Введение к работе
Актуальность проблемы. Теория гидродинамического удара является классической областью механики жидкости. Одна из ее привлекательных сторон состоит в том, что теоретические результаты очень хорошо согласуются с данными эксперимента. Особенно это относится к присоединенным массам и моментам инерции, которые, наряду с задачами удара, находят себе применение при исследовании вибрации твердых тел в жидкости. Среди практических задач, стимулирующих развитие теории гидродинамического удара, упомянем посадку гидросамолетов па воду, вообще проблемы, связанные с падением на воду твердых или упругих тел, а также с внезапным возникновением движений тел, плавающих или погруженных в жидкость.
Удар может происходить как без отрыва жидкости от смоченной поверхности тела, так и с образованием зон отрыва. С появлением отрыва задача становится нелинейной и чрезвычайно усложняется. Удар с отрывом по существу совсем пе исследован, хотя в плоском случае известен ряд замечательных результатов (Л. И. Седов, 1950 и др.). В данной работе изучается безотрывный удар и определяются точные условия безотрыв-ности. В пространствсппой задаче такие условия известны лишь для диска, ударяющегося о слой жидкости конечной или бесконечной глубины, а также для эллипсоида, полуїюгруженного в жидкое полупространство. Таким образом, исследование условий применимости теории безотрывного удара, равно как и условий возникновения отрыва, для тел иной формы, в частности, неодпосвязпых (тор, кольцо), является актуальной задачей гидродинамики.
Изучение движения твердого тора в жидкости представляет не только теоретический, но и практический интерес. Например, форму тора имеют океанографические буи, размещаемые в океане для регистрации параметров окружающей среды. При их постановке и подъеме возникают ударные нагрузки, которые необходимо учитывать при исследовании прочности буйковых систем.
Задачи гидродинамического удара существенно усложняются, когда необходимо принимать в рассчет влияние дна и стенок. Как правило, получить точные решения оказывается невозможным — исключение составляют классические плоские задачи об ударе отрезка о поверхность жидкости, заключенной в слое или прямоугольнике (М. В. Келдыш, 1935; Л. И. Седов, 1950). В такой ситуации представляется весьма актуальным развитие асимптотических методов, основанных па предположении о малости или, напротив, о большой величине глубины или расстояния от тела до стенки (последний случай рассматривается в диссертации). До сих пор такие методы применялись лишь в частных задачах. Например, в задаче
об ударе диска о слой жидкости (И. И. Ворович и В. И. Юдович, 1957, М. И. Чебаков, 1974).
Заметим, что вообще в гидродинамической теории удара наблюдается определенный дефицит общих качественных результатов, а большинство работ посвящены решению частных задач. Это относится и к проблеме отрыва и условиям безотрывности, и к вопросам о влиянии различных геометрических параметров на характеристики удара.
Цель работы состоит в получении общих качественных результатов о начале отрыва жидкости от тела, которые дают условия применимости теории безотрывного удара; в развитии асимптотических методов, основанных па предположении, что дно и стспки сосудов удалены от тела на большие расстояния; в расчете течений, вызванных ударом но плавающему тору и на основе этого определении импульсивных давлений на смо-чепной поверхности тора, коэффициентов присоединенных масс и точных условий безотрывности удара. Последнее заключается в нахождении круга, расположенного в плоскости свободной поверхности жидкости, причем такого, что если точка приложения ударного импульса лежит внутри этого круга, то вертикальный удар по тору к отрыву жидкости от тела не приводит. В противном случае возникает отрыв.
Научная новизна. Доказан общий признак начала отрыва жидкости от тела при ударе и дано его применение для ряда конкретных тел (поверхности вращения веретенообразной формы, эллипсоид вращения, тор, кольцо, параболоид, шар).
Впервые рассмотрена задача о вертикальном ударе по тору, иолупогру-женному в жидкое полупространство. Изучена задача для вырожденного тора — твердого тела, полученного вращением окружности вокруг своей касательной и построены логарифмические асимптотики тонкого тора. Для потенциала скоростей жидкости на смоченной поверхности тора в явном виде найдены первые семь членов асимптотики. Даны оценки остатков. Указан алгоритм нахождения следующих членов асимптотического разложения.
На основе этой асимптотики определены присоединенная масса и присоединенный момент инерции. Выведено условие безотрывности удара. Полученные асимптотики вместе с результатами для вырожденного тора позволяют во всем диапазоне изменения характерного параметра задачи (отношение радиусов тора) производить расчет основных характеристик удара. Ранее задача о движении тонкого тора в жидкости была исследована лишь в главном приближении (Т. Y. Wu, G. Yates, 1976).
Изложен алгоритм построения степенного асимптотического разложения для больших глубип при вертикальном ударе по телу, плавающему на поверхности слоя жидкости конечной глубины. Характерной чертой этой асимптотики является то, что в формулах для присоединенных масс
коэффициенты при главных члепах явно выражаются через основные характеристики удара по твердому телу, погруженному в жидкое полупространство л, следовательно, для их определения не требуется решения новых краевых задач. Аналогичные асимптотики получены для других границ (вертикальная плоская стенка, полубесконечпая цилиндрическая стенка).
Изучен ряд новых конкретных задач с учетом влияния дна и стенок (вертикальный удар по вырожденному тору, наполовипу погруженному в слой жидкости конечпой глубины; центральный удар по круглому диску и вырождеппому тору при наличии вертикальной плоской стенки).
Научная и практическая ценность. Работа носит теоретический характер.
Найдены условия безотрывности удара для различных тел вращепия.
В задаче о вертикальном ударе по тору, полупогружепному в жидкость бесконечной глубины, асимптотика тонкого тора оказывается эффективной в широком диапазоне изменения характерного параметра задачи. Используя ее вместе с результатами для вырожденного тора, можно сделать выводы для любых торов.
Асимптотические разложения, позволяющие исследовать задачи удара в условиях конечной глубины и при наличии стенок удобны для количественного и качественного анализа задачи. Главные члены асимптотики присоединенной массы и присоединенных моментов инерции явно выражаются через осповные характеристики удара но телу, погруженному в жидкое полупространство. Для их определения необходимо вычислить поверхностные интегралы от потенциалов поступательного и вращательных движений в случае бесконечно глубокой жидкости.
На основе этих асимптотик изучены новые гидромеханические задачи: вертикальный удар по вырожденному тору, наполовину погруженному в слой жидкости конечной глубины; центральный удар по круглому диску и вырожденному тору при наличии вертикальной плоской стенки.
Изложенный при учете влияния дна и стенок метод может быть применен для решения некоторых других смешанных задач математической физики. К ним относятся задачи электростатики и теплопроводности.
Достоверность полученных результатов подтверждается строгими доказательствами, решением задач разными методами и сравнением, где это возможно, с результатами других авторов.
Апробация работы. Основные результаты настоящей работы докладывались на международных конференциях «Современные проблемы механики сплошной среды» (Ростов-на-Дону, 1995 г., 1997 г.), на семипаре кафедры теории упругости РГУ, неоднократно на семинарах кафедры вычислительной математики и математической физики РГУ.
Публикации. Результаты исследований, изложенных в диссертации, опубликованы в шести печатных работах, список которых приводится в конце автореферата.
Структура и объем диссертации. Текст диссертации состоит из введения, трех глав, заключения и списка цитируемой литературы. Полный объем 116 листов. Библиография — 63 наименования.