Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Постановка проблемы управления параметрами плазмы в токамаках 13
1.1 Введение , 13
1.2 Получение набора статических равновесий плазмы 14
1.3 Линейные модели для управления положением, формой и током плазмы 16
1.4 Выбор регуляторов для системы управления с обратными связями 29
1.5 Нелинейные модели плазмы 31
1.6 Заключение 34
ГЛАВА 2. Построение линейных моделей для управления положением, формой и током плазмыв токамаке
2.1 Введение 36
2.2 Основные формулировки... 37
2.3 Вычисление коэффициентов матриц в линейных моделях.. 44
2.4 Область применимости линейных моделей 50
2.5 Сравнение "жесткой" и "деформируемой" линейных моделей 52
2.6 Линейные "деформируемые" модели с трехмерным описанием проводящих структур 56
2.7 Заключение 57
ГЛАВА 3. Методы синтеза регуляторов для системы управления параметрами плазмы в токомаках 59
3.1 Введение 59
3.2 Анализ робастных свойств регуляторов систем стабилизации плазмы 60
3.3 Описание установок, используемых для анализа систем управления 71
3.4 Синтез и применение регуляторов с простой структурой... 76
3.5 Синтез и применение регуляторов с динамической структурой 82
3.6 Синтез и применение нелинейных регуляторов 88
3.7 Заключение 94
ГЛАВА 4. Нелинейное моделирование системы управления положением, током и формой плазмы в токамаке - реакторе ИТЭР 95
4.1 Введение 95
4.2 Нелинейное моделирование системы управления током и формой плазмы в токамаке - реакторе ИТЭР-FDR 95
4.3 Нелинейное моделирование системы управления положением, током и формой плазмы в токамаке — реакторе ИТЭР-FEAT 98
4.4 Нелинейное моделирование сценариев развития плазмы в токамаке - реакторе ИТЭР-FEAT 109
4.5 Заключение 127
ГЛАВА 5. Применение методов управления для стабилизации мгд - неустоичивостеи с учетом резистивности вакуумной камеры в токамаке - реакторе ИТЭР 129
5.1 Введение 129
5.2 Объект управления 132
5.3 Моделирование системы стабилизации RWM неустойчивости 135
5.4 Заключение 145
Заключение 147
Список литературы 152
- Линейные модели для управления положением, формой и током плазмы
- Сравнение "жесткой" и "деформируемой" линейных моделей
- Описание установок, используемых для анализа систем управления
- Нелинейное моделирование системы управления положением, током и формой плазмы в токамаке — реакторе ИТЭР-FEAT
Введение к работе
Проведение экспериментов с плазмой на современном уровне в термоядерных установках токамак невозможно без систем управления параметрами плазмы. Эти системы могут отличаться идеологией и степенью сложности структуры, однако все они включают в себя управление с обратной связью положением, током и формой плазмы [1, 2, 3, 4]. Крупные последние успехи, достигнутые в исследованиях физики удержания и нагрева высокотемпературной плазмы на токамаках, непосредственно связаны с решением проблем стабилизации вертикально неустойчивых конфигураций и точного управления током и формой плазмы. Среди них особо следует отметить эксперименты с зажиганием термоядерной плазмы с дейтерий-тритиевой смесью топлива на токамаках TFTR в США и JET в Англии и модельным экспериментом с дейтерий-дейтериевой смесью топлива на токамаке JT-60 Up в Японии. Большой интерес также вызывают последние экспериментальные результаты, полученные на сферических токамаках NSTX [5] в США, MAST [6] в Англии и Глобус-М [7] в России. Этот интерес обусловлен не только исследованием новых физических явлений в удержании энергии в плазме и ее устойчивости, но и очевидными возможностями прикладного использования этой концепции (нейтронные источники и т.п.) [8]. Успехи, достигнутые в понимании физики высокотемпературной плазмы и в технологии получения стабильных разрядов, позволили поставить на повестку дня создание на международной основе экспериментального термоядерного реактора ИТЭР [9]. Целью этого проекта является получение и поддержание в течение длительного времени (как минимум 400 секунд) термоядерной реакции дейтерий-тритиевой плазмы. В термоядерном реакторе нагрузки на первую стенку и в диверторной области значительно превышают значения, характерные для экспериментальных установок, поэтому нарушение режима разряда может сильно влиять на ресурс энергонапряженных элементов реактора и приводить к повреждению дорогостоящих и труднодоступных элементов конструкции. Отсюда вытекают
6 повышенные требования к качеству управления параметрами плазмы для обеспечения надежной работы реактора. Повышенные требования, а также объединение усилий мирового термоядерного сообщества для решения поставленных проблем привели к значительному прогрессу в исследованиях систем управления параметрами плазмы в области теории, развития программного обеспечения, численного моделирования и эксперимента на действующих установках. На сегодня эти исследования включают решение четырех сложнейших проблем [10]:
Разработка программных сценариев для различных фаз развития разряда: заведение тока в катушки полоидального магнитного поля, инициация плазмы, подъем тока плазмы, образование диверторной конфигурации, дополнительный нагрев, зажигание термоядерной реакции и поддержание ее горения, снижение тока плазмы и гашение термоядерной реакции, вывод тока из полоидальной магнитной системы и подготовка к следующему циклу разряда.,
Управление магнитной конфигурацией плазмы: управление током плазмы, магнитной конфигурацией основной плазмы (например, выбранными зазорами между границей плазмы и первой стенкой) и магнитной конфигурацией диверторной области (положение х-точки, положение ветвей сепаратрисы в диверторных каналах и точек их касания на диверторной мишени). Сюда же можно отнести стабилизацию корректирующими катушками тороидальных МГД — неустойчивостей плазмы с учетом проводящих структур.
"Кинетическое" управление и управление параметрами диверторной системы: управление поведением основной плазмы (плотность и мощность термоядерной реакции, содержание примесей и доля излучаемой мощности, инжекция примесей в основную плазму) и управление диверторной плазмой (откачка, подача газа в дивертор и инжекция примесей, оптимизация магнитной конфигурации с целью
улучшения характеристик дивертора). Судя по последним результатам в этой области, основная проблема здесь заключается в создании адекватных упрощенных моделей для целей управления и диагностики контролируемых параметров. 4. Быстрое гашение плазмы: снижение тока плазмы и гашение
термоядерной реакции с помощью инжекции примесей или водорода. В диссертации представлены результаты решения первых двух задач. Основное внимание уделено вопросам проектирования программного управления разрядом тока плазмы и управления с обратными связями. Главные направления при создании системы управления параметрами плазмы с обратной связью можно свести к построению упрощенной модели, описывающей динамику параметров плазмы, и выбору законов управления (регуляторов), позволяющих стабилизировать эти параметры. На ранних этапах построения систем управления плазмой в современных токамаках основное внимание уделялось стабилизации вертикального и радиального положений плазмы, которые определялись из данных магнитных измерений как интегральные параметры. При этом предполагалось, что смещения плазмы в вертикальном и горизонтальном направлениях слабо связаны, и процессы стабилизации смещений плазмы находятся на различных временных шкалах. Анализ поведения положения плазменного шнура проводился на упрощенных моделях, где плазма рассматривалась как "жесткое" недеформируемое тело. Для управления смещениями плазмы использовались специально выделенные обмотки, напряжения на которые подавалось согласно аналоговому сигналу обратной связи с выбранного регулятора. Синтез регуляторов базировался на анализе экспериментальных результатов и проводился методом настройки их параметров согласно эмпирическим критериям устойчивости. Такие регуляторы в основном обладали простейшей структурой: пропорциональной, дифференциальной или интегральной, то есть сигнал управляющего напряжения равнялся взвешенной сумме сигнала ошибки, его производной и
его интеграла. Одним из преимуществ простых регуляторов являлась их робастная устойчивость, что было следствием грубости модели, используемой для синтеза [11]. Быстрое развитие компьютерной цифровой техники позволило значительно расширить возможности анализа и сложность построения систем управления параметрами плазмы в токамаках. В первую очередь это относится к резкому увеличению числа контролируемых переменных, и, как следствие, управление формой плазмы в реальном времени стало вполне осуществимой задачей. Одновременно появились возможности использования сложных алгоритмов восстановления формы плазмы по магнитным измерениям в реальном времени (XLOC алгоритм [12], EFIT алгоритм [13], функциональная параметризациями]). Следующим естественным шагом на пути построения систем управления стали исследования для создания математических моделей, описывающих динамику положения, тока и формы плазмы. В диссертации произведен подробный анализ этих исследований и предложен современный подход к решению данной проблемы. На базе моделей для управления положением, током и формой плазмы с обратной связью стало возможным применение различных подходов синтеза регуляторов для объектов со многими входами и выходами. Построенные на базе моделей и регуляторов, рассмотренных в диссертации, системы управления положением, током и формой плазмы обладают следующими техническими достоинствами [15]:
-для экспериментальных установок предложенный систематический метод сокращает время, требуемое для наладки системы управления, и обеспечивает значительную гибкость при использовании новых конфигураций плазмы. Отметим, что на токамаке DIII-D до «25% экспериментального времени тратится на задачи управления, -для проектируемых установок многие вопросы построения системы управления могут быть решены до запуска установки и, что более важно, на многие решения проекта может повлиять улучшение управляемости плазмы. Это утверждение особенно справедливо для токамака — реактора
ИТЭР, где решение конструктивных вопросов было сильно увязано с
возможностями системы управления параметрами плазмы, -предложенный подход к построению системы управления позволяет
установить различные приоритеты на точность управления
контролируемых параметров исходя из их важности для получения
требуемых физических параметров плазмы, -уже на стадии проектирования системы управления возможно учесть
ограничения, накладываемые другими системами токамака (в частности,
системой электропитания управляющих обмоток). Проблема синтеза регуляторов является ключевой при создании систем управления положением, током и формой плазмы, так как от свойств регуляторов во многом зависит развитие и поведение плазмы в разряде. Поэтому естественно определить критерии, по которым различные регуляторы могли бы сравниваться. Одним из важнейших таких критериев является степень робастных свойств регуляторов, то есть способность регулятора обеспечивать устойчивость системы при неопределенности параметров модели, которая в первую очередь связана с изменяющимися параметрами плазмы в разряде. На сегодня универсальный математический подход к решению этой проблемы не разработан. Однако исследования в этом направлении интенсивно ведутся. В диссертации рассматриваются два наиболее развитых современных подхода, позволяющих оценить робастные качества регуляторов в частотной области и в области параметров.
Завершающим этапом построения системы управления положением, током и формой плазмы является нелинейное моделирование разрядов тока на полномасштабных динамических кодах. Анализ полученных здесь результатов позволяет сделать окончательное заключение о качестве разработанной системы управления. Большинство систем управления современных экспериментальных установок прошло тестирование на различных динамических кодах, что обеспечило их успешную работу в экспериментах. В
качестве наиболее яркого примера можно привести тестирование интегрированной системы управления установки DIII-D с помощью кода ДИНА, который моделировал только конструкцию и плазму токамака с выходом сигналов магнитной диагностики, а управляющие напряжения согласно разработанным алгоритмам подавались на обмотки через реальную цифровую систему и нелинейные модели источников электропитания. [16]. Исследования системы управления положением, током и формой плазмы на токамаке - реакторе ИТЭР были завершены моделированием различных сценариев развития плазмы. Впервые за всю историю проекта было продемонстрировано на полномасштабном динамическом коде ДИНА, что разработанная система управления способна обеспечить подъем тока плазмы, образование диверторной конфигурации, дополнительный нагрев, зажигание темоядерной реакции и поддержание ее горения, снижение тока плазмы и гашение термоядерной реакции, вывод тока из полоидальной магнитной системы. Здесь же был использован метод, изложенный в диссертации, построения программного управления (программных напряжений на управляющих обмотках токамака в течение разряда).
Диссертация состоит из введения, пяти глав и заключения. Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, формулируются цель работы и направления исследований, приведена краткая история исследований по теме диссертации, краткая аннотация диссертационной работы по главам и положения, выносимые на защиту. Первая глава посвящена вопросам построения системы управления положением, током и формой плазмы в токамаках. В этой главе диссертации представлены основные задачи, которые должны быть решены при создании системы управления параметрами плазмы, и дан обзор современного состояния по каждой из них. Во второй главе диссертации подробно обсуждается проблема создания линейных моделей, используемых для построения системы управления положением, током и
11 формой плазмы. Здесь же приводится усовершенствованный метод получения линейных моделей для базовых равновесий плазмы токамака - реактора ИТЭР. Третья глава посвящена методам синтеза регуляторов для систем управления параметрами плазмы. Предлагается два способа для анализа робастных свойств регуляторов. Обсуждаются методы синтеза регуляторов с простой структурой и продемонстрирована их применимость для систем управления плазмой в сферических токамаках Глобус-М и MAST. Приведены методы синтеза регуляторов с динамической структурой и их использование в токамаке -реакторе ИТЭР. Показаны возможности нелинейных регуляторов ("предсказывающих") на примере токамака — реактора ИТЭР. В четвертой главе представлены результаты нелинейного моделирования системы управления положением, током и формой плазмы в токамаке - реакторе ИТЭР. Особое внимание уделено результатам моделирование сценариев развития плазмы в токамаке - реакторе ИТЭР-FEAT. В пятой главе приведены результаты моделирования системы стабилизации МГД — неустойчивостей плазмы с учетом проводящей вакуумной камеры в токамаке — реакторе ИТЭР. В Заключении сформулированы основные результаты диссертационной работы.
Основные положения, выносимые на защиту.
Методы построения и анализа программного управления полоидальными обмотками токамака и управления положением, формой и током плазмы с обратными связями.
Методы построения линейных в окрестности положения равновесия плазмы математических моделей для создания системы управления параметрами плазмы с обратными связями и их и исследование.
Методы синтеза законов управления (регуляторов), обеспечивающих стабилизацию параметров плазмы на различных фазах ее сценария, на базе линейных моделей.
Выбор и применение критериев робастности законов управления (регуляторов) для токамаков.
Построение систем управления положением, формой и током плазмы с обратными связями в сферических токамаках Глобус-М и MAST и результаты их исследования.
Результаты математического моделирования сценариев развития плазмы на полномасштабных нелинейных моделях (кодах) с учетом программного управления и управления с обратными связями в токамаке - реакторе ИТЭР.
Применение современных методов управления для стабилизации МГД -неустойчивостей плазмы с учетом проводящей вакуумной камеры в токамаке — реакторе ИТЭР.
Линейные модели для управления положением, формой и током плазмы
Необходимость в проведении физических и инженерных исследований проблемы создания эффективных систем управления параметрами плазмы обусловлена потребностью экспериментаторов в достижении параметров разряда тока в плазме, близких к предельным значениям. Особое значение качество управления плазмой приобретает в крупных экспериментальных и реакторных установках с высоким энергосодержанием плазмы, где нарушение режима разряда может приводить к значительному снижению ресурса и повреждению энергонапряженных элементов установки. Решение задачи оптимизации программного управления напряжениями полоидальных обмоток и управления с обратной связью возможно лишь при наличии математической модели плазменного шнура, позволяющей достаточно точно описать его поведение в реальных условиях на реакцию появляющихся возмущений и на управляющее воздействие. На сегодняшний день одним из наиболее распространенных подходов к решению проблемы построения системы управления плазмой в токамаках состоит в следующем: - получение набора статических равновесий плазмы для некоторых характерных моментов времени в сценарии развития тока плазмы. Впоследствии этот набор равновесных состояний будем называть "базовым набором равновесий" плазмы. Эти равновесия описывают развитие плазменного шнура для заданного сценария физических параметров плазмы (как правило, это интегральные параметры, такие как ток плазмы 1Р, большой радиус плазмы Rp, малый радиус плазмы ар, вытянутость плазмы К, величина внутренней индуктивности плазмы / отношение давления плазмы к давлению полоидального магнитного поля Д,, потери магнитного потока на сопротивлении плазмы ej). Одновременно определяются и предварительные программные управляющие напряжения на полоидальных обмотках, которые используются в качестве оценок для мощности системы электропитания; - создание для выбранных базовых равновесий линейных моделей, описывающих эволюцию положения, формы и тока плазменного шнура в окрестности базового равновесия; - на базе линейных моделей синтез алгоритмов управления параметрами плазмы с обратной связью (выбор регуляторов); - нелинейное динамическое моделирование сценариев развития разряда тока плазмы с учетом программного управления и синтезированных регуляторов в цепи обратной связи. Для этого анализа используются коды, описывающие поведение плазменных параметров наиболее полно; - по результатам нелинейного моделирования производится коррекция как программного управления, так и управления с обратной связью, позволяющая оптимизировать развитие разряда тока плазмы. Первая из проблем, которую необходимо решить при создании системы управления, заключается в расчетах набора статических равновесий плазмы, описывающих сценарий развития тока плазмы. В общепринятой постановке эта задача состоит в нахождении токов в полоидальных обмотках по заданным резистивным потерям в плазме (определяемым из физических скейлингов или других предположений), эволюции интегральных параметров плазмы (ток, внутренняя индуктивность /j, Д) и геометрической формы плазмы ([17], [18]). Одновременно находятся предварительные программные напряжения на полоидальных обмотках для оценки мощности источников питания. При этом наведенные токи в пассивных структурах не учитываются и каждое статическое равновесие плазменного шнура рассчитывается независимо. По сути, решение этой задачи определяет программу эволюции параметров плазмы и токов в обмотках, которая должна быть отработана системой управления. Отметим один из современных подходов к постановке задачи по получению базовых равновесий [19]. Он заключается в задании в качестве входных данных не интегральных характеристик 7, и /,, а профилей давления, полоидального тока и запаса устойчивости q плазмы, получаемых из экспериментальных данных или из расчетов с использованием транспортных кодов. При такой постановке увеличивается достоверность определяемых токов в полоидальных обмотках. Один из примеров решения задачи (выполненным автором диссертации) в постановке, указанной выше, показан на Рис. 1.1 - 1.2 [19] (ИТЭР, сценарий №4 со слабым обратным широм магнитного поля). По заданным от нормализованного потока Ч7 = профилям давления р и полоидального тока ff (см. Рис. 1.1), рассчитанными по транспортному коду АСТРА, находится сепаратриса плазмы (см. Рис. 1.2) с профилями тока j и запаса устойчивости q, показанными на Рис. 1.1. Как можно видеть из Рис. 1.2, полученная в результате решения задачи сепаратриса плазмы практически совпадает с заданной. Другим важным результатом является существенная разница в токах полоидальных обмоток по сравнению с аналогичным решением, выполненным при задании интегральных характеристик /, и Д. Линейные модели для управления положением, формой и током плазмы. Линейные модели являются основой при создании систем управления положением, формой и током плазмы в экспериментальных установках типа токамак и приобретают особую значимость в таких проектах, как проект экспериментального термоядерного реактора ИТЭР. Основными достоинствами линейных моделей является то, что они позволяют: - провести анализ пассивной стабилизации плазмы и определить требования к геометрии проводящих конструкций, что особенно важно для вертикально неустойчивых плазменных конфигураций; - определить требования к источникам электропитания активных катушек полоидальными магнитного поля по быстродействию и мощности; - синтезировать регуляторы, которые обеспечивают стабилизацию плазменного шнура с обратными связями. На сегодняшний день теория синтеза различных регуляторов наиболее развита для линейных моделей объекта управления.
Сравнение "жесткой" и "деформируемой" линейных моделей
Для моделирования системы управления параметрами плазмы используются нелинейные модели, а именно динамические коды, позволяющие описывать наиболее полно эволюцию плазмы от начальной фазы до стадии ее гашения. Нелинейное моделирование, как наиболее близкое к эксперименту, позволяет решить следующие задачи: - верифицирование как программного управления, так и управления с обратными связями, - определение диапазона изменений параметров плазмы в течение всего разряда, - уточнение характеристик мощности систем электропитания полоидальных обмоток в течение разряда. Все современные динамические коды позволяют включать различные системы управления, модели источников питания и отличаются, в основном, степенью сложности в описании транспортных процессов в плазме. К наиболее простым с этой точки зрения относятся коды MAXFEAR [32] и PET [33, 34]. MAXFEAR - это двумерный конечно — элементный код, решающий задачу идеального МГД - равновесия со свободной границей с учетом наведенных токов в пассивных проводниках- и токов в активных обмотках. По сути, это электромагнитный код, поскольку профиль тока плазмы параметризуется в терминах двух параметров, относящихся к внутренней индуктивности плазмы /, и давлению плазмы. Ток плазмы либо задается, либо определяется из условия сохранения потока на магнитной оси. Преимуществами такого кода является его простота, быстродействие, удобство в использовании, что дает возможность тестирования систем управления при различных возмущениях. Примерно аналогичным коду MAXFEAR является код PET в версии без учета диффузии поля. Код PET разработан в институте прикладной математики им. М. В. Келдыша, г. Москва при непосредственном участии автора диссертации. Основные отличия кода PET заключаются в том, что это двумерный конечно -разностный код, позволяющий решать задачу равновесия со свободной границей при заданных токах в проводниках. Поэтому он более приспособлен для построения линейных моделей базовых равновесий. Отметим, что на базе кода PET были построены все линейные модели, которые использовались при создании базы данных управления проекта ИТЭР. Обладая теми же преимуществами что и MAXFEAR, код PET в то же время более точный и согласованный с точки зрения результатов моделирования. В последней версии кода PET добавлена диффузия магнитного поля (по аналогии с кодом ДИНА) для определения тока плазмы. Входными параметрами являются временная зависимость средней электронной температуры плазмы, эффективного заряда Z , а также профили давления, полоидального тока и запаса устойчивости д.
Наиболее развитыми с точки зрения описания транспортных процессов в плазме являются код TSC [35] и код ДИНА [36]. TSC - это двумерный код со свободной границей плазмы, позволяющий описывать транспортные процессы в плазме (электронная и ионная теплопроводность, диффузия частиц, сопротивление плазмы и. т. д.) на прямоугольной сетке.
Код ДИНА успешно верифицировался с экспериментальными результатами на токамаках DIII-D, TCV и JT-60U. Код решает двумерную задачу равновесия плазмы со свободной границей совместно с системой транспортных уравнений (усредненных по магнитным поверхностям) для параметров плазмы. Код позволяет моделировать нагревы нейтральными частицами и а - частицами. Бутстреп токи, токи увлечения от инжекции нейтральных частиц и высокочастотного нагрева учитываются в расчетах. Для вычисления проводимости плазмы используется неоклассический подход. Различные скейлинги для L- моды и Н — моды задаются в расчетах. Отметим тот факт, что именно код ДИНА был использован для моделирования различных сценариев, включая и сценарий с обратным широм, токамака — реактора ИТЭР. Проблема сравнения инкрементов вертикальной неустойчивости, получаемых на линейных и нелинейных моделях, отражена в [37]. Основной вывод, который следует из анализа, заключается в том, что инкременты для обеих моделей очень хорошо совпадают в широком диапазоне плазменных конфигураций с различными параметрами.
Другое сравнение линейной (построенной на базе кода PET) и нелинейной моделей (код MAXFEAR) показано на Рис. 1.14 [38]. Здесь представлены результаты моделирования замкнутой системы управления при возмущении MD1 для конфигурации плазмы ИТЭР, соответствующей началу плато тока (SOF). На рисунке соотнесены поведения контролируемых параметров формы плазмы gl - g6 для обеих моделей. Таким образом, из рисунков следует вывод об адекватности моделей плазмы, предназначенных для анализа системы управления на обратных связях.
Основные результаты, обсужденные в этой главе, можно сформулировать следующим образом: 1. Определены задачи, которые должны быть решены при создании системы управления параметрами плазмы. Они включают в себя: получение набора статических равновесий плазмы (базовых), создание для выбранных базовых равновесий линейных моделей, на базе линейных моделей синтез алгоритмов управления плазмой с обратной связью (выбор регуляторов), нелинейное динамическое моделирование сценариев развития разряда тока плазмы с учетом программного управления и синтезированных регуляторов в цепи обратной связи, по результатам нелинейного моделирования коррекция программного управления и управления с обратной связью. 2. Реализован метод получения базовых равновесий плазмы с наиболее достоверными профилями давления, полоидального тока и запаса устойчивости д. 3. Методы построения линейных моделей для системы управления положением, током и формой плазмы имеют специфику для каждой из современных экспериментальных установок. При проектировании токамака - реактора ИТЭР использовались модели, разработанные автором диссертации. 4. В современных системах управления используются различные методы синтеза регуляторов на базе линейных моделей. Выбор оптимальных регуляторов для системы с обратными связями - это компромисс между точностью, быстродействием, робастностью и затратами мощности. 5. Нелинейное моделирование разрядов плазмы должно быть неотъемлемой частью при создании системы управления, как наиболее близкое к эксперименту. Для этого существуют различные динамические коды, отличающиеся степенью сложности описания транспортных процессов в плазме.
Описание установок, используемых для анализа систем управления
Так как умножение любой матрицы (например Ґ) на положительно определенную матрицу {L[ или R) не меняет число положительных и отрицательных собственных значений (закон инерции квадратичных форм [46]), то для одного положительного числа тг (то есть неустойчивая мода) существует только одно положительное число /и, и наоборот, которое определим как запас устойчивости ms. Очевидно, что, если ms 0, то либо плазма устойчива на шкале постоянных времени пассивных структур, либо неустойчива на альфеновских временах. Из (2.20) ясно, что величина ms не зависит от сопротивлений, а зависит только от геометрии, проводников. Собственный вектор xs, соответствующий запасу устойчивости ms, определяет распределение токов в проводниках, возникающих при мгновенном смещении плазмы по направлению, в котором она неустойчива. Можно показать, что запас устойчивости, определенный через (2.20), совпадает с аналогичной величиной для "жесткой" линейной модели (см. п. 2.5). Физический смысл величины ms заключается в том, что она есть нормированная разность между стабилизирующей силой, действующей на плазму со стороны токов в идеально проводящих пассивных структурах при мгновенном смещении плазмы, и дестабилизирующей силой, вызванной вытягиванием формы плазмы полоидальными обмотками. Поэтому она определяет, насколько хорошо с точки зрения стабилизации пассивная структура приближена к плазме. Чем ближе пассивная структура к плазме, тем величина ms больше и наоборот. При проектировании системы управления уже приемлемым считается значение ms«0.5. Однако отметим, что даже при большом значении ms более важная величина для стабилизации плазмы тг из (2.16) может быть невысокой из—за низкой проводимости пассивных структур. Таким образом, для обеспечения необходимого уровня пассивной стабилизации плазмы требуется, чтобы обе величины Ту и тп$ были достаточно высоки, т. е. хорошо проводящие структуры должны быть приближены к плазме, насколько это позволяют конструктивные условия. В этом случае эффективность системы управления значительно повышается.
На базе линейной модели (2.14) производится синтез регуляторов для системы управления с обратными связями положением, формой и током плазмы, то есть нахождение передаточной матрицы К С?), связывающей измеренные сигналы положения, тока и формы плазмы с напряжениями на управляющих обмотках U{s) = K(s)g(s), где s - переменная Лапласа, так, чтобы обеспечить необходимое качество управления.
При проектировании системы управления положением, формой и током плазмы задаются возможные возмущения параметров плазмы, которые должны быть отработаны системой управления. Как правило, к таким возмущениям относятся изменения внутренней индуктивности плазмы U и параметра. Д,, связанные с перестройками профилей температуры и тока при "малых срывах" (см, п. 1.2). Теперь введем возмущения параметров плазмы в линейную модель. Пусть St; - вектор возмущений, тогда уравнение (2.7) примет вид (закон Кирхгофа):
Вычисление коэффициентов матриц в линейных моделях. Опишем процедуру вычисления коэффициентов матриц в линейной модели для конфигурации плазмы в момент времени, соответствующий началу плато тока плазмы (SOF), созданной при проектировании экспериментального токамака -реактора ИТЭР. На рис. 2.1 показаны конфигурация плазмы, положение точек на сепаратрисе, по которым ведется управление формой плазмы в течение разряда, пассивная структура, схематично представленная внутренним и внешним аксиально-симметричными кольцами внутри вакуумной камеры и двумя стенками вакуумной камеры. Что касается управляющих обмоток, то они описываются в линейной модели 11 контурами. Внутренние и внешние кольца разбиваются на 3 контура каждое. Внутренняя и внешняя стенки вакуумной камеры делятся на 25 аксиально-симметричных контуров каждая. Таким образом, в линейную модель входят 67 состояний (контуров).
Количество контуров, на которое разбивается пассивная структура, выбирается таким образом, чтобы переходные процессы, описываемые линейной моделью, слабо зависели от дискретизации. Покажем на примере, что 3 контура, представляющие наведенные токи на внешнем кольце, и 25 контуров для внутренней стенки вакуумной камеры достаточно хорошо описывают распределение токов. Выбор этих пассивных структур в качестве примера связан с тем, что они оказывают наибольший стабилизирующий эффект на плазму. Рассмотрим моделирование "малого срыва" тока плазмы (см. п. 1.3) без включения системы управления с обратными связями с различным числом контуров в линейной модели для внешнего кольца и внутренней стенки вакуумной камеры. На Рис. 2.2 показаны распределения наведенных токов во внешнем кольце в момент времени, соответствующий вертикальному смещению плазмы при "малом срыве" zc » 0.15м, если используются три и шесть контуров. Из Рис. 2.2 следует, что удвоение числа контуров с трех до шести слабо влияет на распределение тока.
На Рис. 2.3 показаны распределения токов на внутренней стенке вакуумной камеры при "малом срыве" в тот же момент времени с использованием в линейной модели 25-ти и 50-ти контуров. Аналогично Рис. 2.2 можно наблюдать хорошее совпадение распределений наведенных токов. Более того, удвоение числа контуров для описания токов во внешнем кольце и внутренней стенке вакуумной камеры практически не меняет как динамических характеристик линейной модели, так и эволюции формы плазмы. Отметим, что наведенные токи на внутреннем кольце и на внешней стенке вакуумной камеры не оказывают существенного влияния на стабилизацию плазмы.
Из вышеизложенного анализа следует, что 56 контуров достаточно хорошо описывают распределение наведенных токов в пассивной структуре. После выбора контуров, входящих в линейную модель, можно переходить к вычислению коэффициентов матриц. Для этого проводятся следующие этапы: 1. Восстановление базовой конфигурации плазмы по заданным токам в по-лоидальных обмотках и параметрам плазмы. Как правило, базовые конфигурации плазмы берутся из статических расчетов сценария развития плазмы (см. п. 1.2). Восстановление конфигурации плазмы выполняется с помощью кода равновесия со свободной границей. В данном случае использовался код PET, позволяющий решать задачу равновесия плазмы со свободной границей как с учетом, так и без учета наведенных токов в пассивных структурах.
Нелинейное моделирование системы управления положением, током и формой плазмы в токамаке — реакторе ИТЭР-FEAT
Как отмечалось в Главе 1, существуют различные методы синтеза регуляторов,, создаваемых на базе линейных моделей, для стабилизации параметров плазмы в системах управления с обратными связями. На практике успешно применяются как статические регуляторы с простой структурой (Р, PD, PID), так и регуляторы с динамической структурой (Н2, Н ,, LQG). Несомненными достоинствами регуляторов с простой структурой является то, что они могут достаточно просто "настраиваться" по экспериментальным данным и результатам моделирования, то есть коэффициенты матриц регулятора выбираются согласно некоторому алгоритму таким образом, чтобы обеспечить устойчивость рассматриваемого процесса. Такие регуляторы использовались на установках JET, ASDEX, DIII-D (см. п. 1.4). Естественно, при этом оптимальность системы управления по точности, быстродействию и затратам мощности может быть не достигнута. Этот недостаток устраняется регуляторами с динамической структурой, где критерии оптимальности заложены в самом их синтезе. Помимо требования асимптотической устойчивости, которое в большинстве случаев обеспечивается не единственным образом, такие регуляторы гарантируют достижение экстремума некоторого функционала, характеризующего качество динамики процесса. Использование регуляторов с динамической структурой находит в последнее время все более успешное применение на крупнейших действующих установках (DIII-D, TCV). Более того, именно на базе таких регуляторов была спроектирована система управления положением, формой и током плазмы в токамаке-реакторе ИТЭР, где необходимо обеспечить высокое качество управления для различных режимов работы установки. Однако в основе синтеза этих регуляторов лежит достаточно точная модель объекта управления, что предъявляет серьезные требования к созданию линейных моделей, адекватно описывающих динамику плазмы. В конечном счете, выбор регуляторов для системы управления в токамаках есть вопрос искусства разработчиков, учитывающих в каждом конкретном случае особенности полоидальной магнитной системы, пассивной структуры и системы электропитания управляющих катушек. Вопрос робастности регуляторов (то есть свойства сохранять устойчивость процессов при неопределенности параметров объекта) в применении к системам управления параметрами плазмы в токамаках на сегодняшний день остается открытым, так как не определен универсальный критерий сравнения робастных свойств регуляторов. Некоторые из возможных критериев робастности будут обсуждаться в п. 3.2. В этой главе будут рассмотрены различные методы синтеза регуляторов (статических и динамических), и их применение к построению систем управления положением, током и формой плазмы в токамаках ГЛОБУС-М, MAST, ИТЭР-FDR, ИТЭР-FEAT.
Анализ робастных свойств регуляторов систем стабилизации плазмы. Прежде всего, рассмотрим проблему робастных свойств регуляторов. Ее актуальность связана с тем, что регуляторы, используемые в системе управления плазмой, должны обеспечивать стабилизацию в течение всего плазменного разряда, когда происходят неопределенным, образом динамические изменения плазменных параметров. Регуляторы же строятся на базе линейных моделей только для выбранных статических равновесий плазмы (базовых), ожидаемых во время разряда. Таким образом, система управления тока, положения и формы плазмы в токамаках функционирует в условиях существенного влияния различного рода неопределенностей, которые относятся к математической модели объекта управления, к внешним возмущениям и к динамическим изменениям плазменных параметров. В этих условиях представляет значительный интерес привлечение различных подходов к анализу систем стабилизации с учетом наличия неопределенностей. Особого внимания заслуживают методы количественного оценивания мер (границ) робастной устойчивости и робастного качества замкнутых систем управления с обратной связью. Несмотря на то, что не существует универсального математического подхода к этой проблеме, в настоящее время известны два глобальных фундаментальных направления [51], позволяющих учитывать наличие различного рода неопределенностей: группа методов анализа и синтеза в частотной области, и группа аналогичных методов в пространстве параметров. Отметим, что проблема робастных регуляторов имеет существенное значение прежде всего для токамака — реактора, где несколько сценариев развития плазмы с различными параметрами должны быть стабилизированы с высокой точностью. Поэтому сравнение робастных свойств в данном разделе будет проведено для регуляторов, используемых при создании базы данных токамака — реактора ИТЭР FEAT по управлению (см. п. 1.3, п. 1.4). Для малых установок (MAST, ГЛОБУС-М) проблема робастности регуляторов не так ярко выражена из-за возможности многочисленного тестирования и настройки регуляторов в системе управления по экспериментальным данным.
Для исследований робастных свойств в частотной области привлекаются методы ц-анализа. Основной целью теории р.-анализа является определение допустимых границ вариаций возмущений модели для заданного стабилизирующего регулятора., В пределах этих границ регулятор должен обеспечивать сохранение устойчивости замкнутой системы для любых возмущений модели.
