Содержание к диссертации
Введение
Глава 1.Обзор литературы 29
1.1 Конвективная устойчивость жидкости 29
1.2 Численные методы решения задач об устойчивости 46
Глава 2. Устойчивость течений в вертикальном канале 53
2.1 Модель микроконвекции 53
2.1.1 Общие уравнения и определяющие параметры 53
2.1.2 Точные стационарные решения. Классификация
2.2 Уравнения малых возмущений 66
2.3 Результаты решения спектральной задачи
2.3.1 Спектр возмущений 71
2.3.2 Механизмы неустойчивости 81
Глава 3. Устойчивость слабосжимаемых жидкостей 88
3.1 Уравнения состояния и эмпирические зависимости 88
3.2. Устойчивость механического равновесия в слоях со свободной границей 93
3.2.1 Постановка задачи 93
3.2.2 Проникающая конвекция в горизонтальном слое жидкости 95
3.2.3 Двухслойная система слабосжимаемых жидкостей 102
3.3. Устойчивость механического равновесия в условиях объёмного прогрева 109
3.3.1 Влияние солнечного излучения 109
3.3.2 Тепловой режим водной толщи 113
3.3.3 Плоский горизонтальный слой 114
3.3.4 Устойчивость двухслойной жидкости 116
3.4. Система лёд – вода 122
Глава 4. Устойчивость двухслойных стационарных течений 129
4.1. Постановка задачи и точное решение 129
4.2. Спектральная задача 133
4.3. Течение Марангони - Пуазейля в наклонном канале
4.3.1 Классификация решений 136
4.3.2 Плоские возмущения при (р = 0, д = 0, Q = 0 138
4.3.3 Устойчивость обобщений решения Остроумова
4.3.4 Пространственные возмущения 164
4.4. Термокапиллярное течение в невесомости 168
4.4.2 Длинноволновые асимптотики 170
4.4.3 Границы устойчивости 176
4.5. Двухслойное течение с испарением 179
4.5.1 Постановка задачи и точное решение 179
4.5.2 Длинноволновая устойчивость при равной тепловой нагрузке на границах канала 187
4.5.3 Периодические возмущения 190
Глава 5. Устойчивость плёночного течения 198
5.1. Однонаправленное течение тонкой жидкой плёнки, увлекаемой
5.1.1 Уравнения движения и граничные условия 198
5.1.2 Анализ энергетического условия 202
5.2. Линейный анализ устойчивости 207
5.2.1 Влияние изменений поверхностной энергии 207
5.2.2 Механизмы неустойчивости и сравнение с данными экспериментов 213
Глава 6. Стационарные вращательно-симметричные течения 217
6.1. Конвекция в вертикальном цилиндре при объёмном прогреве 217
6.1.1 Плоский аналог решения Хименца 217
6.1.2 Разрешимость операторного уравнения 218
6.1.3 Построение решения
6.2. Устойчивость двумерных течений 224
6.3. Закритичные режимы 227
Заключение 230
Список литературы
- Численные методы решения задач об устойчивости
- Точные стационарные решения. Классификация
- Устойчивость механического равновесия в условиях объёмного прогрева
- Пространственные возмущения
Численные методы решения задач об устойчивости
Проанализировано влияние солнечного излучения на температурный режим водной толщи. При определении равновесных функций температуры и давления в двухслойной системе слабосжимаемых жидкостей изучена зависимость распределения температуры от показателя поглощения и положения поверхности раздела. Исследована линейная устойчивость полученных решений и установлено, что наличие поверхности раздела также снижает порог устойчивости.
В параграфе 3.4 проведён анализ теплового режима водоёма в зимнее время, учитывая вертикальный теплообмен между приповерхностными водами и атмосферой через ледяной покров. Решена тепловая задача о распределении температуры в воде, верхней границей которой является неподвижная тепло-проводящая стенка конечной толщины (лёд). Найдено решение, описывающее состояние механического равновесия системы лёд-вода, и исследована его линейная устойчивость. Наличие теплопроводящей стенки увеличивает область устойчивости, причём с ростом толщины льда стабилизирующее влияние его светопоглощающих свойств усиливается. При больших глубинах, характерных для центральной и южной частей озера, в слое жидкости формируются две конвективные ячейки, при этом в верхней зоне имеет место более интенсивное движение жидкости. Установлено слабое стабилизирующее влияние теплообмена с окружающей средой. Во всех рассмотренных в третьей главе задачах определены длины волн возмущений, приводящих к неустойчивости, для средних глубин Северной, Южной и Центральной зон Байкала, построены нейтральные кривые и найдены критические числа Рэлея.
Четвёртая глава посвящена исследованию стационарного решения Остроумова - Бириха [75,144] уравнений конвекции в приближении Буссинеска. В параграфе 4.1 даётся краткий анализ решения, структура которого такова, что оно может использоваться для описания различных классов термокапиллярных двухслойных течений вязкой теплопроводной несжимаемой жидкости. В параграфе 4.2 выписана спектральная задача, возникающая при исследовании устойчивости решения Остроумова-Бириха.
В параграфе 4.3 получены обобщения решения Остроумова - Бириха, дана их физическая интерпретация и классификация возможных течений в наклонном канале с твёрдыми непроницаемыми неподвижными стенками, на которых задан линейный по продольной координате закон распределения температуры. Исследована линейная устойчивость всех классов течений относительно малых плоских и пространственных возмущений в зависимости от характера гравитационного воздействия, тепловых и вязких свойств сред, условий подогрева стенок и линейных толщин слоёв. Определены наиболее опасные моды, возможные режимы неустойчивости и критические значения характеристик течений при которых происходит потеря устойчивости и смена механизмов неустойчивости. В наклонном канале возникает термокапиллярная неустойчивость и неустойчивость, связанная с образованием вихрей. При любых углах наклона возникают колебательные режимы, вызванные взаимодействием термокапиллярного и гидродинамического механизмов. Установлено, что в случае пространственных возмущений в условиях неустойчивой температурной стратификации могут развиваться “спиральные” возмущения, вызывающие кризис течения. При изменении ориентации системы происходит смена механизмов неустойчивости — от конвективного (стратификационного) к гидродинамическому.
В параграфе 4.4 рассматривается совместное однонаправленное течение двух жидкостей с общей поверхностью раздела Г в канале, одна из стенок которого двигается со скоростью г ю, в условиях невесомости. Показано, что существует возможность управления течениями за счёт выбора величин внешних воздействий (направления и величины градиента давления, градиента температуры на стенках и скорости движения одной из стенок). Исследована устойчивость двух конвективных режимов относительно нормальных возмущений. Найдены длинноволновые асимптотики комплексных декрементов, определяющих развитие возмущений со временем, и собственных функций соответствующей спектральной задачи как для деформируемой, так и неде-формируемой поверхности раздела. При деформации поверхности раздела происходит смена наиболее опасного механизма с теплового на гидродинамический. Проведена селекция мод, определены характеристики устойчивости и построены нейтральные кривые.
В параграфе 4.5 изучается совместное стационарное течение жидкости и парогазовой смеси в рамках модели и на основе точного решения — аналога решения Остроумова - Бириха, предложенных О. Н. Гончаровой [145]. В газовой фазе дополнительно учтён эффект Дюфура, а на поверхности раздела — перенос массы за счёт испарения. В качестве дополнительных соотношений заданы: 1) условие отсутствия потока пара для концентрации Cs на верхней стенке; 2) массовый расход газа; 3) диффузионный поток массы пара в условии переноса тепла на Г; 4) уравнение баланса масс на Г. При исследовании устойчивости указанного течения в общем случае (продольные градиенты температур на верхней и нижней стенках канала различны) система уравнений для периодических возмущений записывается в терминах ф — си. Для численного решения задачи применяется метод расчёта с использованием продольно-поперечной конечно-разностной схемы. Исследовано влияние величин расходов и продольных градиентов температур на стенках на формирование конвективных режимов. Расчёты показывают, что в системе возможно формирование как монотонных, так и колебательных возмущений, которые в зависимости от величин начальных значений возмущений, расходов и градиентов температуры могут затухать или нарастать. Проведён анализ физических механизмов неустойчивости, исследованы типичные структуры возмущений. Формирование колебательных режимов вызвано влиянием двух противодействующих механизмов — термокапиллярного и сдвиговых напряжений.
Точные стационарные решения. Классификация
Для описания конвективных течений будем использовать уравнения микроконвекции изотермически несжимаемой жидкости
Здесь w — вектор скорости, q — давление, в — температура, /3, %, v — постоянные коэффициенты теплового расширения, температуропроводности и кинематической вязкости соответственно, д — вектор силы тяжести. Модифицированные скорость w и давление q имеют вид w = v-(3x40i q = р-\р-\ diw) - [3{v - х)х А в, где v = (v\,V2,V:i) — истинный вектор скорости, р — истинное давление, ро — характерное значение плотности, А — коэффициент второй вязкости. Замечание 1. Система (2.1)-(2.3) для определения новых искомых функ ций w,q,0 получена из точных уравнений неразрывности, импульса и энер гии в работе [7]. При этом предполагалось, что плотность жидкости является функцией температуры р = и не зависит от давления. где q = q-a3g(t)-C/vX аналог модифицированного давления, є = (39, параметр Буссинеска, Pr = и/Х число Прандтля, г) = a3g{t)/vx векторный параметр микроконвекции, являющийся новым критерием подобия. Заметим, что последнее слагаемое в правой части (2.5) содержит множитель е?7(т)Pr, который определяет вектор чисел Грасгофа Gr = єг](т)Pr = (3e,a3g(t)/X2. Если д = \д\, приходим к обычному числу Грасгофа Gr = (Зв да3/х2, которое является одним из основных параметров, наряду с є и Pr, в теории тепловой гравитационной конвекции.
Замечание 3. Чтобы получить некоторую качественную информацию, сравним величины вкладов сил плавучести и фактора объёмного расширения в формирование поля скоростей. Порядок скорости течения, вызванного силой плавучести, для умеренных чисел Грасгофа есть (Зв и-1д. Вклад объёмного расширения в поле скоростей оценивается как (Зв аГ1х. Таким образом, параметр ц = \д\а3/иХ имеет простой физический смысл: он равен отношению порядков скоростей, порождённых объёмным расширением и фактором плавучести. В работе [7] показано, что приближение Обербе-ка — Буссинеска непригодно для описания конвекции, если г\ 1. Малость параметра г\ может быть обеспечена за счёт малости ускорения силы тяжести (конвекция в условиях микрогравитации), малости масштаба длины (конвекция в микромасштабах) или за счёт большого произведения коэффициентов вязкости и температуропроводности. Во всех указанных случаях используется термин “микроконвекция”. Обозначим д0 = 9.8 м/с2.
Предположим, что изотермически несжимаемая жидкость заполняет область Q с границей , на которой заданы следующие условия для скорости и температуры: w + (3XV0 = 0} e = 9w(x,t), жє, (2.8) либо w + /3xvo = 0, k = d(x,t), ієЕ. (2.8) Здесь 0W, d — заданные температура и поток тепла соответственно, к — коэффициент теплопроводности. В безразмерных переменных условие прилипания примет вид w + е\/в = 0, тогда (2.8) и (2.8) можно записать как w + eVe = 0, 0 = 9W(C,T), CeS, (2.9) w + eV9 = 0, d9/dn = D{C)T)) (ЄЕ, (2.9У где D безразмерный поток тепла.
Легко видеть, что параметр є входит в систему (2.5)-(2.7) регулярным образом (в реальных ситуациях он редко превосходит величину Ю-2). Кроме того, решения краевой задачи (2.5)-(2.7), (2.9) (или (2.5)-(2.7), (2.9) ) можно искать в виде рядов по степеням малого параметра [14]. Тогда при разложении решения в ряд по є в нулевом приближении:
Замечание 4. В работе [289] для микроконвекции в замкнутой области Q было доказано существование аналитического по є решения в классах Гёль-дера задачи (2.1)–(2.3), (2.8) с начальными условиями e\t=0 = e0(x), w\t=0 = w0(x) divw0 0. О разрешимости возникающих начально-краевых задач в классах Гёльдера при выполнении необходимых условий гладкости и согласования см. [14]. Корректность стационарной задачи для уравнений микроконвекции при условиях (2.8) и (2.8) доказана в [290]. 2.1.2. Точные стационарные решения. Классификация Пусть жидкость заполняет бесконечный вертикальный канал Q = {\х\ а,—оо у оо,-оо z сю} с твёрдыми стенками х = ±а (рис. 1), на которых заданы условия (2.8) или (2.8) . ,, у = (0,-g,0) Рис. 1. Схема течения
Если температура на стенках 0W и величина теплового потока d не зависят от z, то возможны плоские течения в вертикальном слое. Они реализуются в случае, когда начальные распределения скорости и температуры не зависят от z и компонента скорости г 3 = 0 при t = 0.
Ниже рассматриваются только стационарные течения в слое. Система уравнений (2.1)-(2.3) в плоском случае для стационарного течения (wt = 0,6t = 0) допускает операторы д/ду и фд/dq, что отражает её инвариантность относительно преобразований переноса по оси у и прибавления к аналогу давления q произвольной константы ф. Инвариантные решения системы (2.1)–(2.3) относительно оператора д/ду + ipd/dq прeдставимы в виде [10] w = {u{x))v{x))0)) Є = Є{х)) q = {f-g)y + r{x)) (2.10) где (f = ф+g, (fi = const, g = const — ускорение силы тяжести. Член —gy в выражении для q соответствует гидростатической составляющей в представлении истинного давления р. Подстановка (2.10) в систему (2.1)–(2.3) приводит к тому, что система распадается на последовательно решаемые уравнения относительно функций и(х), v(x), в(х), г(х) и постоянной if.
Устойчивость механического равновесия в условиях объёмного прогрева
В условиях задачи п. 3.2.1 будем считать, что оси х и у находятся в плоскости верхней границы слоя, а ось z направлена вертикально вниз. Тогда положение нижней границы соответствует z = I, свободной поверхности — z = 0, а вектор массовых сил имеет координаты д = (0,0,#).
Уравнение переноса тепла при наличии внутреннего тепловыделения запишем в следующем виде: + u-V9 = x 0 + Fw{z,t).
Здесь Fw(z,t) — мощность тепловых источников, которая в случае объёмного поглощения определяется по закону (3.31), (3.32). В равновесном состоянии 6 = 0ии = 0и решением уравнения энергии является функция Была рассмотрена зависимость распределения температуры в слое от значений показателя поглощения и параметра а. На рис. 30 представлены графики функции температуры (3.34), построенные для I = 730 м (средняя глубина Байкала) при средних значениях R, Q для безлёдного периода.
Видно, что при малых значениях показателя поглощения зз солнечная радиация глубже проникает в толщу воды. За счёт светопоглощающих свойств воды влияние солнечного излучения на температурный режим значительно только в верхних слоях водной толщи. С ростом глубины внутреннее тепловыделение уменьшается и отсутствует на больших глубинах, не оказывая существенного влияния на распределение температуры в нижней части слоя.
Выявлены особенности формирования теплового режима слоя светопогло-щающей жидкости при объёмном прогреве падающим потоком излучения, проявляющиеся в неоднородности температурного градиента внутри слоя. При сравнении полученных распределений температуры с результатами наблюдений по приведенным в [111,112] значениям G1R,Q,e(z) для отдельных месяцев и зон Байкала можно восстановить значения ае и а, при которых профили температуры будут совпадать. Так, например, для весенних месяцев в южной части Байкала при аз = 0.081 м-1, а = 0.54 расчётный профиль практически совпадает с истинным. Значительная разница выбранных для расчёта значений данных параметров и полученных при восстановлении по известным результатам наблюдений объясняется тем, что при расчётах использовались средние значения потоков тепла и радиационного баланса, а также несовершенством используемой математической модели, имеющим место согласно замечанию 8.
Рассмотрим задачу об устойчивости механического равновесия жидкости в плоском горизонтальном слое. При этом считаем, что температура с глубиной изменяется по закону (3.34).
Выбирая за единицу измерения расстояния / = //2, для остальных величин используем масштабы, введённые в п. 3.2.2. В безразмерных переменных исходная система будет иметь вид (3.14), а уравнение энергии (3.33) перепишется как
Последнее уравнение содержит безразмерные параметры тепловыделения /1 = аееШ2/Ок, поглощения зз1 = зз/ и функцию теплового источника Fw = exp(-ae1C).
Для амплитуд возмущений в решении (3.17), пропорциональных exp [г(а1 + а2ї] - Cт)], после применения преобразования Сквайра получим систему (3.19). С учётом выбранной геометрии задачи и характерного масштаба длины на твёрдой стенке ( = 2 граничные условия совпадают с (3.20), при ( = 0 — с (3.21), в последних изменится только условие баланса энергии
На рис. 31 представлены линии тока и изотермы возмущённого течения в Южном Байкале, полученные при зз = 0.4 м-1. Идентичная картина течения наблюдается в северной и центральной зоне озера — в слое формируются две конвективные ячейки с очень интенсивным движением в приповерхностной части. С уменьшением величины показателя поглощения размеры верхней ячейки возрастают (рис. 32, а), и в Северном Байкале, средняя глубина которого существенно меньше, может возникать одна ячейка (рис. 32, б).
Критические значения длин волн возмущений, приводящих к неустойчивости в каждой зоне при зз = 0.2 м-1 и зз = 0.4 м-1, указаны в табл. 1. Исследовано влияние светопоглощающих свойств воды и интенсивности межфазного теплообмена на характеристики неустойчивости. Построены нейтральные кривые Ra(a) для различных значений числа Био и показателя поглощения при / = 730 м (рис. 33).
Из полученных результатов видно стабилизирующее влияние светопоглощающих свойств среды на устойчивость равновесия. С ростом внутреннего тепловыделения меняется положение координаты инверсии — она смещается ближе к верхней границе слоя, что приводит к более быстрой потере устойчивости. Характер изменений пороговых значений Ra c ростом числа Био, так же как и в двух предыдущих задачах, позволяет говорить о стабилизирующем влиянии теплообмена на свободной границе. Значения соответствующих критических чисел Рэлея и волновых чисел приведены в табл. 2.
Смещение порога устойчивости в коротковолновую область отмечено и в [319] для несжимаемой жидкости с аномалией теплового расширения при наличии внутренних источников тепла.
Пространственные возмущения
Для характеристики пространственных возмущений введём параметр Л = a1l а, 0 Л 1. Значение Л = 1 соответствует плоским возмущениям («2 = 0), а Л = 0 — возмущениям с а1 = 0, не зависящим от продольной координаты и представляющим собой стационарные валы, оси которых ориентированы в направлении основного течения (“спиральные” возмущения).
Результаты расчётов минимальных критических чисел Марангони, определяющих границу устойчивости обобщений решения Остроумова-Бириха относительно пространственных возмущений в зависимости от угла (/?, приведены на рис. 60. При в 1 (рис. 60, а) для 0 (р наиболее опасные плоские возмущения. При дальнейшем увеличении угла наклона происходит переход от плоской формы неустойчивости к спиральной. Минимум Maто достигается при Л = 0 (соответствует “спиральным” возмущениям) для любых углов у (р 90 o . С ростом числа Грасгофа (с учётом условия рф1 = р2[32 фактически это означает увеличение толщины второго слоя или увеличение температуры нижней стенки при заданном постоянном градиенте температуры вдоль стенок канала) область значений р, в которой наиболее опасными являются плоские возмущения, расширяется. Так, если Gr = 4.78 10-3, то для течений со скоростью (4.25) критический угол (при котором происходит смена критической моды с плоской на спиральную) р+ = 17.4 o , со скоростью (4.24) - if- = 22 o (рис. 60, а); если Gr = 4.78 103, то (р+ = 28.2 o , (f- = 34.6 o . Значения критических углов при различных значения числа Грасгофа приведены в табл. 4.
Кризис, вызванный пространственными возмущениями, связан с неустойчивой температурной стратификацией. При & 1 стратификация потенциально устойчива, и в этом случае неустойчивость связана с развитием плоских возмущений (рис. 60,б); их характеристики и свойства исследованы в п. 4.3.3.
Зависимость минимальных критических чисел Маранго-ни от угла наклона системы при Gr = 4.78 10-3: а) — і? 1, б) — # 1; 1-5 - Л = 1, 0.7, 0.5, 0.2, Поскольку среди пространственных возмущений наиболее опасные “спиральные”, то, полагая а1 = 0 в (4.20), (4.21), получим спектральную задачу для возмущений этого вида. Результаты решения данной задачи позволят определить характер неустойчивости. Мнимые части декрементов возмущений Сг в зависимости от числа Марангони при & 1 и фиксированных параметрах (f = 7г/3 и «2 = 2 приведены на рис. 61, а,б.
Вещественные ветви спектра изображены сплошными кривыми; общие части пары комплексно-сопряженных декрементов — штрих-пунктирными. Имеется критическая точка Ma 1 , в которой Сг обращается в нуль и возникает неустойчивость колебательного характера. Следует отметить, что при больших числах Грасгофа появляется вторая критическая точка Ma 2 , близкая по значению к MaJ (рис. 61, б). Наличие двух близких критических точек и колебательный тип неустойчивости сохраняется и при других значениях параметра а2 и больших значениях Gr. Для углов наклона системы, близких к критическим (pf, при а2 &2 возникает неустойчивость монотонного вида, при этом для любых Gr имеются две критические точки Ma 1 , Ma 2 (рис. 61, в). Верхние индексы “+” и “–” соответствуют течениям со скоростями (4.25) и (4.24). Значения а слабо зависят от Gr и определяют область, в которой имеет место монотонная неустойчивость: для Gr 0(10-3) — а+2 = 2.2, а2- = 2.19, Gr O(1) - а+2 = 2.28, а2- = 2.24, Gr О(103) - а+2 = 2.4,
Пара нейтральных кривых 3 соответствует двум уровням неустойчивости. Эволюция нейтральных кривых с изменением угла наклона системы показана на рис. 62,б. Для углов, близких к критическим ipf, видно, что в области а2 с 2 от нейтральной кривой колебательной неустойчивости 3 “отцепляется” монотонная мода (кривая 4). При каждом значении угла ip имеется пара близко расположенных кривых, соответствующих уровням неустойчивости с Ma 1 , Ma 2 . Для кривых 2–4 они практически совпадают и на данном графике не приводятся.
Анализ собственных функций показывает, что в результате развития “спиральных” возмущений в системе с небольшим отклонением от вертикальной ориентации в верхнем слое возникают два вихря с противоположной циркуляцией (рис. 63, a).