Содержание к диссертации
Введение
Глава 1 Основные модели внутренних волн 12
1.1 Введение 12
1.2. Уравнения теории мелкой воды 13
1.3. Эволюционные уравнения для внутренних волн. Уравнение Кортевега – де Вриза 20
1.4. Уравнение Гарднера для внутренних волн умеренной амплитуды 27
1.5. Карты параметров уравнения Гарднера для внутренних волн второй моды в Южно-Китайском море 31
1.6 Выводы 46
Глава 2 Моделирование распространения внутренних волн на океанских шельфах . 47
2.1 Введение 47
2.2 Безотражательное распространение внутренних волн в канале переменного сечения и глубины
2.2.1. Бегущие волны в двухслойном потоке переменного сечения 49
2.2.2. Конфигурации бассейна, допускающие безотражательное распростра-нение внутренних волн 52
2.2.3. Структура бегущей внутренней волны в безотражательном канале 62
2.3 Прохождение одиночной внутренней волны в составном безотражательном канале 64
2.4 Моделирование эволюции внутреннего бора в Печерском море 72
2.5 Выводы 85
Глава 3 Воздействие внутренних волн на транспорт частиц 86
3.1 Введение 86
3.2 Вариации донного давления, вызванные внутренними волнами
3.3. Вариации придонной скорости, вызванные внутренними волнами 96
3.4. Движение частиц жидкости в бризере внутренних волн 101
- Эволюционные уравнения для внутренних волн. Уравнение Кортевега – де Вриза
- Безотражательное распространение внутренних волн в канале переменного сечения и глубины
- Прохождение одиночной внутренней волны в составном безотражательном канале
- Вариации донного давления, вызванные внутренними волнами
Эволюционные уравнения для внутренних волн. Уравнение Кортевега – де Вриза
Итак, в силу (1.3.11) и (1.3.15), все члены ряда для смещения изопикн на различных горизонтах (1.3.7) полностью определяются через одну неизвестную функцию t](x,t), соответственно, и ряд для функции тока или скорости течения. Несколько членов этого ряда представлено ниже: С = ф,і)Ф(у) + єг]2Ф10(у) + jUt]xxO01(y) + є2г]3Ф20(у) + 2 + и2?7ххххФ02(У) + є и — Ф111О) + ххФ12 1О) +... (1.3.18) V
Следует отметить, что решение уравнения (1.3.16) определяется с точностью до решения соответствующего однородного уравнения, то есть с точностью до функции Ф, и, следовательно, каждый член ряда (1.3.18) не является полностью определенным. В качестве волновой функции ri(x,t) можно выбрать и более сложные комбинации типа rj(x,t) + const t]2(x,t), для которых и коэффициенты эволюционного уравнения, вообще говоря, будут другими. Однако физически задано смещение пикноклина (x,t,z), и оно «навязывает» «правильное» определение функции rj(x,t). Так, если принять условия фОгтх) = 1 фу(Утвх) = , (1.3.19) то ряд (1.3.18) обрывается на первом слагаемом, и C(x,ymaKJ) = Tj(x,t) (1.3.20) определяет «истинное» смещение изопикны, находящейся на глубине утах. При других условиях вместо (1.3.19) нелинейное эволюционное уравнение будет написано для другой физической переменной (например, для смещения изопикны на другом горизонте). Соответственно и поведение этих изопикн оказывается различным. Тем не менее, в каждом порядке теории возмущений вне зависимости от выбранной переменной фс,і) истинное двухмерное волновое поле {x,z,f) будет одинаковым.
Функция rj(x,t), описывающая эволюцию волны по горизонтали, задается своими производными по медленным временам (1.3.14). С учетом (1.3.9) мы можем переписать его в привычной форме dt дх дх дх3 дх д5 З где а = sw, р = sou «і = 520, h = s02, 7i = sn1, yi = sn2. Напомним, что выражения для коэффициентов s заданы формулой (1.3.17).
В первом приближении по є и /л уравнение (1.3.21) представляет собой известное уравнение Кортевега - де Вриза, широко используемое для анализа нелинейных волновых процессов в стратифицированной жидкости. Оно будет использовано во второй главе диссертации.
Опуская малые параметры, которые по существу являются «метками» соответствующих членов, перепишем уравнение Кортевега - де Вриза в стандартном виде дгі дгі дгі Л j3 = 0. (1.3.22) а ас ас Уравнение Кортевега - де Вриза является полностью интегрируемым и имеет бесконечное число интегралов сохранения. Параметры а, /? и с являются соответственно коэффициентами нелинейности, дисперсии и фазовой скоростью длинных волн в стратифицированной жидкости. Мы уже приводили краевую задачу (1.3.12), определяющую скорость распространения волны, с. Параметры нелинейности и дисперсии определяются из фоновых вертикальных распределений плотности и горизонтальной скорости как (в приближении Буссинеска) - ниже вертикальная переменная изменена на более привычную z:
В общем случае при произвольной стратификации жидкости задача нахождения структуры моды и коэффициентов уравнения Кортевега-де Вриза решается численно. Важно подчеркнуть сразу, что дисперсия определяется положительно определенным функционалом от стратификации жидкости (1.3.24), так что коэффициент дисперсии всегда положителен. В то же время, коэффициент квадратичной нелинейности может быть любого знака. В этом смысле здесь нет аналогии с поверхностными волнами в несжимаемой жидкости, для которых он всегда положителен.
Отметим, важный случай двухслойной жидкости, для которой явные выражения для всех коэффициентов найдены уже очень давно (Djorjevich & Redekopp, 1978; Kakutani, Yamasaki, 1978; Miles, 1981; Koop & Butler, 1981; Liu, 1988) gbp "vh. P = ch1h2 a = 3c h 1-K p hl+h2 6 2 h1h2 (1.3.25) где Лр/р - скачок плотности между верхним слоем с толщиной hi и нижним слоем с толщиной h2. Другим важным случаем, для которого коэффициенты уравнения Кортевега - де Вриза также находятся аналитически, является случай экспоненциальной стратификации р = р0 exp(z/d) (N(z) = const): (Миропольский, 1981) с = —, а = 0, (3= (1.3.26) я- 2яг3 Для такой стратификации нелинейность вообще отсутствует, и волна большой амплитуды будет линейной (при использовании приближения Буссинеска). Уже из этих двух примеров видно, что малость нелинейности и дисперсии определяется не просто величиной отношения амплитуды к полной глубине жидкости (для нелинейности) и глубины к длине волны (для дисперсии), как это предполагалось при формальном применении асимптотического метода. Фактически, малость нелинейности и дисперсии видна уже из уравнения Кортевега - де Вриза (1.3.22) «a «c, «c, (1.3.27) а эти параметры определяются функционалами от параметров среды, а не только от глубины бассейна. Оценки показывают, что для двухслойного потока коэффициенты нелинейности и дисперсии определяются через глубину воды (как для поверхностных волн), а для непрерывной стратификации по отношению к эффективной глубине, которая может быть значительно большей глубины океана. Так, при постоянной частоте Вяйсяля эффективная глубина вообще обращается в бесконечность (1.3.26). Поэтому в случае непрерывной стратификации внутренние волны могут иметь большую амплитуду, сопоставимую с глубиной океана, и оставаться в то же время слабонелинейными.
Уравнение Кортевега - де Вриза является простейшей моделью нелинейных волновых движений в стратифицированной жидкости. «Выход» за эту модель диктуется многими причинами.
Во-первых, как можно видеть из (1.3.26), существуют стратификации, для которых коэффициент квадратичной нелинейности а обращается в ноль (отметим, что для экспоненциальной стратификации коэффициенты нелинейности любого порядка равны нулю (Миропольский, 1981). В двухслойной жидкости (кстати, здесь существует только одна мода внутренней волны) а меняет свой знак в зависимости от положения пикноклина (1.3.25). Если пикноклин находится ровно посередине, то коэффициент квадратичной нелинейности обращается в ноль. Он является положительным, если пикноклин прижат ко дну, и отрицательным, если пикноклин смещен к поверхности. Ввиду малости квадратичной нелинейности в случае, когда пикноклин расположен близко к середине водной толщи, корректный учет нелинейных эффектов возможен только в следующих приближениях. Сейчас накоплен обширный материал в океанологии и лимнологии, подтверждающий распространенность смены знака нелинейного коэффициента в природных водоемах (Пелиновский и др., 2002; Grimshaw et al, 2010; Kurkina et al, 2011).
Во-вторых, стратификация жидкости обычно предполагается неизменной по горизонтали, что справедливо только для малых экспериментальных бассейнов. Опять же океанология и лимнология дает нам много примеров переменности стратификации по горизонтали (Иванов и др., 1994; Полухин и др., 2005; Талипова и др., 2014)). Следовательно, получение адекватной модели является важной задачей механики стратифицированной жидкости.
Безотражательное распространение внутренних волн в канале переменного сечения и глубины
Число аналитических моделей, описывающих внутренние волны в океане с неоднородным распределением частоты плавучести и переменной глубины достаточно мало. Отметим, в частности, применение аналитических методов для описания модовой структуры внутренних волн в океане со специфическим распределением частоты Вяйсяля-Брента (Краусс, 1968; Власенко, 1987; Талипова и др., 2009). Недавно были найдены безотражательные внутренние волны приливного периода при некоторых ограничениях на характер изменения частоты плавучести и сдвигового потока с глубиной, демонстрирующие сильное проникновение энергии внутренних волн на большие глубины (Талипова и др., 2009; Grimshaw et al., 2010). В случае же плавно меняющейся плотностной стратификации и глубины волновое поле можно описать асимптотически (Zhou & Grimshaw, 1989; Булатов и Владимиров, 2010). Отметим также полученные приближенные решения для трансформации внутренней волны в двухслойном потоке с уступом на дне (Grimshaw et al., 2008), подтвержденные численными решениями уравнений Навье-Стокса для волн даже относительно большой амплитуды (Talipova et al., 2013). Наконец, выделим точно решаемую аналитическую модель трансформации внутренней волны над неровным дном в двухслойном океане в рамках линейной теории мелкой воды (Талипова и Пелиновский, 2011), которая продемонстрировала возможность безотражательного распространения внутренней волны над подводным склоном, даже если он достаточно крутой. При этом рассматривалась двумерная задача с одной горизонтальной и одной вертикальной координатой. Между тем, в бухтах и заливах приходится принимать во внимание ширину водного потока, влияющего на интенсивность волнового поля, то есть решать трехмерную задачу. В случае же достаточной узости бухты возможно усреднение по поперечному сечению и переход опять к двумерной задаче. Такие усредненные модели активно используются для нахождения безотражательного распространения поверхностных волн в каналах произвольного сечения (Didenkulova & Pelinovsky, 2011 а,б), что позволило объяснить сильный заплеск волн цунами во время цунами 2009 года на Самоа (Didenkulova, 2013). Ниже мы покажем, что аналогичные безотражательные волны существуют и в теории длинных внутренних волн в двухслойном потоке переменного сечения и глубины при наложении специфических условий на конфигурацию бассейна. Во втором параграфе этой главы приведено развитие теории «безотражательных» откосов для каналов переменного сечения и глубины. Развитая теория актуальна для оценки трансформации внутренних волн во фьордах и эстуариях рек. Третий параграф посвящен моделированию распространения импульса внутренней волны в двухслойной среде со сшивкой двух «безотражательных» откосов. Четвертый параграф посвящен исследованию формирования внутреннего солибора в Печерском море. Результаты главы суммированы в пятом параграфе.
Результаты этой главы опубликованы в статьях [H1, H4]. 2.2. Безотражательное распространение внутренних волн в канале переменного сечения и глубины
Рассмотрим здесь распространение длинных волн в двухслойном канале прямоугольного сечения, в котором глубина и ширина переменны (рис. 2.2.1). Мы предполагаем толщину верхнего слоя постоянной, так что меняется только толщина нижнего слоя. Рассмотрение проведем в рамках линейной теории мелкой воды, описанной в параграфе В случае прямоугольного канала переменного сечения меняется только уравнение сохранения массы воды, так что исходными являются следующие уравнения h1u1+h2(x)u2=0 (2.2.1) д(и2-щ)+ dR = 0 dt дх B(x)?R + [B(x)h(x)u] = 0 (2.2.3) dt дх1 2 2J где, как и ранее, rj - смещение поверхности раздела жидкостей разной плотности (свободная поверхность аппроксимируется твердой крышкой), щ и U2 - усредненные по поперечному сечению скорости потоков в верхнем и нижнем слоях, hi и Ъфс) - глубины верхнего и нижнего слоев, В(х) - ширина бухты, и g = g(pi - р\)/р\ - редуцированное значение ускорения свободного падения. Эти уравнения отличаются от известных уравнений мелкой воды в двухслойном потоке (см. параграф 1.2) наличием слагаемого с В(х) в уравнении сохранения массы воды в нижнем слое. Рис. 2.2.1. Геометрия задачи Как и в статье (Талипова и Пелиновский, 2011), исключим скорость потока в верхнем слое из (2.2.1). Тогда уравнение (2.2.2) переписывается в виде dt h1+h2 дх и система уравнений (2.2.3) и (2.2.4) становится замкнутой. Эти уравнения легко свести к волновому уравнению для смещения границы раздела, которое имеет вид определяет скорость распространения длинных волн в двухслойном канале. Уравнение (2.2.5) описывает распространение внутренних волн в двухслойном потоке переменного сечения. Как показано в (Талипова и Пелиновский, 2011) в случае В = 1, при определенных условиях на изменение скорости распространения волны (глубины канала) возможно существование безотражательного распространения (бегущих волн) внутренних волн в неоднородном океане, при котором энергия волнового поля может переноситься на большие расстояния. В то же время для поверхностных волн в каналах переменного сечения, где уравнения схожи с изучаемыми здесь, также найдены безотражательные волны (Didenkulova and Pelinovsky, 2011 а,б). Все это позволяет надеяться, что бегущие волны существуют точно и в рамках волнового уравнения (2.2.5) для внутренних волн.
Прохождение одиночной внутренней волны в составном безотражательном канале
Моделирование аномально больших внутренних волн, генерируемых бароклинным приливом, в настоящее время достаточно актуально вследствие возросшего количества морских платформ, установленных на шельфовых месторождениях нефти и газа. Можно отметить некоторые случаи повреждения этих платформ внутренними волнами большой амплитуды (например, в Андаманском море, когда одна из опор платформы в октябре 1997 года была изогнута сдвиговым течением во внутренней волне (рис. 3.1.1, взятый из (Frazer, 1999)). Для Южно-Китайского моря, как богатого нефтью района, проделаны сравнительные оценки воздействия на платформы внутренних и поверхностных ветровых волн (Song et al., 2011). Показано, что нагрузки от внутренних волн, действующие на подводные части платформы в вертикальном направлении в 30 раз превосходят нагрузки от ветровых волн. Действие внутренних волн также может приводить к мощному транспорту наносов и размывам дна, особенно в глубоководных районах, где влияние ветровых, в том числе штормовых волн, пренебрежимо мало. Все это привело к осознанию необходимости построения систем оповещения об аномально больших внутренних волнах в океане типа службы цунами в Тихом океане. Прототип такой системы оповещения о приближении опасных внутренних волн в Андаманском море, основанный на измерении донного давления, уже разработан (Stober and Moum, 2011). Эта система, получившая название системы раннего обнаружения солитонов (Soliton Early Warning System), находится в опытной эксплуатации в Андаманском море с ноября 2008 года. По-существу, система работает по тому же принципу, что и служба цунами, регистрируя вариации гидростатического давления в длинных волнах на морском дне. Правда, нам не удалось найти более свежие публикации об этой системе, свидетельствующие о ее работоспособности.
Высоты внутренних волн во многих районах Мирового океана могут достигать 100 м (Морозов, 1985; Grimshaw, et al., 2007; Сабинин и Серебряный, 2007), и такие волны становятся действительно опасными. Все это указывает на необходимость исследования возможных динамических и катастрофических явлений, сопровождающих распространение внутренних волн большой амплитуды.
Внутренние волны, существующие в океане вследствие стратификации его вод, являются принципиально двумерными, а во многих случаях и трехмерными. В вычислительном плане анализ двумерных и трехмерных нестационарных волновых движений является весьма сложной задачей. Сейчас разработан и получил широкое применение численный код MIT, решающий полные уравнения гидродинамики с учетом реального волнами в октябре 1997 года рельефа дна, вращения Земли и турбулентных процессов (Куркин и др., 2015; Vlasenko and Stashchuk, 2007). Эта модель разработана специалистами Массачусетского технологического института (США) вкупе со специалистами по численному моделированию океана остального мирового сообщества. Она активно используется в разных странах, в том числе и в нашем коллективе НГТУ им. Алексеева. Однако, данная модель требует больших компьютерных ресурсов, оправданных для решения ряда практических задач океанологии. Тем не менее, даже такие полные модели пока еще не учитывают существующей на практике относительно стабильной фоновой горизонтально – неоднородной стратификации, которая характерна для реальных океанских условий (для этого необходимо вводить внешние силы, эту неоднородность стратификации удерживающие, параметризация которых пока еще не вполне ясна). Именно поэтому в научных исследованиях и анализе новых явлений широко применяются асимптотические модели, основанные на уравнении Кортевега-де Вриза и его обобщениях. Ранее такие модели использовались для оценок волнового поля в двухслойном стратифицированном потоке (Liu et al., 1985, 1998; Orr and Mignerey, 2003). Позднее, она была обобщена в работах нашего коллектива и включает произвольную горизонтально -неоднородную стратификацию вращающегося океана (Holloway et al., 1997, 1999, 2001; Пелиновский и др., 2001). Эта модель описана в главе 2, где используется для изучения трансформации бора в Печорском море. Подчеркнем, что численная модель реализована в виде специального пакета IGW Research (Тюгин и др., 2012), на который получен патент.
Внутренние волны способствуют ресуспендированию осадков и транспорту наносов [Bogucki and Redekopp, 1999; Stastna and Lamb, 2008; Reeder et al., 2011]. В последнее время процессы переноса частиц посредством индуцированных внутренними волнами потоков активно исследуются в рамках различных прикладных направлений, связанных с гидробиологией (миграция планктона, бентоса), экологией (распространение примесей и загрязнений) и инженерной океанологией. Здесь мы применим асимптотические модели, основанные на теории длинных волн и уравнении Гарднера, для анализа динамических эффектов в придонном слое, индуцированных внутренними волнами. Вариации донного давления, вызванные внутренними волнами, рассмотрены в параграфе 3.2; результаты расчетов позволяют использовать донные датчики для регистрации внутренних волн. Вариации придонной скорости рассчитаны в параграфе 3.3, они позволяют оценить возможное перемещение донных осадков. Параграф 3.4 посвящен динамике нейтральных частиц в поле длинных внутренних волн, в параграфе 3.5 проведено численное моделирование динамики нейтральных частиц в поле солитонов и бризеров внутренних волн. В параграфе 3.6. приведены результаты третьей главы.
Вариации донного давления, вызванные внутренними волнами
Для исследования влияния нелинейных и дисперсионных поправок на расстояние переноса частиц, задача (3.4.1) решалась в трех различных приближениях: 1) линейное приближение длинных волн: поле смещений определяется только первым слагаемым в формуле (3.4.6), поля компонент скоростей состоят только из линейных компонент иііп и м цп; 2) слабонелинейное приближение к модовой функции: поле смещений определяется суммой линейного слагаемого и первой нелинейной поправки к нему в формуле (3.4.6), поля компонент скоростей также определяются суммой линейных и нелинейных компонент им и ип, w\jn и wn; 3) слабонелинейное и слабодисперсионное приближение: учитываются все слагаемые в выражениях (3.4.6)-(3.4.8). Учтем, однако, что во всех этих случаях решаются нелинейные уравнения для траекторий (3.4.1), даже если волновое поле описывается линейными формулами.
На рис.3.4.8 представлены рассчитанные траектории жидких частиц, расположенных вблизи дна и поверхности, а также в верхнем пикноклине вблизи максимума линейной моды, полученные с учетом трех рассматриваемых приближений для анализируемого локализованного волнового пакета. В пикноклине, где горизонтальная скорость мала, как и ожидалось, частицы несильно смещаются в горизонтальном направлении. Горизонтальные смещения частиц у дна и поверхности более сильные, причем в основном у дна, где скорость течения выше. Направления смещений у них разные в соответствие со вертикальной структурой поля скорости. Рис. 3.4.8. Траектории жидких частиц на разных горизонтах для бризера с параметрами q = 1,р = 3 при t0 = 0; черные сплошные линии и черные звездочки в конечной точке решение задачи в линейном приближении длинных волн; серые линии и белые звездочки решение слабонелинейной задачи; черные пунктиры и серые звездочки - решение слабонелинейной слабодисперсионной задачи
Из рис. 3.4.8 можно видеть, что в рамках слабонелинейного и слабонелинейного слабодисперсионного приближения получены практически совпадающие траектории жидких частиц, что свидетельствует о несущественности учета слабой дисперсии при решении настоящей задачи. Именно поэтому при выводе уравнения Гарднера учитывается только нелинейная поправка к моде. Расстояния переноса и траектории жидких частиц в линейном приближении заметно отличаются от аналогичных характеристик, полученных при решении слабонелинейной и слабонелинейной слабодисперсионной задач. Вблизи поверхности, несмотря на извилистость траекторий, частицы почти возвращаются на свое место при прохождении бризера внутренней волны (расстояние переноса по горизонтали составляет примерно 2 м для слабонелинейной и слабонелинейной слабодисперсионной модели и -2 м -для линейной). В пикноклине в рамках всех рассматриваемых моделей происходит смещение частиц в сторону, противоположную направлению распространения волны, примерно на 12-14 м. Максимальное расстояние переноса достигается вблизи дна и составляет порядка 109 м для слабонелинейной и слабонелинейной слабодисперсионной моделей и 25 м для линейной модели.
Поскольку расстояние переноса и вид траекторий частиц зависит от конфигурации волнового пакета, с которым «взаимодействуют» частицы, на рис. 3.4.9 представлен график зависимости максимальных горизонтальных смещений частиц, в рамках трех подходов в зависимости от параметра t0. Как видно из рис. 3.4.9, решения слабонелинейной и слабонелинейной слабодисперсионной задач при всех значениях параметра t0 расположены близко, как это уже ожидалось из предыдущих результатов. Линейная теория в придонном слое существенно недооценивает расстояния переноса частиц (почти в два раза), за исключением случая, когда t0 = 0.8 Tbr. Вблизи максимума линейной моды расстояния переноса частиц отличаются несущественно в рамках всех трех подходов, направления переноса также совпадают. В приповерхностном слое максимальные горизонтальные смещения малы, направления смещения различны для линейной модели, слабонелинейной и слабонелинейной слабодисперсионной модели.
На рис. 3.4.10 представлено сравнение максимальных вертикальных смещений частиц при прохождении бризера внутренней волны с параметрами q = 1, р = 3 при изменяющемся параметре t0/Tbr в рамках трех рассматриваемых моделей. Из рис. 3.4.10 видно, что интегральное вертикальное смещение в придонном слое и верхнем пикноклине составляет всего 0.5 м, а в приповерхностном слое колеблется в пределах нескольких см, что сравнимо с ошибкой вычисления. Эти результаты очевидны, поскольку модовая функция мала вблизи поверхности и дна. Однако размах вертикальных колебаний частиц вблизи уровня верхнего пикноклина, где расположен максимум модовой функции, в поле рассматриваемого бризера внутренней волны может достигать 5 м, как это видно из рис. 3.4.9.