Исследование и оптимизация технологии записи решёток Брэгга в анизотропных волоконных световодах Архипов Сергей Владимирович

GeO₂ в сердцевине. При записи
плотность энергии в импульсе
записывающего излучения перед
поверхностью ОВ составляла

около 85 мДж/см² Частота

импульсов записывающего

излучения была равна 10 Гц. Длина записываемых решёток

Рисунок 8. Динамика записи ВБР в АОВС при различных составляла 14 мм.

положениях осей двулучепреломления

Результаты данного исследования позволяют выработать рекомендации для более эффективной записи ВБР в волокнах, изготовленных по технологии [8]. Предварительное расположение осей двулучепреломления позволяет снизить

поляризационные преобразования на решетках, которые являются источником шумов в фазовых интерферометрических датчиках [14]. На основании проведённого исследования нами была подана заявка на получение патента на изобретение: «Способ записи брэгговской решётки лазерным излучением в двулучепреломляющее оптическое волокно». В данный момент имеется справка о приоритете.

Четвёртая глава посвящена построению математической модели спектра
отражения дифракционных структур с постоянным периодом и чирпированных,
записанных в АОВС с эллиптичной напрягающей оболочкой. Для расчёта спектра
использовался метод передаточных матриц, описанный в труде [15]. Для
вычисления дисперсионной зависимости эффективных показателей преломления
была предложена методика расчёта дисперсионных зависимостей ПП
сердцевины. В обобщённую формулу Селлмейера, полученную в работе [16],
добавляется аддитивная величина (1), позволяющая учитывать эффект

фотоупругости.

(1) Данная величина вычислялась в ходе предварительных экспериментов, заключающихся в предварительной записи ВБР типа I одиночным импульсом эксимерного лазера контактным методом с использованием фазовых масок с известным периодом. Анализ спектра отражения полученных решёток позволял вычислить эффективные показатели преломления ВБР на длинах волн брэгговского резонанса. После чего методом итерации подбирались аддитивные величины, добавляемые к вычисленным обобщёнными формулами Селлмейера значениям показателей преломления (1), таким образом, чтобы определённые численными методами значения нормированных частот и поперечных волновых чисел основной моды соответствовали вычисленным из эксперимента значениям эффективного показателя преломления.

Для подтверждения результатов математического моделирования

спектрального отклика дифракционных структур в АОВС с использованием

получаемой в ходе предварительных экспериментов дисперсионной

зависимостью в исследуемые образцы были записаны ВБР. Для формирования чирпированных ВБР использовалась установка, оптическая схема которой приведена на рисунке 9. В схему записи с помощью интерферометра Тальбота были добавлены элементы, позволяющие предварительное определение и выставление положения осей двулучепреломления.

Перед записью чирпированных решёток проводились предварительные эксперименты, в ходе которых были получены зависимости дифракционной эффективности решёток Брэгга от плотности энергии в пучке и зависимость показаний анализатора профиля пучка от плотности энергии в нём. В процессе предварительного эксперимента применялась фазовая маска с постоянным периодом.

Эти данные, в свою очередь, использовались для вычисления зависимости средней модуляции ПП от показаний анализатора профиля записывающего пучка.

Таким образом, при моделировании учитывалось распределение плотности энергии записывающего излучения в области формирования ВБР. При определении положения ОВ относительно пучка использовались снимки с камеры, расположенной за флуоресцирующей пластиной.

Все эксперименты, подразумевающие использование

двулучепреломляющих оптических волокон, включали в себя предварительное определение и выставление положения осей двулучепреломления. На рисунке 10. в качестве примера приведены спектры отражения ВБР, записанных в оптические волокна с повышенной фоторефрактивностью, полученные экспериментально и путём моделирования.

ВБР, чей спектр отражения приведён на рисунке 10 (а) была записана в изотропном ОВ с 12 мол.% GeO₂ в сердцевине. Решётка имеет длину 10 мм, средняя плотность энергии в импульсе при её записи составила 257 мДж/см², частота повторения импульсов-10 Гц, время записи- 120 с. Коэффициент линейной корреляции между рассчитанным и полученным в ходе эксперимента спектрами составил 0,95.

Рисунок 9. Оптическая схема записи чирпированных ВБР

1-KrF эксимерная лазерная

система;

2-диэлектрическое зеркало;

3-аттенюатор;

4-шаттер;

5-апертурная диафрагма;

6-цилиндрическая линза на

линейной подвижке;

7-фазовая маска;

8-измеритель энергии;

9-заслонка нулевого порядка;

10-диэлектрическое зеркало на

поворотной подвижке;

11-интерферометр Тальбота на

линейной подвижке;

12-оптическое волокно;

13-поворотный

держатель оптического волокна;

14-собирающая линза;

15-эталон Фабри-Перо;

16-флуоресцентная пластина;

17-камера;

18-фотодетектор;

19-анализатор профиля пучка;

20-He-Ne лазер;

21- зеркало;

22-экран;

а) изотропное б) АОВС (медленная ось двулучепреломления)

Рисунок 10. Спектры отражения ВБР

ВБР, спектр отражения которой приведён на 10 (б), была записана в двулучепреломляющем ОВ с 18 мол.% GeO₂ в сердцевине. Параметры записи этой ВБР: длина решётки равна 5 мм, средняя плотность энергии в импульсе при её

записи составляла 40 мДж/см², частота повторения импульсов- 10 Гц, время записи-60 с. Коэффициент линейной корреляции между рассчитанным и полученным в ходе эксперимента спектрами составил 0,97.

Разработанная методика расчёта спектра отражения ВБР в АОВС с эллиптичной напрягающей оболочкой может применяться при формировании дифракционных структур, настройке параметров схемы записи, что является необходимым в процессе производства чувствительных элементов на основе решёток Брэгга, записанных в двулучепреломляющих оптических волокнах. В заключении приведены основные результаты и выводы работы

Предложена математическая модель, позволяющая исследовать зависимость параметров интерференционной картины рассеивания на анизотропных оптических волокнах от положения осей двулучепреломления.

Получена зависимость эффективности одноимпульсной и многоимпульсной записи решёток Брэгга типа I от предварительного расположения осей двулучепреломления АОВС с эллиптичной напрягающей оболочкой c различной мол. % GeO₂ в сердцевине и типа PANDA.

Предложен метод записи волоконных решёток Брэгга в анизотропные оптические волокна с предварительным выставлением их осей двулучепреломления.

Даны рекомендации по предварительному расположению осей двулучепреломления АОВС с эллиптичной напрягающей оболочкой и типа PANDA для повышения стабильности записи ВБР.

Разработана методика расчёта дисперсионной зависимости эффективного показателя преломления быстрой и медленной осей АОВС с эллиптичной напрягающей оболочкой.

Разработана методика расчёта спектра отражения волоконной решётки Брэгга, записанной в АОВС с эллиптичной напрягающей оболочкой.

14. Yan Z., Zhou K., Zhang L. In-fiber linear polarizer based on UV-inscribed 45 tilted grating in polarization maintaining fiber // Optics letters. - 2012. - V37. - № 18. -P. 3819-3821.

15. Pureur D., Douay M., Bernage P., Niay P., Bayon J. F. Single-Polarization Fiber Lasers Using Bragg Gratings in Hi-Bi Fibers // Journal of lightwave technology. - 1995. - V.13. - № 3. - P. 350-355.

16. Christopher R., Dennisonm P., Wild M. Superstructured fiber-optic contact force sensor with minimal cosensitivity to temperature and axial strain // Applied optics. -2012. - V.51. - № 9. - P. 1188-1197.

17. Ramakrishnan M., Rajan G., Semenova Y., Farrell G. Overview of fiber optic sensor technologies for strain/temperature sensing applications in composite materials // Sensors. - 2016. - V. 16. - №1. - P.99.

5. Kinet D., Megret P., Goossen K.W., Qiu L., Heider D., Caucheteur C. Fiber Bragg Grating Sensors toward Structural Health Monitoring in Composite Materials: Challenges and Solutions // Sensors. 2014. - V.14. - № 4. - P. 7394-7419.

6. Budinski V., Donlagic D. Fiber-Optic Sensors for Measurements of Torsion, Twist and Rotation: A Review // Sensors. - 2017. - V. 17. - № 3. - P. 443

7. Kashyap R. Fiber Bragg Gratings. San Diego, CA: Academic Press. - 1999. - P. 142.

8. Ероньян М.А. Способ изготовления волоконных световодов, сохраняющих поляризацию излучения. Патент Российской Федерации. - 2000. - № 2 155 359

9. Tokarev A.V., Anchutkin G.G., Varzhel S.V., Gribaev A.I., Kulikov A.V., Meshkovskiy I.K., Rothhardt M., Elsmann T, Becker M, Bartelt H. UV-transparent fluoropolymer fiber coating for the inscription of chirped Bragg gratings arrays // Optics & Laser Technology. - 2017. - V. 89. - P. 173-178.

10. Varzhel’ S.V., Mun’ko A.S., Konnov K.A., Gribaev A.I., Kulikov A.V. Recording
Bragg gratings in hydrogenated birefringent optical fiber with elliptical stress cladding
// Journal of Optical Technology. - V. 83. - № 10. - P. 638-641.

11. Varzhel’ S.V., Kulikov A.V., Meshkovskii I.K., Strigalev V.E. Recording Bragg gratings in a birefringent optical fiber with a single 20-ns pulse of an excimer laser // Journal of Optical Technology. - 2012. - V. 79. - № 4. - P. 257-259.

12. Lavrov S.V., Plotnikov M.Y., Aksarin S.M., Efimov M.E., Shulepov V.A., Kulikov A.V., Kireenkov A.U. Experimental investigation of the thin fiber-optic hydrophone array based on fiber Bragg gratings // Optical Fiber Technology. - 2017. -V. 34. - P. 47-51.

13. COMSOL 5.2 Multiphysics Wave Optics Module Users Guide. - P. 48.

14. Zhao Y., Sun B., Liu Y., Ren J., Zhang J., Yang J., Canning J., Peng G.D., Yuan L. Polarization mode coupling and related effects in fiber Bragg grating inscribed in polarization maintaining fiber // Optics Express. - 2016. - V. 24. - № 1. - P. 611-619.

15. Kashyap R. Fiber Bragg Gratings. San Diego. CA: Academic Press. - 1999. -P. 172.

16. Brckner V. To the use of Sellmeier formula //Senior Experten Service (SES) Bonn and HfT Leipzig, Germany. - 2011.

Фоторефрактивность и фоточувствительность

Среди неинтерферометрических внешних методов записи основное применение нашёл пошаговый метод [20]. Его основным преимуществом является возможность записывать решётки с любой длиной волны Брэгга и переменным периодом. Регулируя интенсивность записывающего излучения, можно также получить произвольный профиль ПП. Принципиальная схема записи пошаговым методом приведена на рисунке 1.5.

Несмотря на приведённые выше неоспоримые положительные стороны методики, среди основных минусов присутствует острая необходимость точного позиционирования волокна относительно пучка записывающего излучения. Чаще всего для записи пошаговым методом используют фемтосекундный Ti:Sa лазер, позволяющий модулировать показатель преломления в кварцевом стекле без дополнительных легирующих элементов. В этом случае обычно используют микроскопный объектив, а сердцевину волокна располагают в области перетяжки пучка записывающего лазерного излучения. Это обуславливает необходимость использования дополнительной системы позиционирования, особенно в случае записи ВБР в двулучепреломляющие оптические волокна, так ВБР, записанные этим способом, могут обладать высоким двулучепреломлением [21] и повышенной связью между основной и оболочечными модами [22].

В настоящее время используются все перечисленные методы записи волоконных решёток Брэгга. Это нашло отражение в современных научных публикациях, обзор некоторых из них приведён ниже. Работы можно классифицировать по-разному: с точки зрения вида используемого записывающего излучения; типа волокна; механизмов модуляции показателя преломления; типа дифракционных структур (ВБР с постоянным периодом, чирпированные, аподизированные, длиннопериодные, с фазовым сдвигом); методики записи. В этом труде обзор будет выполнен на основе разделения работ по типу источника записывающего излучения. Механизмы модуляции показателя преломления будут рассмотрены в следующем разделе.

В настоящее время для достаточно стабильной и высокой модуляции показателя преломления используются несколько источников лазерного излучения УФ диапазона. Для записи решёток Брэгга наиболее часто применяются импульсные эксимерные лазерные системы (ЭЛС). Наибольшее распространение получили ArF и KrF ЭЛС. В то время как германо-силикатные стёкла обладают большей фоточувствительностью к излучению KrF- лазерного излучения с средней длиной волны 248 нм, в работе [23] доказано, что оптические волокна, облученные излучением ArF ЭЛС с средней длиной волны 193 нм, обладают большим пределом прочности на разрыв, что является важным фактором при производстве тензометров на основе ВБР.

В работе [24] авторы записывают ВБР в два основных этапа: сначала используют фазовую маску для записи слабой дифракционной структуры, затем исключают её из схемы для последующего облучения ВБР излучением эксимерного лазера с большей плотностью энергии в пучке. Таким образом, коэффициент отражения решётки Брэгга можно увеличить с 1 % до 96%. Такой эффект, который назвали “seed-amplification effect”, как отмечают авторы, также наблюдается при применении KrF ЭЛС, но является более слабым и тяжело контролируемым, чем при применении ArF эксимерного лазера.

В работе [25] авторы успешно записали излучением ArF-эксимерного лазера решётки типа II многоимпульсной записью методом фазовой маски, отметив, что в аналогичных экспериментах с использованием KrF ЭЛС разница в плотностях энергии в пучке между эффективным режимом записи ВБР типа II и границей разрушения ОВ была крайне мала, в то время как использование ArF-эксимерного лазера позволяло также уменьшить повреждения фазовой маски в течение индуцирования дифракционных структур.

В работах [26, 27] авторы используют голографический метод записи ВБР с применением излучения с длиной волны 193 нм. В работе [28] продемонстрирована высокоэффективная запись ВБР в оптических микроволокнах контактным методом как результат увеличения диаметра области с повышенной фоторефрактивностью, в качестве исходного для вытяжки микроволокна использовалось многомодовое ОВ. В работе [29] Варжель С.В. и др. демонстрируют результаты высокоэффективной записи ВБР типа II в двулучепреломляющие ОВ с напрягающей эллиптичной оболочкой единичными импульсами ArF ЭЛС. Ниже представлены спектры отражения ВБР, записанных в образец двулучепреломляющего волокна с 18% мол. GeO2 в сердцевине одиночными импульсами длительностью 17 нс с плотностями энергии около 450 мДж/см2 и 500 мДж/см2 соответственно. У ВБР, чей спектр представлен на рисунке 1.6(а), модуляция показателя преломления около 3.6x10-5, а у ВБР, чей спектр представлен на рисунке 1.6 (б),- около 10-4. Увеличение модуляции показателя преломления приводит к уменьшению рабочей области ВБР и, как следствие, к уширению спектра отражения, что, в свою очередь, является причиной наложения пиков отражения мод с ортогональными поляризациями.

Германо-силикатные ОВ более фоточувствительны к записывающему излучению KrF эксимерного лазера, центральная длина волны которого приблизительно равна 248 нм. Так как этот факт позволяет записывать одиночными импульсами структуры с достаточно большой дифракционной эффективностью, а для лучших механических характеристик ВБР их запись в ОВ следует производить до покрытия последнего защитным слоем из полимера, большая часть работ сосредоточена именно на записи решёток Брэгга типа I и II одиночными импульсами, чтобы позволить получать массивы ВБР в процессе вытяжки ОВ.

Экспериментальное измерение параметров интерференционной картины рассеивания

Характеристики электромагнитного поля можно вычислить как путём использования дифференциальных уравнений Максвелла, Гельмгольца и др., так и с помощью эквивалентных им интегральных уравнений и преобразований. При этом уравнения Максвелла для монохроматической световой волны в однородной области пространства эквивалентны векторным интегральным уравнениям Стреттона-Чу [107]. Именно они являются основой для большинства вычислительных методов. Данные уравнения содержат интегралы по объёму и поверхности объекта. Формула (3) [108] применима для решения двухмерной задачи. Е =л/1 г0хГГих-7 7?т0х(ихЯ)]ехрО1гт0 / (3), где E и H-напряжённости электрического и магнитного полей на «апертуре»- поверхности S, окружающей объект;-единичный вектор, направленный от S в направлении p; n - нормаль к поверхности S; импенданс; k-волновое число; - длина волны в среде; r-радиус-вектор поверхности S;-рассчитанная напряжённость электрического поля от поверхности S в направлении p.

Уравнение Стреттона-Чу было нами решено численными методами. В качестве программного продукта, использовавшегося для построения модели распространения излучения He-Ne лазера при его падении на образец исследуемого световода, а затем при расчёте зависимости углового распределения интенсивности электромагнитного (ЭМ) излучения картины дальнего поля использовался пакет COMSOL Multiphysics. Comsol Multiphysics - среда для математического моделирования физических процессов. Её принцип математического анализа основывается на поиске решений дифференциальных уравнений методом конечных элементов. При построении модели были проделаны следующие шаги: -выбор модуля; -выбор физической модели; -определение её основных параметров, размерности области моделирования; -задание геометрических параметров модели; -определение свойств материалов элементов, составляющих модель, и их свойств; -наложение физических условий и ограничений, поставленных экспериментом; -построение пространственной сетки; -задание параметров процесса моделирования; -непосредственно расчёт модели; -вывод полученных результатов расчёта; -обработка результатов.

Для моделирования был выбран программный модуль волновой оптики («wave optics module (frequency domain) »). Данный модуль предназначен для решения задач в области распространения электромагнитных волн оптического диапазона частот.

В качестве задачи, решаемой в ходе моделирования, был взят процесс распространения оптического излучения с длиной волны 632,8 нм (что соответствует центральной длине волны излучения He-Ne лазера) в области, в которую входит непосредственно само оптическое волокно и некоторое пространство вокруг него. Модель необходимо было построить таким образом, чтобы учитывались все наиболее важные факторы, влияющие на проведение эксперимента в лабораторных условиях. В эксперименте пучок лазера направлялся на боковую поверхность ОВ таким образом, чтобы изначальный вектор распространения был направлен перпендикулярно основной оси ОВ, причём центральная часть пучка проходила через главную ось оптического волокна. Этот эксперимент необходимо было повторить при различных положениях СМНЧ. Таким образом, было решено выбрать двухмерный вариант модели.

Так как итоговым результатом расчётов должны были стать распределения интенсивностей излучения в дальнем поле. Была задана область моделирования, ограниченная окружностью радиусом 75 мкм.

На границе модели для симуляции свободного выхода излучения за пределы области расчёта, был задан «идеально согласованный слой», perfectly matched layer (PML), приём в компьютерном моделировании, являющийся аналогом специальному поглощающему излучение покрытию в безэховой камере (применяющейся для испытаний антенн), минимизирующего отражение. Следует отметить, что помимо PML существует ещё один метод задания неотражающих границ области расчёта: условие рассеивания на границе раздела-“scattering boundary condition” (SBC). Как показано авторами сообщения в [109], метод PML больше подходит для решения описываемой задачи.

Предметом исследования является двулучепреломляющее оптическое волокно с эллиптичной напрягающей оболочкой с 4 мол.% GeO2. В ОВ данной конструкции медленная ось двулучепреломления (ОД) совпадает с длинной осью НЭО.

Геометрические параметры элементов световода были получены путём анализа фотографии его отполированного торца (рисунок 2.3(а)). Температура среды была задана равной: 293,15 К. Давление - атмосферное.

Для задания показателей преломления составляющих исследуемого образца для центральной длины волны излучения He-Ne лазера использовались профиль показателя преломления заготовки, представленный производителем, а также формулы Селмейера с коэффициентами, полученными для кварца, в разной степени легированного различными соединениями [110]. В таблице 2.2. приведены их показатели преломления.

Запись волоконных решёток Брэгга типа I в анизотропных одномодовых волоконных световодах с эллиптичной напрягающей оболочкой при различных положениях их осей двулучепреломления

Здесь -эффективный показатель преломления, и - показатели преломления сердцевины и оболочки соответственно, a- радиус сердцевины, длина волны излучения, u и w- поперечные волновые числа. Поперечные волновые числа являются безразмерными действительными положительными величинами, часто используемыми в литературе. С точки зрения физического смысла u описывает изменение фазы, w-поперечное затухание амплитуды. Можно назвать u продольной фазовой постоянной, а w-радиальной постоянной затухания. Из выражений (28, 29) очевидно, что сумма квадратов этих величин является константой, или числом , нормализованной частотой. Таким образом, в выражении (30) связываются абстрактные и измеряемые величины. Нормализованную частоту можно также выразить через (30): (31) В выражении (31) NA-числовая апертура, - волновое число. Данное выражение включает в себя все экспериментально определяемые данные. Таким образом, исходя из выражения (32) очевидно, что значение волнового числа будет решающим критерием для определения количества мод, поддерживаемых ОВ. Из выражений (28-30) можно вычислить : (32) Выбор тригонометрической функции (косинуса или синуса) для расчёта поля мод является произвольным для недвулучепреломляющих ОВ с идеально круглым сечением. Эти наборы мод вырождаются. Нормализационная постоянная выражается следующей формулой [123]: (33)

При r=a решения задачи вычисления распределения поля мод должны соединяться, что означает, что требуется отсутствие разрыва: более того, переход должен быть непрерывным и дифференцируемым. Учитывая эти требования, основываясь на свойствах функций Бесселя, получаем следующее дисперсионное уравнение, характеризующее граничные условия: (34) Из этого отношения между u и w можно получить решения основных мод оптического волокна. Очевидно, что функции в правой части равенства всегда положительны, в то время как функции в левой части меняют свой знак. Из этого можно сделать вывод, что существуют определённые комбинации значений аргументов выражения (и, таким образом, значения нормированной частоты), при которых возможны решения. Решения можно получить графическим способом, как и точно, численным методом.

В свою очередь, условие брэгговского резонанса для решётки показателя преломления выглядит следующим образом: (35) В выражении (35) -длина волны брэгговского резонанса, -порядок резонанса, -период решётки показателя преломления.

На основании (20-34) соискателем был предложена методика определения дисперсионной зависимости эффективного показателя преломления для линейно поляризованных взаимоортогональных мод АОВС. Разработанный алгоритм описан на примере используемого в работе для записи ВБР в АОВС с 18 % мол. GeO2 в сердцевине. В нашей работе для вычислений использовался математический программный пакет Matlab. 1) В начале измерялись геометрические параметры сердцевины. Для этого использовались фотографии торца ОВ, используемого для записи ВБР. На рисунке 4.1. представлена одна из фотографий отполированного торца АОВС с 18 % мол. GeO2 в сердцевине. В нашем случае радиус сердцевины был принят равным примерно 1.5 мкм. Рисунок 4.1. Фотография отполированного торца АОВС с 18 % мол. GeO2 в сердцевине 2) Затем в волокне контактным методом с помощью фазовой маски записывалась ВБР одиночным импульсом. Плотность энергии в импульсе выбиралась небольшой, для того, чтобы среднее изменение показателя преломления в области записи решётки была небольшой. На рисунке 4.2. приведён полученный с помощью спектроанализатора Yokogawa AQ6370C спектр отражения индуцированной структуры. Длина ВБР составляла 1 см. Тип ВБР-I, плотность энергии в импульсе-около 100 мДж/см2. Период используемой фазовой маски составлял 1063.5 нм. С помощью выражения (36) вычислялись эффективные показатели преломления на соответствующих пикам отражения длинах волн.

Селмейера (20), обобщённых формул (21-23) и известных значений концентрации легирующих элементов показателей преломления сердцевины и оболочки. Они использовались для цикла подборки аддитивной величины, добавляющейся в выражения (20-23) с целью учесть свойства ОВ. При вычислении было сделано следующее упрощение: при расчёте эффективных показателей преломления мод показатели преломления оболочки принимались для обеих мод одинаковыми. Профиль показателя преломления сердцевины принимался ступенчатым, с разницей в некую постоянную величину для двух осей двулучепреломления.

Полученное значение показателя преломления сердцевины использовалось для задания диапазона подбора аддитивной величины. Путём использования формул (28-30, 32), численными методами были получены два набора эффективных показателей преломления на двух длинах волн, соответствующих пикам (рисунок 4.2). Затем из них выбирались те, что соответствуют измеренным экспериментально.

Таким образом, были вычислены аддитивные величины, добавление которых в выражения (21-23) позволяло в итоге получить при расчёте эффективный показатель преломления, наиболее приближенный к реальному. В демонстрируемом в качестве примера расчёте вычисленные значения аддитивных величин значения было равным , а . Если диапазон расчёта достаточно велик, то значение аддитивной величины зависит от длины волны распространяющегося излучения. Эту зависимость получают на основании измерений с несколькими фазовыми масками.

Расчёт дисперсионной зависимости показателей преломления элементов анизотропных одномодовых волоконных световодов

Имеется целый ряд методов моделирования спектров отражения периодических структур, индуцированных в оптическое волокно [124, 125]. Все они отличаются друг от друга сложностью, удобством при расчёте различных параметров тех или иных видов решёток Брэгга. Следует выделить такой способ как метод обратного рассеивания Левитана-Марченко, который, с одной стороны, позволяет, основываясь на уравнениях связанных мод, точно рассчитать характеристики ВБР, требуемые параметры записи для достижения необходимых параметров записываемых решёток, но, с другой стороны, имеет проблемы непосредственно связанные с процессом вычисления. Также существует метод, предложенный Руардом при анализе металлических волноводов, ещё называемый методом тонких плёнок: его суть заключается в рассмотрении волновода как совокупности слоёв с различными параметрами с применением методов расчёта характеристик падающей и отраженной волны на каждой границе раздела между ними. Данный способ является крайне привлекательным, потому как позволяет учитывать всевозможные вариации профиля показателя преломления, как синусоидального, так и, например, пилообразного или квадратичного. Однако данный метод является крайне трудоёмким и затратным с точки зрения использования вычислительных мощностей. Однако результатом подобных вычислений являются решения, точность которых ограничена практически только округлением значений переменных в процессе расчёта.

Наиболее подходящим и универсальным методом расчёта является тот, который позволяет получить аналитические решение для решётки любой длины Lg, произвольными коэффициентами связи и любым чирпингом. Переменные разделить не представляется возможным, так как они все влияют на передаточную функцию. Точным, быстрым и относительно малозатратным с точки зрения использования вычислительных ресурсов, является метод передаточных матриц. Именно это и являлось причиной для его выбора нами при построении математической модели.

В методе передаточных матриц (transfer matrix method, TTM) уравнения связанных мод используются для расчёта выходных параметров поля коротких отрезков ВБР, в которых принимается следующее приближение: все три вышеупомянутые переменные не изменяются вдоль каждого участка. Для такой решётки, с целым количеством периодов, длиной аналитическое решение уравнений определяет значения коэффициента отражения, пропускания и изменения фазы. Данные выходные параметры затем используются как изначальные при аналитическом расчёте следующего, рядом стоящего отрезка ВБР. Элемент периодической структуры в данном случае можно представить как четырёхпортовое устройство с входящими полями и и выходящими: и . Передаточная матрица T1 представляет параметры секции (амплитудные и фазовые). Для короткой секции два поля в правой части выражения (44) трансформируются в поля в левой части:

Граничные условия, применяемые при расчёте матричных уравнений типа (44) зависят от того, параметры какой моды требуется вычислить: распространяющейся в прямом или обратном направлении. Согласно поставленным задачам, в данной работе необходимо вычислить спектры отражения ВБР. Таким образом, амплитуда входящего поля принимается равной единице, а амплитуда отражённого поля на выходе секции ВБР - нулю, так как на конце периодической структуры нет наведённых изменений параметров среды. Применяя вышеописанные граничные условия, получаем:

В этом выражении верхний индекс, означающий номер рассматриваемой секции, был намеренно убран для удобства восприятия формулы. Амплитуды пропускаемого и отражаемого полей равны соответственно:

После вычисления этих параметров новые характеристики поля в правой части уравнения уже трансформируются другой, примыкающей секцией и так далее, так, что для всей ВБР после N-ой секции при : (48) Производя замену N перемножаемых матриц на одну с той же размерностью (2 х 2), получаем передаточную функцию всей решётки: (49) Таким образом, пропускание и отражение всей ВБР равно (50), (51), где -пропускание, -отражение: (50) (51) Исходя из решения уравнений связанных мод, получаем выражения для вычисления элементов передаточных матриц: (52) (53) (54) (55) Одним из перспективных направлений является использование ВБР с фазовым сдвигом. Расчёт характеристик таких решёток является актуальной 102 задачей. Таким образом, при использовании ТТМ метода, необходимо учитывать фазовые сдвиги, для этого в правую часть выражения (48) вводят новый множитель, матрицу фазового сдвига Tps, которая при расчёте параметров спектра отражения ВБР выглядит как: (56) Здесь –фазовый сдвиг, вычисляемый по формуле (57): (57) В этом случае формула (48) расчёта спектра отражения ВБР с фазовым сдвигом принимает вид: (58) На основе метода передаточных матриц и предложенной нами методики определения дисперсионной зависимости эффективного показателя преломления был написан алгоритм команд в математическом пакетет Matlab, позволяющий, в том числе, рассчитать спектр отражения ВБР с фазовым сдвигом. На рисунке 4.11 представлено схематичное изображение полученных в ходе экспериментов на кафедре Световодной фотоники структур, представляющих из себя ВБР с фазовым сдвигом. Для записи использовались изготовленные НИТИОМ ВНЦ «ГОИ им. С.И. Вавилова» изотропные оптические волокна с повышенной фоторефрактивностью.