Содержание к диссертации
Введение
1 Различные методы описания электромагнитных свойств метамате риалов 16
1.1 Исследование дисперсионных свойств метаматериала 17
1.2 Гомогенизация метаматериала в рамках модели дискретных диполей 20
1.3 Диадная функция Грина метаматериала: модель дискретных диполей 24
1.4 Вычисление диадной функции Грина структуры по набору собственных мод 27
1.5 Описание структуры при помощи локальных материальных параметров 28
2 Пространственная дисперсия в одноосно поляризуемых средах 31
2.1 Обсуждение искусственных магнитных свойств 31
2.2 Неприменимость локальной магнитной проницаемости для описания одноосно поляризуемых сред 33
2.3 Система локальных материальных параметров 35
2.4 Дисперсионные свойства 37
2.5 Интерпретация экспериментов по экстракции материальных параметров одноосно поляризуемых сред 40
3 Топологический переход в среде из проводов с диэлектрическим покрытием 43
3.1 Расчет эффективной диэлектрической проницаемости 44
3.2 Управление режимами дисперсии при помощи температуры 54
4 Пространственная дисперсия и оптические силы в метаматериалах на основе трехмерных массивов одноосных резонансных рассеивателей
4.1 Классификация различных режимов дисперсии и исследование свойств смешанного режима 59
4.2 О возможностях экспериментального обнаружения смешанного режима дисперсии 65
4.3 Самонаведенный вращательный момент 67
4.4 Квазистатическая модель для самонаведенного вращательного момента 71
4.5 Обсуждение результатов квазистатической модели 75
4.6 Расчет самонаведенного вращательного момента в рамках модели дискретных диполей 83
5 Пространственная дисперсия нелинейных восприимчивостей в ме таматериале из нелинейных рассеивателей 92
5.1 Вывод эффективных нелинейных восприимчивостей 93
5.2 Сравнение с локальной моделью эффективной среды: вывод поправок на локальное поле 98
5.3 Численный пример для структуры на основе коротких проводов, нагруженных на варакторы 100
6 Анизотропия метаматериалов, наведенная пространственной дисперсией 109
6.1 Теоретическая модель 109
6.2 Анализ дисперсионной диаграммы 111
6.3 Изочастотные контуры 115
6.4 Исследование анизотропии, наведенной пространственной дисперсией, по спектру отражения 118
6.5 Экспериментальное исследование анизотропии метаматериалов, наведенной пространственной дисперсией 124
Заключение 130
Список литературы
- Гомогенизация метаматериала в рамках модели дискретных диполей
- Неприменимость локальной магнитной проницаемости для описания одноосно поляризуемых сред
- Управление режимами дисперсии при помощи температуры
- Обсуждение результатов квазистатической модели
Введение к работе
Актуальность темы
В настоящее время физика метаматериалов является бурно
развивающейся отраслью науки, сочетающей в себе междисциплинарные
исследования на границе таких областей как оптика, физика
конденсированного состояния, электродинамика и материаловедение. Растущий интерес к этому направлению обусловлен возможностью создавать искусственные структуры с необычными, не встречающимися в природе свойствами. Широкий спектр применений метаматериалов охватывает такие направления как реализация отрицательного преломления [1,2], маскировка объектов [3], управление интенсивностью взаимодействия излучения с веществом в гиперболических метаматериалах [4], контроль поляризации спонтанного излучения [5], создание суперлинзы [6] и использование метаматериалов в медицине [7]. Развитие методов нанофабрикации позволило создать разнообразные виды метаматериалов для инфракрасного и оптического диапазонов, включая многослойные структуры на основе чередующихся диэлектрических слоев и материалы типа «сеть» [8,9], среды из плазмонных и диэлектрических стержней [10], а также трехмерные структуры из частиц различной формы [11].
На ранних стадиях развития физики метаматериалов считалось, что
электромагнитные свойства искусственных композитных структур могут
быть описаны при помощи локальных тензоров диэлектрической и
магнитной проницаемости. Тем не менее экспериментальные
исследования показывают, что в ряде метаматериалов, включая
метаматериалы для инфракрасного и оптического диапазона, чрезвычайно
выражены эффекты пространственной дисперсии [8,9]. Под
пространственной дисперсией (нелокальностью) понимается зависимость
поляризации физически малого объема среды от полей, существующих в
соседних областях пространства. Электромагнитные свойства
пространственно дисперсных сред описываются с помощью тензора ,
где — частота волны, а — волновой вектор.
В отличие от резонансной пространственной дисперсии, наблюдавшейся
в природных кристаллах и связанной с возбуждением экситонов [12],
нелокальный электромагнитный отклик метаматериалов обусловлен
гибридизацией ближних полей сильно взаимодействующих наночастиц или
резонаторов. Пространственная дисперсия в метаматериалах может
приводить к качественному изменению топологии изочастотных
поверхностей, делая возможными, например, изочастотные контуры в виде
пары эллипсов, расположенных симметрично относительно начала
координат [13]. Такие экзотические электромагнитные свойства
искусственных композитных структур открывают ряд интересных
перспектив, включая нелокальную трансформационную оптику [13].
Пространственно дисперсный тензор эффективной диэлектрической
проницаемости метаматериала может быть рассчитан при помощи
процедуры нелокальной гомогенизации [14] по известному отклику
составных элементов структуры. Данный подход не требует разложения
тензора по степеням волнового вектора. В недавних работах на
основе теории нелокальной гомогенизации была выявлена существенная
роль нерезонансной пространственной дисперсии в средах из
диэлектрических стержней и проводов [15,16].
Однако, поскольку большинство метаматериалов состоит из
резонансных включений, представляет интерес исследование проявлений пространственной дисперсии именно в таких резонансных искусственных структурах. Сформулированная задача последовательно решается в рамках настоящей диссертационной работы. В частности, в диссертационной работе теоретически демонстрируется, что широкий класс одноосно поляризуемых метаматериалов не может быть последовательно описан при помощи локальных тензоров диэлектрической и магнитной проницаемости. Проведено исследование проявлений пространственной дисперсии в таких структурах и обсуждаются условия возникновения смешанного режима дисперсии, характеризующегося многосвязными изочастотными контурами, содержащими эллиптические и гиперболические фрагменты. Кроме того, в работе проводится теоретическое и экспериментальное исследование эффекта анизотропии метаматериалов, наведенной пространственной дисперсией, а также анализируется пространственная дисперсия нелинейных восприимчивостей метаматериалов, состоящих из нелинейных резонансных рассеивателей.
Целью диссертационной работы является исследование эффектов пространственной дисперсии в метаматериалах на основе периодических массивов резонансных включений.
Научная новизна
Впервые сделан общий вывод о неприменимости локальных тензоров
диэлектрической и магнитной проницаемости для последовательного
описания электромагнитных свойств одноосно поляризуемых сред. Для
метаматериалов на основе трехмерных массивов одноосных резонансных
рассеивателей установлены ранее неизвестные условия существования
смешанного режима дисперсии, являющегося переходным между
эллиптическим и гиперболическим режимами дисперсии. Впервые
предсказано переключение метаматериала на основе массива параллельных
проводов с диэлектрическим покрытием из эллиптического режима
дисперсии в гиперболический, происходящее при изменении
диэлектрической проницаемости покрытия. Разработана теоретическая
модель для расчета эффективных нелинейных восприимчивостей
метаматериалов на основе трехмерного массива одноосных резонансных рассеивателей с учетом эффектов пространственной дисперсии. Впервые развита теоретическая модель для самонаведенного вращательного момента, действующего на пробный диполь в метаматериале на основе массива
одноосных резонансных включений, учитывающая эффекты
пространственной дисперсии. Проведен теоретический анализ эффекта анизотропии метаматериалов, наведенной пространственной дисперсией, и инициированы экспериментальные исследования данного эффекта в метаматериалах с кубической симметрией.
Теоретическая и практическая значимость
Результаты, полученные в диссертационной работе, важны с
фундаментальной точки зрения для понимания специфики
электромагнитного отклика искусственных композитных структур на основе резонансных включений и для описания новых эффектов, возникающих в резонансных метаматериалах вследствие пространственной дисперсии. Практическая значимость работы определяется возможностью использования нелокального электромагнитного отклика метаматериалов для более гибкого управления распространением излучения на наномасштабе, а также возможностью создания нового поколения устройств, основанных на метаматериалах, для медицинских и промышленных применений.
Основные методы исследования
Для решения поставленных задач в ходе исследования использовались аналитические методы, включая модель дискретных диполей и метод диадных функций Грина электромагнитного поля, а также компьютерное моделирование в программных пакетах CST Microwave Studio и Comsol Multiphysics. Достоверность полученных результатов подтверждается сопоставлением теоретических предсказаний с результатами численного моделирования и с экспериментальными данными.
Научные положения, выносимые на защиту:
-
Для описания обратных волн в метаматериалах на основе анизотропных включений, поляризующихся лишь в одном направлении, необходимо включить в рассмотрение тензор квадрупольной восприимчивости.
-
В среде на основе массива параллельных проводов с диэлектрическим покрытием при изменении диэлектрической проницаемости покрытия происходит переключение из эллиптического режима дисперсии в гиперболический.
-
В метаматериале на основе кубической решетки одноосных резонансных рассеивателей вблизи нулей и полюсов эффективной диэлектрической проницаемости реализуется смешанный режим дисперсии, характеризующийся многосвязными изочастотными контурами, содержащими эллиптические и гиперболические фрагменты. При этом в области полюса диэлектрической проницаемости переход от эллиптического режима дисперсии к гиперболическому через область смешанного режима происходит лишь на частотах , где – период решетки.
-
Максимальные значения самонаведенного вращательного момента, действующего на пробный диполь в метаматериале на основе кубической решетки одноосных резонансных рассеивателей, достигаются в смешанном режиме дисперсии.
-
В метаматериале на основе кубической решетки изотропных резонансных включений вблизи резонанса рассеивателей возникает сильная анизотропия, наведенная пространственной дисперсией. Относительная величина анизотропии в области прозрачности метаматериала достигает 10%.
Апробация работы
Материалы диссертационной работы докладывались и обсуждались на
семинарах Университета ИТМО, Физико-технического института
им. А.Ф. Иоффе, Технологического университета Сиднея, Австралийского
национального университета, а также на следующих конференциях и
школах: ICONO/LAT 2016, Минск, Республика Беларусь, 2016;
Metamaterials'2016, Chania, Crete, Greece, 2016; Metanano'2016, Анапа, Россия, 2016; Days on Diffraction'2016, Санкт-Петербург, Россия, 2016; CUDOS workshop, Central Coast, Australia, 2016; Международный научный форум «Наука будущего — наука молодых», Севастополь, Россия, 2015; Progress in Electromagnetics Research Symposium, Prague, Czech Republic, 2015; Days on Diffraction'2015, Санкт-Петербург, Россия, 2015; Конференция «Молодые ученые России», Москва, Россия, 2015; 8th Optoelectronics and Photonics Winter School «Topological effects in photonics», Trento, Italy, 2015; Международная зимняя школа по физике полупроводников, Зеленогорск, Россия, 2015; Days on Diffraction'2014, Санкт-Петербург, Россия, 2014.
Публикации
Основное содержание диссертации отражено в 13 публикациях в журналах, входящих в список изданий, рекомендованных ВАК РФ для публикации материалов кандидатских диссертаций.
Структура и объем диссертации
Диссертация состоит из введения, шести глав, заключения, списка публикаций автора по теме диссертации и списка используемой литературы. Объем работы составляет 139 страниц, включая 45 рисунков. Список используемой литературы содержит 129 библиографических ссылок.
Личный вклад автора
Все представленные в диссертации результаты получены автором лично или при его определяющем участии. Автор принимал главное участие в постановке и решении задач, интерпретации полученных результатов, проведении расчетов и последующей подготовке публикаций. Содержание диссертации и научные положения, выносимые на защиту, отражают личный вклад автора в опубликованные работы.
Гомогенизация метаматериала в рамках модели дискретных диполей
В широком смысле под гомогенизацией структуры понимается расчет ее эффективных материальных параметров по известным свойствам составных элементов и по известным взаимодействиям между этими составными элементами. Мы используем здесь процедуру нелокальной гомогенизации периодических линейных метаматериалов, выдвинутую в работах [17,18].
Рассмотрим возбуждение структуры полем внешних распределенных источников jfext(r) = jo егк г, где к — произвольный волновой вектор. Это распределение источников, если бы оно находилось в вакууме, создавало бы монохромати 21 ческое поле вида Ее(г) = Ее$егк г. Соответственно, меняет свой вид самосогласованная система уравнений (1.1) для дипольных моментов мета-атомов: d = а (1.12) (т,тМ) (0,0,0)
В данном случае соотношение между дипольными моментами частиц структуры определяется формой внешнего возбуждения и имеет вид dmni = detk r mnl. Используя обозначение (1.6) для решеточной суммы, можно связать внешнее электрическое поле с амплитудой дипольного момента частиц структуры:
Гомогенизация структуры подразумевает вывод соотношения между усредненным электрическим полем и усредненной поляризацией. Усредненные поля при этом определяются следующим образом [17,18]: ( Е) = - / E(r) e- d3f d Vn Pi e- d f a a6 Jv0 (1.14) т.е. как фурье-компоненты микроскопического распределения поля и поляризации E{f) и Р(г), соответствующие волновому вектору к. Полное электрическое поле в структуре представляется в виде суммы внешнего ПОЛЯ Ee{f) и ПОЛЯ Es(r), созданного диполями поляризованной структуры. Последнее можно связать с усредненной поляризацией структуры через соотношение [18]:
Действительно, микроскопические поля можно выразить через усредненные с помощью обратного преобразования Фурье: Е(г) (2тг)3 BZ Е) elk-?d4 (1.16) где (Е) является функцией к. Подставляя это представление в уравнение для электрического поля: rot rot Е = q Е + АтіР (1.17) получаем соотношение -к х кх Е q2 (Е)+4щ2(Р (1.18) Выражая отсюда (Е), приходим к соотношению (1.15). Далее, используя уравнения (1.13) и (1.15), получаем: Е) = (ЕЛ + (Е. а 1 - Ст d (1.19) где использовано обозначение С = С — Г. Величина С представляет собой константу взаимодействия решетки, равную 47г/31 в квазистатическом пределе &а 1, да 1 [35,36].
Уравнение (1.19) устанавливает связь между усредненной поляризацией структуры и средним электрическим полем. Следовательно, эффективная диэлектрическая восприимчивость структуры равна X а 1 - Ст а а нелокальный тензор эффективной диэлектрической проницаемости [29,37] 47Г аг є (и, к) = I -\—т а Л(ш)-С,(ш;к) (1.20) В соотношении (1.20) тензоры а и С г в общем случае зависят от частоты; кроме того, тензор С зависит в общем случае также и от волнового вектора.
Таким образом, эффекты пространственной дисперсии в структуре возникают вследствие взаимодействия рассеивателей друг с другом, приводящего к гибридизации их ближних полей. Это обстоятельство служит отличием от природных структур, где резонансная пространственная дисперсия связана с возбуждением экситонов [12].
Как уже обсуждалось выше, для действительных ши ив случае структуры без потерь мнимая часть d l, учитывающая потери энергии частицей на излучение, и мнимая часть С взаимно погашаются, так что эффективная диэлектрическая проницаемость структуры является действительной функцией. В пределе ; а С 1, g а С 1 константа взаимодействия решетки равна С 47ГІ/3—2ig3 7/3, и уравнение (1.20) приводит к известной формуле Клаузиуса-Моссотти: где do - собственная поляризуемость частицы, определенная в разделе 1.1.
Подставляя полученный тензор эффективной диэлектрической проницаемости (1.20) в стандартное дисперсионное уравнение для произвольного пространственно дисперсного материала [38] к к-к21 + qzi{(jj)k) (1.22) легко вывести дисперсионное уравнение (1.7), которое уже было получено выше другим способом. 1.3 Диадная функция Грина метаматериала: модель дискретных диполей
В ряде задач физики метаматериалов необходимо знать отклик структуры на поле внесенного пробного электрического диполя. Для решения этого вопроса удобно использовать функцию Грина структуры, которая определяет электрическое поле в точке г при условии, что в точку р внесен пробный электрический диполь dp: Ё{г) = G{f,fp)dP. (1.23) Функция Грина, определенная таким образом, автоматически учитывает поляризацию материала в поле пробного диполя. Рассчитаем функцию Грина для дискретной структуры на рисунке 1.1. Пользуясь диадной функцией Грина в вакууме Go, можно записать: Е{Г) = 2 &0{Г- Гтпі) dmni + G0{f - fP) dP . (1.24) m,n,l Самосогласованная система уравнений для дипольных моментов частиц в узлах решетки материала имеет вид:
Неприменимость локальной магнитной проницаемости для описания одноосно поляризуемых сред
В соответствии с методом нелокальной гомогенизации [17] рассмотрим возбуждение структуры внешними распределенными источниками je{r) = ]еоегк г, создающими поле Ее(г) = Ееоегк г в вакууме. Как известно, линейный ток, изменяющийся со временем по гармоническому закону IQ etkz z, расположенный в среде с диэлектрической проницаемостью 82 и ориентированный ВДОЛЬ ОСИ Z, создает электрическое поле, z-компонента которого дается выражением [58] Ez(r) = - H \K2r)I0e \ (3.1) qce2 где K,I 2 = \/q2i,2 — Щ, q = м/с, а щ (к,2г) — функция Ганкеля первого рода. Поскольку все токи и поля имеют один и тот же характер изменения etkzZ вдоль оси z, этот экспоненциальный множитель далее опускается и рассматривается распределение полей в плоскости z = 0. Распределение токов в проводах массива определяется внешним возбуждением и имеет следующий вид: ІІгт = І0егк та+гкупЬ. (3.2) Следовательно, уравнением для тока в отдельном проводе будет ZI0 = C(q,k)Io + Ee0z, (3.3) где Z есть импеданс провода, Eeoz описывает внешнее возбуждение, а выражение C(q,k) IQ представляет собой локальное поле, созданное проводами структуры и действующее на выделенный провод. Провода считаются достаточно тонкими, так что возбуждением мод провода с ненулевыми азимутальными числами пренебрегаем. Решеточная сумма C(q,k) в уравнении (3.3) определена как: C{q, к) = - - V Н \к2г) еік +іку"Ь. (3.4) О Єо С J 4 (m,n) (0,0)
Отметим, что решеточная сумма (3.4) не зависит от диэлектрической проницаемости покрытия. Кроме того, если Cvac(g, к) — решеточная сумма для е2 = 1 (вакуум), то для для однородной окружающей среды с диэлектрической проницаемостью е2 Ф 1 решеточная сумма равна C(q,k) = -?-CYUC(q k). (3.5) /Є2 Эффективный алгоритм расчета суммы Cvac(g, к) был предложен в работе [59]. Чтобы найти эффективную диэлектрическую проницаемость структуры, необходимо определить связь между средней поляризацией и средним электрическим полем. Процедура усреднения определена следующим образом [18]: (Ё = i- [ Ё(г) e-i% dS , (3.6) So где So = ab — площадь элементарной ячейки. Аналогичным образом определяется средняя поляризация. Отметим, что данное определение дает (ЁЛ = До-Из уравнения (3.3) получаем: {Eez)= [Z-C(q,kj\ I0 = -[Z-C(q,kj\ icqS0{Pz) , (3.7) где (Pj — поляризация, возникающая вдобавок к поляризации окружающей среды. Поле Es, созданное поляризованной структурой, связано со средней поляризацией уравнением [18] (Esz) = -— f , 2 (Pz) (3.8) є2 є2 Г - « Полное поле icqab (Р Е Яе + (Д Z-S{q,k) (3.9) Здесь 47ГІ / ъо (3.10) S(q,h) = C(q,h) + cqe2(ib S2q2 — к2 обозначает константу взаимодействия для массива. С другой стороны, по опре делению (Р2 ezz(q,k) — Е і /(47г) (Ez). Таким образом, zz-компонента тен зора эффективной диэлектрической проницаемости szz(q, к) = е2 Атгі qcab S{q,k)-Z (3.11)
В уравнении (3.11) ось z считается параллельной проводам. Отметим, что полученное выражение (3.11) полностью согласуется с результатом работы [19] в случае структуры из диэлектрических стержней. Единственное различие между этими выражениями заключается в величине импеданса Z. Следует подчеркнуть, что полученный результат верен лишь в приближении тонких проводов го С min(a, b), поскольку в рассматриваемом подходе поле от провода аппроксимируется полем линейного тока [см. уравнение (3.1)].
Рассмотрим теперь расчет импеданса провода с диэлектрическим покрытием. Импеданс Z определяется как отношение поля, действующего на провод, к амплитуде тока, текущего в этом проводе: Z = E1C/IQ. Амплитуда тока wire? Л) = wire + /shell включает как ток проводимости в металлическом проводе L так и ток смещения /sheii в диэлектрической оболочке. В случае монохроматического возбуждения Ее(г) = Ееоегк г распределение полей внутри и снаружи провода описывается формулой:
Управление режимами дисперсии при помощи температуры
В качестве примера практической реализации перестраиваемого отклика структуры рассмотрим ситуацию, когда диэлектрическая проницаемость оболочки сильно зависит от температуры, а диэлектрическая проницаемость окружающей среды практически не зависит от температуры. Для этого в качестве диэлектрической оболочки провода можно выбрать воду [62,63], а в качестве окружающей среды выбрать керамику, основанную на смеси ВаО-ТіСЬ с мольной долей ТІО2 90.9 % [64] [рисунок 3.5 (а)]. Оба материала имеют достаточно малое поглощение в микроволновой области спектра и имеют желаемый вид температурной зависимости диэлектрической проницаемости в диапазоне температур от 0 до 100С [рисунок 3.5 (б)]. В частности, температура 49.5С соответствует точке топологического перехода, когда диэлектрическая оболочка провода (вода) и окружающая среда (керамика) имеют равные диэлектрические проницаемости е\ = є2 = 70. Изочастотные контуры композитной структуры, рассчитанные в диапазоне температур от 0 до 100С, представлены на рисунке 3.5 (в). Видно, что при низких температурах метаматериал работает в гиперболическом режиме дисперсии, но с повышением температуры кривизна изо-частотных контуров уменьшается. При температуре топологического перехода 49.5С изочастотный контур становится полностью плоским, поскольку структура оказывается эквивалентной простой среде из проводов, помещенной в однородную окружающую среду. Когда температура материала возрастает далее, структура переключается в эллиптический режим дисперсии, связанный со сценарием положительного преломления. Отметим, что аналогичный эффект перестраиваемое может быть достигнут в других спектральных диапазонах с использованием температурно-зависимых свойств полупроводников или керамики с диэлектрической проницаемостью, зависящей от внешних статических полей [65].
Изменение плотности фотонных состояний при топологическом переходе ) Вид структуры: медь, вода и керамика, основанная на соединении BaOi02 с мольной долей 90.9 % Ті02 [64] выбраны в качестве материала проводов, диэлектрической оболочки и окружающей среды соответственно, (б) Температурная зависимость диэлектрической проницаемости компонент среды из проводов с диэлектрическим покрытием: сплошная кривая для воды [63], пунктирная кривая для керамики [64]. (в) Рассчитанные изочастотные контуры для среды из проводов с диэлектрическим покрытием, работающей на фиксированной частоте / = 200 МГц и при различных температурах с R\ = 2.5 мм, R2 = 10.0 мм, а = Ъ = 50 мм (соотношение длины волны к периоду Л/а = 30). Числа вблизи каждой из кривых указывают температуру метаматериала в градусах Цельсия. Изочастотные контуры показаны для случая без потерь.
удобно характеризовать с помощью фактора Парселла как функции частоты для различных температур метаматериала. Отметим, что теоретические исследования эффекта Парселла в средах из проводов были проведены в работах [66-68]. Экспериментальное исследование эффекта Парселла для магнитного диполя в среде из проводов было выполнено в работе [69].
Результаты для фактора Парселла, рассчитанные в программном пакете CST Microwave Studio для двух возможных ориентации диполя (параллельно и перпендикулярно проводам), представлены на рисунке 3.6. Исследование распределения поля показывает, что пики в спектре фактора Парселла, наблюдаемые для ориентации диполя перпендикулярно проводам, следует связывать с резонансами Фабри-Перо конечного образца метаматериала. На частотах вдали от этих пиков фактор Парселла является гладкой функцией частоты, демонстрируя достаточно слабую зависимость от температуры. Это можно объяснить тем, что в рассматриваемом сценарии топологического перехода изочастотный контур претерпевает лишь незначительное изменение направления кривизны; такое изменение кривизны не связано с существенным изменением плотности фотон т=ос
Спектр фактора Парселла для конечного образца среды из проводов с диэлектрическим покрытием, состоящего из 16 проводов (массив 4 х 4). Период решетки а = Ъ = 50 мм, радиус металлических проводов Ri = 2.5 мм, внешний радиус диэлектрической оболочки i?2 = Ю.О мм, длина проводов L = 600 мм. Вода и керамика на основе смеси ВаО-ТіОг выбраны в качестве диэлектрической оболочки провода и окружающей среды соответственно. Дипольная антенна помещена в центре элементарной ячейки. Была выполнена численная проверка того, что величина фактора Парселла нечувствительна к дальнейшему увеличению числа проводов. Дипольная антенна (а) параллельна, (б) перпендикулярна проводамных состояний или изменением фактора Парселла.
Таким образом, в данной главе исследовано влияние диэлектрической оболочки проводов на дисперсионные свойства метаматериала на основе массива таких проводов. Было продемонстрировано, что в зависимости от диэлектрического контраста є\/є2 между оболочкой провода и окружающей средой структура может работать либо в эллиптическом (при е\ е ), либо в гиперболическом режиме дисперсии (при е\ Є2). Кроме того, было показано, что величиной диэлектрического контраста можно эффективно управлять при помощи температуры. Полученные результаты открывают перспективу для реализации нового типа перестраиваемых метаматериалов, полезных для разработки устройств и систем на основе метаматериалов.
Обсуждение результатов квазистатической модели
Соотношение Ш2/(2квТ) для Т = 3 К равно 8. Следовательно, эффект существенен в области достаточно низких температур.
Выполним теперь квантово-механическую оценку величины эффекта расщепления. Поскольку выражение для энергии взаимодействия пробного диполя со средой имеет вид (4.30), то гамильтониан взаимодействия имеет структуру Hmt = Asin2e, (4.35) где постоянная А = —d2f{exiez)/a?\ а 9 — угол между вектором дипольного момента и осью анизотропии. В квантовом случае d представляет собой матричный элемент оператора дипольного момента молекулы для уровней, между которыми происходит квантовый переход. Применив адиабатическое приближение и разделяя переменные в уравнении Шрёдингера, получим выражение для энергии молекулы в одноосной среде: Еш(п,у,т,р) = Eei(n) + IUJ I v + - J + ETOt(m,p) . (4.36)
Здесь p — квантовое число, нумерующее вращательные подуровни, m — магнитное квантовое число, характеризующее проекцию момента импульса молекулы на ось анизотропии, v = 0,1,2... — колебательное квантовое число, а Ее\ — электронная энергия молекулы. Вращательные подуровни ETOt(m,p) определяются уравнением на собственные значения (ETOt-ASm20)- 4 snr 9 sinO—- + 1 d (. „dF sin 9 dQ V dQ F = 0 , (4.37) где F{0) нормировано следующим образом J \F(6)\ sin9dQ = 1. В уравнении (4.37) го представляет собой равновесное расстояние между ядрами молекулы, а /І — приведенная масса молекулы. В изотропном случае А = 0, и собственные значения уравнения (4.37) хорошо известны: ETOt(J) = 72 J {J + 1) + A is, где AEis — сольватохромный сдвиг, обусловленный изотропной частью гамильтони Перестройка вращательных подуровней молекулы в анизотропном окружении. Наблюдается группировка пар подуровней с одинаковым значением т. ана взаимодействия [96].
Рассчитанная структура вращательных подуровней, полученная в результате численного решения задачи (4.37), представлена на рисунке 4.12. График на рисунке 4.12 можно интерпретировать следующим образом. Как известно, для достаточно слабой анизотропии (т.е. при малых А = Ъцг А/Ь ) вращательные уровни двухатомной молекулы определяются выражением [96] е= J(J + 1), J = 0,1,2... , (4.38) где є = 2{ігІЕЇОІ/?і2. При этом имеется вырождение вращательных уровней: подуровни с одинаковым квантовым числом J и различными квантовыми числами т обладают одной и той же энергией. В исследованной одноосной анизотропной структуре т по-прежнему остаётся «хорошим» квантовым числом, поскольку проекция момента импульса молекулы на ось анизотропии является интегралом движения вследствие структуры гамильтониана взаимодействия. По мере возрастания анизотропии пары подуровней с одинаковыми значениями т сближаются. Когда анизотропия становится сильной, подуровни пары практически ели
Эффективный потенциал V{9) из уравнения (4.40), определяющий структуру вращательных подуровней (т/ 0). ваются, причём разные пары формируют систему практически эквидистантных уровней. Эти системы уровней для разных т имеют небольшое относительное смещение. Оказывается, что предел сильной анизотропии допускает отдельное аналитическое исследование. Для этого в уравнении (4.37) сделаем подстановку F(0) = у(в)/у/ пв (4.39) и тогда получим одномерное уравнение Шредингера -у" + У(в)у = еу (4.40) т (4.41) V{6) —тг-L- -- + Аsin2в sin2 в 4 и А = 2цгІА/?ь2. Функция у [в) нормирована как J \у(9)\ d9 = 1. Эффективный потенциал V(в) показан схематически на рисунке 4.13.
В окрестно мума при 9 = 9\ и 9 = 7г — 9\, где 9\ = arcsin (m2 — 1/4) A l сти каждого из минимумов потенциал может быть аппроксимирован параболой. Следовательно, для малых квантовых чисел р спектр энергии дается выражением є = \J2V"{9\) {р + 7j), р = 0,1, 2..., где мы пренебрегаем дополнительным расщеплением вследствие туннелирования между двумя минимумами потенциала. Таким образом, для т Ф О
Предполагая анизотропию сравнительно сильной (так что перестройка вращательных подуровней является существенной), т.е. А 1, получаем упрощенное выражение для вращательных подуровней: «.,,..,# К (4.43) Расщепление линии спектра испускания в колебательно-вращательном переходе может быть оценено как rot АК Тій 2А _ 2 2d2\f(eX}e /а3 х UJ у /іГц (4.44) где / = /ІГО — момент инерции двухатомной молекулы. Сравнивая результат с классическим выражением для величины расщепления, устанавливаем соответствие между результатами классического и квантово-механического анализа.