Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Моделирование переноса резонансного излучения в задачах радиационно-столкновительной кинетики газа 21
1.1 Скоростные уравнения баланса населенностей атомов при полном перераспределении фотонов по частотам 22
1.2 Перенос резонансного излучения 24
1.3 Расчет интегральных коэффициентов для различных геометрий газовой среды 27
1.4 Перенос излучения при частичном перераспределении фотонов по частотам 43
1.5 Решение системы интегродифференциальных уравнений 49
1.6 Перенос излучения в условии макроскопического движения вещества 51
1.7 Расчет скоростей радиационно-столкновительных
процессов 56
1.8 Тестирование численных алгоритмов 60
Выводы 65
ГЛАВА 2. Лазерная резонансная флуоресценция паров металлов 67
2.1 Фотовозбуждение и свечение паров натрия под действием лазерного излучения 69
2.2 Воздействие на пары натрия лазерным пучком 79
2.3 Аномальная флуоресценция паров натрия 86
2.4 Формирование контура спектральной линии в условии частичного перераспределения фотонов по частотам 95
2.5 Эффективное время высвечивания паров лития 105
2.6 Распад населенности возбужденного состояния 3 Р3/2 атомов натрия. Сравнение с экспериментом 110
Выводы 115
ГЛАВА 3. Ионизация газа в поле резонансного лазерного излучения 119
3.1 Модель процесса лазерной резонансной ионизации газа 121
3.2 Формирование лазерного резонансного разряда в парах натрия 124
3.3 Многоуровневая модель атома натрия 140
3.4 Характерное время ионизации паров натрия под действием лазерного излучения 155
Выводы 157
ГЛАВА 4. Резонансная флуоресценция ультрахолодной разлетающейся плазмы 160
4.1 Модель лазерной ультрахолодной плазмы (УП) 160
4.2 Поглощение резонансного излучения в УП 165
4.3 Рассеяние лазерного излучения УП 170
4.4 Испускание излучения УП в режиме послесвечения 175
4.5 Диагностика ультрахолодной плазмы по резонансным оптическим характеристикам 179
Выводы 185
ГЛАВА 5. Фотоионизация и свечение искусственных бариевых облаков под действием солнечного излучения 187
5.1 Моделирование переноса солнечного света в бариевом облаке (БО) 188
5.2 Динамика поглощения солнечного света 196
5.3 Кинетика фотовозбуждения и фотоионизации бария 201
5.4 Характерное время фотоионизации бариевого облака 205
5.5 Свечение бариевого облака 208
5.6 Сравнение расчетных и экспериментальных данных по свечению бариевых облаков 218
Выводы 222
Заключение 225
Литература. 228
- Перенос излучения при частичном перераспределении фотонов по частотам
- Формирование контура спектральной линии в условии частичного перераспределения фотонов по частотам
- Характерное время ионизации паров натрия под действием лазерного излучения
- Диагностика ультрахолодной плазмы по резонансным оптическим характеристикам
Введение к работе
В работе обсуждаются результаты математического моделирования процессов воздействия резонансного излучения на динамические оптически плотные газовые и плазменные среды. Построенные модели и алгоритмы численного решения систем интегродифференциальных уравнений применены для исследования задач: лазерной резонансной флуоресценции паров металлов и ультрахолодной плазмы; резонансного оптического разряда; ионизации и свечения искусственных бариевых облаков (БО) под действием солнечного света.
Актуальность исследований. Явление резонансной флуоресценции широко используется в спектроскопии для диагностики светящегося газа и плазмы. По спектральным данным, полученным от оптически тонких сред, однозначно определяют параметры излучающего газа. В плотных газовых и плазменных средах их физическое состояние завуалировано эффектами многократного переизлучения (переноса) фотонов атомами и ионами. Для описания процесса блуждания фотонов в плотных средах Холстейн предложил ввести такую оптическую характеристику, как эффективное время высвечивания. Он и независимо от него Биберман также выдвинули предположение о том, что в процессе рассеяния фотонов атомами реализуется модель полного перераспределения по частотам (ППЧ). В итоге, задача о высвечивании оптически плотной среды в приближении Бибермана-Холстейна сводилась к интегральному в стационарном, а к интегродифференциальному в нестационарном случае уравнениям, которые позволяли находить концентрации частиц в возбужденном состоянии для двухуровневой модели атома. Одновременно с выводом данных уравнений авторы предложили и приближенные методы их решения, которые до сих пор часто используются для интерпретации спектроскопических данных по свечению лабораторной и космической плазмы и газов.
Дальнейшее развитие теории переноса излучения было стимулировано задачами астрофизики, связанными с исследованием спектров свечения различных космических объектов, звездных и планетных атмосфер. Их решение позволило сформировать и построить классическую теорию радиационного переноса. Пионерскими в данной области следует считать монографии таких авторов, как Соболев В.В., Иванов В.В., Михалас Д., Нагирнер Д.И., и др.
В настоящее время большой класс задач спектроскопии касается воздействия лазерного излучения на плотные газовые среды и ультрахолодную плазму (УП). Следует отметить, что впервые идею охлаждения плазмы резонансным излучением и ее удержание в магнитооптической ловушке предложили авторы. Сегодня УП является объектом повышенного интереса у теоретиков и экспериментаторов, что вызвано их желанием исследования физических условий процесса кристаллизации плазмы.
Оптический канал получения информации нашел большое применение и в связи с развитием активных ракетных экспериментов в верхней атмосфере Земли и открытом Космосе. Для исследования физических свойств космического пространства с начала 80 – х годов на высотах от 160 км и выше инжектируют искусственные облака (ИО). Находясь в поле солнечного света ИО рассеивают излучение в резонансных атомных и ионных линиях. Спектроскопические данные фиксируются наземной теле- фотоаппаратурой, на основе чего определяется массоперенос, направления и величины высокоширотных ветров, геомагнитных и электрических полей.
Особенности моделей, описывающих взаимодействие излучения с веществом в перечисленных выше постановках задач таковы, что возникает необходимость учета целого ряда сопутствующих факторов: трехмерную геометрию газовой среды; большое количество линий атомов и ионов; различные механизмы формирования спектральной линии и модели перераспределения фотонов по частотам; макроскопический разлет вещества и неоднородное пространственное распределение его параметров (концентрацию, температуру и вектор направления скорости разлета частиц); локальное возбуждение малого объема среды и наличие возбужденных атомов/ионов в среде, формирующих функцию источников; динамику параметров среды и воздействующего излучения. Перенос излучения в таких динамических многоуровневых системах изучен крайне слабо. Таким образом, решение описанного круга задач является возможным только с привлечением численных алгоритмов и развитием методов математического моделирования в теории переноса излучения.
Цель работы состояла в исследовании задач резонансного воздействия солнечного и лазерного излучения на оптически плотные газы и плазму, на основе построенных моделей, численных алгоритмов и пакетов прикладных программ.
В программу исследований входило:
построение физико-математических моделей, описывающих взаимодействие солнечного и лазерного излучения с оптически плотными средами;
разработка численных алгоритмов для решения полученных систем интегродифференциальных уравнений, учитывающих многоуровневость атомов (ионов), конечный замкнутый объем газовой среды, эффекты полного и частичного перераспределения фотонов по частотам, макроскопический разлет вещества, неоднородное пространственное распределение плотности и температуры вещества, совместное действие различных механизмов уширения контура спектральной линии;
проведение численных расчетов по лазерной резонансной флуоресценции и ионизации паров металлов; поглощению лазерного излучения, рассеянию и испусканию света ультрахолодной плазмой; ионизации и свечению БО широкополосным солнечным светом;
анализ расчетных данных и сравнение с натурными и лабораторными экспериментами.
Сложность решения задач о переносе резонансного излучения в многоуровневых динамических средах вызвана также тем, что реализация численных алгоритмов на ЭВМ значительно усложняется необходимостью учета сферической или цилиндрической геометрии газа, локального фотовозбуждения малого объема среды лазерным пучком, частичного перераспределения по частотам, макроскопического движения вещества и др. Одновременный учет хотя бы некоторых из этих физических факторов в одной численной модели сопряжен с серьезными трудностями в вычислительном плане и требует привлечения и дальнейшее развитие численных методов в теории переноса излучения и в вычислительной математике.
Выполненные исследования вносят значительный вклад в развитие научного направления «Перенос резонансного излучения в оптически плотных, динамических, газовых и плазменных средах». Результаты численного моделирования задач: о фотоионизации и свечении БО; лазерной резонансной ионизации и флуоресценции паров щелочных металлов; поглощении, испускании и рассеянии света в расширяющейся ультрахолодной плазме, являются приоритетными в области математического моделирования в лазерной физике, в оптике и спектроскопии, а также в физике космической плазмы и газа.
Методы исследований. Для выполнения поставленных целей автором использовались известные методики расчета сечений и скоростей радиационно-столкновительных процессов, физические справочники оптических характеристик химических элементов, модели и методы физики плазмы и теории переноса излучения, численные методы решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений, дискретно-разностные схемы и методы, квадратурные формулы при вычислении соответствующих интегралов.
Достоверность и обоснованность подтверждается качественным и количественным совпадением результатов с экспериментальными данными натурных ионосферных и лабораторных исследований. Численные модели основаны на уравнениях баланса населенностей, скоростные коэффициенты которых рассчитывались по известным методикам, основанных на квантовомеханических вычислениях. Построенные численные алгоритмы протестированы на аналитических решениях.
На защиту выносятся:
1. Математическая модель процесса распространения солнечного и лазерного излучения в многоуровневых средах сложных геометрических конфигураций.
2. Численные алгоритмы решения систем интегродифференциальных уравнений для сред в форме плоскопараллельного слоя, сферы и цилиндра при полном и частичном перераспределении по частотам, макроскопическом разлете вещества и совместном влиянии различных типов уширения спектральной линии.
3. Результаты численного исследования лазерной флуоресценции и эффективного времени высвечивания паров натрия и лития для различных функций перераспределения фотонов по частотам и геометрий газовых сред, в условии фотовозбуждения всей среды и при локальном облучении малого её объема лазерным пучком.
4. Результаты численных экспериментов по формированию резонансного оптического разряда, расчет уширения ионизованного канала в условии переноса излучения из зоны насыщения на периферию среды и скорости волны ионизации, метод определения характерного времени ионизации паров.
5. Модель, алгоритмы и результаты моделирования процесса испускания света, поглощения и рассеяние лазерного излучения в ультрахолодной плазме, метод определения скорости разлета плазмы.
6. Численное моделирование фотоионизации, фотовозбуждения и свечения бариевого облака под действием солнечного света, расчет спектрально-яркостных характеристик свечения и характерного времени ионизации бария.
Научная новизна. Исследованы динамика переноса излучения в многоуровневых средах, которые имеют форму плоскопараллельного слоя, цилиндра и сферы, характеристики радиационных полей и распределение плотности частиц по объему. Проведен анализ роли возбужденных атомов (ионов), формирующих функцию источников среды, в задачах: о лазерно-индуцированной флуоресценции паров щелочных металлов; резонансной лазерной ионизации паров натрия; испускании света, поглощении и рассеянии лазерного излучения ультрахолодной плазмой; фотоионизации и свечении искусственных бариевых облаков под действием солнечного света.
К числу приоритетных исследований автор относит следующие:
физико-математическую модель и алгоритмы численного решения задачи о переносе широкополосного излучения в оптически плотных многоуровневых средах сложных геометрических конфигураций, которые учитывают полное и частичное перераспределение по частотам, радиальный разлет вещества. Благодаря использованию осевой симметрии поставленных задач удалость более чем в 10 раз сократить размерность системы интегродифференциальных уравнений;
радиационно-столкновительную модель, алгоритмы и результаты численного исследования процесса формирования резонансного лазерного разряда в парах натрия;
исследование влияния расширения зоны насыщения на «аномальную» флуоресценцию паров щелочных металлов, обсуждаемую в некоторых экспериментах, а также роли радиационного переноса в расширении плазменного канала, созданного лазерным излучением;
исследование эффективного времени жизни возбужденных атомов натрия и лития, описываемые различными моделями функций перераспределения фотонов по частотам и геометриями газовой среды, для объяснения и интерпретации экспериментальных данных;
модель, численные алгоритмы и результаты моделирования флуоресценции УП в поле лазерного излучения, методику оценки скорости радиального разлета кальциевой плазмы, основанную на измерении проходящего лазерного излучения в крыле линии;
результаты моделирования фотоионизации и расчет спектрально-яркостных характеристик свечения бариевого облака сферической формы при его фотоионизации широкополосным солнечным светом, которые позволили объяснить сложную цветовую окраску облаков, наблюдаемую в натурных ионосферных экспериментах.
Практическая значимость. Проведение натурных ионосферных экспериментов в верхней атмосфере Земли и открытом Космосе путем инжекции искусственных светящихся облаков определяет необходимость развития методов их дистанционной оптической диагностики. Построенные модели и алгоритмы позволяют рассчитывать спектрально-яркостных характеристики свечения БО, на основании которых можно проводить интерпретацию экспериментальных данных, планировать будущие эксперименты с одновременным прогнозом ожидаемых результатов.
Расчетно-теоретическая модель позволяет по интенсивности рассеянного излучения исследовать эффективное время жизни возбужденных атомов в широком диапазоне физических условий, по сравнению с асимптотической моделью Бибермана – Холстейна. Полученная зависимость от оптической толщины фактора пленения паров натрия и лития позволила указать на то, что немонотонное поведение кривых в эксперименте не следует приписывать эффектам частичного перераспределения по частотам.
По динамике уменьшения во времени интенсивности свечения паров можно рассчитывать характерное время ионизации атомов под действием лазерного излучения.
Исследование роли переноса вторичной радиации вне облучаемую зону среды указало на то, что в ряде экспериментов по резонансному лазерному воздействию на пары металлов, «аномальная» флуоресценция может быть объяснена только расширением области сильного насыщения среды.
Методика расчета скорости разлета ультрахолодной плазмы по измерению интенсивности проходящего лазерного излучения в крыле линии может быть использована на практике.
Численная модель скоростных уравнений баланса населенностей и переноса излучения дополняет и развивает асимптотическую приближенную модель переноса излучения Бибермана – Холстейна. Она, при одновременном учете целого ряда сопутствующих физических условий, привносит значительный фундаментальный вклад в классическую теорию переноса излучения в атмосферах звезд и планет.
Разработанные алгоритмы и методы математического моделирования процесса распространения резонансного излучения в оптически плотных средах сложных геометрических конфигураций могут быть использованы для решения целого класса задач радиационно-ударной кинетики космической и лабораторной плазмы и газов.
Реализация результатов. Расчетные данные по свечению бариевых облаков при их фотоионизации солнечным излучением переданы Институту прикладной геофизики им. академика Е.К. Федорова в форме научно-исследовательского отчета по теме «Моделирование газодинамических, радиационных и электродинамических явлений при образовании ионных облаков в ионосфере».
Апробация работы. Основные результаты и положения диссертационной работы докладывались и обсуждались на конференциях: III рабочее совещание по моделированию космических явлений в лабораторной плазме (г. Новосибирск, 1990); II Всесоюзном симпозиуме по радиационной плазмодинамике (г. Москва, 1991); XI Всесоюзном и XII Межреспубликанском симпозиумах по распространению лазерного излучения в атмосфере и водных средах (г. Томск, 1991 и 1993); I, II, III и IV Межреспубликанских симпозиумах «Оптика атмосферы и океана» (г. Томск, 1994; 1995; 1996 и 1997); II and VI Chine-Russian Symposium on Laser Physics and Laser Technology (Harbin, China, 1995; China, 2002); III, V, VII and IX Russian-Chinese Symposium on Laser Physics and Laser Technology (Krasnoyarsk, Russia, 1996; Tomsk, 2000; Tomsk 2004; Tomsk 2008); Международных конференциях «Математические модели и методы их исследования» (Красноярск, 1997; 1999; 2001); III и IV Всероссийских семинарах «Моделирование неравновесных систем» (г. Красноярск, 2000; 2001); VII International Conferences «Atomic and Molecular Pulsed Lasers» (Tomsk, Russia, 2005).
Материалы диссертации также докладывались на научных семинарах организаций: ИВМ СО РАН (г. Красноярск), ИФ СО РАН им. Л.В. Киренского (г. Красноярск), КрасГУ (г. Красноярск), ИОА СО РАН (г. Томск), ТГУ (г. Томск).
Личный вклад автора. Первоначальные результаты по свечению бариевых облаков были получены совместно со Шкедовым И.М., а по резонансному оптическому разряду и взаимодействию лазерного излучения с УП с Шапаревым Н.Я. Определяющая часть исследований, составляющих содержание работы, получена лично автором.
Структура и объем диссертации. Работа состоит из введения, пяти глав, заключения и библиографии. Содержание диссертационной работы изложено на 244 страницах, включая 90 рисунков. Список используемых источников содержит 175 наименований.
Перенос излучения при частичном перераспределении фотонов по частотам
Для решения большого класса задач радиационно-столкновительной кине тики газа и плазмы необходимо построить физико-математическую модель, ко торая бы правильно описывала процесс взаимодействия широкополосного из лучения с оптически плотной средой, при наличии большого количества атом ных и ионных состояний и переноса излучения в ограниченном газовом объеме, имеющем трехмерную пространственную конфигурацию. Кроме того, в зави симости от рассматриваемых физических условий, может возникнуть необхо димость рассмотрения и целого ряда других сопутствующих факторов, таких, как: частичное перераспределение по частотам; макроскопическое расширение среды; неоднородное пространственное распределение плотности и температу ры вещества в газовом объеме и др. Будем предполагать, что длительность внешнего излучения значительно больше времени фазовой памяти вещества и взаимодействие радиационного поля с веществом является некогерентным. То гда для математического описание задач о взаимодействии излучения с вещест вом можно использовать классические скоростные уравнения баланса населен ностей и переноса излучения. Вид этих уравнений и их число зависит от коли чества уровней атомов (ионов), радиационно-столкновительных механизмов формирующих кинетику населенностей и принятой модели рассеяния фотонов атомом. В настоящей главе описаны постановки задач и численные методы самосогласованного решения скоростных уравнений баланса населенностей и переноса излучения, соответствующие различным физическим условиях [87, 90, 100, 104, 106, 107, 111 - 113, 115, 117, 122, 130, 133]. Все построенные модели предполагают, что угловое распределение излученных атомами (ионами) фотонов изотропно в пространстве. Данное предположение является оправданным для оптически плотных сред, когда фотоны претерпевают большое количество актов переизлучения и информация об их угловом распределении теряется. Модель скоростных уравнений баланса населенностей и переноса излучения для случая частичного перераспределения по частотам (ЧПЧ) и усредненной по углам функции перераспределения построена в разделе 1.4 настоящей работы.
Сформулируем задачу о взаимодействии излучения с веществом в условии полного перераспределения по частотам (ППЧ). Данная модель рассеяния излучения атома предполагает, что частоты поглощенного и испущенного фотона не коррелируют между собой. Здесь и далее рассматриваются стационарные газовые среды, кроме раздела 1.6, в котором сопутствующим переносу излучения фактором является макроскопическое расширение среды при скоростях заметно превышающих тепловые скорости частиц. Предположим, что на газ, состоящий из нейтральных атомов, воздействуют излучением с заданной зависимостью интенсивности от частоты и времени. Внешнее излучение может быть и широкополосным. В зависимости от его параметров и от начальной концентрации атомов в газе могут иметь место различные радиационно-столкновительные процессы, влияющие на кинетику возбуждения и ионизацию атомов. В среде могут образовываться свободные электроны, которые в столкновениях с другими частицами также будут влиять на кинетику. В оптически плотной среде фотоны, излученные возбужденными атомами, испытывают многочисленные акты перепоглощения. Поэтому скорости радиационных процессов фотовозбуждения и фототушения будут зависеть от интегральной по угловым и частотной переменным интенсивности излучения. Она, в свою очередь, в любой точке газового объема формируется под действием всех источников фотонов, как внешнего излучения, так и вторичными источниками — возбужденными атома 23 ми. Необходимо чтобы кинетика населенностей многоуровневых атомов и ионов рассматривалась и решалась в режиме самосогласованном с уравнением переноса излучения в спектральных линиях.
Как уже указывалось, в общем случае воздействия на газ широкополосным излучением, модель скоростных уравнений должна учитывать большое количество уровней. При этом радиационный перенос в отдельной оптически плотной спектральной линии в скоростных уравнениях баланса учитывается коэффициентами вынужденного фотовозбуждения и фототушения, а описывается уравнением переноса радиации для соответствующего резонансного перехода. Поэтому для простоты описания численных алгоритмов, реализующих перенос резонансного излучения в плотных средах, опишем задачу о фотовозбуждении двухуровневого атома. Такая модель является оправданной, если внешнее излучение имеет узкий спектр, а его частота совпадает с частотой резонансного перехода. В таких условиях осуществляется селективное фотовозбуждение отдельной резонансной линии вещества.
В дальнейших параграфах главы описаны различные постановки задач и по мере необходимости соответствующая система скоростных уравнений баланса будет выписана отдельно.
Формирование контура спектральной линии в условии частичного перераспределения фотонов по частотам
Трехдиагональность системы (1.18) обязана тому факту, что уравнение (1.14) для любого номера d связывает три пространственные точки, за исключением первой и последней ее строк, соответствующих граничным условиям (1.15). Коэффициенты Ad, Bd и Cd, которые содержат множители при переменных Ud, Ud+1 HUd., являются диагональными матрицами размерности К. Это связано с тем, что в методе Фортрие для каждого фиксированного номера пространственного узла d коэффициенты при переменных Ud,Ud+1 и Ud., получаются последовательным перебором индексов пит. Ld - есть вектора из К элементов, которые содержат коэффициенты независящие от переменных Ud и получаемые при переборе частотно-углового индекса і в уравнениях (1.14), (1.15). Решение системы линейных уравнений (1.18) проводилось по методу Гаусса, учитывающему трехдиагональную структуру этих уравнений. Это позволило получать значения Ud в заданном наборе частот vn, углов jum и пространственных узлов Zd.
Другой способ решения краевой задачи, представленной в форме разностных соотношений (1.14) - (1.17), основан на методе Райбики и заключается в том, что она записывается в следующей матричной форме где Т; - трехдиагональная матрица, состоящая из коэффициентов при неизвестных Ud_,,Ud HUJ+1 (d = 1,2, ... D) системы уравнений (1.14) и (1.15). Вектор Uj = {Up U\,... U D} содержит неизвестные величины Uj при заданном значении индекса і, который определяется выражением (1.16). Элементами вектора правых частей системы (1.19) являются вектора L; = \L\,V2, ...L D j, состоящими из элементов L d, которые представляют собой свободные члены в разностных соотношениях (1.14), (1.15). Система уравнений (1.19) распадается на К трехдиагональных независимых друг от друга систем линейных уравнений вида ТУЧ), = L„ i = l,2,...К. В этом состоит преимущество метода Райбики по сравнению с методом Фор-трие, которое приводит к снижению объема оперативной памяти ЭВМ для хранения элементов матрицы. Отметим, что такая возможность расщепления частотно-угловых от пространственных переменных в краевой задаче (1.14)-(1.15) появилась благодаря тому, что функция источников S, согласно второму выражению 1.6, не зависит от частотных и угловых переменных.
Описанные выше методы Фортрие и Райбики, которые разработаны для решения краевой задачи (1.11) - (1.13), позволяют получить частотно-угловую зависимость интенсивности излучения в наборе узлов пространственной сетки. Теперь, используя эти зависимости можем перейти к процедуре вычисления интеграла (1.4). Для плоско-параллельного слоя с учетом цилиндрической симметрии задачи и выражений (1.12) его можно преобразовать к виду
В заключении отметим, что решение нестационарных задач о взаимодействии излучения с веществом в условиях применимости модели ППЧ приводит к возможности расщепления частотно-угловых и пространственных переменных для уравнения переноса. Это позволяет существенно сократить размер оперативной памяти ЭВМ, требуемый для хранения элементов матрицы в методе Райбики.
Сферическая геометрия среды. Во многих прикладных задачах важно учитывать распространение излучения в сферическом газовом объеме рис. 1.4. В этом случае, несмотря на сферическую геометрию среды, решение задачи (1.1) - (1.10) имеет ось симметрии, совпадающую с направлением распространения внешнего излучения. Вычисление интегральной интенсивности (1.4) предполагает интегрирование по угловым переменным 3 и ср, что соответствует учету вклада излучения, приходящего в заданную точку г со всего излучающего объема. Заданные значения 3 и ср определяют направление S распространения фотонов в среде. Уравнение переноса (1.7) для заданной частоты v интегрировалось по направлению S, по методу лучевого уравнения [23, 24].
Основная идея метода состоит в том, что каждому такому направлению S, задаваемого углами 3 и ср, можно поставить в соответствие угол 3 и прицельный параметр ,, который равен наименьшему расстоянию от оси симметрии Z до сечения шара, полученного плоскостью, параллельной оси Z и проходящей через луч S. Благодаря цилиндрической симметрии задачи эту плоскость можно повернуть на некоторый угол р, пока она не станет параллельной координатной плоскости XOZ, рис. 1.5. Будем называть ее прицельной плоскостью. В полученном таким образом сечении шара введем двухмерную систему координат X O Z , в которой рассмотрим уравнение переноса (1.7). Тогда при заданном значении угла (р интенсивность излучения I, определяемая уравнением (1.7), в новой системе координат X O Z будет зависеть от переменных (X ,Z ,JX, y,v), где д. = cos 3, у = sin 3 cos ср. Приращение пути ds, пройденное фотонами вдоль направления S (рис. 1.5) в системе координат X O Z выражается соотношениями ds = dx /y = dz /u., в которых dx и dz - элементы пути вдоль осей Xі и Z . Уравнение переноса (1.7) с граничными условиями (1.10) в направлении S , задаваемого параметрами В, и // для заданной частоты у, интегрировалось методом коротких характеристик. Для этого в прицельной плоскости, соответствующей параметру В,, вводится пространственная сетка аналогичная той, которая показана на рис. 1.4. Она строится следующим образом. Граница прицельной плоскости, представляющая собой окружность радиуса R = -yRo -2 , где R0 радиус шара, делится точками на заданное количество равных дуг. Затем через каждую такую точку проводятся прямые, параллельные осям О Х и O Z и точки их пересечения берутся в качестве внутренних узлов прицельной плоскости, рис. 1.4. Вычисление J по (р и 3 подразумевает перебор по значениям этих переменных из всей области их определения. Если же угол ср задан (рис. 1.5), то интегрирование по 3 может быть проведено в прицельной плоскости, соответствующей значению р, используя формальное решение уравнения переноса в заданном направлении S. Допустим, что его не 35 обходимо узнать в какой-либо точке сетки, которую обозначим буквой О. Для этого выберем шаблон рис. 1.6 и через нее проведем прямую в направлении интегрирования S. Для отрезка интегрирования МО формальное решение уравнения переноса принимает вид
Характерное время ионизации паров натрия под действием лазерного излучения
Полное перераспределение по частотам. Интегральная интенсивность (1.4), которая в качестве коэффициента входит в правую часть скоростных уравнений баланса, является функцией населенностей, от которых зависят коэффициент поглощения и функция источников. Поэтому система интегродифференциальных уравнений (ИДУ) (1.1) - (1.10) для первой ее подсистемы (1.1), (1.2) относительно населенностей уровней, представляет собой задачу Коши. В каждый момент времени ее правая часть может быть найдена, используя процедуру расчета интегральной интенсивности, описанной в разделе 1.3. Численное решение задачи Коши предполагает выбор дискретного набора значений времени {tk.}, к = 0,1,2,...,К, где tK =Т - есть некоторый характерный временной масштаб рассматриваемого процесса. Для каждого tk нужно получить информацию о состоянии среды и радиационном поле. Следует указать на то, что в общем случае скоростные уравнения баланса могли включать достаточно большое количество атомных и ионных уровней. При этом полученная для многоуровневой модели система балансных уравнений по структуре подобна уравнениям (1.1), (1.2), которую необходимо интегрировать одновременно для всего набора пространственных узлов. Поэтому полное число уравнений ND=(na+n+-l)-D, где D - количество сеточных точек центральной прицельной полуплоскости, па - количество атомных, а п+ - ионных уровней.
Единица из последнего соотношения вычитается ввиду того факта, что в общем случае одно из уравнений заменялось уравнением, представляющем закон сохранения полного количества частиц (атомов и ионов). Таким образом, использование симметрии решения позволяет сократить размерность задачи (1.1), (1.2), а не решать ее для пространственных узлов всего объема.
Задача Коши (1.1), (1.2) при известной правой ее части представляет собой систему обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ), относительно населенностей уровней атомов и ионов, полная размерность которой составляет величину ND. В силу большой жесткости системы ОДУ ее решение для насе ленностей уровней Y,(t) в наборе ND проводилось по схеме неявных линейных многошаговых методов для уравнений вида с использованием алгоритма Адамса и Гира [137], реализующего переменный порядок и шаг интегрирования.
Численное решение системы обыкновенных дифференциальных уравнений в условии ЧПЧ. Вспомогательная переменная n2(v), как было указано выше, позволяет выделить явную частотную зависимость из функции источников S . Для нахождения зависимости интенсивности излучения от частоты уравнение переноса нужно решать для всего набора населенностей п2 (v), которые, в свою очередь, определяются из скоростных уравнений баланса. Для численного решения системы уравнений (1.24), (1.25) - (1.27) вводим дискретный набор подуровней возбужденного состояния, охватывающих всю линию. Тогда для населенностей N2(v) можем написать N2(Vj) = n2(v;)-Ov , где vx дискретный набор частот. Теперь уравнение баланса (1.25) с начальным условием дает систему уравнений - населенности всех М - подуровней возбужденного состояния, а вместо іл использованы относительные частоты х;.
Уравнения (1.24), (1.25) описывают кинетику многоуровневого атома и имеют ту же интегро-дифференциальную структуру, как и уравнения баланса населенностей совместно с уравнением переноса излучения в условии ППЧ. Построенный для случая ЧПЧ численный метод также сводился к схеме (1.33). При его численной реализации дискретный набор частот vt выбирался в соответствии с узлами квадратурной формулы Эрмита. Ее использование позволяло вычислить функции R„, Rni и интеграл в выражении (1.34). Коэффициенты Jv и J согласно (1.28) вычислялись по описанной в разделе (1.3) процедуре. Коэффициент поглощения, имеющий вид функции Фойгта (1.8 в), для каждого значения частоты vt вычислялся с точностью до трех первых слагаемых разложения функции Фойгта в ряд по степеням параметра а, поскольку в нашем случае можно считать, что а «1. Эти слагаемые выражались через интеграл Доусона, значения которого также протабулированы в [136].
Первоначально интерес к проблеме формирования спектральных линий в движущихся газовых средах был инициирован астрофизическими наблюдениями в середине 50-х годов прошлого столетия. Спектры испускания атмосфер некоторых звезд свидетельствовали о существовании скоростей, заметно превышающих тепловые скорости и приводящих к расширению вещества в целом. Такие данные были получены, в частности, из анализа допплеровских ширин спектральных линий, которые, по оценкам астрофизиков, значительно превышали ширины, соответствующие тепловым движениям атомов. При этом стало также известно, что скорости расширения вещества изменяются в широких пределах: от нескольких скоростей теплового движения частиц (атомов, ионов) до сверхзвуковых скоростей расширения атмосфер. В зависимости от этого в теории переноса излучения в звездных атмосферах существует несколько подходов к решению поставленной задачи. При сверхзвуковом расширении новых и сверхновых звезд известен приближенный метод Соболева [5]. В системе отсчета, связанной с наблюдателем перенос радиации описывается в медленно расширяющихся атмосферах. Во всей промежуточной области, также как и в обоих предельных случаях, пригодным является подход, в основе которого лежит использование сопутствующей системы координат [7].
Диагностика ультрахолодной плазмы по резонансным оптическим характеристикам
В данном разделе акцентируем внимание на некоторых проблемах разработки численных алгоритмов для решения задачи о переносе излучения в трехмерной газовой среде и опишем результаты тестирования построенных моделей. Одной из первой встала проблема построения расчетной сетки в прицельных плоскостях для сферического объема. Используемая пространственная сетка (рис. 1.4) имеет следующие положительные свойства: во-первых, узлы расчетной сетки точно ложатся на границу круга; во-вторых, шаг сетки (размер ячейки) неравномерный и уменьшается у границы среды. Это позволяет уменьшить ошибки ограничений и округлений дискретно—разностных схем у границы объема, где выход фотонов приводит к сильным градиентам изменения интенсивности радиационного поля. Последнее обстоятельство объясняет принцип расположения прицельных плоскостей для сферы рис. 1.7 и для цилиндра, которые сгущаются у границы среды. Тестовые расчеты показали, что для двухмерного круга (прицельные плоскости для сферы имеют форму круга) чрезвычайно критичным оказалось то, каким способом решать уравнение переноса. Первоначально был разработан метод двухточечной краевой задачи, для которого уравнение переноса, используя замену переменных Фортрие [21, 22], преобразовывалось к уравнению второго порядка. Такая задача на двухмерной сетке затем сводилась к схеме Райбики [7, 87]. Тестовые расчеты интенсивности радиационного поля при решении двухточечной краевой задачи проводились при однородном распределении в узлах двухмерной пространственной сетки значений коэффициента поглощения %0 и функции источников S. Граничные условия для уравнения переноса имели также второй порядок и использовались различные пространственные шаблоны [136]. Даже при однородном пространственном распределении сеточных значений %Q и S при оптических толщинах среды на центральной частоте линии в несколько единиц, метод двухточечной краевой задачи давал большие ошибки в расчете спектральной интенсивности. Это было вызвано неравномерной пространственной сеткой и наличием значительных пространственных градиентов радиационного поля, поскольку в дискретно-разностных схемах использовалась длинная характеристика радиационного поля [20-22]. Наличие криволинейной границы для сферической геометрии также требует правильного подбора пространственного шаблона для граничных условий, которые, так же как и уравнение переноса должны иметь второй порядок точности. В отличие от схемы Райбики, превосходный результат при тестовых расчетах показал метод коротких характеристик [24], основанный на формальном решении уравнения переноса в интегральной форме. Он давал стабильные результаты в тестовых расчетах при таком же самом количестве пространственных узлов рис. 1.4 для оптической толщи среды превосходящей 100.
Исследуем теперь вопрос относительно правильности учета переноса излучения в трехмерном газовом объеме. Для этого рассматривался двухуровневый атом натрия, включающий основное 3S1/2 и возбужденное ЗР1/2 состояния (линия с длиной волны 589нм). Концентрации атомов в начальный момент времени соответствовали случаю сильного фотовозбуждения резонансной линии. При этом заселенности уровней находятся в отношении их статистических весов. При таких начальных данных, в отсутствии внешнего источника излучения, задача (1.1) - (1.4) и (1.6) - (1.7) для двухуровневого атома описывает процесс распада возбужденного состояния в условии послесвечения. Исследовался численно фактор пленения Бибермана — Холстейна, представляющий собой отношение естественного времени жизни возбужденного уровня к эффективному времени жизни, в зависимости от оптической толщины среды в форме сферы и цилиндра. Использовался декремент затухания интегральной в линии (589нм) интенсивности послесвечения по оптической трассе соответствующей диаметру сферы и диаметру цилиндра (ось Z на рис. 1.8). Методика расчета эффективного времени жизни основана на определении гЭф в теории Бибермана - Холстейна [1], согласно которой временная эволюция населенности возбужденного состояния описывается самой долгоживущей модой, пропорциональной множителю « exp( / г3ф). Теперь, предполагая, что интегральная в линии интенсивность флуоресценции пропорциональна населенности возбужденного состояния, можем использовать для расчета гЭф соотношение - интегральная интенсивность флуоресценции, определяемая в начальный момент времени населенностью возбужденного состояния. Из последней формулы можем вывести дискретно-разностное соотношение вида которое позволяет получить значение гЭф, используя рассчитанные численно дискретные значения интенсивности флуоресценции Jj в моменты времени tj. На достаточно больших временах процесса распада график зависимости гЭ()) от времени t выходит на стационарное значение, которое и будет являться эффективным временем распада. Результаты расчетов показаны на рис. 1.11 кривой 1 для цилиндрической геометрии среды при Н0 /2R0 -би допплеровском контуре линии поглощения. Для сравнения кривой 2 изображена зависимость фактора пленения для бесконечно-длинного цилиндра в асимптотической модели Бибермана - Хол-стейна [4]. Для допплеровского контура линии поглощения эта зависимость задаётся формулами:
