Волноводные модели когерентных структур в ламинарном и турбулентном пограничных слоях Жаров Владимир Алексеевич

Содержание к диссертации

Введение

Глава 1. Экспериментальные данные и состояние теории 21

1.1 Эксперимент - история и современное состояние 21

1.1.1. Общие замечания 21

1.1.2. Структура осредненного течения 23

1.1.3. Пульсации, внутренняя область 24

1.1.4. Пульсации, внешняя область 26

1.1.5. Тройное разложение 29

1.1.6. Выводы

1.2. Состояние теоретических подходов 33

1.3. Выбор направления исследования 38

1.4. Развитый турбулентный пограничный слой 39

Глава 2. Спектральные характеристики профиля Блазиуса 45

2.1. Введение. 45

2.2. Дисперсионное соотношение для волн Толлмина-Шлихтинга машинная аналитика. 46

2.2.1. Постановка задачи 46

2.2.2. Решение уравнения Блазиуса 49

2.2.3. Решение уравнения Рэлея 50

2.3. Малые волновые числа, аналитические оценки 56

2.3.1. Введение 56

2.3.2. Постановка задачи 57

2.3.3. Алгоритм решения и результаты аналитических оценок для модельного профиля продольной скорости 58

2.4. Численные результаты. Спектральные характеристики на профиле Блазиуса в основном диапазоне волновых чисел 66

2.4.1. Постановка задачи 66

2.4.2. Уравнение Сквайра.. 69

2.4.3. Уравнение Орра-Зоммерфельда. 74

2.4.4. Резонансные характеристики. 85

2.4.5. Выводы. 87

2.5. Численные результаты. Дисперсионные соотношения на профиле Блазиуса в области малых волновых чисел 90

2.5.1. Введение 91

2.5.2. Постановка задачи. 92

2.5.3. Выделение особенности. Метод эталонного уравнения 93

2.5.4. Сравнение двух вариантов метода эталонного уравнения. 96

2.5.5. Решение на интервале (0, L) с асимптотическим граничным условием. 98

2.5.6. Выводы. 101

2.6. Выводы 102

Глава 3. Динамика возмущений конечных спектральных размеров в ламинарном пограничном слое 104

3.1. Введение 104

3.2. Постановка задачи, интегродифференциальное уравнение для возмущений вертикального компонента скорости в пограничном слое 109

3.3. Динамика элементов волновых пакетов

3.3.1. Введение 114

3.3.2. Волновой пакет возле точки к = 0 117

3.3.3. Волновой пакет возле точки к Ф 0 119

3.3.4. Применение теории возмущений для создания укороченных уравнений динамики волнового пакета 123

3.4. Составной волновой пакет 128

3.4.1. Введение 128

3.4.2. Решение в виде совокупности резонансов 130

3.4.3. Асимптотическое по є 0 решение 136

3.5. Линейная и нелинейная динамика волнового пакета 141

3.5.1. Введение 142

3.5.2. Уравнение для гармоник и уравнение для огибающей волнового пакета 145

3.5.3. Узкие волновые пакеты 146

3.5.4. Некоторые частные случаи динамики волнового пакета 149

3.6. Гауссово приближение в динамике сложного волнового пакета 152

3.6.1 Матричные элементы 152

3.6.2. Уравнения для огибающей волнового пакета в гауссовом приближении 153

3.6.3. Уравнения для амплитуд, векторов резонансного триплета и ширины волновых пакетов 155

3.6.4. Результаты вычислений 156

3.6.5. Выводы 160

3.7. Диффузия низкочастотной составляющей спектра возмущений в пространстве волновых чисел 162

Глава 4. Переходная область 166

4.1. Введение 166

4.2. Формулировка вероятностной модели перехода 168

4.3. Определение коэффициента сопротивления пластины при наличии перехода 172

4.4. Выводы 175

Глава 5. Развитый турбулентный пограничный слой. Волноводная модель когерентной и стохастической составляющих развитого турбулентного пограничного слоя 176

5.1. Введение 176

5.2. Определяющие экспериментальные данные

5.2.1. Ламинарный пограничный слой 179

5.2.2. Турбулентный пограничный слой 180

5.3. Теоретический аппарат 181

5.3.1. Аналитические свойства решений задачи на собственные значения Орра - Зоммерфельда и Сквайра 182

5.3.2. Волны дискретного спектра 183

5.3.3. Волны непрерывного спектра 185

5.3.4. Теорема о полноте 185

5.3.5. Резонансы 186

5.4. Исходные уравнения для возмущений потока 187

5.4.1. Уравнение для пульсаций в одномодовом приближении, функции у/ и в 192

5.4.2. Уравнения для амплитуд пульсаций в одномодовом приближении 195

5.4.3. Разделение пульсационных величин на когерентную и некогерентную части 199

5.4.4. Моменты случайной составляющей в однородном случае 202

5.4.5. Тензор напряжений 205

5.4.6. Модельное представление когерентной структуры 206

5.4.7. Континуальный аналог уравнений для амплитуд волн в состоянии множественного 3-х волнового резонанса 207

5.4.8. Корреляционная функция стохастического компонента при наличии когерентной структуры 208

5.4.9. Физическая интерпретация полученных результатов 210

5.5. Вывод уравнений для когерентной и стохастической составляющих пульсаций в масштабе t2 методом многих масштабов 211

5.5.1. Анализ уравнений метода многих масштабов для когерентной структуры 211

5.5.2. Модельный вариант когерентной структуры 216

5.5.3. «Энергетический» инвариант когерентной структуры и его свойства 219

5.5.4. Вывод уравнений для корреляционной функции стохастической составляющей пульсаций в масштабе t2 222

5.6. Численные результаты 236

5.6.1. Метод вычислений спектральных характеристик 236

5.6.2. Профиль продольной скорости развитого турбулентного пограничного слоя 236

5.6.3. Собственные функции дискретного спектра (моды) 237

5.6.4. Биортогональность 238

5.6.5. Дисперсионные зависимости мод (Re (с(k)) и bn(с(k)) ота , R =Ю4) 238

5.6.6. Закон подобия 240

5.6.7. 3-х волновой резонанс 241

5.6.8. Область, q2/ q1 0,q3/ q1 0 когерентной структуры в пространстве волновых чисел волнового вектора к1=(а1(Д),Д) 242

5.6.9. Поведение амплитуд 3-волнового резонанса от времени 242

5.6.10. Средние по t0 и t1 квадраты скоростей пульсаций 245

5.6.11. Выводы

6. Заключение 249

7. Список литературы

• Структура осредненного течения
• Решение уравнения Блазиуса
• Динамика элементов волновых пакетов
• Определение коэффициента сопротивления пластины при наличии перехода

Введение к работе

Актуальность темы исследования. Работа посвящена построению физической теории развитого турбулентного пограничного слоя. Для этого проанализированы экспериментальные данные, полученные за длительный период исследований в этой области, которые привели к появлению новых качественных результатов, относящихся к динамике развитого турбулентного пограничного слоя. Подробное обсуждение этих результатов приведено в монографии [Белоцерковский, Хлопков, Жаров, Горелов, Хлопков, 2009]. Ранее эти вопросы поднимались в обзорах [Струминский, Филиппов, 1969; Репик, Соседко, 1976; Власов, Гиневский, 1986].

Начало исследованиям когерентных структур в пограничном слое было положено в работе [Kline, Reynolds, Schraub, Runstadler, 1967]. Это направление исследования турбулентности длительное время развивалось в ряде стран, а также отечественными исследователями [Миллионщиков, Турбулентные течения, 1974], и к настоящему времени получено много интересных результатов, интенсивно обсуждаемых специалистами.

Результаты, приведенные в обзоре [Cantwell, 1981], убедительно доказывают существование когерентного динамического компонента в турбулентных течениях. Альтернативный вариант интерпретации экспериментальных результатов в пограничном слое приведен в работе [Chernyshenko, Baig, 2005], в которой построена модель стриков на основе кинематического представления их образования в случайном поле развитого турбулентного пограничного слоя.

За истекший период обнаружено большое разнообразие структур в сдвиговых течениях и в пограничном слое.

Наиболее важной проблемой в изучении турбулентного пограничного слоя является проблема квазипериодических выбросов жидкости из пристенной области течения - «берстинга» (механизмы «берстинга», его связь с крупномасштабными структурами и т. д.).

Рассматривая область развитого турбулентного течения в пограничном слое, нельзя забывать об областях, предшествующих ей при обтекании, а именно ламинарной и переходной. В связи с этим возникает целый ряд проблем, таких как восприимчивость, развитие возмущений в ламинарной области, сценарии перехода, зависящие от условий вблизи передней кромки пластины и т.д., которые успешно решаются рядом отечественных исследователей. После работ [Emmons, 1951; Dhawan, Narasimha, 1957] следует отметить работу [Поляков, 1979], в которой рассмотрены спектры возмущений в потоке вблизи передней кромки пластины и обнаружены на начальной стадии развития волнового пакета два максимума по частотам, т. е. на начальной стадии формируются два волновых пакета. Кроме того, в этой работе выявлено интенсивное нарастание колебаний в сплошном спектре.

В работах [Довгаль, Козлов, Левченко, 1980; Grek, Kozlov, Ramazanov, 1985] рассмотрено проникновение в пограничный слой возмущений, индуцируемых довольно далеко от поверхности пластины выше по течению от передней кромки. Эти экспериментальные наблюдения получили продолжение в работах Новосибирской школы исследователей. Интересные результаты по взаимодействию внешней турбулентности с возмущениями в пограничном слое на нелинейной стадии развития в допереходной области получены в работе [Kendall, 1985]. Современное развитие методики экспериментального исследования турбулентных течений представлено в монографии [Вараксин, 2003].

Сравнительно давно развиваются волновые представления о явлениях, происходящих в допереходной области. Этот подход успешно развивается рядом исследователей Новосибирской школы. Результатом этих исследований

явились работы, в которых предложена резонансная модель перехода. Эта модель заключается в том, что в допереходной области последовательно возбуждаются три типа резонанса: гармонический, параметрический и трехволновой [Kachanov, 1985, 1994; Зельман, 1974; Zelman, Maslennikova, 1993], которые, благодаря взаимному действию, распространяются в пространстве волновых чисел и тем самым вовлекают другие масштабы в динамику, связанную с развитием возмущений.

Допереходная область интересна также тем, что в ней в ламинарном режиме можно моделировать некоторые процессы, протекающие в области развитой турбулентности. Например, в работах [Blackwelder, 1983; Williams, 1985] рассмотрены вопросы подобия между распадом волн Толлмина-Шлихтинга в области перехода и "берстингом" в развитом турбулентном течении в пограничном слое.

Отмеченные явления продолжают получать подтверждение или уточняться в работах последнего времени [Zhou, Adrian, Balachandar, Kendall., 1999; Khujadze, Nguen Van Yen, Schneider, Oberlack, [et al.] 2011]. На рисунке 1 представлены поля компонентов ш_х и wz завихренности (5 восстановленные из разложения полей по ортогональным вейвлетам. Результат показывает, что полное поле соответствующего компонента практически совпадает с полем, восстановленным по -1%

(ІК

(ІЬ

Рис. 1

использованных коэффициентов вейвлетов (99% полной энстрофии), в то время как оставшаяся часть коэффициентов представляет бесструктурный компонент малой амплитуды.

Отметим также большой интерес теоретиков к этим вопросам, который был первоначально инициирован, по-видимому, такими явлениями, как солитоны. В настоящее время этими исследователями делаются попытки включить в рассмотрение явления, не описываемые гамильтоновыми уравнениями [Маханьков, Рыбаков, Санюк, 1994], которые по своему физическому содержанию близки к понятиям когерентных динамических структур, обнаруженных в турбулентных течениях вязкой жидкости.

Интерпретация турбулентности с точки зрения нелинейных волн приводит к необходимости использования современных достижений теории динамических систем (см., например, [Kerswell, Tutty, Drazin, 2004]).

Есть и другие аспекты структуризации турбулентного пограничного слоя, связанного с применением асимптотических методов для его описания: [Сычев, Сычев Вик.В., 1987; Вигдорович, 1993; Михайлов, 2005].

Отметим также направления, представленные в монографии [Belotserkovskii, 2003], а также в монографиях [Формалев, Ревизников, 2004; Башкин, Егоров, 2012]. Основная идеология в этом оригинальном многоплановом подходе (прямого численного моделирования) к изучению структурной турбулентности заключается в создании адекватных исследуемому явлению «рациональных» численных моделей, предложенных О.М. Белоцерковским в Кармановской лекции в 1976 г.

Проблема структурности вошла в повседневную практику, и исследуется многими учеными экспериментально и численными методами. В настоящее время представления о наличии в турбулентном потоке когерентных составляющих используются уже при решении практических задач [Mankbadi, 1994].

На рисунке 2 [Wu. Moin, 2009] представлена вихревая структура развитого турбулентного пограничного слоя вблизи стенки в виде совокупности шпилькообразных вихрей, полученная численно. Современное экспериментальное представление о когерентной структуре турбулентного пограничного слоя представлено в работе [Borodulin, Kachanov, Roschektayev, 2011]. В этой работе изложены результаты прецизионных экспериментов, позволивших экспериментально с большой достоверностью наблюдать

Рис.2 шпилькообразные вихри. При этом разработана методика, с помощью которой можно воссоздавать одно и то же вихревое поле развитого пограничного слоя любое заданное число раз, что подтверждает наличие динамической когерентной структуры.

Степень разработанности проблемы. Теоретические основы и возможные подходы исследования турбулентных движений жидкости и газа изложены в нескольких, ставших уже классическими, монографий [Hinze, 1959; Монин, Яглом, 1965,1967; Шлихтинг, 1974], к которым надо добавить недавно появившиеся монографии [McComb, 1990; Фриш, 1998; Фрик, 1999] с обзорами последних достижений в этой области. Однако методы, представленные в этих книгах, прикладываются главным образом к однородным и изотропным

течениям, которые в настоящее время достаточно хорошо изучены как экспериментально, так и теоретически.

С самого начала обнаружения турбулентных пульсаций жидкости, характеризуемых сложными нестациоанрными движениями, решение проблемы описания такой динамики связывалось со статистическим описанием решений уравнений Навье-Стокса [Reynolds, 1885]. Рейнольде обнаружил явление и связал его с решением уравнений Навье-Стокса. Бусинеск развил аналогияю между турбулентными пульсациями и столкновениями частиц, а также связь турбулентного переноса импульса с тензором скоростей деформаций. Прандтль предложил простую модель турбулентной вязкости. Ричардсон развил представление о каскаде масштабов пульсаций и вихрей. Келлер и Фридман свели задачу к бесконечному числу моментов, но еще не были рассмотрены условия однородности и изотропии. Тейлор рассматривал пульсации скорости как непрерывные случайные функции и, кроме того, ввел спектр энергии по волновым числам. Карман эффективно использовал условия однородности и изотропии. Колмогорову принадлежит введение понятий об инерционнонном интервале, автомодельности и масштабе диссипации. Обухов эти понятия перенес на спектральное представление поля и энергию пульсаций. Ему принадлежит также идея резонансного взаимодействия вихрей. Корсину принадлежит первенство в экспериментальном создании и наблюдении изотропной турбулентности, а также доказательство применимости гидродинамического приближения для описания турбулентных движений газа при числе Маха М « 1: л1К_впрл ~М~^l$^/4> ^ А* проб соответственно колмогоровский масштаб диссипации, длина свободного пробега. Онсагер развил статистическую теорию турбулентности. Вейцзекеру и Коважному мы обязаны исследованию спектров пульсацицй однородной и изотропной турбулентности. Кроме того в упомянутых работах Обухова, Онсагера и Вейцзекера содержится идея о равновесности пульсаций малого масштаба. Гейзенберг сформулировал несколько гипотез передачи энергии по

спектру. Развитию статистической теории однородной и изотропной турбулентности посвящены работы Чандрасекара, Бэтчелора, Таунсенда. Крейчнан развил статистическую модель однородной и изотропной турбулентности в приближении слабой связи (DIA - Direct Interaction Approximation) относительно функции отклика на бесконечно малое воздействие и функции, определяющей матрицу корреляций скорости. Эта модель допускала формулировку для разных размерностей и аналитического и численного исследовании. К сожалению, спектр энергии в этой модели был отличен от колмогоровского.

Другое направление, возникшее позже, связано с попыткой связать неравновесную статистическую механику [Боголюбов, 1946] с турбулентными движениями жидкости и газа: [Hopf, 1952] - уравнение в функциональных производных для производящего функционала, [Ландау, Лифшиц, 1957] -уравнение движения сплошной среды с учетом тепловых флуктуации, [Струминский, 1974] - обобщение первопринципов неравновесной статистической механики, принцип асимметрии s-частичных функций распределения относительно своих аргументов, [Жигулев, 1969] - анализ цепочки уравнений для многочастичных функций распределения вероятности при отказе от принципа расщепления двухточечных и более высокого порядка моментов.

В работах [Зубарев, Морозов, Рёпке, 2002] рассмотрено функциональное уравнение Фоккера-Планка для корреляций и гипотеза о применимости нормальных (экспонента от квадратичного функционала) решений к описанию турбулентности.

В этой связи интересно отметить работу [Oberlack, Rosteck, 2011], в которой рассмотрена бесконечная цепочка уравнений для многоточечных моментов, найдена группа симметрии бесконечной совокупности уравнений и на ее основе получены законы подобия для ряда изотропных и неизотропных турбулентных течений без применения гипотез замыкания.

В ряде работ [Pope, 1976; Кузнецов, Сабельников, 1986; Delarae, Pope, 1998; Белоцерковский, Иванов, Яницкий, 1998] предложено рассмотрение турбулентных течений на уровне функций распределения вероятности пульсаций плотности, скорости, температуры и т.п. величин. Для этого используются уравнения для плотностей распределения вероятностей. Такие модели полезны с точки зрения описания сложных реагирующих потоков газов.

В работах [Aristov, Ilyin, 2011; Аристов, 2004] рассматриваются сложные нестационарные решения уравнения Больцмана, при этом отмечается, что в известных течениях (сверхзвуковые струи и т.п.) встречаются области неравновесного состояния газа, при котором обычные уравнения Навье-Стокса не справедливы. См. также работу [Жаров, Ровенская, 2007], в которой обнаружено образование ударных волн в газе при наличии слабых внешних возмущений.

Резонансно-волновые подходы к описанию турбулентности и динамических структур предложены в работах ([ледзер, Должанский, Обухов, 1974; Кадомцев, 1988; Zakharov, L'vov, 1992; McComb, 1990].

Альтернативный кинематический подход к объяснению когерентных структур в стохастических полях рассмотрен в работе [Кляцкин, Гурарий, 1999], в турбулентном пограничном - в работе [Chernyshenko, Baig, 2005].

Обзор тенденций и многочисленные новые результаты приведены в монографиях [Фриш, 1998] и [Фрик, 2003]. В этих монографиях рассмотрены варианты каскадных теорий, а также фрактальная структура поля завихренности. В обзоре [Зеленый, Милованов, 2004] рассмотрен рад нестандартных идей в теории турбулентности, явно использующих фрактальные характерстики физических полей. В монографии [Zakharov, L'vov, Falkovich, 1992] рассмотрен вариант теории турбулентности для невязкого сжимаемого газа, которая является развитием слабонелинейных волновых теорий турбулентности [Кадомцев, 1988].

Обзор физических теорий турбулентности (на основе перенормируемых теорий возмущений) и сравнение результатов с экспериментальными данными приведен в монографии [McComb, 1990]. В этой монографии показано, что последние варианты перенормируемых теорий возмущения и ренормгрупповые подходы, на примере однородной и изотропной турбулентности, дают результаты, хорошо согласующиеся с экспериментальными данными. В работе [Yakhot, Orszag, 1986] на основе метода ренормгруппы и способа связи парной корреляционогй функции внешней случайной силы с величиной средней скорости диссипации энергии получены уравнения турбулентного движения несжимаемой жидкости (модель Смагоринского [Smagorinsky, 1963]) с линейной связью тензора напряжений с тензором скоростей деформаций с теоретическими константами, согласующимися с имеющимися экспериментальными данными. Критика ряда положений работы [Yakhot, Orszag, 1986] и последовательное, строгое обоснование этого подхода дано в работах [Теодорович, 1990, 1993]. Обзор современных перспективных ренормгрупповых и феноменологических подходов к описанию турублентности с нелинейной связью тензора напряжений с тензором скоростей деформаций приведен в монографии [Хлопков, Жаров, Горелов, 2006].

Отметим также направление, поддерживаемое Белоцерковским [Belotserkovskii, 2003]. В этом подходе модели организованных структур основаны на рассмотрении «дискретных уравнений» Эйлера для сжимаемого газа и диссипативных разностных схем (с аппроксимацией против потока), не использующих специальные явные подсеточные аппроксимации и полуэмпирические модели турбулентности.

Хорошо известная в мире школа полуэмпирического конструирования моделей разнообразных турбулентных течений представлена в монографии [Ватажин, Крайко, Секундов, 2005].

и

Эксперимент показывает, что наиболее важные турбулентные течения газа и жидкости сильно анизотропны: слой смешения, след за телом, струя, пограничный слой и т.п. Анизотропным турбулентным течениям присущи некоторые новые физические черты (помимо известных характеристик средних полей): наличие когерентных структур (I), анизотропный тензор напряжений (II), энергетический каскад (III) присутствует, но существует также и обратный энергетический каскад (IV). В пограничном слое, а далее будет рассматриваться именно такие течения, обнаружен берстинг (V) -квазипериодический выброс жидкости от стенки во внешнюю область пограничного слоя, вблизи стенки обнаруживаются так называемые стрики (VI), которые представляют собой вихревые образования с завихренностью, ориентированной преимущественно вдоль по потоку, и обладающие продольной протяженностью, сравнимой с толщиной турбулентного пограничного слоя. Поэтому теория подобных течений должна содержать эти эффекты, так как они обусловливают основные характеристики турбулентного пограничного слоя: трение, теплопередачу, диффузию примесей и т.д.

Существуют два принципиально разных типа моделей турбулентных течений: модель Бусинеска-Прандтля [Boussinesq, 1887, Prandtle, 1925] для средних величин и модель Смагоринского [Smagorinsky, 1963] для отфильтрованных пульсаций большого (разрешенного) масштаба и подсеточных величин (LES). Первая может рассматриваться в стационарном варианте. Второй тип моделей существенно нестационарен, т.е. нужно получить нестациоанрное поле на значительном интервале по времени, а затем усреднить его для определения макроскопических характеристик. Развитие первой модели - различные алгебраические и п - параметрические дифференциальные полуэмпирические модели, модели для двухточечных корреляций, модели для плотностей распределения вероятностей гидродинамических величин и т.п. Развитие второй модели - SGS-модели (подсеточные модели), в том числе модели с нелинейной связью тензора

напряжений с тензором скоростей деформаций. Способ получения таких моделей (например, ренормгрупповой), по существу, состоит в выделении длинноволновой составляющей течения, которая может интерпретироваться как когерентная структура.

Феноменологический подход [Branko Kosovic, 1997] на основе конститутивных соотношений требует экспериментальных данных для определения констант модели, хотя и содержит многие физические свойства II-IV, и некоторый вариант свойства VI в качестве следствия указанных трех. Связь тензора напряжений с тензором скоростей деформаций и тензором вращений оказывается нелинейной (в алгебраическом смысле), но порядок пространственных производных при этом не увеличивается.

Исходя из этого перечня достижений представляет интерес получение свойств I-VI турбулентного пограничного слоя непосредственно из уравнений Навье-Стокса, опираясь на тот экспериментальный факт [Blackwelder, Eckelmann, 1979], что завихренность пульсаций существенно меньше завихренности среднего течения (примерно в 10 раз), т.е. в задаче существует малый параметр.

Одной из первых физических теорий турбулентного пограничного слоя с учетом присутствия когерентных структур является, по-видимому, модель Миллионщикова [Миллионщиков, 1969, 1970а,Ь,с]

Турбулентный пограничный слой с явным выделением когерентной пространственной структуры рассмотрен также в работах [Садовский, Синицина, Таганов, 1975], рисунок 3. Модель строилась на суперпозиции сдвигового течения и продольных вихрей. При этом оказалось возможным получить почти всю зависимость продольной скорости от поперечной координаты, включая логарифмическую подобласть.

В работе [Реутов, Рыбушкина, 1992] рассмотрено и построено поле скорости (рисунок 4) с учетом волн Толлмина-Шлихтинга непрерывного

Рис.3. Схема пространственного Рис.4. Линии уровня завихренности в стационарного ячеистого течения пограничном слое на пластине Куэтта с наложенной циркуляцией

спектра, которые дают структуризацию потока вблизи стенки, похожую на наклонные вихри, возникающие на ранней стадии развития турбулентного пограничного слоя.

В монографии [Репик, Соседко, 2007] приведена модель (рисунок 5) пристеночных явлений в турбулентном пограничном слое с учетом прерывистости (явление берстинга) турбулентного течения в пограничном слое, учитывающая его нестационарность.

Рис.5. Схематичное изображение прерывистости движения вблизи границы

В работах [Никитин, 1996, 1997; Никитин, Чернышенко, 1997] на основе численной модели турбулентного движения жидкости в пристенных течениях,

в которой было обнаружено отсутствие зависимости от числа Рейнольдса величины д(у) = (wV)-(vV), w', v' - соответственно поперечная и вертикальная компоненты пульсационной скорости, предложена феноменологическая модель когерентных структур в пограничном слое, в которой q играет роль нормальной к поверхности силы и которая вызывает неустойчивость поперечного течения, приводящая к образованию стриков (областей с продольной завихренностью).

В работе [Chernyshenko, Baig, 2005], предложен механизм образования кинематических когерентных структур, который связан с введением в рассмотрение стохастической совокупности вихревых волн. В этой работе так объясняется образование стриков (рисунок 6а,Ь): случайное вихревое поле скорости приводит к деформации поля завихренности, напоминающее структуру стриков на дне пограничного слоя.

Рис. 6: (а) Стрики в пристеночном турбулентном потоке на

расстоянии у⁺ = 5.6 от стенки и (Ь) гипотетический механизм

образования стриков продольной завихренностью.

Отметим работу [Завольский, Реутов, 1983], в которой с помощью волнового описания рассмотрен также вопрос о влиянии тепловых флуктуации на развитие возмущений в пограничном слое. Таким образом, этот подход, в принципе, позволяет единым образом рассмотреть динамику турбулентного поля скорости в пограничном слое от пульсаций самых крупных размеров до микроскопических тепловых флуктуации.

Цель и задачи работы: построение моделей динамики пульсаций в ламинарном и турбулентном течении жидкости в пограничных слоях на пластине с нулевым продольным градиентом давления на основе уравнений

Навье-Стокса. Для достижения этой цели поставлены и решены следующие задачи:

1. с помощью известных численных и аналитических методов исследованы спектральные задачи для уравнения Орра-Зоммерфельда и Сквайра в широкой области волновых чисел, в том числе, в области малых волновых чисел;

2. на основе полученных свойств собственных функций построена слабонелинейная модель динамики возмущений конечных спектральных размеров в ламинарном пограничном слое Блазиуса. Получены аналитические и численные результаты развития возмущений вниз по потоку. На этом примере отработаны методы построения подобных моделей с заданным профилем продольной скорости;

3. проведен анализ экспериментальных результатов многочисленных работ зарубежных и отечественных авторов, относящихся к развитому турбулентному пограничному слою, и сформулированы качественные следствия, принципы, которым должна удовлетворять динамика развитого турбулентного пограничного слоя;

4. по аналогии с ламинарным пограничным слоем, с учетом следствий, полученных в экспериментальных исследованиях, построена слабонелинейная волноводная модель динамики пульсаций в развитом турбулентном пограничном слое, содержащая когерентную структуру и стохастическую часть пульсаций.

5. В качестве методов исследования рассмотренных задач использованы хорошо зарекомендовавшие себя методы разложения поля течения по полным системам собственных функций, теория функций комплексного переменного, теорию интегрального преобразования Фурье, асимптотические методы (метод многих масштабов). Для проведения сложных аналитико-численных расчетов использовалась машинная аналитика. Анализ экспериментальных результатов проводился методом

сравнения нескольких аналогичных результатов, реализованных на разных экспериментальных установках, расположенных в разных местах, полученных в разное время разными авторами. Для анализа теоретических методов построения моделей турбулентных течений проведен обзор теоретических работ за примерно 50-ти летний период развития этой области знания.

Научная новизна работы:

6. выделен малый параметр задачи, определяемый отношением толщины потери импульса пограничного слоя, к характерной длине изменения амплитуды волн по наименьшему инкременту (декременту);

7. наличие малого параметра в ламинарной части пограничного слоя позволяет упростить уравнения гидродинамики Навье-Стокса до системы нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений вместе с интегродифференциальным уравнением, учитывающим длинноволновую составляющую, для описания динамики волновых пакетов в ламинарном пограничном слое;

8. линейная часть этих уравнений описывает начальную стадию эволюции волнового пакета;

9. в ламинарном пограничном слое показано, что для динамики сложных по спектральному составу волновых пакетов существенна область малых волновых чисел, возмущения в которой подчиняются нелинейному интегродифференциальному уравнению;

10. нелинейные члены системы уравнений позволяют описать взаимодействие длинноволновой части волнового пакета с коротковолновой, приводящей к образованию следа за волновым пакетом;

6. данная постановка задачи о развитии возмущений позволяет указать один из механизмов появления сплошного спектра в спектрах пульсаций,обусловленный множественным трехволновым резонансом;

7. сформулирована простая статистическая модель течения в переходной области, основанная на экспериментальных данных о рождении, развитии и взаимодействии пятен Эммонса, которая учитывает перекрытие турбулентных пятен;

8. на основе качественного анализа обширного экспериментального материала, относящегося к исследованию поля турбулентных пульсаций в пограничном слое на пластине, с помощью метода многих масштабов, существенно использующего наличие малого параметра, сформулированы упрощенные уравнения для когерентной структуры и стохастической части пульсаций;

9. когерентная структура описывается системой обыкновенных дифференциальных уравнений для набора волн в состоянии множественного трехволнового резонанса;

10. стохастическая компонента описывается интегро дифференциальным уравнением кинетического типа с добавлением источника, определяемого когерентной структурой;

11. уравнения когерентной структуры и стохастического компонента связаны параметром, определяемым из совместного решения уравнений для указанных компонентов, который мультипликативно входит в определение компонентов тензора напряжения;

Теоретическая и практическая значимость работы:

1) Проясняется процесс образования когерентных структур и их динамики в ламинарном пограничном слое, показывает сильное влияние длинноволновой части волнового пакета на компоненты когерентной

структуры, что может быть, в принципе, использовано в целях управления этими структурами.

2. Явное выделение когерентной и стохастической частей турбулентного пограничного слоя и определение законов динамики пульсаций в турбулентном пограничном слое, взаимосвязь когерентной и стохастической частей пульсаций существенны для определения способа управления характеристиками турбулентного пограничного слоя.

3. Математическая структура решения исходной задачи может быть полезна для построения инженерных моделей турбулентности в пограничном слое.

Методология и методы исследования. За основу принята методология аналитического выделения особенности (в данной работе - волновой пакет в ламинарной части и когерентная структура в развитой турбулентной части пограничного слоя) из исходных уравнений (уравнения Навье-Стокса). В качестве основного метода использовались теория возмущений (конкретно: метод многих масштабов) и свойства спектральных задач уравнений Орра-Зоммерфельда и Сквайра (в том числе: численное определение собственных функций и собственных значений этих спектральных задач во временной постановке, основанное на матричном представлении исходных задач, и численное решение систем обыкновенных дифференциальных уравнений)

Положения, выносимые на защиту:

1. Решено несколько крупных задач нелинейной теории устойчивости и турбулентного движения жидкости в пограничном слое на плоской пластине в отсутствие продольного градиента давления. При этом

2. существует малый параметр задачи, определяемый отношением толщины потери импульса пограничного слоя, к характерной длине изменения амплитуды волн по наименьшему инкременту (декременту);

3. в ламинарном пограничном слое для динамики сложных по спектральному составу волновых пакетов существенна область малых волновых чисел, возмущения в которой подчиняются нелинейному интегродифференциальному уравнению;

4. механизм появления сплошного спектра в спектрах пульсаций, обусловленный множественным трехволновым резонансом;

5. Экспериментальные данные, относящиеся к динамике пятен Эммонса в переходной области позволяют сформулировать простую статистическую модель течения в переходной области, которая учитывает перекрытие турбулентных пятен (в отличие от теории Эммонса);

6. на основе качественного анализа обширного экспериментального материала, относящегося к исследованию поля турбулентных пульсаций в пограничном слое на пластине, с помощью метода многих масштабов, существенно использующего наличие малого параметра, показано, что когерентная структура и стохастическая часть пульсаций поля скорости развитого турбулентного пограничного слоя подчинены системе упрощенных уравнений (системе обыкновенных дифференциальных уравнекний для когерентной струткуры и интегродифференциального уравнения для спектральной плотности вертикальной скорости);

7. уравнения когерентной структуры и стохастического компонента связаны параметром, определяемым из совместного решения этих уравнений, который мультипликативно входит в определение компонентов тензора напряжения и является критерием существования когерентной структуры;

Степень достоверности и апробация результатов. В качестве методов исследования рассмотренных задач использованы хорошо зарекомендовавшие себя методы разложения поля течения по полным системам собственных функций, теория функций комплексного переменного, теорию интегрального преобразования Фурье, асимптотические методы (метод многих масштабов).

Для проведения сложных аналитико-численных расчетов использовалась машинная аналитика. Анализ экспериментальных результатов проводился методом сравнения нескольких аналогичных результатов, реализованных на разных экспериментальных установках, расположенных в разных местах, полученных в разное время разными авторами. Для анализа теоретических методов построения моделей турбулентных течений проведен обзор теоретических работ за примерно 50-ти летний период развития этой области знания.

Результаты работы докладывались и обсуждались на следующих научных семинарах и конференциях: Доклад на конференциях:

20 RGD (Rarefied Gas Dynamics) Symposium, Beijing, China, 19-23 August, 1996.

Школа-семинар «Аэродинамика летательных аппаратов», пос. им. Володарского, Московская обл., Россия (2000,2001,2002, 2006 гг.). VI научная конференция «Нелинейные колебания механических систем». Нижний Новгород, Россия, 2002 г.

th c

6 ISNM NSA NIS aug. 24 -29 2003.

XIII Int. Conference on the Methods of Aerophysical Research (ICMAR), 2007, February 5-10, Novosibirsk, Russian Federation.

West-East High Speed Flow Field Conference (WEHSFF) Moscow, Russian Federation, 2007, November 19-22.

13. European Turbulent Conference. 12-15 September 2011, Warsaw, Poland.

14. European Turbulent Conference. 1 - 4 September 2013, Lyon, France. Видеосеминар но аэродинамике НАГИ - ИТПМ CO РАН - СПбГПУ - НИИМ МГУ (2009, 2013).

Публикации

семинаров, 8 - в отчетах, препринтах и трудах ЦАГИ, выпущено 5 монографий. Работы поддержаны грантами РФФИ (коды проектов: 96-01-01537, 99-01-01239, 02-01-00598, 05-01-00556, 11-08-00832) и Программой поддержки научных школ НШ-1984-2002,1 и грантом поддержки ведущих научных школ № 96-15-96063.

Структура и объем диссертации.

Диссертация состоит из вводной части, 5 глав, заключения, списка литературы, включающего 312 наименований, заключения и трех приложений. В работе приводится 90 рисунков и 6 таблиц. Общий объем диссертации составляет 294 страниц.

Структура осредненного течения

Подробные и прецизионные экспериментальные исследования показали, что надежда на универсальную модель турбулентности не оправдана и что формулировка адекватной теории требует значительно лучшего понимания физики турбулентного течения.

Рассмотрение эволюции спектра однородной и изотропной турбулентности привело к важному наблюдению, что энергосодержащие структуры изотропной турбулентности не зависят непосредственно от величины вязкости жидкости. Оказалось, что при достаточно больших числах Рейнольдса, когда жидкость заведомо турбулентна, энергосодержащие структуры подобны для всех значений чисел Ренольдса. В дополнение к этому также отмечено, что если число Рейнольдса достаточно велико, зона диссипации и зона генерации турбулентной энергии сильно разделены в пространстве волновых чисел. В этом случае мелкомасштабное движение находится в состоянии локального изотропного равновесия.

Новый элемент был добавлен в работах [Corrsin, 1943; Townsend, 1947], где показано, что внешние границы турбулентных сдвиговых течений, особенно в струях и следах, находятся только в состоянии перемежаемой турбулентности (рисунок 3, [Van Dyke, 1982]). Физические представления успешно развились до состояния, которое можно охарактеризовать следующей картиной [Townsend, 1956], связывающей вязкий подслой [Corrsin, Kistler, 1955] с полем турбулентной жидкости почти однородной интенсивности. Динамические характеристики этого поля подобны характеристикам изотропной турбулентности. Турбулентная жидкость приводится в движение медленным конвективным сносом Рис. 3 совокупности больших вихрей, чьи размеры сравнимы с шириной потока и много больше, чем масштаб вихрей, содержащих большую часть турбулентной энергии. Во внешней по отношению к турбулентной поверхности раздела области течения движение не стационарно. В этой области не завихренное потенциальное течение индуцировано движением жидкости около границы.

Большие вихри и мелкомасштабная турбулентность - главная черта двойной структуры. Большие вихри важны в процессах переноса. Большие вихри должны принимать квазидетерминистическую форму (Townsend, 1956). Попытка создать такую картину обычно принимала форму заключений, основанных на осреднении по большим интервалам времени пространственного корреляционного тензора [Favre, Gaviglio, Dumas, 1957]: Rij(x,l) = (u,(xj),uI(x+lt)), измеренного в эйлеровой системе отсчета. Обширные корреляционные измерения [Grant, 1957; Payne, Lumley, 1967; Townsend, 1970, 1976] в различных турбулентных течениях выявили ряд характерных образований, которые можно было интерпретировать как когерентные вихревые структуры.

Характеристики переноса импульса, энергии и т.п. турбулентных сдвиговых течений определены крупномасштабным вихревым движением детерминированным, а не случайным. Форма, интенсивность и масштаб этих организованных движений изменяются от потока к потоку, и вместе с ними изменяются методы их определения.

Средний профиль скорости в турбулентном пограничном слое может быть разбит на три части (см. также [Кадер, Яглом, 1980]): вязкий подслой: 0 у+ 7, и+ = у+ ; буферный подслой: 7 у+ 30; логарифмический и внешний слои: 30 у+ 5+. Имеется несколько эмпирических формул для среднего компонента продольной скорости [Cantwell B.J., 1981] и(у+, y/b), 5 - толщина пограничного слоя, который выражается через набор переменных

Первое замечательное свойство турбулентного пограничного слоя – это универсальность пристеночного поведения. Независимо от величины градиента давления, от шероховатости стенки или от числа Рейнольдса наблюдается логарифмическая зависимость скорости u от координаты. Кроме того, суммирование скорости генерации турбулентной энергии по всей толщине пограничного слоя приводит к результату, что первые 5% пограничного слоя вносят больше половины генерируемой турбулентной энергии.

В работе [Barenblatt, Chorin, Prostokishin, 2000] рассматривается возможность другой структуры турбулентного пограничного слоя (степенное поведение вблизи стенки), которая переходит в описанную выше только при стремлении числа Рейнольдса к бесконечности. 1.1.3. Пульсации, внутренняя область

В работе [Kline, Reynolds, Schraub, Runstadler, 1967] выявилось несколько новых свойств течения в пристеночной области ТПС.

В эксперименте наблюдалось взаимодействие стриков, высоко- и низкоскоростных областей придонного течения, с внешними частями течения посредством последовательности из четырех событий: медленное поднятие, подъем, внезапные осцилляции и распад. Последовательность, состоящую из трех событий, от подъема до распада названа берстингом (рисунок 4а, б).

В дополнение к этому они обнаружили, что благоприятный градиент давления др/дх 0 стремится уменьшить частоту берстинга, а неблагоприятный -увеличить. Установлено, что берстинг играет решающую роль в генерации турбулентной энергии, что он преобладает в процессах переноса между внутренними и внешними областями пограничного слоя и, таким образом, играет важную роль в определении структуры всего слоя. В работе. [Kline, Reynolds, Schraub, Runstadler, 1967] дана оценка пространственных масштабов движения, связанного со стриками и берстами. Из данных визуальных наблюдений получено, что среднее поперечное расстояние между стриками (т.е. расстояние, равное одной длине волны) для гладкой поверхности при произвольном градиенте давления было равно приблизительно Х+2 = X/ lv = 100 (рисунок 5).

Решение уравнения Блазиуса

Рассмотрим уравнение Рэлея для пограничного слоя с эффективными граничным условиями [Lin, 1945], позволяющими учесть эффекты вязкости для тех случаев, когда критические слои волн Толлмина-Шлихтинга разделены с вязким подслоем на стенке областью невязкого течения. Спектральная задача в этом случае может быть записана следующим образом:

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 96-01-01537) где U(y) - профиль скорости основного течения (в данной работе - профиль Блазиуса), u2(y) = (d2/dy2)u(y), k = Ja2+j32 , k = (a,j3) - волновой вектор, с(к) -комплексная фазовая скорость, і - мнимая единица, р(у) - комплекснозначная функция, R - число Рейнольдса. В (1) и граничных условиях (2) и (3) координата отнесена к толщине потере импульса. Целью методики является получение решение задачи (1), (2) и (3) в виде рядов. В исходную систему уравнений входит профиль скорости U(у) и его производные, которые определяются из уравнения Блазиуса Ч""{у) + Ч{у)Ч "{у)/2 = 0, (0) = Ч"(0), Ч"(оо) = 1, где 4 (у) - функция тока течения Блазиуса. Скорость U(y) определяется соотношением U(y) = W (y).

Для получения искомого решения для c(k,R) в виде ряда необходимо и уравнение Блазиуса решить в виде ряда по у: Сложное строение ряда (4) обусловлено логарифмической особенностью решения на критической линии. Небольшое число членов ряда для c(k,R) (исследовалось уравнение Орра-Зоммерфельда) было получено ранее в [Михайлов, 1981; Жук, Рыжов, 1983, Жук, 1984]. Однако ряд для c(k,R) либо асимптотический, либо имеет очень малый радиус сходимости, поэтому малое число членов этого ряда дает мало информации об аналитическом поведении функции c{k,R) в достаточно широкой области параметров. Для того чтобы получить более полную информацию, необходимо найти значительно большее число членов этого ряда. При этом не существенно, является такой ряд сходящимся в некоторой области или асимптотическим, т.е. сходящимся только в одной точке, так как существуют методы суммирования рядов [Рамис, 2002; Бейкер, Грейвс-Моррис, 1986; Николаев, 1965] позволяющие в ряде случаев преодолеть эти трудности. Основная трудность все же состоит в получении достаточного количества членов искомого ряда. Проблема получения достаточно длинных рядов при решении задач гидроаэродинамики занимает исследователей сравнительно давно. Уже в работе [Николаев, 1965] в связи с решением нелинейной сингулярной задачи на собственные значения [Гусев, Жбакова, 1974] была развита методика получения таких рядов и действий с ними с помощью ЭВМ. В обзоре [Milton Van Dyke, 1984] рассмотрены многочисленные примеры и методики обработки отрезков рядов, полученных аналитическими и другими методами, с целью исследования некоторых свойств аналитических функций, представляемых этими рядами. Эти методики весьма эффективны, если их применять с помощью современных вычислительных машин, так как они требую значительных ресурсов памяти и быстродействия. В настоящее время уже существуют компьютерные системы для проведения аналитических вычислений, позволяющие, при наличии достаточного ресурса вычислительной машины, получать ряды с большим числом членов [Дэвенпорт, Сирэ, Турнье, 1991].

В данной работе использована система компьютерной аналитики Reduce 3.3. Для того чтобы воспользоваться этой системой, авторам работы пришлось написать ряд процедур, определяющих такие операции с рядами, как обращение ряда, подстановка ряда в ряд, деление ряда на ряд, возведение ряда в степень и т.п. (Отметим здесь, что в ряде пакетов машинной аналитики, например, в пакете MATHEMATICA, эти операции уже имеются, см., например, [Горелов, Жаров, Хлопков, 2000] Кроме того, был использован метод определения характеристик ряда с помощью полиномиального представления величины ап/ап_1 от п, где ап есть и-й коэффициент ряда (предполагается, что нулевых коэффициентов ряда нет), и метод аппроксимантов Паде [Бейкер, Грейвс-Моррис, 1986].

Уравнение Блазиуса с соответствующими граничными условиями является нелинейной краевой задачей, одним из методов решения которой является метод пристрелки. Использование рядов для этой задачи дает еще один способ решения, когда граничному условию при у = оо удовлетворяют с помощью задания произвольного значения d второй производной от функции тока Ч (у) в точке у = 0, конкретное значение которого находится из обращения степенного ряда для U (у) = хР (у) и определения радиуса сходимости вновь полученного ряда. Коэффициенты ряда для Ч (у) имеют вид (несколько первых членов) (0,0,/,0,0,-/2/60,0,0,11/3/20160,0,0,-5J4/266112,0,...). Поскольку ряд имеет пропуски, для достаточно точных характеристик необходимо получить “длинный” ряд. В работе рассмотрен ряд до у51 включительно (16 отличных от нуля коэффициентов). Этот ряд обращается, после чего проводится преобразование которое приводит к новому степенному ряду, где уже нет нулевых коэффициентов. Полученный ряд обращается, а радиус его сходимости определяется с помощью аппроксимации отношения ап/ап_1 полиномом вида a0+a1/n + ...+aL/nL, где коэффициент а0 при TV -oo, где N - длина отрезка исходного ряда по , равен радиусу сходимости, который, в силу граничного условия С/(.у)- 1, j-x», должен быть равен 1. Из этого условия определяется величина d. В таблице 1 приведена величина d, определяемая из трехчленного выражения для отнош ения anlan_х =aQ+aYlп + а21 п2 по трем последним членам отрезка ряда, N - длина отрезка исходного ряда по Е,.

Динамика элементов волновых пакетов

В данной работе продемонстрированы возможности сравнительно простой методики, позволяющей определять спектральные характеристики уравнений Сквайра и Орра-Зоммерфельда, вообще говоря, на любом профиле скорости, в том числе, и на турбулентном. Поскольку материал для сравнения имеется, главным образом, для профиля Блазиуса, характеристики спектральных задач определены именно для этого профиля. Полученные результаты несколько расширяют имеющуюся информацию о собственных числах спектральных задач для уравнений Сквайра и Орра-Зоммерфельда. Эти данные дополнены асимптотиками собственных значений для больших волновых чисел. Приведены аналитические аппроксимации полученных зависимостей, что облегчает практическое использование полученных результатов.

Довольно подробно рассмотрен дискретный спектр уравнения Сквайра в широкой области значений волнового вектора (за исключением небольших областей малых значений а, где c"(aR) довольно близка к 1 для первых четырех мод. Получено, что фазовые скорости разных мод не пересекаются, а их действительные (мнимые) части монотонно возрастают (убывают) с ростом номера моды.

Для уравнения Орра-Зоммерфельда те же результаты получены для первых двух “низших” мод. Главное же внимание уделено неустойчивой моде, в различных областях пространства волновых чисел (а, Р). Дана аналитическая по а,р аппроксимация дисперсионной зависимости для низшей моды. Впервые представлены результаты, относящиеся к асимптотическому поведению низших мод при к = 0(R1/2).

Кроме этого полученные результаты позволили получить характеристики резонансов: волны Сквайра - волны Толлмина-Шлихтинга, первые 4 сквайровских моды с неустойчивой модой волн Толлмина-Шлихтинга, и 3-волной резонанс на наименее устойчивой моде волн Толлмина-Шлихтинга. Получено, что прямого резонанса волны Сквайра - волны Толлмина-Шлихтинга нет, а для 3-волнового резонанса волн Толлмина-Шлихтинга приведены результаты для чисел R равных 500 и 3000. Показано, что субгармоники наклонены к основной гармонике под углом =50 о. Приведены также кривые 3-волнового резонанса для случая, когда основная гармоника параллельна направлению основного течения.

Ввиду того, что в реальных условиях размер пластины по х ограничен, будем считать, что зависимость сг от а при а порядка о(є) несущественна, Это обстоятельство при к є позволяет получить аппроксимацию зависимости c(k,aR), которая далее будет использована для вывода уравнений огибающей волнового пакета. Для получения этой аппроксимации заметим, что зависимость функций сг и Шг от к аналитическая, поэтому при малых к функции c(k,aR) и a(k,aR) можно разложить в ряд Тейлора по данному аргументу. С необходимой для нас точностью теперь можно написать, что c(k,aR) = c (0,aR)+dCr(0,aRh + is26} (0,aR (1) v rK дк a По аргументу aR, при a є, такое разложение выполнить невозможно, так как aR sR s2R/s, s2R 1, т.е. эта характеристика асимптотически велика. Следовательно, в пределе є 0 коэффициенты cr(0,aR),dcr(0,aR)/dk,at(0,aR) должны быть равны их предельным значениям, а именно 0,1/U (0\с/(0,да). Однако для реальных ситуаций (Rs 500) до достижения предельной величины оказывается еще далеко (см. рисунок 43). Рис. 43

Поэтому, на наш взгляд, имеет смысл аппроксимировать функцию c(k,aRs) формулой (1), коэффициенты которой можно извлечь из численного определения с при умеренных значениях RS, т.е. c(k,aR) = a + bk+is2d/a, где а,Ьи d - функции х0. В литературе (см., например, [Craik, 1971]) имеются указания на более сложную, «эллипсоидалььную» модель, когда линии уровня фазовой скорости близки к эллипсам, которая, однако, не приводит к изменению характера особенности а (к) вблизи к 0.

Таким образом, ниже предполагается, что для малых к є 1/ R1/2 в пограничном слое Блазиуса справедливо выражение co(k,aR) = aa(X0) + b(X0)ak + is2d(X0) (2) Величины a, b, d в формуле (2) определены в работе [Додонов, Жаров, Хлопков, 2000], см. приложение 3, таблица 6

В работе [Жаров В.А., отчет ЦАГИ НИО-8, 2001] численно рассмотрено поведение фазовой скорости волн Сквайра при a,/3 \IR. В этом случае собственные функции спектральной задачи для уравнений Орра - Зоммерфельда и Сквайра затухают при удалении от стенки очень медленно. Поэтому для определения спектральных характеристик необходим метод, который бы эффективно учитывал весь полубесконечный интервал. В связи с этим проведен анализ различных методов решения спектральной задачи для вертикальной компоненты завихренности в пограничном слое Блазиуса. Рассмотрен метод пристрелки в применении к уравнению Сквайра на интервале (0,L) (Х=10), а также на интервале (0,U) ([/=0.95), когда независимой переменной после преобразования координат является продольная скорость U(y) (обратная функция - у(и)) профиля Блазиуса. В качестве граничных условий на правом конце интервала рассматривалась асимптотика собственных функций при у—»ос, а также решения нескольких эталонных уравнений в окрестности точки U = 1. Получена фазовая скорость в зависимости от параметра = aR, где а - продольное волновое число, R - число Рейнольдса, а также собственные функции с непрерывными на всем интервале первой и второй производными. Показано, что в области малых значений ( 1 // ю) граничные условия в виде решений эталонных уравнений дают заметный разброс значений фазовой скорости, который исчезает при увеличении /и. Это подтверждается сравнением с ранее полученными результатами по методу дискретизации исходного дифференциального оператора и последующего решения матричной спектральной задачи.

Определение коэффициента сопротивления пластины при наличии перехода

При этом предполагалось, что отношение мнимой части частоты волн к действительной мало (малый параметр задачи), а волновые вектора достаточно удалены от начала координат. С помощью этих уравнений в пространственной постановке рассмотрена динамика волн в N– и K–режимах перехода. Высказана гипотеза, что сплошной низкочастотный спектр в N–режиме возникает за счет множественного трехволнового резонанса (см. также [Жаров, 1986] и получен ряд других эффектов. В работе [Nobutake, 1987] рассмотрены теоретические возможности описания развития трехмерности возмущения на основе различных типов резонансов и проведено сравнение различных механизмов в пределе бесконечно узкого в пространстве волновых чисел волнового пакета. В работе [Herbert, 1988] для описания вторичной неустойчивости была использована теория Флоке.

Много важных результатов было получено в рамках асимптотической по 1/R 0, теории, где R – число Рейнольдса [Струминский, 1963; Saric, Nayfeh, 1975; Зубцов, Пономарев, 1976; Жигулев, 1977; Михайлов, 1981; Шрира, 1989; Жаров, 1993а,б; Гапонов, 1999]. Наиболее важное продвижение в асимптотической теории пограничного слоя после Прандтля было сделано Месситером [Messiter, 1970], Нейландом [Нейланд, 1969] Стюартсоном [Stewartson, 1969] (так называемая теория “triple deck”), подробнее см. [Cowley, 2000; Нейланд, Боголепов, Дудин, Липатов, 2003]. В рамках этого метода рассмотрены линейные и нелинейные [Жигулев, 1980; Жук, Рыжов, 1982; Jang, Benny, Gran, 1986; Реутов, 1987, 1994, 1995; Hall, Smith, 1989; Жигулев, Тумин, 1987; Goldstein, 1995; Wu, Stewart, Cowley, 1996; Goldstein, Lee, 1992; Mankbadi, Wu, Lee, 1993; Нейланд, 2010] волны Толлмина–Шлихтинга и Сквайра, взаимодействие волн со средним течением, нелинейный критический слой, зависимость критического числа Рейнольдса перехода от начальной величины возмущения, фокусировка вихревых волн [Wu, Stewart, Cowley, 1996]. Суперэкспоненциальный рост возмущений рассмотрен [Goldstein, Lee, 1992; Mankbadi, Wu, Lee, 1993]. В работах [Рубан, 1984; Goldstein, 1985; Goldstein, Hultgren, 1987; Wu, 1999; Реутов, Рыбушкина, 1992] представлены результаты по асимптотической теории восприимчивости пограничного слоя.

Неудобство асимптотической теории состоит прежде всего в том, что имеется огромное множество масштабов, из которых не всегда ясно как выбрать такой масштаб, который бы согласовывался с экспериментом. Препятствие, возникающее на пути развития нелинейной асимптотической теории при больших числах Рейнольдса, связано также с сильным усложнением анализа резонансного взаимодействия волн Толлмина–Шлихтинга, который потребовал уже семислойной схемы асимптотического анализа [Wu, Stewart, Cowley, 1996; Moston, Stewart, Cowley, 2000]. Сингулярности, невозможность продолжения решения за сингулярность и необходимость включения экспоненциально малых членов обсуждается там же. Таким образом, cложности и парадоксы асимптотического по числу Рейнольдса анализа требуют существенного развития метода сращиваемых асимтптотических разложений, которое позволило бы обойти все эти трудности.

В связи с этим интенсивно развиваются численные методы решения этой задачи. В работе [Herbert, 1988] предложен подход на основе теории Флоке. В этой работе рассматривается возможность описания допереходной области параболизованными уравнениями Навье–Стокса. Кинематическая трактовка продольных структур предложена в [Chernyshenko, Baig, 2005]. Концепция нелинейных волн, являющихся точными решениями полных уравнений Навье–

Стокса, представлена в работах [Waleffe, 1998, 2001, 2003; Wedin, Kerswell, 2004; Kerswell, 2005; Pringle, Kerswell, 2007].

Параллельно асимптотический анализ уравнений Навье–Стокса в многочастотном случае (волновые пакеты, описываемые квазипериодическими функциями) был проведен в работах [Маслов, Омельянов, 1986; Маслов, 1986а,б; 1987, 1991], получены в общем виде замкнутые уравнения для среднего поля и амплитуд пульсационных волн. При этом обнаружена асимптотическая неединственность решений при числе Рейнольдса стремящемся к бесконечности, которая была интерпретирована как возможность возникновения индетерминистических решений. Это в некоторой мере пересекается с возможностью многочастотных режимов в постановке [Зельман, Масленникова, 1984] и механизмом стохастизации нелинейных волновых полей Б.В. Чирикова [Чириков,. 1969; Заславский, 1984] за счет перекрытия резонансов. В реальных течениях [Emmons, 1951; Занин, 1988] в качестве начальных условий наблюдается волновой пакет конечных спектральных размеров. В работах [Grek, Kozlov, Ramazanov, 1985; Medeiros, Gaster, 1999] рассмотрены способы генерации волновых пакетов и прослежена их эволюция во времени. В связи с этим возникает необходимость описания его слабонелинейной динамики в допереходной области. В работах [Терентьев, 1987; Рыжов, Савенков, 1987] дана попытка описания динамики двумерных волновых пакетов на основе уравнений Навье–Стокса численно и аналитически в асимптотическом по числу Рейнольдса приближении. Параболизованная модель Зельмана во временнй постановке [Зельман, Масленникова, 1984] содержит в себе множество ситуаций, возникающих при исследовании динамики волн в допереходной области пограничного слоя на пластине. Однако она не содержит изменения среднего поля за счет пульсаций, так как при выводе уравнений этой модели не рассматривались волновые вектора вблизи начала координат пространства волновых чисел и тем самым не учтена аналитическая особенность дисперсионного уравнения в этой области.