Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Методы расчета ФК резонаторов 16
1.1 Описание метода Finite-Difference Time Domain (FDTD) 16
1.1.1 Уравнения Максвелла 16
1.1.2 Алгоритм Yee 19
1.1.3 Конечно-разностные выражения для уравнений Максвелла 22
1.1.4 Область пространства с непрерывным изменением свойств материала 27
1.2 Описание метода связанных волн (RCWA) 30
1.2.1 Постановка задачи 30
1.2.2 Разложение электрического и магнитного полей 31
1.2.3 Матричная форма записи 36
1.2.4 Решение дифференциальных уравнений 38
1.2.5 Вывод системы линейных уравнений 46
1.3 Теория связанных мод во временной области 50
1.3.1 Постановка задачи 52
1.3.2 Ортогональность волноводных мод 53
1.3.3 Основное уравнение в частотной области 56
1.3.4 Учет смещения резонансной частоты 57
1.4 Теория связанных мод с поглощающими граничными условиями 60
1.4.1 Вычислительный метод 61
1.4.2 Анализ метода вычислений 67
1.4.3 Результаты численного моделирования 68
1.5 Основные результаты и выводы главы 1 72
Глава 2. Дифференцирование и интегрирование оптических сигналов с использованием ФК резонаторов 74
2.1 Дифференцирование оптических сигналов 74
2.1.1. Постановка задачи и предложенный подход 74
2.1.2 Резонатор на основе гребенчатых фотоннокристаллических волноводов 77
2.1.3 Анализ результатов 80
2.2 Интегрирование оптических сигналов 82
2.2.1 Постановка задачи 83
2.2.2 Интегратор 1-го порядка 84
2.2.3 Пример интегратора на основе ФК волновода 88
2.3 Основные результаты и выводы главы 2 98
Глава 3. Проектирование активных ФК резонаторов 100
3.1 Расчет пересекающихся ФК резонаторов 100
3.1.1 Структура оптического нанорезонатора 100
3.1.2 Исследование оптического нанорезонатора 104
3.1.3 Оптимизация кольцевого нанорезонатора 106
3.2 Повышение коэффициента перекрытия ФК резонаторов 109
3.2.1 Базовая структура резонатора 110
3.2.2 Резонансная камера с круглыми отверстиями 114
3.2.3 Резонансная камера со щелевыми отверстиями 116
3.3 Двухкомпонентные ФК резонаторы 121
3.3.1 Постановка задачи и предложенный подход 122
3.3.2 Численное моделирование резонатора 124
3.3.3 Анализ результатов 125
3.4 Перспективы применения ФК резонаторов в интегрированных на кристалле спектрометрах 130
3.4.1 Постановка задачи 130
3.4.2 Ключевые характеристики ИКС 130
3.5 Основные результаты и выводы главы 3 133
Глава 4. Примеры проектирования устройств на основе ФК резонаторов 135
4.1 Расчет спектрального фильтра на основе дифракционной решетки с волноводным резонансом 135
4.1.1 Постановка задачи 136
4.1.2 Оптимизация структуры спектрального фильтра 138
4.1.3 Расчет допусков погрешностей изготовления и использования спектрального фильтра 142
4.2 Метод расчета сложных нанофотонных элементов на основе высокопроизводительного распределенного масштабируемого отказоустойчивого вычислительного комплекса 147
4.2.1 Описание технологии MapReduce 148
4.2.2 Потоки данных в методе RCWA 151
4.2.3 Отображение метода Фурье-мод на схему MapReduce 154
4.2.4 Результаты вычислительных экспериментов на Hadoop-кластере 160
4.3 Расчет модулятора оптического сигнала на основе двух
связанных фотонно-кристаллических резонаторов 165
4.3.1 Постановка задачи 165
4.3.2 Исследование параметров оптического модулятора
4.3.2.1 Масштабирование уровня энергии переключения 167
4.3.2.2 Связанные резонаторы с невырожденными резонансными модами 168
4.3.3 Расчёт оптического модулятора на основе фотонно кристаллических резонаторов 170
4.4 Расчет оптического сенсора на основе двух связанных
резонаторов 180
4.4.1 Постановка задачи 181
4.4.2 Расчёт оптической системы на основе связанных фотонно-кристаллических резонаторов 183
4.4.3 Результаты вычислительного эксперимента 185
4.4.4 Численный анализ погрешностей изготовления резонаторов 188
4.5 Моделирование фотонно-кристаллического резонатора ближнего ИК диапазона на кремнии с учетом технологических погрешностей изготовления 191
4.5.1 Технология изготовления ФК резонаторов 193
4.5.2 Моделирование погрешности изготовления ФК резонаторов
4.5.2.1 Параметры ФК резонатора 196
4.5.2.2 Зависимость добротности и длины волны резонансной моды от толщины волновода 197
4.5.2.3 Зависимость добротности и длины волны резонансной моды от параметров конического отверстия. 199
4.6 Основные результаты и выводы главы 4 202
Заключение и результаты 204
Список литературы 207
- Область пространства с непрерывным изменением свойств материала
- Резонатор на основе гребенчатых фотоннокристаллических волноводов
- Повышение коэффициента перекрытия ФК резонаторов
- Расчёт оптической системы на основе связанных фотонно-кристаллических резонаторов
Введение к работе
Актуальность темы.
Работы А. М. Прохорова, И.Н. Сисакяна и В.А. Сойфера в начале 80-х годов прошлого века заложили основы развития дифракционной компьютерной оптики. Совершенствование в последние годы наноэлектроники и высокопроизводительных методов моделирования наноустройств привело к созданию элементов нанофотоники, которые являются результатом естественного развития идей, предложенных при конструировании дифракционных оптических элементов (ДОЭ).
Важным элементом ряда современных нанофотонных устройств является оптический нанорезонатор. Высокодобротные нанорезонаторы с малым мо-довым объёмом на основе фотонных кристаллов позволяют создавать, например, оптические переключатели, модуляторы, датчики, фильтры, источники света с низкой пороговой мощностью и интегрировать эти элементы в микросхемы. Оптические резонаторы усиливают различные виды взаимодействия света со средой распространения. Поэтому их используют также для экспериментальных исследований в квантовой электродинамике.
Нанофотонные структуры привлекают повышенный интерес для реализации оптических интегральных схем нового поколения. Особое внимание уделяется искусственным периодическим диэлектрическим структурам, именуемым фотонными кристаллами (ФК). ФК имеют фотонные запрещенные энергетические зоны, т.е. диапазон частот, в котором не существует возбуждаемых мод. При введении дефектов в структуру ФК, в нем могут формироваться волноводы и резонаторы, в которых свет локализован. Волноводы ФК предоставляют эффективные средства для направления света, позволяя реализовывать изгибы под большими углами. Аналогично оптоволокну, в ФК волноводе может быть реализована нелинейная обработка сигнала. Использование массива связанных оптических резонаторов в качестве волновода было предложено А.Яривом в 1999 году. Этот новый тип волновода, названный оптическим волноводом на основе связанных резонаторов (CROW), имеет множество интересных свойств. Посредством точного размещения резонаторов, возможна реализация изгибов волновода под большими углами без потерь и отражений на протяжении всего CROW. Другой важной особенностью CROW является его способность значительно замедлять оптическую волну (медленный свет), что может найти важное применение в реализации компактных оптических линий задержки. Низкая групповая скорость и большие амплитуды светового поля в локализованных модах ведут к усилению нелинейных эффектов, что может быть
потенциально полезным для большинства задач обработки оптического сигнала.
Достоинства ФК резонаторов (высокая добротность, компактность, малый модовый объем, естественность интеграции с другими электронными и оптическими элементами на кристалле) привлекают к себе ученых многих стран. В частности, значительный вклад внесли Дж. Д. Джоаннополис, П. Лалан. ФК резонаторы продемонстрировали превосходство перед иными типами резонаторов, прежде всего, благодаря малому значению эффективного модового объёма (величина порядка длины волны), а также благодаря высоким (более миллиона) значениям добротности. Поскольку небольших значений эффективного объёма мод фотонных кристаллических резонаторов можно достигнуть простым образом, работы, в которых реализованы высокодобротные резонаторы, являются многообещающими. Для расчета высокодобротного ФК резонатора требуются большие вычислительные затраты. Поэтому необходимым является использование высокопроизводительной вычислительной техники и параллельных методов расчета.
Одномерный ФК резонатор на основе гребенчатого волновода появился в качестве эффективной альтернативы двумерного ФК резонатора, основанного на ФК пластинах (П. Велха, 2006). Одномерный ФК резонатор достигает значений добротности около миллиона (Х. Лиу, 2012). При этом обеспечивается существенная компактность и естественность в геометрическом смысле интеграции с волноводами на кристалле.
Актуальна оптическая реализация базовых вычислительных операций. Соответствующие решения на основе дифракционных решеток с волноводным и плазмонным резонансами были недавно предложены Л.Л. Досколовичем и В.А. Сойфером. Данные решения позволяют дифференцировать и интегрировать оптические сигналы по времени. Тем не менее, предложенные устройства не являются интегрированными на кристалле. Для их практической реализации необходимы дальнейшие исследования.
В последнее время были также предложены интегрированные на кристалле решения для оптической обработки сигналов. Например, для оптического диффренцирования и интегрирования были предложены оптические интеграторы на основе решёток Брэгга (Х. Азана, 2009) и кольцевого резонатора (Ф. Ли, 2011). Размеры этих устройств составляют десятки микрометров. Для практического использования нанофотонных устройств данные размеры должны быть значительно уменьшены. Такое уменьшение размеров может быть достигнуто путем их интегрирования на кристалле. Задачи создания перспективных интегрированных на кристалле высокопроизводительных фотонных элементов для обработки оптических сигналов являются предметом исследования диссертации.
Целью работы является создание методов расчета и моделирования новых компактных высокоэффективных интегрированных на кристалле оптических резонаторов и разработка на этой основе элементов нанофотоники для обработки оптических сигналов.
В соответствии с поставленной целью определены основные задачи диссертации:
-
Предложить структуру и разработать методы моделирования компактных интегрированных на кристалле элементов нанофотоники для интегрирования оптических сигналов и оценить на этой основе функциональные параметры этих элементов.
-
Предложить структуру и методы моделирования компактных интегрированных на кристалле элементов нанофотоники для дифференцирования оптических сигналов и оценить на этой основе функциональные параметры этих элементов.
-
Разработать схему и методы моделирования компактных интегрированных на кристалле нанофотонных резонаторов с возможностью вертикальной электронной накачки и оценить на этой основе их функциональные параметры.
-
Предложить структуру устройства и методы моделирования компактных интегрированных на кристалле пересекающихся нанофотонных резонаторов с повышенным коэффициентом модового перекрытия и оценить на этой основе функциональные параметры этих элементов.
-
Предложить структуру и методы моделирования компактных интегрированных на кристалле оптических модуляторов и оценить на этой основе функциональные параметры этих элементов.
-
Разработать схему и методы моделирования компактных интегрированных на кристалле оптических датчиков и оценить на этой основе функциональные параметры этих элементов.
-
Разработать параллельный алгоритм расчета нанофотонных элементов на основе высокопроизводительного распределенного масштабируемого отказоустойчивого вычислительного комплекса.
Научная новизна работы.
-
Предложен, рассчитан и численно исследован компактный интегрированный на кристалле элемент нанофотоники для интегрирования оптических сигналов. Новизна состоит в том, что для интегрирования различных порядков оптических сигналов впервые использован массив ФК резонаторов. Это позволяет в десятки раз повысить компактность устройства по сравнению с существующими аналогами. Большой по сравнению, например, с кольцевыми резонаторами размер свободной спектральной зоны (210 нм) позволил интегрировать импульсы шириной в диапазоне 150-200 фс на длине волны 1,55 мкм со среднеквадратичной погрешностью менее 10%.
-
Предложен, рассчитан и численно исследован компактный интегрированный на кристалле элемент нанофотоники для дифференцирования оптических сигналов. Новизна состоит в том, что для дифференцирования оптических сигналов впервые использован ФК резонатор. Размеры предложенного дифференциатора составляют ~6,00,50,2 мкм для длины волны 1,55 мкм. Эти размеры на порядок меньше существующих аналогов.
3. Предложен, рассчитан и численно исследован компактный ФК резона
тор, имеющий добротность выше 105. Новизна состоит в использовании двух-
компонентной структуры резонатора, что позволяет впервые реализовать вер
тикальную электронную накачку резонатора.
4. Предложены, рассчитаны и численно исследованы пересекающиеся
ФК резонаторы с повышенным коэффициентом модового перекрытия. Новизна
состоит в использовании щелевой резонансной камеры, что позволяет в десят
ки раз повысить плотность энергии электромагнитного поля в области пере
крытия резонансных мод.
-
Предложен, рассчитан и численно исследован компактный оптический модулятор на основе каскада из двух ФК резонаторов. Новизна состоит в возможности масштабирования, как количества энергии накачки, так и величины спектрального сдвига резонансной моды. Новым является также то, что предложенный модулятор позволяет реализовать модуляцию в области малой (менее 10% максимального значения) интенсивности резонансной моды.
-
Предложен, рассчитан и численно исследован компактный оптический датчик на основе каскада из двух ФК резонаторов. Новизна состоит в возможности двукратного повышения добротности оптической резонансной системы и, соответственно, увеличении чувствительности оптического датчика.
-
Предложен и исследован параллельный алгоритм расчета нанофотон-ных элементов на основе алгоритма Фурье-мод. Разработанный подход основан на новой формулировке алгоритма, которая позволяет использовать для расчета высокопроизводительный распределенный масштабируемый отказоустойчивый вычислительный комплекс на основе технологии MapReduce. Новизна разработанного метода состоит в том, что интенсивный по вычислениям алгоритм трансформирован в алгоритм интенсивный по обработке данных.
На защиту выносятся
результаты численного моделирования и оценка функциональных параметров компактного интегрированного на кристалле элемента нанофотоники на основе ФК резонатора для интегрирования различного порядка оптических сигналов;
результаты численного моделирования и оценка функциональных параметров компактного интегрированного на кристалле элемента нанофотоники на основе ФК резонатора для дифференцирования оптических сигналов;
результаты численного моделирования и оценка функциональных параметров компактного ФК резонатора с возможностью вертикальной электронной накачки;
результаты численного моделирования и оценка функциональных параметров пересекающихся ФК резонаторов с повышенным коэффициентом модо-вого перекрытия;
результаты численного моделирования и оценка функциональных параметров компактного оптического модулятора на основе массива ФК резонаторов;
результаты численного моделирования и оценка функциональных параметров компактного оптического датчика на основе массива ФК резонаторов;
параллельный алгоритм расчета нанофотонных элементов на основе высокопроизводительного распределенного масштабируемого отказоустойчивого вычислительного комплекса с использованием технологии MapReduce.
Практическая ценность работы.
Предложенные в диссертации оптические структуры на основе ФК резонаторов могут быть изготовлены стандартными средствами КМОП (CMOS)-совместимых процессов изготовления нанофотонных структур, а также с помощью технологий наноимпринтинга. Такие структуры также естественным образом интегрируются электронными компонентами на кристалле. Предложенные нанофотонные устройства могут быть использованы в системах управления, оптических датчиках, сенсорах, модуляторах, линиях задержки. Полностью оптическая реализация описанных структур на кристалле обеспечивает быстродействие, компактность и энергоэффективность соответствующего устройства.
Рост объёма информации в мире и необходимость обрабатывать эту информацию в реальном времени порождают новые требования к вычислительной технике. Значение максимальной рабочей частоты современных электронных вычислительных компонентов достигло естественного предела. Переход на оптоэлектронные интегрированные на кристалле вычислительные компоненты позволит увеличить скорость обработки информации на несколько порядков. Кроме того, возможно будет обрабатывать не только действительные, но и комплексные величины.
Достоверность работы.
Достоверность полученных результатов обеспечивается физической адекватностью используемых математических моделей, корректностью математических выкладок и подтверждается сравнением результатов численного расчета по нескольким методам: методу конечных разностей во временной области (англ. Finite Difference Time Domain – FDTD), методу связанных волн и методу Фурье-мод. Полученные аналитические выражения передаточных функций оптических фильтров на основе ФК резонаторов согласуются с результатами численного моделирования. Результаты моделирования, полученные с помощью численных методов, верифицировались путем увеличения количества узлов дискретной сетки в расчетной области до достижения сходимости.
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на следующих конференциях.
1. 11th International Conference on Pattern Recognition and Image Analysis: New Information Technologies (PRIA-11-2013). Samara, Russian Federation, September 23-28, 2013.
Научная сессия МИФИ-2013. II Всероссийская конференция по фотонике и информационной оптике, Москва, 23–25 января 2013.
International Conference on Mathematical Modeling in Physical Sciences. Prague, Czech Republic, September 1-5, 2013
4th International Workshop, OSC 2012, in Memory of H. John Caulfield, Bertinoro, Italy, July 19-21, 2012.
Conference on Optical Technologies for Telecommunications, Kazan, Russian Federation, November 19, 2014.
Conference on Optical Technologies for Telecommunications, Samara, Russian Federation, November 27, 2013.
Conference on Micro- and Nanoelectronics 2003, Moscow, Russian Federation, October 6-10, 2003.
International Conference on Applied Physics, Simulation and Computers (APSAC 2015), Vienna, Austria, March 15-17, 2015.
International Conference on Information Technology and Nanotechnology (ITNT 2015), Samara, Russian Federation, June 29 - July 1, 2015.
Результаты, изложенные в диссертации, использованы при выполнении хозяйственных договоров с НИИ Прикладных проблем, АО «РКЦ-Прогресс», Исследовательским центром «ФИАТ» (Италия), “LG Electronics” (Ю. Корея).
Связь с государственными программами.
Результаты, изложенные в диссертации, получены при выполнении работ в рамках Российско-американской программы «Фундаментальные исследования и высшее образование» (BRHE), государственных контрактов с Федеральным агентством по науке и инновациям, с Федеральным агентством по образованию.
Большинство результатов было получено при поддержке грантов Российского фонда фундаментальных исследований (РФФИ №№ 13-07-97002, 13-07-13166, 14-07-97008, 14-07-97009), Программы Президиума РАН, Программы № 5 фундаментальных исследований ОНИТ РАН «Фундаментальные проблемы физики и технологии эпитаксиальных наноструктур и приборов на их основе», Министерства образования и науки РФ, грантов Президента РФ (НШ-7414.2010.9, НШ-1007.2003.01, НШ-3086.2008.9), программы развития Национального исследовательского университета и программы повышения конкурентоспособности СГАУ, при поддержке Российского научного фонда (проект N 14-31-00014).
Структура и объем работы
Диссертация состоит из Введения, четырех Глав и Заключения, списка использованных источников из 242 наименований, изложенных на 233 страницах, содержащих 44 рисунков.
Область пространства с непрерывным изменением свойств материала
В предыдущем разделе рассматривался метод Фурье-мод для расче та, в частности, субволновых дифракционных решеток (ДР). ДР с плаз монным и волноводным резонансом, как правило, не позволяют реализо вывать интегрированные на кристалле решения. По разнообразию приме нений среди нанофотонных структур выделяются фотонно кристаллические (ФК) структуры [18]. Они позволяют реализовать пер спективные оптические интегральные схемы высокой степени компактно сти. В частности, ФК волноводы позволяют реализовать эффективную транспортировку света по кристаллу интегральной схемы. При этом, мак симально допустимый изгиб волновода превышает возможности боль шинства других решений [19]. Сочетание ФК волноводов с ФК резонато рами позволяет реализовать компактные конструкции оптических спек тральных фильтров [20]. Также конструкции, построенные на взаимодей ствии волновода и резонатора, могут быть использованы для выполнения операций дифференцирования и интегрирования оптических сигналов[21], оптического переключения [22], реализации оптического транзистора [23], а также для создания других функциональных средств обработки оптиче ских сигналов.
Таким образом, перспективной для многих оптических интегральных элементов является схема на основе сочетания волновода и резонатора. Параметры таких устройств могут быть рассчитаны с помощью прямого численного решения уравнений Максвелла. Для этого используются, например, метод конечных разностей во временной области (FDTD) [24] или метод конечных элементов (FEM) [25]. Прямые методы расчета требуют больших вычислительных ресурсов. Вычислительная сетка для моделирования пространственно объемных устройств зачастую не умещается в доступную оперативную память. Для первоначальных оценок параметров моделируемой структуры часто используют метод, который основан на теории связанных мод (Coupled Mode Theory – CMT) [26]. Этот метод позволяет оценить влияние на работу устройства малых изменений его параметров, вызванных, например, погрешностями изготовления. В частности, это могут быть небольшие изменения положения и радиуса отверстий в ФК волноводе. СМТ хорошо справляется с произвольно малыми структурными возмущениями. Моделирование таких искажений численными методами, основанными на временном или частотном представлении, требует использования очень мелкой расчетной сетки. Это, в свою очередь, требует использования еще большего количества процессорного времени и ресурсов памяти.
Найдем взаимосвязь между уравнениями Максвелла и СМТ. Выявим допущения, которые использовались при выводе уравнений амплитуды моды резонатора СМТ из уравнений Максвелла. Описание работы оптического резонатора общего вида основывается на двух компонентах. Во-первых, элемент резонатора, который содержит локализованные моды, возбуждаемые в резонаторе. Во-вторых, элементы резонатора, которые содержат распространяющиеся моды, закачивающие энергию в резонатор или забирающие её через каналы ввода/вывода. На рис. 1.5 схематично показан резонатор с двумя каналами ввода/вывода. В данном разделе мы ограничимся этой конфигурацией, хотя приведенный анализ аналогичным образом может быть выполнен для резонаторов с любым количеством каналов ввода/вывода. Резонансная камера характеризуется резонансной частотой fi»0 и временем затухания т1,т2 (TW=T1+ Т2 ), вызванного потерями в каждом из каналов ввода/вывода. Время затухания тг определяет потери на рассеяние в самой камере. Приходящие в резонатор моды и исходящие из него моды описываются комплексными амплитудами sl±,l = 1,2.
Комплексная амплитуда А характеризует энергию, содержащуюся в резонаторе. Для случая слабого взаимодействия между компонентами системы, при котором А убывает экспоненциально, можно записать следующие уравнения временной эволюции для амплитуды одномодового резонатора: dA А 2А 2 І2 — = -io)0A 1 —-2 A—Si+ (1.142) at т 1=1 т 1=1 у г ,2 i+ s = -s + I—A T (1.143) Рис. 1.5 Схема резонатора с двумя каналами ввода/вывода. Потери в каждом из каналов ввода/вывода характеризуются временем затухания тх,тг (TW = тх +т2). Потери на рассеяние в самой камере характеризуются величиной тг. Комплексные амплитудыsl±,i = \,2 определяют энергию, приходящую в резонатор и исходящую и него. Комплексная амплитуда А характеризует энергию, содержащуюся в резонаторе.
В этом разделе мы получим уравнение (1.142) для ФК волновода непосредственно из уравнений Максвелла. Это продемонстрирует все приближения, при которых выполняется уравнение (1.142).
Cуммарные электрические и магнитные поля Е, Н системы волновод-резонатор с диэлектрической проницаемостью є = є(г) можно записать как суперпозицию изолированного волновода и мод резонатора. Приближение изолированных мод действительно для слабой связи между волноводом и резонатором, т.е. для высокодобротных резонаторов. E = 4„E0+51+(z)E1++52+( )E2+ (1.144) H = H0+ +(z)H1++4+( )H2+ (1.145) Е1+, Н1+,/ = 1,2, электрические и магнитные поля; для моды, распространяющейся в прямом направлении / = 1, для моды, распространяющейся в обратном направлении 1 = 2 и Е0,Н0 - электрические и магнитные поля для моды резонатора.
Резонатор на основе гребенчатых фотоннокристаллических волноводов
Таким образом, оптическое моделирование фотонного кристалла в данном разделе предполагает выполнение следующих этапов: 1. Разбиение расчетной зоны, соответствующей исследуемой диэлектрической структуре, на слои, перпендикулярные направлению распространения света. 2. Вычисление констант распространения модовых функций в каждом слое. Для этого необходимо найти корни дисперсионного уравнения. 3. Вычисление передаточной матрицы, соответствующей исследуемой диэлектрической структуре. Для этого используется сшивка разложения ЭМ поля по модовым функциям на границах слоев. 4. Расчет ЭМ поля внутри исследуемой структуры, используя передаточную матрицу и коэффициенты разложения падающего ЭМ поля по модовым функциям.
Описанный метод численного решения уравнений Максвелла можно отнести к “гибридным” методам, если пользоваться классификацией, приведенной в начале статьи. В публикациях [37 , 38 ] использовался похожий метод численного решения уравнений Максвелла для моделирования дифракционного оптического элемента (ДОЭ). Тем не менее, схожесть этих методов ограничивается первым этапом из вышеперечисленного списка. В работах [37 , 38 ] использовалось разложение ЭМ поля по плоским волнам, а не по модовым функциям. В общем случае, использование модовых функций позволяет сократить количество коэффициентов разложения ЭМ поля, не снижая точности представления. Чтобы рассчитать прохождение ЭМ поля через слой диэлектрика, в работах [37 , 38 ] решалась система дифференциальных уравнений, для чего использовались или метод экспоненциальной матрицы в двумерном случае или метод Рунге-Кутты в трехмерном. При разложении ЭМ поля по модовым функциям расчет прохождения ЭМ поля через слой диэлектрика выполняется путем умножения каждого коэффициента разложения ЭМ поля на величину, постоянную для каждого слоя. Кроме этого, в работах [37 , 38 ] не использовался метод “PML” для гашения паразитных отражений от границ расчетной области. Это препятствовало точному моделированию исследуемой структуры в открытом пространстве. Отметим, что выполненное в диссертации моделирование работы диэлектрической структуры в центре пересечения двух фотоннокристаллических волноводов можно интерпретировать как исследование ДОЭ, квантованного по 34 уровням.
В численном эксперименте рассчитывалось ЭМ поле в двумерной диэлектрической структуре, представленной на рис. 1.7. Стержни состоят из материала GaAs с коэффициентом преломления л=3,4. Период структуры связан с диаметром стрежня соотношением d/a = 1/4. Известно [29], что данная структура имеет “запрещенную зону” в частотном диапазоне для ТЕ-поляризации.
На рис. 1.8 показано распределение компоненты Ех вектора электрического поля в пересечении двух волноводов со следующими параметрами: а = 0,6 мкм, d = 0,15 мкм, г = 0, л = 1,5 мкм, Размеры расчетной зоны без использования PML 6,6 мкм на 4,8 мкм, с использованием PML 6,6 мкм на 8,8 мкм. Использовалось разложение ЭМ поля по 60 модовым функциям. Слева на рис. 1.16 показано распределение в случае металлических стенок, справа - со слоем PML толщиной 4 мкм, с параметром Ь = 0,1. Визуализируемая область в обоих случаях имеет размер 6,6 мкм на 4,8 мкм. Время расчета ЭМ поля в каждом случае оставило около минуты на компьютере процессором Pentium III 800МГц. Рис.1.7. Пересечение двух волноводов в двумерном фотонном кристалле
Отметим, что при всех значениях г утечка энергии в перекрестный волновод не превышает нескольких процентов. Эта особенность соответствует результату, полученному в [39, 40], и может быть объяснена резонансной природой взаимодействия неоднородности в центре пересечения волноводов с ЭМ полем. При создании реального оптического устройства количество энергии, ушедшей в перекрестный волновод, является более важной характеристикой, чем количество энергии, прошедшей прямо, т.к. операция фильтрации сигнала является значительно более сложной, чем операция его усиления.
На рис. 1.10 показана зависимость количества энергии, прошедшей через пересечение по горизонтальному волноводу, от размера неоднород 72 ности в центре пересечения волноводов. Размер неоднородности дан в относительных к периоду фотонного кристалла единицах.
В главе описано несколько методов решения уравнений Максвелла. В частности описан вариант численного решения – метод конечных разностей во временной области (Finite-Difference Time Domain - FDTD). Изложен полуаналитичекий метод Фурье-мод для периодических структур. Рассмотрен аналитический метод, основанный на теории связанных мод (Coupled Mode Theory – CMT).
В данной главе также показано использование гибридного метода для расчета электромагнитного поля в окрестности диэлектрической неоднородности, расположенной в пересечении двух фотоннокристаллических волноводов.
Повышение коэффициента перекрытия ФК резонаторов
В работе [65] приведены обобщающие формулы для интеграторов более высоких порядков на основе решёток Брэгга. ПФ идеального интегратора огибающей оптического сигнала с несу щей частотой 0 записывается в виде HiBt(s) = -l/s. (2.21) Наибольшие отличия между функциями (2.11) и (2.21) наблюдаются в окрестности 0. Это приводит к тому, что интегрирование импульсов с узким спектральным диапазоном приводит к большим погрешностям. При этом, чем меньше добротность резонатора, тем значительнее отличие (2.11) от (2.21) в окрестности ю0 и тем выше ошибка интегрирования.
На рис. 2.6 показан результат интегрирования резонаторами с добротностью 104, 105 и 106. На вход подаётся оптический сигнал с огибающей, соответствующей первой производной гауссова импульса длительностью 100 пс. Примеры входных сигналов показаны на рис. 2.7. Результат интегрирования резонаторами с добротностью 1 4, 105 и 1 6. На вход подаётся оптический сигнал с огибающей, соответствующей первой производной гауссова импульса длительностью 1 пс В работе [70] описано использование ФК резонатора в качестве оптического дифференциатора. Функция комплексного отражения такого резонатора записывается в виде
Выражение (2.22) отличается от функции идеального дифференциатора (Н (s) = -s) в окрестности ю0 количественно, но не качественно. Поэтому дифференцирование сигналов с относительно узким спектральным диапазоном не приводит к погрешностям, аналогичным тем, которые показаны на рис. 2.6.
Причины отличия (2.11) от (2.21) вне окрестности ю0 различны для разных типов резонаторов. Например, для кольцевого резонатора погрешность интегратора на высоких частотах определяется величиной FSR (free spectral range) и зависит, в частности, от радиуса резонатора [71, 72]. Для ФК резонаторов погрешность интегратора на высоких частотах определяется влиянием соседних резонансных мод и шириной запрещённой зоны фотонного кристалла [73, 74].
На рис. 2.7 показаны входные тестовые импульсы. Это исходный гауссов импульс длительностью 1 пс и его первые три производные. Таким образом, интегратор должен восстановить гауссов импульс из его первой производной. Интеграторы 2-го и 3-го порядков должны восстановить гауссов импульс 2-й и 3-й производных соответственно.
На рис. 2.8а показаны результаты интегрирования первой производной гауссова импульса длительностью 1 пс для различных значений FSR. Добротность резонатора составляла 5 104. Из рисунка видно, что резонаторы со значениями FSR, равными 12 нм и 15 нм, интегрируют входной сигнал с большими искажениями. Высокое качество интегрирования достигается при значении FSR, равном 25 нм. На рис. 2.8б показаны аналогичные результаты интегрирования первой производной гауссова импульса длительностью 150 фс. Видно, что хорошее качество интегрирования достигается для значения FSR, равном 120 нм. Создание кольцевых резонаторов с таким большим FSR затруднительно. Подходящим кандидатом для интегрирования субпикосекундных импульсов представляются ФК резонаторы.
Рассчитаем параметры конкретного ФК резонатора, выполняющего интегрирование оптического сигнала. В качестве такого резонатора выберем элемент на основе гребенчатого ФК волновода. По сравнению с двумерными ФК структурами в слое резонаторы на основе гребенчатого ФК волновода обладают меньшей площадью и естественным образом интегрируются в волноводную геометрию соединений на кристалле. На рис. 2.9а показан один из вариантов резонатора на основе гребенчатого ФК. Здесь дефект, в котором возбуждается резонансная мода, формируется уменьшением радиуса отверстий в окрестности дефекта.
Рассмотрим массив ФК резонаторов, изображённый на рис. 2.9б. Коэффициент связности резонаторов в массиве определяется nreg – количеством отверстий с одинаковым (максимальным) радиусом между дефектами. Можно показать, что для двух соседних резонаторов с добротностями Q1 и Q2 коэффициент связности равен где 20 - добротность резонатора, содержащего только отверстия зоны дефекта (nreg = 0), 0 - резонансная частота, соответствующая длине волны Брэгга. Величина а может быть аппроксимирована с помощью расчета добротности резонатора для различных значений « .
Для расчета характеристик резонатора использовался трехмерный параллельный метод FDTD. На рис. 2.9а введены обозначения геометрических параметров одного резонатора из массива. Волновод имеет ширину W = 490 нм и высоту /? = 220 нм, состоит из кремния (и = 3,46) и окружён воздухом. Отверстия в регулярной части волновода заполнены воздухом, имеют радиус R= 100 нм и отстоят друг от друга на а = 330 нм. В табл. 2.2 содержатся значения радиусов отверстий и периода решётки в зоне дефекта (nreg=12). Эти геометрические параметры обеспечивают возникновение энергетической запрещённой зоны (bandgap) для TE поляризации в волноводе. Левая и правая границы запрещенной зоны равны 1,46 мкм и 1,67 мкм, соответственно. Размер запрещенной зоны 210 нм. Длина волны резонансной моды 1,57 мкм находится в центре этой зоны.
Расчёт оптической системы на основе связанных фотонно-кристаллических резонаторов
Согласно работе [85], в высокодобротном резонаторе эффективный индекс рефракции ие# резонансной моды должен совпадать с эффективным индексом рефракции волноводной моды зеркал резонатора. Это условие эквивалентно условию равенства волнового вектора резонансной моды и действительной части комплексного волнового вектора волноводной моды. При увеличении ширины разрывов кольца увеличивается доля мате 108 риала с высоким показателем рефракции в резонаторе. До тех пор, пока это существенно не влияет на первоначальную геометрию резонансной моды, происходит увеличение добротности резонатора.
Ещё одним способом изменения nej является варьирование индекса рефракции ХС в резонаторе. Рис. 3.6 демонстрирует зависимость добротности резонатора от индекса рефракции семейства ХС (2,3-2,8).
Высокодобротные нанорезонаторы с малым модовым объёмом на основе фотонных кристаллов позволяют создавать, например, оптические переключатели, фильтры, источники света с низкой пороговой мощностью и интегрировать эти элементы в микросхемы. Оптические резонаторы усиливают различные виды взаимодействия света со средой распространения. Поэтому их используют также для экспериментальных исследований в квантовой электродинамике.
В оптическом нанорезонаторе свет локализован в виде одной или нескольких резонансных мод. Для нелинейных оптических преобразований важно обеспечить максимальное пространственное перекрытие двух или более резонансных мод. В случае использования двух ортогонально поляризованных резонансных мод можно рассчитать коэффициент пространственного перекрытия ортогональных резонансных мод. Эта величина характеризует степень нелинейного оптического взаимодействия и описывается следующей формулой [90]: где ]NL - интегрирование по объему нелинейного материала в резонансной камере. ETEj,ETMJ - компоненты электрического поля ортогональных резонансных мод.
В работе [90] рассмотрена резонансная камера на основе гребенчатого фотоннокристаллического волновода. В такой резонансной камере могут быть возбуждены две ортогонально поляризованные моды. Коэффициент перекрытия у этих мод лежит в диапазоне 0,76-0,78. Недостатками предложенной в [90] камеры являются большая толщина волновода и сложность независимой настройки частот двух резонансных мод.
В работе [91] предложена структура на основе пересечения двух гребенчатых фотоннокристаллических волноводов. С одной стороны, для такой структуры возможна гибкая настройка частот, соответствующим двум ортогональным резонансным модам. С другой стороны, коэффициент Y для структуры в работе [91] не превышает 0,07.
В данном разделе будем считать, что нелинейным материалом является привнесенный в резонансную камеру материал. Это могут быть, например, нелинейные оптические материалы или газообразные квантовые точки [92, 93]. В работе [94 ] нами были улучшены параметры структуры из работы [91] с помощью кольцевого резонатора. Однако в работе [94 ] была выполнена только качественная оценка генерируемых резонансных мод. В данном разделе рассчитаны коэффициенты перекрытия резонансных мод и их модовый объем. Кроме этого, рассматриваемые здесь резонансные камеры легче изготавливаются стандартными методами нанолитографии, чем камеры, исследованные в [94 ].
В данном разделе предлагается геометрия резонансной камеры, которая позволяет повысить величину коэффициента У почти в два раза по сравнению с резонансной камерой, предложенной в [91].
Рассматриваемые в данном разделе резонансные структуры поддерживают вырожденные ортогонально поляризованные резонансные моды. Рассмотренная здесь вырожденная резонансная структура может быть использована, например, для накачки квантовых излучателей в резонансной камере [95] или генерации поляризационно связанных фотонных пар [96].
В данном разделе численно исследуется структура включающая в себя пересечение гребенчатых (ridge) фотоннокристаллических волноводов. В таких волноводах полное внутреннее отражение (ПВО) препятствует распространению света в поперечных направлениях. В продольном направлении отражение света в нанорезонаторе обеспечивает фотонный кристалл [97].
Базовая структура рассматриваемого оптического нанорезонатора а), распределение модуля электрического поля для одной из ортогональных мод б) Для создания оптического резонатора с высокой добротностью используют структуру, состоящую из трех частей (рис. 3.7а). Во-первых, это фотоннокристаллические зеркала, которые содержат одинаковые равноотстоящие друг от друга отверстия в волноводах. Каждый из пересекающихся волноводов имеет ширину w = 560 нм и высоту h = 240 нм. Отверстия в волноводе заполнены воздухом, имеют радиус 100 нм и отстоят друг от друга на 385 нм. В расчётной зоне содержится по пять отверстий в каждом из 4 рукавов резонатора. Данный волновод состоит из кремния (n = 3,48) и окружён воздухом.
Вторым элементом структуры является переходная зона между фо-тоннокристаллическим волноводом и областью резонансной камеры. Эта зона использована для уменьшения потерь энергии в резонаторе. Положения и радиусы отверстий в этой зоне оптимизированы. Переходная зона содержит 5 отверстий, которые заполнены воздухом.