Содержание к диссертации
Введение
1. Состояние вопроса 10
1.1. Обзор литературы 10
1.2. Описание объекта исследования 24
1.3. Постановка задачи исследования 31
2. Разработка математической модели тепловых и гидродинамических явлений при бесслитковой прокатке . 35
2.1. Основные уравнения 35
2.2. Краевые условия 43
2.3. Метод решения 48
2.4. Алгоритм численной реализации 59
2.5. Анализ ошибок аппроксимации модели 64
2.6. Заключение 71
3. Изучение тепло- и массопереноса в процессе затвердевания методом физического моделирования . 73
3.1. Описание установки для исследования процесса затвердевания оптически прозрачных жидкостей . 74
3.2. Методика проведения экспериментов 80
3.3. Сопоставление результатов математического и физического моделирования 92
3.4. Заключение 108
4. Численный анализ закономерностей стальной корки при бесслитковой прокатке 109
4.1. Исходные данные расчетов 109
4.2. Затвердевание непрерывной листовой стальной заготовки из неподвижного расплава 111
4.3. Количественная оценка тепловой эрозии твердой фазы 121
4.4. Влияние некоторых основных параметров бесслитковой прокатки стали на процесс затвердевания при конвекции жидкой фазы 126
4.5. Рекомендации по рациональным.параметрам бесслитковой прокатки 136
4.6. Экономическая эффективность проведенных исследований 138
4.7. Заключение 141
Литература 146
Приложение 159
- Описание объекта исследования
- Анализ ошибок аппроксимации модели
- Сопоставление результатов математического и физического моделирования
- Влияние некоторых основных параметров бесслитковой прокатки стали на процесс затвердевания при конвекции жидкой фазы
Введение к работе
Главным направлением развития черной металлургии в СССР на I98I-I985 годы и на период до 1990 года является коренное улучшение качества и увеличение выпуска эффективных видов металлопродукции. Предусматривается довести разливку стали на машинах непрерывного литья до 35-37 млн.тонн в год.
Одним из возможных путей повышения производительности труда при производстве стального листа является освоение бесслитковой прокатки, обладающей целым рядом преимуществ по сравнению с обычным способом изготовления листа из слябов. Получение непрерывной листовой заготовки непосредственно из расплава, минуя энергоемкие операции обработки металлов давлением в черновых клетях прокатных станов, содерзшт мощный резерв повышения эффективности производства стального листа и его качества.
У нас в стране и за рубежом неоднократно предпринимались попытки реализации бесслитковой прокатки стального листа. Однако этот прогрессивный технологический процесс до настоящего времени не нашел в металлургии черных металлов промышленного применения. Практические попытки в этом направлении приводят к серьезным трудностям, которые связаны с недостаточной изученностью влияния перегретого расплава на процесс формирования твердой фазы слитка. В этой ситуации особенно актуальными становятся исследования взаимосвязанных конвективных и тепловых явлений, протекающих в стальном расплаве при его затвердевании.
Настоящая диссертационная работа посвящена теоретическому анализу процесса получения непрерывной листовой стальной заготовки на устройстве, конструкция которого предложена на производственном объединении Уралмаш (г.Свердловск).
Целью работы является создание и экспериментальная апробация математической модели затвердевания при бесслитковой прокатке, а также изучение путем численной реализации ее на ЭВМ закономерностей формирования корочки стали на вращающемся валке-кристаллизаторе в зависимости от основных конструктивных и технологических параметров процесса.
Поставленная цель достигается путем формулировки на основе связанной системы дифференциальных уравнений тепло- и массопере-носа краевой задачи о тепловом состоянии системы кристаллизатор-слиток-расплав с учетом гидродинамических явлений в перегретом расплаве и контактного теплообмена между валком-кристаллизатором и затвердевающей корочкой металла с последующим решением ее на ЭВМ.
При разработке алгоритма численного решения получены эмпирические оценки эффективности применения различных аппроксимирующих разностных схем для конвективных членов уравнений переноса завихренности и тепловой энергии, позволяющие значительно сократить затраты машинного времени и повысить точность получаемого решения.
Для проверки математической модели разработан и поставлен эксперимент по замораживанию дистиллированной воды в полукольцевой области при одновременном определении оптическими методами профиля твердой фазы, скоростей и траекторий течения, а также тепловых потоков в жидкой фазе. С помощью проведенного сопоставления расчетных и экспериментальных результатов определения теплового и гидродинамического состояния жидкости при затвердевании доказывается адекватность математической модели ее физическому аналогу.
На основании численных расчетов получены простые зависимости для инженерной оценки основных технологических параметров бес-слитковой прокатки листа из среднеуглеродистой стали (перегрев расплава, скорость вращения валков-кристаллизаторов, интенсивность теплоотвода). Расчетным путем установлен факт наличия и проведена количественная оценка локального оплавления (тепловой эрозии) непрерывно затвердевающей на валке-кристаллизаторе стальной корки, рост которой с учетом гидродинамики расплава не подчиняется традиционному закону квадратного корня.
На защиту выносится:
- методика расчета затвердевания стального листа на вращающемся валке-кристаллизаторе в условиях конвективной циркуляции перегретого расплава;
- результаты экспериментального определения оптическими методами профиля твердой фазы, гидродинамического и теплового состояния модельной жидкости при ее затвердевании в полукольцевой области;
- апробация математической модели затвердевания путем сопоставления результатов численного и физического (тестового) экспериментов;
- результаты численного исследования закономерностей формирования стального листа при бесслитковой прокатке. Оценка величины локальной тепловой эрозии и рекомендации по снижению ее интенсивности.
Результаты исследований переданы производственному объединению Уралмаш для использования при проектировании и назначении технологических режимов бесслитковой прокатки стального листа.
Диссертация состоит из введения, четырех глав, списка литературы и приложения, в котором приведены документы, подтверждающие практическую значимость исследований. Работа изложена на 103 страницах машинописного текста, содержит 44 рисунка, I таблицу и библиографический список, включающий 128 наименований работ отечественных и зарубежных авторов.
Приведенные в диссертации материалы являются результатами исследований, проведенных автором за время учебы в очной аспирантуре и работы на кафедре "Теплотехника" Пермского политехнического института (г.Пермь) в течение 1977-1982 гг. Вычислительные работы проводились на ЭВМ БЭСМ-6 в вычислительных центрах Института математики и механики (г.Свердловск) и Института механики сплошных сред (г.Пермь) Уральского научного центра АН СССР. Экспериментальные работы по физическому моделированию затвердевания проводились в лаборатории кафедры "Теплотехника" Пермского политехнического института.
Автор признателен Нисковских В.М. и Миценгендлеру Ю.И. за помощь в изучении металлургических аспектов проблем бесслитковой прокатки и обсуждение результатов численных расчетов. Автор выражает благодарность Ошивалову М.А. и Шахурдину В.И. за участие в организации и проведении экспериментальных работ на оптической установке. Автор особо признателен Цаплияу А.И. за помощь в постановке задачи, обсуждение результатов исследований и полезные замечания при чтении рукописи диссертации.
Описание объекта исследования
Математическая модель для расчета фронта кристаллизации, учитывающая перемещение расплава у поверхности раздела фаз, предложена в работе / 42 /. Авторами этой работы используется коэффициент конвекции, численное значение которого определяется в зависимости от скорости циркуляции расплава, его вязкости и высоты изложницы. Модельные представления применены для расчета профиля затвердевания при непрерывной разливке.
Исследования влияния вынужденной конвекции жидкой стали на процесс кристаллизации непрерывного слитка проведены Шмидтом П.Г. / 43 /. На основе разработанного и экспериментально апробированного устройства (активатора) для механического перемешивания жидкой стали установлено, что вращение и вибрация расплава при получении непрерывных стальных слитков круглого сечения благоприятно сказывается на качестве металла и вызывает ускоренный рост столбчатых кристаллов, оси которых отклоняются в зависимости от движения жидкого расплава. По мнению автора, для активного воздействия механического перемешивания на качество круглой заготовки скорость расплава вдоль фронта затвердевания следует поддерживать в пределах 0,65-0,8 м/с.
В работе / 44 / проводится количественный анализ влияния жидкостного потока внутри затвердевающего слитка из углеродистой стали на характер сегрегации в зоне затвердевания. В результате наличия вихревого движения расплава, отклонение направления роста кристаллов потоком жидкости и оплавляющее воздействие потока на затвердевающий металл доказаны экспериментально.
Явления, происходящие при затвердевании сплавов, рассмотрены в работе Кьеза А. и Гатри Р. / 45 /. Процесс теплопереноса в жидкой фазе описывается одномерным уравнением теплопроводности с использованием эмпирического коэффициента теплоотдачи на границе твердой и жидкой фаз. Авторы считают, что при ячеисто-дендритном затвердевании конвекция в междендритном пространстве подавлена и наблюдается, таким образом, только при температуре выше температуры ликвидуса. Конвекция в случае плоского или ячеистого затвердевания возможна, по мнению авторов, и в слое двухфазной зоны, непосредственно примыкающем к расплаву, то есть в активном районе двухфазной зоны по терминологии Самойловича Ю.А. / 46 /. Эти выводы получены на основе анализа затвердевания и плавления свинца и его сплавов с оловом.
С увеличением перегрева, то есть при высоких значениях критерия Грасгофа, устойчивость ламинарного режима нарушается, течение становится хаотичным, турбулентным. Это явление учитывается в работе Самойловича Ю.А. / 47 / путем интегрирования системы уравнений энергии и движения для удлиненного жидкого ядра цилиндрической формы с использованием полу эмпирической теории Прандтля для учета турбулентных пульсаций. Кроме того, учтены зависимость коэффициента кинематической вязкости от температуры и сокращение размеров ядра по известному закону квадратного корня. В результате расчетов удалось выявить две стадии: стадию активной циркуляции и стадию "ползущего" течения. По данным автора, максимальное значение скорости в стадии активной циркуляции составляет около 0,5 м/с. В заключительной стадии скорость потоков в массивных стальных слитках не превышает 0,08-0,12 м/с.
Инженерная методика расчета скоростей турбулентного потока в характерных точках поперечного сечения жидкого ядра отливки предложена Котешовым Н.П. / 48 /. Конвекция вызвана градиентом температуры по сечению ядра и неравномерной плотностью расплава в нем. В результате расчета ламинарной и турбулентной конвекции максимальные скорости имеют значение 0,2-0,3 м/с. Разработанная методика позволила автору прогнозировать на количественном уровне формирование структурных зон, распределение неметаллических включений и ликватов в отливке.
Теоретическое и экспериментальное изучение конвективного движения расплава было проведено Ефимовым В.А. / 49 /. В результате подтверждено перемешивание жидкого ядра слитка до полного его затвердевания. Отмечено хорошее совпадение расчетных данных с результатами экспериментального моделирования. В частности показано, что абсолютная величина средней скорости в вертикальном направлении изменяется для слитка спокойной стали от 0,01 до 0,35м/с при увеличении перегрева от I до 4 градусов.
Ряд экспериментальных и расчетных исследований конвективных потоков в жидкой сердцевине затвердевающих слитков было проведено в работах Иодко Э.А. / 50-53 /. Применительно к телам простой формы (полубесконечная плита и цилиндр) ими были сформулированы нестационарные уравнения конвективного переноса тепла. Решение уравнений, полученное в форме степенных рядов, позволило выявить закономерности циркуляции металла в жидком ядре слитка. Получение такого решения оказалось возможным благодаря упрощающему предположению о заданном законе роста твердой фазы. Эксперименты, проведенные на технически чистом нафталине, подтвердили расчетные данные. В результате исследований получены максимальные значения скоростей восходящего и нисходящего потоков металла, которые при перегреве в один градус составляют 0,008-0,01 м/с. Наблюдаемое в указанных опытах движение расплава было обусловлено начальной температурной неоднородностью и представляло собой результат лишь свободной конвекции.
В работе / 54 /, посвященной исследованию затвердевания на вальцевых кристаллизаторах, предполагается, что расплав находится вне пограничного слоя в состоянии покоя. При этом, по мнению автора, неизбежно присутствующий конвективный перенос теплоты во всем объеме жидкой фазы позволяет считать температуру расплава приблизительно постоянной. Путем решения одномерной нестационар-ной задачи при заданном по закону квадратного корня продвижения границы раздела фаз исследованы зависимости интенсивности намерзания твердой фазы от скорости вращения кристаллизаторов и величины температурного напора по толщине затвердевшей корочки.
Теоретический анализ неустановившейся естественной конвекции в расплаве дан в работе / 55 /. Авторами рассматривается тепло-массоперенос в приближении Буссинеска, согласно которого учитываются лишь те изменения плотности, которые вносят вклад в выталкивающую силу. Отставание по времени между подводом тепла к поверхности раздела фаз и перемещением этой поверхности принято малым. Это позволило считать границу затвердевания неподвижной для малых промежутков времени.
Анализ ошибок аппроксимации модели
В статье Джакупова К.Б. / 62 / рассмотрен нестационарный процесс естественной конвекции в замкнутой полости при затвердевании вязкой жидкости. Для численного решения в каждый момент времени область незатвердевшего расплава отображается на квадрат путем введения вспомогательных переменных, зависящих от положения границы раздела фаз, на которой ставятся условия теплового баланса и баланса массообмена. На основании результатов определения положений границы затвердевания и траекторий течения расплава получен вывод о том, что с уменьшением области жидкой фазы интенсивность течения возрастает. Этот вывод противоречит характеру развития течения жидкого ядра в процессе его затвердевания, интенсивность которого сначала возрастает, достигает максимального значения, а затем убывает. Именно такое поведение скорости конвективной циркуляции во времени получено Самойловичем Ю.А. и Яс-ницким I.H. / 63 /. При рассмотрении нестационарного затвердевания слитка в песчаной форме авторы показали, что скорость течения в некоторой срединной контрольной точке области возрастает в течение лишь небольшого начального периода кристаллизации,достигает максимального значения, а затем постепенно снижается в ходе процесса продвижения границы и исчезает при полном затвердевании слитка. На основании численного решения сопряженной задачи показано, что в целом картина термогравитационного течения состоит из серии отдельных небольших вихрей, объединенных в общий контур. У поверхностей затвердевания при этом имеют место нисходящие потоки, скорость течения которых составляет 0,03 м/с. Сравнивая полученное решение с решением при неподвижном расплаве, авторы приходят к выводу о том, что конвективная циркуляция смещает тепловой центр жидкой фазы вверх с образованием в донной части слитка зоны охлажденного расплава.
Для исследования затвердевания непрерывного слитка в работе Крюгера Р. и Острача С. / 64 / применен метод конформного преобразования областей расплава и твердой фазы. Это позволило авторам использовать разностный метод решения дифференциальных уравнений переноса на ортогональных сетках с явным выделением границы затвердевания, на которой ставятся условия сопряжения с учетом выделения скрытой теплоты плавления. Приводятся результаты исследования естественной и смешанной конвекции. Показано, что при &z =10 общая- картина течения определяется вынужденной конвекцией, возникающей при вытяжке слитка. При Gz jO преобладающую роль играет свободная конвекция. Скорости течения при этом более, чем на порядок превышают скорость вытяжки. Анализируя тепловое состояние слитка, авторы приходят к выводу о том, что естественная конвекция создает в донной части жидкого ядра изотермически захоложенную зону. Интенсивность циркуляции при недостаточна, по мнению авторов, для существенного изменения положения фронта кристаллизации.
Численный метод решения плоской задачи затвердевания предложен в работе / 65 /. Авторы рассматривают намерзание льда на поверхности кругового цилиндра при обтекании его ламинарным потоком дистиллированной воды. В основе методики численного анализа сопряженной задачи с учетом инверсии плотности лежит метод фиксированной границы. Для учета нестационарного продвижения поверхности раздела фаз вводятся новые независимые переменные. Сопоставление результатов расчета и экспериментальных наблюдений дает превосходное, по мнению авторов, совпадение. Ими, в частности, показано влияние конвекции воды на неравномерность роста ледяной корки по окружности цилиндра. В нижней застойной точке расчеты дают максимальную толщину корки льда с характерным острым углом, названным авторами "лезвием ножа".
Разработка математической модели процесса непрерывного литья с учетом связанности затвердевания и конвективной циркуляции расплава посвящена статья Асаи С. и Шекли Ю. / 66 /. Задача исследования сводится к совместному решению стационарных уравнений переноса тепловой энергии и завихренности. При этом турбулентный характер течения учитывается введением эффективной вязкости, которая определяется согласно модели Колмогорова-Прандтля с использованием дополнительного дифференциального уравнения баланса турбулентной энергии (подробное описание численной модели турбулентного течения и результаты применения ее для исследования движения расплава при электромагнитном перемешивании и продувке аргоном приведены в других работах этих же авторов / 67-68 Д В двухфазной зоне, где выделяется скрытая теплота плавления, предполагается, что диффузионная вязкость возрастает с уменьшением температуры по эмпирическому экспоненциальному закону. Причем подвижной считается только третья часть ширины двухфазной зоны со стороны расплава. Отмечается неплохое, по мнению авторов, совпадение результатов расчетов и натурных экспериментов на реальных стальных слитках по толщине затвердевающей корки. Расчетным путем установлено существенное влияние конвекции расплава на процесс кристаллизации непрерывного слитка. Особенно ярко это продемонстрировано при исследовании затвердевания с различными способами подачи перегретого расплава в область жидкой фазы. Показано, что применение сопла радиального течения по сравнению с осевой подачей вызывает качественную перестройку всей картины течения и, как следствие этого, значительное изменение профиля твердой фазы.
Общая модель усложняется тем, что по результатам решения задачи тепло- и массопереноса проводится оценка ликвационных явлений и траекторий движения частиц неметаллических включений, которые определяются в результате суперпозиции эффектов гидродинамики расплава и плавучести самих частиц. При этом осуществляется количественная оценка геометрических размеров элементов неметаллической природы, которые "улавливаются" границей твердой фазы. Показано, что с уменьшением скорости разливки снижается максимальный диаметр частиц, вмерзающих в слиток. Более крупные неметаллические включения поднимаются к зеркалу расплавленного металла и присоединяются к шлаку. Аналогичные исследования поведения неметаллических включений при затвердевании плоской плиты рассматривались в более ранней работе Шекли Ю. / 69 /.
Сопоставление результатов математического и физического моделирования
Конструкция устройства бесслитковой прокатки непрерывной стальной полосы предложена на производственном объединении Уралмаш / 17 /. Его принципиальная схема приведена на рис.1.1.
Основным рабочим органом установки являются два валка (3), одновременно выполняющие роль кристаллизаторов. Поверхностный слой валков выполнен из меди и охлаждается водой, циркулирующей по специальным внутренним каналам. Валки вращаются в противоположных направлениях и поджимаются друг к другу с постоянным регулируемым усилием. Перегретый стальной расплав (I) заливается в ванну до такого уровня, чтобы горизонтально расположенные валки-кристаллизаторы контактировали с жидким металлом не менее чем на половине своей рабочей поверхности. Дно и стенки ванны футеруются огнеупорным материалом и перед заливкой расплава прогреваются с помощью газовых горелок до температур 700-800 С.
Вследствие теплоотвода в валках-кристаллизаторах на их рабочих поверхностях намерзают корочки металла. При вращении кристаллизаторов, угловая скорость которых имеет возможность плавной регулировки, затвердевшие слои стали соприкасаются друг с другом наружными поверхностями, представляющими собой фронт кристаллизации. Даже при незначительных усилиях обжатия они свариваются между собой в зоне контакта и образуют монолитную непрерывную листовую заготовку (2). По мере выхода из устройства готового проката уровень расплавленного металла в ванне рабочей зоны поддерживается постоянным путем подпитки из промежуточной емкости.
Профиль получаемой таким способом полосы зависит от условий формирования твердой фазы на рабочих поверхностях кристаллизаторов. Цри этом толщина готового листа практически полностью определяется размером корочек затвердевшего металла, который они имеют к моменту соприкосновения. Бесслитковое получение стального листа непосредственно из расплава по данной схеме имеет целый ряд достоинств, основные из которых заключаются в следующем: - устройство отличается простотой и компактностью не только собственно агрегата прокатки, но и вспомогательного оборудования, и вследствие этого естественно вписывается в поточные линии технологических процессов; - возрастает качество прокатки по сравнению с горячекатаным из сляба листом за счет уменьшения ликвационных явлений при высокой скорости кристаллизации из постоянного объема перегретого расплава; - возникает возможность управления процессом затвердевания со стороны жидкой фазы, что является существенным для получения листа с нужными свойствами и структурой; - сводятся к минимуму потери металла и затраты энергии на деформирование вследствие исключения операций обжатия в черновых клетях стана горячей прокатки; - возрастают возможности непрерывного контроля и автоматизации совмещенных процессов разливки и прокатки. Отсюда становится очевидным, что осуществление бесслитковой прокатки в металлургии черных металлов продиктовано стремлением к дальнейшему повышению производительности труда, уменьшению зат 27. рат производства и улучшению качества получаемой продукции. На производственном объединении Уралмаш был спроектирован и изготовлен опытный образец стана бесслитковой прокатки стали данной конструкции. Габаритные размеры созданной установки, общий вид которой представлен на рис.1.2, не превышают 3-5 метров. Диаметр рабочей поверхности валков-кристаллизаторов равен 0,6 м, а их длина 0,4 м. Проектная толщина получаемой листовой заготовки находится в диапазоне от 0,005 до 0,025 м при скоростях вращения валков от I до 10 оборотов в минуту.
На начальном этапе отработки технологии бесслитковой прокатки данная установка была переоборудована для одностороннего намораживания корочки стали на одном валке-кристаллизаторе (рис.1.3). В такой одновалковом варианте машины были проведены пробные разливки для средне- и малоуглеродистых сталей при линейной скорости вытяжки 0,017-0,034 м/с, что соответствует скорости вращения кристаллизатора 0,5-1,0 оборот в минуту. Расплав подавался в машину перегретым на 70 Ю5С, а расход охлаждающей кристаллизатор воды составлял 0,024-0,027 м3/с
В результате проведенных разливок была показана принципиальная возможность получения стального листа на установке данной конструкции. Были отлиты листовые заготовки толщиной 0,006-0,010 м, длина которых однако не превышала 1,5-2,0 м. Устойчивого стационарного режима работы машины достичь не удалось. Одна из основных причин нестабильности бесслитковой прокатки состоит в том, что листовая заготовка, постепенно утоняясь, обрывалась через 2-3 минуты после выхода из устройства затравки (рис.1.4).
Влияние некоторых основных параметров бесслитковой прокатки стали на процесс затвердевания при конвекции жидкой фазы
Использование несимметричных разностей, ориентированных против потока, для аппроксимации как первой, так и второй производных, придает схеме (2.50) свойство транспортивности. Однако она, как и схема (2.47), неконсервативна. Кроме того, использование пятиточечного (по каждому направлению координат) разностного шаблона существенным образом увеличивает трудоемкость численной реализации безвязкостной схемы (2.50) по сравнению с предыдущими. Таким образом, каждая из рассмотренных схем аппроксимации конвективных членов уравнений переноса имеет свои преимущества и недостатки. Обобщение опыта практических расчетов / 41,96 / свидетельствует о невозможности абсолютной априорной оценки эффективности применения той или иной схемы. Поэтому выбор наилучшей из рассмотренных схем целесообразно провести из соображений точности решения и трудоемкости его получения в смысле затрат машинного времени на основании анализа результатов численного эксперимента на поставленной задаче. Это будет сделано в заключительном параграфе настоящей главы после рассмотрения всей методики расчета.
Не менее важное значение при дискретизации краевой задачи имеет форма разностного представления граничных условий. Задание температуры на границе расчетной области не содержит принципиальных трудностей и сводится, как правило, к замене дифференциальных операторов в выражениях (2.26)-(2.32) конечно-разностными аналогами / 97 /.
Одной из главных проблем вычислительной гидродинамики является задание граничных условий по завихренности / 82,83,98,99 /. Уравнение (2.20) описывает лишь перенос завихренности диффузией и конвекцией, однако зарождается завихренность не во внутренних точках, а на твердых границах, где ставятся условия прилипания. Распространение именно этой, возникшей на твердой стенке завихренности, и определяет фактически всю картину течения. Однако для нахождения граничных значений О) недостаточно условий типа Неймана, которые можно получить, зная скорости движения границ. Поэтому в практике расчетов широкое применение нашли так называемые приближенные граничные условия для завихренности, которые основаны на разложении функции тока в ряд Тейлора в окрестности границы (условия Тома / 100 /, условия Вудса / 83 /). Точность этих условий определяется погрешностью удовлетворения условия прилипания. Грязновым В.Л. и Полежаевым В.И. / 99 / предложен двухконтурныи метод расчета завихренности на границе, обеспечивающий выполнение условия прилипания на каждом временном слое. Суть его заключается в следующем. Вводится дополнительный граничный контур Гл » отстоящий от основной границы Г0 на расстоянии шага сетки. Контур Г% является граничным для расчета завихренности. Значения ( ) J г определяются из уравнения Пуассона (2.21). При этом функция тока в точках Г, "подправляется" из разностного аналога условия прилипания.
Проведенные нами расчеты по решению задачи затвердевания при конвекции в полукольцевой области выявили высокие демпфирующие свойства двухконтуряых условий на границе, которые в сочетании с менее жестким ограничением на величину временного шага позволили сократить время расчета стационарного режима более чем в 3 раза по сравнению с использованием формул Тома и Вудса. Аналогичный эффект был получен авторами метода / 99 / при рассмотрении конвекции в прямоугольной области.
Рассмотрим двухконтурную методику расчета граничных значений СО более подробно применительно к границе затвердевания, которая в общем случае не проходит через узлы сетки (рис.2.1). Точки пересечения поверхности твердой фазы с линиями сетки (на рис.2.1 они обозначены а, 6 и С ) образуют граничный контур Г0 , а точки О, I и 3 - контур Г . Для вычисления завихренности в точке 0 используется конечно-разностная запись уравнения Пуассона, которая в обозначениях рис.2.1 имеет следующий вид: где % , % и Ф3 - значения функции тока в точках контура /7 , определяемые из второго условия (2.40) в виде а значения ф на границе затвердевания вычисляются согласно (2.35).
Смещение границы для завихренности внутрь жидкой фазы приводит к исключению из рассмотрения слоев, непосредственно прилегающих к фронту затвердевания, и содержащих наибольшие температурные градиенты. Для их компенсации авторами работы / 59 / предложено вводить добавки к подъемной силе в точках жидкой фазы, удаленных от границы затвердевания на расстояние менее двух шагов сетки. Так в точке 2 (обозначения рис.2.1) радиальный градиент температуры, входящий в выражение (2.22), представляется в виде где производная (bt/dz) аппроксимируется в точке 2 центральными разностями. Таким образом, подъемная сила приграничного слоя толщиной оа условно переносится в первую внутреннюю для завихренности точку жидкой фазы.
Особенности вычислений у границы затвердевания не касаются уравнения переноса энергии, которое решается по схеме сквозного счета / 101 / с удовлетворением граничных условий (2.26)-(2.29) на постоянной границе.
