Флуктуации плотности энергии широкополосных импульсных световых пучков в турбулентной атмосфере Герасимова Лилия Олеговна

Содержание к диссертации

Введение

ГЛАВА 1. Методы решения задач распространения широкополосных импульсных лазерных пучков

1.1 Введение 23

1.2 Постановка задачи. Нестационарное волновое уравнение в однородной среде и его решение 23

1.3 Распространение частично-когерентных импульсных гауссовых пучков в однородной среде 30

1.4 Распространение короткоимпульсного излучения в турбулентной атмосфере 34

1.4.1 Распространение короткоимпульсного излучения в отсутствие турбулентных флуктуаций показателя преломления 36

1.4.2 Учет турбулентных флуктуаций показателя преломления при распространении короткоимпульсного излучения в атмосфере 38

1.4.3 Моделируемые характеристики 44

1.5 Основные выводы главы 1 46

ГЛАВА 2. Дифракция частично-когерентных широкополосных импульсных пучков

2.1 Введение 48

2.2 Обоснование использования узкополосного приближения

2.2.1 Когерентный гауссов пучок 51

2.2.2 Частично-когерентный гауссов пучок

2.3 Дифракция когерентных импульсных пучков при произвольном соотношении между радиусом кривизны волнового фронта и длиной трассы распространения 59

2.3.1 Асимптотический анализ 64

2.4 Пространственная и временная когерентность импульсного излучения 66

2.4.1 Радиус пространственной когерентности импульсного излучения

2.4.2 Временная когерентность импульсного излучения 70

2.4.3 Эффект уменьшения дифракционной расходимости импульсных световых пучков 73

2.5 Смещение эффективной длины волны широкополосного импульса в коротковолновую область 74

2.6 Основные выводы главы 2 82

ГЛАВА 3. Флуктуации поля импульсного излучения в турбулентной атмосфере

3.1 Введение 84

3.2 Численное исследование распространения когерентного импульсного гауссова пучка в турбулентной атмосфере 85

3.2.1 Средняя плотность энергии 89

3.2.2 Флуктуации плотности энергии 90

3.2.2 Коэффициент пространственной корреляции 99

3.3 Статистика импульсных лагерр-гауссовых пучков в турбулентной атмосфере 103

3.3.1 Среднее значение и среднеквадратичное отклонение флуктуаций плотности энергии 106

3.3.2 Флуктуации плотности энергии импульсного излучения мод лагерр гауссова пучка 108

3.3.3 Коэффициент пространственной корреляции 112

3.4 Основные выводы главы 3 118

Заключение 120

Литература

• Распространение частично-когерентных импульсных гауссовых пучков в однородной среде
• Дифракция когерентных импульсных пучков при произвольном соотношении между радиусом кривизны волнового фронта и длиной трассы распространения
• Эффект уменьшения дифракционной расходимости импульсных световых пучков
• Статистика импульсных лагерр-гауссовых пучков в турбулентной атмосфере

Введение к работе

Актуальность темы исследования

В настоящее время по проблеме распространения оптического (лазерного) излучения в турбулентной атмосфере опубликованы тысячи статей и десятки монографий. Актуальность проводимых в этом направлении исследований обусловлена возможностью практического применения лазеров, например, для лидарного зондирования атмосферы, передачи световой энергии и информации через атмосферу, оптической локации и навигации.

Большой вклад в создание фундаментальной научной базы

распространения лазерного излучения в турбулентной атмосфере внесли советские ученые из ИФА РАН, ФИАН РАН, ИОА СО РАН, ГГУ, МГУ, РТИАН, ИРЭ РАН. Нет возможности перечислить поименно всех ученых, внесших основополагающий вклад в развитие этого направления, но нельзя не назвать тех, кто стоял у его истоков и сформировал в современном виде: А.М. Обухов, В.А. Красильников, С.М. Рытов, В.И. Татарский, Л.А. Чернов, Ю.А. Кравцов, А.С. Гурвич, К.С. Гочелашвили, В.И. Шишов, В.И. Кляцкин, А.И. Кон, А.А. Семенов, В.Л. Миронов. Из зарубежных авторов – это D.L. Fried, J.W. Strohbehn, S.F. Clifford, H.T. Yura, A. Ishimaru. Выполненные ими теоретические и экспериментальные исследования показали, что турбулентные флуктуации показателя преломления воздуха вызывают искажения амплитуды и фазы оптической волны по мере ее распространения. Как следствие, это приводит к потере когерентности и направленности лазерного излучения, возникновению случайных блужданий, увеличению поперечных размеров оптических пучков и появлению флуктуаций интенсивности принимаемого сигнала за счет случайного перераспределения энергии распространяющегося излучения в поперечной плоскости.

Современные лазерные источники, позволяющие генерировать световые импульсы длительностью в несколько фемтосекунд, открывают новую страницу в истории исследования распространения лазерного излучения в различных средах. Переход к фемтосекундным масштабам длительности лазерных импульсов вызвал новую волну интереса к нелинейной оптике. С.А. Ахманов, В.А. Выслоух и А.С. Чиркин в своей фундаментальной монографии 1988 г. впервые обобщили полученные в этом направлении результаты, рассмотрели нелинейные взаимодействия и самовоздействие фемтосекундных лазерных импульсов, а также физику формирования и взаимодействия оптических солитонов. В настоящее время фемтосекундная оптика активно развивается за рубежом. В России исследования нелинейного взаимодействия мощных фемтосекундных лазерных импульсов с атмосферой и процессов, сопровождающих их распространение, ведутся в ИОА СО РАН, МГУ, ИЛФ СО РАН, ИПФ РАН, ДГУ.

Однако и без учета нелинейных эффектов, что оправдано при значениях пиковой мощности, не превышающей 3,2 ГВт, многие вопросы, касающиеся особенностей распространения широкополосного импульсного оптического

излучения в турбулентной атмосфере, к моменту начала работы над диссертацией не были рассмотрены.

Выполнение подобного рода исследований невозможно без развития новых расчетных методов, отличающихся от методов, используемых в задачах распространения квазимонохроматического узкополосного излучения. Это вызвано тем, что, во-первых, для широкополосных импульсов различие между частотами несущей и огибающей, свойственное квазимонохроматическому излучению, размывается. Во-вторых, для короткоимпульсного излучения пространственные и временные изменения поля дифрагированной волны при распространении не могут быть проанализированы по отдельности, в силу их взаимного влияния, зависящего от длительности импульса, угловой расходимости излучения и длины трассы. Связь пространственных и временных изменений поля широкополосных импульсных световых полей вызывает такие эффекты, как зависимость пространственного распределения поля от времени задержки импульса, уширение временной формы импульса, сдвиг максимума спектра в высокочастотную область, влияние ширины спектра импульсного излучения на дифракционное расплывание пучка и другие.

В первых работах по распространению импульсного излучения фемтосекундной длительности были изучены временные свойства импульса короткой длительности с гауссовыми пространственным и временным профилями. Показано, что с увеличением длины трассы распространения в вакууме происходит уширение и смещение во времени положения максимума временной структуры импульса. Исследования спектральных свойств короткоимпульсного излучения показали, что, подобно известному феномену перестановки частотного спектра полихроматических волн, временной спектр импульса в точке наблюдения отличен от спектра в начальной плоскости. Подобное поведение временного частотного спектра излучения свойственно не только короткоимпульсным гауссовым пучкам, но и вихревым, в частности, лагерр-гауссовым пучкам широкополосного короткоимпульсного излучения, методам генерации которых в последнее время уделяется значительное внимание.

В отличие от исследования временных и спектральных свойств короткоимпульсного излучения, задачи пространственной трансформации широкополосных импульсных лазерных пучков, в силу их сложности, рассмотрены гораздо в меньшей степени. На момент начала работы над диссертацией исследования пространственно-временных и спектральных свойств короткоимпульсного излучения, распространяющегося в однородной среде, были выполнены в основном для режима дальней волновой зоны. Вопросы, связанные с исследованиями дифракции и когерентных свойств частично-когерентных короткоимпульсных пучков в общем случае без ограничения на дифракционный режим были рассмотрены лишь в отдельных частных случаях. Совершенно не было исследований пространственной трансформации в свободном пространстве вихревых, в частности, лагерр-гауссовых пучков широкополосного излучения.

Решение задач распространения импульсных пучков в турбулентной атмосфере осуществляется, как и в случае узкополосного непрерывного излучения, на основе решения уравнений для статистических моментов комплексной амплитуды поля волны, полученных в марковском приближении из стационарного параболического волнового уравнения. Однако, даже уравнение для второго статистического момента не имеет решения в аналитическом виде, если оно записано для полей на разных частотах, что требуется при решении задач распространения импульсного излучения в турбулентной атмосфере.

Решение статистических задач распространения оптического излучения в турбулентной атмосфере возможно на основе численных методов решения стохастического волнового параболического уравнения, в частности, метода расщепления по физическим факторам в сочетании с методом Монте-Карло. Данный подход широко используется для решения задач распространения узкополосного непрерывного излучения в турбулентной среде (В.П. Кандидов, УФН, 116, № 12, 1996). Усреднение по ансамблю получаемых этим методом независимых случайных реализаций двумерных распределений комплексной амплитуды поля позволяет рассчитать статистические моменты поля волны любого порядка при произвольных турбулентных условиях на трассе распространения. Однако для короткоимпульсных волновых пучков, где требуется учет широкополосности спектра излучения, к началу работы над диссертацией такой подход не был разработан.

Таким образом многие актуальные задачи пространственно-временной
трансформации широкополосных импульсных оптических пучков как в
однородной, так и в случайных средах к моменту начала работы над
диссертацией были не только не решены, но и не было расчетных методов,
которые бы позволяли это сделать без сильных ограничений на условия
распространения. Это послужило основанием поставить целью

диссертационной работы исследование пространственно-временной

трансформации и флуктуаций плотности энергии широкополосного

импульсного, в общем случае частично-когерентного, оптического излучения при распространении в однородной и случайной средах.

Достижение поставленной цели включает в себя решение следующих задач:

1. Вывод и решение уравнения для функции взаимной когерентности поля частично-когерентного импульсного гауссова пучка в однородной среде.

2. Разработка метода численного моделирования распространения короткоимпульсного лазерного излучения в турбулентной атмосфере с учетом широкополосности частотного спектра импульса.

3. Исследование дифракции и когерентных свойств частично-когерентных широкополосных короткоимпульсных оптических пучков в однородной среде.

4. Исследование флуктуаций плотности энергии широкополосного импульсного гауссова пучка в турбулентной атмосфере на основе численного решения параболического волнового уравнения для комплексной спектральной

амплитуды поля волны методом расщепления по физическим факторам, обобщенным в диссертации на широкополосное излучение.

5. Исследование распространения лагерровых пучков широкополосного

короткоимпульсного излучения в турбулентной атмосфере.

Научная новизна проведенных исследований определяется результатами, полученными в диссертации впервые, и заключается в том, что

5. Разработан метод численного моделирования распространения импульсного излучения в турбулентной атмосфере, позволяющий учитывать конечность ширины частотного спектра импульса на основе решения параболического волнового уравнения методом расщепления по физическим факторам для каждой составляющей спектра.

6. Получены количественные данные об уменьшении дифракционного расплывания короткоимпульсных гауссовых пучков в однородной среде по сравнению с дифракцией пучков непрерывного излучения при произвольных соотношениях между радиусом кривизны волнового фронта пучка и длиной трассы. и установлены следующие закономерности:

7. С уменьшением длительности импульса пространственные и временные масштабы когерентности частично-когерентного широкополосного импульсного излучения при распространении в однородной среде возрастают по сравнению с масштабами когерентности узкополосного непрерывного излучения.

8. Уменьшение дифракционного расплывания короткоимпульсного лагеррова пучка в однородной среде зависит от величины топологического заряда. Чем выше порядок моды и меньше длительность импульса, тем сильнее эффект.

9. Уменьшение дифракционного расплывания короткоимпульсных пучков по сравнению с дифракцией пучков непрерывного излучения является следствием смещения спектра широкополосного излучения в процессе распространения в область более высоких частот и соответствующего уменьшения усредненной по спектру длины волны излучения.

10. Расчет дифракции и пространственно-временной когерентности короткоимпульсных оптических пучков при длительностях импульса, превышающих два полных периода колебаний поля, возможен на основе приближения огибающей узкополосного сигнала.

11. Турбулентное уширение короткоимпульсных пучков становится меньше с уменьшением длительности импульса.

12. Относительная дисперсия флуктуаций плотности энергии широкополосного короткоимпульсного излучения с усилением оптической турбулентности становится существенно меньше дисперсии флуктуаций интенсивности непрерывного излучения и, в отличие от последней, с уменьшением длительности импульса может принимать значения меньше единицы.

13. Уровень остаточной пространственной корреляции сильных флуктуаций плотности энергии широкополосного короткоимпульсного излучения превышает уровень остаточной корреляции интенсивности непрерывного

излучения и возрастает с уменьшением длительности импульса и усилением оптической турбулентности на трассе распространения.

10. Увеличение порядка моды короткоимпульсного лагерр-гауссова пучка приводит, вследствие возрастания его начальных поперечных размеров, к уменьшению флуктуаций плотности энергии в его поперечном сечении.

11. Относительная дисперсия и пространственная корреляция сильных флуктуаций плотности энергии различных мод лагерр-гауссова пучка короткоимпульсного излучения с одинаковыми начальными поперечными размерами не зависят от величины топологического заряда.

Достоверность полученных результатов и выводов диссертации подтверждается тем, что использовавшийся автором диссертации для аналитических и численных расчетов математический аппарат хорошо апробирован и по сути является классическим инструментом теоретического анализа распространения оптических волн в случайных средах.

Исследование дифракции и когерентных свойств широкополосного короткоимпульсного излучения в однородной среде выполнено на основе решения параболического уравнения для второго статистического момента поля волны в виде двукратного интеграла, которое допускает предельный переход от импульсного излучения к известным формулам для второго статистического момента узкополосного непрерывного излучения.

Разработанный в диссертации метод численного моделирования
распространения в турбулентной атмосфере широкополосного

короткоимпульсного оптического излучения базируется на методе расщепления по физическим факторам численного решения параболического волнового уравнения, широко использующемся для решения задач распространения волн в случайных средах, начиная с середины 1970-х годов.

Полученные в диссертации формулы в частных и предельных случаях совпадают с известными формулами других авторов. Результаты численных расчетов обобщенным на конечную ширину спектра распространяющегося излучения методом расщепления воспроизводят известные результаты для узкополосного непрерывного излучения в турбулентной атмосфере при соответствующем задании начальных параметров. Результаты расчета статистических характеристик интенсивности (и плотности энергии) узкополосного (и широкополосного) излучения по разработанному в диссертации методу качественно совпадают с опубликованными ранее экспериментальными данными о частотной корреляции интенсивностей двух монохроматических частотно-разнесенных волн в турбулентной атмосфере.

Научная значимость работы заключается, прежде всего, в том, что
разработан новый «спектральный» метод расщепления численного решения
параболического волнового уравнения, позволяющий учитывать конечную
ширину временного частотного спектра распространяющегося излучения.
Метод может использоваться для моделирования распространения

сверхширокополосного излучения не только оптического, но и более
длинноволнового диапазона при условии выполнения ограничений

параболического приближения.

На основе разработанного метода впервые выполнен статистический
анализ флуктуаций плотности энергии гауссова и лагеррова пучков
широкополосного короткоимпульсного излучения в турбулентной атмосфере.
Показано, что плотность энергии короткоимпульсного оптического излучения в
турбулентной атмосфере меньше флуктуирует, чем интенсивность

узкополосного непрерывного излучения, то есть короткоимпульсное излучение более устойчиво к искажающему воздействию турбулентности, чем непрерывное.

Тематика диссертационной работы включена в планы научно-
исследовательской работы Института оптики атмосферы им. В.Е. Зуева СО
РАН по базовым бюджетным проектам № 01201051376 «Распространение
мощного лазерного излучения в неоднородных средах» (2010–2012 гг.) и
№ 01201354619 «Распространение и рассеяние лазерного излучения в
случайно-неоднородных средах» (2013–2016 гг.). Исследования по

диссертационной работе проводились при частичной финансовой поддержке РФФИ, проекты: № 09-02-91224-СТ «Исследование оптических полей, создаваемых пучками различной начальной формы в турбулентной атмосфере» (2009–2010 гг.); № 13-02-98016 р_сибирь «Разработка методов и технологий формирования лазерных пучков, устойчивых к атмосферным искажениям» (2013–2015 гг.); № 16-08-00899_а «Методы и технологии повышения эффективности оптической связи в турбулентной атмосфере» (2016–2018 гг.), а так же по проекту РНФ № 14-17-00386 «Лидарные методы и средства визуализации пространственной структуры турбулентных полей ветра и температуры в атмосфере» (2014–2016 гг.). Автор диссертации, согласно приказу Минобрнауки России № 771, является стипендиатом Правительства РФ аспирантам научных организаций, находящихся в ведении федеральных органов исполнительной власти, на 2015–2016 учебный год.

Практическая значимость работы. Результаты диссертации могут использоваться при проектировании и разработке систем беспроводной передачи энергии и линий связи. В частности, использование вместо непрерывного широкополосного короткоимпульсного лазерного излучения в атмосферных линиях связи может повысить помехоустойчивость последних, так как широкополосное импульсное излучение флуктуирует меньше в турбулентной атмосфере, чем непрерывное. Применение широкополосных короткоимпульсных лагерровых пучков с различающимися значениями топологического заряда позволит организовать многоканальные оптические линии связи в атмосфере при лучших отношениях сигнал-шум по сравнению с узкополосными непрерывными лагерровыми пучками.

В диссертации разработан алгоритм численного решения параболического
волнового уравнения для комплексной спектральной амплитуды поля волны,
который позволяет исследовать статистику плотности энергии

широкополосных короткоимпульсных пучков в турбулентной атмосфере. Алгоритм реализован в виде пакета программ, одна из которых зарегистрирована за № 2015617342 в реестре программ и баз данных для ЭВМ. Программа позволяет учитывать конечность ширины временного частотного

спектра излучения, распространяющегося в турбулентной атмосфере. На основе данной программы возможно исследовать не только статистические характеристики флуктуаций, но и проводить анализ мгновенных реализаций распределений плотности энергии короткоимпульсного излучения в поперечном сечении пучков. Программа имеет удобный интерфейс и доступна пользователям, не имеющим специальной подготовки.

На защиту выносятся следующие положения.

1. Предложен и обоснован спектральный метод расщепления по физическим
факторам, обеспечивающий учет конечности ширины временного
частотного спектра короткоимпульсного оптического излучения и
позволяющий осуществлять моделирование распространения импульсного
излучения с шириной спектра сг_/, определяемой из условия

7 < /о/2л/1п10, где f₀ - частота в точке максимума спектра излучения.

2. С уменьшением длительности импульса максимум спектрального распределения комплексной амплитуды поля в процессе распространения сдвигается в сторону меньших длин волн, для которых дифракционные эффекты проявляются в меньшей степени. Это объясняет эффект уменьшения дифракционного расплывания пучков короткоимпульсного излучения по сравнению с пучками непрерывного излучения.

3. С усилением оптической турбулентности относительная дисперсия сильных флуктуаций плотности энергии широкополосного короткоимпульсного излучения становится меньше единицы, в отличие от непрерывного излучения, для которого относительная дисперсия флуктуаций интенсивности насыщается на единичный уровень.

4. Характерная для сильных флуктуаций интенсивности непрерывного излучения двумасштабная структура пространственной корреляции в случае широкополосного короткоимпульсного излучения менее выражена. С усилением оптической турбулентности и с уменьшением длительности импульса первый масштаб корреляции уменьшается, а уровень остаточной пространственной корреляции, определяемый вторым масштабом, возрастает по сравнению с уровнем остаточной корреляции интенсивности непрерывного излучения.

5. Увеличение порядка моды широкополосного короткоимпульсного лагерр-гауссова пучка приводит к уменьшению турбулентных флуктуаций плотности энергии пучка вследствие увеличения его начальных поперечных размеров. Дисперсия и коэффициент пространственной корреляции сильных флуктуаций плотности энергии различных мод короткоимпульсных лагерр-гауссовых пучков с одинаковыми начальными поперечными размерами не зависят от величины топологического заряда.

Апробация работы

Результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на следующих научных конференциях и симпозиумах: IV Всероссийская конференция молодых ученых «Материаловедение, технологии и экология в 3-ем тысячелетии» (Томск, 2009 г.); III-VI Международные научно-

практические конференции «Актуальные проблемы радиофизики» (Томск, 2010 г., 2012 г., 2013 г., 2015 г.); XXIII–XX Всероссийские научные конференции «Распространение радиоволн» (Йошкар-Ола, 2011 г.; Иркутск, 2014 г.; Томск, 2016 г.); XVII–XXII Международные симпозиумы «Оптика атмосферы и океана. Физика атмосферы» (Томск, 2011 г.; Иркутск, 2012 г.; Барнаул, 2013 г.; Новосибирск, 2014 г.; Томск, 2015 г., 2016 г.); XVIII–XXII Рабочие группы «Аэрозоли Сибири» (Томск, 2011–2015 гг.); III Всероссийская молодежная научная конференция «Современные проблемы математики и механики» (Томск, 2012 г.); XI Международная конференция студентов и молодых ученых «Перспективы развития фундаментальных наук» (Томск, 2014 г.); XX, XXI Всероссийские научные конференции студентов-физиков и молодых учёных (Ижевск, 2014 г.; Екатеринбург, 2015 г.).

Публикации

Основные материалы диссертационной работы опубликованы в полном объеме в научной печати, в том числе 10 статьях в изданиях, представленных в «Перечне рецензируемых научных изданий, в которых должны быть опубликованы основные научные результаты диссертаций на соискание учёной степени кандидата наук, на соискание ученой степени доктора наук», 3 статьях в зарубежных журналах, входящих в базу данных Scopus и Web of Science, из них 1 статья в Proceedings of SPIE. В Государственном реестре программ и баз данных зарегистрированы 2 программы для ЭВМ.

Личный вклад автора

Автором был проведен литературный обзор, выполнен теоретический
анализ дифракции и когерентных свойств частично-когерентного импульсного
излучения в однородной среде, создан комплекс программ, на основе которых в
диссертации проводилось численное моделирование распространения

широкополосных импульсных лагерр-гауссовых пучков. Анализ полученных результатов проведен совместно с В.А. Банахом, И.Н. Смалихо и А.В. Фалицом.

Структура и объем работы

Диссертация состоит из введения, 3 глав, заключения и списка литературы. Материал изложен на 139 страницах, включает 33 рисунка и 191 ссылку на использованную литературу.

Распространение частично-когерентных импульсных гауссовых пучков в однородной среде

Распространение электромагнитных волн в различных средах описывается волновым уравнением, следующим из системы уравнений Максвелла для напряженности электрического Е и магнитного Н полей. Для простоты не учитываем поляризацию распространяющейся волны и считаем, что атмосфера обладает электрической проводимостью и магнитной проницаемостью равной нулю и единице соответственно. Тогда из уравнений Максвелла можно получить следующее скалярное уравнение для напряженности электрического поля в точке (jc,p) (p = {y,z} - радиус вектор в плоскости, перпендикулярной оптической оси) в момент времени ґ [10, 46] AE(x,p,t)-\d Д( Р Ґ)=0, (1.1) с2 dt2 СО где D(x,p,t)= \ dt n(x,p,t )E(x,p,t ) - индукция электрического поля; dx2+dy2+dz2 дх2 n(x,p,t) - показатель преломления воздуха; А = + + = + А оператор Лапласа; А± - поперечный оператор Лапласа; с = =L= - скорость света в вакууме; s0,ju0 - электрическая и магнитная постоянная соответственно, с граничным условием E(x = 0,p,t) = E(p)G(t). (1.2) В (1.2) Е{р) задает пространственное распределение электрического поля в плоскости х = 0; G(t) определяет временную форму импульса. Волновое уравнение для напряженности магнитного поля аналогично уравнению (1.1). Введем спектральную напряженность электрического поля, которая связанна с E(x,p,t) преобразованием Фурье, со E(x,pJ)= j dt E(x,p,t)exp{j2nft], (1.3) —GO GO E{x, p, t) = j" df E{x, p, /) exp {-j2nft\ —CO где / - линейная частота; j = J-\. Применив Фурье преобразование к D(x,p,t), получим D(x,p,f) = n2(x,p,f)E(x,p,f), (1.4) СО n(x,p,f) = \ dtn(x,p,t)exp{j2?rft} зависит от длины волны излучения Л = —. Тогда -СО J для спектральной напряженности электрического поля E(x,p,f) из (1.1) с учетом (1.4) перейдем к уравнению дх2 d2E(x,pJ) + A x j j2xf\ n\x J)E(x,pJ) = 0, (1.5) V с j с граничным условием, согласно (1.2) и (1.3), Ё{х = 0,р,/) = E{p)P{f), (1.6) со где P(f)= J dtG(t)QXp{j27Tft}. —GO В однородной среде, когда показатель преломления n(x,p,f) = 1, в (1.4) D(x,p,f) = E(x,p,f) и уравнение (1.5) для спектральной напряженности электрического поля E(x,p,f) принимает вид d2E(x,pJ) =., гл (2л/ + A±E(x,pJ)+ ± - E(x,pj) = 0. (1.7) дх2 Решение уравнения (1.7) может быть представлено в виде разложения по плоским волнам [66, 105] v с j Е(х, р, /) = J d2KE(K)P(f) exp {-j (кр - кхх)}, (1.8) -со где кх удовлетворяет соотношению кх = к2-к2, (1.9) к = {к ,KZ} - вектор пространственных частот; k = 2nf Іс = 2л:IЛ; со Е(к)= j б/2р (р)ехр{72л-кр}. —со С физической точки зрения представляют интерес лишь результаты при к +к 2. В этом случае учитывается вклад в распределение поля только от бегущих парциальных волн, переносящих энергию в плоскости х 0. При этом плоские неоднородные волны (к +к2. к2), амплитуда которых экспоненциально убывает по мере удаления от плоскости х = 0, волны, бегущие в обратном направлении, и плоские волны, распространяющиеся перпендикулярно оси х (к2+к2 =к2), исключены из рассмотрения [10].

Малость поперечных компонент вектора по сравнению с величиной к (к к2«к) означает, что вклад низких временных частот в интеграл невелик [10]. Это позволяет разложить продольную составляющую вектора пространственных частот кх в ряд Тейлора и ограничиться квадратичными по к KZ слагаемыми этого ряда [10] кх=к (к2у+к]) + ... (1.10) Подставим (1.10) в (1.8) K2CJC У 1 І E(x,pJ) = J d2KE(K)P(f)exp\-]2nLxUxp\-j кр / с и проинтегрируем по к, в результате переходим к решению уравнения (1.7) для спектральной компоненты поля E(x,p,f) в квазиоптическом (параболическом) приближении: E(x,p,f) = —exp\j2nf-\ d2p E(x = 0,p J)Gxp\jk(p p" . (1.11) JZ7TX I С} _ао у ZX J Выражение (1.11) соответствует решению волнового уравнения (1.7) в виде Ё(х, р, Л = U(x, р, Л ехр у2л- х, (1.12) где U(x,p,f) - комплексная спектральная амплитуда поля, медленно меняющаяся в масштабах длин волн Л. Действительно, после подстановки (1.12) в (1.7) и применения оператора А к функции E(x,p,f), получаем уравнение . 4л-/ дЩх, pj) + d U(xp, Л + А щ р р. = 0 J с дх дх2 1 V V J } в котором можно пренебречь второй производной U(x,p,f) по х по сравнению с первой в силу однонаправленности пучков, обладающих малой угловой расходимостью. В результате приходим к волновому уравнению в параболическом приближении для комплексной спектральной амплитуды U(x,p,f) [79, 105, 170] a ) + j дх j. V ,r,j (1 ) Поскольку U(0,pJ) = E(0,p,f), граничное условие для уравнения (1.13) определяется (1.6). Можно убедиться путем подстановки, что решение уравнения (1.13), с учетом (1.11) и (1.12), запишется в виде Щх, р, /) = Ё(х, р, /) exp -jln x = к J2 d P EiX = 0 M J %r\ (1.14) Комплексная амплитуда поля U(x,p,t), связанная с U(x,p,f) (1.14) преобразованием Фурье U(x,p,t) = df J d2pE{x = 0,p\ f)exp j k p ) exp{-j2nft\ —CO J —GO L J соответствует решению волнового уравнения в параболическом приближении [5, 10, 26, 46] вида 2jkdU(x P thAlU(xnt)-k 2 U(xnt)-\d и(х Р =0. дх х r р с2 dt 2 Применив обратное преобразование Фурье по времени (1.3) к (1.12), с учетом (1.14), решение для напряженности электрического поля E(x,p,t) запишется как [105] E(x,p,t)= jcpU(x,p,f)exp \-j2nf it-- . (1.15) —GO I V У J

Электрическое поле E(x,p,t) (1.15) в начальной плоскости х = 0 в момент времени t = 0, согласно (1.6), представимо в виде E(x = 0,p,t = 0) = E(p ,f = f0), где f0 - частота в точке максимума спектра излучения. В точке (x = 0,p = 0,t) поле со E(x,p,t) (1.15) имеет вид E(0,0,t) = G(t) = j ф P(f)exp{-j2nft}. —со Зададим начальное распределение поля E(x = 0,p,t) в виде когерентного в пространстве и во времени импульсного гауссова пучка 2 Р 2} 2a2 2F E(p ) = E0Qxp\-?-jk t2 G(t) = G0exp\-j2nf0t\, (1.16) Щ где r0 - начальная длительность импульса; a и F, соответственно, эффективный радиус передающей апертуры и радиус кривизны волнового фронта в ее центре; Е0, G0- амплитуда пучка на его оси и спектра на несущей частоте соответственно. После подстановки (1.16) в (1.15) выражение для поля E(x,p,t) принимает вид

Для случая коллимированного пучка (х/ F = 0) формула (1.17) приведена в [66] и может быть получена, как частный случай, из формул [105, 129]. При г0 — оо интеграл в (1.17) переходит в хорошо известное аналитическое выражение для напряженности поля непрерывного излучения на частоте f0 в параболическом приближении:

Дифракция когерентных импульсных пучков при произвольном соотношении между радиусом кривизны волнового фронта и длиной трассы распространения

Воспользовавшись достаточно большим количеством независимых реализаций W(L, р), полученных в результате численного моделирования, можно оценить среднее значение W(L,p) , (1.68) относительную дисперсию J cj2 (L,p)= W (L,p2-1, (1.69) характеризующую величину случайной пространственной модуляции плотности энергии в поперечном сечении пучка, и коэффициент пространственной корреляции флуктуаций плотности энергии излучения W(L,p,)W(L,p) - W(L,p,) W(L,p) СИ7(L ,р1,р2)= , Г1 r2 r1 r2 , (1.70) J( W2(L,p1) - W(L,p1) 2)( W2(L,p2) - W(L,p2) 2) которым определяется величина статистической связи между случайными значениями плотности энергии в поперечном сечении пучка, р1, р2 – радиусы-векторы точек в плоскости наблюдения. Расстояние, на котором коэффициент корреляции убывает до уровня е-1, называется радиусом корреляции [15].

В диссертации не рассматриваются влияние нелинейных оптических эффектов Керра, самофокусировки и филаментация, порог пиковой мощности лазерного импульса в атмосфере которой зависит от длины волны и нелинейного показателя преломления [46]. Отказ от учета нелинейных эффектов при взаимодействии импульсного лазерного излучения со средой обоснован при выполнении условия /«1СГ, когда интенсивность (плотность мощности) лазерного излучения I мала по сравнению с пороговым значением интенсивности света 1СГ, при котором качественно и количественно меняется характер протекания оптических эффектов [57, 58]. При распространении лазерного излучения в турбулентной атмосфере с / 1010 -1011 Вт/см2 нелинейные эффекты можно не учитывать [57, 58].

Так же в диссертации пренебрегается поглощением излучения воздухом и аэрозольными частицами. В этом случае, когда на трассе распространения длиной L поглощение энергии излучения несущественно, спектральная мощность излучения Sp(L,f), в отличие от Sj(L,p,f), не зависит от L, т.е. Sp(L,f) = SP(0,f) [46]. Для учета поглощения следует рассчитываемые значения U(xt,p,f) домножать на ехр{-«(/)Ах/2} в каждом слое разбиения трассы распространения, где a(f) - коэффициент поглощения энергии излучения атмосферным воздухом и аэрозолем. Алгоритм реализован в программе на языке программирования Lab VIEW. По результатам, представленным в п. 1.4, формулируется первое защищаемое положение.

Предложен и обоснован спектральный метод расщепления по физическим факторам, обеспечивающий учет конечности ширины временного частотного спектра короткоимпульсного оптического излучения и позволяющий осуществлять моделирование распространения импульсного излучения с шириной спектра af, определяемой из условия af /0/2VlnlО, где f0 - частота в точке максимума спектра излучения.

Исследование дифракционных и когерентных свойств частично-когерентных короткоимпульсных пучков возможно на основе решения уравнения для функции взаимной когерентности частично-когерентного оптического поля, полученного в параболическом приближении. В предположении спектральной чистоты источника для гауссовой модели распределения поля частично-когерентного в пространстве и во времени излучения это решение представляется в виде двукратного интеграла.

Разработанный в диссертации алгоритм численного решения параболического волнового уравнения для комплексной спектральной амплитуды поля волны методом расщепления по физическим факторам позволяет осуществлять моделирование распространения короткоимпульсного широкополосного излучения в турбулентной атмосфере. Алгоритм основывается на моделировании распространения компонент спектра излучения шириной сгf f , определяемой из условия т=}— ?Щі (или } 2 /lnl0 27lCJf 7тf0 гP(0) 2 1п10-1п2 ) для начальной длительности импульса, с последующим суммированием по всем спектральным компонентам. При этом используется та же схема разбиения трассы распространения по слоям и моделирования фазовых экранов, что и для численного решения параболического волнового уравнения для комплексной амплитуды поля волны на центральной частоте спектра f0. Случайные фазовые экраны по разработанному в диссертации алгоритму моделируются на частотах fQ-crf f fQ+ jf.

Эффект уменьшения дифракционной расходимости импульсных световых пучков

Рассмотрим интеграл (2.9) в приближении огибающей узкополосного сигнала подробно. Разобьем пределы интегрирования на три участка: [-оо,-С], [-С,+С] и [С,оо]. Константа С выбирается такой, чтобы параметр С1 = ка2 I х = соа2 I сх принимал значения Q»1 при со -С и со С. Тогда, при условии хIFФ 1 и Q »1, (2.9) в области интегрирования [С,со] можно представить в виде E(x,p,t) = QXp\-4 То есть интегрирование по области высоких положительных частот показывает, что дифракционного расплывания 8-импульса коллимированного пучка не происходит, он сохраняет свой начальный размер. Это легко видеть, если отнормировать в (2.22) амплитуду E(x,p,t) на ее значение на оси пучка при p = 0. Точно такой же результат получается при интегрировании по области [-оо, -С].

Из (2.21) следует, что и при произвольных соотношениях между радиусом кривизны волнового фронта пучка F и длиной трассы x интегрирование по областям [-оо,-С] и [С,со] приводит к таким же результатам, что и для коллимированного пучка: дифракционного расплывания пучка не происходит, его размеры на расстоянии x полностью определяются геометрией распространения (отношением xlF) и начальным радиусом a. Нормированная амплитуда в этом случае определяется выражением EJxnt) = ESX 9 = const exp N E(x,0,t) поскольку интегральные сомножители в выражениях для E(x,p,t) и E(x,0,t) имеют один и тот же порядок стремления к бесконечности, и их отношение дает константу. Остается вычислить интеграл (2.9) в пределах [-С,С], чтобы сделать заключение о дифракции широкополосных 5-импульсных пучков.

На рис. 2.6 представлены результаты расчета нормированной амплитуды поля EN(x,p,t) на основе формулы (2.9) в приближении огибающей узкополосного сигнала с интегрированием от -С до С при t = xlс и xl F = -\, x/F = 2. Значение С задавалось равным 10. Для наглядности изображены распределения нормированных амплитуд и их огибающие (рис. 2.6). Из результатов расчета следует, что огибающая нормированных амплитуд поля EN(x,p,t) убывает в поперечной плоскости до уровня е х (до 0,3679) на расстояниях от оси пучка, равных р/а = 2 І2 (2,832 по оси абсцисс) при х IF = -1 и р I а = у/2 (1,4142 по оси абсцисс) при х IF = 2 соответственно. а б Рис. 2.6 Распределения нормированной амплитуды поля расходящегося (хIF = -1) (а) и сфокусированного в середину трассы (JC / F = 2) (б) 5-импульсных световых пучков в поперечной к направлению распространения плоскости Точно такие же результаты следуют из формулы (2.23), определяющей нормированную амплитуду поля EN(x,p,t) в отсутствие дифракции. То есть и численное оценивание интеграла (2.9) в пределах [-С,С] показывает, что дифракционное расплывание 5-импульсного пучка отсутствует.

Таким образом, как при фокусировке излучения в плоскость наблюдения х IF = \ [75], так и при произвольных соотношениях между радиусом кривизны волнового фронта и длиной трассы (x/F l) дифракции широкополосных 5-импульсных пучков не происходит.

Зависимость задачи дифракции от спектрального состава излучения, как показано в [79, 170], может приводить к изменению величины дифракционного расплывания пространственно-ограниченных пучков по сравнению с монохроматическим излучением. В случае импульсного излучения конечность ширины частотного спектра также сказывается на дифракционном уширении пучков, и тем больше, чем меньше длительность импульса [66, 69, 104-106]. Широкополосность излучения сказывается и на пространственно-временной когерентности оптических импульсов [98, 99]. Ниже приведены результаты расчетов функции Г2 по формуле (2.1) в сравнении с результатами для непрерывного излучения.

Масштаб пространственной когерентности рр определяется по спаданию степени пространственной когерентности r2(jc,R,p,? = Jc/c,r = 0 y(jc,R,p) = 2 с 2 с по разностной пространственной координате р до уровня y(x,R,pp) = е 1. На рис. 2.7 и 2.8 представлены результаты расчета радиуса пространственной когерентности широкополосного короткоимпульсного излучения р нормированного на радиус пространственной когерентности узкополосного непрерывного излучения [26] л а v P2j 2 2 l-f I +"0"2 ?Рс = а pc РІ рассчитанный для таких же начальных параметров пучка, в зависимости от безразмерного параметра со0т0, характеризующего длительность импульса.

Из рис. 2.7 следует, что для пучка, сфокусированного в плоскость фокусировки, с уменьшением длительности импульса (параметра оо0г0) радиус пространственной когерентности возрастает по сравнению с радиусом когерентности непрерывного излучения. С ухудшением начальной пространственной когерентности импульсного излучения этот эффект проявляется сильнее. а б

Рис. 2.7 Нормированный радиус пространственной когерентности сфокусированного пучка Q0 =20 как функция параметра со0т0: (а) 1, 2, 3 для a/р0=0; 4, 5, 6 - a/р0=1; 1, 4 - T0/т0 = 0,1; 2, 5 T0/т0 =0,5; 3, 6 - T0/т0 =1,41; (б) - 1, 2, 3 для a/р0 = 10; 4, 5, 6 a/р0 =100; 1, 4 - T0/г0 =0,1; 2, 5 - T0/г0 = 0,5; 3, 6 - T0/г0 =1,41

Если при a/р0=1 радиус пространственной когерентности импульса длительностью (D0T0 = 1 превышает радиус пространственной когерентности непрерывного излучения в 1,3 раза (рис. 2.7, а), то при a/р0=100 рp может превышать рpc в 10 и более раз (рис.2.7, б). С уменьшением временной когерентности импульса, когда отношение T0/т0 1,41, этот эффект проявляется в меньшей степени. Качественно подобные выводы справедливы и для коллимированного пучка, как это видно из представленных на рис. 2.8, а, б результатов для пучка с числом Френеля передающей апертуры Q0 =1. Разница лишь в том, что при одной и той же начальной пространственной и временной когерентности отношение рp/рpc для коллимированного гауссова пучка принимает значения несколько выше, чем для сфокусированного пучка с числом Френеля Q0 = 20.

Статистика импульсных лагерр-гауссовых пучков в турбулентной атмосфере

На рис. 3.14 представлены результаты расчета по формуле (1.70) коэффициента пространственной корреляции Сw(L,p) сильных флуктуаций плотности энергии короткоимпульсного с тР(0) = 5 фс (кр. Г–3% 3 фс (кр. 1"–3") и интенсивности непрерывного (кр. 1-3) излучения мод E0M , m = 0, 2, 8, лагерр-гауссовых пучков в турбулентной атмосфере на трассе длиной L = 1 км. Кривые 1, Г, 1" на рис. 3.14 соответствуют гауссову пучку (мода Е000) с радиусом а = 2 см; кривые 2, 2 , 2"и 3, 3 , 3"- модам Е002 и Е00 8 лагеррова пучка соответственно, с тем же значением параметра а, что и для гауссова пучка (рис. 3.7). Расчетные параметры аналогичны тем, что задавались для рис. 3.7. По оси абсцисс смещение точки наблюдения с оси пучка приводится в тех же безразмерных единицах р/а и p/рс, что и на рис. 3.7, ag и рс определялись по формулам (3.7) и (3.8) соответственно. Рис. 3.14 Коэффициент пространственной корреляции сильных флуктуаций плотности энергии короткоимпульсных (1 –3 , 1"–3") и интенсивности непрерывных (1–3) лагерр-гауссовых мод E00 0 (1, 1 , 1"), Е002 (2, 2 , 2"), Е00 8 (3, 3 , 3,г) при /«33; z (0) = 5 фс (Г–З ) иЗфс (7"-3")

Из рис. 3.14 следует, что масштаб пространственной корреляции сильных флуктуаций интенсивности непрерывного излучения в турбулентной атмосфере при /?02 33 по уровню 0,2, подобно гауссову пучку (рис.3.7), становится существенно меньше дифракционного радиуса ag (3.7) и определяется радиусом пространственной когерентности поля волны рс (3.8) для всех мод лагеррова пучка. Для импульсного излучения с уменьшением длительности импульса масштаб пространственной корреляции сильных флуктуаций по уровню 0,2 возрастает и для тр(0) = 3 фс превышает дифракционный радиус гауссова пучка E0 0 для всех рассматриваемых мод Е002, Е00 8. С увеличением номера моды т радиус пространственной корреляции увеличивается.

На рис. 3.15 представлены результаты расчета коэффициента пространственной корреляции Сw(L,p) для лагерр-гауссовых мод Е00т, где т =0, 2, 8, при одинаковых начальных пространственных размерах, определяемых через энергетические характеристики пучка. Параметр (З2 задавался таким же, как и при расчетах на рис. 3.7 и рис.3.13, начальные размеры пучков (параметр а) задавались такими же, как и при расчетах на рис. 3.13. Рис. 3.15 Коэффициент пространственной корреляции сильных флуктуаций плотности энергии импульсных (1 –3 ) и интенсивности непрерывных (1-3) лагерр-гауссовых мод E00 (1, 1% Е002 (2, 2% Е00 8 (3, 3) при Я2 «33 и гР(0)=5 фс Из рис. 3.15 видно, что пространственная структура корреляции сильных флуктуаций интенсивности (и плотности энергии) непрерывных (и короткоимпульсных) лагерр-гауссовых пучков с одинаковыми начальными размерами зависит от порядка моды существенно в меньшей степени, чем для пучков с различными дифракционными размерами на рис. 3.14. Масштабы пространственной корреляции по уровню Cw(L,p) = e 1 практически одинаковы для всех рассматриваемых мод.

На рис. 3.16 представлены результаты расчета коэффициента пространственной корреляции сильных флуктуаций плотности энергии непрерывного (кр. 1-3) и короткоимпульсных гР(0) = 5 фс (кр. Г–3% 3 фс (кр. 1"– 3") лагерр-гауссовых пучков для мод Я000 (кр. 1, Г, 1"), 002 (кр. 2, 2\ 2") и 008 (кр. 3, 3 , 3") в турбулентной атмосфере на трассе длиной L = 3 км. Расчетные параметры задавались следующими: Л0 = 1 мкм; а = 2 см; (а) - N = 25, М = 1024, h = 1,5 мм, Сй2=5х1013м-2/3 (/?2«124); {б) - 7V= 30; М = 1540; h = 1,2 мм; С2 =7,5х10"13м"2/3 (/?02«185). Для наглядности, на рис. 3.17 результаты, представленные на рис. 3.16, а и 3.16, б для гР(0) = 5 фс, объединены в один. Из рис. 3.16 следует, что двумасштабная структура пространственной корреляции сильных флуктуаций плотности энергии для всех мод короткоимпульсного лагерр-гауссова пучка при /?2«124 (рис. 3.16, а) и 185 (рис. 3.16, б), менее выражена для всех рассмотренных мод (кр. Г–3\ 1"–3"). Уровень остаточной пространственной корреляции сильных флуктуаций плотности энергии лагерр-гауссова пучка короткоимпульсного излучения превышает уровень остаточной пространственной корреляции интенсивности лагерр-гауссова пучка непрерывного излучения и возрастает с уменьшением длительности импульса и с усилением оптической турбулентности на трассе распространения.

Коэффициент пространственной корреляции сильных флуктуаций плотности энергии короткоимпульсных (1 –3 , 1 "–3 ") и интенсивности непрерывных (1-3) лагерр-гауссовых мод E00 (1, Г, 1"), E0 (2, 2\ 2"), E0 (3, З , 3") при /?2 «124 (а) и 185 (б); тP(0)=5 фс (Г–У) и 3 фс (1 –3 )

Сравнение коэффициентов пространственной корреляции разных мод лагерр-гауссова пучка, отличающихся величиной топологического заряда т (номером моды), но для одной длительности гP(0) показало, что пространственная структура корреляции сильных флуктуаций интенсивности (и плотности энергии) непрерывных (и короткоимпульсных) лагерр-гауссовых пучков с одинаковыми значениями параметра а (а = 2 см) в пределах точности расчета не зависит от порядка моды лагерр-гауссова пучка. Рис. 3.17 демонстрирует этот вывод более наглядно.