Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. Обзор основных экспериментальных и теоретических работ по синоптической циркуляции океана 12
I. Экспериментальные исследования синоптической циркуляции в океане 12
2, Физическая интерпретация синоптических вихрей 20
ГЛАВА 2 Вихреразрешающие модели океана: обзор ..... . 23
I Численные эксперименты Холланда и Линя . 23
2. Квазигеострофическая модель Холланда ........ 31
3. Вихреразрешающая модель Робинсона, Харрисона, Минтца и Семтнера .................. 35
4. Вихреразрешающая модель Д.Г.Сеидова ... . 40
ГЛАВА 3. Описание модели ................. 42
I. Системы основных уравнений 42
2. Граничные условия ........
3. Безразмерные уравнения ... 47
4» Энергетические уравнения 49
5. Численная схема интегрирования уравнений модели ... 53
б. Конечно-разностные аналоги энергетических уравнений 59
7. Программа 63
ГЛАВА 4. Результаты имитации синоптической циркуляции в модельном океане 65
I. Численные эксперименты . . . 65
2. Доступная потенциальная энергия модели . 96
ГЛАВА 5 Локальный прогноз течений синоптического масштаба
І. Исходная информация . ............ 106
2. Постановка задачи . . , . 109
3. Результаты имитации данных полимоде 111
Заключение . . 123
Библиография 125
- Экспериментальные исследования синоптической циркуляции в океане
- Численные эксперименты Холланда и Линя .
- Системы основных уравнений
- Численные эксперименты
- Результаты имитации данных полимоде
Введение к работе
Настоящая работа посвящена исследованию синоптических движений в океане методом математического моделирования.
Термины "математическое моделирование" и "математическая модель" (ММ) могут иметь различные смысловые значения в зависимости от того, специалистом какой области знания они употребляются. Наиболее распространенной ошибкой является употребление термина ММ для обозначения формализованной теории. В этом случае понятие ММ теряет свое специфическое гносеологическое содержание, отличное от содержания понятия теория.
Отождествление ММ и теории проводится по одному весьма важному свойзтву, присущему обоим понятиям - свойству в той или иной мере отражать объект исследования. На самом деле теория и ММ представляют собой качественно различные способы или формы упрощения, абстракции, схематизации / 43 /. Если содержание теории выражается в виде совокупности суждений, связанных между собой законами логики и специальными научными законами и отображающих непосредственно закономерные, необходимые и всеобщие связи и отношения, присущие действительности, то в ММ то же самое содержание представлено в виде некоторых типичных ситуаций, структур, совокупностей уравнений, правил, алгоритмов. ММ - всегда некоторое конкретное построение, в той или иной степени наглядное, доступное для обозрения и практического действия. Как правило, научная теория имеет характер некоторой высшей инстанции на данном уровне знания. Положение, при котором для объявнения одного и того же явления используется несколько теорий, так же, как и существование нескольких конкурирующих гипотез, обычно отражает несовершенство знаний об исследуемом объекте и является временным.
В то же самое время существование нескольких ММ, описывающих одно и то же явление, как правило, не вызывает никакой озабоченности, за исключением, разумеется, тех случаев, когда эти модели дают в корне противоречивые результаты. Наоборот, в ряде случаев исследователь стремится к созданию иерархии моделей, от наиболее простых к более сложным, причем прилагательные "простой" и "сложный" могут относиться здесь как к возможности реализации ММ, так и к ее формулировке или построению. Обычно более простая в построении ММ требует значительно больших усилий при реализации и наоборот, более схематичная, а, следовательно, и более абстрактная ММ, как правило, весьма уязвимая для критики, позволяет быстро получать результат*
Еще одно важное отличие ММ от теории состоит в том, что ММ в большинстве случаев является конкретизацией не одной, а нескольких теорий, как, например, теории вязкой несжимаемой жидкости и теории разностных схем.
Приведем теперь формальное определение ММ, которое, по мнению автора, не противоречит основным гносеологическим признакам этого понятия.
Под термином ММ объекта будем понимать совокупность уравнений, алгоритмов, правил соответствующего теоретическим представлениям об этом объекте, отображающую объект исследования и способную замещать его так, что ее изучение дает нам новую информацию об этом объекте. Рассматриваемая в работе модель, как нам кажется, является типичным примером математической модели в геофизической гидродинамике
Актуальность изучения синоптической циркуляции океана обусловливается тем обстоятельством, что именно синоптические движения вносят основной вклад в изменчивость гидрологических, гидрохими- ческих и гидробиологических характеристик Мирового океана. Влияние синоптических вихрей прослеживается не только в термоклине, но и в придонных слоях, где они могут индуцировать сильные течения.
Синоптическая циркуляция океана может оказывать существенное влияние и на крупномасштабные характеристики океана, его долгопериодную изменчивость. Одним из проявлений такого влияния является так называемый эффект отрицательной вязкости, за счет которого происходит существенная интенсификация пограничных течений типа Гольфстрима, которые, вне всякого сомнения, являются важными климатообразующими факторами.
Изучение синоптической циркуляции методом математического моделирования обладает рядом важных преимуществ по сравнению с натурными наблюдениями и является органическим звеном в методологии познания океана. Именно математическая модель, если она верна, позволяет достаточно быстро и сравнительно недорого получать информацию о таких процессах в океане, получение которой в натурных условиях требует долговременных и многочисленных наблюдений, а подчас и вообще невозможно. Преимущество математической модели заключается еще и в том, что она допускает неоднократное воспроизведение определенной природной ситуации, возможность варьирования параметров и весьма легкую проверку (по сравнению с натурными наблюдениями) полученных результатов.
Новизна предлагаемой работы состоит в следующем:
В. Предложена оригинальная постановка задачи о движении вязкой несжимаемой жидкости на 6> -плоскости, явно учитывающая эволюцию свободной поверхности для целей моделирования синоптической циркуляции в открытом океане.
Разработана и реализована весьма простая схема численного интегрирования "примитивных" уравнений гидротермодинамики.
Выведены подробные уравнения энергетического баланса системы в дифференциальной и конечно-разностной форме для двух типов осреднения - по времени и по широте,
Проведен ряд численных экспериментов по воспроизведению синоптической циркуляции в открытом океане. Рассчитаны члены энергетического баланса в каждом из слоев для различных типов осреднения. Оценена доступная потенциальная энергия модельного океана.
Впервые произведена корректная численная имитация полигонных измерений в океане.
На защитув выносятся следующие положения:
Формулировка модели синоптической циркуляции в открытом океане, основанная на примитивных уравнениях с параметризацией вертикального и горизонтального трения и придонного экмановского пограничного слоя.
Численная схема интегрирования примитивных уравнений гидротермодинамики океана, свободная от нелинейной неустойчивости и обладающая в определенном смысле свойствами сохранения полной энергии, импульса и массы в отсутствие источников и стоков.
Результаты численного моделирования синоптической циркуляции в идеализированном бассейне, представляющем участок открытого океана.
Анализ энергетических переходов и механизмов генерации синоптической циркуляции для нескольких численных экспериментов.
Результаты имитации синоптических течений по данным эксперимента ПОЛИМОДЕ.
Диссертация состоит из введения, заключения, пяти глав и списка литературы.
В главе I дается достаточно подробный обзор экспериментальных исследований синоптической циркуляции в океане. Описываются основные результаты экспериментов ПОЛИГОН-7D, МОДЕ, ПОЛИМОДЕ. Кратко сформулированы основные теоретические представления о природе синоптических вихрей и механизмах их генерации.
Экспериментальные исследования синоптической циркуляции в океане
Под термином "синоптическая океанская циркуляция" будем понимать нестационарные движения вод, характеризуемые горизонтальным масштабом порядка 50-100 км и временным масштабом от нескольких суток до нескольких десятков суток. Класс движений такого масштаба включает в себя волны Россби, собственно синоптические вихри, переносящие значительные массы воды в направлении своего перемещения, и пока не обнаруженные экспериментально уединенные волны или солитоны.
Синоптическая циркуляция океана, являющаяся одним из проявлений макротурбулентности, вносит существенный вклад в энергию общей циркуляции океана и в значительной степени определяет изменчивость гидрологических полей.
В этой связи показательны пространственные спектры флуктуации температуры с пиком энергии на возмущениях с длиной волны около ЮО км, построенные Саундерсом / 87 / и Виртки / 97 /. Фофонов и Вебстер / 50 / на основании данных наблюдений в Западной Атлантике показывают существование в океане движений с длиной волны около 100 км и периодом около двух недель. Томпсон / 95 /, использовавший длительные ряды наблюдений на станции " " в Западной Атлантике, приводит временной спектр с максимумом на периоде около 30 суток. Спектр температурных флуктуации с максимумом на периодах от 15 до 100 суток приводится в работе Вюнша / 96 /. На важность движений синоптического масштаба в океане указывают также и энергетические оценки Виртки / 98 /, согласно которым отношение средних плотностей кинетической энергии крупномасштабных течений и синоптических вихрей в открытом океане равно 1/20.
Изучение движений синоптического масштаба началось в 40-х годах . нашего века и связано с открытием меандрирования оси Гольфстрима и образованием так называемых фронтальных вихрей на ее периферии. Согласно данным наблюдений / I, 90 / стрежень Гольфстрима на всем своем протяжении испытывает волнообразные колебания с длиной волны 300-400 км, смещающиеся к востоку со скоростью 6-Ю см/с. По мере продвижения к востоку эти волны теряют устойчивость и растут по амплитуде, образуя так называемые меандры, которые, достигнув длины около 500 км, могут отсекаться от основной струи, образуя уединенные вихри, названные по предложению фуглистера / 54 / рингами, К югу от Гольфстрима образуются холодные циклонические вихри, к северу - теплые антициклонические. По оценкам Фуглистера / 54 / в год образуется 5-8 пар циклонов и антициклонов. Как правило, вихри Гольфстрима распространяются до дна. Циклонические вихри имеют диаметр 200-300 км и орбитальную скорость в момент отрыва до 3 м/с. Диаметр антициклонических вихрей несколько меньше -около 150-200 км, а орбитальная скорость в момент отрыва порядка I м/с / 51, 86 /. После отрыва от Гольфстрима ринги движутся на запад и юго-запад со скоростью около 5 см/с/ 67, 81 /. Переместившись на несколько сот километров к западу, большинство циклонов и все без исключения антициклоны абсорбируются Гольфстримом / 67, 81 /. По данным Паркера / 76 /, проанализировавшего более 200000 батитермографных записей, за период с 1932 по 1971 гг. в районе между побережьем Северной Америки, меридианом 40з.д. и параллелями 20 и 40 с.ш. идентифицируется 62 ринга в западной части Сар-гассова моря; в его центральной части ринги абсолютно отсутствовали. Оказалось, что ринги формируются в основном между 60 и 70
Численные эксперименты Холланда и Линя
Теория ВМ, построенная нХолландом и Линем / 62, 63 /, основана на примитивных уравнениях и предназначена для исследования циркуляции двухслойного модельного океана, порождаемой ветром. Плотность по горизонтали предполагается достоянной. Модельный океан представляет собой параллелепипед с горизонтальными размерами L D и глубиной Но В рассматриваемой области численно решаются проинтегрированные в пределах несмешивающихся слоев переменной толщины ( Ь/ и 4 ) уравнения вязкой несжимаемой жидкости
Система уравнений решалась численно на разнесенной сетке а использованием центрально-разностной схемы "прыгающей лягушки" (ар-#год ). Через каждые трое суток модельного времени во избежание расщепления решение во времени ( {.tme sp&itlna) десять шагов делалось по схеме Эйлера. Для определения давления Pj в верхнем слое решался конечно-разностный аналог уравнения Пуассона для интегральной функции тока, полученный численным дифференцированием конечно-разностных аналогов уравнений движения.
Схема имеет второй порядок точности по времени и пространству и обладает свойствами сохранения массы и полной энергии. Заметим, что вследствие ошибок округления несохранение массы все же имело место и компенсировалось каждые 6 суток. В ходе численных экспериментов вычислялись доступная потенциальная энергия (ДПЭ), кинети-ческая энергия (КЭ) в каждом из слоев, а также едены уравнений энергетического баланса.
С помощью описанной модели было проведено II численных экспериментов (в дальнейшем HL и номер эксперимента). В первом численном эксперименте ( НL1 ) были выбраны следующие параметры: / = » _ = 1000 км, f0si дин/см2, А = 3,3 10б см2/с, 0 s « 7,3 Ef5 С"1, J3 »2 Ю""13 см с"1, g = 2 см/с2. На боковых стенках ставились условия (2?б), а касательнве напряжение трения ветра на поверхности задавалось по формуле (2.4). В начальный момент жидкость покоилась, /-/0 » 5000 м, п = 1050 м. В течение первых 500 суток происходило нарастание доступной потенциальной и кинетической энергии в верхнем слое. Нижний слой оставался практически неподвижным, что связано со спецификой постановки задачи - вся работа сил давления в верхнем слое превращалась в доступную потенциальную энергию. Примерно с 500 суток вертикальный сдвиг скорости вырос настолько, что поток стал бароклинно неустойчивым. В последующие 400 суток произошло формирование синоптических вихрей, сопровождавшееся быстрым уменьшением доступной потенциальной энергии и ростом кинетической энергии в нижнем слое. После периода установления порядка нескольких лет циркуляция достигла статистических устойчивого состояния, в котором вихри с длиной волны около 440 км и периодом 64 сут были наложены на среднюю циркуляцию. Вихри смещались к западу со скоростью около б см/с. По результатам численного эксперимента были вычислены члены уравнений энергетического баланса, осредненные по времени,и построена энергетическая диаграмма (рис.2.1), где Км % К& " РеД-няя и вихревая компоненты кинетической энергии, Рм %рЕ - средняя и вихревая доступная потенциальная энергия в эрг/см2. В скоб-ках приведены переходы энергии в эрг см fcc . Направление стрелок указывает направление переходов энергии. Как видно из диаграммы, большая часть энергии (75%), поступающей в систему за счет работы касательного напряжения ветра, диссипируется горизонтальным трением (в основном в западном и северном пограничных слоях). Около 2.0% поступающей энергии переходит в среднюю доступную потенциальную энергию. Механизм бароклинной неустойчивости переводит это же количество энергии из средней в вихревую доступную потенциальную энергию, которая расходуется (в том же количестве) на генерацию вихрей. Примерно 2% поступающей энергии переходит из кинетической энергии среднего движения в кинетическую энергию вихрей за счет работы рейнольдсовых напряжений (баротропная неустойчи-вость). Отметим также, что если в верхнем слое работа сил рейнольдсовых напряжений переносила энергию от среднего движения к вихревому, то в нижнем слое ситуация была обратная - вихри генерировали среднее течение.
Системы основных уравнений
Поскольку цель настоящей работы - моделирование течений синоптического масштаба в открытом океане, необходимо либо рассчитывать циркуляцию всего океана с известными граничными условиями на берегах, что невозможно по техническим причинам, либо задавать граничные условия на "жидких" границах ограниченного участка океана, что, по-видимому, еще более трудно, по крайней мере для избранной исходной системы уравнений. Тем не менее, можно сформулировать корректные граничные условия, исключающие формирование пограничных слоев и в определенной степени соответствующие реальным условиям открытого океана.
Введем следующие предположения.
1. Длина волны синоптических возмущений не превышает некоторого наперед заданного значения (размера области интегрирования).
2. Синоптические возмущения смещаются преимущественно в зональном направлении.
3. Крупномасштабное течение, на фоне которого развиваются и с которым взаимодействуют вихри, должно быть зональным.
Как показывают данные наблюдений / 46, 24, 20 /, все три предположения вполне основательны, и поэтому условия периодичности всех гидродинамических полей по горизонтальным координатам физически обосновано и математически непротиворечиво. Будем задавать граничные условия двух типов.
а) Периодические условия по широте и отсутствие потока импульса и массы через северную и южную границы
Численные эксперименты
В первом численном эксперименте на боковых границах ставились граничные условия типа (З.П), т.е. на северной и южной стенках отсутствуют потоки массы и импульса; по широте требовалось условие периодичности всех полей. На поверхности задавался поток массы в виде где М0 Ю б г CM-V1.
Начальные условия задачи соответствовали покоящейся стратифицированной жидкости с плотностями 1,027, 1,025 и 1,022 г/см3# соответственно в I-, 2- и 3-м слоях.
Безразмерные параметры задачи, определенные в главе 3, для приведенного набора размерных величин следующие: число Россби КО » 0,78 Ю"" горизонтальное и вертикальное числа Зкмана--ке = 0,125 Ю 5, Екн е 0,15 Ю"3; числа Пекле - Fkg= 62, Fk„= 30;" = 4 I0"2; /9e = 624.
Решение задачи проводилось в два этапа. На первом этапе строилось зональное решение, не зависящее от X -координаты. Интерьв грирование в плоскости / ZL. проводилось до тех пор, пока приращение кинетической энергии не становилось близким к 0. Этот этап продолжался около 10 лет модельного времени. Установления потенциальной энергии при выбранных граничных условиях достичь не удалось.
Заметим, что в рамках настоящей модели, вообще говоря, локальной, достижение стационарного уровня потенциальной энергии, видимо, требует специальных усилий. Причина этого заключается в следующем. Известно, / 27 /, что устойчивая стратификация в океане поддерживается сравнительно медленной, но ПОЙТОЯННО действующей адвекцией холодной и плотной глубинной воды ИЗ районов, где происходит зимнее поверхностное выхолаживание и осолонение при льдообразовании В расчетах, подобных проведенным ниже, участок океана представлен в изолированном виде. Вертикальная и горизонтальная диффузия стремится привести к выравниванию плотности по горизонтали и вертикали. Благодаря тому, что в задаче учитывается меридионально неоднородный приток массы, градиенты плотности по вертикали все же будут поддерживаться при сколь угодно большом времени "жизни" модели, но они будут не так велики, как реальные. Это несоответствие отражает тот факт, что стандартная вертикальная структура океана не генерируется локально. Эти эффекты проявляются, конечно, лишь при очень длительном времени интегрирования уравнений. В принципе ситуацию можно приблизить к реальности, задав меридиональный адвективный или диффузионный приток массы через боковые стенки. Этот поток массы должен быть скомпенсирован оттоком массы через поверхность. Отметим, что с проблемой "тренда11 потенциальной энергии сталкиваются все исследователи, моделирующие океанскую циркуляцию с помощью примитивных уравнений. Робинсон и др. / 85 / пробовали устранить этот эффект, за - 67 давая вертикальный профиль температуры на северной и южной стенках модельного океана. Полностью устранить тренд температуры не удалось, однако было показано, что он гораздо меньше синоптического "сигнала", по крайней мере в термоклине.
Полученное в двумерной задаче решение характеризовалось зональным потоком, слабо зависящим от широты и направленным в верхнем слое на восток, а в нижних слоях - на.запад. Скорости в верхнем слое составляли около Юсм/с, в нижних слоях - 1-2 см/с. В меридиональном направлении наблюдалась слабая одноячейковая циркуляция в верхнем слое направленная на север, а в нижних слоях - в противоположную сторону. В северной части области установился конвективный режим между верхним и средним слоем.
Двумерное решение задачи распространялось на всю область. Оно оказалось устойчивым (по крайней мере в обозримом модельном времени) по отношению к погрешностям вычислений. После перехода к трехмерным уравнениям в пяти центральных точках области в поле плотности верхнего слоя было внесено возмущение. При коэффициенте горизонтального турбулентного обмена А =2 10 см2/с это возмущение весьма быстро диссипировало и циркуляция восстанавливала свой зональный характер. При А = 2 ТО см2/с возмущение вначале также затухало, но, начиная с 15 суток, начало расти. Это объясняется, по-видимому, следующим. Внося конечное возмущение в конечно-разностное решение, мы генерируем не одну, а сразу несколько гармоник, большая часть которых устойчива, а поэтому диссипирует - возмущение затухает. Одна из гармоник, содержащая в начальный момент лишь незначительную часть энергии, оказывается неустойчивой и начинает расти, в начале, по-видимому, экспоненциально.
Результаты имитации данных полимоде
Для сравнения заданных полей скорости с вычисленными в ходе численного эксперимента производилось вычисление векторного ко эффициента корреляции по формуле
Здесь соответственно вычисленный и измеренный вектор скорости в слое К
На рис.5.1 приведена эволюция ги# , рассчитанного, разумеется, только во внутренних точках области. Как видно, в течение нер-вых десяти суток происходит некоторое понижение коэффициента корреляции: для 2-го слоя до 0,7, для 3-го - до 0,85, для 4-го и 5-го - до 0,75. Далее коэффициенты корреляции несколько колеблются во времени, но в среднем не убывают. Хорошая корреляционная связь, т.е. сходство между измеренными и рассчитанными полями, объясняется сильным влиянием граничных условий.
На рис.5.2 дано сопоставление временного хода средней по полигону кинетической энергии для трех уровней. Рассчитанная кинетическая энергия несколько ниже, чем та, которая получена по экспериментальным данным, но,вообще говоря, общее сходство в поведении этих характеристик несомненно.
На рис.5.3-5.5 сопоставляются поля скорости на горизонте 100 м (слой 5 численной модели) в различные моменты времени. Прогности-ческие векторные поля на рисунках расположены над измеренными. Сходство между вычисленными и измеренными полями скорости очевидно. Хорошо прослеживается апрельский антициклон на юго-востоке области (см.рис.5.3) и струйное течение, образовавшееся на восточ-ной периферии этого антициклона (см.рис.5.4).
