Нелинейное взаимодействие волн в системах с внутренними резонансами Войтова Татьяна Андреевна

Содержание к диссертации

Введение

1 Каскадное взаимодействие лазерных импульсов в средах с квадратичной нелинейностью 14

1.1 Математическая модель 19

1.2 Отражение, туннелирование и пленение сигнального импульса одиночным импульсом накачки 23

1.3 Запирание и компрессия оптического импульса парой опорных импульсов 28

1.4 Дисперсия сигнального импульса в движущейся индуцированной решетке 32

1.5 Управление скоростью распространения сигнального импульса при взаимодействии с периодической индуцированной неоднородностью 38

1.6 Отражение сигнального импульса от движущейся индуцированной решетки 43

1.7 Особенности отражения сигнального импульса от динамической квазипериодической неоднородности 49

1.8 Заключение к 1 главе 58

2 Взаимодействие слабой дисперсионной волны с солитонной решет койвсредахскубической нелинейностью 60

2.1 Математическая модель 64

2.2 Резонансные свойства двухсолитонного кластера 66

2.3 Брэгговское отражение от последовательности солитонов 71

2.4 Динамика солитонного резонатора под воздействием дисперсионной волны 73

2.5 Заключение ко 2 главе 78

3 Влияние нелокальных эффектов на свойства резонансных нелинейных метаматериалов 80

3.1 Нелокальная гомогенизация нелинейного дискретного метамате-риала 84

3.2 Сравнение с локальной моделью эффективной среды 88

3.3 Нелинейные характеристики индивидуального метаатома 90

3.4 Нелокальные эффекты в системе нагруженных варакторными диодами коротких проводов 94

3.5 Заключение к 3 главе 100

Заключение 102

Список литературы

• Запирание и компрессия оптического импульса парой опорных импульсов
• Отражение сигнального импульса от движущейся индуцированной решетки
• Брэгговское отражение от последовательности солитонов
• Нелинейные характеристики индивидуального метаатома

Введение к работе

Актуальность темы

Исследование нелинейных оптических эффектов является одной из наиболее динамично развивающихся областей оптики на протяжении последних нескольких десятилетий. Первые эксперименты по генерации гармоник оптического излучения [1] стали мощным толчком к резкому расширению фронта исследований в области нелинейной оптики [2]. В качестве примеров можно назвать работы по созданию эффективных источников высококогерентного излучения - оптических параметрических генераторов. Особенностью этих устройств является возможность перестройки длины волны излучения в широком диапазоне. Еще одним примером можно отметить исследования по генерации оптического суперконтинуума - когерентного излучения с шириной спектра, превышающей октаву. Оптический суперконтинуум нашел широкое применение в телекоммуникационных приложениях, но особенно большое значение создание источников оптического суперконтинуума имело для метрологии при создании сверхвысокоточного стандарта частоты [3].

Современный прогресс в развитии экспериментальной техники сделал доступным для исследований использование сверхмощных источников лазерного излучения с пиковой мощностью, превышающей 10¹⁵ Вт. Наряду с этим, дополнительным стимулом к изучению новых нелинейных оптических эффектов стало активное развитие такого направления, как создание новых искусственных материалов, желаемый нелинейно-оптический отклик которых достигается путем надлежащего выбора структурных элементов метаматериала, геометрии их взаимного расположения и способа связи друг с другом. Поскольку нелинейные эффекты быстро растут при увеличении интенсивности поля, то можно ожидать, что наличие резонансов в системе должно способствовать усилению нелинейных взаимодействий. В то же время резонансные эффекты приводят к запаздыванию нелинейного отклика и к более сложной дисперсии волн в среде. Это существенно усложняет теорию нелинейных взаимодействий волн в таких средах.

С прикладной точки зрения в целях создания устройств для высокоскоростной оптической обработки информации значительный интерес представляет динамическое управление световыми пучками и импульсами при их распространении в нелинейной среде. Исследованию взаимодействия пучков в нелинейных средах различного типа посвящено большое количество теоретических и экспериментальных работ [4, 5]. В последнее время огромное внимание приковано к изучению возможности динамического управления лазерными импульсами посредством рассеяния на неоднородности показателя преломления, созданной в нелинейной среде опорным импульсом [6-9]. Однако в случае, когда индуцированная неоднородность обладает резонансными свойствами, характер рассеяния сигнального импульса может существенно измениться. Так, в недавних

экспериментах было показано, что при взаимодействии с парой мощных оптических солитонов слабая дисперсионная волна может быть захвачена между ними, испытывая многочисленные отражения [10, 11]. Использование периодичности по времени в управляющем сигнале, в свою очередь, дает дополнительные возможности управления оптическими импульсами. Это представляет практический интерес с точки зрения разработки сверхбыстрых полностью оптических переключателей, а также в целях оптимизации процесса генерации оптического суперконтинуума.

Одной из наиболее активных областей исследований в настоящее время является изучение и создание метаматериалов [12-14]. Использование больших нелинейностей, доступных в нелинейных резонансных метаматериалах, открывает ряд уникальных возможностей для создания нового поколения материалов. Недавние исследования показали, что в широком классе линейных метаматериалов выражены эффекты пространственной дисперсии, для описания которых был предложен ряд оригинальных подходов [15-17]. Однако последовательное теоретическое описание свойств нелинейных метаматериалов с учетом нелокальных эффектов в настоящее время остается открытой проблемой [12].

Таким образом, исследование нелинейно-оптических явлений в структурах, обладающих внутренними резонансами, имеет большое значение с фундаментальной точки зрения для понимания процессов взаимодействия излучения с веществом, а также является стимулом для прикладных разработок в различных областях оптики, лазерной физики, физики метаматериалов.

Целью диссертационной работы является изучение особенностей нелинейного взаимодействия волн в системах, обладающих внутренними резонансами, а именно:

Развитие теоретической модели и проведение анализа каскадного трехчастотного взаимодействия оптических импульсов в средах с квадратичной нелинейностью в случае сильной периодически промодулированной накачки;

Изучение рассеяния слабых дисперсионных волн солитонными ансамблями из двух или нескольких периодически следующих мощных импульсов в кубично-нелинейных средах при учете дисперсии третьего порядка. Проведение анализа зависимости отражения сигнала от периода следования солитонов и начальной частоты излучения;

Исследование влияния рассеяния слабого дисперсионного излучения на динамику солитонного кластера, составленного из двух мощных оптических импульсов;

Построение теоретической модели и получение аналитических выражений для эффективных нелинейных восприимчивостей метаматериала, представляющего собой трехмерный массив одноосных рассеивателей, с учетом нелокальных эффектов. Анализ влияния эффектов пространственной дисперсии на нелинейные свойства метаматериала.

Научная новизна исследований, проведенных в диссертационной работе, состоит в следующем:

1. Теоретически предсказаны и продемонстрированы численно новые эффекты при каскадном взаимодействии оптических импульсов в средах с квадратичной нелинейностью. Показана возможность управления сигнальным излучением на выходе из среды в широких пределах параметров;

2. Впервые проведено исследование отражательных характеристик солитонного ансамбля, составленного из двух или нескольких периодически следующих мощных оптических импульсов, в среде с кубической нелинейностью при учете третьего порядка дисперсии. Выявлен резонансный характер рассеяния дисперсионной волны ансамблем солитонов, проведена аналогия с отражением от пространственного резонатора Фабри-Перо (в случае 2 солитонов) и брэгговского зеркала (в случае нескольких солитонов);

3. Проанализировано влияние рассеяния слабых дисперсионных волн на динамику солитонного резонатора, составленного из двух мощных импульсов, продемонстрирован новый эффект - взаимное притяжение солитонов, приводящее к изменению резонансной частоты и сложной собственной динамике солитонной пары;

4. Впервые проведено последовательное описание свойств нелинейных метаматериалов с учетом эффектов пространственной дисперсии. Показано влияние нелокальности на нелинейные характеристики метаматериала.

Основные методы исследования

Для решения поставленных задач в ходе исследования использовались аналитические методы, а также численное компьютерное моделирование. Достоверность полученных результатов подтверждается сопоставлением теоретических предсказаний с результатами численного моделирования, а также сравнением результатов моделирования с реальными физическими процессами и явлениями.

Практическая значимость

Результаты, изложенные в диссертации, важны как с фундаментальной точки зрения для понимания нелинейных процессов, происходящих в системах с внутренними резонансами, так и для решения целого ряда практических задач. В частности, выявленные особенности распространения и взаимодействия оптических импульсов в нелинейных средах могут быть использованы для разработки нелинейных систем управления светом с помощью света, высокоскоростных полностью оптических переключателей и разветвителей, контроля скорости распространения и выходного профиля оптических сигналов и многих других задач. Более глубокое понимание свойств нелинейных метаматериалов будет способствовать созданию нового поколения материалов, в том числе на основе нелокальных эффектов, для широкого круга применений в промышленности, медицине и т.д.

Научные положения, выносимые на защиту:

5. Последовательность из двух временных оптических солитонов, распространяющихся в нелинейном волокне с дисперсией высших порядков, представляет из себя релятивистский аналог резонатора Фабри-Перо. Положение резонансных частот в спектре коэффициента отражения дисперсионной волны малой интенсивности от пары солитонов зависит от временной задержки между солитонами, а спектральная ширина резонанса определяется интенсивностью солитонов.

6. Каскадное перерассеяние дисперсионных волн, захваченных резонатором, образованным двумя временными солитонами, распространяющимися в нелинейных оптических волокнах с дисперсией высших порядков, приводит к эффективному межсолитонному взаимодействию (притяжению) при временных интервалах между солитонами, намного превышающих их длительность.

7. Отражение дисперсионных волн малой интенсивности от периодической последовательности оптических солитонов, обусловленное резонансным четырехволновым смешением, является временным аналогом брэгговского отражения оптических пучков от сред с пространственной модуляцией показателя преломления. Коэффициент отражения дисперсионной волны от последовательности солитонов является периодической функцией временной задержки между солитонами и частоты падающего излучения.

8. В трехмерном метаматериале, составленном из одноосных рассеивателей, в окрестности резонанса эффективной линейной

диэлектрической проницаемости на нелинейные свойства оказывает влияние пространственная дисперсия. Для реалистичных параметров метаматериала, составленного из нагруженных варакторыми диодами коротких проводов, в субволновом режиме, когда отношение длины волны к периоду структуры составляет Я/а«48, в зависимости от направления волнового вектора фундаментальной волны величина эффективной нелинейной восприимчивости второго порядка может изменяться в пределах 1%, величина эффективной нелинейной восприимчивости третьего порядка - в пределах 4%.

Апробация работы

Материалы диссертационной работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях и школах: Международная конференция "Days On Diffraction" (Санкт-Петербург, 2012), Международная конференция "ICONO/LAT" (Москва, 2013), Международная молодежная научная школа "Когерентная оптика и оптическая спектроскопия" (Казань, 2010), Международные чтения по квантовой оптике (Волгоград, 2011), Международный симпозиум по фотонному эхо и когерентной спектроскопии ФЭКС (Йошкар-Ола, 2013), Международная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых по фундаментальным наукам "Ломоносов -2011" (Москва, 2011), Международная конференция молодых ученых и специалистов "Оптика" (Санкт-Петербург, 2011, 2013), Всероссийская школа-семинар "Волновые явления в неоднородных средах" (Московская обл., 2010, 2012, 2014), Всероссийская школа-семинар "Физика и применение микроволн" (Московская обл., 2011, 2013, 2015). Работа была выполнена при финансовой поддержке прикладных научных исследований Министерством образования и науки Российской Федерации (соглашение № 14.587.21.0020).

Публикации

Основное содержание диссертации отражено в 7 публикациях в российских и зарубежных журналах, входящих в список изданий, рекомендованных ВАК РФ для публикации материалов кандидатских диссертаций, а также 4 статьях в прочих журналах.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, 3 оригинальных глав, заключения, списка публикаций автора по теме диссертации и списка используемой литературы. В начале каждой главы представлен обзор современного состояния исследований в области, которой посвящена данная глава. Объем работы составляет 114 страниц, включая 41 рисунок. Список используемой литературы содержит 176 библиографических ссылок.

Личный вклад автора

Все представленные в диссертации результаты получены автором лично или при ее определяющем участии. Содержание диссертации и основные положения, выносимые на защиту, отражают личный вклад автора в опубликованные работы. Все численные эксперименты были проведены лично автором, также как основные аналитические выкладки. Автор принимала непосредственное участие в постановке задач и обсуждении результатов исследования.

Запирание и компрессия оптического импульса парой опорных импульсов

Существенным толчком в развитии данного направления стал значительный прогресс последних лет в технологии изготовления неоднородных структур. Во-лоноводные массивы можно создавать, к примеру, в полупроводниках с помощью высокоточной гравировки [46], внедрением другого материала [47], мощными фемтосекундными лазерными импульсами в плавленом кварце [48], с помощью литографии в полимерах [49]. Но параметры таких систем фиксированы, что ограничивает круг их возможных применений. Полностью перестраиваемые периодические структуры в нелинейных средах можно создавать с помощью метода оптической индукции. Наведенные локальные изменения показателя преломления в таком случае будут формировать отдельные волноводы, при этом глубина и период модуляции могут быть регулируемы посредством изменения интенсивности и угла схождения опорных волн, индуцирующих неоднородность. Используя разное количество опорных пучков, можно создавать индуцированные неоднородности синусоидального профиля [50], гексагональные [51], сотовые решетки [52] и другие конфигурации.

Распространение волнового пакета в квазиоптическом приближении описывается параболическим уравнением, математически эквивалентным тому, что описывает распространение волнового пучка в одномерном случае [53]. В силу указанной пространственно-временной аналогии математические выкладки и результаты решения пространственных задач могут быть напрямую сопоставлены с временным случаем и наоборот. При этом поперечная координата будет соответствовать времени, коэффициент дифракции – коэффициенту дисперсии, угол наклона – расстройке групповых скоростей и т.д. Таким образом, при рассмотрении нелинейного распространения импульсов в диспергирующей среде следует ожидать проявления эффектов, аналогичных нелинейному поведению дифрагирующих пучков.

В частности, пространственно-временной аналогией оптического пучка, дифракционное расплывание которого скомпенсировано эффектами нелинейной фазовой самомодуляции, является временной оптический солитон, распространяющийся в нелинейной среде без изменения длительности [54].

Для управления распространением оптических импульсов недавно был предложен новый метод, основанный на трехчастотном каскадном взаимодействии слабого сигнального импульса с мощным опорным импульсом на другой частоте [7]. Из-за эффектов нелинейной фазовой кросс-модуляции импульс накачки создает эффективную движущуюся с релятивистской скоростью неоднородность показателя преломления. В случае, когда расстройка групповых скоростей взаимодействующих импульсов мала (критическое значение расстройки определяется интенсивностью опорного излучения), сигнал может отразиться от наведенной неоднородности, при этом его скорость распространения изменяется. Сигнальный импульс начинает отставать от опорного и на выходе из среды приобретает временную задержку по сравнению с его распространением в однородной среде. Подобный эффект частотного преобразования оптического импульса имеет место при отражении сигнала от ионизованных областей в плазме [55,56], а также неоднородностей, наведенных в средах с быстрой оптической нелинейностью самим импульсом [57] или опорным импульсом, распространяющимся сонаправленно [58] или во встречном направлении [59].

Особый интерес представляет исследование распространения оптических импульсов в нелинейных средах с наведенной периодической модуляцией показателя преломления, распространяющейся с релятивистской скоростью. Это может быть достигнуто с помощью интерференции двух мощных опорных импульсов близких частот в средах с быстрой оптической нелинейностью [60]. Такой подход обладает преимуществом, заключающемся в том, что глубину модуляции показателя преломления можно легко регулировать с помощью изменения параметров опорного излучения.

Управление временем задержки оптического импульса на выходе из среды можно осуществлять за счет дисперсионных свойств волоконных брэгговских решеток [61, 62]. При этом отражение сигнала может наблюдаться даже в случае большой расстройки групповых скоростей, а время задержки сигнала будет определяться интенсивностью опорного импульса.

Первая глава диссертации посвящена исследованию каскадного несинхронного взаимодействия коротких оптических импульсов в средах, обладающих квадратичной нелинейностью. В этой главе материал организован следующим образом: в первом параграфе представлена математическая модель, описывающая динамику взаимодействующих импульсов, во втором – показаны основные эффекты, имеющие место при рассеянии сигнала на неоднородности, наведенной одним опорным импульсом. В третьем параграфе представлены результаты численного моделирования захвата сигнального импульса парой импульсов на частоте накачки, рассмотрены случаи распространения опорных импульсов на одинаковых или близких частотах. Особенности дискретной дисперсии оптического импульса в движущейся решетке показателя преломления рассмотрены в четвертом параграфе главы. Дополнительные возможности контроля групповой скорости сигнала за счет распространения вдоль индуцированных структур с неоднородным распределением интенсивности представлены в пятом параграфе главы. Динамика отражения пробного импульса от периодической последовательности опорных импульсов в том случае, когда на входе в среду они поданы с ненулевой временной задержкой, исследована в шестом параграфе. Седьмой параграф содержит результаты численных расчетов рассеяния сигнала квазипериодической неоднородностью, наведенной в нелинейной среде двумя импульсными решетками разных частот. В заключении главы подчеркнуты основные результаты проведенных исследований.

Отражение сигнального импульса от движущейся индуцированной решетки

Волоконно-оптические системы в настоящее время находят широкое применение в различных областях науки и техники, а именно в сфере телекоммуникаций, метрологии, спектроскопии, медицине и многих других. Большое количество исследований посвящено изучению распространения и взаимодействия в оптических волокнах лазерных импульсов, в том числе солитонов, обладающих способностью распространяться без изменения своей формы вследствие баланса двух эффектов: дисперсионного расплывания импульса и вызванной керров-ской нелинейностью фазовой самомодуляции. Начиная с первых теоретических предсказаний [68] и экспериментальных наблюдений [69] оптических солито-ноподобных импульсов в волоконных световодах, было проведено множество исследований в этой области [70–74]. Интерес с изучению данной тематики обусловлен не только возможностью использования солитонов в качестве носителей информации в оптических линиях связи [74], но также богатым разнообразием эффектов, имеющих место при их распространении в волоконных световодах, сопровождающимся преобразованием частот в видимом и инфракрасном диапазоне спектра [75–77].

Сложная динамика распространения солитона по оптическому волокну определяется влиянием целого ряда нелинейных эффектов, таки как: эмиссия солито-ном дисперсионных волн, обусловленное эффектом Рамана смещение несущей частоты, процессы четырехволнового смешения и др. В результате возможно наблюдение значительного уширения спектра солитона на выходе из волокна -генерация суперконтинуума. В первых экспериментах по генерации суперконтинуума было продемонстрировано спектральное уширение в пределах октавы [78]. Типичные значения спектрального уширения в экспериментах по генерации суперконтинуума для фемтосекундных импульсов на длине волны 800 нм покрывают частотный диапазон от 400 нм до 1600 нм после распространения вдоль фотонно-кристаллического волокна длиной порядка 1 м [79,80].

В последнее время помимо фундаментальной важности, генерация суперконтинуума приобретает все более важное прикладное значение. Этот эффект используется для увеличения точности метрологических измерений, имеет практическое применение в спектроскопии, лазерной биомедицине и многих других областях [75,76,81–83].

Рассмотрим основные эффекты, оказывающие влияние на распространение солитона по оптическому волокну, более подробно. Оптический сигнал при распространении испытывает искажение вследствие влияния дисперсии, при этом характер распространения импульса существенно зависит от его несущей частоты. Математически эффекты дисперсии учитываются разложением постоянной распространения в ряд в окрестности несущей частоты. Так, в случае, когда несущая частота сигнального импульса располагается вблизи точки, в которой квадратичный член в разложении обращается в ноль (вблизи так называемой частоты нулевой дисперсии), для корректного описания распространения такого импульса необходим учет следующего слагаемого в разложении, т.е. эффектов дисперсии третьего порядка.

Когда несущая частота солитонов располагается в окрестности частоты нулевой дисперсии [84], имеет место излучение резонансных дисперсионных волн (Черенковское излучение). Эти дисперсионные волны играют важную роль в динамике излучающих солитонов вследствие спектральной отдачи [85], также они могут влиять на динамику соседних импульсов [86]. В недавней работе было исследовано резонансное излучение осциллирующего солитона второго порядка [87], были выявлены особенности структуры излученного спектра, состоящего из нескольких пиков. Похожие эффекты отмечались при распространении оптических импульсов в волокнах с переменной дисперсией [88,89].

Короткие солитоны длительностью порядка фемтосекунд при распространении по оптическому волокну подвергаются воздействию эффектов вынужденного комбинационного (рамановского) саморассеяния. Для таких импульсов спектр является достаточно широким, чтобы высокочастотные компоненты могли передавать энергию низкочастотным компонентам того же импульса посредством комбинационного усиления, в результате чего несущая частота солитона смещается в область более низких частот. Величина спектрального смещения существенно зависит от длительности импульса, так как солитоны малой длительности имеют более высокую пиковую мощность и более широкий спектр [70]. Подбирая необходимые значения интенсивности солитона и длины оптического волокна, можно осуществлять управление величиной спектрального сдвига со-литона, регулируя частоту солитона на выходе в широком диапазоне [85,90–94].

Особое внимание было уделено изучению взаимодействия солитонов с дисперсионной волной. Отражение слабого излучения от солитона, групповая скорость которого отличается от скорости солитона, можно рассматривать с точки зрения аналогии с горизонтом событий [95–98]. Подобно тому, как свет не может выйти за границы горизонта событий черной дыры, сигнальная волна, достигая солитона, испытывает частотный сдвиг и отражается. Данный эффект может наблюдаться как при рассеянии сторонних дисперсионных волн, источник которых не связан с распространением солитона, так и при рассеянии слабых волн, излученных самим солитоном [99].

Изучению генерации новых спектральных компонент при рассеянии дисперсионной волны на фундаментальных солитонах посвящено большое количество исследований [8, 100–105]. Взаимное притяжение солитонов второго порядка и дисперсионной волны было рассмотрено в [106]. Ряд работ был посвящен исследованию излучения дисперсионных волн так называемыми темными соли-тонами, представляющими собой локальный провал в интенсивности на фоне постоянного фона [107–110].

Брэгговское отражение от последовательности солитонов

Метаматериалы представляют собой искусственно созданные среды, обладающие свойствами, не встречающимися в природных материалах, которые могут быть получены за счет структурирования на мелком по сравнению с длиной волны внешнего излучения масштабе [124]. Последние годы исследования по данной тематике представляют из себя одно из самых активно развивающихся направлений современной физики [125–132]. Метаматериалы открыли возможность создания интересных и перспективных приложений, таких как суперлинзы, позволяющие получать изображения со сверхразрешением [133], эффективные концентраторы света [134], максирующие покрытия [135,136] и другие многочисленные прикладные реализации [137].

С точки зрения практических применений одним из наиболее перспективных направлений является разработка перестраиваемых и управляемых внешним воздействием метаматериалов. Существуют несколько подходов к созданию управляемых метаматериалов. Первый метод заключается в подстройке геометрии взаимного расположения отдельных метаатомов друг относительно друга, что отражено в теоретических и экспериментальных работах [138, 139]. В частности, в работе [138] продемонстрировано существенное изменение резонансных частот структуры при вариьровании периода расположения метаатомов вдоль одной из осей в трехмерном метаматериале.

Другим способом реализации метаматериала с перестраиваемыми характеристиками является включение массива метаатомов в нелинейный диэлектрик. В работе [140] рассмотрена двумерная периодическая структура, созданная массивом проводов и разомкнутых кольцевых резонаторов, помещенных в диэлектрик с нелинейностью керровского типа. Вследствие усиления поля в разрезе кольцевого резонатора значение эффективной нелинейности метаматериала увеличивается по сравнению с нелинейностью диэлектрика. Зависимость эффективной восприимчивости от интенсивности поля позволяет переключаться между положительным и отрицательным преломлением посредством изменения внешнего электромагнитного поля.

Еще один подход заключается в модификации свойств самих метаатомов, в качестве которых в микроволновом диапазоне могут выступать, к примеру, разомкнутые кольцевые резонаторы [141,142], -частицы [143] и другие структурные единицы. Включением в метаатом нелинейного элемента, к примеру, варакторного диода, достигается управление резонансной частотой метаматери-ала посредством изменения мощности падающего излучения [144] или подачи постоянного напряжения смещения [145, 146]. Возможность конструирования желаемого нелинейного отклика, а также использование нелинейных резонансных метаматериалов, что позволяет увеличить достижимые значения нели-нейностей по сравнению с обычными материалами, обуславливают практическую ценность нелинейных метаматериалов для полностью оптической обработки сигналов [147], реализации настраиваемых и перестраиваемых фотонных устройств [148,149].

Изучению свойств нелинейных метаматериалов посвящено большое количество исследований [12–14,140,150–152]. Теоретическое описание электромагнитных свойств нелинейных материалов (т.е. нелинейная гомогенизация) является одной из основных задач, существующих в этой области. Процедура гомогенизации заключается в получении эффективных материальных параметров дискретной среды в результате усреднения уравнений Максвелла для микроскопических полей и поляризаций, при котором поляризация дискретных элементов заменяется непрерывно распределенной в среде. При этом дискретный набор метаа-томов, составляющих метаматериал, можно рассматривать как сплошную среду, характеризующуюся набором эффективных параметров. В большинстве задач нелинейность в метаматериалах описывается методом возмущений в терминах нелинейных восприимчивостей [153]. Такой подход является удобным с точки зрения возможности непосредственного сравнения свойств искусственно структурированных сред со свойствами природных материалов. На сегодняшний день существует ряд подходов к процедуре гомогенизации композитных материалов и метаматериалов [154–159]. Разработанные алгоритмы гомогенизации позволяют получить эффективные нелинейные восприимчивости метаматериала, которые определяются не только характеристиками нелинейных включений, но также свойствами и расположением структурных элементов, составляющих метамате-риал. В частности, в работе [159], был предложен метод описания нелинейных свойств метаматериала, составленного из случайным образом ориентированных одноосных диполей.

Однако недостатком этих подходов является тот факт, что расчеты не учитывают возможные эффекты пространственной дисперсии. Пространственная дисперсия (или нелокальность) представляет собой зависимость поляризации физически малого объема среды от полей, существующих в соседних областях в пространстве, что будет проявляться в зависимости компонент тензора эффективной диэлектрической проницаемости от частоты и волнового вектора. В ряде недавних работ представлены результаты теоретических и экспериментальных исследований проявлений нелокальных эффектов в широком классе линейных метаматериалов [15–17,160]. В работе [15] продемонстрировано проявление эффектов пространственной дисперсии в периодическом слоистом метаматериале, образованном слоями металла и диэлектрика, посредством возбуждения поверхностных плазмон-поляритонов на границе металл/диэлектрик. Показано, что в рамках локальной модели для такой структуры эффективные параметры среды не дают корректного описания оптических свойств метаматериала. Одним из проявлений нелокальных эффектов в таких метаматериалах является расщепление ТМ-поляризованной волны на границе воздух/метаматериал на 2 волны, испытывающих положительное и отрицательное преломление [15]. Проявлением нелокальных эффектов в метаматериалах является наличие смешанных режимов дисперсии в области перехода из эллиптического в гиперболический режим дисперсии, что было продемонстрировано для метаматериала, представляющего собой массив периодически расположенных одноосных электрических рас-сеивателей, в работе [17]. Для частот, соответствующих диапазону смешанных режимов дисперсии, изочастотные контуры являются многосвязными кривыми, содержащими квазиэллиптические и квазигиперболические ветви [17].

Нелинейные характеристики индивидуального метаатома

В качестве примера нелинейного метаматериала в работе рассматривается массив одноосных рассеивателей, расположенных в вершинах кубической решетки в периодом а = 1 см. Индивидуальный рассеиватель представляет собой коротких провод, нагруженный варакторным диодом Skyworks SMV 1231-079, характеристики диодов указаны в [172]. Варактор вставляется в зазор размером А/ = 1.3 мм в середине провода с радиусом г = 1 мм, половина длины провода составляет / = 3 мм. Обратим внимание на то, что для системы с рассматриваемыми параметрами применение модели дискретных диполей является обоснованным. Согласно ранее полученным результатам в теории линейных мета-материалов, приближение дискретных диполей применимо для метаматериалов, у которых отношение характерного размера метаатома к периоду расположения их в решетке т = А/а мало, однако данное приближение продолжает хорошо описывать свойства метаматериала и для больших значений параметра вплоть до т < 0.5 [173].

Общая индуктивность нагрузки (включая собственную индуктивность варак-тора) в расчетах составляет Lt = 42.5 нГн, емкость, определяющая входной импеданс провода (без емкости варактора), составляет С\ = 0.2 пФ.

Когда интенсивность падающей волны мала, можно рассматривать распространение излучения в метаматериале в линейном режиме. Дисперсионная диаграмма, описываемая уравнением (3.7), в таком случае приведена на рис. 3.3. Здесь используются общепринятые обозначения в пространстве волновых векторов - точки на оси абсцисс в пространстве (кх; ку; kz) имеют координаты: Г(0;0;0), Х(-;0;0), Z(0;0;-), М(-;-;0). Как показано на диаграмме, существуют два частотных интервала, в которых эффекты пространственной дисперсии выражены наиболее отчетливо. Эти частотные интервалы соответствуют так называемым смешанным режимам дисперсии, для которых характерно наличие на изочастотных диаграммах многосвязных кривых, составленных из квазиэллиптических и квазигиперболических контуров. Такие смешанные режимы, возникающие в области частот между эллиптическим и гиперболическим режимом дисперсии, детально изученны для линейных метаматериалов в [168]. Смешанный режим дисперсии возникает на частотах вблизи нулей (режим с низкой диэлектрической проницаемостью) [165,174] и полюсов (режим с высокой диэлектрической проницаемостью) [175] уравнения для локальной диэлектрической проницаемости (3.18).

Наиболее значительного расхождения величин нелинейных воприимчивостей от значений, предсказываемых локальной теорией эффективной среды, следует ожидать в частотных диапазонах, соответствующих смешанным режимам. В области смешанного режима с низкой диэлектрической проницаемостью эффекты пространственной дисперсии проявляются в возбуждении продольных волн, распространяющихся близко к TZ направлению [168]. Получение таких продольных мод сложно реализовать в эксперименте, поэтому в дальнейшем анализе рассматриваются поперечные моды, обусловленные нелокальностью, в частотном диапазоне смешанного режима с высокой диэлектрической проницаемостью. Для исследуемой системы смешанные режимы наблюдаются в спектральных диапазонах: 0.565 ГГц< / <0.670 ГГц (режим с высокой диэлектрической проницаемостью) и 0.992 ГГц< / < 1.024 ГГц (режим с низкой диэлектрической проницаемостью). Резонанс линейной восприимчивости соответствует частоте fr =0.616 ГГц.

Анализ модели нелинейного осциллятора в рамках теории возмущений [153] предпогагает, что нелинейные восприимчивости х^ и Х^ испытывают резонансное увеличение не только на частоте fr, но и на частотах /г/2 (х^ ,Х^) и /г/3 (только х(3)). Результаты численных расчетов эффективных параметров метаматериала находятся в согласии с вышеназванным предположением. Линейная и нелинейные восприимчивости, посчитанные для направления распространения ТМ (выражения (3.14), (3.15), (3.16)), были сравнены с предсказани-

В этих расчетах учтены омические потери в рассеивателях. Результаты показывают, что наиболее значительное отклонение от локальной модели наблюдается только в области смешанного режима с высокой диэлектрической проницаемостью, в то время как на более низких частотах /г/2 и /г/3 резонансное увеличение нелинейных восприимчивостей с хорошей точностью описывается локальной моделью. Также необходимо отметить, что пространственная дисперсия сглаживает резонанс, что приводит к уменьшению максимально достижимого значения нелинейной восприимчивости.

Еще одно интересное проявление эффектов пространственной дисперсии заключается в зависимости нелинейных восприимчивостей от направления рас 100

пространения фундаментальной волны по отношению к кристаллографическим осям образца. На рис. 3.7 показаны зависимости линейной и нелинейных вос-приимчивостей от угла между волновым вектором к, расположенном в плоскости XOY, и направлением Х в первой зоне Бриллюэна. Несмотря на то, что зависимость нелинейных восприимчивостей от направления распространения была объяснена для фотонных кристаллов [176], важно отметить, что в рассматриваемом случае метаматериал работает в субволновом режиме с соотношением А/а « 48 на частоте fr. Тем не менее вариации восприимчивостей при изменении направления волнового вектора к достигают 4% для х и Х и 1% - для Х(2) на резонансной частоте fr =0.616 ГГц. Отметим, что описанные эффекты проявляются вследствие исключительно нелокальных эффектов и не могут быть объяснены в рамках локальной модели эффективной среды.

Таким образом, развитый в работе теоретический подход позволяет рассчитывать эффективные нелинейные восприимчивости метаматериалов, принимая во внимание эффекты пространственной дисперсии. Было показано, что пространственная дисперсия наибольшее влияние оказывает на свойства метамате-риала в окрестности резонанса эффективной диэлектрической проницаемости, сглаживая изменение нелинейных восприимчивостей с частотой по сравнению с локальной моделью эффективной среды. Также продемонстрирована зависимость нелинейных восприимчивостей от направления, в котором фундаментальная гармоника распространяется по отношению к кристаллографическим осям. Полученные результаты предпогалают, что нелокальность может проявляться в метаматериалах, даже если они работают в сильно субволновом режиме. Более того, продемонстировано, что в приближении, когда эффектами пространственной дисперсии можно пренебречь, полученные результаты дают точные выражения для так называемых поправок на локальное поле к нелинейным восприимчивостям. Развитый в работе подход также может быть применен для описания нелокальных свойств объемных магнитных метаматериалов, составленных из одноосных рассеивателей, представляющих собой массив нагруженных нелинейными варакторными диодами разомкнутых кольцевых резонаторов.