционного спектрометра. Последующие исследования обосновали фундаментальную связь разрешения и максимально допустимого телесного угла источника для всего класса интерферометров с разделением пучков по амплитуде [2-3]. Это соотношение R-Q=2n является фундаментальным для ФС, так как связывает разрешение - точностную характеристику оценки временной и пространственной частоты с точностной характеристикой оценки амплитуды спектра Следует заметить, что при всей важности этой зависимости, она тем не менее не включает в себя в явном виде влияния шума-основного источника проблем невозможности достижения абсолютной точности. Другими словами точность оценивания частоты и амплитуды здесь понимаются в детерминистическом смысле типа разрешения по Релею. Статистическая трактовка разрешения была рассмотрена в предыдущих главах и здесь нет необходимости снова возвращаться к этой проблеме в рамках чисто спектрального эксперимента. Однако статистический подход снова потребуется, но уже в связи с расширением области и структуры спектра с чисто временных частот на пространственно-временные частоты. Чтобы получить высокое пространственное разрешение телесный угол источника надо уменьшать в пределе до дифракционного ограничения углового размера используемой оптической системы ФС. Таким образом наивысшие пространственные частоты имеют ограничение по разрешению, следующее из волнового описания. В случае фурье-спектрорадиометрии предельное уменьшение углового размера источника для удаленных объектов как правило имеет место, ибо они могут считаться точечными в дифракционном или аберрационном смысле.
Обобщенный пространственно-временной спектральный анализ в энергетическом аспекте сохраняется как актуальный и реальный, если интенсивность излучения достаточна для обеспечения надлежащего отношения сигнал/шум. Таким образом, для получения предельного разрешения по пространственным частотам ограничение со стороны разрешения по временным частотам не действует, так как угловые размеры источника минимальны и потенциально возможный геометрический фактор просто не используется по определению эксперимента, направленного на достижение предельного пространственного разрешения. При этом соответствующее предельное разрешение по временным частотам оказывается чрезвычайно высоким при надлежащем интервале оптической разности хода. В этом разделе будут кратко перечислены основные проблемы создания единой и компактной спектрально-пространственной модели, которые подробнее рассматриваются ниже и частично уже освещены в первых двух разделах. Для спектрального представления излучения фонов Земли и атмосферы по оптическим и пространственным частотам категория стационарности является необходимым условием. Вместе с тем, его выполнение, отнюдь, не является очевидным, так как многообразие фоновых ансамблей и условий внешней подсветки почти не оставляют места альтернативе нестационарного описания. Тем не менее, как показано далее, а также в [188] в произвольном строго нестационарном случайном процессе можно выделить стационарное "возбуждающее" ядро, которому, естественно, присуще спектральное представление. Эта возможность оказывается в высокой степени актуальной для создания модели спектральных характеристик фонов по оптическим и пространственным частотам. При этом принцип существования и выделения стаци онарного ядра может и должен применяться и к индивидуальным моделям спектральных и пространственных характеристик фонов, и к обобщенной спектрально-пространственной модели.
Понятия фонового ансамбля, набора их типов и макро- и микроструктуры модели в совокупности с концепцией стационарного ядра непосредственно выдвигают гипотезу объединения этих структур в единую модель и допускают ее обоснование с привлечением стохастического характера расположения, чередования и смены ансамблей, которые на уровне аксиоматики описываются как стационарные и однородные. Адекватное математическое описание такой модели может быть получено при совместным использовании теории случайных процессов и теории случайных потоков. Первая из них обеспечивает спектральное представление каждого ансамбля, вторая при взаимно однозначном отображении множества ансамблей на множество параметров или других составляющих потока, например, импульсов с соответствующими детерминированными амплитудами, но случайными длительностями и между импульсными интервалами, позволяет отобразить индивидуальные спектральное и корреляционное описания на случайный объект нового типа, включающий в себя микро- и макромодели..
Наряду с проблемами создания собственно модели спектрально-пространственных характеристик фонов и объектов с использованием методов фурье-спектроскопии, в том числе и для нестационарных излучений, имеет фундаментальное значение проблема спектрального разложения случайных процессов и их реализаций, каковыми в подавляющем большинстве случаев являются электромагнитные поля, т.е. напряженности. В этой проблеме можно выделить два аспекта: разложение моментов случайного процесса и разло жение самих реализаций. Спектральное представление энергетических или билинейных характеристик типа автокорреляционной функции - интерферог-раммы для строго стационарного, стационарного, но усеченного и строго нестационарного излучения, с акцентом возможности расширения спектрального подхода в последнем случае является общепринятым в фурье-спектрос-копии; с учетом широкого распространения преобразования Фурье при исследовании оптических полей напряженности, в том числе и в фурье-спектро-скопии, которые, как неоднократно подчеркивалось, являются случайными функциями, актуальным является четкое осознание неправомерности формального применения классического интегрального преобразования Фурье-Римана к указанным оптическим полям, которое в этих случаях просто не существует, и обоснование обобщенного спектрального анализа самих пространственно-временных реализаций с использованием преобразования Фурье-Стильтьеса.
