Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Исследование существующих методов хранения направления 8
1.1 Классические гироскопы 8
1.2 Новые типы гироскопов 10
1.3 Гироскопы с воздушной опорой 11
1.4 Поплавковые гироскопы 11
1.5 Динамически настраиваемые гироскопы 13
1.6 Кольцевые лазерные гироскопы 14
1.7 Волоконно-оптические гироскопы 16
1.8 Волновые твердотельные гироскопы 19
1.9 Вибрационные гироскопы 21
1.10 Микромеханические гироскопы 24
1.11 Неконтактные гироскопы 25
1.12 Необходимость нового метода хранения направления 29
1.13 Исследуемая оптико-электронная система хранения направления в плоской системе координат 35
1.13.1 Вращающийся маховик и связанная с ним независимая система координат 38
1.13.2 Система опорного канала 40
1.13.3 Система измерительного канала 46
Выводы по главе 1: 47
Глава 2. Математическое моделирование оптико-электронной системы хранения направления в плоской системе координат 48
2.1 Методика построения математической модели 48
2.1.1 Расчет передаточной функции анализатора изображения 52
2.1.2 Передаточная функция рабочего отверстия 54
2.1.3 Расчет передаточной функции объектива 57
2.1.4 Передаточная функция сканирующей системы 61
2.2 Передаточная функция системы опорного канала 64
Выводы по главе 2: 67
Глава 3. Исследование работы оптико-электронной системы хранения направления в зависимости от внешних и внутренних факторов, влияющих на точность измерений 68
3.1 Определение угловой ошибки измерения при повороте основания 68
3.2 Ошибка измерительного канала 74
3.3 Влияние наклона основания в вертикальной плоскости на скорость вращения маховика 80
3.4 Угловое поле поворота основания 89
Выводы по главе 3: 91
Глава 4. Экспериментальное исследование работы оптико-электронной системы хранения направления для контроля параметров железнодорожных путей 92
4.1 Измерение параметров железнодорожного пути 92
Выводы по главе 4: 96
Заключение 97
Список литературы 98
- Необходимость нового метода хранения направления
- Методика построения математической модели
- Определение угловой ошибки измерения при повороте основания
- Влияние наклона основания в вертикальной плоскости на скорость вращения маховика
Введение к работе
Актуальность исследований обусловлена потребностью в создании принципиально новой системы хранения направления, основанной на виртуальном измерении углового положения контролируемого основания.
Из рассмотренных свойств гироскопов различного типа, как устройств, решающих задачу хранения направления, следует, что у каждого есть недостатки, ему присущие. Между тем, у всех типов гироскопов общий недостаток – это интегрируемость ошибки измерения курса со временем, что делает невозможной работу гироскопического устройства в течение длительного периода времени.
Общим при традиционном методе хранения курса гироскопическим устройствами, использующимися сегодня, является создание направления на подвижном основании физическими элементами этих устройств, а также сохранение их положения в независимой от подвижного основания системе координат (инерциальной или связанной с землей).
Необходимость периодического выставления гироскопа по заданному направлению влияет как на точность измерений, так и на удобство его эксплуатации.
Высокие точности измерений могут обеспечить механические, кольцевые лазерные и возможно, лучшие образцы волоконно-оптических гироскопов. С точки зрения стоимости в этом случае лучше всего волоконно-оптические гироскопы, однако их цена на Западе, судя по проведенным исследованиям рынка, составит от 10 тыс. долларов и выше. Стоимость кольцевого лазерного гироскопа при той же точности раза в два выше.
Постоянно возрастающие требования к точностным и эксплуатационным характеристикам гироскопических приборов стимулируют интерес не только к дальнейшим усовершенствованиям рассмотренных в работе гироскопов, но и к поискам принципиально новых идей, позволяющих решить проблему создания чувствительных датчиков для индикации и измерения угловых движений объекта в пространстве.
Резюмируя все вышесказанное, напрашивается вывод: в настоящее время для системы определения ориентации подвижного объекта использование оптических инерциальных измерителей в чистом виде нецелесообразно. Среди гироскопов наиболее перспективными, видимо, являются механические гироскопы как обладающими наивысшей точностью при минимальных габаритах. Использование волоконно-оптических гироскопов также накладывает дополнительные требования. Для повышения точности с использованием математического аппарата фильтрации необходимо проведение дополнительных исследования.
Анализ литературы показывает, что в классических системах определения ориентации инерциальные датчики дополнены датчиками положения, выполняя измерения каждые в своем спектре изменения угловых скоростей. При этом относительные погрешности измерений, выполненные гироскопами в низкочастотной области спектра, увеличиваются и могут быть одного порядка с измеряемыми величинами. В этом случае необходимо периодически корректировать измеряемые данные, используя независимые измерения.
Таким образом, интересна разработка нового подхода к хранению направления, идеей которого станет отказ от так называемого физического метода хранения направления. При этом оно может виртуально сохраняться через результаты угловых измерений, производящихся с момента запуска устройства.
Идея метода должна быть универсальна, и конкретика ее применения в той или иной области может варьироваться лишь от массогабаритных параметров навигационного устройства.
При этом стоимость должна быть конкурентоспособной по отношению к существующим сегодня приборам.
Целью диссертационной работы является разработка метода хранения направления в плоской системе координат, основанного на отказе от традиционного физического хранения. При этом оно может храниться в виде результатов угловых расчетов.
Для достижения этой цели были поставлены и решены следующие задачи:
-
Выполнен аналитический обзор литературных и патентных источников известных методов навигации, хранения и определения положения, проведен их анализ, выявлены частные и общие недостатки;
-
Разработана и исследована модель оптико-электронной системы хранения направления, основанной на виртуальном измерении изменений положения контролируемого основания;
-
Разработаны методики расчета, получены аналитические зависимости, учитывающие связь массогабаритных параметров устройства с точностью измерений, возможных погрешностей;
-
Проведен анализ и расчет параметров работы исследуемой системы применительно к контролю характеристик железнодорожного пути, точность результатов которого превышает используемые сегодня методы.
Методы исследования
Все разработанные методы и алгоритмы были протестированы на персональных компьютерах.
В качестве математического аппарата для расчетов использовались:
-
Ковариационная модель для нахождения оптических передаточных функций;
-
Преобразование Фурье.
-
Для проведения численных и аналитических расчетов были использованы программные пакеты MATHCAD, MAPLE.
Для трехмерного моделирования была использована среда 3D MAX.
Основные положения, выносимые на защиту
-
Методика хранения направления в плоской системе координат. Хранение направления реализуется виртуально через результаты периодических угловых измерений.
-
Алгоритм построения математической модели системы.
-
Анализ и расчет возможных ошибок системы хранения направления. Возможные пути их компенсации.
-
Практическая реализация предложенного метода для контрля параметров железнодорожных путей.
Научная новизна результатов диссертационного исследования:
-
Обоснована необходимость создания и применения нового подхода в области хранения направления;
-
Найден новый алгоритм, позволяющий осуществлять хранения направления, основываясь на результатах угловых измерений;
-
Построена математическая модель системы, позволяющая рассмотреть специфику ее работы, детально рассмотрены возможные погрешности измерений, определена потенциальная точность измерений;
-
Подана заявка на изобретение устройства, работа которого построена на одной из реализаций исследуемой оптико-электронной системы.
Научная ценность работы состоит в разработке и исследовании принципиально новой оптико-электронной системы, в основе работы которой лежит идея отказа от традиционного физического хранения.
Практическая ценность работы заключается в разработке методики, алгоритмов расчета оптико-электронной системы, позволяющей производить контроль параметров железнодорожного полотна. При этом стоимость и точность метода вполне конкурентоспособна по сравнению с современными аналогами.
Личный вклад автора
Все полученные в ходе исследования математические и аналитические расчеты и зависимости принадлежат автору. Им разработаны модель работы метода, исследованы все возможные причины возникновения погрешностей, проведена оценка точности метода при различных условиях эксплуатации.
Апробация работы
Основные результаты исследования на 3-х международных конференциях и научно-технической конференции студентов и молодых ученых МИИГАиК.
Публикации
По материалам работы опубликованы 2 статьи в рецензируемых изданиях, включенных в список ВАК.
Структура и объем диссертации
Необходимость нового метода хранения направления
На рис. 10 приведены важнейшие характеристики (дрейф или стабильность ухода и стабильность масштабного коэффициента) гироскопов различных типов.
Из рисунка, что наиболее стабильными являются механические гироскопы, которые существенно точнее микромеханических, однако уступают им в размерах и конструктивных реализациях.
Общим при традиционном методе хранения кура гироскопическим устройствами является создание направления на подвижном основании физическими элементами этих устройств, а также сохранение их положения в независимой от подвижного основания системе координат (инерциальной или связанной с землей).
Постоянно возрастающие требования к точностным и эксплутационным характеристикам гироскопических приборов стимулируют интерес не только к дальнейшим усовершенствованиям рассмотренных выше гироскопов, но и к поискам принципиально новых идей, позволяющих решить проблему создания чувствительных датчиков для индикации и измерения угловых движений объекта в пространстве.
Из рассмотренных свойств гироскопов различного типа следует, что у каждого есть недостатки, ему присущие. Между тем, у всех типов гироскопов общий недостаток — это интегрируемость ошибки измерения курса со временем, что делает невозможной работу гироскопического устройства в течение длительного периода времени.
Необходимость периодического выставления гироскопа по заданному направлению влияет как на точность измерений, так и на удобство его эксплуатации.
Высокие точности измерений могут обеспечить механические, кольцевые лазерные и возможно, лучшие образцы волоконно-оптических гироскопов. С точки зрения стоимости в этом случае лучше всего волоконно-оптические гироскопы — однако их цена на Западе, судя по проведенным исследованиям рынка, составит от 10 тысячи долларов и выше. Стоимость кольцевого лазерного гироскопа при той же точности раза в два выше.
Серьезный прогресс в области высокоточной спутниковой навигации GPS и ГЛОНАСС, по мнению сторонников этих методов навигации, сделал ненужными автономные средства навигации в тех случаях, когда сигнал со спутника может приниматься непрерывно. По мнению специалистов, разрабатываемая сейчас система навигационных спутников третьего поколения позволит определять координаты объектов на поверхности Земли с точностью до единиц сантиметров. При этом отпадает необходимость в использовании даже курсовых гироскопов, ибо сравнение показаний двух приемников спутниковых сигналов, установленных на расстоянии в несколько метров, например, на крыльях самолета, позволяет получить информацию о повороте самолета вокруг вертикальной оси.
Однако на деле системы GPS оказываются неспособны сколь-либо точно определять положение в специальных условиях работы при плохой видимости спутников. Такие же проблемы обнаруживаются в лесистой местности, а также в городской местности. Даже в самолётах GPS, хотя и оказывается точнее акселерометров на длинных участках, даёт большие погрешности как при измерении углов посредством использования 2 GPS-приёмников (иногда даже градусы), так и при подсчёте курса путём определения скорости самолёта (погрешность на угол скольжения). Поэтому в навигационных системах оптимальным решением на сегодняшний день является комбинация гироскопической системы и GPS.
В силу перечисленных обстоятельств эволюционное развитие гироскопической техники последних десятилетий подошло к рубежу крупных изменений, и именно поэтому внимание специалистов в области гироскопии сейчас сосредоточилось на поиске нетрадиционных областей применения приборов. Неожиданно открылись совершенно новые интересные задачи. Это и разведка полезных ископаемых, и предсказание землетрясений, и сверхточное измерение положений железнодорожных путей и нефтепроводов, медицинская техника и многое другое, где ожидаются новые результаты и, быть может, новые открытия.
Резюмируя все вышесказанное, напрашивается вывод: в настоящее время для системы определения ориентации подвижного объекта использование оптических инерциальных измерителей в чистом виде нецелесообразно. Среди гироскопов, вообще наиболее перспективными, видимо, являются механические гироскопы как обладающими наивысшей точностью при минимальных габаритах. Использование ВОГ также накладывает дополнительные требования. Так, для повышения точности с использованием математического аппарата фильтрации необходимы дополнительные исследования.
Анализ литературы показывает, что в классических системах определения ориентации инерциальные датчики дополнены датчиками положения, выполняя измерения каждые в своем спектре изменения угловых скоростей. При этом относительные погрешности измерений, выполненные гироскопами в НЧ спектре, увеличиваются и могут быть одного порядка с измеряемыми величинами. В этом случае необходимо периодически корректировать измеряемые данные, используя независимые измерения.
Учитывая перечисленные недостатки существующих решений в области хранения направления, возникает необходимость создания нового подхода, позволяющего решать новые прикладные задачи. Новый подход построения инерциальных навигационных систем, кроме традиционного применения в авиации, ракетостроении и мореходстве может найти применение для решения задач геодезии и гравитационных измерений, оценки статических и динамических деформаций объектов различного назначения, контроля пространственного расположения трубопроводов, туннелей, буровых скважин.
Таким образом, интересна разработка нового подхода к хранению направления, идеей которого станет отказ от так называемого физического метода хранения направления. При этом оно может виртуально сохраняться через результаты угловых измерений, производящихся с момента запуска устройства.
Идея метода должна быть универсальна, и конкретика ее применения в той или иной области может варьироваться лишь от массогабаритных параметров навигационного устройства.
При этом стоимость должна быть конкурентоспособной по отношению к существующим сегодня приборам.
Отдельно можно выделить такую задачу как контроль параметров рельсовой колеи на железнодорожном транспорте.
Для поддержания необходимого уровня безопасности движения на железнодорожном транспорте периодически проводится комплекс мероприятий, одной из составляющих которого является определение и регистрация параметров, характеризующих геометрическое состояние рельсовой колеи. Традиционно эти работы проводятся с помощью оборудования, установленного на вагоне - путеизмерителе. Современные требования к точности оценки геометрии параметров колеи находятся в пределах 1...3 мм, что в свою очередь ограничивает допустимую погрешность угловых измерений величиной 1.0... 1.5 угл. мин. на измерительной базе вагона. Реализация подобных требований к точности угловых измерений в процессе движения на скоростях до 160 км/час, а в перспективе до 200-300 км/час, представляет собой достаточно сложную в техническом плане задачу.
В целом же, навигационный прибор нового поколения должен отвечать следующим свойствам:
1) Малая потребляемая мощность, что имеет большое значение при бортовом использовании устройства.
2) Большой динамический диапазон измеряемых угловых скоростей.
3) Надежностью в условиях жестких вибрационных и ударных воздействий.
4) Заданной высокой точностью.
5) Малые габариты и массу конструкции, благодаря возможности создания навигационного устройства полностью на интегральных оптических схемах.
6) Выдача навигационной информации автономно - без привлечения внешних источников информации.
7) Невысокую стоимость производства и конструирования при массовом изготовлении и относительную простоту технологии.
8) Быстрая готовность к работе.
9) Работа в различных климатических и погодных условиях.
Методика построения математической модели
Метод математического моделирования предусматривает воспроизведение (реализацию) исследуемой оптико-электронной схемы, заданной ее математической моделью, в виде искусственно создаваемых физических процессов, описывающих преобразования сигналов в опорном и измерительном каналах.
Целью математического моделирования является создание оптико-электронной системы посредством простых объектов, доступных для теоретического изучения.
Кроме того, задачей моделирования является исследование параметров и характеристик метода.
Под системой в соответствии с определением Гудмена следует понимать все то, что осуществляет преобразование ряда входных функций или воздействий в ряд выходных функций или реакций (откликов).
Функцию модели будет представлять совокупность описывающих ее работу математических уравнений.
По способу получения разрабатываемая модель относится к теоретическому типу, поскольку будет получена на основе изучения физических закономерностей функционирования исследуемого метода.
При рассмотрении структурной схемы исследуемого метода, а также оценки его качества с точки зрения измерения параметров излучателя, наиболее удобным является рассмотрение отдельных звеньев в виде линейных фильтров. В этом случае процесс преобразования сигнала, разнородный по своей физической природе, в различных звеньях ОЭП достаточно полно и строго описывается с помощью единого математического аппарата, принятого в теории автоматического управления.
В предложенной оптико-электронной системе в общем случае используется некогерентный источник света. Поэтому будем рассматривать ее поведение работу как двумерного линейного некогерентного пространственно-частотного фильтра.
Удобным представлением модели системы является ее интерпретация в виде совокупности линейных звеньев. В этом случае общая передаточная функция всей системы определяется как произведений передаточных функций (частотных характеристик) оптической системы, рабочего отверстия и электронного тракта.
Входным сигналом для рассматриваемой системы является распределение яркости в пространстве объектов. Учитывая однозначность связи между координатами в плоскости объектов и координатами в плоскости изображения функцию яркости излучателя можно представить в виде функций, приведенных к плоскости изображения координат.
Отметим, что исследуемая система удовлетворяет условиям изопланатизма, то есть закон распределения освещенности остается постоянным при рассмотрении различных точек излучателя, поскольку работа системы подразумевает малые угловые поля.
Зная внутренние характеристики оптической системы, а именно зрачковую функцию для всех точек излучателя, мы можем определить свойства изображения, формируемого системой, вычислив структурные передаточные характеристики. Таким образом, на стадии проектирования мы можем осуществить аналитическое моделирование работы исследуемого метода.
Оптическая передаточная функция (ОПФ) позволяет установить связь между двумерным спектром распределения яркости в плоскости объекта и двумерным спектром распределения освещенности в плоскости изображения.
Кроме того, для полноты описания математической модели устройства, рассмотрены передаточные функции, учитывающие специфику работы конкретной системы. Проведен анализ их влияния на точность работы устройства.
Как рассматривалось выше, элементами оптических систем опорного и измерительного каналов являются излучатели, линзы, рабочие отверстия, на вращающемся маховике, отражатель и приемники излучения.
Поскольку целью настоящее работы является рассмотрение методов работы навигационного устройства, автор принимает некоторые допущения, способствующие упрощению построения математической модели и минимизации количества параметров в уравнениях.
Этими допущениями отражаются в следующих параметрах компонентов оптических систем:
1) Излучатели обоих каналов имеют равные мощности и направленность излучения;
2) Объективы и конденсоры обоих каналов являются одинаковыми тонкими линзами с фокусным расстоянием f, диаметром входного зрачка D и линейным увеличением, равным 1;
3) Рабочие отверстия обоих каналов одинаковы и представляют собой прямоугольники с геометрическими размерами axb;
4) Приемники обоих каналов имеют одинаковую площадь чувствительной площадки;
5) Каждый элемент оптических систем обоих каналов располагается на равном расстоянии от предыдущего и последующего. Это расстояние равно f.
Параметры конкретного устройства, ориентированного на выполнение определенных измерений при заданных точностях могут отличаться от предложенной модели.
Определение угловой ошибки измерения при повороте основания
Рассмотрим изменение пространственного положения изображения в области рабочего отверстия маховика после прохождения излучения через объектив приемной системы опорного канала.
При этом рассмотрение данного аспекта будем проводить посредством методов геометрической или лучевой оптики, поскольку исследуемая ошибка имеет соответствующую природу. Согласно этому, под световым лучом будем понимать некую геометрическую линию, направление которой определяет направление распространения световой энергии.
Очевидно, что данное определение светового луча является абстрактным математическим понятием. Однако оно дает возможность изучить возникающую угловую ошибку.
Приведенные на рисунке 21 линзы, радиус поворота расположения промежуточных изображений не соответствуют масштабу, но дают возможность лучше понять природу и суть возникающей ошибки.
Пусть D E - положение объектива до поворота основания. Тогда АС — его оптическая ось, с которой совпадает направление отраженного луча. Изображение формируется в т. С В этой же точке находится рабочее отверстие.
Пусть основание повернулось по часовой стрелке на некоторый угол а. Вместе с ним повернулась и приемная система опорного канала. Новое положение объектива DE. Отраженный луч также повернулся на угол а, нов другую сторону относительно объектива. Его ход описывается отрезками AD и DK. Изображение в этом случае формируется в т. К, совпадающей с новым положением фокальной плоскости объектива.
Из графика видно, что нарастание ошибки происходит нелинейно. Значение в зависит от скорости вращения основания. При этом изменение углового положения основания на угол а происходит за время одного оборота маховика.
Обратим внимание, что полученная зависимость имеет участок в интервале углов (-3.75;3.75) градусов с ошибкой, не превышающей 1 секунду, что может оказаться полезным при проектировании навигационного устройства, работающего в данном угловом диапазоне.
Стоит отметить, что при вращении маховика с частотой 600 оборотов в минуту (10 Гц) для поворота основания на угол 3 градуса за время одного оборота маховика ему необходимо иметь угловую скорость 0.5 рад/сек, то есть около 30 градусов в секунду.
Указанный интервал представлен на рис. 23:
При этом отдельно рассмотрен случай, при котором ошибка не превышает 1 секунду.
Здесь f(k) - частота вращения основания при соответствующем угле поворота, [об/сек], f(k) 60 - аналогичная частота вращения основания, приведенная к [об/мин] для удобства восприятия.
В данных расчетах предполагается, что маховик вращается с частотой 10 Гц, а скорость основания в пределах одного поворота маховика -величина постоянная.
Таким образом, опираясь на требуемые значения точности, а также условия эксплуатации, можно найти оптимальное соотношение между углом поворота основания и ошибкой положения изображения в плоскости рабочего отверстия.
Для того, чтобы оценить погрешность изображения в этом случае, необходимо достроить ход лучей через конденсор приемной системы опорного канала. Изменение хода лучей в этом случае можно проанализировать на рисунке. Пучки лучей намеренно изображены широкими, чтобы было проще проследить их изменение при повороте основания.
При повороте отражателя (рис. 24), который в данном случае рассматривается как излучающая поверхность, очевидным образом меняется диаметр пятна на объективе приемного канала. Причем диаметр D, до поворота и диаметр D2 после связаны соотношением: 2 - cos(a)
Важно отметить, что максимум облученности площадки приемника излучения будет совпадать в обоих случаях положения основания. Меняется лишь распределения пятна энергии, что равносильно расфокусировке.
При этом угловая ошибка 9 в плоскости рабочего отверстия при повороте основания после прохождения объектива компенсируется конденсором, что также является достоинством предложенной оптической системы. Данная компенсация «закрепляет» центр сигнала на приемнике.
В заключении исследования данного вида ошибки стоит отметить то, что она носит статистический характер и может быть изучена и определена, что подтверждают расчетные данные. Это в свою очередь делает возможным ее компенсацию уже после преобразования оптического излучения в электронный сигнал. Необходимость в этой компенсации очевидным образом зависит от того, является ли рассчитанная точность пригодной для конкретного применения метода хранения направления.
Однако, учитывая данные точностей, которыми располагает автор на момент написания этой главы, полученные значения превышают их, и необходимость в компенсации пропадает.
Влияние наклона основания в вертикальной плоскости на скорость вращения маховика
Предполагаем, что маховик, закрепленный в подшипниках, сохраняет скорость своего вращения постоянной в течение требуемого промежутка времени. Однако при отклонении от вертикали начинает сказываться влияние силы трения в подшипниках, что необходимо учитывать. Очевидно, что в этом случае появляется силовое воздействие, которое приведет к появлению ускорения (торможения) маховика. Найдем это ускорение как функцию угла наклона оси маховика и длительности этого воздействия.
Уравнение связывает угловое ускорение тела е с моментом М всех сил, действующих на тело, относительно оси вращения. Величина зависит от форм, размеров маховика, выбора оси вращения и является моментом инерции тела относительно заданной оси. Момент инерции J характеризует инертность тела при вращательном движении и может быть вычислен, если известно распределение массы относительно заданной оси.
Поскольку маховик является телом сложной геометрической формы, мысленно разобьем его на наименьшее число простых тел (элементов) правильной геометрической формы, для которых моменты инерции известны или могут быть легко посчитаны.
Таким образом, рассчитаем момент инерции маховика исходя из того, что он состоит из двух цилиндров массами т1 и т2, двух колец массами щ и w4 и одного полуцилиндра массой w5. Габаритные размеры маховика для расчетов указаны на рисунках 28 и 29.
Рассмотрим силы, вызывающие замедление вращения маховика при наклоне его оси вращения.
Решение задачи о движении маховика в поле внешних сил можно получить, основываясь на, так называемой, элементарной теории гироскопа. В этой теории делается допущение, что мгновенная угловая скорость вращения гироскопа и его момент импульса направлены вдоль оси симметрии гироскопа. По третьему закону Ньютона ось вращения маховика действует на подшипники с силами Fzup, которые называются гироскопическими. Они создают гироскопический момент Мгир. Появление гироскопических сил называют гироскопическим эффектом (рис. 30). Для анализа сил трения, возникающих в маховике при наклоне его оси вращения, обратимся к рисунку 31, на котором изображена ось маховика в подшипнике.
Из рисунка видно, что результирующая сила трения в подшипнике имеет две составляющих: сила трения F , обусловленная наклоном оси вращения маховика и сила трения Fmp2, являющаяся результатом действия гироскопической силы.
Запишем основное уравнение динамики для маховика, вращающего вокруг оси своей симметрии.
Очевидно, причина возникновения реакции JV, носит характер гироскопической силы Fgup. Следовательно, по третьему закону Ньютона, можно сделать вывод.
Для нахождения реакции N2, являющейся результатом воздействия подшипника на ось маховика в результате ее наклона, запишем второй закон Ньютона для вращения маховика вокруг точки А с угловой скоростью Q, причем в проекции на ось, перпендикулярной вращению.
Следует также иметь в виду, что на угловую скорость маховика, согласно формуле, влияют его массогабаритные параметры, которые необходимо учитывать при проектировании навигационного устройства для конкретных применений.
Обратим внимание на то, что существует однозначная связь между со0 и eo(t,y). Действительно, маховик сможет вращаться только в случае выполнения условия.
В противном случае минимальный наклон оси его вращения приведет к остановке.
Учитывая специфику работы устройства, следует рассчитывать значения со0 и a(t,y) такими, чтобы маховик имел возможность вращаться при ожидаемом угле у крена основания.
Проведем расчет исходя из того, что допустимым диапазоном изменения угла у является 0..90 градусов.
Если представить все постоянные величины, входящие в уравнение, за С, то выражение примет вид.
Из соотношения очевидно, что значение начальной угловой скорости б)0 маховика следует задавать исходя из предполагаемого времени t, требующегося для наклона оси маховика на заданный угол, а также его массогабаритных параметров.
