Содержание к диссертации
Введение
1 Гиперболические метаматериалы 9
1.1 Структура излучения в гиперболических метаматериалах 11
1.2 Отрицательное преломление в гиперболической среде 13
1.3 Дифракция в гиперболических метаматериалах: нанолитография и передача изображений с субволновым разрешением 15
1.4 Плотность фотонных состояний и управление скоростью спонтанного излучения 17
2 Гомогенизация слоистых наноструктурированных метаматериалов 20
2.1 Области применения слоистых метаматериалов 21
2.2 Формулировка принципа нелокальной гомогенизации 24
2.3 Возбуждение волн ТЕ-поляризации 27
2.4 Возбуждение волн ТМ-поляризации 32
2.5 Результаты численных симуляций. Дисперсионный анализ 40
2.6 Исследование зависимости компонент тензора нелокальной диэлектрической проницаемости от волнового вектора на фиксированной частоте 44
2.7 Исследование свойств слоистого наноструктурированного диэлектрика 49
2.8 Исследование характера частотной зависимости компонент тензора нелокальной диэлектрической проницаемости 51
3 Эффект Прселла в слоистых мультипериодических наноструктурированных метаматериалах 55
3.1 Эффект Прселла в мультипериодических гиперболических метаматериалах 56
3.2 Эффект Прселла в регулярной мультипериодической структуре з
3.3 Эффект Прселла в мультипериодических структурах с дефектным слоем-полостью 71
3.4 Эффекта Прселла в эллиптических метаматериалах 75
3.5 Эффект Прселла в предельно анизотропном
металлодиэлектрическом метаматериале 79
4 Четырёхлучепреломление в гиперболических метаматериалах с кубической решёткой 84
4.1 Гомогенизация структуры и дисперсионные свойства метаматериала из сферических изотропных частиц 87
4.2 Анализ дисперсионной диаграммы метаматериала 90
4.3 Анализ изочастотных контуров метаматериала 93
4.4 Схема эксперимента по наблюдению вызванного пространственной дисперсией вулучепреломления в метаматериалах
4.5 Вычисление компонент тензора Gk 101
4.6 Отражение от образца дискретного метаматериала: модель
дискретных диполей 102
Список литературы
- Дифракция в гиперболических метаматериалах: нанолитография и передача изображений с субволновым разрешением
- Возбуждение волн ТЕ-поляризации
- Эффект Прселла в регулярной мультипериодической структуре
- Схема эксперимента по наблюдению вызванного пространственной дисперсией вулучепреломления в метаматериалах
Введение к работе
Актуальность темы
В последние десятилетия физика метаматериалов стала одной из самых активно развивающихся областей современной науки. Это обусловлено многообещающими электромагнитными свойствами данных материалов. Метаматериалы - это искусственно созданные композитные материалы, состоящие из субволновых включений с правильно подобранной формой, размером, взаимной ориентацией и расположением, обладающие электромагнитными свойствами, не встречающимися или же крайне редко встречающимися в природных материалах. Гиперболические метаматериалы являются одним из типов таких материалов и представляют из себя одноосные структуры, которые обладают высокой анизотропией и сочетают свойства диэлектриков и металлов. Среди необычных применений гиперболических метаматериалов стоит перечислить демонстрацию отрицательного преломления света, передачу изображений со сверхразрешением, субволновую микроскопию и нанолитографию с превышением дифракционного предела, управление временем жизни в возбуждённом состоянии, а также использование их в области акустики и для переноса тепловой энергии.
Известно, что на свойства метаматериалов может оказывать значительное влияние пространственная дисперсия - зависимость компонент тензора диэлектрической проницаемости среды от волнового вектора. Пространственная дисперсия возникает из-за нелокального отклика среды, при котором электромагнитное поле в одной точке среды приводит к поляризации не только в этой точке, но также и в других точках. Иными словами, в отличие от локальной среды, в которой выполняется соотношение D = (&>)Е, в среде с
оптической нелокальностью появляется зависимость от волнового вектора к: D = (&>, к)Е. Актуальность работы заключается в том, что ранее не было
получено точных аналитических выражений для компонент тензора є(со,к), а
влиянию нелокальности на свойства метаматериалов не было уделено должного внимания. Ранее в большинстве работ, посвященных изучению свойств данных материалов, подразумевалось, что они могут быть описаны в рамках модели эффективной среды, которая не учитывает крайне важную зависимость диэлектрической проницаемости материала от волнового вектора излучения, что часто может привести к некорректным результатам.
В данной работе рассматриваются две различные практические
реализации гиперболических метаматериалов - слоистые
металлодиэлектрические метаматериалы, а также метаматериалы с кубической симметрией, состоящие из изотропных резонансных включений, и изучается влияние эффектов сильной пространственной дисперсии на оптические свойства данных структур. В частности, на основе метода гомогенизации, предложенного в [1,2] впервые выводятся аналитические выражения для компонент тензора нелокальной диэлектрической проницаемости слоистых метаматериалов. Также отдельно был затронут вопрос об эффекте Пёрселла в данных метаматериалах. Заметим, что в ряде статей ранее уже рассматривался
большой эффект Пёрселла в гиперболических метаматериалах. Однако, новизна подхода этой работы заключается в том, что было предложено получение большого эффекта Пёрселла в другом режиме работы метаматериала, а именно
- предельно анизотропном режиме, в котором изочастотная поверхность
материала является сильно сплющенным эллипсоидом, а не гиперболоидом.
Плюсом данного подхода является то, что эффект Пёрселла не связан с
возбуждением эванесцентных мод в структуре, а плотность фотонных
состояний остаётся конечной, поэтому энергия может излучаться в дальнее
поле, что критически важно для применения данных материалов на практике.
Другой тип гиперболических метаматериалов, рассматриваемый в работе,
- это структуры, состоящие из изотропных резонансных частиц в узлах
кубической решётки. В работе проведён полный анализ дисперсионных свойств
такого материала и впервые обнаружено явление четырёхлучепреломления
падающей волны на 2 ТЕ и 2 ТМ волны, что также является проявлением
эффектов сильной пространственной дисперсии.
Целью диссертационной работы является изучение влияния эффектов сильной пространственной дисперсии на оптические свойства гиперболических метаматериалов, в частности на свойства слоистых металлодиэлектрических наноструктур и метаматериалов из изотропных сферических частиц.
Научная новизна
В работе впервые выведены аналитические выражения для нелокального тензора диэлектрической проницаемости слоистого метаматериала. Теоретически предсказано и подтверждено с помощью аналитического моделирования ранее ненаблюдаемое явление четырёхлучепреломления в метаматериале, состоящем из изотропных сферических частиц, размещённых в узлах кубической решётки. Впервые предложена и теоретически доказана возможность получения эффекта Пёрселла с большим фактором Пёрселла в гиперболическом метаматериале, функционирующем в чисто эллиптическом предельно анизотропном режиме с положительной компонентой тензора диэлектрической проницаемости вдоль оптической оси близкой к 0.
Основные методы исследования
Методами исследования являются аналитические методы, расчёт по модели дискретных диполей, метод матриц передачи, а также численное имитационное компьютерное моделирование.
Научные положения, выносимые на защиту:
1. Построена нелокальная теория гомогенизации периодических многослойных наноструктурированных метаматериалов, выведены аналитические выражения нелокальных эффективных материальных параметров.
2. В многослойных периодических наноструктурированных металло-
диэлектрических метаматериалах обнаружен эффект поворота оптической оси
кристалла, что математически выражается в неравенстве нулю недиагональных
компонент тензора нелокальной диэлектрической проницаемости.
3. В одноосном метаматериале, функционирующем в предельно анизотропном
режиме с положительной компонентой тензора диэлектрической
проницаемости вдоль оптической оси близкой к 0, наблюдается сильный
эффект Пёрселла. При этом фактор Пёрселла в многослойном метаматериале
может достигать значений порядка 25.
4. В метаматериале с кубической симметрией, состоящем из изотропных
резонансных включений, наблюдается четырёхлучепреломление в 2 волны с
ТЕ-поляризацией и 2 волны с ТМ-поляризацией.
Практическая значимость
Практическая значимость данной работы заключается в том, что в ней впервые разработана теория нелокальной гомогенизации, позволяющая получить аналитические выражения для компонент тензора нелокальной диэлектрической проницаемости многослойных метаматериалов. Данные выражения учитывают эффекты сильной пространственной дисперсии, присутствующей в подобных материалах, что в ранее применяемой локальной модели эффективной среды было невозможно. Принятие во внимание данных эффектов является критически важным во многих практических применениях данных структур - от нанолитографии и создания оптических волноводов из метаматериалов до приложений фотовольтаики. Отдельной практической значимостью также обладает другой результат, полученный автором, -возможность реализации сильного эффекта Пёрселла в многослойных бипериодических метаматериалах, функционирующих в чисто эллиптическом режиме. Ранее в ряде работ [3-8] был упомянут данный эффект, но в гиперболических метаматериалах, где он достигается благодаря возбуждению эванесцентных мод, которые не могут распространяться в окружающем пространстве. На практике же крайне важно увеличение именно количества энергии, излучаемого из метаматериала в окружающее пространство, что и обеспечивает данный режим работы.
Апробация работы
Результаты, полученные в работе, обсуждались на семинарах Университета ИТМО, а также на международных и российских конференциях:
ICMAT'2015, Singapore, Singapore, 2015;
Days on Diffraction'2015, St. Petersburg, Russia, 2015;
Days on Diffraction'2014, St. Petersburg, Russia, 2014;
PIERS 2011, Marrakesh, Morocco, 2011;
Metamaterials'2010, Karlsruhe, Germany2010;
Days on Diffraction'2010, St. Petersburg, Russia, 2010;
VII Всероссийская межвузовская конференция молодых ученых, Санкт-Петербург, Россия, 2010;
Второй Международный форум по нанотехнологиям Роснанотех 2009,
Москва, Россия, 2009;
ОРАМ 2009, International Young Scientist Workshop on Optics, Photonics and Metamaterials, Kharkov, Ukraine, 2009;
ETOPIM 8, Rethymnon, Greece, 2009;
PECS VIII, The 8th International Photonic & Electromagnetic Crystal Structures Meeting, Sydney, Australia, 2009;
Days on Diffraction'2009, St. Petersburg, Russia, 2009;
Личный вклад автора
Автор принимал ключевое участие в решении поставленных в работе
задач и последующем написании статей. Автором была сформулирована теория
нелокальной гомогенизации слоистых наноструктурированных
метаматериалов, и на её основе впервые выведены аналитические выражения для компонент тензора нелокальной диэлектрической проницаемости слоистых метаматериалов, что позволило аналитически описать эффекты пространственной дисперсии в структуре. Автор лично осуществлял численные расчёты изочастотных контуров структур, рассматриваемых в работе метаматериалов, а также проводил моделирование спектров отражения и фактора Пёрселла в пакете CST Microwave Studio.
Дифракция в гиперболических метаматериалах: нанолитография и передача изображений с субволновым разрешением
Золотое правило Ферми и эффект Прселла связывают скорость спонтанного излучения и плотность фотонных состояний, которая может быть изменена путм модификации окружающей среды, в которую помещаются излучающие молекулы [49,50]. Наиболее привлекательным свойством гиперболических метаматериалов является широкополосное увеличение скорости спонтанного затухания для излучения флюорофора вблизи или внутри среды относительно пустого пространства (фактор Прселла) [51]. Плотность фотонных состояний в метаматериале связана с объмом моды в пространстве волновых векторов, который ограничен соответствующей изочастотной поверхностью [50,51] и может иметь особенности [51-53]. Изочастотные контуры являются замкнутыми, что приводит к устранению этих особенностей. Величина усиления теоретически ограничена только потерями [53] или конечным отношением периода структуры к длине волны [53,54]. Конечный размер источника может ограничивать плотность состояний в гиперболическом метаматериале даже при нулевых потерях [55], и
Гиперболические метаматериалы из нанопроводов (a), (b) [28] и слоистые гиперболические метаматериалы (c) [25] для управления временем жизни в возбужднном состоянии. Рис. скопированы с разрешения: (a),(b) [28] 2010 OSA и (c) [25] 2012 OSA фактор Прселла остатся конечным из-за дискретности реальной структуры и специфической геометрии [56-60].
Экспериментальные исследования в основном были направлены на измерение времени жизни возбужднного состояния [28,61]; такой подход не позволяет сделать заключение о скорости спонтанного излучения и факторе Прселла. В общем случае необходимо изучение как времени жизни, так и квантового выхода [25]. В оптических экспериментах для подтверждения теоретически предсказанной аномально высокой плотности фотонных состояний обычно используются два типа гиперболических метаматериалов: серебряные нанопровода, внедрнные в алюминиевую мембрану [28] и многослойные металлодиэлектрические метаматериалы [25,29]. Материал в [28] демонстрирует гиперболическую дисперсию с эффективными значениями диэлектрической проницаемости є = 5+0.22І, є±= -0.15+1. li. В плнке, помещнной на заполненную серебром мембрану, время эмиссии красителя составило 125 пс (рис. 1.3). Утверждается, что сокращение эмиссионного времени жизни вызвано большим числом возможных излучательных каналов, хотя это не подтверждено измерениями. Квантовый выход и время жизни в возбужднном состоянии были измерены для образца многослойного гиперболического метаматериала, состоящего из 16 слов Аи (19 нм) / А1203 (19 нм) и помещнного на стеклянную подложку в [25] (рис. 1.5(с)). Квантовый выход Q и время релаксации связаны следующим образом: Q = Yrr, г = (Гг+ лгиг)-1 =Г-1. Здесь Гг - скорость спонтанного излучения, кш - скорость безызлучательного затухания, т - время жизни в возбужднном состоянии, Г- общая скорость затухания. Для серебряной наноантенны [62] прямые измерения времени жизни возбужднного состояния и квантового выхода необходимы для конечного заключения о скорости спонтанного затухания и факторе Прселла. Квантовый выход - это отношение количества излучнных фотонов к поглощнным, он может быть определн путм измерения поглощения, эмиссии, отражения и времени жизни в возбужднном
состоянии молекул красителя относительно эталонной плнки с красителем. После определения квантового выхода результаты сравниваются со скоростью спонтанного излучения контрольных образцов, похожих на используемые в классических экспериментах, а именно, тонкие и толстые золотые плнки. Используя эталонный метод, можно получить квантовый выход из экспериментально измеренного поглощения и флюоресценции для исследуемых образцов относительно соответствующих эталонных образцов красителя [25].
Плотность фотонных состояний может быть изменена благодаря интерференции излучаемой и отражнной волн вблизи металлических плнок [63,64], что позволяет использовать металлодиэлектрические интерфейсы для разработки материалов с высокой плотностью состояний [64,65]. Безызлучательное затухание можно модифицировать при возбуждении поверхностных плазмон-поляритонов или волноводных мод. Соотношение между утекающими и связанными модами [66] в теории является критическим параметром, который определяет скорости как излучательного, так и безызлучательного затухания.
Возбуждение волн ТЕ-поляризации
Одним из видов анизотропных метаматериалов являются слоистые металлодиэлектрические метаматериалы (МДМ) представляющие собой массив чередующихся нанослов диэлектрика и металла (рис.2.1).
Очень важное свойство подобных метаматериалов – их способность к передаче эванесцентных волн объекта с одной своей поверхности на другую. Отсюда вытекает первое возможное применение этих структур – субволновая микроскопия. В недавних статьях была показана возможность получения увеличенного изображения предмета с субволновым разрешением посредством использования скошенного МДМ (рис.2.2) [109], а также с помощью цилиндрической модификации МДМ, которую также называют гиперлинзой. В первом случае увеличенное изображение со сверхразрешением возникает на наклонной поверхности, во втором оно увеличивается, распространяясь от предмета через концентрические слои метаматериала (рис.2.3) [15].
Помимо этого слоистые наноструктуры уже сейчас применяются в области нанолитографии. МДМ, расположенный на пути распространения лазерного излучения, способен дать на выходе поле с характерным распределением меньше Рисунок 2.1. Геометрия структуры слоистого метаматериала длины волны, которое в дальнейшем можно использовать для получения наноотверстий с субволновой точностью позиционирования (рис.2.4) [39].
МДМ обладают также ещ одной интересной специфической особенностью. Как уже упоминалось выше, они состоят из периодически повторяющихся слов диэлектрика и металла, причм общая толщина металла в этих метаматериалах может быть довольно существенной по сравнению с величиной скин-слоя. Отсюда было бы ожидаемым, что данные метаматериалы будут непрозрачны в видимой области спектра. Однако это не совсем так: в ряде работ показано [ПО]. что подобные наноструктуры будут прозрачны в довольно широком диапазоне видимого спектра, составляя, таким образом, содержание эффекта прозрачности металла. Это свойство, а также то обстоятельство, что слоистые метаматериалы непрозрачны на интервале от радиочастот до ИК-диапазона, может позволить применить МДМ в качестве фильтров светового излучения.
Отметим также, что самое интригующее из возможных применений метаматериалов - создание маскирующих оболочек, делающих помещенные в них предметы невидимыми для стороннего наблюдателя, - не обошло стороной и рассматриваемые нами МДМ. В одном из методов получения такого покрытия предлагается окружить объект цилиндрической модификацией МДМ, отличающейся от гиперлизны секторальным расположением слоев [111]. В результате отрицательного преломления свет должен будет обогнуть предмет и прийти к наблюдателю неизменнным, то есть предмет станет невидимым. Стоит, правда, сказать, что при реализации этой идеи на практике возникают довольно существенные технологические проблемы, такие как сложность получения метаматериала с плавно изменяющимся от внешней среды к окружнному предмету показателем преломления.
Рассмотрим многослойный металлодиэлектрический метаматериал, состоящий из слов с диэлектрическими проницаемостями Єї, Є2 и толщинами di, d2. Задача состоит в получении аналитических выражений для диэлектрической проницаемости данного наноструктурированного метаматериала с учтом присутствующих эффектов сильной пространственной дисперсии. Для этого используем метод нелокальной гомогенизации, одну предложенный в [101,113]. Этот метод предполагает возбуждение структуры током со следующим распределением: тензор, необходимо получить выражения для его компонент. Эту проблему можно решить следующим способом. Ток из уравнения (1.1) будет возбуждать в метаматериале плоскую волну. Мы можем выбрать направление тока таким образом, чтобы возбуждаемая волна имела либо TE-,
Структура рассматриваемого метаматериала и направления усредннных полей для трх направлений тока: Jz, Jy, Jx либо TM-поляризацию. Далее, предполагая, что волновой вектор лежит в плоскости ху, последовательно рассмотрим случаи, когда ток направлен вдоль оси z, у, и х, что будет соответствовать TE- и TM-поляризации (см. рис. 2.5). Для каждого из этих случаев рассчитаем различные компоненты єеїї. В дальнейшем случай TM-поляризации с током, направленным вдоль оси у будет отмечаться как ТМЬ а с током вдоль оси х как ТМ2. 2.3.Возбуждение волн ТЕ-поляризации Выберем направление тока вдоль оси z. Тогда плотность тока можно записать как J = Jz еккх куУ). Это соответствует TE-поляризованной волне. Т.к. в этом случае J_Lk , выражения для полей из уравнений (2.2) и (2.3) принимают следующий вид:
В каждой точке метаматериала поле может быть представлено как сумма прямой и обратной волны и поля, созданного током свободных объмных зарядов. Пусть A1T E , A2T E , B1T E ,B2T E - амплитуды прямой и обратной волн в первом и втором слоях соответственно, и kx1 и kx2 - волновые числа в первом и втором слоях:
К выводу граничных условий для электромагнитного поля в метаматериале Далее необходимо записать граничные условия для электромагнитного поля в нашей системе. Пусть первая граница расположена на d1 , а вторая - на D=d1+d2 по оси x (см. рис.2.6). Используя непрерывность тангенциальной компоненты электрического поля на границе между слоями, получим:
Первые два уравнения системы (2.7) получены приравниванием тангенциальных компонент электрических полей на первой и второй границах соответственно. Т.о., наложено условие Флоке, т.е. если система имеет вектор трансляции кх и электрическое поле в точке (0,0,0) равно ДТЕ, то в точке(Д0,0) оно равно A Ee kxD. Т.к. в рассматриваемой структуре нет поверхностных зарядов и токов, условие непрерывности выполняется и для магнитного поля [106]. В силу этого получаются последние два уравнения системы (2.7), где тангенциальные компоненты магнитного поля записаны как Я = z- - из уравнений Максвелла (2.4) . Система (2.7) может быть записана в матричной форме:
Эффект Прселла в регулярной мультипериодической структуре
Было установлено, что решения уравнений (2.20,2.21) полностью эквивалентны решениям дисперсионных уравнений (2.22, 2.23) соответственно (это проверялось численно). Продемонстрируем, как согласуются решения дисперсионного уравнения (2.21) с дисперсионными диаграммами, полученными в статье [76] для метаматериала с толщинами слов dh d2 и диэлектрическими проницаемостями =4.6, є2 = \ 2 соответственно Хр= 250 нм). Как видно из уравнения (2.21), в частном случае, когда кх = 0 (из этого условия следует также и то, что є = 0), оно редуцируется до следующего вида:
Первое уравнение системы (2.25) соответствует распространению в структуре продольных волн, а второе - поперечных. Проиллюстрируем соответствие между дисперсионными диаграммами и графическими решениями уравнений (2.25), представленных в таблицах на рис.(2.8,2.9), на различных частотах. Рассмотрим 2 случая: d1=1.5d2 (рис.2.8) и d2=1.5d1 рис.(2.9). На рис.(2.8) показан случай, когда d1=1.5d2 d1=37.5 нм, d2=25 нм. Как видно из рис.(2.8) в случаях (a) и (d) в материале распространяется одна волна, являющаяся решением второго уравнения системы (2.25). В случаях же (b) и (с) в материале будут распространяться 2 волны, но в случае (b) обе волны будут являться решением второго уравнения системы (2.25) (в материале распространяются 2 поперечные волны), тогда как в случае (с) каждое уравнение даст по одному решению (в материале распространяются продольная и поперечная волны). Случай, в котором d2=1.5d1 (d2= 37.5 нм, d1 = 25 нм) продемонстрирован на рис.(2.9). Как видно из рисунка, в данном случае в материале на любой частоте будет распространяться только одна собственная мода. Причм высокочастотная ветвь дисперсионной диаграммы соответствует решениям второго уравнения системы (2.25) (поперечные волны), а низкочастотная ветвь - решениям первого (продольные волны). Рисунок 2.8. Дисперсионная диаграмма слоистого метаматериала и графические решения дисперсионных уравнений 4.6 для случая di = 1.5d2: a)D/X= 0.108, Ъ)В/Х = 0.107, с)Ш, = 0.1, d)Dfk= 0.085 Рисунок 2.9. То же, что и на рис.4.1, но для случая d2 = 1.5d1: a)D/ = 0.115, b)D/ = 0.099
Исследование зависимости компонент тензора нелокальной диэлектрической проницаемости от волнового вектора на фиксированной частоте Аналитическая теория, рассмотренная выше, позволяет осуществить полный анализ эффектов временной и пространственной дисперсии в периодических структурах, состоящих из слов металла и диэлектрика. В этой части обсуждаются особенности в поведении пространственно дисперсной диэлектрической проницаемости є(со,к) в такой среде с акцентированием внимания на е зависимости от волнового вектора. Рассматривается периодическая структура, состоящая из металлических и диэлектрических слов (см.рис.2.1). Слои диэлектрика с толщиной d1 имеют диэлектрическую проницаемость =4.6 (диоксид гафния: HfO2). Диэлектрическая проницаемость слов серебра толщиной d2 описывается моделью Друде: є2=\-со21со2, где плазменная частота со = 2яc/Л , где Лp = 250 нм. Угловая частота со = 2яc1 X соответствует длине волны Я = 500 нм. Рисунок 2.10. Диэлектрическая проницаемость в поперечном слоям направлении xx как функция компонент нормированного волнового вектора, kx= kxDln, кy= kyDIn: a) общий вид поверхности b) сечение при кy = 0 (сплошная кривая) и кy = 1 (точка-пунктир) c) сечение при кx= 0 (пунктир) и кx= 1 (точечная кривая)
На рис. 2.10-2.13 показаны зависимости компонент тензора диэлектрической проницаемости є(со,к) от нормированных компонент волнового вектора. Как можно видеть, эффективная диэлектрическая проницаемость рассматриваемого слоистого метаматериала сильно меняется с изменением к. К примеру, из рис.2.10 видно, что абсолютное значение нормальной по отношению к слоям компоненты тензора при относительно больших волновых числах по оси у (когда к «1) может быть на порядки больше, чем в центре первой зоны Бриллюэна (где к = 0) . Такое проявление пространственной дисперсии хх-компоненты диэлектрической проницаемости не предсказывается обычно используемыми квазистатическими моделями слоистых структур.
Изменение в тангенциальных компонентах тензора диэлектрической проницаемости не столь ярко выражено, но также может быть легко заметно из рис.4.4,4.5. Другая особенность, заметная из данных рисунков, состоит в том, что зависимости уу- и zz-компонент тензора диэлектрической проницаемости от волнового вектора различны для этих двух компонент. При малых ку, еуу уменьшается с увеличением кх, тогда как егг растт с кх при тех же условиях. Рисунок 2.12. То же, что на рис.2.10, но для zz Также видно, что производная функции еуу при фиксированном кх может менять знак в зависимости от значения к . В противоположность этому, зависимости этих компонент тензора от к похожи: и еуу, и ezz растут с к; в интересном для нас диапазоне волновых чисел. Другая специфическая особенность изучаемого слоистого метаматериала состоит в том, что направление главной оси тензора диэлектрической проницаемости варьируется в зависимости от волнового вектора. Это может привести к интересному эффекту, при котором оптическая ось кристаллического метаматериала может вращаться в зависимости от условий возбуждения образца. Действительно, внешнее возбуждение может зафиксировать величину изменения полей в пустом пространстве (по меньшей мере, вдоль выбранных направлений), таким образом точно фиксируя компоненты волнового вектора. Как видно из Рисунок 2.13. То же, что на рис.2.10, но для е е рис.4.13, существует комбинация кх и ку, для которых недиагональные компоненты тензора диэлектрической проницаемости отличны от нуля. Это соответствует изменению в направлении главной оси тензора диэлектрической проницаемости, что, к примеру, можно наблюдать как вращение оптической оси кристалла.
Важно подчеркнуть, что разработанная модель аналитической гомогенизации применима и в режиме сильной, и в режиме слабой пространственной дисперсии (т.е. применима и для фотонных кристаллов). Это следует из того, что процедура гомогенизации, которая была использована в работе может быть интерпретирована как строгое усреднение, результатом которого являются точные коэффициенты связи амплитуд волн Блоха низших порядков в периодической структуре (к примеру, полученный тензор F(fi?,k) связывает амплитуды таких волн электрического поля и поля электрической индукции в метаматериале). К сожалению, на практике иногда выгодно редуцировать полную частотную зависимость тензора диэлектрической проницаемости и его зависимость от волнового вектора к набору параметров пространственно локальных, которые зависят только от частоты. В случае слабой пространственной дисперсии,это может быть сделано по методу, предложенному в [113]. В этом приближении рассматривается поведение тензора диэлектрической проницаемости Є{Ш,\І) вблизи центра первой зоны Бриллюэна и затем компоненты тензора раскладываются в ряд по степеням компонент волнового вектора. Может быть показано, что (в большинстве случаев) разложение второго порядка обеспечивает введение стандартной бианизотропной модели, в которой материал описывается при помощи четырх частотно-зависимых материальных тензоров.
Проанализируем результаты, которые дат модель нелокальной эффективной среды для слоистого материала с положительными диэлектрическими проницаемостями обоих слов, на примере структуры с диэлектрическими проницаемостями слов s\ = 1, є2 = 4.6 на длине волны 580нм. Как видно из рис. 2.14, даже при положительных диэлектрических проницаемостях слов компоненты тензора диэлектрической проницаемости материала значительно изменяются с изменением величины волнового вектора. То есть эффекты пространственной дисперсии будут наблюдаться и в случае с положительными диэлектрическими проницаемостями слов. Исключение составляет лишь компонента ezz, изменяющаяся в пределах 2%. Компонента єхх изменяется в пределах 32% от своего максимального значения, компонента еуу - в пределах 31%. Недиагональные компоненты в случае положительных диэлектрических проницаемостей слов также присутствуют, их величина варьируется от -0.15 до 0.13 в зависимости от волнового вектора.
Схема эксперимента по наблюдению вызванного пространственной дисперсией вулучепреломления в метаматериалах
В начале рассматриваются структуры, показанные на рис. 5.1(а), и исследуется влияние мультипериодичности на фактор Прселла. Точечный излучатель размещн по центру центрального слоя, который состоит из диэлектрика В (см. вставку на рис. 5.2).
Вначале зафиксируем диэлектрическую проницаемость слоя А (єА = 3) и будем варьировать проницаемость слоя В, в который помещн излучатель. Параметр єв меняется от 1.8 до 4.6; случай єв = 3 =єА соответствует обычному периодическому гиперболическому метаматериалу без мультипериодичности. Результаты моделирования для этого случая показаны на рис. 5.2(а-Ь). Можно заметить, что даже небольшая степень мультипериодичности (єв = 3.4) существенно модифицирует фактор Прселла, который в данном случае будет иметь две области усиления вместо одной как в случае єв = 3. Дальнейшее увеличение в приводит к сдвигу обоих областей в сторону более длинных волн, причм низкочастотная область смещается более выражено, что приводит к уширению зоны между двумя максимумами. Одновременно с этим происходит увеличение пикового значения фактора Прселла. Отметим, что не наблюдается Рисунок 5.2. Частотная зависимость фактора Прселла для бипериодической структуры, показанной на рис.1, для разных диэлектрических проницаемостей (а-Ь): при постоянной sA= 3 и разных sB; (c-d): при разных sA и постоянной sB= 4.6. Точечный источник расположен в центре центрального слоя В (z = 0, см. врезку). Толщины слов составляют dA = dB = 37.5 нм и dm = 25 нм. Фактор Прселла имеет максимум на частотах, соответствующих возбуждению плазмона прямой зависимости пикового значения фактора Прселла от єв (проницаемости слоя, в который помещн излучатель), что противоречит ожиданию того, что фактор Прселла будет тем больше, чем в более плотной оптической среде он находится; к примеру, пиковое значение при Є-Q = 2.2 и SQ = 3.8 примерно одинаково на рис.2(а) и (Ь).
Та же зависимость, но для фиксированной єв = 4.6 и меняющейся от 3 до 5.8 єА показана на рис. 5.2(с-d); снова SQ = 4.6 =єА соответствует случаю отсутствия мультипериодичности. Аналогично предыдущему случаю, наблюдается, что мультипериодичность приводит к расщеплению области усиления спонтанной эмиссии на две отдельные. Т.к. теперь изменяется диэлектрическая проницаемость слов, которые не содержат излучателя, увеличение пикового значения фактора Прселла при уменьшении єА от 4.6 до 3 можно отнести к характеристике всего метаматериала, а не просто к непосредственной близости излучателя. В обоих случаях на рис. 5.2, можно наблюдать мультипериодические гиперболические метаматериалы, позволяющие усиливать спонтанное излучение внедрнного диполя сверх того, что может быть сделано в обычных гиперболических метаматериалах, основанных на периодических многослойках.
Чтобы объяснить изменения в факторе Прселла, проанализируем более детально возникающие в многослойной системе плазмонные возбуждения. На рис. 5.3(а) показана дисперсионная диаграмма для объмных плазмонных мод в бипериодической структуре с єА = 3, єв = 4.6.
Для простоты расчт проводился без учта потерь в металле. Данные моды возникают в результате гибридизации поверхностных плазмон-поляритонов (SPP), появляющихся на границе металл-диэлектрик. Как можно видеть, для очень больших значений тангенциальной компоненты волнового вектора к,,, связь между поверхностными плазмонами в разных элементарных ячейках многослойки сильно подавляется, и объмные моды (VP) сходятся к двум поверхностным модам (SPP) на отдельных границах М-А и М-В (помечены на рис. как SPP-A и SPP-B соответственно), т.к. в бипериодической структуре есть 2 разных плазмонных интерфейса [77]. Соответствующие резонансные частоты vspA vspB определяются соотношением: v (5.3) при которых диэлектрические проницаемости металла и диэлектрика противоположны, что обеспечивает возбуждение поверхностных плазмонов:
Рисунок 5.3. (а) Дисперсионная диаграмма бипериодической структуры, показанной на рис.5.1(а) с Яф = 250 нм, єА=Зи sB=4.6 в отсутствии потерь [77]; при больших значениях компоненты волнового вектора Ц моды сходятся к частотам поверхностных плазмонов на границе металла и диэлектрика с sA(SPP-A) и sB (SPP-B), определяемых из уравнения (5.3); Ц нормируется на период D = dA + dB + 2dm. (b) Зависимость фактора Прселла от частоты и диэлектрической проницаемости єв, а также кривые, показывающие частоты поверхностных (SPP-A и SPP-B) и объмного плазмона в структуре с постоянной sA и различными sB, как на рис.5.2(а-Ь). (с) То же, что и (Ь), но для структуры с меняющейся sA и постоянной sB = 4.6, как на рис.5.2(с-(1). Положение источника соответствует рис.5.2 єm (yspA ) = -єA, єm (у pB ) = -єB. Здесь v =с/Л . В дополнение к поверхностным структура также поддерживает и объмные плазмоны (VPs) на частоте, определяемой условием є{ = 0 и равной (подробнее см. в [77]) Рис. 5.3(Ь-с) соответствуют структурам, рассмотренным на рис. 5.2, на них показаны двумерные карты зависимости фактора Прселла от частоты и ЄА, ЄВ, а также кривые трх мод: SPP-A, SPP-B и VP. Как видно из рисунка, пики фактора Прселла соответствуют этим отдельным плазмонным модам. Пик, связанный с возбуждением поверхностного плазмона на границе М-В (SPP-B) всегда сильнее, чем пики для SPP-A и объмного плазмона. Это означает, что излучение источника идт прямо через моду SPP-B, что довольно логично, т.к. излучатель помещн в слой В, то связаться с этой модой наиболее легко.
Тем не менее, также можно заметить особенности, относящиеся к свойствам целой структуры, а не только ближайшей окрестности излучателя. Наиболее интересной особенностью является то, что пиковое значение фактора Прселла уменьшается при єА« SQ и сильно возрастает при удалении двух SPP максимумов друг от друга. Также можно увидеть, что рост фактора Прселла значительно более заметен, когда SPP-B ветвь приближается к ветви VP. Скорее всего, это вызвано влиянием малой эффективной є, при которой изочастотные контуры становятся более вытянутыми в пространстве волновых векторов, а следовательно увеличивается плотность фотонных состояний [143]. Тем не менее, данный эффект можно списать и на взаимодействие между поверхностными и объмными плазмонами.
В спектре фактора Прселла проявляются три моды. При изменении SQ , VP пик для в єА различим в диапазоне 500-550 ТГц. При єв єА данный пик не столь явно выражен. Для SPP-A пика видим обратное: он не проявляется при Єв єА (например, при єв = 2.2 на частоте 600 ТГц), но возникает при єв єА. Для случая, когда єА варьируется, но излучатель находится в слое В, наблюдается по существу такое же поведение. Исчезновение пиков, связанных с возбуждением SPP-A и VP при єА»Єв также подтверждает то, что чем более два SPP-пика частотно разделены друг от друга, тем больше будут пиковые значения фактора Прселла.
На рис. 5.4 представлены результаты исследования влияния положения излучателя в структуре метаматериала на свойства усиления спонтанной эмиссии. Были рассчитаны спектральные зависимости фактора Прселла для разных позиций излучателя, как в слое В-диэлектрика, так и в соседнем слое А-диэлектрика в той же элементарной ячейке (т.к. мы рассматриваем излучатель, как точечный диполь, то ограничимся его помещением только в диэлектрики для того, чтобы избежать появления сингулярностей). Излучатель смещается вдоль оси z от центра соответствующего слоя при изменении расстояния dm (см. вставку на рис. 5.4). На рис. 5.4 показаны результаты для бипериодических структур с двумя разными значениями Хp у металла и для параметра d-m, меняющегося от 0