Содержание к диссертации
Введение
1. Основные механизмы формирования поперечных оптических структур в активных оптических системах 11
1.1 Аналитический обзор экспериментальных и теоретических работ 11
1.2 Бифуркационный анализ при параметрах выше второго порога 29
Основные результаты первой главы 39
2. Формирование структур в результате развития волновой неустойчивости пространственно-однородного режима генерации 41
2.1 Линейный анализ устойчивости оптических структур, формируемых в результате волновой неустойчивости 41
2.1.1 Волновая неустойчивость в лазерах динамического класса А 46
2.1.2 Волновая неустойчивость в лазерах динамического класса В 49
2.1.3 Волновая неустойчивость в лазерах динамического класса С
2.2 Методика численного моделирования 53
2.3 Каскад переключений вследствие вторичных неустойчивостей в области волновой неустойчивости 57
2.4 Двумерные структуры, формируемые в результате волновой неустойчивости
2.4.1 Двумерные структуры в лазерах динамического класса А 65
2.4.2 Двумерные структуры в лазерах динамического класса В 69
2.4.3 Двумерные структуры в лазерах динамического класса С 74
2.5 Механизм перехода к хаотической структуре оптического поля через генерацию квазипериодических состояний 79
2.5.1 Методика вычисления старшего Ляпуновского характеристического показателя в распределённой модели 82
2.5.2 Результаты численного моделирования 83
Основные результаты второй главы 87
3. Оптические структуры, формируемые в результате неустойчивости Хопфа и параметрической неустойчивости 90
3.1 Обобщение метода анализа устойчивости Флоке 91
3.2 Оптические структуры, формируемые в результате Хопфовской неустойчивости
3.2.1 Формирование спиральных волн 96
3.2.2 Формирование модулированных стоячих волн 98
3.2.3 Режим оптической турбулентности 102
3.3 Параметрическое возбуждение пространственно-временных оптических структур 102
Основные результаты третьей главы 109
4. Структуры, формируемые устойчивыми наклонными волнами 111
4.1 Применение уравнений Максвелла-Блоха для моделирования смены пространственных частот оптического поля при изменении параметров полупроводникового лазера 111
4.2 Формирование оптических структур с учетом поляризации поля и анизотропии среды 1 4.2.1 Анализ устойчивости решений вида бегущей волны 119
4.2.2 Методика численного моделирования векторной модели 126
4.2.3 Формирование оптических структур в векторной модели 129
4.3 Вихревая решетка 134
Основные результаты четвертой главы 145
Список литературы
- Бифуркационный анализ при параметрах выше второго порога
- Волновая неустойчивость в лазерах динамического класса А
- Формирование спиральных волн
- Методика численного моделирования векторной модели
Введение к работе
Актуальность темы. Диссертация посвящена теоретическому исследованию пространственно-временных характеристик и условий возникновения сложной оптической структуры лазерного излучения в результате реализации одного из трёх основных динамических механизмов: неустойчивости однородного приосевого излучения в лазерах с неположительной отстройкой частоты, параметрического возбуждения при периодическом модулировании параметра накачки, генерации наклонных волн (tilted waves в англоязычной литературе) в лазерах с положительной отстройкой частоты.
Интерес к данной области знаний обусловлен техническим прогрессом в сферах оптических информационных технологий и развитием нанотехнологий в фотонике и оптоэлектронике, включая технологию создания квантоворазмер-ных гетероструктур. Информационные оптические технологии нуждаются в создании мощных миниатюрных источников высококогерентного излучения. В кванторазмерных структурах достигаются большие коэффициенты усиления, что позволяет делать лазеры с микронной длиной активной среды. Увеличение мощности таких лазеров достигается увеличением их апертуры, которая может достигать сотен микрон. В результате подобные лазеры (твердотельные на микрочипах, лазеры с вертикальным резонатором, на квантовых точках) соответствуют типу широкоапертурных лазеров с большими числами Френеля. Именно для этого класса лазеров теоретические исследования предсказывают появление сложных нелинейно-оптических структур, включая вихревое стекло и вихревые решетки, модулированные стоячие волны, гексагональные и спиральные структуры, страйп (полосковые) структуры, хаотические распределения (Jakob-sen 1992, Lega 1994, Zaikin 1999, Lugiato 1999, Calderon 2003, Staliunas 2003, Amroun 2005, Кренц 2009, Tlidi 2015, Akhmediev 2008 и другие). Появление коммерческих образцов подобной лазерной техники и, одновременно, развитие быстродействующих средств регистрации с высоким пространственным разрешением продемонстрировала реальность существования этих структур в многочисленных экспериментальных работах (Mandre 2003, Cabrera 2006, Babush-kin 2008, Schulz-Ruhtenberg 2009, Gronenborn 2010, Yu 2014, Averlant 2014, Grelu 2015 и другие).
Недостаточно изученная природа сложных динамических явлений в формировании пространственно-временной структуры оптического поля делает актуальным проведение теоретических исследований процессов их формирования с целью изучения режимов генерации оптических полей в зависимости от управляющих лазерных параметров. Знание основных механизмов возникновения оптических структур с детерминированными свойствами делает возможным управление пространственно-временной структурой профиля интенсивности и фазы, позволит генерировать оптическое излучение с требуемыми выходными характеристиками.
Таким образом, актуальность данной диссертации обусловлена как стоящими перед разработчиками лазерной техники задачами управления качеством лазерного излучения, так и фундаментальными проблемами нелинейной
оптики, связанной с исследованием механизмов самоорганизации в активных оптических системах.
Цель диссертационной работы – теоретическое исследование сложных нелинейно-оптических структур в широкоапертурных лазерах.
В соответствии с поставленной целью определены основные задачи диссертации:
-
Изучить процессы спонтанного формирования нелинейных поперечных оптических структур в результате неустойчивости режима приосевой генерации широкоапертурных лазеров с отрицательной отстройкой частоты. Провести классификацию типов и характеристик генерируемых оптических структур в зависимости от управляющих параметров.
-
Определить условия реализации механизма параметрического возбуждения сложных оптических структур в поле излучения широкоапертурного лазера и определить их пространственно-временные характеристики.
-
Исследовать механизм формирования и свойства поперечных оптических структур во внеосевом излучении широкоапертурных лазеров с положительной отстройкой частоты. Провести учёт влияния анизотропии поляризационных компонент поля на пространственно-временные свойства формируемых структур.
Научная новизна работы состоит в следующем:
-
На основе линейного анализа вторичных неустойчивостей стационарного и колебательного пространственно-однородных режимов генерации оптических полей при отрицательной отстройке частоты показана возможность определения пространственно-временных параметров формируемых оптических структур (бегущие волны, спиральные волны, модулированные стоячие волны, сложные квазипериодические и нерегулярные режимы) для широкоап-ертурных лазеров различных динамических классов на линейной стадии развития возмущений и в установившемся режиме.
-
Впервые показано, что в случае параметрического возбуждения (модулирование накачки) в широкоапертурных лазерах возможно возникновение Фа-радеевской неустойчивости, которая приводит, в частности, к образованию гексагональных пространственно-неоднородных оптических структур. С помощью проведенного обобщения метода Флоке определены условия возникновения и пространственно-временные характеристики этих структур.
-
На основе полной векторной модели Максвелла-Блоха исследовано влияние амплитудной и фазовой анизотропии на пространственно-временные характеристики приосевого и внеосевого излучения широкоапертурных лазеров с отстройкой частоты. Аналитически получены решения в виде распространяющихся поперёк апертуры линейно поляризованных Х- и Y-компонент оптического поля, обладающих в анизотропной среде различным порогом генерации. Впервые показано, что при положительной частотной отстройке данные решения в анизотропной среде имеют одинаковую частоту и различные ненулевые волновые числа. При отрицательной отстройке эти решения имеют разные временные частоты и нулевые волновые числа.
4. Проведено исследование колебаний квадратной решетки оптических вихрей, формируемой во внеосевом излучении широкоапертурных лазеров. Показано, что колебательная мода, возникающая в вихревой решетке, образованной четырьмя антиколлинеарными волновыми возмущениями с поперечным волновым вектором /с0, связана с возбуждением вторичной вихревой решетки с волновым числом к = л/2к0. В аналитическом виде найдены частота колебаний вихрей, а также минимальное значение параметра накачки, необходимое для возбуждения колебаний.
На защиту выносятся:
1. Результаты аналитического и численного исследования каскада вто
ричных неустойчивостей волнового типа режима пространственно-однородной
стационарной приосевой генерации, на основе которого построены дисперси
онные кривые и определены пространственно-временные характеристики фор
мируемых поперечных оптических структур для лазеров различных динамиче
ских классов на линейной стадии развития возмущений и в установившемся
режиме.
2. Результаты линейного анализа устойчивости пространственно-
однородного колебательного режима генерации оптических полей, полученные
с помощью обобщенного метода Флоке, на основе которых построены бифур
кационные диаграммы, дисперсионные кривые и определены условия возник
новения и параметры сложных нелинейных оптических структур, а также усло
вия возникновения и параметры гексагональных и страйп-структур, формируе
мых при периодическом модулировании накачки лазера. Связь пространствен
но-временных характеристик формирующихся и установившихся нелинейных
оптических структур с областями максимального положительного показателя
Флоке на дисперсионных кривых.
3. Результаты аналитического и численного исследования векторной мо
дели уравнений Максвелла-Блоха, демонстрирующие влияние поляризации оп
тического поля, амплитудной и фазовой анизотропии на пространственно-
временные характеристики приосевой и внеосевой генерации. Полученные за
висимости частоты, размера формируемых оптических структур от поляриза
ции излучения, коэффициентов дихроизма и двулучепреломления, отстройки
частоты генерации.
4. Результаты исследования возбуждения колебаний квадратной решетки оптических вихрей, формируемой во внеосевом излучении широкоапертурных лазеров с положительной отстройкой частоты четырьмя антиколлинеарными волновыми возмущениями с ненулевым поперечным волновым вектором. Получены параметры вторичной вихревой решётки, частота колебаний вихрей, минимальное значение параметра накачки, необходимое для возбуждения колебаний.
Практическая и теоретическая ценность проведенных исследований заключается в том, что их результаты могут быть использованы для определения наилучших условий эксплуатации и оптимальных режимов генерации в широкоапертурных лазерах в зависимости от требований к качеству излучения. Полученные в диссертации условия генерации сложных оптических структур с
теоретически прогнозируемыми характеристиками являются важным вкладом в нелинейную оптику и нелинейную динамику распределённых систем.
Достоверность полученных научных результатов обеспечена использованием общепринятых уравнений и моделей для широкоапертурных лазеров, известных апробированных численных и аналитических методов, а также хорошим соответствием аналитических и численных решений, качественным согласием полученных результатов с имеющимися данными других авторов в предельных случаях, включая экспериментальные данные.
Публикации
По материалам диссертации опубликовано 45 работ, в том числе 12 статей в рекомендованных ВАК, Scopus, Web Of Science журналах, 32 работы Всероссийских и международных конференций, получено 1 свидетельство о государственной регистрации программ для ЭВМ.
Апробация результатов
Основные результаты работы докладывались и обсуждались на научных семинарах Самарского Филиала Физического Института РАН им. П.Н. Лебедева, Самарского государственного аэрокосмического университета им. С.П. Королева. Результаты работы докладывались на X-XIV Всероссийском молодежном Самарском конкурсе-конференции научных работ по оптике и лазерной физике (Самара 2012-2016 гг.), III-IV Международной молодежной школе-конференции «Современные проблемы физики и технологий» (МИФИ, Москва 2014-15 гг.), V Всероссийской молодежной конференции по фундаментальным и инновационным вопросам современной физики (ФИАН, Москва, 2013 г.), Х международной школе-конференции «Хаос – 2013» (СГУ, Саратов, 2013), XIV-XV Всероссийской школы-конференции «Волны» (МГУ, Москва, 2014-2015 гг.), международной конференции 36th PIERS (Prague, 2015), международной конференции SPIE Photonics Europe (Brussels, 2016), XVI, XVII школе «Нелинейные волны» (Н.Новгород, 2012, 2016), XVI, XVII международной конференции International Conference Laser Optics (Санкт-Петербург, 2014, 2016 гг.)
Результаты, вошедшие в диссертацию, были отмечены: дипломом за 3-е место во Всероссийском молодежном конкурсе научных работ в области физических наук (МГТУ, Москва, 2012); дипломом за 2-е место во Всероссийском молодежном конкурсе научных работ по фундаментальной и прикладной физике (МГТУ, Москва, 2012); дипломом победителя конкурса «Молодой ученый СГАУ» (СГАУ, Самара, 2012); дипломами Самарского конкурса-конференции научных работ по оптике и лазерной физике 2012 г. – 3 место, 2013г. – 2 место (СФ ФИАН, СГУ, Самара).
Авторский вклад. Все результаты, изложенные в диссертации, получены автором лично, либо при его определяющем личном участии. Из работ в соавторстве на защиту выносятся результаты, в получении которых автор принимал непосредственное участие.
Связь с государственными программами
Работы по теме диссертации выполнялись в соответствии с планами фундаментальных научно-исследовательских работ по грантам и программам: грант АВЦП «Развитие научного потенциала высшей школы (2009-2011 годы)»,
проект № 2.1.1/309; гранты ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 гг. № ГК № 14.740.11.0703, ГК №П1930, государственное задание Минобрнауки РФ № 2.560.2011, 3.1451.2014/К, грантами РФФИ 14-02-31419 мол_a, НИР СФ ФИАН ГР 01200805605, ГР 114091840046, программа повышения конкурентоспособности Самарского государственного аэрокосмического университета имени академика С.П. Королёва (национального исследовательского университета)» на 2013–2020 гг., соглашения № СИ1/10-2014, № СИ1/10-2015.
Структура и объём диссертации
Диссертация состоит из введения, четырёх глав, заключения, списка литературы из 94 наименований. Общий объём 158 страниц, в том числе 112 рисунков.
Бифуркационный анализ при параметрах выше второго порога
Проведенные теоретические работы по формированию излучения в полупроводниковых лазерах с внешним резонатором также прогнозируют формирование сложных пространственно-временных оптических структур. В работе [50] на основе модели полупроводникового двухчастотного лазера с вертикальным внешним резонатором численно построены карты динамических режимов, на которых выделены области непрерывной генерации, периодических колебаний, а также квазипериодических и хаотических колебаний интенсивности излучения и плотности носителей в активных областях лазера.
Стоит отметить также, что конструктивные особенности ВИЛ позволяют ге нерироваться оптическому излучению с произвольной поляризацией волны. Как показано, например, в [51, 52] в таких лазерах учет поперечного распределения поляризации при исследовании пространственно-временной динамики оптиче ских полей является совершенно необходимым. Оптическое излучение таких ла зеров принято представлять как суперпозицию двух оптических мод поляризо ванных в двух взаимно перпендикулярных плоскостях – поляризованное излу чение и – поляризованное излучение. Активной среде полупроводникового ла зера свойственны как минимум два вида анизотропии: двулучепреломление и ди хроизм. Наличие двулучепреломления приводит к разделению частот для и поляризованного излучения [53]. Важно, что разделение частот, предска занное теоретически и установленное экспериментально, наблюдается для режима приосевой генерации. Режим приосевой генерации в ВИЛ является гораздо более исследованным, т.к. естественный разогрев активной среды ВИЛ приводит к от рицательному знаку отстройки , для которой приосевая генерация энерге тически более выгодна. Вопрос поляризационных характеристик внеосевой гене рации ВИЛ на сегодняшний день изучен мало.
В работе [54] экспериментально и теоретически исследована поперечная структура оптического поля ВИЛ с учетом поляризационных свойств излучения. Показано, что наблюдаемая пространственно-временная структура является векторной вихревой решеткой.
В работе [24] экспериментально показано, что при высоких температурах, соответствующих приосевой генерации наблюдается разделение оптических ча стот для и поляризованного излучения . Однако при охлаждении ак тивной среды ВИЛ и развитии режима внеосевой генерации наблюдается захват оптических частот для и поляризованного излучения. Для внеосевой генера ции частоты оказываются равны . В подразделе 4.2.1 четвертой главы настоящей диссертации впервые предложено теоретическое объяснение данного экспериментального факта. В работе [23] экспериментально показано, что поперечная структура оптиче ского излучения для и поляризованного излучения имеет различный харак терный пространственный размер (рисунок 1.19).
Третий механизм формирования оптических структур, рассмотренный в диссертации – параметрическое возбуждение пространственных структур. Впервые подобный механизм был предложен Фарадеем при описании капиллярной ряби, возникающей на поверхности слоя жидкости, колеблющейся в вертикальном направлении.
Эксперименты Фарадея считаются одними из первых примеров проявления самоорганизации. В своих экспериментах Фарадею удалось показать, что форма ряби, возникающей на поверхности жидкости, не зависит от формы используемой кюветы, а значит, не зависит от граничных условий и начальных условий. В экспериментах слой жидкости со свободной верхней границей совершает вертикальные колебания. На его поверхности образуются капиллярные волны, так называемая рябь Фарадея. Пространственно-временная динамика поверхностных волн зависит исключительно от управляющих параметров системы: вязкости жидкости, коэффициента поверхностного натяжения, частоты и амплитуды вертикальных колебаний. Также экспериментально установлено, что частота возбуждаемой Фа-радеевской ряби ровно вдвое меньше частоты вертикальных колебаний.
Рассмотрим некоторые примеры пространственных структур, образованных рябью Фарадея [55]. Экспериментально показано, что неустойчивость Фарадея приводит к появлению полос (рисунок 1.20а), дефектов на полосах (рисунок 1.20б), спиральных волн (рисунок 1.20в), гексагонов (рисунок 1.20г), сосуществование полос и гексагонов (рисунок 1.20д), структуры с квадратной симметрией (рисунок 1.20е).
В работе [56] с помощью уравнения Гросс-Питаевского исследуется динамика конденсата Бозе-Эйнштейна (БЭК). Показано, что периодическая модуляция во времени параметра – эффективной длины s-рассеяния атомов, может приводить к формированию упорядоченных пространственно-временных структур. С помощью численного моделирования с использованием периодических граничных условий показано, что параметрическая неустойчивость в БЭК приводит к формированию структуры с квадратной симметрией (рисунок 1.21а), а также может приводить к пространственно-временному хаосу (рисунок 1.21б). 65
В работе [57] аналитически, численно и экспериментально исследуется неустойчивость Фарадея в волоконном Рамановском лазере. Неустойчивость инициирована при помощи введения в оптоволокно пространственной периодической модуляции диссипативного параметра системы. Когда параметры системы модулированы с пространственным периодом , соответсвующим пространственной частоте г/Л, в результате неустойчивости Фарадея возбуждается мода с волновым числом . Возбуждение данной моды приводит к колебаниям во времени выходного излучения лазера с частотой, которую можно найти из дисперсионного соотношения ( ). Представленная диссертация посвящена исследованию механизмов формирования нелинейных поперечных пространственно-временных оптических структур. Настоящее исследование проведено с помощью математической модели Максвелла-Блоха. Данная модель описывает пространственно-временную эволюцию оптического поля, распространяющегося в усиливающей двухуровневой активной среде. Пространственно-временная эволюция оптического поля описывается параболическим дифференциальным уравнением в частных производных, полученным в приближении медленно меняющейся амплитуды:
Уравнение (1.1) записано для случая распространения оптического излучения в плоскопараллельном резонаторе Фабри-Перо. Слагаемое Е описывает зату хание поля в оптическом резонаторе. Здесь - характерная скорость затухания оптического поля в резонаторе - определяет полуширину линии пропускания оп тического резонатора. Величина определяет один из трех характерных времен ных масштабов системы уравнений Максвелла-Блоха. Слагаемое ( )Ё учитывает отстройку частоты оптического излучения от частоты оптического ре зонатора. Также в случае, если в линию усиления активной среды попадает един ственная продольная мода, слагаемым с производной по продольной координате z можно пренебречь . Если в оптической среде распространяется линейно поляризованное излучение, то от векторного уравнения (1.3) легко перейти к упрощенной скалярной модели. Для рассмотрения общего случая удобно использовать представление распространяющегося оптического излучения как суперпозицию двух волн, линейно поляризованных во взаимно перпендикулярных плоскостях: Е Е Е, и - базисные вектора.
Поляризация двухуровневой среды Р с однородным уширением линии описывается уравнениями Блоха. Впервые подобные уравнения были получены Феликсом Блохом при описании ядерного магнитного резонанса. Эти уравнения носят универсальный характер при описании двухуровневых квантовых сред, и используются, в том числе, в нелинейной оптике. В нелинейной оптике сохранилась первоначально предложенная терминология: - скорость продольной релаксации, в оптике характеризует скорость релаксации инверсии населенности; -скорость поперечной релаксации, в оптике характеризует скорость релаксации поляризации среды, характеризует полуширину линии усиления активной среды.
Волновая неустойчивость в лазерах динамического класса А
Существование Волновая неустойчивость проявляется в виде роста малых пространственно неоднородных возмущений с ненулевым значением волнового числа и ненулевой мнимой частью инкремента. На рисунке 2.1 в качестве характерного примера при ведена зависимость инкремента нарастания от волнового числа малого возмуще ния для значений параметров модели (1.4) a=ia2, y=ia\ 3=-3, г=30, при которых наблюдается данный тип пространственно-временной неустойчивости. Хорошо видно, что зависимость инкремента от волнового числа малого возмущения сим метрична относительно . Рисунок 2.1 - Зависимость инкремента нарастания от волнового числа возмущения однородного состояния при параметрах =10-2, =10-1, =-3, r=30, a=0.01 Значение волнового числа, соответствующего максимальному инкременту, определяет величину апертуры необходимую для наблюдения пространственных возмущений в системе. Для рассматриваемой области параметров qmax « 2.65 (рисунок 2.1), тогда минимальный размер пространственной области, на которой возможно развитие такой неустойчивости равен Lmin = 2n/qmax « 2.37 безразмерных волновой неустойчивости в системе (1.4) впервые было установлено в работе [1]. Впоследствии условия её появления и динамика поперечной структуры поля в результате развития неустойчивости подробно рассматривались в работах [4, 5, 59]. Так, в работе [4] показано, что при отрицательной отстройке в широкоапертурном лазере класса В (т.е. в пренебрежении инерционностью поляризации) реализуются условия волновой бифуркации. В более поздней работе [59] этот результат был обобщён для полной системы Максвелла-Блоха; было показано, что волновая неустойчивость в полной системе проявляется в пределе / — О, который, в частности, включает в себя и лазеры класса В.
В [31] был описан новый аналитический подход, который позволяет вычислить волновое число, соответствующее максимальному инкременту, и соответствующую ему частоту: №Щ (2.2)
В настоящей диссертации было подтверждено появление волновой неустойчивости выше второго порога генерации в лазерах различных динамических классов. Это иллюстрируют рисунки 1.1-1.3 - для лазеров класса А, рисунки 1.4-1.6 -для лазеров класса В и рисунки 1.7-1.9 - для лазеров класса С. Так для лазеров класса А области параметров, соответствующие волновой неустойчивости, локализуются в двух местах: в области больших по модулю от рицательных отстроек (слева на диаграммах) при (рисунок 1.1а, 1.2а) и в области околонулевых отрицательных отстроек (верхняя правая область на диа граммах) при (рисунок 1.1б, 1.2б, 1.3а-б). Аналогично для лазеров класса В наблюдается две характерных локализации областей волновой неустой чивостей: в области больших отрицательных отстроек слева при (ри сунки 1.4, 1.5) и в области высоких накачек сверху на диаграммах при (рисунок 1.6). В лазерах класса С область волновой неустойчивости локализуется только в области высоких накачек при параметрах (рисунки 1.7б, 1.8б). Был проведен подробный анализ динамики вторичных неустойчивостей в одномерном случае для разных динамических классов лазеров. Рассмотренный в данном разделе одномерный случай хорошо описывает пространственно-временную эволюцию оптического поля, генерируемого полупроводниковыми лазерами с классической полосковой геометрией. Полосковый полупроводниковый лазер имеет большие поперечные размеры только по одному поперечному направлению (до 500 мкм), в то время как по второму поперечному направлению его размер составляет лишь порядка 1 мкм (см. рисунок 2.3). В таком случае можно считать, что по направлению всегда реализуется фундаментальная поперечная мода и следует исследовать лишь пространственно-временную эволюцию оптического поля по направлению .
Стоит отметить, что для всех режимов моделирование пространственно временной динамики при показало, что режим пространственно однородной генерации оказывается устойчивым, несмотря на наличие неустойчи вых мод. Неустойчивые моды начинают развиваться, только в случае . Простейшее решение системы уравнений (1.4) – это гармоническая бегущая волна (1.5)-(1.6). Исследуем решение вида бегущей волны (1.6) на устойчивость по отношению к малым возмущениям. Будем искать решение в следующем виде: ( ) {Ё q q ) I (р Т q q q ( ( ) ) (2.3) Здесь – амплитуды малых пространственно временных возмущений, – волновое число возмущения, – инкремент нараста ния малого возмущения. Задача исследования устойчивости решения (1.6) сво дится к нахождению собственных чисел матрицы линеаризации (смотри главу 1): D P Решение вида бегущей волны (1.6) будет устойчивым по отношению к малым возмущениям, если все решения уравнения (2.4) будут иметь неположительные действительные части при всех значениях q . Наличие же положительных действительных частей у показателей экспоненты при некоторых значениях q свидетельствует о росте соответствующих малых возмущений с течением времени, свидетельствующих о неустойчивости решения (1.6).
Данная глава посвящена теоретическому исследованию формирования нели нейных пространственно-временных оптических структур образующихся в ре зультате развития неустойчивости пространственно-однородного режима генера ции. Пространственно-однородному режиму генерации соответствует решение (1.6) с . Неустойчивость пространственно-однородного режима генерации по отношению к малым возмущениям называется первичной неустойчивостью (не путать со вторым порогом генерации). Исследование развития неустойчивости проводилось методами численного интегрирования исходной системы уравнений (1.4). Численное моделирование показало, что на начальном этапе развития не устойчивости, на фоне однородного профиля появляется бегущая волна. Волно вое число такой волны находится в строгом соответствии c найденным значением в результате линейного анализа. Таким образом, на начальной стадии развития неустойчивости в дальнем оптическом поле наблюдается яркий цен тральный максимум, соответствующий пространственно-однородной генерации с , а также небольшой побочный максимум на пространственной частоте . Как показало численное моделирование, нарастание возмущения приводит к полной перекачке энергии в поперечную моду с волновым числом , в даль ней зоне остается единственный максимум на частоте , другие частоты от сутствуют. Таким образом, неустойчивость пространственно-однородного режи ма генерации приводит к развитию существенно внеосевого режима генерации с волновым числом . Такой режим внеосевой генерации описывается ре шением (1.6) с волновым числом . Как показал анализ устойчивости это го решения и проведенное численное моделирование, режим внеосевой генерации с волновым числом также оказывается неустойчивым по отношению к малым возмущениям – такая неустойчивость называется вторичной неустойчивостью. Как показало численное моделирование, вторичная неустойчивость также приводит к полной перекачке энергии в некоторую другую поперечную моду, описываемую решением вида бегущей волны (1.6), которая также оказывается не устойчива. Механизм, описанный выше, приводит к переключениям между раз личными поперечными модами. Для того чтобы происходила перекачка энергии из одной волны в другую, необходимо, чтобы неустойчивость первичной волны бала волнового типа, т.е. с ненулевой мнимой частью инкремента ( ( )) , так как неустойчивость Тьюринга не может приводить к появ лению бегущей волны вида (1.6) (см. раздел 1.1). Ниже подробно исследованы механизмы возникновения, закономерности, и проведено численное моделирование переключений между различными поперечными модами.
Для различных динамических классов лазеров были построены характерные дисперсионные кривые, позволяющие определить основные закономерности в формировании оптических структур.
Формирование спиральных волн
Как уже отмечалось выше, поперечная картина оптического поля лазера, наблюдающаяся выше границы волновой бифуркации, зависит от характера взаимодействия возмущений, соответствующих неустойчивым модам и распространяющихся в различных направлениях, на нелинейной стадии их роста. Однако рассмотренный в разделе 2.3 одномерный случай физически описывает лазер, апертура которого не ограничена лишь в одном из двух пространственных поперечных направлений, в то время как в другом поперечном направлении генерация является одномодовой, характерным примером может служить торцевой инжек-ционный полупроводниковый лазер.
В то же время в случае лазера с большими поперечными размерами апертуры развитая для одномерного случая аналитика применимой уже быть не может. Здесь ставшие неустойчивыми возмущения могут распространяться в любых направлениях в плоскости поперечного сечения лазерного пучка. Этот факт исключает возможность теоретического исследования возникающих режимов генерации, так как для этого потребовалось бы вводить в рассмотрение уравнения для амплитуд бесконечного числа возмущений, распространяющихся во всех возможных направлениях на плоскости. Поэтому в рассматриваемом здесь двумерном случае развитие возмущений режима однородной стационарной генерации, ставших неустойчивыми в результате волновой бифуркации, исследовалось путём численного моделирования пространственно-временной динамики при различных параметрах.
Аналитически в этом случае на однородном профиле предсказывается рост возмущений с волновым числом, которое соответствует ставшей неустойчивой моде. Причём вследствие равноправности всех направлений в плоскости поперечного сечения лазерного пучка следует ожидать равномерного по всему сечению роста таких неоднородностей. Рассмотрим значения параметров системы а=0.01, у=0.2, д=-3, г=30. Эти значения соответствуют области волновой неустойчивости. Для проверки аналитических прогнозов в первую очередь была исследована стадия линейного роста возмущений в режиме стационарного однородного распределения. На рисунках 2.20а-б изображены временные реализации локальной интенсивности в точке (рисунке 2.20а) и интегральной интенсивности по всей поверхности (рисунке 2.20б).
При этом неоднородности занимают в спектре достаточно узкий диапазон волновых чисел, соответствующий неустойчивой моде, что иллюстрирует картина дальнего поля на рисунке 2.22а. Здесь помимо ярко выраженного центрального максимума появляется более слабый побочный максимум в форме характерного кольца. Это кольцо как раз и отвечает неоднородностям, изотропно развивающимся на фоне однородного профиля. Соответствие радиуса этого кольца максимуму дисперсионной кривой хорошо видно из сравнения рисунков 2.15 и 2.22а.
При этом характер модуляции поперечного профиля как по пространству, так и во времени оказывается очень сложным. В работах [34, 35], где исследовалось развитие волновой неустойчивости для одномерной задачи, предсказывались случаи периодической, квазипериодической или хаотической модуляции. В двумерной задаче картина оказывается гораздо более запутанной и уже не сводится к таким простым случаям. Для примера на рисунке 2.24а-б показана в разных временных масштабах зависимость интенсивности излучения от времени для одной фиксированной точки поперечного профиля.
Эта зависимость имеет очень сложный непериодический характер, напоминающий низкоразмерный динамический хаос. То же самое касается и пространственной модуляции профиля, что иллюстрирует рисунок 2.25. (а) (б)
На рисунке 2.26а видно, что излучение достаточно равномерно распределено в области пространственных гармоник не превышающих . Гармоники с большими волновыми числами обладают амплитудами более чем на два порядка меньше основных. Более 99% всего излучения приходится на область простран ственных частот с . Стоит отметить, что согласно линейному анализу, проведенному в пункте 2.1.1 для лазеров класса А при данных параметрах макси 69 мальное волновое число возбуждаемых возмущений (рисунок 2.7б). Это значение достаточно близко к максимальному волновому числу простран ственных гармоник наблюдаемых в численном моделировании . Это свидетельствует о том, что данный прогноз на основе дисперсионных диаграмм может быть с высокой точностью работать не только на линейной стадии роста возмущений, но и на этапе установившейся динамики. На рисунке 2.33б видно, что наибольшей амплитудой обладает участок спек тра с . Действительно, легко по аналитической формуле проверить, что это соответствует пространственным частотам (рис. 2.33а) ( ) . Относительная погрешность в определении максимальной частоты составляет .
При этом характерно, что по мере удаления от границы волновой бифуркации на диаграмме устойчивости системы динамика качественно не изменяется, происходит лишь увеличение глубины пространственно-временной модуляции.
Рассмотрим значения параметров системы а=0.05, у=0.0005, д=-1, г=10. Эти значения соответствуют области волновой неустойчивости для лазеров класса В. Аналогично в первую очередь необходимо исследовать стадию линейного роста возмущений режима однородной стационарной генерации, на которой с по 70 мощью линейного анализа были спрогнозированы значения волновых чисел неустойчивых мод. На рисунках 2.27а-б изображены временные реализации локальной интенсивности в точке (рисунок 2.27а) и интегральной интенсивности по всей поверхности (рисунок 2.27б).
Неоднородности занимают в пространственном спектре достаточно узкий диапазон волновых чисел, соответствующий неустойчивой моде, что иллюстрирует картина дальнего поля на рисунке 2.30а. Соответствие радиуса кольца максимуму дисперсионной кривой видно из сопоставления рисунков 2.29 и 2.30а. Стоит отметить, что аналитический подход из [31], прогнозирующий величину волнового числа с максимальным инкрементом и частоту для лазеров класса В по формулам (2.1) и (2.2) дает близкие результаты, что свидетельствует о применимости и корректности данного метода:
Методика численного моделирования векторной модели
Затем для каждой из полученных систем с помощью алгоритма Беннетина находились Ляпуновские характеристические показатели. Этот подход позволил вычислить для каждого возмущения в правой части (3.3) соответствующие ему значения показателей, по сути, представляющие собой инкременты усиления этих возмущений. Рассчитанные предложенным способом значения в данной работе было решено называть показателями Флоке аналогично терминологии, использовавшейся в [75].
С использованием данного метода для аттрактора были построены диаграммы зависимости показателей Флоке от волнового числа возмущения. Построение данных диаграмм осуществлялось численно. При этом, как следует из приведенного описания, расчёт показателей Флоке производился отдельно для каждой из систем (3.4) с различными значениями волнового числа возмущения k. Из-за этой особенности предложенного метода задача построения диаграмм Флоке легко поддаётся распараллеливанию. В области неустойчивости Хопфа существует несколько типов неустойчивостей аттрактора. Так, если показатели Флоке отрицательны при всех значениях волнового числа возмущения, то предполагается, что аттрактор устойчив и все неоднородности поперечного профиля затухают с течением времени. Таким образом, в данном случае ожидается наблюдение пространственно-однородных нестационарных по времени оптических структур.
На рисунке 3.1а приведена двумерная диаграмма показателей Флоке на плос кости отстройка/накачка ( ). Светло-серым цветом выделена область Хопфов ской неустойчивости. Ожидается, что в этой области пространственно однородное стационарное решение (1.8) будет неустойчивым. Тёмно-серым обо значена область, в которой имеется не менее чем один положительный показатель Флоке. (а) (б) Рисунок 3.1 - Двумерная диаграмма показателей Флоке (а) и старший показатель Флоке (б) при значениях параметров =5, =1, г=20, =-0.5 На рисунке 3.1б приведён характерный пример старшего показателя Флоке при параметрах а=5, у=1, г=20, д=-0.5, положительного в некотором диапазоне значений волнового числа. Соответствующие возмущения поперечного однородного профиля должны в этом случае нарастать со временем. При этом естественно ожидать, что определяющую роль на формирующуюся неоднородную структуру поперечного профиля будут оказывать возмущения с наибольшим значением показателя.
Стоит отметить, что выполненный анализ, основанный на теории Флоке, проводится в линейном приближении. Поэтому предсказательная способность построенных диаграмм Флоке распространяется в общем случае лишь на линейную стадию роста возмущений. Однако и в таком приближении может быть сделан ряд важных качественных выводов, касающихся динамики рассматриваемой системы. Так, отсутствие положительных показателей, указывающее на устойчивость аттрактора точечной системы, должно приводить к установлению в модели автоколебательного режима пространственно-однородной генерации. Другими словами, распределённая система (1.4) в этом случае должна выходить на аттрактор соответствующей ей точечной системы. При наличии же положительных максимумов на диаграмме Флоке должны наблюдаться сложные пространственно 96 неоднородные режимы динамики, в том числе образование неоднородных оптических структур. При этом стоит ожидать, что характерные размеры формирующихся структур будут находиться в удовлетворительном соответствии с волновым числом моды, дающей максимум на диаграмме. Проверить правильность последних предположений на нелинейной стадии роста возмущений возможно лишь с помощью численного моделирования.
Проведённые в диссертации исследования предсказывают разную динамику в зависимости от результатов анализа Флоке. В отсутствие положительных показателей Флоке в системе должен устанавливаться режим генерации пространственно-однородных автоколебаний. Непосредственное численное моделирование системы (1.4) показало, что так и происходит: в системе наблюдается генерация пространственно-однородного излучения, при котором характер временной зависимости интенсивности на выходе лазера определяется по структуре аттрактора точечной системы.
При наличии же положительных показателей Флоке происходит образование пространственно-неоднородных оптических структур. В активных оптических системах наряду с режимами сложной нерегулярной динамики поля (вдали от бифуркационных границ в области неустойчивости) могут реализовываться режимы генерации, сопровождающиеся формированием упорядоченных оптических структур: доменов спиральных волн или модулированной стоячей волны.
Изучение динамики спиральных волн в модели (1.4) проводилось и ранее. Так, в работе [76] наблюдалось формирование спиральных волн в системе Максвелла-Блоха (1.4) в области параметров, соответствующей устойчивому однородному состоянию, посредством жёсткого возбуждения. Для этого брались специальным образом сконструированные начальные условия в виде обрывка волнового фронта конечной длины, из концов которого в итоге развивалась пара центров спиральных волн.
В диссертации был рассмотрен процесс развития такой структуры при мягком возбуждении системы из слабого начального шума при параметрах а=5, у=1, д=-0.5, г=20.
Соответствующие стационарный профиль интенсивности и мгновенное распределение фазы электрического поля приведены на рисунках 3.2а-б. Установление стационарного профиля происходит следующим образом. На первой стадии происходят колебания слабо возмущенного профиля, что и предсказывается вследствие неустойчивости Хопфа решения (1.8). На фоне этого профиля происходит рост неоднородностей, обусловленных неустойчивостью аттрактора, предсказываемой анализом Флоке. В определённый момент неоднородности профиля достигают такой амплитуды, что в нижней точке колебаний профиль «зацепляется» вершинами своих неоднородностей за нулевую отметку интенсивности. С этого момента характер динамики резко меняется. В тех точках, где интенсивность достигла нуля, рождается пара центров спиральных волн; при этом интенсивность в этих центрах больше не изменяется и остаётся в дальнейшем равной нулю. Далее из центров начинают развиваться фронты спиральных волн.
В областях между этими центрами продолжаются колебания, которые со временем затухают по мере роста спиралей. После того, как развившиеся спирали охватывают всё поперечное сечение лазера, профиль интенсивности становится стационарным. При этом на границах между областями, занятыми отдельными спиральными центрами (доменами), вырастают резкие скачки интенсивности (рисунок 3.2а).
Распределение фазы (рисунок 3.2б) содержит так называемые фазовые дефекты (центры спиральных волн), на плоскости интенсивности им соответствуют точки с нулевыми амплитудами. В дальней зоне (рисунок 3.3) при этом образуется кольцо, радиусы которого хорошо согласуются с волновыми числами неустойчивой моды на диаграмме показателей Флоке (рисунок 3.1 б).