Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Законы сохранения в механике сплошных сред 14
1.1 Закон сохранения массы. Уравнение неразрывности 14
1.2 Уравнения движения сплошной среды 16
1.3 Тензор напряжений 22
1.4 Реологическое уравнение состояния 25
1.5 Примеры реологических моделей 30
Выводы по первой главе 33
Глава 2. Численные методы решения систем уравнений математической физики 35
2.1 Метод конечных разностей 36
2.2 Метод конечных элементов 38
2.3 Метод контрольного объёма 43
2.4 Технологии параллельных вычислений 48
2.4.1 Стандарт ОрепМР 48
2.4.2 Стандарт MPI 49
2.4.3 Технология CUDA 52
Выводы по второй главе 54
Глава 3. Мезоскопический подход в реологии полимеров 56
3.1 Реологическая модель Виноградова-Покровского 56
3.2 Вискозиметрические функции 61
3.3 Сравнение с экспериментами 63
Выводы по третьей главе 70
Глава 4. Исследование влияния реологических характеристик на структуру вихревого течения полимерного расплава в сходящемся канале 71
4.1 Математическая модель 72
4.2 Постановка граничных и начальных условий 78
4.3 Численный метод 84
4.4 Обсуждение результатов 90
4.5 Влияние реологических характеристик на размеры вихревых зон 99
4.6 Изучение эффективности применения параллельных вычислений 102
Выводы по четвертой главе 104
Заключение 106
Список литературы 109
Приложение А. Свидетельства о государственной регистрации программ для ЭВМ 119
Реологическое уравнение состояния
Одним из основных вопросов, на которые реология призвана ответить, считается установление взаимосвязи между напряжённым состоянием среды, деформациями и скоростями деформации. Уравнения, которые позволяют такую связь установить, называются реологическими уравнениями состояния [16].
Реологические уравнения состояния представляют собой математические модели, которые описывают действительные свойства среды. Чтобы получить реологические уравнения, необходимо провести опыты, которые описываются некоторыми соотношениями. Обобщая эти соотношения можно вывести реологическое уравнение состояния, которое используется для предсказания результатов экспериментов с условиями, отличными от изученных. На следующем этапе необходимо выполнить проверку полученных предсказаний путём сравнения с экспериментальными данными. Если полученные с помощью данной модели теоретические результаты серьёзно отличаются от экспериментальных, то необходимо пересмотреть и доработать модель.
Для исследования общности модели необходимо сравнивать теоретические и экспериментальные результаты в существенно разных схемах деформирования материала. Причём чем шире круг выполненных экспериментов, тем с большей уверенностью можно говорить о достоверности модели. При этом для описания всех явлений часто необходимо усложнять математическую модель, что приводит к её громоздкости. Как видим, желание как можно более точно описать различные эксперименты находится в противоречии с желанием получить простую математическую модель. Одним из путей разрешения данного противоречия является идея применения достаточно простых реологических моделей для изучения результатов тех экспериментов, для которых эти модели были созданы и проверены. Однако необходимо проверять, что используемая модель действует в рамках своей применимости. В противном случае, полученные эффекты могут оказаться не свойством изучаемого материала, а особенностями модели в тех условиях деформирования, для которых она не предназначена.
Для того чтобы стало возможным обобщение наблюдаемых в конкретных экспериментах закономерностей, необходимо, чтобы они подчинялись неким общим правилам. Следовательно, не могут быть случайными соотношения между тензором деформаций 7 и тензором напряжений и. В частности, физический закон, который отражает действительные свойства материала (обозначим его как /(а, 7,7)) не должен зависеть от того, в каком виде он записан. Откуда следует, что этот физический закон должен быть инвариантен относительно преобразований осей координат. При повороте осей будут меняться значения компонентов тензора, однако не меняются свойства материала, а также физические законы, которые эти свойства описывают. Поэтому необходимо выражать физические особенности деформации через инварианты соответствующих тензоров, которые не зависят от выбора осей координат [16].
Пусть материал подвергается деформации, вызванной действием некоторых внешних сил, которые совершают работу. Рассмотрим возможные ситуации. В первом случае, работа внешних сил запасается материале, при этом в среде накапливается упругая энергия. Обозначим эту энергию упругим потенциалом W. Во втором случае, работа внешних сил необратимо рассеивается, то есть происходит диссипация энергии. Это рассеивание можно выразить через интенсивность диссипации D в единице объёма среды, происходящей в единицу времени. Величины W и D могут входить в физические соотношения, которые описывают поведение различных материалов при деформировании, если они будут связаны с инвариантами соответствующих тензоров. Следовательно, реологическое уравнение состояния должно разрешать преобразование в инвариантную форму [16]. При этом величины W и D выражаются через инварианты кинематических или динамических тензоров. Верно и обратное утверждение: в случае, когда реологическое уравнение состояния представлено в форме инварианта, то его можно записать в виде соотношений между компонентами соответствующих тензоров [16].
Для того чтобы выполнялось требование инвариантности физического закона вне зависимости от выбранной системы координат, необходимо, чтобы входящие в реологические уравнения состояния скалярные величины зависели от инвариантов тензоров напряжения или деформации. Сами эти величины являются коэффициентами, которые позволяют описать конкретные свойства материала [16]. С использованием упругого потенциала W и интенсивности диссипации D можно провести классификацию различных сред [16]. В случае, когда при деформации упругий потенциал W Ф 0, а интенсивность диссипации D = О, то такую среду называют упругой. При деформировании упругой среды не происходит рассеивания внешней работы, так как она накапливается в материале в виде упругого потенциала. В случае, когда W = 0, a D ф 0, говорят, что среда является вязкой. Можно увидеть, что при деформировании вязкой среды происходит диссипация всей внешней работы. Когда не равны нулю ни W, ни D, то говорят о вязкоупругой среде. При деформировании вязкоупругой среды часть внешней работы рассеивается, а остальная в виде упругого потенциала накапливается в материале.
Если прекратить действие внешней силы на упругую среду, то она испытывает изменение формы, которое вызвано действием накопленной в среде упругой энергии. Это изменение формы называют упругим восстановлением, несмотря на то, что тело может и не прийти в то пространственное состояние, в котором оно находилось до деформации. Вязкая же среда после снятия нагрузки не изменяет форму, поскольку нет источников энергии, вызывающих дальнейшую деформацию среды. Это значит, что в вязкой среде все деформации являются необратимыми. Когда прекращается действие внешних сил на вязкоупругую среду, часть накопленной в ней упругой энергии рассеивается, но при этом имеет место и упругое восстановление.
При формулировании уравнений состояния необходимо учитывать не только принцип инвариантности относительно преобразования осей координат. Не менее важен и принцип кинематической инвариантности, который постулирует, что связи, установленные между различными величинами, должны выполняться в одной и той же пространственной точке [16]. Следовательно, все производные по времени величины в реологическом уравнении состояния должны быть вычислены так, чтобы учесть смещение среды. Это означает, что необходимо учитывать движение среды как целого, а также в окрестности рассматриваемой точки (или точек) учитывать вращение элементов этой среды [16]. Математически это означает, что при формулировании реологических уравнений состояния необходимо отказаться от частных производных по времени в пользу производных, которые позволили ли бы при вычислении учесть преобразования координат точек во времени.
Даже если имеющееся реологическое уравнение состояния достаточно хорошо описывает поведение некоторой среды в заданных условиях деформирования, оно может дать совершенно бессмысленные результаты в других условиях. Кроме того, различные среды, исследуемые в одних и тех же режимах деформирования, могут показывать разные результаты, что говорит о важности природы самой среды. Если удастся построить реологическое уравнение состояние, которое удовлетворительно описывает поведение различных сред при разных режимах деформирования, то такая модель с неизбежностью будет отличаться существенной сложностью. В качестве решения этой дилеммы можно предложить использовать в некоторых случаях более простые модели, однако необходимо помнить о границах применимости этих моделей. В общем же случае, ответ на вопрос стоит ли выбрать более простое, но менее точное уравнение состояния или более точное, но сложное, зависит от поставленных целей исследования.
Теперь обсудим каким образом можно учесть многообразие существующих сред (а значит и различие их свойств) с помощью реологический уравнениях состояния. Во-первых, можно описать свойства разных сред с помощью различных уравнений состояния. С этой точки зрения можно разделить все материалы на упругие, вязкие и вязкоупругие [16]. При этом внутри каждой из этих групп можно выделить разные типы материалов, которые обладают специфическими свойствами и в некоторых условиях деформирования по-разному себя проявляют. Каждой такой группе материалов соответствует свой вид реологических уравнений состояния. В случае, когда два различных материала относятся к одной группе (а значит описываются моделями состояния сходного вида), но отличаются своими свойствами, то такие отличия реализуются за счёт значений числовых констант, которые входят в схожие по виду реологические уравнения состояния. Эти константы позволяют индивидуализировать свойства изучаемых материалов.
Обратим внимание, что любое реологическое уравнение состояния представляет собой лишь математическую модель и предназначено отражения специфики конкретных свойств реальных сред. Как и любая математическая модель, реологическое уравнение состояния неэквивалентна реальному материалу и позволяет описать свойства этого материала лишь с некоторой точностью. Далее будут приведены некоторые существующие реологические модели, используемые для описания тех или иных свойств вязкоупругих сред.
Стандарт MPI
В отличие от ОрепМР, программный интерфейс MPI ориентирован на системы с распределенной памятью [49]. Этот момент может оказаться существенным, если затраты на передачу данны велики. MPI применяется при разработке программ для кластеров и суперкомпьютеров. Можно отметить несколько особенностей MPI.
Во-первых, MPI не является языком программирования, это библиотека функций, описывающая программный интерфейс. Существуют бесплатные и коммерческие реализации стандарта для языков Fortran, С, C++, Java. Стандарт описывает интерфейс передачи сообщений, набор функций библиотеки и результаты их работы.
Для написания параллельной программы с использованием MPI, пишется код, в котором вызываются функции библиотеки, при этом компиляция выполняется обычным компилятором, а библиотека связывается с программой.
Во-вторых, MPI - это описание функций, а не реализация. Существует множество открытых и проприетарных реализаций данного стандарта. Правильно написанная MPI-программа должна одинаково выполняться с использованием любой реализации.
В-третьих, MPI предполагает, что процессы, которые выполняются параллельно, имеют раздельные адресные пространства. Если часть адресного пространства одного процесса копируется в адресное пространство другого процесса, то выполняется обмен. Данная операция возможна только в случае если первый процесс выполняет передачу сообщения, а второй процесс это сообщение получает.
Все процессы в MPI организованы в группы. Если некоторая группа включает в себя N процессов, то внутри неё эти процессы нумеруются целыми числами от 0 до N — 1. Всегда есть начальная группа, ей принадлежат все процессы в реализации MPI.
При создании MPI-программ часто используется шаблон «Одна программа, разные данные». Этот шаблон основывается на том принципе, что каждый элемент обработки выполняет одну и ту же программу. Все элементы обработки имеют уникальные целочисленные идентификаторы, от которых зависит ранг элемента в наборе элементов обработки. Ранг используется для определения того, какой элемент какую работу выполняет. Поэтому имеем одну программу, различные элементы обработки которой могут иметь разные данные.
Одним из ключевых понятий MPI является коммуникатор. Если создать набор процессов, то коммуникаторы образуют группу, которая может использовать среду для связи совместно.
Когда запускается MPI-программа, автоматически создаётся коммуникатор по умолчанию (MPICOMM WORLD). Этот коммуникатор передаётся каждой МРІ-подпрограмме в качестве первого аргумента. Остальные аргументы определяют источник сообщения и буферы для хранения сообщений. Если в процессе работы MPI-подпрограммы возникают ошибки или исключительные ситуации, то эти подпрограммы вернут целочисленное значение в качестве параметра ошибки.
MPI-программы могут выполняться на сетях машин, в которых один и тот же тип данных может иметь разные длину и формат. Поэтому каждая операция коммуникации должна определить структуру и компоненты типа данных. Отсюда следует, что у реализации всегда есть достаточная информация, необходимая для преобразования формата данных, если таковая потребуется. В стандарте MPI не указано, как следует выполнять эти преобразования, поэтому конкретная реализация может производить оптимизацию в некоторых ситуациях.
Процесс представляет собой программную единицу, имеющую собственное адресное пространство и одну или несколько нитей. Процессор - фрагмент аппаратных средств, способный к выполнению программы [49].
По сути, МРІ-программа - это набор независимых процессов, которые взаимодействуют между собой посредством отправки и получения сообщений [49]. Главное преимущество МРІ заключается в том, что требования к аппаратной части параллельного компьютера остаются очень низкими. Для использования МРІ достаточно, чтобы процессоры или ядра совместно использовали одну сеть, пригодную для передачи сообщений между любыми двумя процессами. Поэтому интерфейс МРІ можно применять на любой стандартной параллельной системе, включая системы с распределенной памятью и вычислительные кластеры.
Сравнение с экспериментами
Полученные ранее уравнения необходимо решить. Если изучаются нелинейные эффекты, возникающие в стационарном сдвиговом течении, то уравнения (3.11) можно записать в виде
На рисунках 3.1-3.3 можно увидеть результаты вычислительных экспериментов по исследованию вискозиметрических функций (3.13), (3.14), которые были выполнены на основе уравнений (3.17) [58]. Рисунок 3.1 иллюстрирует как стационарная сдвиговая вязкость г\ зависит от безразмерной скорости сдвига s. Как видно из этого рисунка, стационарная сдвиговая вязкость представляет собой убывающую функцию. Заметим, что увеличение параметра /Зо приводит к увеличению отклонения стационарной сдвиговой вязкости от её начального значения.
На рисунке 3.3 изображён график влияния скорости сдвига на отношение L второй разности нормальных напряжений к первой. Это отношение было записано в (3.15) [57]. Заметим, что отношение L является отрицательной величиной, причём по модулю оно достаточно мало. Также отметим, что скалярный параметр K,Q не оказывает существенного влияния на L, в то время как параметр /Зо достаточно сильно влияет на положение кривой [58]. Кроме того, как видно из рисунка 3.2, параметр /Зо оказывает заметное влияние на 3.2. Как показано в работе [82], данные вычислительных экспериментов находятся в хорошем согласовании с опытными результатами.
Если модель Виноградова-Покровского применяется для моделирования течений полимерных сред в режиме одноосного растяжения, то уравнения (3.11) должны быть записаны в виде
Для нахождения решения алгебраических уравнений (3.17) и (3.18) в работе [57] использовались модифицированный метод Ньютона и метод последовательных приближений. После этого, решения, полученные разными способами, были сравнены.
Из рисунков 3.1-3.4 видно, что модель (3.11) может быть использована для качественного описания вискозиметрических течений полимерных сред. Заметим, что чаще всего в экспериментах изучают стационарную сдвиговую вязкость ц и первую разность нормальных напряжений N\. Модель (3.11) позволяет с приемлемой точностью описать зависимости 77( 12) и Ni(vu) при некоторых значениях концентрации полимера с в растворе и молекулярного веса М, если выбраны подходящие значения щ, /Зо и K,Q. В связи с этим, интерес приобретает вопрос об описании экспериментов, исследующих поведение полимерного материала с различными значениями Мис при одноосном сдвиге. В работе [66] показаны результаты таких экспериментов и продемонстрирована применимость реологической модели (3.11) для описания течения полимерных материалов в достаточно широком диапазоне скоростей сдвига. В этой работе также отмечено, что при описании динамики линейных полимеров, значения скалярных параметров /Зо и ко мало зависят от концентрации полимера и его молекулярного веса. Это позволяет учесть в модели (3.11) эффекты, которые могут быть связаны с полидисперсностью полимерного материала.
Обсудим нестационарные эффекты, полученные на базе реологической модели (3.11) [58]. Пусть в полимерном материале после мгновенной сдвиговой деформации с некоторой постоянной скоростью сдвига г 12 устанавливаются сдвиговые напряжения. График установления вязкости при простом сдвиге изображён на рисунке 3.5. Для данной задачи можно сравнить экспериментальные данные [56] с результатами расчётов по модели (3.11). Также имеется возможность сравнить результаты, полученные на основе реологической модели (3.11), с результатами других авторов [40, 54-56, 66], которые были получены на основе других моделей.
В работе [58] был выполнен расчёт вискозиметрических функций (3.13), (3.14) для системы уравнений (3.11). В случае, когда компоненты тензора анизотропии dij не равны нулю, уравнения (3.11) примут вид
В связи с тем, что деформирование материала происходит из состояния покоя, начальными условиями для системы дифференциальных уравнений (3.19) нужно выбрать условия а (0) = 0.
В работе [58] расчёты по системе (3.19) выполнялись с использованием методов Рунге-Кутта четвёртого порядка точности.
Рассуждая аналогично можно построить графики для установления напряжений при одноосном растяжении. На рисунке 3.6 изображены полученные в результате расчетов кривые установления напряжении при одноосном растяжении.
Полученные в работе [58] результаты свидетельствуют о том, что модель (3.11) можно принять за начальное приближение при описании нелинейных и вязкоупругих свойств полимерных растворов и расплавов.
Необходимо отметить, что полученные в работе [58] результаты лишь качественно совпадают с экспериментальными данными, приведёнными в работах [40, 56]. Как видно из рисунка 3.7, расчётные данные предсказывают немонотонный характер установления напряжений a t), а также удовлетворительные значения для максимумов a yt) в среднем диапазоне значений vyi и времени.
В работе [86] было проведено моделирование нелинейной вязкоупругости полимерного материала при его больших периодических деформациях. Отметим, что модель (3.11) дала хорошее согласование с экспериментальными данными [59].
Обсуждение результатов
Для сравнения результатов расчётов с экспериментальными данными обратимся к [60]. В этой работе было исследовано влияние температуры и удельного расхода расплава разветвлённого полиэтилена низкой плотности на размеры вихревой зоны при входе в щелевой канал. Отмечается, что при течении полимерного расплава в области входа в щелевой канал в углах образуется выраженный вторичный поток, размеры которого существенно зависят как от температуры расплава, так и от удельного расхода. В разных сечениях, параллельных оси канала, вихревые области имеют разные размеры и форму, что говорит о трёхмерном характере поля течения. Также в работе отмечается наличие винтового потока в рассматриваемом вихревом течении. Этот поток направлен от оси канала к стенкам резервуара. Кроме того было исследовано, как вдоль оси симметрии канала распределяется скорость. В частности, указано, что наибольшее значение скорости достигается непосредственно за входом в узкую часть канала. Также в экспериментах [60-62] отмечено, что при больших расходах все измеряемые величины совершают осцилляции около стационарных значений, которые можно найти усреднением по периоду колебаний.
Обратимся теперь к результатам численного эксперимента. В первую очередь заметим, что в расчётах так же, как и в экспериментах, не удаётся достигнуть стационарных значений, так как рассчитанные профили скорости, напряжений и давлений колеблются около стационарных значений. Величина этих колебаний не превышает 10 процентов для составляющих вектора скорости, что позволяет провести сравнение с экспериментом, которое приведено на рисунке 4.8. Как в эксперименте, так и в расчёте обнаружено наличие вихревой зоны перед входом в щелевой канал. Так как в расчётах используется неравномерная сетка, то на правом рисунке для изображения вектора скорости применяется мелкий масштаб. На самом деле значения модулей скорости близки, что гарантируется совпадением расходных характеристик.
Также обнаружено, что компоненты скорости в сечении, перпендикулярном оси Ох, не равны нулю, что говорит о трёхмерном характере течения. На рисунке 4.9 изображены траектории движения двух частиц в потоке жидкости. Точки, из которых начинаются траектории, отмечены символом « ». На графике отчётливо виден трёхмерный характер течения.
На рисунке 4.10 изображены линии тока в осевом сечении (Т = 180 С). Можно заметить наличие вторичных течений в углу проточного канала.
Одной из существенных характеристик таких течений являются размеры вихря или его площадь. В работе [60] предложено рассчитывать площадь вихря по следующей методике.
Вначале ищем значения /(ж), для которых /_# /2 u(y)dy = 0, а затем находим площадь под кривой f(x). Заметим, что эта методика будет давать хороший результат только в случае, когда составляющая вектора скорости в направлении нейтральном потоку много меньше, чем в двух других направлениях. На рисунке 4.11 синим цветом отмечена область вторичных течений, рассчитанная по данной методике.
Будем теперь вычислять площади вихревых зон при сечении потока плоскостями z = const. Сравнивая приведённые на рисунке 4.12 экспериментальные и расчётные зависимости размеров вихря от расстояния до оси канала можно сделать вывод об увеличении интенсивности вихревых течений при удалении от оси канала. Этот факт можно объяснить эффектом Вайсенберга. Из приведённого сравнения можно сделать вывод о качественном соответствии экспериментальных и расчётных данных. Отметим, что в расчёты, проведённые для ньютоновского закона поведения (то = 0; /Зо = ро = 0) демонстрируют отсутствие вихревых зон, а расчёты для вязкоупругой жидкости Олдройда-Б (/Зо = ро = 0) демонстрируют заниженные значения площади вихря и отсутствие увеличения интенсивности вихря при удалении сечения от оси канала.
В работе [61 ] отмечено, что расплав внутри вихрей циркулирует с чрезвычайно низкими скоростями по сравнению с основным потоком (рисунок 4.13). Центр вихря С определяется как позиция, где компоненты скорости vx и vy равны нулю. Похожая картина наблюдается и в численном эксперименте. Как и в [61] скорости внутри вихря гораздо ниже, чем у основного потока.
На рисунке 4.14 показано распределение скорости vx(x) вдоль оси канала в эксперименте (левый верхний рисунок) и в расчётах при температуре Т = 180С, Т = 200С и Т = 220С соответственно. Легко заметить, что максимальное значение скорости, как в расчётах, так и в эксперименте достигается в непосредственной близости от входа в узкую часть канала [85]. Также следует отметить, что профиль скорости в щелевой части канала устанавливается на значительном расстоянии от входа в канал.
Наличие пика можно объяснить тем, что при простом сдвиге расплава полимера форма профиля скорости зависит от скорости сдвига. Возникающая скорость сдвига внутри щели намного выше, чем таковая в пределах более крупного резервуара, и поэтому профиль более плоский вне щели и скорость там ниже.
Уменьшение скорости в щелевом канале на некотором расстоянии от входа требует дополнительных исследований. В работе [60] выдвинуто предположение, что оно может быть связано со временами релаксации материалов.
Согласно таблице 4.1 для температуры Т = 220С время релаксации TQ составляет 0,3 секунды. На правом нижнем графике 4.14 видно, что скорость в щели устанавливается на расстоянии 1,5 мм, а максимальное значение скорости vx достаточно близко к установившейся скорости внутри канала.
Обратимся теперь к левому нижнему рисунку 4.14, на котором изображён график зависимости скорости vx вдоль оси канала при t = 200С. Как известно из таблицы 4.1, время релаксации TQ при данной температуре составляет 0,6 секунды. Можно отметить схожую с предыдущим рисунком картину зависимости скорости, однако, в данном случае пик более выражен, а установление скорости в щели происходит значительно дальше - на расстоянии 5 мм от входа в узкую часть канала.
Таким образом, начальное время релаксации TQ действительно влияет на максимальное значение скорости в щелевом канале, а также на расстояние, при котором происходит установление скорости в щели. При этом необходимы дополнительные исследования характера этой зависимости.
На рисунке 4.15 изображён график зависимости площади вихря от времени для температуры Т = 220С. При t TQ происходят значительные изменения в структуре течения, поэтому разброс значений площади составляет порядка 10%. В дальнейшем этот разброс уменьшается, что может говорить об установлении течения.