Содержание к диссертации
Введение
Глава 1 Общие сведения об углах нутации Земли и их метрологических характеристиках, используемые в диссертации 16
1.1 Параметры вращения Земли и углы нутации 16
1.2 Международные земная и небесная координатные основы
1.3 Метрология углов нутации 21
1.4 Метод формирования опорных значений углов нутации МСВЗ 26
1.5 Численные модели нутации Земли 29
1.6 Остаточные расхождения углов нутации, вычисленных по модели, с их
измеренными значениями 34
1.7 Небесномеханическая формулировка задачи о вращении абсолютно
твердого тела 37
1.8 Метод Гаусса приведения измеренных значений на заданную дату 40
1.9 Выводы 41
Глава 2. Метод сравнительного анализа моделей нутации Земли по внутренней сходимости 42
2.1 Способы представления нутационных углов в современных численных моделях нутации Земли 42
2.2 Алгоритм построения численных моделей нутации Земли 44
2.3 Построение обобщенной модели главной части углов нутации 49
2.4 Классическая процедура вычисления комплексного угла нутации 90
2.5 Оценка поправок к главным частям моделей нутации 94
2.5.1 Влияние приближенного характера классической процедуры 94
2.5.2 Влияние зависимости от времени динамического сжатия и коэффициента возбуждения атмосферы 98
2.5.3 Влияние трехосности на передаточную функцию 102
2.5.4 Влияние вязкости 113
2.5.5 Влияние пренебрежения высокими членами разложения приливного потенциала 1 2.6 Метод сравнения моделей нутации Земли по внутренней сходимости 120
2.7 Выводы 122
Глава 3. Методы сравнительного анализа численных реализаций моделей нутации Земли по внешней сходимости 123
3.1 Метод сравнения моделей нутации Земли по согласию с измерениями 124
3.2 Метод сравнения моделей нутации Земли по прогностической силе 128
3.3 Эффективность моделей нутации Земли для решения обратных задач 130
3.4 Выводы 134
Глава 4. Результаты сравнения моделей нутации 136
4.1 Модели нутации, отобранные для сравнения 136
4.2 Результаты сравнения моделей нутации по внутренней сходимости 138
4.3 Результаты сравнения моделей нутации с PC ДБ - измерениями 139
4.4 Результаты сравнения моделей нутации по прогностической силе 141
4.5 Эффективность применения моделей нутации для решения обратных задач 145
4.6 Выводы 150
Глава 5. Метод повышения точности предвычисления остаточных расхождений углов нутации, вычисленных по модели, и их измеренных значений 151
5.1 Метод анализа остаточных расхождений 154
5.2 Результаты анализа остаточных расхождений 155
5.3 Модель остаточных расхождений 157
5.4 Сравнение модели остаточных расхождений и измерений 158
5.5 Физическая интерпретация полученных результатов 158
5.6 Выводы 160
Глава 6. Метод определения опорных значений углов нутации 162
6.1 Метод определения опорных значений 164
6.2 Сравнение с результатами измерений 165
6.3 Выводы 167
Основные результаты выполнения работы 168
Литература
- Метод формирования опорных значений углов нутации МСВЗ
- Построение обобщенной модели главной части углов нутации
- Метод сравнения моделей нутации Земли по прогностической силе
- Результаты анализа остаточных расхождений
Метод формирования опорных значений углов нутации МСВЗ
Нутация и прецессия входят в состав матрицы Q(t), которая может быть представлена в следующем виде: QHSCK-W (0 = В(л0 , dao)- Р(єо ,XA A WA)- N(EA , Л Є, Л У) (1-І -4) Первый сомножитель представляет собою постоянную часть смещения ЗСК, относительно НСК, второй - вековую часть (прецессию), а последний -долгопериодическую часть (нутацию). Углы прецессии, входящие в матрицу прецессии, вычисляются по данным о величинах PA=sm7rAsmTlAn QA = sinжАcosily, которые в свою очередь являются вековыми частями величин Р = sin -sinn и g = sin cosil, где Пил- оскулирующие долгота восходящего узла и наклон к экватору эпохи J2000 орбиты барицентра системы Земля-Луна, полученные решением методом возмущений задачи многих тел в рамках теории движения больших планет Солнечной системы.
Углы нутации входят в матрицу нутации, которая определяет долгопериодические в НСК изменения направления оси вращения Земли в пространстве с периодами от двух суток и более, и не вошедшие в матрицу прецессии.
Нутация представляет собою малые отклонения от гораздо более значительного прецессионного движения. В первом приближении эти отклонения представляют собою эллипс, изображенный на рисунке 1.1.
Весь нутационный «эллипс» небесный промежуточный полюс (НПП) проходит примерно за 18,6 года и его полуоси составляют около 10" и 8". Более точное рассмотрение показывает, что полное нутационное движение состоит из более, чем из тысячи гармонических составляющих, которые выглядят на рисунке как петли. Главная из них - это эллиптическое движение с периодом 18,6 года и полуосями около 9" и 7", которая и придает полному нутационному движению эллиптическую форму. Вторая по величине -полугодовая гармоника, ответственная за формирование больших петель. Она тоже эллиптическая с полуосями около 0,6" и 0,5". А главная составляющая следующих по величине завитков, придающих полугодовым петлям «кучерявую» форму образована почти круговым эллиптическим движением с периодом чуть меньше полумесяца (13,6 суток) и полуосями около 0,01". Эти три гармоники и определяют общую форму нутационного движения.
Если выразить большую полуось нутационного «эллипса» в линейной мере, через длину соответствующей дуги меридиана на поверхности Земли, то получим около 300 метров, а амплитуды годовой и полумесячной волн -примерно 15 метров и 30 сантиметров соответственно. Это достаточно большие значения, однако, как и прецессия, нутация хорошо предсказывается теорией. Это связано с тем, что основной ее причиной является гравитационное воздействие со стороны Солнца, Луны и планет, движение которых достаточно точно описывается теорией.
. Нутационный эллипс, как он выглядит при взгляде из космоса со стороны северного полюса. Как и в случае прецессии, движение НПП по нутационному эллипсу выглядит совершающимся по часовой стрелке, если смотреть из внешнего пространства и против часовой стрелки, если смотреть со стороны Земли. Именно поэтому долгое время и не возникала потребность в формировании опорных значений углов нутации Земли.
Международные земная и небесная координатные основы В пункте 1.1 речь шла о чисто теоретических положениях. Для проведения измерений необходимо выбрать сеть опорных пунктов на небе и на Земле, таких, что с помощью измерений своего местоположения относительно этих опорных пунктов потребитель мог бы определять свои координаты в небесной системе координат или земной системе координат с высокой точностью. Для этого для каждого из опорных пунктов этих сетей должны быть известны их координаты, т.е. задан каталог координат опорных пунктов этих сетей.
Системы требований к построению и поддержанию международных опорных сетей определяются Международной службой вращения Земли и опорных систем (МСВЗ-рус, IERS-шт.) и Международным астрономическим союзом (М4С-рус, IAU-шт.). Эти системы требований получили в отечественной нормативной документации (ГОСТ Р8.699-2010) наименование «международной небесной опорной системы (координат)» и «международной земной опорной системы (координат)» (в англоязычной литературе им соответствуют аббревиатуры ICRS и ITRS).
Международные сети опорных пунктов на Земле и на небесной сфере, построенные (отобранные) в соответствии с этими системами требований, получили в отечественной нормативной документации (ГОСТ Р8.699-2010) наименование «международной небесной координатной основы» и «международной земной координатной основы» (в англоязычной литературе им соответствуют аббревиатуры ICRF и ITRF).
Эти координатные основы (опорные сети) с метрологической точки зрения представляют собою опорные (исходные) эталоны шкал местоположения (позиции) на Земле и направлений в пространстве соответственно. Существенное различие между этими эталонами состоит в том, что сеть небесных опорных пунктов (квазаров) воспроизводит непрерывное излучение с помощью своих природных свойств и, таким образом, ICRF представляет собою в этой части естественный эталон. Однако, для поддержания каталога с координатами опорных квазаров необходимо регулярно проводить измерения их взаимных угловых положений с помощью радиоинтерферометров со сверхдлинными базами (РСДБ). Что же касается ITRF, то как сами геодезические маркеры, отмечающие местоположения опорных пунктов, так и геодезические средства измерений для непрерывного контроля их местоположения создаются и поддерживаются искусственно и представляют собою научно-технические сооружения.
Координатные данные опорных пунктов в опорных каталогах представляют собой положения и скорости изменения этих пунктов на опорную эпоху каталога. Вычисление координат опорных пунктов на другие моменты времени производится путем добавления к их координатам на опорную эпоху каталога их скоростей, умноженных на промежуток времени, прошедший с опорной эпохи каталога до заданного момента времени.
Погрешности определения координат и скоростей пунктов в каталоге ITRF не даст вклада в погрешность определения углов нутации потому, что они изменяются с близсуточными периодами относительно инерциального пространства и, согласно принятым стандартным правилам по разделению полной вариации направления оси вращения Земли на движение полюса, прецессию и нутацию, войдут в координаты полюса.
Погрешность поддержания направления осей последней ICRF2 не превосходит 10"5" (IERS Conventions 2010). Поскольку координаты опорных пунктов в каталоге ICRF линейно изменяются со временем, то эти 10" " дают вклад в неисключенную систематическую погрешность (НСП), причем за промежуток времени в 2-3 года. В среднеквадратическое отклонение (СКО) значений углов нутации она вклада не дает.
Построение обобщенной модели главной части углов нутации
Основой для вычисления главной части углов нутации, как следует из (2.2.1) является передаточная функция стандартной Земли q{mk,p). Для ее построения, во-первых: составить систему, состоящую из уравнений вида: Во-вторых: нужно разложить эту систему в ряды по малым параметрам и получить систему уравнений моментов и наклонов. Тогда передаточная функция может быть вычислена, как описано в пункте 2.4 настоящей главы.
В (2.3.1) Н - вектор углового момента вращения части Земли (мантии, жидкого ядра, твердого ядра (или его слоев), атмосферы) или всей Земли, Q -угловая скорость вращения системы координат для которой записано уравнение, a L - момент сил, действующих на часть Земли со стороны других её частей и со стороны внешних тяготеющих тел (Луна, Солнце и планеты Солнечной системы). Для угловых скоростей вращения Тиссерановых систем координат для мантии, жидкого ядра, твердого ядра и атмосферы приняты обозначения Q,Q/5Qx и Q,a соответственно. Однако, поскольку при решении уравнений (2.3.1) ищут малые неравномерности вращения вышеперечисленных частей Земли, то удобно пользоваться не ими, а векторами угловых скоростей вращения ,f,cos,coaТиссерановых систем координат для мантии, жидкого ядра, твердого ядра и атмосферы относительно средней Тиссерановой системы координат для мантии, отнесенных к угловой скорости вращения средней Тиссерановой системы для мантии Q0. Они связаны с вышеупомянутыми угловыми скоростями вращения Тиссерановых систем координат соотношениями[6, 24, 22, 32]:
Компоненты безразмерных векторов m,mf,ms,ma будем записывать как в стандартных векторных обозначениях т = (т1,т2,т3) и т.д., так и в комплексном виде: m=(ml+im2,m3) = (т,т3) (2.3.3) Определив т, можно по формуле (2.2.2) вычислить передаточную функцию. Заметим, что в теории ERA2006 имеется двухслойное жидкое ядро, однако, поскольку для каждого из этих слоев уравнения будут сходные, не будем пока расщеплять его на слои.
В рамках наиболее общей модели рассматриваются четыре основных части Земли: атмосфера, мантия, жидкое ядро и твердое ядро. Соответственно этому в систему уравнений моментов достаточно включить четыре независимых уравнения: либо уравнения моментов для части/каждой из этих оболочек и/или их линейные комбинации. Удобно выбрать в качестве независимых уравнений следующие: уравнение моментов для всей Земли, уравнение моментов для жидкого ядра, уравнение моментов для твердого ядра и уравнение моментов для атмосферы: для этих частей Земли соответственно, а угловые скорости определены в (2.3.2). Уравнения (2.3.1.1) и представляют собою систему уравнений моментов, которую также часто называют системой уравнений Эйлера-Лиувилля. Однако, в таком виде уравнения невозможно решить, прежде всего, из-за того, что тензора инерции входящие в вектора моментов содержат по 6 независимых компонент каждый, которые меняются со временем как из-за наклона твердого ядра и атмосферы по отношению к средней Тиссерановой системе координат для мантии, так и из-за деформаций твердого ядра и возбуждения атмосферы солнечной радиацией. Выражения для этих тензоров, полученные автором обобщением имеющихся выражений на случай системы (2.3.1.1), приведены в в следующем пункте.
В этой формуле первые два члена справа есть равновесное значение момента инерции всей Земли, следующие два члена справа описывают изменение момента инерции из-за отклонения аксиальных осей твердого ядра и атмосферы от аксиальной оси для мантии, а последние два члена справа обусловлены упругими деформациями и изменением распределения атмосферных масс в результате возбуждения атмосферы соответственно. Будем использовать следующие обозначения: А и С - экваториальный и аксиальный момент инерции всей Земли; As и Аа - экваториальные моменты инерции твердого ядра и атмосферы; е
Формулы (2.3.1.6.1) - (2.3.1.6.14) являются точными в рамках рассматриваемого приближения. Основные положения, которые использовались при их выводе следующие: вектора наклонов описывают положение недеформированных частей Земли относительно нутационной системы координат. При этом полагается, что в равновесном состоянии главные оси тензоров инерции всех частей Земли ориентированы одинаково. Если бы эти приближенные положения выполнялись в точности, то формулы (2.3.1.6.1) - (2.3.1.6.14) были бы точными.
Для наших целей достаточно ограничиться только квадратичными по малым векторам m,m п величинами. Более того, квадратичное приближение, в действительности, необходимо только в уравнении для всей Земли (так как мы строим теорию для высокоточного предсказания только нутации мантии, т.е. величины м). Поэтому из всех формул (2.3.1.6.1) -(2.3.1.6.14) нам будет необходима только часть, позволяющая записать уравнение моментов для всей Земли с квадратичной точностью и уравнение моментов для остальных частей Земли с линейной точностью. При этом точность приближения (2.3.1.6.12) оказывается достаточной, если течения в жидком ядре в рассматриваемом частотном диапазоне обусловлены в основном приливами. (Возможные отличия уравнения моментов для жидкого ядра от (2.3.1.6.11) рассмотрены в основном тексте диссертации).
Метод сравнения моделей нутации Земли по прогностической силе
Передаточная функция теории нутации определяется в процессе решения уравнений для линейной экваториальной части системы уравнений для моментов и наклонов (2.3.8.1). Решение этого уравнение строится с помощью преобразования Фурье, а именно будем полагать, что величины X имеют вид суперпозиции величин: описывает собственные вращения Земли. Как известно из аналитической геометрии, для существования нетривиальных решений этого уравнения необходимо и достаточно, чтобы определитель матрицы М(а) при равенстве нулю возбуждающих коэффициентов U,UfnUs равнялся нулю: det(M(a)u=U/=u=0)=0 (2.4.9.5)
Решение (2.3.9.5) дает так называемые резонансные частоты е отсутствии возбуждения. Эти частоты не являются собственными частотами всей Земли, но они имеют важное значение для проверки физической состоятельности предлагаемой модели. В самом деле, при отсутствии возбуждения мнимая часть решения (1.4.9.5) определяется только диссипативными процессами (им соответствуют компоненты вязкомагнитного тензора), а потому не может иметь отрицательный знак.
Решение уравнения (1.3.9.2) для приливных частот, не совпадающих с резонансными частотами, тривиально. Заметим, что для абсолютно твёрдой Земли: Представление передаточной функции обобщенных уравнений моментов и наклонов в резонансной форме Экваториальная линейная часть системы уравнений моментов и наклонов в частотном диапазоне имеет вид (2.4.9.2) Тогда, если определитель матрицы М для заданной частоты а не равен нулю, то интересная для теории нутации первая компонента решения (2.4.9.2) имеет вид: Величина Aj есть определитель матрицы, которая получается из матрицы м{а) заменой первого столбца столбцом Y 1ф. Передаточная функция Для этого заметим, что определитель А1 может быть представлен в виде в виде (здесь полагается, что в матрице М опущен член, квадратичный по частоте т.к. он очень мал для главных приливных частот):
Их мнимые части могут быть и отрицательными, если присутствует возбуждение: они описывают переход энергии от других процессов во вращение.
Оценка поправок к главным частям моделей нутации После определения выражения для передаточной функции для стандартной Земли проводится исследование, какие же эффекты были не учтены в этой модели и какие приближения недостаточны для достижения требуемой точности. После этого для каждого из этих эффектов должны быть вычислены поправки Aff.. Для большей части поправок оценки существуют, см., например работу [51]. Однако, для ряда эффектов, рассматриваемых в настоящей главе, оценки получены автором настоящего исследования.
В главе 1 использовалась классическая процедура (основанная на методе Фурье) для решения уравнений моментов и наклонов, а также для определения связи между комплексной нутационным углом и комплексной угловой скоростью вращения мантии. Однако, такая процедура, строго говоря, справедлива только для гармонических функций. На самом же деле, комплексный нутационный угол абсолютно твердой Земли представляет собою сумму большой гармонической части и малой смешанной части. Смешанные члены активно используются в небесной механике и имеют вид сґеш. Здесь с-некоторая постоянная величина, t - земное динамическое время в сутках, отсчитанное от эпохи J2000, со - частота. Поэтому важно оценить какую именно погрешность внесет применение приближенной процедуры вместо точного решения уравнений во временной области.
Фурье-метод дает точное решение уравнения (2.3.8.1) для случая когда величины Ф = [$ &за) , входящие в правые части уравнений являются чисто гармоническими функциями. Однако, в действительности Оценим какую погрешность вносит формальное применение Фурье-метода к решению уравнений моментов и наклонов. Для этого решим уравнение моментов и наклонов во временной области, полагая что потенциал имеет вид (2.5.1). Тогда решение (2.3.8.1) нужно искать в виде:
Единица в правом нижнем углу от правой фигурной скобки означает, что нужно взять первый элемент матрицы-столбца, стоящего в фигурных скобках. Величина 7л(о")есть амплитуда нутации абсолютно твердой Земли на частоте а.
Формула (2.5.1.7) значительно проще точного решения. Вторым случаем, где применяется метод Фурье является решение уравнения связи нутации и вариации угловой скорости вращения мантии, которое является комплексной формой первых двух кинематических уравнений Эйлера. Обозначим:
Вращение трехосного тела в общем случае является сложной задачей. Поэтому ее решение ищется в виде рядов по малому параметру равному отношению второго сжатия к первому [70], [71]. Не так давно СМ. Молоденским было получено решение этой задачи с точностью до членов четвертого порядка малости по этому параметру [72].
Для рассматриваемых моделей используется приближенный способ решения, при котором амплитуды нутации модели абсолютно твердой трехосной Земли умножались на передаточную функцию двухосной Земли. Следует заметить, что современные модели нутации являются полуаналитическими, т.е. динамическое сжатие всей Земли является в них некоторым параметром, определяемым из наилучшего согласия значений измеренных углов нутации с их значениями, рассчитанными по модели. Поэтому встает вопрос об оценке погрешности, вносимой в результат, при применении указанной выше упрощенной процедуры решения. Оценка этой погрешности проводилась автором для двух случаев:
Случай определяемого динамического сжатия 2.5.3.1.1 Вывод приближенных уравнений для абсолютно твердого тела с быстрым вращением. Оказывается, что в случае быстровращающегося твердого тела возможны дополнительные упрощения, которые позволяют свести задачу о вычислении передаточной функции трехосного тела к задаче о вращении двухосного тела с измененным сжатием. Будем полагать, что тело (Земля) является абсолютно твердой и близкой к эллисоиду вращения, но в остальном имеет произвольную структуру. Тогда, согласно известным данным из теоретической механики, существует система координат (система главных осей тензора инерции) с началом в центре масс всей Земли, в которой тензор инерции всей Земли диагоналей. Пронумеруем оси этой системы координат таким образом, чтобы ось OZ соответствовала максимальному значению момента инерции С всей Земли; ось ОХ соответствовала минимальному моменту инерции А; а ось OY соответствовала промежуточному значению момента инерции В . В этой СК случае динамические уравнения Эйлера (уравнения моментов) имеют вид:
Результаты анализа остаточных расхождений
Модель ZP2003 была разработана в Государственном астрономическом институте им. П.К. Штернберга МГУ им. М.В Ломоносова. Автор настоящей работы является соавтором этой модели. Стандартная модель Земли этой теории содержит упругую мантию, упругое внутреннее ядро и жидкое ядро между которыми действуют силы электромагнитного и вязкого взаимодействия, а также атмосферу. Матрицы обобщенного уравнения моментов и наклонов для этой теории имеют вид (1.3.8.3). Модель была описана в публикациях [54, 55].
Модель нутации Земли, построенная испанскими учеными Гетино и Феррандишем. Она описана в публикациях [57,58]. Эта модель построена классическим небесномеханическим методом, использованном Киношитой [17]. Исходными в этом методе является система уравнений Эйлера-Лиувилля, записанная в форме Гамильтона. Как известно, метод Гамильтона применяется для описания консервативных систем, поэтому Геттино и Феррандиш пришлось модернизировать уравнения Гамильтона на случай неконсервативных систем для того, чтобы учесть диссипативные эффекты. Модель Земли в этой теории включает упругую мантию и жидкое ядро. 4.1.5 HJL2001
Эта модель разработана китайскими учеными. Она описана в публикации [64]. Комплексная частотная передаточная функция вычислена путем численного интегрирования. Главным отличием от теории МАС2000 этой теории является то, что океанические нагрузки и течения вычислены для всех периодов. Атмосфера для прямой и обратной годовой и обратной полугодовой гармоники входит через граничные условия, которые выписаны с точностью до второго порядка по сжатию. Модифицированное распределение сжатия вычислено в результате решения уравнения Клеро с точностью до второго порядка и модели PREM, модифицированной так, что динамические сжатия границы кора-мантия и всей Земли совпадают с современными наблюдениями. Эффект вычислен для различных моделей неупругости мантии и океанов. Серия HJL2001 состоит из 343 амплитуд, соответствующая наиболее вероятной модели Земли.
Сравнение моделей по внутренней сходимости проводилось в соответствии с методом, описанным в пункте 2.6 настоящей диссертации. Оценки вклада погрешности отдельных факторов в общую погрешность модели по внутренней сходимости и оценка самой этой общей погрешности приведены в таблице 4.1. Факторы, влияние которых меньше 0,0000001" в таблице 4.1 не указаны.
Сравнение моделей с результатами РСДБ измерений проводилось в соответствии с методикой, описанной в пункте 3.1 настоящей диссертации. Для обработки использовались .ngs - файлы РСДБ наблюдений базы данных Международной РСДБ Службы (IVS) с 1985 год по 2005 год. Для обработки использовался пакет ОССАМ5.0 [67], который был несколько модифицирован для наших целей. В оригинальной версии этого пакета уже существовала возможность выбирать теорию МАС2000. Она была заменена на теорию ІАШОООа (без модели свободной нутации ядра). Кроме того, были абсолютно аналогичным образом подключены подпрограммы, вычисляющие нутационные углы по теориям GF99, ZP2003, Huang et. al. 2001. Остальные же изменения касались интерфейса, который был адаптирован к Windows. Для этого была написана оболочка пакета ОССАМ5.0, которая позволяет работать с программой через стандартный Windows - интерфейс. Все остальные опции ОССАМ5.0 для каждой из теорий нутации совпадали.
В результате были получены файлы, содержащие отклонения каждой из теорий от наблюдений т.е. величины, которые нужно добавить к теоретическим нутационным углам, чтобы получить наблюдаемые нутационные углы.
Полученные ряды были очищены от грубых выбросов по среднеквадратичному отклонению. Все дальнейшие вычисления относятся полученным таким образом рядам поправок к углам нутации моделей.
В таблице 4.2 приведены значения коэффициента эффективности, введенного (3.2.7) и определяющего СКО от измеренных значений рассматриваемых моделей в единицах СКО модели МАС2000, а в таблице 4.3 -сами взвешенные среднеквадратические отклонения (ВСКО).
Сравнение моделей по прогностической силе проводилось в соответствии с методикой, описанной в пункте 3.2 настоящей диссертации. В качестве измеренных значений использовались значения нутационных углов серии ЕОРС04 Международной службы вращения Земли (МСВЗ) с 1985 по 2007 год. После чего вычислялись СКО прогноза от наблюдений за указанный период для каждого из значений заблаговременности (от 1 до 100 суток). Далее полученные СКО для различных теорий сравнивались между собой.
Значимость различия полученных СКО оценивалась исходя из того, что СКО значений серии ЕОРС04 оценивается в 100 микросекунд дуги для улов da и sms0dy/. Учитывая, что при получении СКО прогноза для каждого из значений заблаговременности использовалось около 7300 точек, было получено, что различие в 1 микросекунду дуги в СКО прогноза соответствует одной сигме. Соответственно, различие в СКО прогноза в 2 микросекунды было принято значимым.
