Разработка и исследование прибора для измерения показателей качества электроэнергии с повышенной точностью Серов Андрей Николаевич

Содержание к диссертации

Введение

1 Обзор показателей качества электроэнергии. современные подходы к измерению показателей качества электроэнергии 22

1.1 Показатели качества электроэнергии 22

1.2 Параметры электрической мощности 30

1.3 Базовые измерения для вычисления пкэ 36

1.4 Характеристики тока и напряжения реальных электрических сетей 1.5 поверка средств измерений показателей качества электроэнергии 1.6 обзор современных си пкэ 46

1.7 Основные причины возникновения дополнительных погрешностей 51

1.8 Постановка задачи исследований. выводы 55

2 Применение дискретного преобразования фурье для измерения спектра и параметров мощности 57

2.1 Исследование погрешности измерения спектра при применении дпф 57

2.2 Исследование погрешности измерения параметров мощности в частотной области 75

2.3 Выводы по главе 2 87

3 Применение квадратурной демодуляции для измерения частоты, спектра и параметров мощности 89

3.1 Метод квадратурной демодуляции 89

3.2 Погрешность измерения амплитуды основной компоненты из-за неидеальности фильтра нижних частот 92

3.3 Погрешность измерения разности фаз основной компоненты из-за неидеальности фильтра нижних частот 97

3.4 Погрешность измерения основной частоты 98

3.5 Измерение параметров мощности основной частоты и оценка их погрешности 101

3.6 Ограничения реализации метода квадратурной демодуляции при измерении спектра 105

3.7 Проектирование низкочастотного фильтра для квадратурного демодулятора 109

3.8 Выводы по главе 3 118

4 Адаптивные методы измерения спектра и параметров мощности с помощью ДПФ 120

4.1 Влияние основной частоты на погрешность измерения спектра и параметров мощности 120

4.2 Цифровые методы измерения частоты 123

4.2.1 Классификация методов измерения частоты 123

4.2.2 Метод, основанный на определении производной сигнала 125

4.2.3 Метод, основанный на применении адаптивной фильтрации 126

4.2.4 Метод по переходу сигнала через нуль 127

4.2.5 Метод анализа приращений фазы 141

4.2.6 Метод интегрирования 144

4.2.7 Метод измерения в частотной области 146

4.2.8 Комбинированные методы представления сигнала 148

4.2.9 Сравнение методов измерения частоты 151

4.3 Методы преобразования частоты дискретизации 156

4.3.1 Основные положения 156

4.3.2 Преобразователь частоты дискретизации с рациональным коэффициентом 158

4.3.3 Преобразователь частоты дискретизации с произвольным коэффициентом 161

4.3.4 Математическое описание передискретизации 162

4.3.5 Применение сплайнов для интерполяции сигналов 166

4.3.6 Структура Фарроу 167

4.3.7 Структура Фарроу для интерполяции Лагранжа 168

4.3.8 Управление преобразователем частоты дискретизации 172

4.3.9 Анализ погрешности преобразователя частоты дискретизации 175

4.4 Выводы по главе 4 186

5 Погрешность измерения спектра и параметров мощности из-за неидеальности АЦП 188

5.1 Конечная разрядность как источник погрешности ацп 188

5.2 Сравнительный анализ методов оценки погрешности измерения спектра из-за конечной разрядности ацп 192

5.3 Оценка погрешности измерения параметров мощности от конечной разрядности ацп 210

5.4 Способы описания нелинейности функции преобразования ацп 211

5.5 Сравнительный анализ методов аналитического описания нелинейности фп ацп 214

5.6 Методы оценки погрешности спектра из-за нелинейности фп ацп 219

5.7 Расчет погрешности измерения параметров мощности, вызванной нелинейностью фп ацп 238

5.8 Выводы по главе 5 239

Заключение 241

• Параметры электрической мощности
• Исследование погрешности измерения параметров мощности в частотной области
• Погрешность измерения разности фаз основной компоненты из-за неидеальности фильтра нижних частот
• Сравнение методов измерения частоты

Введение к работе

Актуальность работы. Согласно определению ГОСТ Р 51317.4.30–2008 под качеством электрической энергии (КЭ) понимается степень соответствия параметров электрической энергии их установленным значениям. Из литературных источников известно, что в современных энергосистемах растет доля импульсных и нелинейных нагрузок, приводящих к отклонению формы токов и напряжений от синусоидальной и, как следствие, ухудшению КЭ. Показатель качества электрической энергии (ПКЭ) – величина, характеризующая КЭ по одному или нескольким её параметрам.

Качество электрической энергии оказывает существенное влияние на режимы работы электрического оборудования. Несимметрия токов и напряжений трехфазных сетей приводит к повышению мощности потерь и дополнительному износу оборудования. Наличие гармоник тока приводит к дополнительному нагреву электрических двигателей, а также к нагреву и увеличению диэлектрических потерь в конденсаторах и кабелях. Таким образом, измерение ПКЭ представляет собой актуальную задачу.

По известным значениям спектра напряжения (тока) и частоты может быть получено большинство ПКЭ, регламентируемых ГОСТ Р 51317.4.30–2008 и ГОСТ Р 8.655–2009. Наиболее важными ПКЭ являются: частота, показатели несимметрии, коэффициенты гармоник и искажения синусоидальности, средне-квадратическое значение (СКЗ) напряжения, СКЗ основной компоненты напряжения (тока), значения активной, реактивной и полной мощности.

Выпускаемые отечественными и зарубежными производителями средства измерений ПКЭ (СИ ПКЭ) позволяют измерить большинство параметров ПКЭ с погрешностью, удовлетворяющей требованиям ГОСТ Р 8.655–2009. Для выполнения поверки СИ ПКЭ могут быть применены как эталонные средства воспроизведения ПКЭ, так и эталонные СИ ПКЭ. Разработкой калибратора СИ ПКЭ посвящена работа О.А. Коровиной, выполненная на кафедре ИИТ. Согласно ГОСТ Р 8.656–2009 эталонное СИ ПКЭ должно превосходить по точностным характеристикам поверяемое СИ ПКЭ с классом характеристик процесса измерений A (наилучший класс по ГОСТ Р 51317.4.30–2008) по крайней мере в три раза. Существующие в настоящее время приборы для измерения ПКЭ по своим метрологическим характеристикам не полностью удовлетворяют данным требованиям. Поэтому разработка приборов для измерения ПКЭ с повышенной точностью является актуальной задачей.

В большом числе публикаций рассмотрен вопрос определения спектра напряжения или тока (далее сигнала) путем применения аппарата дискретного преобразования Фурье (ДПФ). Известно, что точность измерения спектра существенно ограничивает так называемый эффект «растекания спектра». Для снижения проявления этого эффекта применяется подстройка частоты дискретизации под частоту электросети. При измерении частоты и последующей подстройки с погрешностью, соответствующей требованиям ГОСТ Р 51317.4.7–2008, относительная погрешность измерения отдельных спектральных составляющих превышает предельно допустимые значения для разрабатываемого прибора. Воз-

никает задача определения необходимой точности измерения частоты для обеспечения требуемой погрешности измерения спектра и параметров мощности. Для подстройки в цифровой обработке сигналов используется операция передискретизации, которая реализуется в данном случае с помощью преобразователя частоты дискретизации (ПЧД) с варьируемым коэффициентом. В литературе рассмотрены принципы построения ПЧД. Однако вопросы выбора структуры и реализации ПЧД, а также оценки его влияния на погрешности измерения спектра и параметров мощности практически не изучены.

Помимо метода измерения спектра, основанного на ДПФ, существует альтернативный подход, использующий квадратурную демодуляцию (КД). В литературе имеются публикации, описывающие принцип измерения спектра и частоты с помощью данного метода. Однако влияние характеристик выходного фильтра квадратурного демодулятора на погрешности измерения спектра, частоты и параметров мощности не изучены.

В реальных электрических сетях и ток, и напряжение не являются синусоидальными. По этой причине при измерении частоты необходимо учитывать воздействие влияющих величин: частота может отклоняться от номинального значения (диапазон измерений частоты согласно действующим стандартам составляет 42,5 – 57,5 Гц); сигнал может содержать гармоники, шум и фликер. В настоящее время разработано большое число методов измерения частоты, однако в литературных источниках отсутствует сравнительный анализ этих методов при воздействии влияющих величин. В результате возникает задача поиска метода, обеспечивающего с учетом влияющих величин необходимую точность измерения частоты и простоту реализации.

В ряде работ рассматривается вопрос оценки погрешности измерения спектра, вызванной неидеальностью АЦП (конечная разрядность и нелинейность функции преобразования). Для шума квантования известно аналитическое выражение, позволяющее при синусоидальном входном сигнале определить погрешность его спектра. Однако указанное выражение приводит к существенному занижению оценки погрешности измерения спектра, поскольку не учитывает конечную частоту дискретизации. Погрешность измерения спектра, вызванная нелинейностью функции преобразования (ФП) АЦП, сильно зависит от формы данной нелинейности. Непосредственная оценка формы для конкретного АЦП представляет значительные сложности ввиду трудоемкости её реализации на практике (особенно для серийно выпускаемых приборов). Поэтому возникает задача оценки погрешностей измерения спектра и параметров мощности, обусловленных нелинейностью ФП АЦП, при использовании параметров АЦП, указанных в его техническом описании (интегральная и дифференциальная нелинейности, динамические характеристики).

Вопросами измерения ПКЭ и смежными вопросами занималось большое число российских и зарубежных ученых. Среди них вопросам снижения основных и дополнительных погрешностей посвящены работы Аббакумова А.А., Гна-тенко М.А., Грицутенко С.С., Елинова Д.А., Коровиной О.А., Кудашова А.В., Самарова Е.К., Мелентьева В.С., Михалина С.Н., Антонези Г., Гхерасим К., Куслевича М., Леон-Мартинеса В., Петровича П., Ферреро А. Несмотря на то,

что по рассматриваемой тематике опубликовано множество работ, отдельные задачи остаются неисследованными, что препятствует появлению прибора для измерений ПКЭ, соответствующего в полном объёме требованиям, предъявляемым к нему как к средству для особо ответственных измерений и поверки.

Цель работы – создание прибора для измерения показателей качества электроэнергии с повышенной точностью для особо ответственных измерений и поверки.

Для достижения поставленной цели были решены следующие задачи:

1. Анализ и модернизация перспективных методов измерения спектра и параметров мощности, позволяющих снизить дополнительную погрешность прибора, вызванную девиацией частоты электросети (основной частоты).

2. Определение влияния погрешности измерения основной частоты на точность адаптивного метода измерения спектра и параметров мощности, основанного на последовательном выполнении передискретизации и ДПФ.

3. Исследование погрешности прибора и способов ее снижения при измерении спектра, частоты и параметров мощности методом КД.

4. Сравнительный анализ методов измерения основной частоты напряжения в случае наличия гармоник, шумов и фликера с целью выявления метода, обеспечивающего необходимую точность измерения частоты и простоту реализации.

5. Сравнительный анализ преобразователей частоты дискретизации с целью разработки преобразователя, позволяющего обеспечить повышенную точность прибора при измерении спектра и параметров мощности.

6. Анализ погрешностей измерения спектра и параметров мощности из-за неидеальности АЦП: конечное число разрядов и нелинейность ФП. Разработка методик оценки этих погрешностей.

Методы исследования. Методы исследования базируются на использовании теории измерений, теории электрических цепей, теории цифровой обработки сигналов, математического анализа и линейной алгебры, теории имитационного моделирования (ИМ). Все аналитические зависимости подтверждены с помощью ИМ средствами Matlab 8.4, Simulink 8 и Mathcad 14.

Научная новизна. Научная новизна работы заключается в следующем:

7. Получены аналитические выражения, позволяющие определить предельную погрешность измерения частоты электросети для реализации адаптивного метода измерения с повышенной точностью спектра и параметров мощности, основанного на ДПФ и передискретизации.

8. Разработан адаптивный ПЧД на основе интерполятора Лагранжа, реализованного на структуре Фарроу, обеспечивающий измерение спектра и параметров мощности методом ДПФ с повышенной точностью.

9. Для метода КД получены аналитические соотношения, связывающие характеристики выходных фильтров демодулятора и погрешности измерения спектра, частоты и параметров мощности. Разработана модификация этого метода, которая отличается дополнительной фильтрацией (адаптивным усреднением) результатов измерения амплитудного спектра, частоты, активной и полной мощности.

4. Для метода измерения частоты по переходам напряжения через нуль получены аналитические выражения максимальных погрешностей измерения частоты, обусловленных неидеальностью АЦП и линеаризацией сигнала при переходе напряжения через нуль.

5. Получены аналитические выражения, позволяющие оценить погрешности прибора при измерении спектра и параметров мощности, обусловленные неидеальностью АЦП: конечное число разрядов и нелинейность ФП.

Практическая значимость работы. Основные результаты работы, имеющие практическую ценность, заключаются в следующем:

1. Получены аналитические выражения, позволяющие определить предельную погрешность измерения основной частоты для достижения требуемой точности измерения спектра и параметров мощности в случае применения адаптивного метода, основанного на передискретизации и ДПФ.

2. Для метода измерения частоты по переходам сигнала через нуль получена аналитическая зависимость, позволяющая на этапе проектирования выполнить расчет максимальной погрешности измерения частоты, вызванной неидеальностью АЦП и линеаризацией напряжения при переходе через нуль.

3. Разработан адаптивный преобразователь частоты дискретизации (ПЧД) на основе интерполятора Лагранжа третьего порядка, реализованного на структуре Фарроу, применение которого обеспечивает измерение спектра и параметров мощности методом ДПФ с повышенной точностью. Разработана MATLAB-программа для ИМ алгоритма ПЧД на основе интерполятора Лагранжа произвольного порядка.

4. Для метода КД получены аналитические соотношения, позволяющие на этапе проектирования рассчитать характеристики выходных фильтров по заданным предельно допускаемым погрешностям измерения спектра и параметров мощности. Предложена модификация метода КД, включающая дополнительную фильтрацию (адаптивное усреднение) результатов измерения амплитудного спектра, частоты, активной и полной мощности.

5. Разработана методика расчета составляющих погрешности измерения спектра и параметров мощности, вызванных неидеальностью АЦП.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы были доложены на: международной научно-технической конференции (МНТК) «Метрология и метрологическое обеспечение» (г. Созополь, Болгария, 2008, 2011, 2013, 2014, 2015, 2016 гг.); МНТК «Информационные средства и технологии» (г. Москва, 2008, 2009, 2010, 2011, 2013 гг.); международной научно-практической конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Современная техника и технологии» (г. Томск, 2014); III Всероссийской научно-практической конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Электронные приборы, системы и технологии» (г. Томск, 2013 г.); МНТК студентов и аспирантов «Радиотехника, электротехника и энергетика» (г. Москва, 2007, 2008, 2009, 2011, 2013, 2016 гг.); международной научно-технической конференции «Измерение, контроль, информатизация» (г. Барнаул, 2012, 2013, 2015, 2016 гг.); международном академическом форуме AMO-SPITSE-NESEFF (г. Москва-Смоленск 2016 г.).

Достоверность полученных результатов подтверждена совпадением в контрольных точках результатов аналитического и ИМ с применением программных пакетов Matlab 8.4, Simulink 8 и Mathcad 14.

Положения, выносимые на защиту

6. Аналитические выражения, позволяющие определить предельную погрешность измерения основной частоты для реализации адаптивного метода измерения спектра и параметров мощности, основанного на ДПФ и передискретизации.

7. Адаптивный преобразователь частоты дискретизации на основе интерполятора Лагранжа третьего порядка, реализованного на структуре Фарроу, обеспечивающий измерение спектра и параметров мощности методом ДПФ с повышенной точностью.

8. Аналитические выражения, связывающие характеристики выходных фильтров квадратурного демодулятора и погрешностей измерения спектра, частоты и параметров мощности. Модификация метода КД, включающая дополнительную фильтрацию (адаптивное усреднение) результатов измерения амплитудного спектра, частоты, активной и полной мощности.

9. Методика расчета погрешности измерения частоты по переходам сигнала через нуль, обусловленной линеаризацией сигнала при переходе через нуль и неидеальностью АЦП.

10. Методика расчета составляющих погрешности измерения спектра и параметров мощности, обусловленных неидеальностью АЦП.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 41 работа, в том числе 5 статей в изданиях, рекомендованных ВАК. Все результаты, выносимые на защиту, получены лично автором диссертации. Научному руководителю – А.А. Шатохину – принадлежат идеи и постановка задач.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав, заключения, восемнадцати приложений, библиографического списка, включающего 278 источников. Основная часть работы изложена на 244 страницах, содержит 68 рисунков и 22 таблицы.

Параметры электрической мощности

Известно, что колебания напряжения более 10 % могут привести к погасанию газоразрядных ламп. При глубоких колебаниях напряжения (более 15 %) возможно отпадание контактов магнитных пускателей, вызывающее нарушение технологии производства. Колебания напряжения с размахом 10...15 % могут привести к выходу из строя конденсаторов, а также вентильных выпрямительных агрегатов. Заметное влияние оказывают колебания напряжения на асинхронные двигатели небольшой мощности. Колебания напряжения оказывают существенное влияние на контактную сварку. Это воздействие сказывается как на качестве самого сварочного процесса, так и ненадежности работы управления сваркой. Колебания напряжения отрицательно влияют на работу радиоприборов, нарушая их нормальную работу и снижая срок службы [6, 10].

Наличие гармоник и отклонение частоты сетевого напряжения влияет на точность работы средств компенсации реактивной мощности [6, 10].

При наличии гармоник тока проявляется поверхностный эффект (вытеснение тока к поверхности проводника), что приводит к дополнительным потерям тепла, нагреву изоляции электрооборудования и снижению срока его службы. Несинусоидальные токи приводят к большему дополнительному нагреву вращающихся машин, а также к большему дополнительному нагреву и увеличению диэлектрических потерь в конденсаторах, кабелях. В сети возможно возникновение резонансных режимов на высших гармониках, при этом резко возрастают токи и напряжения на отдельных участках сети, что также является существенной проблемой [6, 10].

Экономия электрической энергии на предприятиях может быть получена за счёт уменьшения её потребления электроприёмниками и снижения потерь электроэнергии в различных элементах электрической системы. При передаче электроэнергии от источников питания до приёмников теряется в среднем от 8% до 12% электроэнергии. Экономия даже нескольких процентов электроэнергии на предприятии значительно снижает затраты на оплату электроэнергии, что ведёт к снижению себестоимости выпускаемой продукции. Снижение рассеивания электроэнергии при передаче связано со значением реактивной мощности. С увеличением значения реактивной мощности потери электроэнергии увеличиваются. Чем меньше значение рассеиваемой реактивной мощности, тем больше электроэнергии передается в виде полезной мощности потребителю [5, 7, 10]. Несимметрия токов в сети вызывает несимметрию напряжений на зажимах трёхфазных электроприёмников, которая во многих случаях превышает в 2 – 2,5 раза допустимое [6] значение. При величине коэффициентов несимметрии токов обратной и нулевой последовательности в сети, равной 25 – 30 %, потери мощности и электрической энергии в линиях 0,38 кВ и трансформаторах потребительских тепловые потери возрастают на 30 – 50 % по сравнению с симметричным режимом работы. Кроме того, несимметрия токов и напряжений в сетях приводит к увеличению в узлах нагрузки отклонения напряжения от допустимого значения, сокращению срока службы электродвигателей агропромышленного комплекса и другим негативным явлениям в сетях и приёмниках электроэнергии [6, 10].

Мигание ламп освещения вызывает неприятный психологический эффект, утомление зрения и организма в целом. Степень раздражения органов зрения зависит от амплитуды и частоты мигания, и характеризуется с помощью кратковременной и долговременной доз фликера. Наиболее сильное воздействие на глаз человека оказывают мигания света с частотой 8,8 Гц. Степень воздействия зависит от типа источника света (например, при одинаковых колебаниях напряжения лампы накаливания оказывают значительно большее воздействие, чем газоразрядные лампы) [6, 7, 10].

Исходя из изложенных выше положений, видно, что ухудшение качества электроэнергии может оказывать существенное влияние на здоровье и производительность труда людей, на работу электрооборудования и экономические показатели. Поэтому в настоящее время качеству электроэнергии и измерениям ПКЭ уделяется пристальное внимание [10, 14, 15, 17 – 19, 160 – 184].

Рассмотренные на рисунке 1.1 ПКЭ, являются взаимозависимыми. Часть параметров может быть получена косвенным образом через прямое измерение ряда других параметров. Дискретные отсчеты напряжения и тока, частота сети, амплитудный и фазовый спектр напряжения и тока являются базовыми величинами, позволяющими косвенно определить все параметры ПКЭ. На основании амплитудного и фазового спектров напряжения и тока могут быть рассчитаны: параметры СКЗ сигнала, параметры перенапряжений, параметры провалов, коэффициенты несимметрии, коэффициенты гармоник, углы фазового сдвига между гармониками напряжения и тока, параметры мощности. Здесь и далее под сигналом будем понимать обобщение напряжения и тока. Параметры энергии могут быть получены через соответствующие параметры мощности путем выполнения интегрирования последних за заданный временной промежуток. Отклонение частоты сети оказывает существенное влияние на погрешности измерения амплитудного и фазового спектров сигнала, а значит и на все ПКЭ, косвенно определяемые через данные величины. При этом частота рассматривается как влияющая величина, а погрешности измерения ПКЭ, вызванные её отклонением от номинального значения, – как дополнительные погрешности СИ ПКЭ.

На рисунке 1.2 представлена схема, показывающая взаимосвязь рассматриваемых ПКЭ. Из рисунка видно, что наиболее востребованы измерения частоты сигнала и спектра, поскольку дают возможность определения большинства остальных параметров ПКЭ, регламентируемых ГОСТ Р 51317.4.30. Таким образом, задачи снижения погрешности наиболее актуальны для частоты и параметров спектра.

Среди рассмотренных ПКЭ можно выделить наиболее важные: частота сетевого напряжения, амплитудные и фазовые значения гармоник тока и напряжения, активная, реактивная и полная мощности.

При выполнении договорных обязательств, предусматривающих разрешение спорных вопросов путем измерений, при проверке соответствия стандартам, устанавливающим нормы КЭ, требуется проводить измерения с помощью точных СИ ПКЭ. Следовательно, повышение точности СИ ПКЭ является актуальной задачей, что, в частности, отражено в нормативном документе по поверке СИ ПКЭ [9].

Измерения параметров фликера являются важными, но в данном случае отсутствуют исследовательские задачи, т.к. в нормативном документе [8] описана модель аналогового фликерметра, которая может быть легко реализована в циф 27 ровом виде. В этом случае основная задача – реализовать частотные характеристики ЦФ в соответствии с требованиями нормативных документов (предельная относительная погрешность составляет 5 %). Данная погрешность главным образом определяется мультипликативной составляющей, которую несложно обеспечить равной 1 %.

Исследование погрешности измерения параметров мощности в частотной области

В настоящей главе проведено исследование метода измерения спектра и параметров мощности, основанного на применении аппарата ДПФ. Частота реальных электрических сетей может отклоняться от номинального значения, что приводит к возникновению дополнительных погрешностей измерения и спектра, и параметров мощности. Для обеспечения допустимой погрешности их измерения выполняется дополнительное измерение частоты с последующей подстройкой частоты дискретизации таким образом, чтобы на целое число периодов входного сигнала укладывалось число отсчетов, равное степени двойки или четверки. Рассмотрено влияние параметров входных сигналов, частоты дискретизации, времени измерения и погрешности измерения частоты на погрешность измерения спектра и параметров мощности. Получены аналитические выражения, позволяющие оценить погрешность измерения спектра и параметров мощности, обусловленную неточной подстройкой частоты дискретизации под частоту сети. Выполнена проверка достоверности полученных аналитических выражений путем сопоставления их значений с результатами имитационного математического моделирования.

Значения дискретного спектра сигнала (в качестве сигнала рассмотрим напряжение, для тока все соотношения могут быть получены аналогичным образом) могут быть получены с помощью прямого ДПФ [26, 63, 72, 73, 86 - 90]: U[k] = u[n]e N , (2.1) и=0 где u[n] - п -ый дискретный отсчет напряжения; N - число отсчетов. Для случая входного синусоидального сигнала: u[n] = Umsm(wn + (pu), (2.2) где Um - амплитуда; а = 2rf / fs - угловая частота, нормированная к частоте дискретизации fs;f - текущая частота; ри - начальная фаза напряжения. Пусть на т периодах основной компоненты с частотой / укладывается ровно N отсчетов напряжения. Тогда fs= 1 , (2.3) т сд = 2л— = 2л—. 24 fs f1N Используя формулу Эйлера, представим синусоидальный сигнал (2.2) в комплексной форме: и[п] = ± 1. (2.5) С учетом (2.5) выражение (2.1) принимает вид: ТТ SP ( j(am-27&n/N+qfu) _ -j{am+27kn/ N+g ) u[k] = J 0 (2.6) 2j где к - номер спектральной составляющей, относящийся к разрешению по частоте; при к = 1 частота спектральной составляющей равна f1 /m. Используя формулу для суммы первых N членов геометрической прогрессии, преобразуем (2.6) к виду: Щк] = J m \ / \ / (2.7) 1 _ j( D-2Tk/N) 1 _ -j(cu+2nk/N) Рассмотрим случай, когда равенство (2.3) абсолютно выполняется и f = f1. При этом выражение (2.7) может быть приведено к следующему виду: \0,5U NeA Pu+0.57l, приm = k; U[k] = \ m (2.8) [ 0, при тпфк. Модуль выражения (2.7) определяет амплитудный спектр сигнала, фаза - фазовый спектр сигнала. Поскольку выражения получены для случая входного сину 59 соидального сигнала, то, как видно из выражений (2.7) и (2.8), погрешность определения амплитудного и фазового спектров будет равна нулю только при условии / = /J.

Согласно нормативным документам [1, 2], время измерения спектра напряжения составляет десять периодов основной компоненты (т = 10). При номинальном значении /, равном 50 Гц, это время составляет 0,2 с, а разрешение ДПФ по частоте 5 Гц. Эффективное вычисление ДПФ реализуется с помощью алгоритмов БПФ (быстрого преобразования Фурье). В случае применения БПФ наибольшее ускорение вычисления ДПФ достигается, когда N равно степени двойки или четверки. Это условие накладывает ограничение на выбор частоты дискретизации. Кроме того, согласно теореме Котельникова-Найквиста частота дискретизации должна по крайней мере в два раза превосходить максимальную частоту верхней границы спектра входного сигнала. С учетом реальных частотных характеристик фильтров, ограничивающих полосу входного сигнала, это соотношение должно быть ещё больше (см. структурную схему прибора на рисунке 1.5). Согласно [3] диапазон измерения частоты fx составляет 42,5 - 57,5

Гц. Тогда частота пятидесятой гармоники [4, 11] может достигать 2875 Гц, что приводит, как следует из изложенного и (2.3), к необходимости выбора частоты дискретизации не менее 10240 Гц; при этом N равно 2048.

Любой канал преобразования данных из аналоговой в цифровую форму содержит аналоговый фильтр для устранения эффекта «наложения спектра». Помимо устранения эффекта «наложения спектра» аналоговый фильтр может выполнять выделение из входного сигнала требуемых спектральных компонент. Однако такой подход диктует жесткие требования к характеристикам аналогового фильтра, что приводит к повышению его порядка и сложности реализации. По этой причине последовательно с аналоговым фильтром часто используется цифровой фильтр, который и обеспечивает выделение требуемых спектральных компонент. Рассмотрим соотношение характеристик аналогового и цифрового фильтра и их влияние на общие частотные свойства измерительного канала, а также определим требования к выбору частоты дискретизации. На рисунке 2.1 представлены схематические изображения АЧХ аналогового и цифрового фильтров, поясняющие соотношения их параметров и выбор значения частоты дискретизации. На рисунке приняты следующие обозначения: f - верхняя граница полосы пропускания аналогового фильтра; f - нижняя граница полосы заграждения аналогового фильтра; a,s fd - верхняя граница полосы пропускания цифрового фильтра; fd s - нижняя граница полосы заграждения цифрового фильтра; f - частота дискретизации применяемого АЦП. Для комбинированного фильтра, состоящего из каскадно соединенных аналогового и цифрового фильтров (см. рисунок 1.5) характерны следующие свойства: - верхняя граница полосы пропускания равна fd ; - максимальная неравномерность в полосе пропускания соответствует максимальной неравномерности аналогового и цифрового фильтров в заданной полосе; в случае равномерной АЧХ аналогового и цифрового фильтров её максимальное значение достигается на верхней границе полосы пропускания; - граница полосы заграждения равна fd s; - минимальное затухание в полосе заграждения соответствует минимальному затуханию цифрового фильтра.

Как видно из рисунка 2.1, значение f должно быть выбрано не менее зна чения верхней границы спектра входного сигнала. Границы полосы заграждения аналогового и цифрового фильтров связаны соотношением: Л.=/.-Д.. (2.9) Выполнение данного соотношения позволяет уменьшить эффект наложения спектров из-за периодичности АЧХ цифрового фильтра для диапазона частот, превышающих частоту Найквиста.

Погрешность измерения разности фаз основной компоненты из-за неидеальности фильтра нижних частот

Выражение (2.48) для спектральной компоненты определяет абсолютное значение погрешности ее измерения, т.к. для случая синусоидального сигнала все компоненты, кроме основной, равны нулю. Для малых отклонений частоты максимальное значение погрешности измерения активной мощности спектральной компоненты принимает вид: IN1 sm( (m-k)/N)sm(x(m-k)/N); UJm{mnSf)2( cosfe- ) cosfe - Pj) + sm(x(m-k)/N)2 sm(x(m + k)IN)2 2 (2 . ) P[k]

Из выражения (2.49) видно, что погрешность измерения активной мощности спектральной компоненты в первом приближении квадратично зависит от относительного отклонения частоты входного сигнала. Выражение содержит три слагаемых, одно из которых не зависит от фазового сдвига между напряжением и током. По этой причине относительное значение погрешности измерения активной мощности спектральных компонент (относительно активной мощности основной компоненты) растет с ростом фазового сдвига между током и напряжением.

На рисунке 2.11 представлены значения относительной погрешности измерения активной мощности гармоник (слева), возникающих в результате эффекта

Относительные погрешности измерения активной мощности гармоник (относительно активной мощности основной компоненты), возникающих в результате эффекта «растекания спектра» синусоидального сигнала (слева), и относительное отклонение зависимости (2.49) от математического моделирования (справа)

Графики построены по результатам ДПФ синусоидального сигнала (имитационное моделирование) и путем построения аналитической зависимости (2.49) (тексты программы - см. Приложение 1). Справа на данном рисунке показано относительное отклонение результатов, полученных путем применения выражения (2.49), от результатов имитационного моделирования. Относительная погрешность измерения частоты принята равной 0,01 % (Sf =0,01 %), фазовый

сдвиг напряжения относительно тока задан равным 0,25л- радиан ( ри - р1= 0,25л- рад). Согласно источникам [26 - 30], значение фазового сдвига между напряжением и током реальных электрических сетей не превышает данного значения. При данном значении фазового сдвига значение активной мощ 79 ности минимально и, следовательно, значение относительной погрешности максимально. Остальные параметры моделирования соответствуют выбранным при построении рисунка 2.2. График справа построен для демонстрации относительного отклонения зависимостей, изображенных на графике слева. Полученные результаты показывают, что отклонение аналитической зависимости (2.49) от данных имитационного моделирования не превышает 0,05 %.

Погрешность измерения активной мощности основной компоненты может быть получена из выражения (2.44) при условии к = т. При этом:

Тогда, в случае отсутствия синхронизации начальной фазы напряжения и тока, максимальное значение погрешности измерения активной мощности основной компоненты приобретает следующий вид: {гтгд)2 \Sf (2.52) 8Р[к\ к=т 3 cosfe,- ) Для снижения погрешности активной мощности основной гармоники можно выполнить подстройку начальной фазы одного из сигналов (напряжения): (рия-(рІ-7і-0,5±7і-1,1- целое, (2.53) при этом выражение (2.51) принимает вид: {rnnd f (2.54) = дР[к\ Результаты имитационного моделирования показывают, что выполнение подстройки частоты входного сигнала (соотношение (2.53)) позволяет снизить погрешность измерения активной мощности основной компоненты в 31 раз.

Из зависимости (2.52) видно, что значение погрешности измерения активной мощности основной компоненты в первом приближении пропорционально относительной погрешности измерения частоты входного сигнала. С увеличением фазового сдвига между напряжением и током значение погрешности имеет тенденцию к увеличению. Как видно из выражения (2.51), начальные фазы напряжения и тока также влияют на значение погрешности.

На рисунке 2.12 показаны зависимости относительной погрешности измерения активной мощности основной компоненты от относительной погрешности измерения частоты. Зависимости получены путем имитационного моделирования (непосредственное применение ДПФ к синусоидальному сигналу) и построения аналитической зависимости (2.51). Параметры моделирования соответствуют выбранным при построении рисунка 2.5 (тексты программы - см. Приложение 1). Результаты моделирования показывают, что отклонение аналитической зависимости от полученной в результате имитационного моделирования не превышает 0,03 %.

На рисунке 2.13 показаны зависимости относительной погрешности измерения активной мощности основной компоненты от начальной фазы напряжения (при постоянном фазовом сдвиге между напряжением и током, равным л-/4), полученные путем имитационного моделирования и построения аналитических зависимостей (2.51) и (2.52).

Относительная погрешность измерения частоты принята равной 0,01 %, остальные параметры моделирования соответствуют принятым при построении рисунка 2.2. Из рисунка 2.13 видно, что аналитическая зависимость (2.52) определяет максимальное значение относительной погрешности: результаты имитационного моделирования и аналитической зависимости (2.51) не превосходят (по модулю) значений зависимости (2.52).

Сравнение методов измерения частоты

Нужно также отметить компоненту с удвоенной частотой на выходе умножителя, что существенно при измерении высших гармоник, т.к. повышаются требования к частоте дискретизации на входе ФНЧ.

Другая проблема измерения спектра методом квадратурной демодуляции -неполная совместимость метода с требованиями ГОСТ Р 51317.4.7 - 2008 к алгоритму измерения гармоник и интергармоник, реализуемому в СИ ПКЭ. В этом стандарте установлен ряд требований к СИ ПКЭ, основанных на использовании ДПФ, в части измерения гармоник и интергармоник. Причем в стандарте подчеркивается, что эти требования должны соблюдаться производителем СИ ПКЭ с максимальной точностью. Это объясняется необходимостью применять СИ ПКЭ, обеспечивающие воспроизводимые результаты, независимо от характеристик входных сигналов [2 - 4, 8 - 9, 11 - 13].

Длительность интервала измерения спектра методом ДПФ должна быть равна 10 периодам основной частоты для систем энергоснабжения 50 Гц [1]. Поэтому номинальное разрешение ДПФ по частоте равно 5 Гц (это значение прямо пропорционально основной частоте).

Согласно [1 - 4] ряд ПКЭ, характеризующих несинусоидальность напряжения или тока, определяются как через СКЗ гармоники, так и через СКЗ интергармоник. В частности, квадрат СКЗ гармонической подгруппы определяется как сумма квадратов СКЗ гармоники и двух спектральных составляющих на смежных частотах, отстоящих от частоты гармоники на ±5 Гц. Такое определение объясняется повышением точности оценки напряжения гармоник, т.к. колебания напряжения в системах электроснабжения приводят к передаче части энергии от гармоники к спектральным составляющим на смежных частотах [2]. Для обеспечения такого же разрешения по частоте методом квадратурной демодуляции потребуется 500 квадратурных демодуляторов, что приводит к большим затратам ресурсов и времени на обработку, а также к проблеме реализации ещё более узкополосных ФНЧ. Таким образом, метод ДПФ более эффективен, чем метод квадратурной демодуляции и полностью соответствует требованиям [2].

Ранее были сформулированы требования к частоте среза идеального ФНЧ для квадратурного демодулятора (см. (3.5)). Рассмотрим задачу об определении требований к АЧХ реального цифрового ФНЧ, далее ФНЧ. Отметим, что полоса пропускания ФНЧ равна полосе пропускания идеального ФНЧ, которая определяется соотношением (3.5). Расширение полосы пропускания приводит к уменьшению времени установления переходного процесса фильтра (а значит к снижению динамической погрешности), однако, как следствие этого, снижение переходной полосы приводит к необходимости применения фильтра большего порядка. Это определяет сложность конечной реализации фильтра.

Влияние неравномерности АЧХ в полосе пропускания на погрешность измерения амплитуды и параметров мощности можно скомпенсировать (см. зависимости (3.7) и (3.52)). Поэтому неравномерность АЧХ в полосе пропускания не так важна, как подавление в полосе заграждения. Наибольшая помеха на выходе умножителя имеет в худшем случае частоту fdl = A,mtn + /о, ее амплитуда равна амплитуде полезного сигнала. Другая значимая компонента помехи появляется на выходе умножителя при наличии второй гармоники во входном сигнале. В худшем случае эта компонента будет иметь частоту fd2 = 2flmin — f0. При /0 = 50 Гц и f1 min = 42,5 Гц частота fd 1 составит 92,5 Гц, fd 2 составит 35 Гц. Подавление ФНЧ, в первую очередь, следует выбирать на частоте fd 1 или меньшей. Кроме того, на частоте fd 2 надо обеспечить подавление, примерно 20 дБ. Дополнительное и существенное подавление помех осуществляется благодаря адаптивному усреднению результатов измерений амплитуды, частоты, разницы фаз и параметров мощности.

Погрешности измерения спектра, параметров мощности и частоты сигнала связаны со значениями АЧХ и ФЧХ выходного фильтра квадратурного демодулятора. Это можно увидеть из полученных ранее соотношений: (3.21), (3.22) – для амплитудного спектра; (3.36) – для фазового спектра; (3.60) – для активной мощности; (3.62) - для реактивной мощности; (3.58) - для полной мощности; (3.41), (3.42), (3.47) - для частоты.

В таблице 3.3 представлены значения погрешности измерения амплитудного значения основной спектральной компоненты в случае применения метода квадратурной демодуляции. В таблицах 3.4 и 3.5 представлены значения погрешностей измерения соответственно частоты и фазового сдвига между основными спектральными компонентами напряжения и тока. Результаты получены с помощью имитационного моделирования в программном пакете Matlab. Тексты программ представлены в Приложении 2. Имитационное моделирование выполнялось для входного синусоидального сигнала единичной амплитуды и начальной фазы, равной 7г/6 радиан. Для полигармонического напряжения значения коэффициентов гармоник даны в таблице 1.1, для полигармонического тока значения коэффициентов гармоник указаны в таблице 1.3. Для полигармонических сигналов начальные фазы спектральных составляющих напряжения выбраны равными 7г/6 радиан, а тока - 0 радиан.