Содержание к диссертации
Введение
1. Состояние исследований пространственной структуры излучения лазеров с продольной накачкой 12
1.1. Особенности лазеров с продольной накачкой 12
1.1.1. Схема продольной оптической накачки 12
1.1.2. Соотношение между диаметрами моды и накачки 13
1.1.3. Профилированное усиление и механизм искажения пространственной структуры излучения 14
1.2. Подходы к описанию лазеров с продольной накачкой 15
1.2.1. Приближение амплитудного экрана 15
1.2.2. Методы расчета пространственной структуры излучения 18
1.2.3. Способы характеризации пространственной структуры 19
1.3. Синхронизация поперечных мод в лазерах с продольной диодной накачкой. 20
2. Структура основной моды аксиально-симметричных лазеров с устойчивыми резонаторами при пространственно неоднородном усилении 30
2.1. Постановка задачи 30
2.1.1. Модельный резонатор 30
2.1.2. Итерационный метод Фокса-Ли, система уравнений 32
2.1.3. Параметр |/?о|2 как характеристика основной моды 35
2.2. Результаты расчёта зависимости |/?о|2 от параметров конфигурации g\, g2 36
2.3. Структура основной моды в критических конфигурациях 38
2.4. Обсуждение результатов 41
2.4.1. Физическая интерпретация на основе фазовых набегов 42
2.4.2. Разложение по системе лагерр-гауссовых функций 43
2.5. Структура основной моды в резонаторе некритической конфигурации и в случае внутрирезонаторной диафрагмы 49
2.6. Краткие итоги 51
3. Влияние параметров пространственно неоднородного усиления на основную моду в окрестности критических конфигураций 53
3.1. Влияние коэффициента и степени неоднородности усиления 53
3.2. Матричное представление взаимодействия пучковых мод при пространственно неоднородном усилении 55
3.3. Аналитическая модель двух взаимодействующих пучков 59
3.4. Определение пороговых значений параметров, обеспечивающих синхронизацию поперечных мод 61
3.4.1. Случай строгого вырождения 61
3.4.2. Случай отстройки от строгого вырождения 65
3.5. Краткие итоги 69
4. Пространственная структура излучения при синхронизации поперечных мод в лазере с астигматическим резонатором 71
4.1. Экспериментальная установка 71
4.2. Распределения интенсивности выходного излучения при различных длинах резонатора 73
4.3. Численная модель расчета пространственной структуры излучения лазера с нарушенной аксиальной симметрией 77
4.3.1. Представление распределений комплексной амплитуды 77
4.3.2. Элементарные оптические системы 78
4.3.3. Составные оптические системы 80
4.3.4. Расчет мод резонатора 80
4.4. Результаты расчета, сравнение с экспериментом и обсуждение 81
4.5. Особенности фокусировки излучения, формируемого при синхронизации поперечных мод 88
4.5.1. Изучаемые пучки 89
4.5.2. Экспериментальная регистрация продольных оптических ландшафтов 91
4.5.2. Обсуждение 93
4.6. Симметрия пространственной структуры излучения при синхронизации поперечных мод в условиях астигматизма резонатора 95
6.6.1. Условия реализации круговой симметрии и ее нарушения 95
4.6.1. Численное моделирование распределений интенсивности для различных коэффициентов пропускания выходного зеркала 100
4.6.3. Экспериментальная проверка 101
4.7. Краткие итоги 103
5. Особенности фокусировки излучения диодных линеек с волоконным выводом и структура излучения компактного NdiYLF^aaepa 105
5.1. Пространственное распределение интенсивности излучения диодных линеек с волоконным выводом и расчет инверсии в схеме продольной накачки твердотельных лазеров 105
5.1.1. Пространственное и угловое распределения излучения на выходе световода 105
5.1.2. Моделирование распространения пучка накачки 108
5.1.3. Экспериментальная регистрация распределений интенсивности накачки 111
5.2. Пространственная структура излучения компактного Nd: YLF-лазера с накачкой мощным одиночным лазерным диодом 114
5.2.1. Схема компактного лазера 115
5.2.2. Пространственная структура излучения в случаях кристаллов Nd:YLF и Nd:YAG 116
5.3. Краткие итоги 119
Заключение 120
- Подходы к описанию лазеров с продольной накачкой
- Структура основной моды в критических конфигурациях
- Случай строгого вырождения
- Результаты расчета, сравнение с экспериментом и обсуждение
Введение к работе
Диодная накачка твердотельных лазеров вызывает в настоящее время все больший интерес, поскольку позволяет получить высокую эффективность генерации, качество излучения при относительной простоте реализации и компактности [1,2]. В режиме генерации на нескольких поперечных модах эффективность «свет - свет» лазеров с диодной накачкой может достигать 70% [3,4]. Для многих практических применений предпочтителен режим одномодовой генерации. Так, в [5] сообщается о реализации высокоэффективной (58%) одномодовой генерации с близким к гауссовому распределением поля при использовании поперечной схемы накачки. Усреднение пространственной неоднородности накачки проводилось в достаточно сложной схеме с применением геометрии полного внутреннего отражения в активной среде и специально разработанного, астигматически исправленного резонатора с цилиндрическими элементами. Другой и более простой с практической точки зрения способ генерации одномодового излучения — использование продольной схемы накачки, при которой излучение накачки вводится в активную среду вдоль оси резонатора через одну из торцевых граней [6,7]. Практический интерес представляет случай узкого пучка накачки, диаметр которого меньше диаметра нулевой моды пустого резонатора. Именно в этом случае удается реализовать высокоэффективную генерацию на гауссовой моде пустого резонатора [8,9].
В последнее время обсуждается возможность применения импульсно-периодических пикосекундных твердотельных лазеров с высокоэффективной диодной накачкой и электрооптическим управлением генерацией [10] в составе лазерно-электронных генераторов рентгеновского излучения, основанных на Томсоновском рассеянии [11-15], занимающих промежуточное положение между рентгеновскими трубками и синхротронными источниками.
Разработка и оптимизация твердотельных лазерных систем с продольной диодной накачкой представляет собой достаточно емкую задачу. Частью ее является исследование пространственной структуры выходного лазерного излучения.
Можно выделить две основных группы факторов, приводящих к снижению качества пространственной структуры генерируемого излучения. К первым относятся связанные с термооптическими эффектами внутрирезонаторные фазовые искажения, например аберрации тепловой линзы и термоиндуцированное двулучепреломление. Тепловые эффекты играют значительную роль в генераторах и усилителях с мощной накачкой. Второй причиной искажений пространственной структуры излучения являются дифракционные эффекты на внутрирезонаторных элементах. Основным таким элементом в лазерах с продольной диодной накачкой, является активная среда с профилированным, т.е. неоднородным по поперечному сечению, распределением усиления, характерным для случая узкой накачки.
Активная среда с профилированным усилением представляет собой элемент с негауссовой функцией пропускания. В общем случае излучение лазера с таким элементом должно отличаться от гауссовых пучков, описывающих моды резонатора с гауссовыми элементами. Возникает естественный вопрос, какими изменениями пространственной структуры излучения сопровождается выигрыш в эффективности генерации, полученный за счет формирования профилированного усиления? При этом, актуальной является задача о влиянии конфигурации резонатора на искажения пространственной структуры за счет профилированного усиления.
Продольная схема накачки используется не только в твердотельных лазерах с диодной накачкой. Она также находит применение для накачки лазеров на красителях и лазеров на титан-сапфире. Кроме того, реализованы продольные схемы накачки твердотельных активных сред излучением газовых [16], твердотельных [17] и лазеров на красителях[18].
Эксперименты [19-21] показывают, что существует ряд так называемых критических конфигураций резонатора, в которых при накачке узким пучком наблюдаются заметные отличия пространственной структуры излучения от гауссовой, в то время как при достаточной отстройке от критических конфигураций пространственная структура излучения близка к гауссовой. Существование критических конфигураций связывается с вырождением мод пустого резонатора по частоте. Любая суперпозиция вырожденных по частоте мод самовоспроизводится за полный обход резонатора [22]. Перераспределение энергии в системе мод, вызванное пространственной неоднородностью усиления, приводит к синхронизации поперечных мод: формируется суперпозиция, обеспечивающая максимальное усиление. Для того чтобы обеспечить синхронизацию поперечных мод, или наоборот, исключить возбуждение высших мод в лазерах с продольной накачкой, необходимо исследование как системы критических областей на диаграмме устойчивости, так и пространственной структуры излучения в окрестности отдельных критических конфигурациях в зависимости от параметров резонатора и накачки.
Многомодовые пучки, формирующиеся в резонаторах с вырождением при профилированном усилении, могут найти применения для создания новых оптических ландшафтов в технологии манипуляции микро- и наночастицами с помощью лазерного излучения [23,24].
В имеющихся на данное время работах рассмотрена синхронизация поперечных мод в лазерах с резонаторами длиной до 10см. Во многих типах пикосекундных и фемтосекундных лазеров [10,25-27] применяются резонаторы длиной ~100см и более. Синхронизация поперечных мод в резонаторах такой длины не рассматривалась.
Таким образом, синхронизация поперечных мод в лазерах с продольной накачкой представляет собой многогранную задачу, исследование которой является в настоящее время актуальным по целому ряду аспектов.
Цели и задачи диссертационной работы
Расчет методом Фокса-Ли распределений амплитуды, фазы и модового состава излучения для критических конфигураций. Определение количества критических конфигураций на диаграмме устойчивости в зависимости от числа Френеля.
Определение значений параметров резонатора и накачки (коэффициента и степени неоднородности усиления), обеспечивающих синхронизацию поперечных мод в критических конфигурациях. Разработка аналитической модели для получения простых оценок данных значений.
Исследование эффекта синхронизации поперечных мод в лазерах с метровыми резонаторами и сравнение с результатами, полученными при длине резонатора до десяти сантиметров.
Исследование пространственных распределений интенсивности излучения диодных линеек с волоконным выводом. Разработка модели расчета распределений инверсии населенностей в активной среде.
Научная новизна
Впервые определено влияние числа Френеля на количество критических конфигураций на диаграмме устойчивости двухзеркального резонатора. По форме распределений интенсивности на зеркалах обнаружено существование двух типов критических конфигураций, определяемых параметрами вырождения.
Разработана аналитическая модель двух пучков, взаимодействующих за счет пространственной неоднородности усиления, позволяющая определить условия, обеспечивающие синхронизацию поперечных мод. Показано, что результаты аналитической модели близки к полученным численным методом Фокса-Ли.
Оригинальными являются полученные оценки пороговых значений параметров распределения усиления (диаметра и усиления на оси) и
ширины диапазона отстроек от строгого вырождения, при которых реализуется синхронизация поперечных мод. 4. Впервые исследована синхронизация поперечных мод в лазере с метровым резонатором. Обнаружено нарушение круговой симметрии пространственной структуры излучения, связанное с астигматизмом резонатора. Определены условия проявления астигматизма.
Практическая ценность
Получены простые аналитические оценки значений диаметра накачки, позволяющих обеспечить или исключить проявление той или иной критической конфигурации. Определены ширины критических областей на диаграмме устойчивости.
Продемонстрирована возможность диагностики слабого астигматизма лазерных кристаллов в условиях расщепления вырождения при синхронизации поперечных мод. Показано, что для диагностики предпочтительно использовать глухие резонаторы больших длин.
В схеме компактного лазера с накачкой одиночным лазерным диодом мощностью 5 Вт продемонстрирована возможность разделения конфигураций резонатора на критические и некритические в случае использования в качестве активной среды кристаллов Nd:YLF и невозможность такого разделения в случае кристаллов Nd:YAG. Предложена методика поиска оптимальной конфигурации резонатора.
Защищаемые положения
1. Число областей на диаграмме устойчивости двухзеркального лазерного резонатора, в которых при продольной накачке реализуется синхронизация поперечных мод, растет с увеличением числа Френеля, оставаясь ограниченным значением, определяемым отношением диаметров пучка накачки и нулевой моды холодного резонатора. Области синхронизации расширяются с увеличением резонаторных потерь.
Излучение, формирующееся при синхронизации поперечных мод в лазере с продольной накачкой, в зависимости от параметров вырождения имеет на противоположных зеркалах либо близкие, либо существенно различающиеся распределения интенсивности.
Модель, построенная на анализе взаимодействия двух мод в условиях пространственно неоднородного усиления, позволяет получить аналитические выражения для пороговых значений параметров распределения усиления и параметров резонатора, при которых реализуется синхронизация поперечных мод.
При синхронизации поперечных мод в условиях проявления астигматизма резонатора для каждого обнаруживающегося вырождения имеют место две различные длины резонатора, при которых излучение представляет собой суперпозиции эрмит-гауссовых мод с нулевыми значениями первого и второго индекса соответственно.
Апробация результатов работы
Основные результаты диссертационной работы отражены в следующих статьях, опубликованных в рецензируемых журналах из списка ВАК России:
М.В. Горбунков, П.В. Кострюков, Л.С.Телегин, В.Г. Тункин, Д.В. Яковлев, «Особенности структуры основной моды лазеров с устойчивыми резонаторами при пространственно неоднородном усилении», Квантовая электроника, 37(2), 173-180 (2007).
М.В. Горбунков, П.В. Кострюков, В.Г. Тункин, «Влияние параметров резонатора и пространственно неоднородного усиления на пространственную структуру основной моды лазеров с устойчивыми резонаторами», Квантовая электроника, 38(7), 689-694 (2008).
V.V. Bezotosnyi, Е.А. Cheshev, M.V. Gorbunkov, P.V. Kostryukov, V.G. Tunkin, «Manifestation of active medium astigmatism at transverse mode locking in a diode end-pumped stable resonator laser», Applied Optics, 47(20),3651-3657(2008).
4. М.В. Горбунков, П.В. Кострюков, В.Б. Морозов, А.Н. Оленин, Л.С. Телегин, В.Г. Тункин, Д.В. Яковлев, «Пространственное распределение интенсивности излучения диодных линеек с волоконным выводом и расчет инверсии в схеме продольной накачки твердотельных лазеров», Квантовая электроника, 35(12), 1121-1125 (2005).
Результаты работы также докладывались автором на международных конференциях:
IV Международная конференция молодых ученых и специалистов «Оптика - 2005», Санкт-Петербург, Россия, 17-21 октября 2005.
The Third Conference on Laser Optics for Young Scientists (LOYS 2006), Saint-Petersburg, Russia, June 26-30, 2006
International Conference on Lasers, Applications, and Technologies (ICONO/LAT 2007), Minsk, Belarus, May 28 - June 1, 2007
XV Международная научная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов», секция «Физика», Москва, Россия, 8-11 апреля 2008.
International Conference "Laser Optics 2008", St.Petersburg, Russia, June 23-28, 2008
Личный вклад автора
Все изложенные в диссертационной работе оригинальные результаты получены автором лично или при его непосредственном участии.
Подходы к описанию лазеров с продольной накачкой
При изучении влияния пространственно неоднородного усиления на пространственную структуру излучения удобным оказывается приближение амплитудного экрана. В данном случае активная среда заменяется тонким листом с некоторым профилем усиления. Критерием применимости данной модели является соотношение между длиной активной среды LAM и длиной Рэлея для лазерного излучения zR = KW2 І Я, где, А — длина волны лазерного излучения, w — эффективный поперечный размер лазерного пучка в активной среде. В качестве простой оценки w можно использовать параметр ширины гауссовой моды пустого резонатора, который с точностью до множителя, зависящего от конфигурации резонатора равен vAL/л-, L — длина резонатора. Таким образом, активную среду можно считать тонкой, если LAM «: L. В частности, для четырехуровневой активной среды профиль усиления мощности для амплитудного экрана определяется следующим образом: где 1р(х,у) — интенсивность накачки в активной среде, а — коэффициент поглощения накачки. В случае протяженной среды, ее можно представить в виде цепочки амплитудных экранов с профилями усиления (1.2), для которых интегралы в показателе экспоненты рассчитываются по участкам среды с центрами в плоскостях экранов. Так, модель цепочки амплитудно-фазовых экранов применялась в [39] для анализа пространственной структуры излучения Ыа!:УАО-лазера с ламповой накачкой. Активная среда разбивалась на 18 участков, которые при расчете заменялись амплитудными экранами. Модель цепочки экранов применялась также в [40,41] для расчета пространственной структуры излучения проточного газодинамического лазера с неустойчивым резонатором. Резонатор, заполненный активной средой, разбивался на 7 участков (всего 14 на полный обход резонатора), каждый из которых заменялся амплитудно-фазовым экраном. В лазерах с продольной накачкой приближение амплитудного экрана, как правило, выполняется, и в расчетах активная среда предполагается тонкой [21,42-44]. В представляющем практический интерес случае неоднородной накачки с f 1 активная среда представляет собой своеобразную диафрагму, отличающуюся от обычной диафрагмы тем, что при удалении от оси коэффициент пропускания приближается к ненулевому значению. В большинстве работ, посвященных моделированию пространственной структуры лазеров с продольной накачкой [43,45], тонкая активная среда описывается гауссовым профилем пропускания амплитуды: где ЛГо — усиление на оси, wG — ширина области усиления. Заметим, что такой профиль усиления характерен для четырехуровневых активных сред.
В данном случае пропускание при удалении от оси приближается к единице, в то время как в случае трехуровневой среды значение пропускания на периферии 1 и зависит от концентрации лазерных ионов и длины среды. Однако и в случае трехуровневой активной среды при расчетах пространственной структуры излучения можно ограничиться профилем усиления (1.3). Поскольку умножение функции пропускания на число не изменяет поперечной структуры мод [38], при расчетах для случаев трехуровневых активных сред можно использовать профиль вида (1.3) со значением Ко равным отношению пропускания трехуровневой среды на оси к пропусканию на периферии. Характерные отличия 1,5- профилированного усиления (1.3) демонстрирует рис. 1.2, на 1 0 котором приведены функции $4 пропускания для жесткой диафрагмы, гауссовой диафрагмы, Четырех- И Трехуровневых -4-2024 активных сред при продольной Рис. 1.2. Характерные функции пропускания накачке. Там же приведено четырех- U) и трехуровневых (2) активных распределение сред, гауссовой (3) и жесткой (4) диафрагм и интенсивности распределение амплитуды нулевой моды (5) гауссовой моды пустого резонатора. Ширины приведенных профилей усиления в три раза меньше ширины гауссовой моды пустого резонатора. Модами резонаторов с гауссовыми элементами являются лагерр-гауссовы, эрмит-гауссовы и айнс-гауссовы пучки, являющиеся собственными решениями уравнений в декартовых, полярных и эллиптических координатах. Свойства таких пучков хорошо известны и достаточно подробно описаны в литературе (см., например, [38,46-48]). Значения комплексного радиуса кривизны гауссовых мод в опорных плоскостях резонатора вычисляются по АВ CD-методике [49]. На рис. 1.2 также приведена функция пропускания гауссовой диафрагмы. Следует отметить, что при той же ширине она существенно отличается от профилей усиления за счет нулевого пропускания в периферийной области, и поэтому при расчете пространственных распределений излучения активная среда не может быть заменена гауссовой диафрагмой. Прямым методом расчёта мод лазера, в том числе содержащего элементы с произвольной негауссовой фазовой и/или амплитудной передаточной функцией, является итерационный метод Фокса-Ли [50]. Модами резонатора являются собственные функции системы интегральных уравнений, связывающих комплексные амплитуды в опорных плоскостях. Система уравнений решается итерационным методом, который в некоторой степени соответствует физическому процессу установления пространственной структуры излучения в результате многих проходов по резонатору. Итерации повторяются до тех пор, пока пространственное распределение поля не станет воспроизводиться с заданной точностью. Сформированное распределение поля и является модой резонатора [50,51]. В ряде случаев [42,44] при использовании метода Фокса-Ли, для описания распространения излучения по участкам резонатора, представляющим собой ABCD-системы применяется т.н. формула Коллинза [52,53].
Искажения основной моды пространственно неоднородным усилением, связанным с неоднородным насыщением усиления [54] и неоднородной накачкой твердотельного лазера [55], рассчитывались итерационным методом ещё в 1965г. В частности было показано [54], что при слабом насыщении мода остаётся гауссовой; при достаточно большом насыщении амплитуда моды сохраняет гауссов профиль, но наблюдаются сильные фазовые искажения. Примерно такой же результат был получен в [55]: неоднородность накачки мало сказывается на профиле амплитуды основной моды, однако фаза искажается заметным образом. Мощным методом расчета пространственной структуры излучения лазеров с неоднородным усилением является метод, основанный на представлении распределений комплексной амплитуды в виде набора коэффициентов разложения по набору ортонормированных функций, описывающих моды холодного резонатора [56]. Такой метод применялся в [40] для анализа пространственной структуры излучения проточного газодинамического лазера, для изучения пространственной структуры излучения газового лазера с диафрагмой, расположенной на оси резонатора [57,58] и смещенной относительно нее [59], и для расчета распределений интенсивности твердотельного лазера с продольной диодной накачкой [21]. В случае слабой неоднородности могут также применяться методы теории возмущений [60]. Способ описания резонаторов с негауссовым элементом предложен Силичевым в [61]. В предположении, что пространственная структура излучения слабо отличается от гауссовой, построена модель, в которой негауссовый элемент заменятся на гауссову систему, содержащую линзу и гауссову диафрагму. Общепринятого критерия, характеризующего отличия пространственной структуры излучения от гауссовой, не существует. В представляющий собой долю энергии, содержащуюся в гауссовом пучке, описывающем исходный с минимальным среднеквадратичным отклонением. В работах [43,44] пространственная структура излучения характеризовалась К-фактором Петерманна, определяемым следующим образом: Как видно из выражения, значение .йГ-фактора характеризует отличие распределения фазы от однородного, что удобно с учетом того, что неоднородное по поперечному сечению усиление приводит к заметным фазовым искажениям [54,55]. В работе [43] для описания пространственной структуры излучения использовался также параметр М [62].
Структура основной моды в критических конфигурациях
Рассмотрим распределения амплитуды и фазы полей основной моды ряда резонаторов характерных критических конфигураций. На рис. 2.5 изображена структура основной моды конфокального (а) и плоскосферических резонаторов критических конфигураций с g\ - 1 и g2 = 0.5 (б), 0.75 (в), 0.18826 (г), 0.25 (д), 0.65451 (е) и 0.049516 (ж) при NF= 30, К0 = 2.0, = 3. В столбце I приведены мі(г) и \и2(г)\ (красная и черная кривые соответственно), в столбце II — arg щ{г), в столбце III — и4(г) в столбце IV — arg щ{г). В столбцах II и IV приведена фаза основной моды на поверхности зеркал, т.е., фактически показаны отличия распределения фазы от параболического, соответствующего моде пустого резонатора. Также синими линиями показаны распределения амплитуды гауссовой моды пустого резонатора. По горизонтальной оси откладывается величина rhv2A, где w2A — радиусы гауссовой моды в соответствующих плоскостях. Распределения амплитуды основной моды существенно отличаются от соответствующих гауссовой моде пустого резонатора. Для критических конфигураций распределения tti,2(r) состоят из приосевого пичка и достаточно широкого пьедестала. Особенно ярко пичок выражен в конфигурациях (0,0), (1,0.5), (1,0.75) и (1,0.25). По характеру распределения амплитуды основной моды на противоположном зеркале м4( ) резонаторы можно разделить на две группы. Конфигурации, для которых gi = g2 = 0; gig2 = 0.5, 0.75, 0.18826 (рис. 2.5а-г) относятся к первой группе. Для конфигураций первой группы характерны существенные различия распределений иі,2(г) и \щ{г)\. Ширина распределения амплитуды основной моды конфокального резонатора на зеркале 32 заметно превышает ширину гауссовой моды пустого резонатора. В распределении \щ(г)\ отсутствует приосевой пичок. Слабовыраженная кольцевая структура пьедестала в \щ {г)\ сопровождается резкими скачками фазы на ±ж (рис. 2.5 я-П). В отличие от конфокальной конфигурации, для остальных резонаторов первой группы распределения амплитуды на зеркале 32 имеют кольцевую структуру, наиболее выраженную для g\g2 = 0.5 (рис. 2.56-Ш). Амплитуда основной моды резонаторов второй группы (рис. 2.5д-ж) имеет сходные распределения на обоих зеркалах в координатах, нормированных на соответствующие радиусы гауссовой моды пустого резонатора.
Что касается распределения фазы, то в качестве особого случая можно отметить .динамически стабильный резонатор (g\gi — 0.5), для которого на плоском зеркале реализуется постоянное распределение фазы (рис. 2.56-11), что находится в соответствии с расчётами, проведенными в работе [43]. Постоянное распределение фазы также реализуется на зеркале 32 в случае конфокального резонатора (рис. 2.5#-IV). Для резонаторов других конфигураций фаза на зеркале не является постоянной и сложным образом зависит от расстояния до оси резонатора. 2.4. Обсуждение результатов Существенные отличия структуры основной моды от гауссовой обусловлены особенностью передаточной функции активной среды при неоднородном усилении (2.1). Значительную роль играет конечное значение передаточной функции в приосевой области с выходом на постоянный ненулевой уровень при удалении от оси. Следует отметить, что при использовании гауссовой диафрагмы, основная мода имеет гауссову структуру в каждом сечении резонатора, но значение комплексного параметра отличается от значения, соответствующего моде пустого резонатора (без диафрагмы). Неоднородное усиление приводит к иному характеру основной моды. Результаты проведенных расчетов показывают, что при неоднородном усилении существенные отличия структуры основной моды от гауссовой моды пустого резонатора реализуются только в случае определенных, так называемых критических конфигураций резонатора. В критических конфигурациях, как показывают расчеты, существенные отличия основной моды от гауссовой возникают в весьма широком диапазоне изменения KQ, при этом структура основной моды качественно не меняется. Примерами наиболее ярко выраженных критических конфигураций устойчивых резонаторов являются конфигурации с gig2 = 0.5, 0.25, 0.75. Распределения амплитуды z/i 2(r) для указанных конфигураций, имеют вид приосевого узкого пичка заметной амплитуды на фоне относительно широкого пьедестала. Характерная ширина пичка существенно меньше ширины гауссовой моды пустого резонатора. Ясно, что набор лагерр-гауссовых пучковых мод, образующий основную моду, содержит, в том числе, пучки высоких порядков. Другой особенностью критических конфигураций является воспроизведение распределения амплитуды моды: сохранение пичка и особенностей пьедестала при проходе участка резонатора, не содержащего активной среды, т.е. от выходной плоскости активной среды №2 до противоположного зеркала и обратно до плоскости №1.
Из этого с необходимостью следует, что при этом разности фазовых набегов лагерр-гауссовых пучков, образующих основную моду, кратны 2%. Если значение комплексного параметра системы лагерр-гауссовых пучков выбрать таким, которое реализуется на зеркале 31 в отсутствие усиления, то фазовый набег у/р/. пучка с радиальным и угловым индексами р и /, при проходе по участку резонатора, не содержащему активной среды, т.е. от плоскости №2 до плоскости №1, имеет вид (см. напр. [51]): где L — длина резонатора, к = —, А — длина волны. Знак перед радикалом выбирается совпадающим со знаком g\ и g2. Сформировать набор лагерр-гауссовых пучков, для произвольной суперпозиции которых будет выполняться условие самовоспроизведения (кратность 2празностей фазовых набегов Vn/-W/ ) возможно только, если arccosJgxg2 =л—, где - — несократимая дробь. При этом фазовые набеги лагерр-гауссовых пучков имеют вид: В нашем случае рассматриваются поля, не зависящие от азимутального угла, поэтому далее положим угловой индекс / равным 0. При этом из (2.11) следует, что разности фазовых набегов будут кратны 27гдля пучков, значения индекса р которых отстоят на Ар = s в случае нечетных s или Ар = — при четных s. Произвольная комбинация пучков такого набора в случае отсутствия потерь полностью воспроизводит себя после прохода по участку резонатора не содержащему активной среды. Для выяснения вопроса, какой набор лагерр-гауссовых пучков образует основную моду лазера при неоднородном усилении, проводилось разложение основной моды по системе лагерр-гауссовых пучков: Значения \р представляют собой долю энергии сосредоточенную в лагерр- гауссовом пучке с индексом р. Комплексные амплитуды пучков определяются выражением где к = ІТІІХ — волновое число, w — параметр ширины, R — радиус кривизны волнового фронта. Lp(x) — полином Лагерра порядка р, R и w выражаются через комплексный радиус кривизны q: В частности для плоскости №1 значение комплексного радиуса кривизны определяется соотношением.
Случай строгого вырождения
Положим критерием формирования многопучковой моды условие /?0 =0.9. Тогда (3.13) упрощается:3.4.1. Случай строгого вырождения Рассмотрим, во-первых, влияние параметров усиления и KQ на основную моду в случае строгого вырождения (7=0). В этом случае величины/?о и /?Д/, являются вещественными, а (3.15) удобно записать в виде: зеркал достаточно большого диаметра YQ Y , и вторым слагаемым в знаменателе в (3.16) можно пренебречь. С учетом выбранного критерия получаем уравнение относительно корнем которого является величина f0.9 такая что /?0 =0.9. Из (3.7) следует, что оАр-С о"1)» оо-1)- -1) и ( АР-1)-( 0-05 отсюда ясно, что уравнение (3.17) не содержит Хо- Численные расчеты демонстрируют слабую зависимость о.9 от Ко. Значения &.9 Для ряда вырожденных конфигураций, полученные методом Фокса-Ли при Л =30 и Ко = 2.0 и рассчитанные по формуле (3.17), приведены в табл. 3.1. Приведенные значения 0.9 позволяют определить, каким должен быть выбран диаметр накачки, чтобы исключить ( 0.9) или обеспечить {, f0.9) проявление конкретной критической конфигурации. Как видно из таблицы 1 найденные значения fo.9 возрастают по мере роста Ар, т.е. уменьшение диаметра накачки приводит к проявлению критических конфигураций с большими значениями s. Представление о пучковом составе основной моды при 0.э дает рис. 3.5, на котором приведены значения Wp\ и arg/?p во входной плоскости активной среды (а-в) и распределения интенсивности на противоположном зеркале (г-е) для вырожденного резонатора с — = — (g\gi = 0.5) при N? = 9; К0 = 2.0 и , = 1.3 (а,г), 2 (б,д), 5 (в,е). При увеличении количество ЛГ пучков образующих основную моду растёт, оставаясь при этом ограниченным значением, определяемым Л . Аналогичное влияние на пучковый состав основной моды наблюдается для остальных вырожденных конфигураций. Результаты расчетов, приведенные в [10] показывают, что число критических конфигураций возрастает с увеличением NF. Тем не менее максимальное число критических конфигураций реализующихся при достаточно больших NF определяется , Расчет также показывает, что при достаточно больших NF эффективное число пучков, образующих основную моду в случае строгого вырождения перестает увеличиваться с ростом NF и определяется только значением В таких случаях роль дифракционных потерь пренебрежимо мала, и данная ситуация соответствует случаю идеального резонатора с бесконечно большими зеркалами.
Равновесное распределение энергии по пучкам определяется только балансом перераспределения амплитуды в системе пучков. Как видно из табл. 3.2, можно считать, что в случае строгого вырождения влияние Ко на формирование многопучковой моды имеет место только для сильно диафрагмированных резонаторов (малых NF). При больших NF разница между дифракционными потерями становится очень мала, поэтому достаточно малое возмущение, обеспечивающее перераспределение энергии в системе пучков, приводит к эффективному накоплению энергии в высших пучках. Наоборот, при малых NF разница потерь становится существенной, и в этом случае необходимо «сильное» взаимодействие пучков, которое обеспечивается большими Ко. Обратимся к оценке диапазона отстроек от вырождения, в пределах которого реализуется многопучковая мода. Если вырождение проявляется слабо (например, при близких к 0-9), то шириной резонанса можно считать ширину на полу высоте контура А р (3.14). С учетом связи между относительным фазовым сдвигом двух пучков за один обход резонатора (без активной среды) А(р и отстройкой от вырождения в координатах g\, g2 для критических конфигураций, расположенных внутри области устойчивости (0 gig2 1), имеем: гДе (8\8г) ё =cos2(7r—) - значение, соответствующее вырождению. С учетом (3.20) из (3.14) получаем выражение для ширины области реализации многопучковой моды на диаграмме устойчивости: APV WV OOPOL ГО 4)0 Выражение (3.21) даёт количественное описание упоминаемой в [13] зависимости ширины «резонанса» от параметров резонатора и неоднородного усиления. Для ярко проявляющихся критических конфигураций двухпучковая модель может быть применена только при достаточной отстройке от строгого вырождения, где основная мода преимущественно образована двумя пучками. В данном случае целесообразно определить ширину области реализации многопучковой моды по уровню /?0 =0.9, выражение для которой получается из (3.13) с учетом (3.20): Значения AQ_9{gig2) Для конфигураций с rls = 1/4 (а), 1/3 (б) и 3/8 (в) при = 3, 7Vf=30 и различных К0, полученные по методу Фокса-Ли (точки) и рассчитанные по формуле (4.22) (линии) приведены на рис. 3.6. Как видно, приближение двух пучков позволяет получить аналитические оценки достаточно близкие к значениями, определяемым численным методом Фокса-Ли. Значения A0.9(g]g2) увеличиваются с ростом Ко и уменьшаются с ростом Ар, что находится в полном соответствии с рис. 3.1. Выражения (3.21) и (3.22) представляют собой оценки ширины области синхронизации, определенные по различным критериям. Выражение (3.21) определяет ширину диапазона отстроек от строгого вырождения, в пределах которого доля мощности, приходящаяся на высшие пучки, составляет не менее половины значения, реализующегося при строгом вырождении. Оценка (3.22) есть диапазон отстроек, в пределах которого на пучок нулевого порядка приходится не более 90% мощности.
Необходимо отметить, что выражение (3.22) может применяться только в случаях ярко проявляющихся вырождений. Так, например, если 09, то при строгом вырождении ІД,I 0.9, и оценка (3.22) не имеет смысла (заметим, что для у. « 0 и 1 при 49 согласно (3.17), величина под знаком радикала в (3.22) становится отрицательной). Представление о пучковом составе основной моды в случае отстройки от строгого вырождения дает рис. 3.7, на котором приведены значения Д,2 во входной плоскости активной среды (столбцы) при NF=9, =3 и К0 = 1.1 (а), 1.5 (б), 3.5 (в) для резонатора конфигурации (0.712, 0.712). Значение g\g2 для данного резонатора соответствует отстройке от полуконфокальной конфигурации g\g2 = 0.5 на Ло.9(Яі2) = 0.007. Также как и в случае строгого вырождения (см. рис. 3.5) основная мода преимущественно состоит из ЛГ пучков с четными значениями р. Для таких пучков приведены arg/?p во входной и выходной плоскостях активной среды (точки и треугольники соответственно). Как видно из рис. ЪПа-в. в отличие от строгого вырождения равенство фаз ЛГ пучков с соответствующими р в плоскости активной среды не реализуется. В случае несовпадения фаз пучков дополнительные фазовые набеги (3.8) на активной среде зависят от распределения энергии по системе ЛГ пучков. Поэтому самовоспроизведение распределений поля многопучковой моды за один полный обход может быть обеспечено только определенными соотношениями амплитуд и фаз. Последнее можно наглядно продемонстрировать на примере модели двух пучков. Рассмотрим резонатор близкий к строго вырожденному с параметрами выбранными так, что основная мода образована преимущественно двумя пучками с радиальными индексами р = 0 и р = Ар, где Ар = s/2 или s при четном или нечетном s соответственно, причем Д, » /3Ар. Амплитуды пучков /?0 и /?Др представим в виде векторов Д0 и ДД/7 на комплексной плоскости. В качестве опорных плоскостей резонатора будем рассматривать входную и выходную плоскости активной среды, и проследим, как изменяются Д0 и ДД/, при обходе резонатора (см. рис. 3.8). Для больших Np изменением длин векторов Д0 и ДД/?, связанным с дифракционными потерями, можно пренебречь.
Результаты расчета, сравнение с экспериментом и обсуждение
Для составной, т.е. состоящей из нескольких элементов, оптической системы можно построить ABCD-матрицу, перемножив ABCD-матрицы отдельных элементов в порядке обратном порядку следования элементов. ABCD-матрица всей системы описывает преобразование qx y всей системой Аналогично можно построить четырехмерную матрицу Т, которая описывает преобразование составной оптической системой амплитуды пучков ртп: Таким образом, в рамках данного подхода можно описать распространение излучения через оптическую систему, содержащую произвольное количество негауссовых амплитудных корректоров. Следует таклсе отметить, что модель ограничивается системами с простым астигматизмом, т.е. такими, в которых оси всех астигматических элементов ориентированы вдоль осей х и у. При расчете мод резонатора целесообразно использовать в отсчетной плоскости такие значения (qx, qy), которые определяются параметрами резонатора. Такой выбор, дает следующие существенные преимущества: 1. Значения (qx,qy) в отсчетной плоскости сохраняются за полный обход резонатора. 2. При естественной нормировке 1Л„„2=1 величина /?mn представляет собой долю энергии, сосредоточенную в эрмит- гауссовой моде холодного резонатора с поперечными индексами т и п. 3. Можно ограничиться конечным количеством членов в (4.1). Матрица амплитуд р, соответствующая основной моде, находится как собственное решение уравнения с максимальным Я. Здесь Т — четырехмерная матрица, описывающая преобразование матрицы амплитуд Р в отсчетной плоскости за полный обход резонатора. Распределения амплитуды выражаются из решения (4.13) через (4.1) и (4.2). Необходимо отметить, что четырехмерная матрица Т, описывающая резонатор с негауссовыми элементами, в общем случае не является эрмитовой. Следовательно, моды такого лазера не образуют ортогонального набора [90]. Но любая из мод может быть представлена в виде суперпозиции эрмит-гауссовых пучков (4.1). 4.4. Результаты расчета, сравнение с экспериментом и обсуяедение Расчеты основной моды проводились для лазера, образованного тонкой астигматичной активной средой радиусом а с зеркалом на задней грани (Dx и Dy — оптические силы активной среды) и неограниченным выходным зеркалом с радиусом кривизны Roc- Профиль усиления активной среды задавался в виде: В качестве отсчетной плоскости была выбрана плоскость, расположенная при обходе резонатора непосредственно перед сферическим зеркалом.
Комплексные радиусы кривизны (qx,qy) в отсчетной плоскости определяются соотношением: Рассчитанные распределения интенсивности для rls =1/4 и 1/3 приведены на рис. 4.8 и рис. 4.9 (средние столбцы) соответственно. На тех же рисунках в левых столбцах приведены экспериментальные распределения, соответствующие тем же длинам резонатора. В расчетах использовались следующие значения параметров: К0= 1.32, рх = ру = 0.08 мм, Dx = 0.057 м-1, = 0.18м , а = 1.6 мм. Расчет показал, что использование аксиально-симметричного распределения усиления (рх = ру) не оказывает заметного влияния на согласие между экспериментальными и рассчитанными распределениями при рх, ру 0.3мм. Значения Dx и Dy вычислялись непосредственно из измеренных значений L e и Lyes. Из (1.5) и (4.16) получаем выражение, связывающее длины Х , соответствующие вырождениям, с значениями оптических Значения KQ, рх, ру( = рх), и а были выбраны таким образом, чтобы достичь наилучшего согласования результатов расчета с экспериментальными. При этих значениях расчетные распределения близки к экспериментальным не только для rls = 1/4 и 1/3, но и для других менее ярко проявляющихся критических конфигураций. Относительные энергии эрмит-гауссовых пучков Дпп соответствующие расчетным распределениям интенсивности приведены на рис. 4.8 и 4.9 в правых столбцах. Видно, что только определенные пучки имеют существенно ненулевые энергии. Для rls = 1/3, сумма т + п для таких пучков кратна 2s = 6; для rls =1/4, т + п кратно 5 = 4. Такие пучки соответствуют вырожденным модам холодного резонатора. Расчеты также демонстрируют определенные фазовые соотношения между амплитудами пучков /Зтп, что дает возможность говорить о синхронизации поперечных мод. В частности, для rls — 1/4 в плоскости активной среды совпадают фазы мод HGoo, HG40, HG80 при L = Lxeg и мод HGQ0, HGQ4, HG0s при L = І% . Обнаруженное поведение пространственной структуры излучения при изменении длины резонатора позволяет диагностировать слабый астигматизм лазерных кристаллов. Оптические силы лазерного кристалла могут быть определены по измерениям длин [eg и I?yg с использованием соотношения (4.19) без привлечения численного моделирования. Выражение (4.19) показывает, что регистрируемые в эксперименте смещения AL при фиксированных оптических силах Dxy пропорциональны квадрату радиуса кривизны выходного сферического зеркала R0c- При i?oc= 150см для полуконфокальной конфигурации (rls — 1/4) чувствительность методики оптических сил SDX определяются главным образом погрешностями измерения соответствующих вырождениям длин Sl f, которые в свою очередь пропорциональны ширинам областей синхронизации мод HGmo и HGo„ (подробнее об этом см. 4.6). Значения SDxy и SI?xeg связаны соотношением приведены на рис. 4.8. и 4.9 имеет Dx = 0.057 ± 0.004 дпт, Dy = 0.178 ± 0.004 дпт.
Данным оптическим силам соответствуют фокусные Значения Dx и D для пяти различных исследованных кристаллов Nd:YAG, лежат в интервале от -0.03 м-1 до +0.20 м-1. Следует заметить, что резонатор с активной средой с таким слабым астигматизмом формирует световые пучки, астигматизм которых очень мал. Эта ситуация значительно отличается от исследованной в работе [91], в которой наблюдался астигматизм выходного пучка Ш:УУ04-лазера с неустойчивым резонатором. Выходной пучок в [91] имел радиусы кривизны волнового фронта в х- и у-направлениях равные соответственно Rx = 5.34мм и Ry = 5.06мм. Авторы показали, что астигматизм выходного пучка обусловлен анизотропией показателя преломления кристалла Nd/.YVCU, и что наблюдение «измеримого» астигматизма стало возможным благодаря применению неустойчивой геометрии резонатора. В данной работе выходные пучки имеют астигматизм много меньший по сравнению с наблюдаемым в [91]. Эрмит-гауссовы моды холодного резонатора астигматичны для всех длин резонатора, в том числе для тех, где вырождение отсутствует. Например, для L = 800мм, wx/wy= \.0\ (wx и wy — вертикальный и горизонтальный радиусы нулевой моды на выходном сферическом зеркале), при том, что радиусы кривизны волнового фронта Rx и Ry совпадают благодаря устойчивой геометрии резонатора. Данный астигматизм достаточно мал, чтобы его можно было наблюдать стандартным способом, т.е. изучая распространения пучка при его фокусировке линзой, как было сделано в [91]. В рассматриваемом случае использование достаточно длинного резонатора с Roc= 150см привело к расщеплению точки вырождения на две длины Lxeg и Lyee, для которых реализуются вырождения мод HGmn с ненулевыми значениями индексов тип соответственно. Такое расщепление позволило наблюдать измеряемое проявление слабого астигматизма активной среды. Оценим согласно методике предложенной в [66], фокусное расстояние тепловой линзы. Эксперимент показывает, что при увеличении средней мощности накачки с 10 до 40 мВт (мощность увеличивалась за счет увеличения отверстий в механическом прерывателе от одного до четырех) длины Ldxes и 1?уЁ, соответствующие вырождениям, уменьшаются на 3мм. Согласно (4.19) такое смещение длины соответствует увеличению оптической силы на 0.01 дпт, что заметно меньше значений оптических сил, связанных с астигматизмом.
