Введение к работе
Актуальность темы. Развитие методов математического моделирования, наряду с постоянным совершенствованием возможностей соврем менной вычислительной техники, открыли широкие перспективы математических приложений, в том числе в сферах гуманитарного и социального знания. Математика все глубже проникает в сущность процессов, происходящих в сложноорганизованных системах, выступая не только в качестве вычислительного инструментария, но и задавая язык построения эвристических моделей. В связи с этим возрастает потребность в новых методологических подходах к основаниям системных исследований, позволяющих в полной мере раскрыть потенциал современных математических теорий систем.
Однако, применение формальных методов становится эффективным лишь при наличии четких эксплицированных понятий, как выбираемых в качестве базисных при формализации, так и указывающих правила образования сложных понятийных конструкций из простых. Последнее существенно зависит от выбора первичной структуры математического языка, степени разработанности его концептуальных средств и выразительных возможностей.
Традиционно первичная структура математического языка использует формализмы теории множеств. Теоретико-множественный (Т/М) подход к описанию системной динамики основывается на представлениях об универсуме состояний системы и признаках, позволяющих выделять из него множества, отвечающие различным способам поведения системы. Задание движения системы в фазовом пространстве требует при этом достаточно детальной информации о состояниях процесса и характере их изменений. Кроме того, однородность элементов множества состояний процессане позволяет описывать в рамках-Т/М моделей фазовые переходы, связанные с перестройкой самого фазового пространства.
Эти недостатки преодолеваются, если для модельных описаний выбрать первичную структуру стрелочного языка, развиваемого в рамках математической теории категорий и порождающего другой способ задания и оперирования с математическими универсумами. Теоретико- категорный (Т/К) подход позволяет достигать высокой степени общности понятийных конструкций, но в то же время имеет и свои ограничения. В первую очередь это связано с невыразимостью на языке стрелочных конструкций идеи континуума, использующейся в Т/М описаниях для характеризации системных динамик' в непрерывном времени.
Альтернативность указанных подходов выражается не только выбором первичной структуры математического языка моделирования, но и различными концептуальными основаниями формализации. Поскольку для исследования разных классов сложных систем наиболее предпочтитель-'
ным может оказаться как теоретико-множественный, так и теорети-ко-категорный подход, то предпринимаемый сравнительный анализ их концептуальных возможностей представляется актуальным как с точки зрения развития методологии системных исследований, так и для практических целей моделирования.
Степень разработанности проблемы и источники исследования.
Диссертационная работа возникла на стыке трех исследовательских направлений, выделение которых можно осуществить лишь с известной степенью условности.
Первое направление образуют исследования в области логики и оснований математики, множества и категории вадают два возможных способа построения математических рассуждений. На концептуальном уровне их альтернативность выражается свойством "элементности" математических конструкций. В случае множественных оснований математические объекты суммативны, они состоят из элементов и определяются ими. Центральным здесь выступает отношение принадлежности элементов множеству.
Во второй половине 40-х годов XX в. , в трудах С. Эйленберга и С. Шклейна было установлено, что "особенность" рассуждений, проводимых в локальных рамках различных математических дисциплин, выражается не видом . соответствий между объектами или структурами там изучаемыми, а характером составляющих эти объекты частей (элементов) и формой задания отношения принадлежности. Вместо того, чтобы определять свойства совокупности через свойства составляющих ее элементов, оказалось возможным изучать их, рассматривая внешние связи между объектами, выражаемые морфизмами (стрелками). Основанная на этой идее, теория категорий развивает язык для работы с математическими универсумами, описывающий способы переходов от одних универсумов к другим. ,
Однако, для того, чтобы реально задавать универсум математических рассуждений, данная категория должна*порождать внутренний язык, естественно включающий разнообразные модельные интерпретации формально-логических теорий. Общий вид такой категории, названной А. Гротендиком топосом, был установлен в работах Е Ловера.У. Ыитчела, Дж. Коула. Ими было доказано соответствие между элементарной теорией топосов и аксиоматической теорией множеств.
Альтернативность множественного и категорного языков в основаниях математики обсуждалась в работах С. Ыаклейна, Р. Голдблатта, Дж. Белла, X. Фольгера.Р. «рейда, Р. М Шафаревича, KL А. трейдера и др.
Вторым основанием диссертационного исследования послужили концепции системной динамики, традиционно развиваемые в таких математических дисциплинах, как аналитическая механика, теория управления и теория автоматов.'
Становление методов символьного моделирования для исследования физических процессов осуществлялось в рамках классической механики Ньютона. Именно там были впервые сформулированы и решены вопросы выбора фазовых переменных, модельного выражения времени, предложена форма описания динамических законов посредством математических отношений. Используемое в работе понятие функциональной системы впервые возникло в теории управления, как Т/М модель открытой динамической системы. Переход от непрерывной к дискретной временной ха-рактеризации функциональных систем дает конструкцию абстрактного автомата, применяемую для описания вычислительных процессов, нервных узлов и т. д.
Особое место в ряду работ, развивающих методы математических моделей системной динамики, занимают исследования систем в категориях, нарушившие безраздельное господство Т/М подхода Язык теории категорий для описания динамических систем был впервые использован ЛАрбибом и ХЗейгером. Дальнейшее применение Т/К методы находят в работах Дж. Гогена, М. Арбиба, Е. Мейнса, Е. Бейнбриджа, С. Алажика, Б. Андерсона, Ю. А. Шрейдера, А. А. Шарова, Б. В. Гисина, к. Ш. Цаленко, й А. Абрамова и др. Однако, категорией теория систем рассматривалась названными авторами с позиции обобщенного алгебраического подхода к задачам системного синтеза, а не в качестве альтернативы множественным конструкциям в математической теории систем. Выразительные возможности категорного языка, условия и границы его применимости специально не исследовались. Отсутствовала система операциональных понятия категорных моделей. Ыногие частные результаты ка-тегорной теории динамических систем (например, ослабление свойства линейности в обобщенной теории реализации Р. Калмана) воспринимались как "неожиданные". В неудовлетворительном состоянии оставались вопросы репрезентации категорных конструкций,, имеющие важное значение для развития методологии системных исследований. Сравнительный анализ концептуальных средств множеств и категорий в представлениях системной динамики также не проводился.
Третьим основанием диссертации явились работы, развивающие формальные подходы к описанию неэволюционных процессов изменения систем, известных под названием "мира нелинейных явлений".
Междисциплинарные исследования динамической сложности процессов в нелинейном мире привели к новым взглядам на вопросы последовательного усложнения поведения систем.позволили обнаружить универсальные закономерности в развитии и самоорганизации нелинейных систем физической,химической,биологической,экологической и другой при-, роды, совершенно неожиданным образом представить отношения между "хаосом и порядком", вскрыть механизмы возникновения дискретных структур из гладких и непрерывных,а также поставить целый ряд воп- ' 1-2
росов философско-методологического плана, ответы на которые erne предстоит получить.
Формальные методы описания динамики нелинейных систем разрабатываются в математических теориях особенностей, бифуркаций и катастроф. Начало исследований бифуркационых явлений связывают с именем А. Пуанкаре, которому принадлежит ключевое понятие структурной устойчивости. Классическими трудами в данных областях явились работы A. U. Ляпунова, А. А. Андронова, Е И. Арнольда, А. Тьюринга, Э. Хэпфа, X Уитни, Р. Тома Развитие и совершенствование математических методов анализа нелинейных явлений в последние два десятилетия существенно стимулировались успехами в таких новых исследовательских областях, как неравновесная термодинамика,синергетика и теория диссипации. Бифуркации, возникновение диссипативных структур и самоорганизация оказались связанными самым тесным образом. Важную роль в становлении и развитии этого исследовательского направления сыграли работы И. Пригожина, Р. Хакена, Ы. Фейгенбаума, Дж. Йорке, Г. Николса, И.Стенгерса, М.Эигена. Р. Винклера, Е Моисеева, А. А. Самарского, С. IL Курдюмова, XIЫ. Романовского и др.
Возможности использования категорного языка для описания явлений нелинейного мира практически не изучены. Некоторые подходы предлагаются в работах диссертанта, указанных в конце автореферата
Методологическую основу диссертации образуют исследования по философским проблемам современного научного познания, а также фундаментальные разработки в области философско-методологических оснований системных исследований, представленные в трудах Л.фон Берта-ланфи, Р. Акоффа, И. В. Блауберга, КБоулдинга. Д. Ы. Гвишиани, Е Е Костика, ЕЕ Кузьмина, ЕЙ. Лапина, ЕМ.Лейбина, VL Ыесаровича, Э. М.Мирского, И. Е Новика, А. Рапопорта,* Е Е Садовского, Г. А. Смирнова, Е Г. Едина, Э. Г. Юдина и др. ,
Основная цель диссертации - методологический«анализ способов построения динамических моделей систем, основайных на использовании структуры теоретико-множественного и теоретико-категорного языков. Обшая цель работы конкретизируется в следующих задачах:
сопоставить концептуальные- основания формализации динамических свойств систем при теоретико-множественном и теоретико-категорном подходе, эксплицировать' схемы построения моделей, использующие первичную структуру указанных математических языков;
дать методологический анализ отношений альтернативности и дополнительности, возникающих между теоретико-множественным и теоретико-категорным способами характеризации системной динамики, определить области наилучшей применимости каждого из подходов;
оценить возможности двух формальных языков для описания системной эволюции и процессов "мира нелинейных явлений", проанализировать
представления однородности и неоднородности системной динамики, возникающие в рамках множественной и категорной характеризации; - сопоставить концептуальные средства множественного и категорного языков для выражения принципов детерминации в эволюционном движении и развитии систем.
Основные результаты исследования, выносимые на защиту.
-
Альтернативность множественных и категорных оснований формализации системной динамики на концептуальном уровне выражается отношением первичности, устанавливаемым между статикой и динамикой системы. В случае множественной формализации методологическая схема предполагает переход от концептуализируемого многообразия статических представлений системы к их динамическому ряду. В категорных моделях "первичными" становятся интервалы динамической однородности, фазовые объекты определяются процессами изменения систем, а не наоборот, как в случае множественных описаний.
-
Множественные представления функциональных систем основываются на концептуализируемом многообразии состояний-точек (идея континуума), либо состояний-элементов (идея счетности). Категорная характе-ризация динамических процессов не предполагает возможности идентификации момента времени и единичного состояния системы, а требует именнованных указаний для каждого интервала динамической однородности. Особености движения не фиксируются в данном случае как точки (особые состояния), они порождаются динамикой системы как переход от одного типа динамической однородности к другому.
3. При Т/М подходе, в зависимости от принятия (или отрицания)
гипотезы о связи состояний процесса, возникает одна из двух времен
ных интуиции: стрелы времени или временной оси. Временная ось соот
ветствует континуальной концепции системной динамики, привносится в
модель внешним образом и является динамически образующей в том
смысле, что направленность временных моментов задает процесс смены
состоянии система Стрела времени дает представление внутреннего си
стемного времени, которое порождается динамикой системы. Внутреннее
системное время не является измеримым,но допускает сравнение в тер
минах грубости топологии объективации. Всякая особенность движения
системы становится при этом относительной: она выразима в достаточ
но сильных временных топологиях и не "замечается" более грубыми.
4. Зависимость будущего системы от ее предыстории, возникающая в
.концепции временной стрелы, передается на множественном языке функ
циональными отношениями, определяемыми на многообразии состояний.
При категорном подходе возникают новые представления принципов де
терминации, когда один способ динамического поведения соотносится с
другим. Это соответствие имеет место при эволюционном движении сис
темы и оказывается семантически вырожденным в "мире нелинейных яв-.
лений". Тем самым особенности движения системы классифицируются по двум уровням: динамические особенности эволюции и бифуркационные скачки в развитии системы. В первом случае прошлое оказывает влияние на будущее, во втором - нет..
5. Категории не способны воспроизвести точечную картину фазового перехода. Стрелочный язык, порождаемый специальным видом категорий - топосами, обладает средствами для выражения "особых" состояний системы, но остается непригодным для описания механизмов бифуркационных скачков и связанных с ними вопросов обмена устойчивостью.
Роль теоретика-категорного подхода в математической теории систем сводится к двум основным моментам. Первый из них - методологический. Категории позволяют выявлять концептуальное единство формальных методов анализа и синтеза систем, используемых в локальных рамках "специальных" математических дисциплин. Другое важное значение теории категорий состоит в разработке принципиально новых способов описания сложных систем, динамика которых не является точечной и задается во внутреннем системном времени.
Теоретическая и практическая значимость исследования определяется его вкладом в развитие гносеологических и логических основ системной методологии и в совершенствование принципов организации теоретического знания. Результаты диссертационной работы могут быть использованы специалистами в области динамического моделирования при разработке языковых средств описания сложно организованных систем, имеющих различную физическую природу, а также систем искусственного интеллекта Материалы диссертации могут быть' включены в разделы спецкурсов, читаемых по методологии математического моделирования и проектирования сложных динамических систем.
Апробация результатов исследования. Основные положения диссертации отражены в 6 публикациях общим объемом б п. л. Результаты исследований по теме диссертации докладнгались на X Всесоюзной конференции по логике,методологии и философии науки*(Минск 1990г.), Республиканской конференции "Современная логика: проблемы теории, истории и применения в науке"(Ленинград 1990г.),обсуждались на сессиях отдела философских и социологических проблем системных исследований ВНИИСИ АН СССР. Идеи диссертации в приложении к проблемам оптимизации компьютерных моделей динамических систем докладывались на межреспубликанской конференции "Оптимум-VIII" (Рига 1988г.) и использовались автором в работе по плановым темам научных исследований ВНИИСИ.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из "Введения", двух глав, "Заключения" и списка литературы. Общий объем работы 157 страниц машинописного текста.