Введение к работе
Актуальность темы и степень её разработанности
Диссертационная работа посвящена математическому моделированию влияния интенсивных внешних воздействий на динамику водного слоя жидкости, заполняющего бассейн заданной конфигурации. Такие воздействия, прежде всего, могут проявляться в проблеме волн цунами, в задачах, связанных с их возникновением. История знает множество случаев, когда зародившиеся в океане крупные волны приносили колосальные повреждения побережью, поэтому исследование морских природных катастроф имеет очевидную практическую направленность.
Проблему цунами традиционно разделяют на несколько направлений: образование волн, их распространение в открытом океане и выход на побережье. На сегодняшний день распространение волн в океане в виду отсутствия точных данных донного рельефа представляет собой сложную задачу в вычислительном плане, а процесс обрушения волн на побережье и его затопление требует учёта сложных нелинейных эффектов, решение всего комлекса которых затруднено с математической точки зрения. До сих пор окончательно неисследованными остаются причины зарождения катастрофических волн, поскольку провести реальное наблюдение и оценку параметров очага волнообразования представлется сложной задачей, в этом случае большую роль играет математическое моделирование.
Можно выделить некоторые малоизученные сценарии образования крупных океанических волн или применить новые подходы к уже существующим. Например, в последнее время возник интерес к малоизвестному процессу зарождения цунами стоком воды в сейсмические трещины, так называемому стоковому механизму. Впервые дал название этому процессу и обратил к нему особый интерес Левин Б. В. с коллегами, проведя лабораторные опыты и анализ донного стока. Впоследствии были предложены иные приближения для описания стокового механизма: в виде разлома, провала и прочие.
Существует малая вероятность попадания в океан тела из космического пространства достаточного для возбуждения крупных волн. Тем не менее, возникновение цунами в результате падения астероида не лишено перспективы для дальнейшего изучения, поскольку разрушения, вызванные космогенными цунами, могут иметь грандиозные масштабы.
Даже известная модель волнообразования в океане, детально описанная в ставших уже классическими работах Шокина Ю. И. и Пелиновского Е. Н., – модель вертикальных подвижек дна – не теряет своей актуальности. Используемый в настоящее время подход в виде статический деформации водной поверхности при численном моделировании таких подвижек не учитывает длительность процессов в очаге волнообразования.
Результатом интенсивного внешнего воздействия на слой жидкости может служить не только зарождение цунами. В малом масштабе могут возникать поверхностные волны при движении ударной волны в газе вдоль поверхности жидкости. Такие ударные волны могут возникать, например, при движении поршня или детонации газовых смесей. Естественной практикой в подобных задачах служит численное моде-
лирование с применением полной системы уравнений Навье-Стокса и учёта сложного взаимодействия на границе раздела двух сред различной природы. Апробация результатов расчётов по комплексной модели явления требует проведения трудоёмких лабораторных экспериментов, кроме того, затруднено построение аналитического решения, позволяющего получить критические значения модельных величин для решения прикладных задач. В таких случаях рассматривают упрощённые модели в некотором приближении, служащие для тестирования более реалистичных.
Таким образом, задачи моделирования катастрофических волновых явлений в сложных акваториях остаются актуальными по настоящее время.
Цели и задачи диссертации
Целью диссертации является построение математических моделей, разработка и реализация численных методов для проведения исследований волновых явлений на поверхности слоя жидкости, заполняющего бассейн заданной конфигурации, при различных внешних воздействиях. Цель диссертации состоит из задач:
-
Разработать численную схему для расчётов краевых задач с уравнениями мелкой воды по типу TVD схем.
-
Построить математическую модель стокового механизма образования цунами и провести численное исследование образования и распространения волн на поверхности жидкости при локальном провале дна.
-
Исследовать стоковый механизм образования цунами при наличии системы раскрывающихся донных трещин и провести численное моделирование волнообразования на поверхности жидкости, связанного с бегущим разломом дна.
-
Численно исследовать образование и распространение волн на поверхности жидкости при подъёме естественных донных образований в форме: кальдеры, гайота и простой горы.
-
Провести численное моделирование космогенного цунами в виде погружения твёрдотельного цилиндра в слой жидкости.
-
Изучить аналитически и численно задачу образования волн при движении ударной волны в газе над поверхностью жидкости.
Научная новизна работы
Для проведения вычислительных экспериментов по рассматриваемым в диссертационной работе задачам представлена оригинальная модификация хорошо зарекомендовавшей себя численной TVD схемы Хартена. Модификация схемы обладает достоверностью оригинальной схемы и простотой программной реализации.
В диссертационной работе рассматриваются подходы к моделирования малоизученного, стокового механизма образования цунами. В работе представлены результаты расчётов и анализ образования волн при длительном опускании части дна, а также
постепенном расширении подводного провала. Такие приближения отражают длительность процесса волнообразования и учёт горизонтальной динамики.
В мировой практике моделирования волнообразования вертикальными подвижками дна зачастую применяют подход в виде статической деформации водной поверхности, соответствующей деформации дна, и не учитывают длительность процесса, а также не рассматривают неоднородность подвижки. В диссертации проводится расчёт вертикальных длительных подвижек широкораспространённых типов подводных образований: кальдеры, гайота и простой горы; проводится анализ результатов моделирования волнообразования по каждому типу.
Как приближение к моделированию космогенного цунами в диссертации проводится математическое моделирование процесса образования волн при погружении цилиндрического твёрдого тела в слой жидкости со скоростью, сравнимой со скоростью падающего астероида. По результатам моделирования делаются выводы о взаимосвязи параметров тела и образованных волн.
Используемое в диссертационной работе приближение мелкой воды с учётом поля внешнего давления определённой конфигурации позволило построить как численное, так и совпадающее с ним аналитическое решение задачи образования и распространения волн при выходе ударной волны в газе с твёрдого уступа на поверхность жидкости при допущении отсутствия влияния деформации водной поверхности на течение газа. Получены характерные особенности возникающих течений в связи с параметрами ударной волны.
Теоретическая и практическая значимость
Проведённые расчёты поставленных задач и выводы по ним дополняют спектр моделей, описывающих возникновение катастрофических волн типа цунами, новыми подходами к моделированию стокового механизма образования цунами, позволяют оценить масштабность и катастрофичность волн космогенного цунами, помогают иначе взглянуть на укоренившиеся подходы к моделированию вертикальных подвижек дна, а также дают возможность провести оценку воздействия ударных волн на поверхность жидкости.
Методология и методы исследования
В диссертационной работе для решения поставленных задач использовались: аппарат механики слошных сред для формулирования задач; теория уравнений мелкой воды для построения математических моделей исследуемых явлений; методы теории дифференциальных уравнений для построения и анализа точных решений; метод конечных разностей из класса TVD схем для численного решения сформулированных задач, реализованный с помощью открытой библиотеки для параллельных вычислений MPICH.
Положения, выносимые на защиту На защиту выносятся полученные в работе следующие результаты:
-
Построена математическая модель и проведены численные расчёты возникновения волн обратной полярности на поверхности слоя жидкости при провале участка дна. Показана эффективность гашения таких волн неглубоко затопленным препятствием в виде подводного хребта.
-
Проведено численное моделирование возникновения поверхностных волн стоковым механизмом образования цунами при наличии системы раскрывающихся донных трещин и показана направленность волнообразования при расширении подводного разлома.
-
На математической модели вертикальных подвижек дна численно исследован процесс возникновения и распространения волнового возмущения на поверхности жидкости при подъёме широко распространённых типов подводных объектов: кальдеры, гайота и простой горы.
-
Численно изучена модель космогенного цунами в виде погружения твёрдотельного цилиндра в слой жидкости, выявлены особености волнообразования и связь между параметрами погружающегося тела и параметрами возникающих волн.
-
Исследован процесс образования поверхностных волн под воздействием плоской ударной волны в газе, движущейся с постоянной скоростью над поверхностью жидкости. Получены численное и аналитическое решения задачии, выявлены основные зависимости между параметрами ударной волны и волнами на поверхности жидкости.
Степень достоверности и апробация результатов
Достоверность результатов диссертации обусловлена использованием строгих математических моделей динамики жидкости, как уравнения мелкой воды. Используемая численная схема, основанная на хорошо известном численном алгоритме, подвергалась верификации на аналитических решениях тестовых задач.
Основные результаты диссертационной работы были представлены на следующих российских и международных научных мероприятиях:
-
X Всероссийская конференция с участием иностранных учёных Проблемы мониторинга окружающей среды. Кемерово, 27-30 октября 2009 года.
-
Международная конференция Лаврентьевские чтения по математике, механике и физике. Новосибирск, 23-27 августа 2010 года.
-
XXXV Дальневосточная математическая школа-семинар имени академика Е. В. Золотова. Владивосток, 31 августа – 5 сентября 2010 года.
-
V Сахалинская молодёжная научная школа Природные катастрофы: изучение, мониторинг, прогноз. Южно-Сахалинск, 8-11 июня 2010 года.
-
X Всероссийский съезд по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики. Нижний Новгород, 24-30 августа 2010 года.
-
Геодинамические процессы и природные катастрофы в Дальневосточном регионе: научная конференция, посвящённая 65-летию Института морской геологии и геофизики ДВО РАН. Южно-Сахалинск, 26-30 сентября 2011 года.
-
XI Всероссийская конференция с участием иностранных учёных Проблемы мониторинга окружающей среды. Кемерово, 24-28 октября 2011 года.
-
Конференция-семинар Актуальные направления в механике сплошных сред. Санкт-Петербург, 2-6 июля 2012 года.
-
Международная конференция Обратные и некорректные задачи математической физики, посвящённая 80-летию со дня рождения академика М. М. Лаврентьева. Новосибирск, 5-12 августа 2012 года.
-
XVIII Международная конференция по вычислительной механике и современным прикладным программным системам (ВМСППС’2013). Алушта, Крым, 22-31 мая 2013 года.
-
The International Summer School-Conference ”Advanced Problems in Mechanics” (APM 2013). Saint Petersburg, 1-6 July 2013 year.
-
XI Всероссийский съезд по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики. Казань, 20-24 августа 2015 года.
По теме диссертации опубликованы 22 научные работы, в том числе 8 статей в рецензируемых научных изданиях, включенных в Перечень рецензируемых научных изданий, в которых должны быть опубликованы основные результаты диссертаций на соискание ученой степени кандидата наук, на соискание ученой степени доктора наук.
Результаты, изложенные в данной работе, получены при частичной финансовой поддержке ДВО РАН (код проекта 0262-2015-0066) и Программы фундаментальных исследований Президиума РАН по стратегическим направлениям развития науки Фундаментальные проблемы математического моделирования (код проекта 0262-2014-0157).
Личный вклад автора
Выводы и результаты диссертации получены автором самостоятельно. В совместной с научным руководителем работе автором были проведены постановка задачи, математическое моделирование, разработан численный алгоритм, реализован комплекс программ, выполнены численные расчёты и сравнительный анализ результатов.