Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Математический аппарат. пример . 6
1. Уравнения и граничные условия. 6
2. Галопирующий и локализованный резонанс, полосы пропускания и запирания в неоднородных одномерно-периодических средах .
ГЛАВА 2. Волноводные, аномальные и шепчущие свойства одномерно-периодических поверхностей и границ раздела .
1. Формулировка и свойства симметрии задачи. 45
2. Волноводное и аномальное свойства. 50
3. Заключение. 63
4. Эффект шепчущей границы раздела. Формулировка задачи. 65
5. Вспомогательные задачи. 69
6. Операторная формулировка задачи. 75
7. Волноводное и аномальное свойства границы раздела. 79
8. Заключение. Выводы. 81
ГЛАВА 3. Волноводные, аномальньш и шепчущие свойства одномерно- периодической цепочки препятствий .
1. Формулировка и свойства симметрии задач. 84
2. Задача Дирихле. 93
3. Задача Неймана . 100
4. Пример. Волноводное, шепчущее и аномальное свойства периодической ножевой решетки.
5. Задача трансмиссии 128
6. Заключение 134
7. Выводы
ГЛАВА 4. Эоловы тона и собственные колебания около тонкостенных 138 препятствий в каналах и трубах .
1. Пластина в канале. Эоловы тона и собственные колебания. 142
2. Акустические колебания около тонкостенных цилиндрических препятствий в канале . 161
3. Эоловы тона решетки пластин. 177
Заключение 198
Литература
- Галопирующий и локализованный резонанс, полосы пропускания и запирания в неоднородных одномерно-периодических средах
- Эффект шепчущей границы раздела. Формулировка задачи.
- Задача Неймана
- Акустические колебания около тонкостенных цилиндрических препятствий в канале
Введение к работе
Актуальность темы
Задачи о распространении волн около одномерно-периодических проницаемых її непроницаемых цепочек препятствии, одномерно-периодических поверхностей, границ раздела двух сред и препятствии в трубах и каналах имеют важное прикладное значение в акустике и аэроакустике, теории шума и вибрации, архитектурной акустике, теории волн на воде, теории упругости, электродинамике, оптике и других областях механики, физики и техники.
Для технической и архитектурном акустики, электродинамики, расчета гидроакустических антенн, прогнозирования цунами и т.п. важными являются задачи о распространение волн около одномерно-периодических пропинаемых и непроницаемых поверхностей.
Особый интерес представляют исследования критериев существования волн, локализованных около цепочек препятствий, поверхностей и граніт раздела, так как они описывают волповодные, шепчущие, аномальные и резонансные свойства неограниченных областей. В диссертации такие волны описываются при помощи волноводных мод, которые в литературе иногда называются поверхностными волнами (surface waves) и ловушечными модами (или волнами) (trapped modes or waves). Если около одномерно-периодической структуры моїут распространяться волны, локализованные в ее окрестное пі, то в этом случае структура является волноводом специального типа.
Несмотря па различное физическое содержание, задачи о колебаниях около препятствий или неоднородностях в трубах и каналах являются близкими к задачам, описывающим распространение волн около одномерно-периодических поверхностей, по методике исследований. В этом случае интерес представляют исследования собственных (или стоячих) воли, локализованных около препятствий в трубах и каналах, так как они описывают резонансные свойства соответствующих неограниченных областей.
Изучение акустических собственных колебаний в каналах и трубах, содержащих тонкостенные препятствия, имеет важное прикладное п научное значение, так как этот вид неограниченной области является типичным, часто встречается в технике и доступен для исследования.
Автоколебания, возникающие в реальных конструкциях, обусловлены, как правило, нелинейными источниками: образованием когерентных структур п потоке жидкости, вибрационным горением и тому подобным. Существенным условием возникновения интенсивных автоколебании является совпадение частоты источника колебаний с акустической собственной частотой открытой бесконечной области и неортогонадьность источника соответствующей собственной функции.
Исследования аэроакустических колебаний и автоколебаний около тонкостенных препятствий в каналах и трубах как экспериментальные, так и теоретические, можно подразделить на два типа:
а) Изучение природы источника автоколебаний. Образование и развитие
когерентных структур в следе за тонкостенным препятствием в ламинарном
или турбулентном потоках. Взаимосвязь акустических собственных колебаний
в канале с упорядоченными структурами в следе за препятствием, влияние
упорядоченных структур на акустические колебания и влияние акустических
колебании на упорядоченные структуры.
б) Изучение резонансных свойств неограниченного объёма. Существова
ние акустического резонанса, вид собственных колебаний (автоколебании),
зависимость резонансных (собственных) частот от параметров решетки и ос
новного потока газа. Математическое моделирование и численные пли экспе
риментальные исследования собственных акустических колебаний в неограни
ченных областях.
Изучение природы источника автоколебаний в настоящее время находится на стадии экспериментальных и полуэмпирических исследований. В диссертации считается, что источники аэроакустических колебаний заданы.
Трудности исследования резонансных свойств обусловлены тем, что полноводное, шепчущее и аномальное свойства неограниченных одномерно-периодических областей описываются обобщенными собственными функциями, а частоты собственных колебаний около препятствий в трубах пли каналах погружены в абсолютно непрерывный спектр соответствующего самосопряженного расширения оператора Лапласа.
Кроме вышеуказанного необходимо отметить, что проведение исследований обусловлено как важностью приложений, так и внутренней логикой развития науки и техники.
Основные цели и задачи
Целью работы является изучение особенностей распространения волн около одномерно-периодических мягких, твердых и проницаемых поверхностен, цепочек препятствий и исследование эоловых тонов и резонансных явлений около тонкостенных препятствий в трубах и каналах.
Для достижения этой цели необходимо исследовать волповодные, шепчущие, аномальные и резонансные свойства неограниченных одномерно-периодических областей с твердыми, мягкими и проницаемыми границами.
Для конкретных примеров необходимо определить полосы пропускания и запирания дня первых полноводных мод, найти критерии существования аномальных частот колебаний, получить дисперсионные соотношения.
Необходимо исследовать вид, провести классификацию и определить количество полноводных или собственных мод, изучить механику волноволных.
шепчущих и аномальных колебании, исследовать влияние геометрии на волно-водные и аномальные свойства.
Для достижения укачанной пели разработаны вариационные, функционально-топологические и численно-аналитические методы исследования вол-новодных, шепчущих н резонансных свойств одномерно-периодических проницаемых и непроницаемых поверхностей и цепочек препятствий.
Наряду с исследованием особенностей распространения волн около одномерно-периодических структур целью работы является изучение собственных колебании и резонансных явлений около тонкостенных препятствий в трубах и каналах.
Для обоснования корректности математической модели и механического аналога необходимо исследовать вопросы существования собственных колебаний в бесконечных цилиндрических областях, содержащих тонкое цилиндрическое препятствие, получить критерии существования собственных колебаний.
Для понимания механики и описания аэроакустических резонансных явлений и автоколебаний (юловых тонов) около тонкостенных препятствий в потоке газа необходима математическая модель, обоснованная как на физическом, так и математическом уровне строгости.
Необходимо исследовать автоколебания (эоловы тона) около тонкостенных препятствии в каналах и трубах, классифицировать автоколебания, получить критерии существования и исследовать механику автоколебаний и резонансных явлений, определить зависимость частот автоколебании от геометрических параметров иреиятсівий и числа Маха основного потока газа, разработать методы исследования резонансных свойств колебаний около тонкостенных препятствий в трубах и каналах.
Для сравнения с известными экспериментальными исследованиями необходимо наиболее полно изучить характерные примеры тонкостенных препятствий в трубах и каналах - пластина и канале, цилиндр в канале, циклическая решетка пластин в канале.
Главные результаты и научная новизна
Доказано, что любые нетривиальные твердые одномерно-периодические поверхности, па которых выполнено-условие Неймана, обладают волноводным свойством - являются открытыми волноводами. Это означает, что всегда существуют волны, локализованные в окрестности поверхности и распространяющиеся вдоль нее. Показано, что для любой твердоіі одномерно-периодической поверхности всегда существует полоса пропускания в окрестности нуля - эффект шепчущей поверхности. Приведен пример, в котором получены дисперсионные соотношения и определены полосы пропускания и запирания. Обнаружены и исследованы аномальные колебания около твердых одномерно-
периодических поверхностей. Приведены примеры твердых поверхностей для которых существуют и не существуют аномальные колебания. Доказано, что одномерно-периодические границы раздела двух сред для определенных соотношений параметров могут обладать волноводным свойством - являются открытыми волноводами. Показано, что если граница раздела обладает волноводным свойством, то всегда существует полоса пропускания частот, локализованная в окрестности нуля - эффект шепчущей границы раздела. Обнаружены аномальные колебания около одномерно-периодических границ раздела.
Доказано, что любые нетривиальные одномерно-периодические цепочки препятствий, на которых выполнено условие Неймана, обладают волноводным свойством - являются открытыми волноводами, показано, что всегда существует полоса пропускания в области низких частот (шепчущее свойство цепочки препятствий). Обнаружены и исследованы аномальные колебания около таких цепочек препятствий (колебания без сдвига фазы в соседних фундаментальных областях группы трансляций, локализованные в окрестности цепочки), приведены примеры периодических цепочек, для которых существуют и не существуют аномальные колебания. Показано, что если одномерно-периодическая цепочка состоит из "мягких" препятствий - на препятствиях выполняется условие Дирихле, то цепочка не обладает шепчущим свойством, а при некоторых условиях на геометрию границы цепочка не обладает волноводным и аномальным свойствами. Доказано, что цепочка проницаемых препятствий для определенных соотношений параметров может обладать волноводным, аномальным и шепчущим свойством. Разработаны вариационные и функционально-топологические методы исследования волноводных свойств одномерно-периодических цепочек препятствий, основанные на теории представлений групп симметрии в пространстве решений.
Доказано, что простые, составные и двойные ножевые решетки всегда обладают волноводным и аномальным свойствами. Получены критерии существования этих свойств для различных волноводных мод. Показано, что существует конечное число полос пропускания и аномальных мод, приведена классификация этих мод по допускаемым симметриям. Получены и исследованы приближенные дисперсионные соотношения, описывающие распространение волн, локализованных в окрестности простых ножевых решеток. Изучен асимптотический вид дисперсионных соотношений при бесконечном увеличении размеров элементов решетки и при уменьшении сдвига фазы колебаний в соседних фундаментальных областях группы трансляций. Исследована зависимость волноводных и аномальных частот и количества волноводных и аномальных мод от линейных размеров элементов простой ножевой решетки.
Исследованы собственные акустические колебания газа около пластины в прямоугольном канале в двумерной постановке: зависимость собственной частоты колебаний от хорды и положения пластины в канале, изучен вид собст-
венных функций. Предложена и обоснована математическая модель собственных колебаний около пластины в канале, на основе которой проведены численные исследования зависимости собственных частот колебаний от геометрических параметров.
Исследованы вопросы существования собственных колебаний в бесконечных цилиндрических областях, содержащих тонкое цилиндрическое препятствие. Получены критерии существования собственных колебаний. Для препятствий, допускающих поворотную симметрию, исследована зависимость частот собственных колебаний от размеров препятствия. Для первых мод исследован вид собственных колебаний.
Предложена модель аэроакустических резонансных явлений (эоловых тонов) около решетки пластин в потоке газа. Показано, что резонанс возникает в том случае, когда частоты Струхаля пластин совпадают с частотами собственных акустических колебаний газа около решетки. Разработаны методы вычисления частот собственных акустических колебаний около решеток пластин.
Исследовано влияние геометрических характеристик решеток и числа Маха основного потока газа на частоты, количество и вид собственных колебаний. Обнаружены н исследованы аномальные акустические колебания около циклической решетки пластин. Показано, что всегда существует не менее, чем две частоты собственных колебаний газа около любой нетривиальной циклической решетки пластин.
Обнаружено, что частоты собственных колебаний могут быть объединены в пучки, для большого числа пластин в периоде частоты каждого пучка сколь угодно плотно заполняют некоторый интервал.
Проведена классификация собственных колебаний по виду собственных функций, основанная па теории представлений групп локально-плоских симметрии циклической решетки пластин в пространстве решений.
Корректность предложенной модели азроакустпческих резонансных явлений (эоловых топов) около решетки пластин в потоке газа подтверждена сравнением с известными экспериментальными и теоретическими исследованиями.
Па основании проведенных исследований предсказаны физические явления, неизвестные ранее: доказано существование зон частот или интервалов изменения числа Маха основного потока газа, для которых существуют аэроакустические резонансные явления около циклической решетки с большим числом пластин в периоде; показано, что для некоторых частот собственных колебаний около циклической решетки пластин возможна локализация резонансных колебаний в окрестности источника; доказано существование узкополосных волновых пакетов медленно распространяющихся вдоль решетки.
Все перечисленные результаты получены автором впервые.
Научная и практическая ценность
Практическая ценность полученных Сухининым СВ. результатов состоит в том, что они позволяют детально исследовать распространение волн в зависимости от формы неограниченной области, позволяют объяснить многие реально наблюдаемые явления распространения волн и резонансные явления в неограниченных областях. Построенная теория дает возможность интерпретировать данные экспериментов, совершенствовать методы расчета распространения волн и резонансных явлений в неограниченных областях.
Изложенные в работе методы исследования могут быть использованы в задачах о нестационарном движении жидкости со свободными границами, а также в прикладных задачах акустики неограниченных областей, акустики каналов с препятствиями, аэроакустики, распространении волн в упругих неограниченных телах, электродинамики и других областях механики, техники и физики.
Полученные в диссертации результаты могут быть использованы в следующих научно-исследовательских учреждениях: в Институте проблем механики РАИ, в ЦАГИ, в Институте теплофизики СО РАН, в Институте теоретической и прикладной механики СО РАН, в ЦНИИ им. А.Н. Крылова.
Достоверность полученных результатов
Достоверность полученных в диссертации Сухинина СВ. результатов подтверждается тем, что они не противоречат выводам выполненных ранее работ других авторов, являясь их продолжением и развитием.
Зависимость резонансных значений частот от геометрических параметров пластины в канале, решетки пластин в канале, тонкостенного цилиндра в канале и циклической решетки пластин согласуется с результатами известных экспериментальных исследований.
Апробация результатов работы
Результаты диссертации были апробированы на конференциях, съездах и семинарах: Сухинин СВ. Качественные вопросы теории рассеяния на периодических структурах. Волны и дифракция. IX Всесоюз. симпозиум по дифракции и распространению волн, Тбилиси, 1985, С.4, Сухинин СИ. Эффект волновода. Тез.докл.6 Всесоюз. съезда по теор. и прикл. механике, Ташкент, 1986, с.I., Сухинин СВ. Эффект волновода. Тез. лекции на 3-й школе по методам гидродинамических исследований, Светлогорск, 1989. с!.. Siikhinin S.V. Wave guide phenomena of periodic transparent structures. Abstr. Intern. Conf. on integral equations and inverse problems. Varna, Bulgaria, September 18-23, 1989, с 1., Сухинин СВ. Волноведущее свойство цепочки пузырьков. Акустическая кавитация и проблемы интенсификации технологических процессов: Тез. докл. Все-
соки. науч. симпоз., Одесса, сентябрь 1989, С.22. I с, Sukhinin S.V. Wave guide phenomena of periodic structures. Abstr. the XlXth biannual symposium on advanced problems and methods in fluid mechanics. Poland. 1990. 2 c, Sukhinin S.V. One-direction periodic tsunami wave guide. Intern. Tsunami Symposium. Novosibirsk, July 31 -Aug. 10,1989: Abslr. Intern. Tsunami Meet., Novosibirsk, 1990.C.95. I е., Sukhinin S.V. Wave guide properties of underwater cavities chain//Free-boundary problems in continuum mechanics, July 15-19, Novosibirsk, 1991: Abstr. Intern, conf. Novosibirsk. 1991. C.112. 1 c, Sukhinin S.V. Qualitative aspects of the scattering theory and wave guide phenomenon of one-directional periodic structures. Mathematical a numerical aspects of wave propagation phenom-ena//Abstr. 1st Intern, conf., Strasbourg, France, 1991. Philadelphia, 1991. 1 c., Sukhinin S.V. Aeolian tones excited by a plate in a tunnel//c6. Проблемы нелинейной акустики, тр. симпозиума IUPAP-IUTAM no нелинейной акустике, 1987, с.3., Сумніші СИ. Собственные волны одномерной проницаемой периодической цепочки. Конференция Акустика неоднородных сред II, Новосибирск, 1992. 1 с, Сухинии СВ. Вод поведу щие свойства периодических структур. Междунар. конф. по борьбе с шумом и вибрацией. Санкт-Петербург, 31 мая -3 июня, 1993: Тез. докл. Санкт-Петербург, 1993, Ч.І. С.269. I с, Sukhinin S.V. Wave Propagation in Periodical Chains of Bubbles//Advances in computational methods in fluid dynamics: The 1994 ASME Fluids Eng. Div. Summer Meet. Lake Tahoe, USA, June 19-23, 1994. 1 с. Сухинии СВ. Волноаодное свойство периодической ножевой решетки//, Устойчивость гомогенных и гетерогенных жидкостей. Маїериальї IV Сибирскою семинара но устойчивости гомогенных и гетерогенных -жидкостей, Новосибирск, 1997., Sukhinin S.V. Aeolian tones frequency hands of annular cascade of plates. International Conference on Stability and Turbulence of Homogeneous and Heterogeneous Flows, Novosibirsk, Russia, 21-23 April. 1999, pp. 11-113.. Sukhinin S.V., Bartuli E.R., Makarov A.I., Cliikicbev I.S. Destroying things which are whispering, roaring and screaming in ducts and channels. International Conference on Stability and Turbulence of Homogeneous and Heterogeneous Flows, Novosibirsk, Russia, 21-23 April, 1999, pp. II-115., Sukhinin S. V., Kondratenko I). A. Resonance phenomenon in heterogeneous media with periodical Mruciiire//liiternational Conference on Stability and Turbulence of Homogeneous and Heterogeneous Flows, Novosibirsk, Russia, 21-23 April, 1999, pp. 11-116., Сухинии СВ. Шепчущие поверхности, цепочки и галереи// Сибирская школа-семинар «Математические проблемы механики сплошных сред», Новосибирск, 9-12 ноября 1999, Сухинии СВ. Полосы пропускания и запирания, галопирующий и локализованный резонанс, в неоднородных одномерно-периодических средам/Сибирская школа-семинар «Математические проблемы механики сплошных сред», Новосибирск, 9-12 ноября 1999, Сухинии СВ. Пучки, зоны и аномальные частоїы собственных акустических колебаний около циклической решетки пластин в потоке газа//Сибирская школа-
семинар «Математические проблемы механики сплошных сред», Новосибирск, 9-12 ноября 1999, Сухинин СВ. Эффект шепчущей поверхно-сти/УКонференция Акустика неоднородных сред VI, Новосибирск, 26-30 июня 2000, Сухинин СВ. О скорости звука в неоднородных средах//Конференция Акустика неоднородных сред VI, Новосибирск, 26-30 июня 2000.
Публикации
Основные результаты работы содержатся в 38 публикациях. Список этих работ приведен в конце автореферата.
Личный вклад автора
В работах, выполненных совместно, автору диссертации принадлежат постановки и формулировки задач, обоснование корректности математических моделей, теоретические и численные исследования.
Структура и объём работы
Диссертация состоит из предисловия, 4 глав, в каждой из которых приводятся оригинальные научные результаты, заключения, содержащего основные результаты работы, и списка литературы.
Общий объем диссертации - 210 страниц. Список цитируемой литературы содержит 90 наименований.
Галопирующий и локализованный резонанс, полосы пропускания и запирания в неоднородных одномерно-периодических средах
Исследование волноводных свойств затруднено тем, что соответствующие самосопряженные расширения оператора Лапласа имеют непрерывный спектр, заполняющий всю положительную полуось, и бесконечное множество различных типов обобщенных собственных функций. Аномальное свойство одномерно-периодического препятствия - это существование синфазных, в каждой фундаментальной области группы трансляций, колебаний, локализованных в окрестности препятствия.
Для дальнейшего изложения требуется уточнить терминологию, используемую в работе. Обобщенная собственная функция и(х,у) соответствующего самосопряженного расширения оператора Лапласа задачи D(%), N j, или Т() локализована в окрестности одномерно периодической структуры, если и{ .у) ы-+«, 0. Волноводные функции и значения. Определение 2.1. Волноводной функцией задачи D(), N(E,), или Т() называется обобщенная собственная функция, локализованная в окрестности одномерно-периодического препятствия. Обобщенные собственные функции, не являющиеся волноводными, называются свободными функциями. Соответствующая частота колебаний называется волноводной или свободной частотой соответственно.
Обобщенные собственные функции (ОСФ) есть прямая сумма свободных (СФ) и волноводных (ВФ) функций (ОСФ=СФВФ). Определение 1.4. Одномерно-периодическая структура обладает волноводным свойством, если существует нетривиальная волноводная функция задачи Общее решение уравнения (1.1) с условием квазипериодичности (1.9) в свободном пространстве имеет вид u(x, y)= ехр[/(2тш + ) ]Й+)ехр( р„) + г Гехр(-ИР„)], (1.17) Р„ = ЦХ1 - (2тш + %)2 = J(2т + Q1 - X2. Замечание 1.2. В силу соотношения (1.17) обобщенная собственная функция и(х,у) является волноводной тогда и только тогда, когда в свободном пространстве она имеет вид, в котором Re((5n) 0 для всех нетривиальных слагаемых, +00 х,у)= ехр тш + ЪФхр ф,,). (1.18) Замечание 1.3. Если для некоторого X,, 0 Х, , существует ограниченная обобщенная собственная функция задачи D( ), N(1,), или Т(Е,), которая в свободном пространстве имеет вид (1.18) то она является волноводной.
Для волноводной функции и,\х,у) в силу (см. Лемма 1.1) справедливо представление и,(х,у) = e b v(x,y), v(x,y+\) = v(x,y) в котором параметр 2, можно считать волновым числом а функцию v(x,y) амплитудой, переменной в фундаментальной области группы трансляций, которая сохраняется при переходе из одной фундаментальной области группы трансляций в другую для всех фундаментальных областей. Бегущие элементарные волноводные пакеты имеют вид и,(х,у,1) = е шК[х,у), в котором со соответствующая волноводная частота. В силу трансляционной симметрии волновое число изменяется в интервалах Н = {%/-л 0, Е(+) = (%:0 л) и принимает значения Е, = ±л. Принадлежность волнового числа интервалам Е(_), Е(+) определяет направление распространения элементарных волноводных пакетов, значения волнового числа = ±л эквивалентны и описывают колебания в противофазе в соседних фундаментальных областях группы трансляций. Связные, в топологии вещественной оси, множества волноводных частот Х{к) = A,U)(E,), -л , п, к- 1, ..., К далее будут называться полосами пропускания.
Необходимо отметить, что каждой полосе пропускания соответствует определенная волноводная мода (синоним - тип волноводной функции). Аномальные колебания, функции н значения частот. Определение волноводного свойства справедливо только для ненулевого сдвига фазы колебаний (, 0) в соседних фундаментальных областях группы трансляций. В связи с этим необходимо определить обобщенные собственные функции соответствующей краевой задачи, локализованные в окрестности препятствия и удовлетворяющие условиям периодичности и(х,у + \) = и(х,у) (1.19) которое соответствует нулевому сдвигу фазы колебаний в соседних фундаментальных областях группы трансляций. Для дальнейшего изложения необходимо формализовать терминологию.
Определение 1.5. Обобщенные собственные функции (частоты) задачи D(t, - 0), Nf, - 0), или Т(, = 0) с условием периодичности (1.19), локализованные в окрестности препятствия, далее будут называться аномальными функциями (частотами) этой задачи. Одномерно-периодическая структура, с обладает аномапъным свойством, если существует нетривиальная аномальная функция соответствующей задачи В(Ь, = 0), Nf , = 0j, или Т( = 0).
Эффект шепчущей границы раздела. Формулировка задачи.
Влияние полидисперсности. Как показано выше, нолидисперсность цепочки пузырьков не оказывает существенного влияния на параметры ползущей моды. Прямым вычислением проверяется влияние полидисперсности на волноводные моды более высокого порядка, чем ползущая мода. На Рис. 7 для цепочки вода-воздух приведен пример зависимости частоты второй волноводной моды от размеров нервой капли воды &, и первого пузырька воздуха к2 при фиксированной кон центрации воды к = кх + кг = 0,9. Необходимо отметить существенное влияние полидисперсности цепочки неоднородностеи на частоты второй волноводной моды.
Спектральные свойства задачи Г и дисперсионные соотношения для монодисперсной и полидисперсной цепочек неоднородностеи позволяют описать их резонансные свойства. Тонкая структура спектра. Дисперсионные соотношения (2.11) для монодисперсной и аналогичные для полидисперсной цепочки позволяют определить полосы пропускания и запирания задачи о прохождении акустических волн через одномерно-периодическую цепочку неоднородностеи. Существенным является то, что полоса пропускания, соответствующая ползущей моде, в том и другом случаях (2.12), (2.13), примыкает к нулю - полоса пропускания а, на Рис. 8.
Необходимо отметить, что количество полос пропускания и запирания бесконечно. Тонкая структура спектра частот задачи, описывающей распространение акустических волн через одномерно-периодическую цепочку неоднородностеи показана на Рис. 8, ап обозначены полосы пропускания, sn - полосы запирания « = 1,2,... .
Для изучения распространения волновых пакетов и резонансных свойств одномерно-периодических цепочек неоднородностеи необходимо исследование групповой скорости C;J{ ,k,TJ волноводных мод Хп = Хп(,) (« = 1, 2, ... ). В силу симметрии задач по волновому числу , в точках = тк (т-0,±\,±2, ... ) справедливы равенства С,р (0,к,х) - 0 и С;" (± п,к,х) = 0 для соответствующих значений волноводных частот Хп{0) и Х„{± п) (« = 1, 2, ... ). Необходимо отметить, что значения волноводных частот Х„{0) и Хп{±к) являются границами полос пропускания и запирания, значения „(0) принадлежат полосам запирания sn, а значения Хп(±п) принадлежат полосам пропускания ап (« = 1, 2, ... ). Локализованный резонанс. Пусть в одномерно-периодической цепочке проницаемых неоднородностей находится компактный источник с частотой Xs. Так как групповая скорость является скоростью распространения энергии волноводной моды, то для значений частоты источника Xs, совпадающих с границами полос пропускания возникают, резонансные явления. В этом случае для каждого значения момента времени энергия источника локализована в его окрестности. Аналогичное явление возникает в том случае, когда частота колебаний принадлежит некоторой полосе запирания р„, п = 1, 2,
Если частота источника колебаний Xs совпадает с границей некоторой полосы пропускания или принадлежит некоторой полосе запирания, то для каждого значения момента времени энергия источника локализована в его окрестности - возникают резонансные явления.
Конкретные значения амплитуды вынужденных колебаний для резонансных значений частоты вынужденных колебаний определяются при помощи (2.11) методом перевала [45]. Галопирующий (синхрофазотронний) резонанс. Пусть в цепочке проницаемых неоднородностей находятся источники колебаний f(x,t) такие, что f(xj) = Qxp(-i(uj)fXx)xm,f(xj) = Qxp(-mst)f2(x,t)xeM2 и f(x + l,t) з ец (ф/( ,/) = ехр(/- i(a,t)f(x). (2.14) Акустическое возмущение давления удовлетворяет уравнениям установившихся колебаний с безразмерной частотой Xs = L(njc{, которые имеют вид rf+ (" = /(4 +Х,.кУЧ=Л(4 (2-15) На границах двух сред должны быть выполнены условия трансмиссии (2.2). Задача (2.15), (2.2) описывает вынужденные колебания в цепочке неоднородностей и далее называется задачей TFfy. Так как источники колебаний удовлетворяют условию сдвига фазы (2.14) для некоторого , то решение задачи TF(Q переходит в решение этой же задачи под действием любого элемента группы трансляций {7]} и удовлетворяет условию (2.7). Пусть А, ( ) - некоторое волноводное значение задачи Т{ ). В силу того, что задача Г( ) является однородной задачей 7F(%), то в том случае, когда безразмерная частота юлебаний источника Kt стремится к некоторой волноводной частоте А, (%), возникает резонанс. Амплитуда бегущей волны неогржиченно возрастает со временем. Механика этого явления аналогична механике резшанса синхрофазотронного типа. Этот резонанс будет называться галопирующим. Справедлива Теорема 2.2. Если в периодической цепочке неоднородностей перищически распределены источники колебаний со сдвигом фазы % в соседних фундамежгальных областях группы трансляций (2.14), то при совпадении частоты источника колебаний Xs с некоторой волноводной частотой А, ( ;) возникает резонанс. Этотрезшанс называется галопирующим.
Задача Неймана
В настоящей работе при помощи топологических методов исследованы волноводные, аномальные и шепчущие свойства одномерно-периодических границ раздела на примере акустических волн около одномерно-периодической границы воздух -вода.
Везде в работе пространственные перемеаные обезразмерены по отношению к минимальному периоду границы раздела, который считается равным единице. На плоскости декартовых переменных (х,у) eR2 граница раздела описывается периодической связной кривой G, которая делит плоскость R2 на две связные части R2 - Q, uQ2 u G (Рис. 11). Везде в работе предполагается, что направление периодичности совпадает с направлением оси ординат - у, а направление перпендикулярное направлению периодичности границы раздела совпадает с направлением оси абсцисс - х. Установившиеся колебания описываются при помощи акустического давления и(х,у), далее их\х,у) и и2[х,у) сужения и(х,у) на Q, wQ2 . Предполагается, что Q, (или Q2) заполнены средой все параметры которой имеют нижний индекс 1 (или 2). Установившиеся колебания описываются соотношениями (Д + А,2к2)и, =0, BQ,, (4.1) (A + A,2)W2=0, BQ2, к = с2/с{ - отношение скоростей распространения волн с, и с2 в соответствующих средах А, = ю/с2, со - круговая частота колебаний. На границе раздела акустическое давление и нормальная составляющая скорости непрерывны щ = щ\а, ди, ди, дп дп (4.2) : ч .-.-.. - ч Ч Рис. 12. x - отношение плотностей р, и р2, х = р,/р2. Соотношения (4.1), (4.2) далее называются задачей Т - трансмиссии.
Для удобства изложения далее в работе считается, что к 1, т « 1. Это означает, например, что Q, заполнена воздухом, Q2 - водой. Полученные в работе результаты обобщаются на иные значения параметров при помощи замены переменных или соответствующего пересчета. Свойства симметрии. Так как оператор Лапласа инвариантен относительно любых локально-плоских симметрии, то симметрия задачи Т определяется границей раздела. Все границы раздела можно классифицировать по группам допускаемых симметрии. Возможны только два типа одномерно-периодических границ [27, 51]. Тип / - граница раздела, допускает только группу трансляций 7]} (см. Рис. 12),
Tx(u(x,yyj = и(х,у + \), Тп =(ТХУ. Тип II - допускает группу симметрии \ТХ, DXA, D (u(x,yfj = и(х,-у). На Рис. 11 показан пример одномерно-периодической границы раздела II типа. Одномерно-периодических границ раздела (бордюров), допускающих иные группы симметрии, не существует [51, 27].
Группа симметрии ST задачи Т позволяет разложить пространство допускаемых решений на инвариантные относительно представлений ST в пространстве решений подпространства. Все одномерно периодические поверхности по определению допускают группу трансляций вдоль направления периодичности, поэтому пространство допускаемых решений можно разложить на инвариантные относительно этой группы подпространства [47]. Функция и(х,у), которая принадлежит таким подпространствам, для некоторого ,, - я , п удовлетворяет условию ті(иіх у)) = и(х У + 0 = е и(х,у). (4.3) Утверждение последующей леммы проверяется прямой проверкой.
Лемма 4.1. Если и[х,у) удовлетворяет условию (1.3), то, в свободном пространстве u(x,y) = eib,v(x,y), \(x,y + l)=\(x,y). Здесь и далее / - мнимая единица, - описывает сдвиг фазы колебаний в соседних фундаментальных областях группы трансляций, для удобства обычно считается, что 0 ті. Далее задача Г с условием (1.3) будет называться задачей Г( ).
Если граница раздела имеет тип II, то возможны 4 одномерных неприводимых представлений группы симметрии ST = 7], D j в пространстве допускаемых решений [47] {x.ft) = -1, фг) = +1}; {т2(т;) = -1, T2(D ) = -і}; {т3(т;) = +1,т ) = +і}; {x4(7;) = +l,Tr(Dr) = -l}, xk (k = 1, ..., 4) неприводимые представления группы ІТ{, D j. Волноводное и аномальное свойства. Далее будет использовано Определение 4.1. Волноводной функцией задачи Т( ) называется обобщенная собственная функция, локализованная в окрестности границы раздела. Соответствующая частота колебаний называется волноводной. Одномерно-периодическая граница раздела обладает волноводным свойством, если существует нетривиальная волноводная функция задачи Т( ). Общее решение (4.1) с условием (1.3) в свободном пространстве имеет вид и іх У) = 2 хр[/(2тш + )у] bl;l)exp(\x\ ink)) + bk)exp(- \х$(пЛ (к = 1,2), , , (4-5) Замечание 4.2. В силу (2.1) обобщенная собственная функция и(х,у) является волноводной тогда и только тогда, когда в свободном пространстве она имеет вид uk( y)= (( .1)ехр[/(2ли + ) ]ехр(-Ир(л А)), (к = 1,2), Re(p(nt)) 0. (4.6) п=- о Замечание 4.3. Если для некоторого X,, 0 \, min{4, к } существует ограниченная обобщенная собственная функция задачи Т( ), которая в свободном пространстве имеет вид (2.2) то она является волноводной
Акустические колебания около тонкостенных цилиндрических препятствий в канале
Для простой L решетки (простой решетки пластин) волноводное, аномальное и
шепчущее свойства исследованы в [60, 62]. Показано, что периодические ножевые решетки всегда обладают волноводным и аномальным свойствами. Получены дисперсионные соотношения для волноводных мод, определены полосы пропускания. Изучен асимптотический вид дисперсионных соотношений при бесконечном увеличении размеров элементов решетки и уменьшении волнового числа. Исследовано влияние геометрических характеристик и типа решетки на ее волноводные и аномальные свойства.
Введение. Обобщенные собственные функции волноводного типа описывают стоячие или бегущие волны, локализованные около периодической структуры,. Исследование волноводного свойства затруднено тем, что соответствующие самосопряженные расширения оператора Лапласа имеют непрерывный спектр. Существование волноводного свойства периодической ножевой решетки с элементами достаточно больших размеров доказано в [69, 70] при помощи аналитической теоремы Фредгольма. Это свойство ножевых решеток связано с собственными колебаниями около пластины в канале [85]. Результаты приближенных исследований волноводного свойства решеток с для достаточно большими размерами элементов (по сравнению с периодом), дисперсионные соотношения, вид волноводных функций содержатся в [48, 32]. В настоящем разделе методом "вилки Дирихле - Неймана" [54] доказано существование волноводного свойства для произвольных ножевых решеток.
Определение. Простой ножевой решеткой называется решетка, обладающая, кроме трансляционной, симметрией типа группы диэдра второго порядка D2 (тип I на Рис. 4-1) точки, имеющие симметрию типа D2 обозначены косыми крестами). Составной ножевой решеткой называется решетка, составленная из двух простых со взаимно пересекающимися межпрофильными каналами и параллельными элементами решеток (тип II). Составная ножевая решетка называется двойной, если межпрофильные каналы не пересекаются (тип III).
Формулировка и симметрия задачи. Пусть G - профиль ножевой решетки пластин на плоскости декартовых координат {x,y}=R2; Q= R2\G - область колебаний. Предполагается, что G и Q одномерно периодичны вдоль оси у, с периодом 1. Если G - простая ножевая решетка, то координаты профилей по оси у - целые числа. Пусть Q,={(x,y): -L/2 x L/2,0 y l}, Q2={(x,y): L/2 x, 0 у 1}, Q3-{(x,y):x -L/2, 0 у 1}, L - длина профиля пластины. Области {(х,у): -L/2 x L/2, k y k+l} называются межпрофильными каналами (к - некоторое целое число). Сужение функции и(х,у) на область Qj обозначено Uj(x,y) (j=1,2,3). Все переменные безразмерны: пространственные переменные отнесены к реальному периоду решетки Н, временные - к характерному времени Н/с (с - скорость распространения сигнала). Начало координат выбрано на середине одного из элементов решетки, ось ординат параллельна направлению периодичности решетки. Система обозначений представлена на рис. 1 (справа).
Установившиеся колебания около решетки описываются при помощи функции и(х,у). В области колебаний Q она удовлетворяет волновому уравнению и„ + KW + Ь2и = 0. (4-І) Здесь X имеет смысл безразмерной частоты колебаний, предполагается, что 0. Если со, Ьй, Н - реальные круговая частота колебаний, длина элемента решетки и период решетки, то для безразмерных величин справедливы выражения Я,=соН/с, L=L6/H, а период решетки равен 1. На элементах решетки G должно выполняться условие непротекания где п - нормаль к поверхности элемента решетки. В любой ограниченной области Qb, которая является подобластью Q, должно выполняться условие локальной конечности энергии колебаний Е{и,Пь)= j[u2+(Vuf]dQb со (4.3) Соотношения (4.1)-(4.3) далее называются задачей В. Так как оператор Лапласа инвариантен относительно любых движений плоскости R2, то симметрия решетки будет определять симметрию соответствующей краевой задачи. Определение 4.1. Структура называется одномерно-периодической, если она допускает группу локально - плоских симметрии, содержащую подгруппу Т переносов, параллельных некоторому вектору. Поскольку группа симметрии одномерно-периодической структуры обязательно содержит подгруппу Т переносов вдоль некоторой оси у, то возможны только следующие нетривиальные подгруппы группы допускаемых симметрии: Z), -группа диэдра с одной осью зеркальной симметрии, возможны два типа зеркальных симметрии: Дл - ось зеркальной симметрии параллельна оси х; ,v ось зеркальной симметрии параллельна оси у; Д - группа диэдра с двумя осями зеркальной симметрии; С2 - группа поворотов на я; Т0 - группа скользящих симметрии. Ножевые решетки можно классифицировать по группам допускаемых симметрии. Простая ножевая решетка обладает максимальной симметрией, она имеет точки симметрии типа D2, расположенные на расстоянии 1/2 друг от друга (косые кресты Рис. 4-1). Составная и двойная решетки могут иметь точки симметрии типа С2, расположенные на расстоянии 1/2 друг от друга, если размеры всех профилей одинаковы. В общем случае они обладают только трансляционной симметрией. Подгруппы симметрии решетки позволяют разложить пространство допускаемых решений задачи В на соответствующие этим подгруппам инвариантные подпространства, что упрощает исследование. Инвариантность задачи относительно зеркальной симметрии позволяет разложить пространство допускаемых решений на четные и нечетные относительно оси симметрии функции. Будет использована инвариантность пространства решений задачи В относительно преобразования D , в котором ось зеркальной симметрии проходит через середины всех элементов простой ножевой решетки. В этом случае пространство решений задачи В можно разложить в прямую сумму двух подпространств, состоящих из симметричных (четных) по переменной х функций u(+)(x,y) = D{u(+)(x,y)=u(+)(-x,y) и антисимметричных (нечетных) и( }(х,у)=- Ду и( )(х,у)=-и(-)(-х,у).
Так как группа трансляций Т коммутативна и ее представление Т в пространстве допускаемых решений задачи В унитарно, то пространство решений можно разложить на инвариантные относительно группы Т одномерные подпространства. Функции и(х,у), которые принадлежат этим подпространствам, удовлетворяют условию и(х,у+1)= и(х,у) (4.4) и, вследствие этого, в свободном пространстве имеют вид u(x,y)-e lYv(x,y), v(x,y+1) = v(x,y). Здесь и далее і - мнимая единица; , произвольный параметр (-л Е, л), который описывает сдвиг фазы колебаний в соседних фундаментальных областях группы трансляций. Далее задача В с условием (1.4) называется задачей B(Q. Иногда представление вида (4.4) называют теоремой Флоке или волнами Рэлея - Блоха.
Определение 4.2. В силу трансляционной симметрии задачу В(ф достаточно исследовать в ограниченной по у области {(х,у):0 у 1} - полосе. Условия (1.4) выполняются во всей области колебаний Q=R2 \ G и позволяют продолжать решения на всю плоскость из любой фундаментальной области группы трансляций.