Содержание к диссертации
Введение
Глава 1 Оптические четырехуровневые системы 12
1.1 Общие свойства 12
п. 1.1.1 Бифотоны как четырехуровневые системы. Критерий перепутанности для двух кубитов 12
п.1.1.2 Методы приготовления 17
1.2 Оптимальная оценка величины перепутывания 32
п.1.2.1 Квантовая теория оценок (по литературе) 32
п. 1.2.2 Система двух кубитов 34
п.1.2.3 Оценка величины перепутывания (эксперимент) 36
1.3 Статистическое восстановление состояний бифотонов-куквартов 43
п. 1.3.1 Объект исследования 46
п. 1.3.2 Томография квантовых состояний 49
п.1.3.3 Анализ протокола томографии 53
п. 1.3.4 Экспериментальная проверка 59
1.4 Заключение к главе 1 63
Глава 2 Квантовая криптография 66
2.1 Криптография (обзор по литературе) 66
п.2.1.1 Абсолютно секретная схема шифрования 66
п.2.1.2 Квантовая криптография 68
п.2.1.3 Квантовая криптография сегодня 69
2.2 Квантовые протоколы распределения ключа 70
п.2.2.1 Протокол ВВ84 70
п.2.2.2 Обобщенные протоколы ВВ84 71
п.2.2.3 Детерминистические протоколы 74
п.2.2.4 Другие протоколы 76
2.3 Анализ подслушивания 78
п.2.3.1 Перехват/пересылка 78
п.2.3.2 Промежуточный базис 80
п.2.3.3 Оптимальный алгоритм 81
п.2.3.4 Скорость распределения ключа 88
2.4 Протокол на проверочных состояниях 90
п.2.4.1 Описание протокола 91
п.2.4.2 Анализ подслушивания и скорости генерации ключа 95
2.5 Заключение к главе 2 97
Глава 3 Использование бифотонов в квантовой криптографии 99
3.1 Приготовление бифотонов 99
п.3.1.1 Факторизованные состояния 100
п.3.1.2 Произвольные состояния 102
3.2 Преимущества использования бифотонов 108
п.3.2.1 Создание 108.
п.3.2.2 Схема парных совпадений 109
п.3.2.3 Отображение в двухмерный ключ 112
3.3 Детерминистический протокол КРК на бифотопах-куквартах 114
п.3.3.1 Описание протокола 114
п.3.3.2 Экспериментальная реализация 116
3.4 Заключение к главе 3 120
Литература 124
- Оптимальная оценка величины перепутывания
- Статистическое восстановление состояний бифотонов-куквартов
- Квантовые протоколы распределения ключа
- Преимущества использования бифотонов
Введение к работе
Диссертационная работа посвящена экспериментальному приготовлению и исследованию свойств оптических четырехуровневых квантовых систем, получаемых за счет эффекта интерференции однопучковых бифотон-ных полей с целью их использования в конкретных протоколах квантовой связи.
Квантовая информация и квантовые вычисления являются на сегодняшний день одними из самых прогрессирующих областей современной науки. В основе квантовых вычислений лежит понятие кубита (от слов "quantum bit", "q-bit"). Кубит — это мера квантовой информации (по аналогии с классическим битом). Физически кубит представляет собой когерентную суперпозицию двух базисных состояний:
|Ф> = со|0> + сі|1> (0.1)
Здесь коэффициенты Сі — комплексные амплитуды, определяющие вероятность нахождения системы в одном из базисных состояний и удовлетворяющие условию нормировки. Физической реализацией кубита может служить чистое состояние любой двухуровневой системы. Возможность кубита находиться в континууме состояний, задаваемых а, в отличие от классического бита, является основным свойством, которое и используется в квантовых алгоритмах. Конечно, следует отметить, что при проведении процедуры измерения над системой (0.1) в выбранном базисе возможно получить только состояние |0) с вероятностью |со|2 или состояние |1) с вероятностью |сі|2. Можно заключить, что до проведения измерения количество информации, «сокрытое» в кубите, бесконечно, однако нам доступен из нее всего лишь один классический бит. Из свойства суперпозиции также вытекает возможность большей плотности записи информации. Так, регистр, состоящий из 500, кубитов способен хранить 2500 комплексных чисел, т.е. больше, чем число атомов в доступной нам Вселенной. На настоящий момент извест-
но множество способов физической реализации кубитов и также большое число квантовых информационных протоколов, использующих кубиты в качестве носителей информации [1, 2].
Среди множества физических реализаций кубитов особое место занимает использование свойств квантованного электромагнитного излучения (фотонов). Фотоны слабо взаимодействуют с окружением, сводя к минимуму эффекты декогерентизации, легко преобразуются с помощью оптических элементов. Именно на основе фотонов были реализованы протоколы квантового распределения ключа [3, 4, 5, 6], квантовой телепортации [7, 8, 9] и плотной кодировки [10, 11].
И с фундаментальной, и с прикладной точек зрения интересен вопрос о расширении гильбертова пространства на случай многоуровневых систем и о тех новых возможностях, которые предоставляют нам многоуровневые системы в квантовой информации. В литературе такие системы получили названия кудитов (q-dits), где d — размерность гильбертова пространства. Вектор состояния кудита можно записать в следующем виде:
|*>=Ci|l)+C2|2) + ... + Cd|d>
Оказалось, что в ряде случаев использование квантовых многоуровневых систем как носителей информации имеет некоторые преимущества по сравнению с кубитами. Во-первых, использование кудитов в протоколе квантового распределения ключа повышает помехостойкость канала в случае определенного класса атак подслушивателя [12, 13, 14, 15, 16]. Во-вторых, на основе многоуровневых систем уже предложены некоторые алгоритмы квантовых вычислений, которые невозможно выполнить с использованием кубитов [17, 18]. В-третьих, перепутанные многоуровневые системы показывают большее отклонение квантовой теории от классической при проверке неравенств Белла [19, 20]. Данное свойство является фундаментальным свойством многоуровневых систем, а также может быть использовано в протоколах квантового распределения ключа. И, наконец, вопрос о генерации, преобразовании и измерении таких состояний представляет значительный интерес с экспериментальной точки зрения.
С операциональной точки зрения эксплуатация любых протоколов
квантовой информации и квантовой связи предполагает возможность полного или частичного контроля над параметрами квантового состояния, участвующего в протоколе. Эту цель преследуют процедуры полной и редуцированной томографии. И в первом, и во втором случае встает вопрос о проведении данных протоколов оптимальным образом с точки зрения затраченных экспериментальных ресурсов и времени. В данной работе рассматриваются две процедуры оптимизации протоколов оценки свойств квантовых систем — величины перепутывания и полной томографии квантового состояния.
Бифотонными полями называются поля, состоящие из пар коррелированных фотонов. Наиболее простым способом получения таких полей является использование эффекта спонтанного параметрического рассеяния (СПР) света [21, 22]. При этом эффекте, имеющем место в средах без центра инверсии, происходит распад фотонов лазерной накачки на пары коррелированных фотонов, волновые вектора и частоты которых удовлетворяют условиям пространственного и частотного синхронизма. Пары фотонов, рождающиеся в процессе СПР, могут образовывать так называемое перепутанное (entangled) состояние. По определению, двухчастичное состояние называется перепутанным, если его волновая функция не может быть фак-торизована на волновые функции каждой из подсистем Фі2 ф Фі х Ф2 [23]. Свойства перепутанных состояний лежат в основе многих протоколов квантовых вычислений и квантовой связи. В данной работе исследуется вопрос об оптимальной экспериментальной оценке количественного значения величины перепутывания. Предложен протокол, позволяющий оценить данный параметр с минимальной дисперсией.
Большой интерес представляют бифотонные поля, в которых пара родившихся в процессе СПР фотонов принадлежит одной пространственной моде. Если оба фотона принадлежат также и одной, частотной моде, то произвольное поляризационное состояние такого поля может быть разложено по трем базисным состояниям, то есть представляет собой трехуровневую систему. Если же фотоны принадлежат различным частотным модам, то размерность гильбертова пространства такого состояния равняется четырём. Такие системы получили название кутритов и куквартов
соответственно (d = 3,4). Выбор поляризации как параметра, в котором кодируется информация, является удобным с точки зрения эксперимента, так как преобразования над данным параметром можно осуществлять с помощью линейных оптических элементов (фазовые пластинки, поляризаторы и т.д.).
Для успешной реализации того или иного квантово-информационного вычислительного алгоритма требуется иметь полный контроль над используемыми квантовыми состояниями. Под полным контролем здесь понимается а) возможность приготовить квантовую систему в произвольном состоянии, б) возможность проведения заданных преобразований в процессе передачи по каналу связи и в) возможность восстановления состояния системы по некоторому набору измерений (томография квантовых состояний). В настоящей работе рассмотрено три протокола линейного томографического восстановления поляризационного состояния кукварта. Один из них основан на измерении проекций исследуемого состояния в различных поляризационных базисах, образованных векторами Стокса, посредством проведения линейных поляризационных преобразований в плечах интерферометра интенсивностей Брауна-Твисса после пространственного разделения бифотона. Второй протокол аналогичен первому, однако измерения выполняются путем проекции входного состояния на заданный набор состояний, симметрично расположенных на сфере Пуанкаре. Во третьем протоколе поляризационные преобразования осуществляются над бифото-ном как над цельным объектом. К полученным экспериментальным результатам применяются статистические алгоритмы восстановления состояния, что позволяет учесть влияние статистических и аппаратных ошибок, возникающих в эксперименте.
Из всего вышесказанного следует актуальность работы, обусловленная фундаментальным интересом к проблемам, связанным с экспериментальным контролем над свойствами многоуровневых систем, исследованию их свойств и возможным применением данных систем в квантовых информационных протоколах.
Таким образом, подводя итог вышесказанному, можно сформулировать задачи диссертационной работы:
Исследование вопроса оптимальной оценки величины перепутывания двух кубитов, допустимой законами квантовой механики.
Экспериментальная верификация предложенного ранее критерия эффективности процедуры томографии квантового состояния.
Исследование различных алгоритмов некогерентной атаки на протокол квантового распределения ключа, основанного на куквартах.
Исследование вопроса о возможности применения поляризационных куквартов в практической реализации протокола квантового распределения ключа на данных системах.
Новизна диссертационной работы заключается в следующих положениях:
Произведен теоретический анализ и предложена процедура оптимальной оценки величины перепутывания двухкубитного состояния. Экспериментальные результаты полностью подтверждают теоретический лимит точности.
Экспериментально верифицирован предложенный ранее критерий эффективности протоколов томографии квантового состояния. Результаты численного моделирования и эксперимента полностью подтверждают верность предложенного критерия.
Предложен протокол квантового распределения ключа на бифотонах-куквартах. В качестве состояний для передачи информации используются факторизуемые состояния, легко доступные для экспериментального приготовления и измерения. Для оценки вносимых в процесс передачи информации возмущений и оценки секретности протокола используются максимально перепутанные белловские состояния.
Экспериментально реализована схема детерминистического протокола квантового распределения ключа на поляризационных куквартах. Высокое качество приготовления и трансформации используемых состояний позволяет говорить о возможности реализации подобной схемы в прототипе криптосистемы.
Научная и практическая значимость диссертации состоит в возможном использовании полученных результатов в квантовой оптике и квантовой информации:
при реализации протоколов квантового распределения ключа на мно
гоуровневых системах,
. при реализации протоколов квантовых вычислений с использованием
многоуровневых систем.
Результаты работы прошли апробацию на следующих международных и российских конференциях:
Международная конференция «Quantum Communication and Security», Гданьск, Польша, 2006 г., X Международные Чтения по, Квантовой Оптике, Самара, Россия, 2007 г., XI международная молодежная научная школа «Когерентная оптика и оптическая спектроскопия», Казань, Россия, 2007 г., международная конференция «17th International Laser Physics Workshop», Тронхейм, Норвегия, 2009 г., международная конференция «XII International Conference on Quantum Optics and Quantum Information» (ICQO'08), Вильнюс, Литва, 2008 г., конференция «Поляризационная оптика», Москва, Россия, 2008 г., международная конференция «18th International Laser Physics Workshop», Барселона, Испания, 2009 г., международная конференция «Single Photon Workshop», Денвер, США, 2009 г. -
Диссертационная работа состоит из трех глав, введения и заключения
Первая глава посвящена свойствам оптических четырёхуровневых систем — куквартов, реализованных на основе поляризационных состояний невырожденного по частоте бифотонного поля. Для исчерпывающего описания состояния кукварта используется формализм матрицы когерентности четвертого порядка по полю. Предлагается процедура математической оценки одного из наиболее интересных свойств кукварта — перепутывания — с предельно доступной точностью. Предлагается процедура измерения поляризационного состояния одномодовых бифотонов — томографии кук-
вартов. Представлено три протокола квантовой томографии и обсуждаются особенности их экспериментальной реализации.
Вторая глава содержит обзор наиболее известных и широко применяемых на практике протоколов квантовой криптографии. Далее в ней произведен анализ секретности квантового распределения ключа для трех протоколов. Также в ней предложен новый (модифицированный) протокол квантового распределения ключа, в котором наравне с факторизуе-мыми четырехуровневыми квантовыми состояниями, используемыми для передачи информации, используются четыре максимально перепутанных состояния в качестве проверочных.
Третья глава посвящена использованию поляризационных бифото-нов-куквартов в задачах квантового распределения ключа. Разобраны способы простого приготовления факторизованных состояний куквартов, предложены схемы для создания произвольного состояния кукварта. Описана практическая демонстрация детерминистического протокола КРК.
В заключении сформулированы основные выводы и результаты диссертационной работы, представляющие собой суть выносимых на защиту положений.
Предложен и экспериментально реализован протокол, позволяющий производить оптимальную оценку величины перепутывания чистых и смешанных состояний четырехуровневых квантовых систем.
Верифицирован операциональный критерий эффективности протоколов томографии квантового состояния. Произведена томография заданных факторизованных и чистых перепутанных состояний би-фотонов-куквартов тремя типичными протоколами при разных параметрах измерения.
Предложен протокол распределения ключа на бифотонах-куквартах с использованием как факторизованных, так и чистых перепутанных состояний. Проанализированы три основные схемы некогерентных атак на протокол квантового распределения ключа на куквартах.
Разработана и реализована схема детерминистического протокола
квантового распределения ключа на бифотонах-куквартах. Предложенная схема детерминистической регистрации позволяет измерять необходимый набор базисных состояний и обладает низким уровнем потерь.
Основные материалы диссертации опубликованы в следующих работах :
Р1. Кулик С. П., Шурупов Л. П. К вопросу об использовании куквартов для квантового распределения ключа // ЖЭТФ.— 2007.— Т. 131, №5.-С. 842-850.
Р2. Shurupov А. P., Kulik S. P. Security of Quantum Key Distribution Pro- -tocol Based on Ququarts // Quantum Communication and Security / Ed. by M. Zukowski, S. Kilin, J. Kowalik. — IOS Press (NATO Science Series), 2007.-Vol. 11.-Pp. 123-132.
РЗ. Шурупов А, П., Кулик С. П. Квантовое распределение ключа на бифотонах-куквартах с проверочными состояниями // Письма в ЖЭТФ. - 2008. - Т. 88, № 9. - С. 729-733.
Р4. Preparation and characterization of arbitrary states of four-dimensional qudits based on biphotons / S.-Y. Baek, S. S. Straupe, A. P. Shurupov et al. II Phys. Rev. A. - 2008. - Vol. 78, no. 4. - P. 042321.
P5. Quantum state engineering with ququarts: Application for deterministic QKD protocol I A. P. Shurupov, S. S. Straupe, S. P. Kulik et al. // Euro-phys. Lett - 2009. - Vol. 87, no. 1. - P. 10008.
P6. Experimental estimation of entanglement at the quantum limit / G. Brida, I. P. Degiovanni, A. Florio et al. // Phys. Rev. Lett— 2010.— Vol. 104, no. 10. —P. 100501.
*В дальнейшем будут использоваться именно эти обозначения
Оптимальная оценка величины перепутывания
Любое количественное измерение перепутывания соответствует нелинейной функции оператора матрицы плотности и тем самым не может быть связано с квантовомеханической наблюдаемой величиной. Вследствие этого любая процедура, направленная на измерение величины перепутывания, есть в конечном счете задача параметрической оценки, когда величина перепутывания неявно определяется по результатам измерения одной или нескольких наблюдаемых. Задача оценивания состоит в определении значения параметра А по результатам измерения различных величин X, которые некоторым обра-зом связаны с А. Оператор оценки А = Х(х\, #2, ) параметра А — действительная функция результатов измерений. Теорема Рао-Крамера [46] устанавливает минимальное значение дисперсии Var(A) для любого оператора через общее число измерений М и так называемую информацию Фишера: где р(х\Х) — условная вероятность получения в результате измерения величины х, когда настоящее значение параметра есть Л. В квантовой механике согласно правилу Борна имеем р(х\Х) = Тг [Ехд\], где {Ех} является положительно-определенной операторной мерой (POVM), описывающей измерение величины X, & д\ — оператор матрицы плотности состояния, параметризованный через величину, которую необходимо оценить. Определим симметричную логарифмическую производную Ь\ как оператор, удовлетворяющий уравнению Теперь имеем д\р(х\Х) = Тг [d\Q\Ex] = Re(Tr [Q\L\EX]) И информация Фишера в уравнении (1.13) может быть записана следующим образом:
Начиная с уравнения (1.15) можно доказать неравенство Браунштейна-Кейвза2, которое утверждает, что -Р(Л) ограничена сверху так называемой квантовой информацией Фишера (КФИ) [47, 48], и тем самым что Var(A) [МН(Х)] 1 представляет собой квантовый аналог теоремы Рао-Крамера. Т.е. предельную границу точности для любого квантового измерения, направленного на оценку параметра Л. Квантовое отношение сигнал/шум Теперь отметим, что для заданного параметра Л добротность оценки следует определять через величину квантового отношения сигнал/шум 2Braunstein-Caves inequality а не через саму дисперсию Var(A). В частности, соотношение сигнал/шум показывает, насколько хороша данная оценка при оценивании малых значений параметра. Уравнение (1.17) показывает, что соотношение сигнал/шум R(X) данного параметра А ограничено величиной квантового отношения сигнал/шум (QSNR) Q(A), выраженного через КФИ. Принимая во внимание повторяющиеся измерения, получаем для доверительного интервала 99.9% (Зет) соответствующую относительную ошибку измерения Другими словами, исчезаю ще малое Q{X) влечет за собой бесконечно большое число измерений, требуемое для заданной точности. При конечном же значении Q(X) нужное число измерений легко определяется исходя лишь из требуемой точности. Таким образом, для конечной величины Q(X) требуется, чтобы КФИ имела порядок Н(Х) А-2 для малых значений А. Отметим, что подобная оценка — а именно ХН(Х) — была использована в работе [49] для определения алгоритма оценивания параметров кубита в деполяризующем канале.
В данной секции рассмотрим оценку перепутывания в системе двух кубитов, используя формализм, изложенный выше. Начнем с рассмотрения чистых состояний двух кубитов (кукварта). В всё семейство чистых состояний может быть параметризовано с помощью всего одного параметра: коэффициента Шмидта q. Так как для этого чистого состояния кукварта q представляет собой монотонную функцию пере-путывания, то любая величина, отвечающая перепутыванию, может быть представлена в виде монотонной функции є = б(#). Вследствие этого для определения точности оценки перепутывания достаточно выразить квантовую информацию Фишера H{q) и воспользоваться правилом перепараметризации [50]: Н(с) = Н(q(e))[deq(e)}2. В силу того, что состояние системы чистое, симметричная логарифмическая производная может быть представлена в виде Lq = 2dq \ q)(4fq\; в результате чего предел Рао-Крамера и QSNR выглядят следующим образом: Здесь Q(q) стремится к нулю при уменьшении q, тем самым показывая, что любая оценка коэффициентов Шмидта становится всё менее и менее точной при уменьшении q. Отметим, что q является единственным независимым параметром в определении редуцированной матрицы плотности подсистем, которая является диагональной в базисе Шмидта: QA(B) — diag{ ?) 1 q}-Тем самым квантовое отношение сигнал/шум (1.20) также определяет предел точности в определении собственных значений QA(B)-
Применяя теорию оценок напрямую к QA(B)) получим полностью аналогичный результат. Теперь рассмотрим две меры перепутывания для чистого состояния кукварта: negativity бдг [51] и (нормализованную) линейную энтропию еь = 2(1 — Тг \од\ ) Выразив эти величины через коэффициент Шмидта д, получим: Напомним, что negativity является хорошей мерой перепутывания для любых состояний куквартов: она является монотонной функцией перепутывания, равна нулю для факторизуемых состояний и отлична от нуля в случае перепутанного состояния. Линейная же энтропия является монотонной функцией перепутывания только для семейства чистых состояний. Выразим q = (1 — e2N) и, используя правило перепараметризации, получим: Оптимальная оценка коэффициента Шмидта g имеет дисперсию Var(g), которая минимальна для q — 0,1 (факторизуемые состояния) и максимальна для g = 1/2 (состояние Белла (1.7)). Оценка negativity, наоборот, имеет максимальную дисперсию для факторизуемых состояний (QV = 0) и минимальную для максимально перепутанных (бдг = 1). В работе [50] был проведен подобный анализ для семейств смешанных двухкубитных состояний и было показано, что при использовании negativity в качестве меры перепутывания результат (1.21) справедлив не только для чистых состояний, но и для смешанных.
Статистическое восстановление состояний бифотонов-куквартов
Этот раздел посвящен процедуре измерения поляризационного состояния частотно-невырожденных бифотонов - восстановлению состояний Рис. 1.11. Оценка перепутывания в квантовом пределе. На графике изображены оценочные значения величины перепутывания (є) как функция её точной величины б . Погрешность величины (б) определяется величиной л/Уаг(е) х (К), т.е. квадратным корнем из экспериментальной дисперсии, умноженной па общее число совпадений (К). Серая область соответствует значениям в пределах обратной величины квантовой информации Фишера — 1/2 et ± Нч . Неопределенность по оси абсцисс соответствует флуктуациям 6et = у/Уar (р) sin 2ф в определении е$, вызванными неточностью в определении параметра смеси. куквартов. Представлено три протокола статистического восстановления и обсуждаются особенности их экспериментальной реализации. Любое состояние квантовой системы полностью определяется вектором состояния или матрицей плотности. Для бифотонов-куквартов поляризационная матрица плотности размера 4x4 связана с моментами четвертого порядка по полю [54]. По сути дела задача о реконструкции состояния поляризационного кукварта сводится к выполнению ряда действий по измерению данных моментов и восстановления матрицы плотности (когерентности) . Томография квантового состояния — это процедура, в результате которой матрица плотности квантового состояния восстанавливается по результатам серии измерений, производимых над набором идентичных копий этого состояния. В силу того, что в общем случае в результате измерения состояние квантовой системы изменяется, для достоверного определения исходного состояния требуется много идентичных копий этого квантового состояния. Естественный вопрос — какое минимальное число и какие именно требуются измерения. Известно, что число действительных параметров, задающих квантовое состояние, определяется размерностью Гильбертова пространства d, которому принадлежит состояние.
Для чистых состояний эта величина равна Однако на практике необходимо производить процедуру нормализации получаемых данных, поэтому эти величины следует увеличить на единицу. Согласно принципу дополнительности Н. Бора, невозможно произвести все необходимые проекционные измерения над одной квантовой системой. Поэтому необходимо приготовить большое количество идентичных квантовых систем [42]. В экспериментах, о которых пойдет речь дальше, для приготовления квантовых систем использовался процесс спонтанного параметрического рассеяния света (СПР). Таким образом, зафиксировав параметры процесса рассеяния, можно говорить об идентичности приготавливаемых квантовых систем. В дальнейшем в качестве физического объекта исследования будет рассматриваться состояние частотно-невырожденного (UJI ф ш ) бифотон-ного поля в одной пространственной моде [к\ /) С поляризационной точки зрения существует четыре естественных состояния пар фотонов: #i, Я2), \Hi, V2) , Vi, Н2), \V\, V2). Таким образом, произвольное чистое состояние бифотона может быть разложено по этим четырем базисным состояниям: Здесь сг = \сг\ ег % Х)г=і \сг\ = комплексные амплитуды вероятности.
Таким образом, представленный поляризационный бифотон состоит из двух кубитов в факторизованном или перепутанном состоянии. Следует упомянуть, что один из методов для описания многомодовых квантовых поляризационных состояний основан на применении понятия Р-квазиспина [55]. Применение концепции Р-квазиспина для поляризационных куквартов изложено в работе [56]. В работе [54] показано, что поляризационные свойства двухмодового бифотонного поля полностью определяются матрицей когерентности К . Эта матрица состоит из моментов электромагнитного поля четвертого порядка Известно, что моменты четвертого порядка по полю могут быть измерены в интерферометре Брауна-Твисса [57], которые впервые применили данный метод для измерения угловой расходимости звездного излучения. Если дополнить оригинальную схему поляризационными фильтрами (рис. 1.13), то в получившейся схеме оказывается возможным измерить моменты (1.29), регистрируя парные совпадения фотоотсчетов при различных положениях фильтров. На схеме, представленной на рис. 1.13, каждый из фильтров состоит из последовательно расположенных четверть- и полуволновой ахроматических пластинок и поляризатора, который пропускает вертикальную поляризацию.
Согласно основным принципам квантовой механики, вероятность обнаружить квантовую систему в состоянии \tp3) при условии того, что она была приготовлена в состоянии \ф), равна квадрату модуля скалярного произведения этих векторов: Согласно принципу дополнительности Н. Бора, различные проекционные измерения образуют совокупность взаимно-дополнительных измерений. Рассматриваемая совокупность, в свою очередь, образует протокол квантовых измерений. Вся совокупность квантовых измерения может быть компактно записана в форме: Протокол описывает m проекций квантового состояния. М3 есть амплитуда вероятности j-ой квантовой проекции. Вероятности соответствующих измерения определяются квадратами модулей амплитуд: Аппаратная матрица протокола квантовых измерений с компонентами Xji, имеющая т строк (число проекционных измерений) и 5 столбцов (размерность Гильбертова пространства восстанавливаемоого состояния 1-0)), описывает математически всю совокупность взаимно-дополнительных измерений (j-ая строка матрицы X задаёт бра-вектор ( pj\ соответствующего проекционного измерения в формуле (1.30)). В экспериментах, связанных с регистрацией потоков частиц, вероятность, определяемая формулой (1.31), задаёт относительную интенсивность Xj различных измеряемых проекций. Для смешанных состояний с матрицей плотности р
Квантовые протоколы распределения ключа
Первый протокол для квантовой криптографии был предложен в 1984 г. Чарльзом Беннетом и Жилем Брассардом [3], отсюда и название ВВ84, под которым этот протокол известен в наше время. Носителями информации являются 2-х уровневые системы, называемые кубитами (квантовыми битами). Протокол использует 4 квантовые состояния, образующие 2 базиса (например поляризационные состояния света ф), -н-) и \/л)-1 \)), где I/ ) (INf)) = На первом этапе Алиса посылает отдельные фотоны Бобу в произвольно выбранном базисе, используя при выборе генератор случайных чисел. Отдельные фотоны могут посылаться все вместе или один за другим, единственное ограничение состоит в том, чтобы Алиса и Боб смогли установить взаимно однозначное соответствие между посланным и принятым фотоном. Боб измеряет принимаемые фотоны в одном из двух базисов, также выбираемых произвольно (и независимо от выбора Алисы). На данном этапе в случае использования одинаковых базисов они получают абсолютно коррелированные результаты. Однако в случае использования различных базисов они получают некоррелированные результаты. В среднем Боб получает строку битов с 25% ошибок, называемую первичным ключом. Эта ошибка настолько велика, что использование стандартных алгоритмов коррекции ошибок невозможно. Тем не менее можно провести следующую процедуру «чистки»: для каждого бита Боб открыто сообщает, в каком базисе проводилось измерение кубита (но не сообщает результат измерений). Алиса затем сообщает, в каких случаях её базис совпал с базисом Боба. Если базис одинаков, бит оставляют, если нет, его игнорируют. В таком случае примерно 50% данных выбрасывается. Оставшийся более короткий ключ называется просеянным. Факт использования открытого канала является частым явлением в криптографических протоколах. Этот канал не должен быть конфиденциальным, но должен быть аутентифицированным. Т.е. любой злоумышленник в принципе может получать из него информацию, но не может изменять её. Схематичное представление данного протокола показано на рис. 2.1. Впервые идея протокола КРК на состояниях размерности d 2 была высказана в работах [12, 13]. Предложенный Пересом и Бечманн-Пасквинучи протокол КРК является обобщением на трехуровневые [12] и четырехуровневые [13] системы известного кубитового протокола ВВ84 [3]. Согласно [12] квантовые состояния, в которых кодируется информация, принадлежат четырем взаимно несмещенным базисам, каждый из которых является ортонормированным и состоит из тройки векторов. По определению вектора, принадлежащие семейству взаимно несмещенных базисов, удовлетворяют условиям: где d — размерность гильбертова пространства. Можно показать [81], что существует набор М = «і 4-1 взаимно несмещенных базисов, если только размерность пространства d удовлетворяет условию d — рк, где р - простое число, а/с - целое. Так, для d = 3, 4 число базисов составляет Ms — 4, М4 = 5. Соответствующие базисные квантовые состояния называются кутритами (qutrits) и куквартами (ququarts). Полное число используемых состояний равно т — Md; для трехуровневых систем протокол строится на 12 состояниях, для четырехуровневых систем - на 20 состояниях.
С геометрической точки зрения среди векторов, принадлежащих взаимно несмещенным базисам, нет выделенных: проекция заданного вектора на любой другой (неортогональный ему) имеет одну и ту же величину. Именно это свойство и используется при построении протоколов КРК. Распределение ключа при помощи квантовых состояний высокой размерности, по сути, не отличается от сценария обычных кубитовых протоколов. Соответственно случайная строка символов соответствующей размерности (например, 0, 1, 2, 3, если d — 4) кодируется в последовательности т неортогональных состояний из М случайно выбранных (но заданных) базисов. При дальнейшем обобщении этого протокола можно построить протокол, использующий бесконечномерное Гильбертово пространство и, соответственно, бесконечное число базисов [82]. В случае d — 4 оказалось, что на практике возможно легко приготовить 12 состояний, являющиеся элементами трех взаимно несмещенных базисов. Учитывая это обстоятельство, далее в этой главе будет подробно исследован расширенный протокол ВВ84 на куквартах, в котором используются М — 3 базиса. Общим недостатком протокола ВВ84 и его обобщений является потеря информации и, следовательно, снижение скорости генерации ключа, обусловленная случайным и независимым выбором базисов при приготовлении и измерении состояний легитимными пользователями. Этого недостатка лишены так называемые детерминистические протоколы КРК, первый из которых был предложен в работе [83]. Остановимся на этом протоколе подробнее, поскольку экспериментальной реализации его обобщения посвящена значительная часть данной работы. Схема предложенного протокола изображена на рис. 2.2. Протокол устроен следующим образом. Один из пользователей, условно называемый Бобом, приготавливает кубит в одном из состояний, принадлежащих двум взаимно несмещенным базисам. Первый из них (0), 1)} - базис из соб-ственных векторов оператора Паули Z, второй {+), —)} - оператора Паули X. Выбор между двумя базисами осуществляется случайным образом. После этого Боб посылает кубит по квантовому каналу второму пользователю, условно
Преимущества использования бифотонов
В данном разделе диссертации будут рассмотрены преимущества использования бифотонов-куквартов по отношению к кубитам в задачах квантовой криптографии на примере «стандартного» протокола (расширенный протокол ВВ84) квантового распределения ключа. Рассмотрим совместное состояние двух кубитов Фі = а\ 0) + Ь\ 1) и Ф2 = а20 + &21): Очевидно, что в общем случае произвольное состояние четырехуровневой системы не факторизуется, т.е. представляет собой перепутанное чистое состояние двух кубитов Критерием фактеризуемости этого выражения служит соотношение с\с = С2С3 (СМ. П.1.1.1). С практической точки зрения приготовление заданных перепутанных состояний двух кубитов гораздо сложнее, чем приготовление двух независимых кубитов. Поэтому в работах [94, 45] был предложен достаточно простой метод получения двенадцати состояний куквартов, принадлежащих трем взаимно несмещенным базисам. Однако при указанном выше выборе базисов базисные состояния факторизуются на произведения соответствующих состояний каждого из фотонов без какого-либо перепутывания между ними. Возникает вопрос, можно ли при таком выборе базисных состояний вместо бифотона использовать два однофотонных состояния, полученные независимо, но распространяющиеся, например, в одной пространственной моде. Нетрудно показать, что такой способ распределения ключа сводится к работе двух независимых протоколов ВВ84. Это может быть использовано, в частности, для увеличения скорости генерации ключа (по сравнению с одним протоколом), но при этом никакого выигрыша в увеличении секретности нет. Однако чтобы размерность используемого гильбертова пространства была по-прежнему равной четырем, необходимо на приемном конце оставлять для дальнейшего рассмотрения только события, когда были зарегистрированы оба фотона сразу. В этом случае пара фотонов и предложенный ранее бифотон являются в указанном смысле эквивалентными.
Следует отметить, что на данном этапе развития экспериментальной техники отсутствуют истинно однофотоппые источники излучения, и вместо них наиболее часто применяются сильно ослабленные лазерные импульсы. Статистика этого излучения подчиняется распределению Пуассона. Следовательно, пока нет возможности с высокой вероятностью создать ровно два независимых фотона в определенном достаточно малом временном окне. Это обстоятельство делает непригодным использование такой пары для квантового распределения ключа в 4-мерном пространстве. При использовании бифотонов в качестве квантовых систем для протокола квантового распределения ключа удается повысить скорость генерации ключа, а также устойчивость протокола по отношению к возможным атакам. При использовании в качестве переносчиков информации бифотонов (поляризационное состояние каждого бифотона рассматривается как кук-варт) следует сделать пару замечаний по поводу их схемы регистрации. В качестве однофотонных детекторов разумнее всего использовать лавинные фотодиоды. При работе ЛФД в стробирующем режиме напряжение смещения поддерживается ниже напряжения пробоя и увеличивается только на короткое время т в момент ожидания прихода фотона. В самом грубом приближении ЛФД можно охарактеризовать только двумя параметрами: rj — квантовая эффективность и р — вероятность появления шумового отсчета за время т. Стандартная схема измерения бифотона (одного из параметров Сток-са) представлена на рис 1.13. В данном случае схемой совпадений работает логический элемент «И», который на выходе будет давать сигнал лишь в случае, когда за время одного и того же строба в обоих фотодиодах произошел фотоотсчет. В силу того, что при рождении бифотоны подчинены статистике Пуассона, чтобы вероятность нахождения двух бифотонов в одной посылке была мала, необходимо делать среднее число бифотонов за строб /І малым, например, 0,1. Суммируя всё сказанное, можно сделать несколько оценок: Вероятность зарегистрировать бифотон Ps — /J,T]2. Вероятность получить сигнал, обусловленный появлением шумовых фотоотсчетов одновременно в обоих диодах во время одного строба, PNN — (1 — и)р2- В силу того, что в применяемых на практике одно-фотонных детекторах вероятность возникновения шумового отсчета мала сама по себе (р С Ю-4), указанную вероятность PNN ИЗ дальнейшего рассмотрения можно исключить. Вероятность получить сигнал, обусловленный приходом бифотона и его неполной регистрацией. Т.е. один из фотодиодов с вероятностью г\ регистрирует один из фотонов, а во втором диоде регистрация не происходит [г\ — 1), но появляется шумовой отсчет (р).
Вероятность такого исхода: Данный исход нельзії назвать полностью шумовым, т.к. информация об одном из фотонов, составляющих бифотон, всё-таки извлекается. В простейшем случае примем, что это есть тоже обычный шумовой сигнал. Можно оценить величину отношения сигнал-шум. Для указанной двухфо-тонной схемы она равна (S/N)2 « PS/PSN = п-ф- Для чисто однофо тонной схемы это отношение равно (S/N)i = /I , Получаем, что соотношение сигнал-шум для двухфотонной схемы больше этого отношения для однофотонной в раз. Отношение (3.9) асимптотически стремится к бесконечности при приближении квантовой эффективности детекторов к 100%. График этой зависимости при фиксированном среднем числе /І фотонов (бифотонов) для однофотонной (двухфотонной) схемы приведен на рис. 3.6. Из графика видно, что даже при малых квантовых эффективностях детекторов (типичные значения для видимого света: 30%, для ближнего ИК: 10%) отношение сигнал-шум для двухфотонной схемы больше примерно на порядок по сравнению с однофотонной. Классически алфавит высокой размерности легко представим в виде кодированной последовательности битов. Например, Алиса и Боб также могут использовать последовательность битов для представления алфавита высокой размерности. Однако следующий пример показывает, что они должны правильно выбрать момент, когда такое представление следует осуществить. Предположим, что для передачи использовались три взаимно несмещенных базиса и подслушиватель применял простейшую атаку приема-пересылки (см. 2.3). Тогда он угадывает кварты с вероятностью , т.е. половину всех квартов. Пусть секретная строка квартов у Алисы: Строка же у Евы будет, к примеру:
