Введение к работе
Актуальность темы
Задача описания броуновского движения является классической задачей физики м механики жидкостей и газов. Впервые ее удовлетворительное решение на основе молекулярной кинетики было дано А.Эйнштейном (1905 г.) и П.Ланжевеном (1908 г.). Однако с современной точки зрения созданная 8 их работах картина броуновского движения является непоследовательной, поскольку в ней отсутствует связь коэффициентов переноса с процессами взаимодействия молекул среды с броуновскими частицами и смешиваются два разных уровня описания: гидродинамический и молекулярно-кинетический. Альтернативный подход к объяснению броуновского движения в 1915 году был предложен М.Смолуховским, который рассматривал это движение, как стохастический (вероятностный) процесс. В основе теории М.Смолуховского лежат гипотезы о марковском и гзус-совском характере данного стохастического процесса. Эти два предположения позволяют вывести для одночастичной функции распределения частиц уравнение Фоккера-Планка и обосновать уравнение диффузии А.Эйнштейна. Тем не менее, данный подход также не дает ответа о связи коэффициентов переноса с динамикой взаимодействия молекул с частицами. Кроме того, остаются открытыми вопросы о границах применимости этой теории. Таким образом, теория М.Смолуховского также содержит эвристические постулаты.
Получить ответы на указанные выше вопросы можно только в рамках строгой статистической (из первых принципов) теории броуновского движения. Впервые такой подход к описанию динамики броуновской частицы в 1963 году был предложен Лейбовицем и Рубиным. Однако в этой работе изучался лишь пространственно однородный случай. Позднее появились работы Соколовского и Цейтлина, Монтгомери, Фернандеса де ла Море и Мерсера, Писецкого и Хансена, посвященные также статистическому описанию броуновского движения. К сожалению, в этих публикациях имеется ряд недостатков:
-
Не исследуется влияние малого параметра отношения характерных размеров молекулы среды г'о и частицы /. с = го/іїц, на динамику системы. Хотя именно этот параметр определяет характер взаимодействия молекул среды с частицами.
-
Часто для вывода кинетических уравнений броуновской частицы и ансамбля таких частиц предполагают взаимодействие.среды с частицей или частицами слабым ( см работу Соколовского и Цейтлина). В связи с этим следует за-
метить, что взаимодействие частицы или ансамбля частиц с молекулами среды нельзя считать слабым в обычном смысле.
-
В работах Монтгомери, Фернандеса де ла Море и Мерсера для описания эволюции броуновской частицы авторы исходят из кинетического уравнения Больц-мана. Такой подход является не вполне корректным, поскольку уравнение Больц-мана не может описать реального коллективного характера взаимодействия молекул среды с броуновской частицей.
-
В работах Писецкого и Хансена для вывода кинетического уравнения броуновской частицы используют метод многих масштабов. Этот подход также нельзя считать удовлетворительным, поскольку он приводит к разбиению временной шкалы системы на характерные времена системы, которые имеют не вполне ясный физический смысл.
Цель работы
Построение замкнутых кинетических уравнений для ансамбля броуновских частиц и одной частицы в жидкой и разреженной газовой средах методами кинетической теории газов.
Построение кинетических уравнений для уединенной броуновской частицы, в которых в явном виде разделены вклады от парных и многочастичных столкновений молекул среды с частицей.
Исследование процессов диффузии частицы в равновесной среде, а также в представленном в диссертации модельном случае.
Изучение влияния парных и многочастичных столкновений молекул с броуновской частицей на динамику последней.
Эта общая цель включает в себя решение следующих задач: 1. Общее динамическое описание броуновской частицы и ансамбля таких частиц; 2. Вывод кинетических уравнений для системы взаимодействующих частиц и одной частицы в жидкой среде; 3. Исследование на основе полученных кинетических уравнений частицы процесса ее диффузии в равновесной среде; 4. Построение замкнутого кинетического описания ансамбля броуновских частиц и уединенной броуновской частицы в неравновесной газовой среде; 5. Вывод кинетического уравнения броуновской частицы, в котором в явном виде разделены вклады от парных и многочастичных столкновений молекул среды с частицей; б. Исследование зависимости коэффициента трения в интеграле столкновений
Фоккера-Планка от отношения характерных размеров молекулы среды и частицы а = rg/Яо; ? Изучение на основе полученного кинетического уравнения для броуновской частицы процесса ее диффузии в рамках модели твердых сфер.
Основные научные результаты и их новизна.
1. Дано общее динамическое описание броуновской частицы и системы таких
частиц, основанное на введении корреляционной функции, учитывающей дина
мические корреляции между частицей или системой частиц и несущей средой.
-
Построены кинетические уравнения для броуновской частицы и системы взаимодействующих броуновских частиц в равновесной несущей среде, включающие в себя некоторые из известных в литературе математические модели движения броуновской частицы.
-
На основе полученных кинетических уравнений исследован процесс диффузии частицы в равновесной среде. Найден структурный вид коэффициента диффузии с точностью до членов второго порядка по малому параметру є = фп/М (т и М - массы соответственно молекулы среды и частицы), который в нулевом приближении совпадает с полученным Эйнштейном.
-
Представлен вывод кинетических уравнений для частицы и ансамбля частиц в неравновесном разреженном газе.
-
Используя модель твердых сфер, построены кинетические уравнения для частицы, в которых в явном виде разделены вклады от парных и многочзстичных столкновений молекул среды с частицей.
6. Исследована зависимость коэффициента трения в интеграле столкновений
Фоккерз-Планка от отношения характерных размеров молекул среды и частицы.
Показано, что, если размер частицы порядка длины свободного пробега молекул
среды и несущая среда разрежена, то наиболее существенный вклад в коэффи
циент трения вносят многочастичные столкновения молекул с частицей. Если
размер частицы и молекул одного порядка, то доминирующий вклад в коэффи
циент трения вносят парные столкновения молекул с частицей. Когда же среда
является умеренно разреженной, то вклады от парных и многочастичных столк
новений молекул с частицей становятся одного порядка.
7. На основе кинетического уравнения уединенной броуновской частицы исследо
ван процесс ее диффузии в рамках модели твердых сфер. Используя результаты
исследования коэффициента трения, изучена зависимость коэффициента диффу-
зии от параметра отношение характерного размера молекулы к характерному размеру частицы. Показано, что учет коллективного характера взаимодействия молекул среды с частицей приводит к уменьшению коэффициента диффузии частицы и к увеличению коэффициента сопротивления частицы.
Научная и практическая ценность результатов.
Построены кинетические уравнения для броуновской частицы и системы взаимодействующих броуновских частиц в жидкости и неравновесном разреженном газе. На основе полученных кинетических уравнений исследован процесс диффузии частицы в равновесной среде. Получены поправки к коэффициенту диффузии Эйнштейна. Исследованы границы применимости указанного описания.
С использованием модели твердых сфер выведено кинетическое уравнение для броуновской частицы, в котором в явном виде разделены вклады от парных и многочастичных столкновений молекул среды с частицей. Получен коэффициент трения в интеграле столкновений Фоккера-Планка, который учитывает коллективный характер взаимодействия молекул среды с частицей. Исследована зависимость этого коэффициента трения от отношения характерных размеров молекулы среды и частицы. На основе полученного кинетического уравнения исследован процесс диффузии частицы в рамках модели твердых сфер. Изучена зависимость коэффициента диффузии от параметра отношение размера молекулы к размеру частицы.
Результаты диссертации могут быть использованы в качестве основы для построения модельных кинетических уравнений ансамбля частиц в равновесной и неравновесной газовой среде; для решения задач экологии; в задачах описания динамики космических объектов; при изучении процессов диффузии ансамбля частиц в неравновесном разреженном газе; при построении гидромеханики дисперсных сред.
По теме диссертации выполнялись договорные работы в рамках ЕЗН (с 1993 г. по 1997 г.) и региональной программы "Фундаментальные науки как основа современных технологий" ( с 1995 г. по 1997 г.) в Новосибирском государственном архитектурно - строительном университете.
Достоверность результатов диссертации основывается на использовании апробированных методов статистической механики и кинетической теории газов с применением строгого математического аппарата. Она подтверждается
сравнением результатов диссертации с результатами других авторов, которые использовали другие подходы к решению задач, рассматриваемых в данной работе, а также сопоставлением с существующими предельными случаями.
На защиту выносятся следующие положения:
-
Общее динамическое описание ансамбля броуновских частиц и уединенной броуновской частицы в жидкой несущей среде.
-
Кинетическое описание системы взаимодействующих броуновских частиц и уединенной броуновской частицы в равновесной несущей среде.
-
Результаты исследований процессов диффузии броуновской частицы в равновесной несущей среде.
-
Кинетическое описание системы взаимодействующих броуновских частиц и уединенной броуновской частицы в разреженной газовой среде.
-
Вывод кинетического уравнения для уединенной броуновской частицы, в котором в явном виде разделены вклады от парных и многочастичных столкновений молекул среды с частицей. Результаты исследования зависимости коэффициента трения в интеграле столкновений Фоккера-Планка от параметра отношения характерных размеров молекулы среды и частицы а = г^/Rq.
-
Результаты исследований процесса диффузии броуновской частицы в рамках модели твердых сфер.
Апробация результатов
Основные результаты, полученные в диссертации, представлены и опубликованы в работах [1 - 12], а также докладывались на: 13-ой Школе-семинаре по моделям механики сплошной среды, Санкт-Петербург, июнь - июль 1995 г.; 3-ем Международном семинаре по устойчивости гомогенных и гетерогенных жидкостей, Новосибирск, апрель 1996 г.; European Aerosol Conference (EAC - 96), Paris, France, June - July, 1996; 20-th International Sympozium on Rarefied Gas Dynamics, Beijing, China, September, 1996; Международной конференции " Всесибирские чтения по математике и механике", Томск, июнь 1997 г.; Международной конференции Математические модели и методы их исследования ( задачи механики сплошной среды, экологии, технологических процессов)", Красноярск, август 1997 г.; Международной научно-технической конференции "Научные основы высоких технологий", Новосибирск, сентябрь 1997 г.
Личный вклад автора в публикации [1 - 7] состоит в построении кинетических уравнений для ансамбля броуновских частиц в равновесной несущей среде; кинетических уравнений для уединенной броуновской частицы в неравновесном разреженном газе; кинетических уравнений для разреженной мелкодисперсной газовзвеси твердых сфер.
Все основные результаты диссертации являются новыми.
Структура и объем работы