Исследование поверхностных планетарных волн в атмосфере Лукинов, Алексей Александрович

Содержание к диссертации

Введение

ГЛАВА 1. Поверхностные и внутренние волны в атмосфере 10

1.1. Теория линейных поверхностных волн в баротропной невращающейся атмосфере

1.1.1 Основные уравнения 10

1.2. Внутренние волны в невращающейся атмосфере

1.2.1 Простое решение 24

1.3. К теории линейных поверхностных волн во вращающейся баротропной атмосфере в приближении f-плоскости (волны Кельвина)

1.3.1 Основные уравнения 28

1.4. Исследование планетарных поверхностных волн Россби в баротропной атмосфере в приближении бета-плоскости

1.4.1 Основные уравнения 37

Выводы к первой главе 46

ГЛАВА 2. Исследование гравитационных волн в атмосфере 50

2.1 К теории линейных гравитационных волн в атмосфере при отсутствии завихренности 50

2.1.1 Постановка задачи 50

2.1.2 Основные уравнения 51

2.1.3 Волны в протяженных слоях атмосферы 56

2.1.4 Приземные волны (длинные волны) 59

2.2 Альтернативный вывод скорости распространения линейных гравитационных волн в атмосфере 62

2.2.1 Постановка задачи 62

2.2.2 Основные уравнения 62

2.3 К теории линейных волн во вращающейся атмосфере в приближении -плоскости 68

2.3.1 Постановка задачи 68

2.3.2 Основные уравнения 70

2.4 К теории линейных волн во вращающейся атмосфере конечной толщины 77

2.4.1 Постановка задачи 77

2.4.2 Основные уравнения 78

2.5 Краткое резюме к второй главе 84

Выводы к второй главе 88

ГЛАВА 3. Исследование планетарных волн россби в атмосфере 89

3.1 Исследование планетарных волн Россби в приближении бета-плоскости

3.1.1 Постановка задачи

3.1.2 Основные уравнения 90

3.2 Теория линейных планетарных поверхностных волн Россби-Блиновой в сферических координатах 100

3.3 Исследование экваториальных волн Россби-Блиновой 114

3.4. Краткое резюме к третьей главе 123

Выводы к третьей главе 126

Заключение 128

Список литературы 1

• Внутренние волны в невращающейся атмосфере
• Исследование планетарных поверхностных волн Россби в баротропной атмосфере в приближении бета-плоскости
• К теории линейных волн во вращающейся атмосфере в приближении -плоскости
• Теория линейных планетарных поверхностных волн Россби-Блиновой в сферических координатах

Введение к работе

Актуальность темы исследования. Основной задачей физики атмосферы является исследование закономерности развития полей основных метеорологических величин таких, как давление, температура и влажность. Динамика этих полей в атмосфере носит сложный, меняющийся с течением времени характер. Но, несмотря на сложный характер развития этих полей, основные особенности их динамики из года в год повторяются, то есть носят сезонный характер. В этом и заключается сложность процедуры прогноза состояния атмосферы, главной составляющей которого является прогноз динамики барических образований, изотерм и влажности.

При описании движений атмосферы прибегают к некоторым модельным представлениям. Одной из распространенных форм движения в атмосфере являются поверхностные волны. Исследованиям поверхностных волн в атмосфере посвящено много работ. Но, несмотря на это, имеются ряд нерешенных проблем в этом разделе физики атмосферы. Одна из таких проблем заключается в том, что при анализе поверхностных волн в атмосфере используют приближение мелкой воды. Это относится как к процессам с большим числом Россби, так и к процессам с малым числом Россби. При этом в этих моделях зависимостью плотности воздуха от температуры пренебрегают. Поэтому остается открытым вопрос о влиянии перегрева воздушной частицы, вовлеченной в волновое движение, на скорость распространения волн. Классические теории, не учитывающие эту зависимость плотности воздуха от функции перегрева, приводят к завышенным значениям скорости распространения поверхностных волн в атмосфере.

Работа посвящена исследованию динамики распространения поверхностных волн в атмосфере. Под волной понимается возмущение барического поля.

В атмосфере наблюдается исключительно большое разнообразие волновых и вихревых движений, механизм формирования и динамика развития которых не в полной мере ясны. Поэтому разработка математической модели поверхностных волн в атмосфере с учетом зависимости плотности воздуха от функции перегрева воздушной частицы, вовлеченной в волновое движение, а также исследование скорости распространения планетарных поверхностных волн различного масштаба являются актуальными проблемами физики атмосферы.

Степень разработанности темы исследования. Поверхностным волнам в атмосфере посвящено много работ, начиная с классических исследований Лапласа (1779), Кельвина (1879), Пуанкаре (1910). В этих работах рассматривались волны в баротропной атмосфере. Недостаток этих исследований заключается в том, что, во-первых, атмосфера не баротропная, а, во-вторых, атмосфера безгранична. Этот недостаток устраняется в теории внутренних волн Тейлора -Гольдштейна (1931 г.). В этой теории учитывается стратификация атмосферы и влияние сил плавучести. Однако природа внутренних волн существенно отличается от природы поверхностных волн. Результаты теории внутренних волн нельзя непосредственно применять для анализа скорости распространения барических возмущений, являющейся предметом исследования настоящей диссертации.

Новый этап в развитии теории волн в атмосфере начинается с Россби (1939). Учет бета-эффекта привел к новому типу волны, в которой бета-эффект является возвращающейся силой и приводит к образованию планетарной волны в бета-плоскости. Однако волна Россби также является по природе своей внутренней.

С работ Блиновой (1943) начинается следующий этап в развитии теории планетарных волн. Линеаризуя приливные уравнения Лапласа на сфере,Блинова получает выражения для скорости распространения поверхностных планетарных волн в баротропной атмосфере.

Дальнейшее развитие теории планетарных волн заключалось в поиске решений приливных уравнений Лапласа (Лонге-Хиггинс, 1965).

Целью настоящей диссертационной работы является исследование поверхностных волн в атмосфере с учетом зависимости плотности воздуха от функции перегрева воздушной частицы, вовлеченной в волновое движение.

Для достижения указанной цели были поставлены и решены следующие задачи:

1. Установить зависимость скорости распространения поверхностной волны в атмосфере от функции перегрева воздушной частицы, вовлеченной в волновое движение в атмосфере такой горизонтальной протяженности, когда вращением Земли (силой Кориолиса) можно пренебречь.

2. Указанную выше задачу решить как в приближении мелкой воды, т.е. для тонкой в смысле вертикальной протяженности атмосферы, когда длина волны намного больше толщины атмосферы (длинные волны), так и для атмосферы с бесконечной вертикальной протяженностью, когда длина волны намного меньше толщины атмосферы (короткие волны), а также для атмосферы конечной толщины.

3. Установить зависимость скорости распространения поверхностных планетарных волн от функции перегрева воздушной частицы, вовлеченной в волновое движение в атмосфере такой горизонтальной протяженности, когда вращением Земли (силой Кориолиса) пренебречь нельзя (приближение / -плоскости).

4. Указанную выше задачу решить как в приближении бета-плоскости, так и в общем случае сферических координат.

Объектом исследования являются атмосферные поверхностные волны, под которыми понимаются возмущения барических образований.

Предметом исследования является разработка математической модели, описывающей динамику распространения атмосферных поверхностных волн с учетом зависимости плотности воздуха от функции перегрева воздушной частицы, вовлеченной в волновое движение.

Научная новизна диссертации:

5. Показано, что для волн в атмосфере малого масштаба, когда можно пренебречь вращением Земли, т.е. силой Кориолиса, в волновое движение вовлекается только лишь охладившийся за счет адиабатического подъема первоначально теплый у поверхности земли воздух.

6. Учет вращения Земли приводит к дисперсии планетарных волн. Картина при этом качественно отличается от волн малого масштаба. Дисперсия приводит к тому, что в волновое движение может вовлекаться как холодный воздух с произвольной длиной волны, так и теплый воздух, длина волны которого больше критического значения. Причем волны могут распространяться в обоих направлениях.

7. Анализ волн Россби в приближении бета-плоскости с учетом зависимости плотности воздуха от функции перегрева показал, что имеют место три волны, две из них движется в положительном направлении, а одна в противоположном. Кроме того, в приближении бета-плоскости также, как и для волн в приближении / -плоскости, в волновое движение вовлекаются холодные волны с произвольной длиной волны и теплые волны, длина волны которых больше критического значения.

Коротковолновая теплая волна движется только лишь в отрицательном направлении, а холодная волна может иметь оба направления.

Показано, что положительной может быть низкочастотная холодная волна и теплая волна, длина волны которой меньше критического значения. Причем холодная волна всегда распространяется только в положительном направлении. В отрицательном направлении распространяется низкочастотная теплая волна, длина волны которой больше критического значения.

4. Анализ волн Россби - Блиновой в сферических координатах с учетом зависимости
плотности воздуха от функции перегрева показал, что, как и в приближении бета-плоскости, в
волновое движение вовлекается не только холодный воздух, но и теплый. При этом имеют ме
сто также три волны, одна из них движется в отрицательном направлении, а две другие в поло
жительном. В отличие от случая бета-плоскости максимальная длина волны ограничена длиной
экватора.

Найдено критическое значение порядка моды волны, которое соответствует случаю, когда две положительные волны вырождаются в одну. Припорядках моды, больших критического значения будут иметь место две положительные волны и одна отрицательная. А при порядках

моды, меньших критического значения будет иметь место только лишь одна отрицательная волна

5. Показано, что на экваторе имеет место одна теплая волна, причем отрицательная. В то
время как для холодной волны имеют место все три корня. Но для значения функции перегрева

A_hT = 2 С теплые волны двух направлений с первой модой возможны уже на широтеср = Г.

6. Таким образом, получается следующая картина. Волны, мода которых меньше крити
ческого значения, движутся против часовой стрелки. К ним относятся волны с большими дли
нами волн. Волны, мода которых больше критического значения, образуют «тройки», одна из
которых движется против часовой стрелки, а две другие по часовой стрелке.

В результате наложения волн, распространяющихся в противоположных направлениях, происходит их интерференция, то есть возникают области усиления и ослабления амплитуды волн.

Теоретическая и практическая значимость. Результаты, полученные в работе, уточняют существующие представления о динамике планетарных поверхностных волн и могут быть использованы в практике прогнозирования динамики барических образований.

Методология и методы исследования основаны на анализе возмущений статического состояния атмосферы, вызванных волновым движением. Исследуются уравнения динамики атмосферы с учетом указанных возмущений. Для решения поставленной задачи используются методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных.

Положения, выносимые на защиту:

8. Установленная зависимость скорости распространения атмосферных поверхностных волн от функции перегрева воздушной частицы, вовлеченной в волновое движение в атмосфере любой вертикальной протяженности, но такой горизонтальной протяженности, когда вращением Земли (силой Кориолиса) можно пренебречь.

9. Установленная зависимость скорости распространения атмосферных поверхностных волн от функции перегрева воздушной частицы, вовлеченной в волновое движение в атмосфере любой вертикальной протяженности, но такой горизонтальной протяженности, когда вращением Земли (силой Кориолиса) пренебречь нельзя (приближение /-плоскости).

10. Установленная зависимость скорости распространения планетарных поверхностных волн от функции перегрева воздушной частицы, вовлеченной в волновое движение в атмосфере любой вертикальной протяженности, но в приближении бета-плоскости.

11. Установленная зависимость скорости распространения планетарных поверхностных волн от функции перегрева воздушной частицы, вовлеченной в волновое движение в атмосфере любой вертикальной протяженности, в общем случае сферических координат.

Степень достоверности. Достоверность результатов данного исследования обеспечивается положительными результатами сопоставления построенных математических моделей с другими аналитическими, численными решениями и данными наблюдений.

Апробация результатов. Результаты исследований докладывались на научно-методических конференциях преподавателей и студентов Северо-Кавказского федерального университета (г. Ставрополь, 2012 г, 2013 г, 2014 г, 2015 г);на семинарах, посвященных проблемам физики атмосферы, кафедры теоретической физики Института математики и естественных наук Северо-Кавказского федерального университета.

Тезисы докладов включены в материалы:

-20Всероссийскойнаучной конференции студентов-физиков и молодых ученых, Екатеринбург-Ижевск, 2014.

Международной научно-практической конференции «Современные тенденции в образовании и науке». - Тамбов, 2014.

Всероссийской научно-практической конференции «Актуальные проблемы науки». -Нефтюганск, 2014.

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 6 научных работ, в том числе 2

статьи в рецензируемых изданиях из перечня ВАК, 1 статья в международном журнале, входящем в базу Scopus.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка цитируемой литературы, содержащего 111 наименований. Материал диссертации содержит 154 страницы, 15рисунков, 2 таблицы.

Внутренние волны в невращающейся атмосфере

Сравнивая полученные равенства с выражениями (1.1.26), для амплитуд потенциала скорости и функции тока находим , . (1.1.36) Отсюда, для амплитуды вертикальной составляющей скорости получим . (1.1.37) Из уравнения Лапласа для потенциала скорости следует: . (1.1.38) Решение этого уравнения будем искать в виде [9, 55, 91, 103]: . (1.1.39) Тогда для амплитуды возмущения поверхности получим уравнение , (1.1.40) где . Это уравнение имеет решение , (1.1.41) где , – константы, – волновое число, величина положительная. Из граничного условия (1.1.23) и уравнения (1.1.37) следует, что , . (1.1.42) Подставляя выражение (1.1.41) для амплитуды в граничное условие (1.1.42), получим . Отсюда следует, что , . Подставляя эти равенства в выражение (1.1.41), для амплитуды возмущения получим . (1.1.43) Подставляя в уравнение (1.1.24) выражение для величины из формул (1.1.29) , получим . (1.1.44) Из уравнения (1.1.18) следует . Подставляя полученное выражение в уравнение (44), получим . С учетом уравнения (1.1.38) получим . Один раз проинтегрируем и запишем . С учетом выражения (1.1.43) для значения получим дисперсионное соотношение [9, 55, 91, 103]: . (1.1.45) Отсюда для скорости волны запишем [9, 55, 91, 103]: , (1.1.46) де – ускорение силы тяжести (ускорение свободного падения); – волновое число, – длина волны; – эффективная толщина атмосферы. В приближении бесконечно протяженной по вертикали атмосферы (или , короткие волны) скорость поверхностной волны соответственно записывается в виде

А в приближении длинных волн (или , длинные волны) скорость поверхностной волны описывается выражением [9, 55, 91, 103]:

Если провести расчеты [91] по формуле (1.1.48) для высоты , то для скорости поверхностной волны получим . Характерное значение скорости распространение барических возмущений в атмосфере порядка . Очевидно, что выражения для скорости распространения волны, представленные формулами (1.1.46) – (1.1.48), не могут количественно описывать распространение барических возмущений в атмосфере. А именно это представляет практический интерес при исследовании волновых процессов. Таким образом, для возмущенной поверхности волны получим

Одна из причин такого несовпадения теории с данными наблюдений заключается в том, что атмосфера не баротропная, а бароклинная.

Поверхностным волнам в атмосфере посвящено много работ, начиная с классических исследований Лапласа (1779), Кельвина (1879), Пуанкаре (1910). В этих работах рассматривались волны в баротропной атмосфере. Недостаток этих исследований заключается в том, что, во-первых, атмосфера не баротропная, а, во-вторых, атмосфера безгранична. Этот недостаток устраняется в теории внутренних волн Тейлора – Гольдштейна (1931 г.). В этом разделе мы рассмотрим теорию Тейлора – Гольдштейна. Уравнение Тейлора – Гольдштейна является волновым уравнением для линейных гравитационных внутренних волн. Рассмотрим двухмерные уравнения Эйлера для не вращающегося и невязкого течения. В приближении Буссинеска запишем [102]

Уравнение (1.2.1) есть уравнение движения в направлении оси . Уравнение (1.2.2) есть уравнение движения в направлении оси . Уравнение (1.2.3) полная производная плотности по времени равна нулю, т.е. плотность воздушной частицы в процессе движения остается постоянной, хотя это не означает, что плотность воздуха одинакова в каждой точке. С учетом уравнения неразрывности видно, что из уравнения (1.2.4) следует равенство нулю дивергенции скорости. Линеаризуем указанные выше уравнения в соответствие с представлением [102] где принимает установившееся, однородное по горизонтали значение, а является возмущением первого порядка. Мы также полагаем, что в невозмущенном состоянии имеет место уравнение статики, т.е.:

Заметим, что так как , , , являются функциями только , то мы можем заменить частные производные на полные. Удобно ввести определение внутренней частоты , как частоты волны относительно потока, т.е. частоты волны, измеренной наблюдателем, движущимся вместе с потоком со скоростью ; следовательно

Заметим, что – это частота волны, наблюдаемая в покоящейся системе отсчета, например, с помощью барографа, установленного на поверхности земли. Чимонас и Хайнз (1986) определяют как доплеровский сдвиг внутренней частоты волны. Скорость ветра в (1.2.18) является компонентой фонового ветра в направлении распространения волны. Если мы рассмотрим два горизонтальных направления, то можно записать где – вектор горизонтальной скорости фонового ветра. Если мы запишем (1.2.18) как то отсюда видно, что наблюдаемая частота больше, чем внутренняя , если волна распространяется в направлении ветра, и меньше, чем , если волна распространяется против ветра. Из (1.2.20) для наблюдаемой горизонтальной фазовой скорости волны получим [88, 102] где – внутренняя фазовая скорость волны в направлении оси . Частота играет важную роль в особенностях распространения гравитационных внутренних волн. Используя соотношения для плотности воздуха для потенциальной температуры: для частоты Брента – Вяйсяля [9, 55, 91, 102, 103]: а также (1.2.18), уравнения (1.2.14) – (1.2.17) запишем в виде

Исследование планетарных поверхностных волн Россби в баротропной атмосфере в приближении бета-плоскости

Отсюда получаем уравнение (1.3.38): Таким образом, для возмущенной поверхности волны получим Заметим, что в приближении -плоскости нет ограничения сверху на длину волны, она может принимать любое бесконечно большое значение.

Если провести расчеты [91] по формуле (1.3.33), аналогично тому, как мы делали в разделе 1.1, для высоты , то для скорости планетарной волны получим . Из формулы (1.3.40) получим, что во вращающейся баротропной атмосфере скорость волны принимает еще большее значение, так как . Под волнами понимается распространение возмущений изобарической поверхности. Характерное значение скорости распространение барических возмущений в атмосфере порядка . Очевидно, что выражение для скорости распространения планетарной поверхностной волны, представленное формулой (1.3.40), не может количественно описывать распространение барических возмущений во вращающейся атмосфере, это же относится и к формуле (1.3.33). А именно это представляет практический интерес при исследовании планетарных волн.

Для внутренних волн во вращающейся атмосфере с учетом сил плавучести получается дисперсионное соотношение [91]:

Сравнивая дисперсионные соотношения (1.3.50) и (1.3.51) для поверхностных и внутренних волн, замечаем, что они существенно отличаются.

Исследование планетарных поверхностных волн Россби в баротропной атмосфере в приближении бета-плоскости

Выше мы считали, что сила Кориолиса относится к конкретной широте местности. В приближении бета-плоскости считается, что сила Кориолиса растет вдоль меридиана по линейному закону.

Уравнение движения. Рассмотрим движение сухого воздуха, описываемого уравнением движения идеальной жидкости в неинерциальной системе отсчета, с учетом вращения Земли:

Рассмотрим плоскость, касательную к поверхности Земли в данной точке поверхности Земли. Ось направим перпендикулярно поверхности Земли. Запишем уравнение (1.4.1) в проекциях на оси координат:

Здесь – плотность воздушной частицы; – плотность окружающей воздушную частицу атмосферы; – ускорение свободного падения. Давление можно представить в виде . Тогда уравнения (1.4.5) – (1.4.7) запишутся в виде Сделаем следующее допущение для баротропной атмосферы: . (1.4.12) Правую часть уравнения (1.4.11) можно представить в виде .

Линеаризуем систему уравнений (1.4.13) – (1.4.15), пренебрегая в них вертикальной скоростью по сравнению с горизонтальными проекциями скорости и вертикальными ускорениями:

Интегрируя уравнение (1.4.20), считая, что горизонтальные проекции скорости не зависят от вертикальной координаты, получим Вертикальная составляющая скорости у плоской поверхности земли (без учета орографии) равна нулю:

Учитывая, что возмущения малы по сравнению с высотой атмосферы , уравнение неразрывности запишем в виде Таким образом, мы получаем систему уравнений (1.4.29), (1.4.30) и (1.4.32). Возьмем производную по переменной от (1.4.28) и по переменной от (1.4.29), но теперь в приближении бета-плоскости учтем, считая теперь уже , и сложим [19]:

Распишем полученное новое слагаемое: Далее будем считать, что параметр остается постоянным. Это допущение называется приближением бета-плоскости. С учетом уравнения неразрывности (1.4.32) запишем

В это уравнение вошла вертикальная составляющая вихря скорости . Получим уравнение переноса вихря в приближении бета-плоскости. Здесь мы учтем, что .

Из уравнений (1.4.28), (1.4.29) и (1.4.32) получим Взяв производную по переменной от первого уравнения и по переменной от второго уравнения, и вычтя полученные выражения получим

Таким образом, задача свелась к системе уравнений (1.4.34) и (1.4.35), в которых добавились слагаемые с параметром . Будем искать решение этой системы в виде: , , .

Сравнивая (1.4.51) и (1.4.53) замечаем, что дисперсионные соотношения отличается не только по виду, но и знаки частот внутренних и поверхностных волн противоположны. Согласно (1.4.51) поверхностные волны за счет бета-эффекта могут распространяться только лишь в положительном направлении, в то время как, согласно (1.4.53) низкочастотные внутренние волны могут распространяться только лишь в отрицательном направлении.

В заключение приведем сводную таблицу дисперсионных соотношений для внутренних и поверхностных волн (таб. 1.1).

Из таблицы видно, что к настоящему времени получены дисперсионные соотношения поверхностных волн в баротропной атмосфере для всех рассматриваемых случаев: без учета вращения Земли, в приближении -плоскости, в приближении бета-плоскости и для случая сферических координат. Однако расчеты показывают, что значения скорости распространения волны в баротропной атмосфере получаются завышенными, по сравнению с наблюдаемыми значениями скорости распространения барических возмущений. К недостаткам теории поверхностных волн относят, во-первых, что атмосфера бесконечна, а во-вторых она бароклинная. Эти недостатки были учтены в теориях гравитационных внутренних волн в атмосфере. Однако природа внутренних волн существенно отличается от природы поверхностных волн. Главное отличие заключается в том, что, если для поверхностных волн распространяющихся, например, вдоль оси , волновые поверхности расположены в плоскости , то для внутренних волн они расположены в плоскости .

Отсюда следуют цели и задачи диссертационного исследования. Целью настоящей диссертационной работы является исследование поверхностных волн в атмосфере с учетом зависимости плотности воздуха от функции перегрева воздушной частицы, вовлеченной в волновое движение.

Для достижения указанной цели были поставлены и решены следующие задачи:

1. Установить зависимость скорости распространения поверхностной волны в атмосфере от функции перегрева воздушной частицы, вовлеченной в волновое движение в атмосфере такой горизонтальной протяженности, когда вращением Земли (силой Кориолиса) можно пренебречь.

2. Указанную выше задачу решить как в приближении мелкой воды, т.е. для тонкой в смысле вертикальной протяженности атмосферы, когда длина волны намного больше толщины атмосферы (длинные волны), так и для атмосферы с бесконечной вертикальной протяженностью, когда длина волны намного меньше толщины атмосферы (короткие волны), а также для атмосферы конечной толщины. 3. Установить зависимость скорости распространения поверхностных планетарных волн от функции перегрева воздушной частицы, вовлеченной в волновое движение в атмосфере такой горизонтальной протяженности, когда вращением Земли (силой Кориолиса) пренебречь нельзя (приближение -плоскости). 4. Указанную выше задачу решить как в приближении бета-плоскости, так и в общем случае сферических координат.

К теории линейных волн во вращающейся атмосфере в приближении -плоскости

Таким образом, мы пришли к известному результату [Госсард, Хук], что вращение Земли приводит к появлению дисперсии у гравитационных длинных волн (волны Кельвина). Отличие нашего результата заключается в выражении (2.3.31) для скорости поверхностной волны в приближении мелкой воды в отсутствии вращения Земли. Из выражения (2.3.37) следует, что в волновое движение может вовлекаться не только холодный воздух, но и теплый воздух с длиной волны больше критического значения, определяемого из равенства:

Таким образом, в волновое движение может вовлекаться холодный воздух произвольной длины волны, а теплый воздух может иметь длину волны больше критического значения . Заметим, что в приближении -плоскости нет ограничения сверху на длину волны, она может принимать любое бесконечно большое значение.

К теории линейных поверхностных волн во вращающейся атмосфере конечной толщины Выше мы получили выражение для скорости поверхностной волны в приближении -плоскости для длинных волн, для которых . Рассмотрим общий случай произвольной длины волны. При анализе поверхностных планетарных волн часто пользуются результатами теории волн в приближении баротропной атмосферы [9, 55, 91, 103]. Согласно этой теории скорость распространения поверхностных волн во вращающейся атмосфере определяется выражением – скорость поверхностной волны в отсутствии вращения; – ускорение силы тяжести (ускорение

свободного падения); – эффективная толщина атмосферы; – параметр Кориолиса, равный удвоенной проекции угловой скорости вращения Земли на вертикальную ось в локальной системе координат. Другими словами, классические теории рассматривают длинные поверхностные волны в баротропной атмосфере.

Целью настоящего раздела является применение теории гравитационных поверхностных волн к распространению планетарных волн с учетом зависимости плотности воздуха от функции перегрева для произвольных длин волн. 2.4.2. Основные уравнения

Повторив преобразования основных уравнений, проведенный в разделе 2.3, запишем систему уравнений в виде

Вертикальная составляющая скорости у плоской поверхности земли (без учета орографии) равна нулю: Таким образом, мы получаем систему уравнений (2.4.3), (2.4.4). Далее поступим также как и в [103], придем к уравнению

Таким образом, задача свелась к решению системы уравнений (2.4.33), (2.4.4) и (2.4.7). В общем случае компоненты скорости можно представить в виде

Здесь первое слагаемое описывает потенциальную составляющую скорости, а второе слагаемое – соленоидальную составляющую. При этом выполняется уравнение неразрывности из этого уравнения следует т.е. потенциал скорости подчиняется уравнению Лапласа. Вертикальная составляющая вихря равна Запишем систему уравнений (2.4.13) – (2.4.14) в виде системы линейных неоднородных уравнений: Дискриминант уравнения равен Найдем определители для решения системы (2.4.16) – (2.4.17) по формулам Крамера: Сравнивая полученные равенства с выражениями (2.4.8), для амплитуд потенциала скорости и функции тока находим Отсюда, как частный случай, когда вращением Земли можно пренебречь , получаем выражение скорости поверхностной высокочастотной по сравнению с волны. Из условия найдем скорость поверхностной волны в приближении тонкой атмосферы, когда (длинные волны). Так как при этом условии , то получим выражение для скорости планетарной поверхностной волны в приближении тонкой атмосферы:

Найдем скорость планетарной волны в приближении бесконечно протяженной по высоте атмосфере. В этом случае (или , короткие волны) и , поэтому получим

Таким образом, в этом разделе получено выражение для скорости поверхностной волны в приближении -плоскости для произвольных по отношению к толщине атмосферы волн. Другими словами, рассмотрен общий случай поверхностных волн в бароклинной атмосфере, из которого частные случаи тонкой и бесконечной протяженной по вертикали атмосферы.

На рисунке 2.4.1 приведены графики зависимости скорости распространения теплых (красным цветом) и холодных (синим цветом) волн от длины волны при различных значениях функции перегрева.

Теория линейных планетарных поверхностных волн Россби-Блиновой в сферических координатах

Краткое резюме по второй главе Для распространения поверхностной волны в атмосфере конечной толщины получено дисперсионное соотношение . (2.5.1)

Отсюда для скорости распространения волны в атмосфере конечной толщины получена формула: где – циклическая частота колебаний точек поверхности волны; – волновое число; – коэффициент теплового расширения воздуха; – функция перегрева на высоте первоначально невозмущенной изобарической поверхности, равная разности температуры воздуха, вовлеченного в волновой и процесс, и окружающей атмосферы. Как видно из формулы (2.5.2) в волновой процесс может быть вовлечен только лишь изначально теплый у поверхности земли воздух, переохлажденный на высоте за счет адиабатического подъема. Выражение для функции перегрева имеет вид: где – значение функции перегрева у поверхности земли; ; – сухоадиабатический градиент температуры; – градиент температуры воздуха в невозмущенном состоянии статики. Из формулы (2.5.3) можно найти уровень выравнивания температур, на котором перегрев равен нулю:

В рамках адиабатической модели конвекции сухого воздуха уровень конвекции равен Функция перегрева на уровне конвекции равна , (2.5.6) то есть воздух на уровне конвекции переохлажден, и именно этот воздух вовлекается в волновое движение.

Формулу (2.5.2) можно также записать в виде: где – частота Брента – Вяйсяля: Если в формуле (2.5.2) за высоту принять уровень конвекции , то для скорости распространения волны получим выражение где – перегрев воздуха у поверхности земли. Таким образом, хотя в волновое движение вовлекается только лишь холодный воздух, но скорость распространения волны зависит от степени перегрева теплового воздуха у поверхности земли.

Таким образом, в волновое движение вовлекается слой воздуха между уровнем выравнивания температур , на котором скорость волны равна нулю, и уровнем конвекции, на котором скорость максимальна. Скорость распространения волны в этом слое растет как корень квадратный от функции перегрева. Из формулы (2.5.2) можно получить два предельных случая. Первый – это случай бесконечно протяженной по вертикали атмосферы, когда (короткие волны). В этом случае и для скорости распространения поверхностной волны получим выражение:

Или, выразив волновое число через длину волны, для скорости распространения волны получим (2.5.10) Второй случай – это волны в тонком слое атмосферы, так называемы приземные длинные волны. В этом случае и , тогда для скорости распространения волны в этом случае получим выражение то есть в приближении тонкой атмосферы дисперсия отсутствует. Для волны во вращающейся атмосфере получено дисперсионное соотношение а для скорости волны выражение где – скорость волны в отсутствии вращения атмосферы согласно формуле (2.5.2). Из выражения (2.5.13) следует, что в волновое движение может вовлекаться не только холодный воздух, но и теплый воздух с длиной волны, удовлетворяющей неравенству:

Теплая волна с длиной волны большей критического значения, определяемого из неравенства (2.5.14), распространяется в слое между поверхностью земли и уровнем выравнивания температур. Рассмотрим два предельных случая. Для бесконечно протяженной по вертикали вращающейся атмосферы длина теплой волны должна быть больше критического значения:

С учетом выражения (2.5.3) для критической длины волны получим выражение: Из формулы (2.5.16) следует, что при приближении к поверхности земли длина теплых волн увеличивается. Аналогично, для тонкой атмосферы критическое значение длины теплой волны равно Из формулы (2.5.17) видно, что максимальное значение критической длины волны получается в середине слоя на высоте : Из формулы (2.5.13) получаем, соответственно, два предельных случая. Для бесконечно протяженной по вертикали вращающейся атмосферы скорость волны равна:

Выше мы считали, что сила Кориолиса относится к конкретной широте местности. В приближении бета-плоскости считается, что сила Кориолиса растет вдоль меридиана по линейному закону.

Классические теории распространения поверхностных волн во вращающейся атмосфере, так называемых планетарных волн, развитые в приближении бета-плоскости, также не дают удовлетворительного количественного совпадения скорости волны с наблюдаемыми значениями скорости распространения барических возмущений в атмосфере [9, 55, 91, 103]. В настоящем разделе теория линейных планетарных поверхностных волн в приближении бета-плоскости развита с учетом зависимости плотности воздуха от функции перегрева, т.е. с учетом сил плавучести. Получено выражение для скорости планетарной поверхностной волны, зависящей от функции перегрева. Полученное выражение для скорости поверхностной волны дает лучшее совпадение с данными наблюдений в отличие от классической теории волн в баротропной атмосфере.