Содержание к диссертации
Введение
1. Введение 8
1.1. Актуальность темы исследования 8
1.2. Степень разработанности темы исследования
1.2.1. Обзор подходов для моделирования фильтрации 11
1.2.2. Уравнения неизотермической фильтрации бинарной смеси 15
1.2.3. Модель фильтрации воды и водяного пара 17
1.2.4. Модель Чёрной нефти 19
1.2.5. Область применимости классических моделей 1.3. Цели и задачи 24
1.4. Научная новизна 25
1.5. Теоретическая и практическая значимость работы 28
1.6. Методология и методы исследования 29
1.7. Положения, выносимые на защиту 30
1.8. Степень достоверности и апробация результатов 33
1.9. Личный вклад 36
1.10. Структура диссертационной работы 37
2. Результаты для моделей фильтрации в случае произвольного числа компонентов 39
2.1. Основные уравнения 40
2.1.1. Законы сохранения 40
2.1.2. Закон Дарси 42
2.1.3. Термодинамические соотношения 42
2.1.4. О замкнутой системе уравнений з
2.2. Представление уравнений многокомпонентной фильтрации в форме Годунова 44
2.2.1. Вывод представления 44
2.2.2. Уравнение на энтропию 47
2.2.3. Геометрическая интерпретация 49
2.2.4. Оценка влияния работы силы тяжести 51
2.2.5. Представление через функцию давления 54
2.3. Достаточное условие неотрицательного производства энтропии для разностных схем расчёта фильтрации 56
2.3.1. Конечно-разностная формулировка законов сохранения 56
2.3.2. Аппроксимация потоков 57
2.3.3. Аппроксимация работы силы тяжести 58
2.3.4. Конечно-разностное уравнение для энтропии 59
2.3.5. Достаточное условие неотрицательного производства энтропии 60
2.3.6. Обсуждение 61
2.4. Выводы к главе 63
3. Метод определения теплофизических свойств бинарных смесей 65
3.1. Введение 65
3.1.1. Обзор методов композиционного моделирования 65
3.1.2. Обзор предлагаемого метода 67
3.1.3. Основные термодинамические соотношения 70
3.1.4. Замкнутая математическая модель бинарной смеси 71
3.2. Термодинамический потенциал бинарной смеси в переменных давление-энтальпия-состав 73
3.2.1. Определение термодинамических параметров в однофаз ном состоянии по давлению, энтальпии и составу смеси
4 3.2.2. Расчёт термодинамического потенциала 74
3.3. Определение многофазных парожидкостных равновесий 78
3.3.1. Постановка задачи 78
3.3.2. Случай однофазных равновесий 79
3.3.3. Случай двухфазных равновесий 79
3.3.4. Случай трёхфазных равновесий 81
3.3.5. Геометрическая интерпретация 82
3.3.6. Определение критических условий 85
3.3.7. Алгоритм расчёта равновесия
3.4. Соотношения для расчёта вязкости 88
3.5. Бинарная смесь СО2-Н2О
3.5.1. Многокоэффициентное уравнение состояния смеси СС -Н20 90
3.5.2. Точность определения свойств при низких температурах 92
3.5.3. Точность определения свойств при высоких температурах 98
3.5.4. Расчёт фазовой диаграммы смеси 102
3.5.5. Фазовая диаграмма при давлении 10 МПа 106
3.5.6. Сравнение с углеводородными смесями 108
3.6. Выводы к главе 109
4. Результаты дисперсионного анализа уравнений фильтрации бинарных смесей и исследования сильных разрывов 111
4.1. Основные уравнения 111
4.1.1. Замкнутая система уравнений 111
4.1.2. Случай7 = 0 114
4.2. Анализ малых возмущений 115
4.2.1. Дисперсионное уравнение 115
4.2.2. Случай однофазных течений 117
4.2.3. Случай двухфазных течений 121
4.2.4. Случай трёхфазных течений 124
4.3. Исследование сильных разрывов 126
4.3.1. Условия на разрывах 126
4.3.2. Условия эволюционности 127
4.3.3. Некоторые особенности поведения адиабаты разрыва на фазовой плоскости 129
4.3.4. Поведение адиабаты в окрестности двухкратной точки Жуге 133
4.4. Выводы к главе 135
5. Результаты исследований в проблемах подземного захороне ния углекислого газа 137
5.1. О подземном захоронении углекислого газа 137
5.2. Задача Римана
5.2.1. Постановка задачи и обзор литературы 140
5.2.2. Предварительные оценки 142
5.2.3. Оценка влияния силы тяжести 146
5.2.4. Асимптотическое приближение 148
5.2.5. Диаграмма решений 152
5.2.6. Сравнение с решением в полной постановке 160
5.2.7. Определение волновой картины по диаграмме решений 163
5.2.8. Исследование устойчивости переднего фронта вытеснения 169
5.2.9. Обсуждение результатов 180
5.3. Трёхфазные течения при закачке СО2 181
5.3.1. Постановка задачи 181
5.3.2. Результаты 184
5.4. Решение трёхмерных задач фильтрации в проблемах подземного захоронения 188
5.4.1. Закачка СО2 в формацию Johansen 188
-6 5.4.2. Нагнетание СО2 в геологический резервуар Sleipner 193
5.5. Выводы к главе 194
6. Результаты моделирования природных процессов 197
6.1. Исследование конвекции в геотермальной системе Campi Flegrei 197
6.1.1. Введение 197
6.1.2. Постановка задачи 199
6.1.3. Результаты моделирования конвекции 202
6.1.4. Параметрический анализ 203
6.2. Исследование серпентинизации при остывании кимберлитовых трубок 210
6.2.1. Постановка задачи 210
6.2.2. Математическая модель 213
6.2.3. Результаты расчётов 217
6.3. Устойчивость серпентинизации оливина 221
6.3.1. Постановка задачи 221
6.3.2. Фоновое решение 225
6.3.3. Предварительное обсуждение 226
6.3.4. Критерий устойчивости 229
6.3.5. Численные эксперименты 238
6.3.6. Влияние параметров уравнения реакции 241
6.4. Выводы к главе 243
7. Комплекс программ для моделирования фильтрации 245
7.1. Обзор комплекса 245
7.1.1. Цели и задачи 245
7.1.2. Архитектура и модули уравнений состояния 246
7.1.3. Алгоритмы и методы 248
7.2. Тестирование гидродинамического симулятора 250
7.2.1. Тестовый расчёт с модулем BINMIXT 251
-7 7.2.2. Тестовые расчёты с модулем BLACKOIL 252
7.2.3. Тестовый расчёт с модулем GASSTORE 260
7.2.4. Тестовый расчёт с модулем T2EOS1 264
7.2.5. Другие способы тестирования
7.3. Практическое использование 265
7.4. Выводы к главе 266
Заключение 267
Список сокращений и условных обозначений 272
Список литературы
- Обзор подходов для моделирования фильтрации
- Представление уравнений многокомпонентной фильтрации в форме Годунова
- Термодинамический потенциал бинарной смеси в переменных давление-энтальпия-состав
- Поведение адиабаты в окрестности двухкратной точки Жуге
Введение к работе
Актуальность темы. Исследование многофазных течений жидкостей и газов в пористой среде с взаимосвязанными гидродинамическими и термодинамическими явлениями, обусловленными фазовыми превращениями и критическими условиями, востребовано в широком спектре задач подземной гидромеханики. Актуальность данного исследования связана с тем, что его результаты могут использоваться для научно-обоснованного прогнозирования и оптимизации показателей эксплуатации недр Земли и при описании природных процессов.
В технологических приложениях многофазные течения при до- и сверхкритических термодинамических условиях происходят при разработке месторождений нефти и газа, в частности газоконденсатных залежей, и при подземном захоронении углекислого газа. Вторая из отмеченных тематик связана с проблемой глобального потепления. Для снижения выбросов парниковых газов углекислый газ - продукт горения - закачивают в проницаемые недра, а не выбрасывают в атмосферу. Возможно захоронение как в истощенных месторождениях углеводородов, так и в водонасыщенных пластах. В последнем случае нагнетание газа в пласт сопровождается фильтрацией бинарной смеси углекислого газа и воды (СО2-Н2О). Исследование подобных течений осложняется тем, что захоронение может происходить при околокритических термодинамических условиях для СО2 (7.28 МПа, 31.04С), при которых его теплофизические свойства чувствительны к малым изменениям давления и температуры. Утечка углекислого газа из пласта к поверхности может сопровождаться падением давления ниже критического значения и сопутствующим расслоением СС^ на две различные фазы - жидкую и газовую. При этом формируются области трёхфазного течения с термодинамическими равновесиями пар-жидкость-жидкость (VLL-equilibria), где пар - газообразный СО2, а две жидкие фазы - сжиженный СО2 и пластовая вода. Развитие методов моделирования фильтрации с подобными усложнёнными парожидкостными равновесиями представляет интерес для многих приложений в области рационального недропользования, в том числе для нефтегазовой отрасли.
В природных процессах взаимосвязанные термогидродинамические явления происходят в естественных конвективных течениях в геотермальных системах -
в проницаемых породах, насыщенных водой, водяным паром и магматическим флюидом, в основном СО2. Тепломассообмен между магматическими и геотермальными системами сопровождается фильтрационными течениями в широком диапазоне давлений и температур, содержащем критические значения для воды (22.09 МПа, 374.14С). В приповерхностных пластах течение грунтовых вод происходит при низких давлениях и температурах, а в глубокопогруженных породах - при сверхкритических условиях, приближающихся к параметрам в магматическом очаге. Изменение компонентного состава геотермального флюида, связанное с притоком углекислого газа из магматического очага, приводит к значительному изменению критических параметров и развитию в глубокопогруженных областях геотермальных систем двухфазных течений с термодинамическими равновесиями типа жидкость-жидкость. Получение новых знаний относительно геотермальных систем с учётом описанных процессов востребовано как при прогнозировании активности вулканических систем, так и в геотермальной энергетике.
Многофазные фильтрационные течения в условиях значительного изменения давления и температуры происходят, также, при формировании рудных месторождений и при остывании кимберлитовых трубок - вертикальных геологических тел, образовавшихся при прорыве магматического расплава сквозь земную кору. В кимберлитовых трубках сосредоточены значительные запасы алмазов на Земле. После формирования трубка наполнена нагретыми проницаемыми породами, насыщенными магматическим газом и воздухом, а одним из основных породообразующих минералов является оливин. Остывание кимберлита сопровождается внедрением более холодных подземных вод из окружающих трубку водонасыщенных пластов и, следовательно, фазовыми превращениями - испарением воды. Также происходит гидротермальное изменение кимберлитовых пород, т.е. происходят минеральные реакции в системе флюид-порода. При повышенных температурах вода вступает в реакцию с оливином, приводя к образованию нового минерала - серпентинита, причём поровое пространство забивается серпентинитом, перекрывая приток подземных вод. Обратное влияние фазовых превращений и минеральных реакции на фильтрацию может приводить к сложному распределению серпентинита. Исследование подобных процессов представляет теоретический интерес для обоснования геофизических
гипотез о процессе формирования кимберлитовых трубок и имеет практическое значение для уточнения их геологического строения.
В отмеченных геофизических приложениях теплофизические свойства флюида, фазовые превращения и критические явления определяют характер гидродинамических процессов в пластах. Все данные эффекты не могут быть в полной мере учтены в существующих моделях фильтрации, ограниченных либо докритическими условиями, либо парожидкостными равновесиями с не более чем двумя фазами, либо изотермическими процессами.
Цель диссертационной работы заключается в
-
развитии методов моделирования неизотермической фильтрации бинарных смесей в широком диапазоне до- и сверхкритических давлений и температур с учётом усложнённых многофазных парожидкостных равновесий;
-
использовании данных методов для определения закономерностей при теп-ломассопереносе в сложных задачах рационального недропользования и в природных процессах, которые альтернативными моделями не описываются.
Для достижения поставленных целей в настоящей работе решены следующие задачи:
-
разработан ускоренный метод определения теплофизических свойств бинарных смесей в широком диапазоне до- и сверхкритических давлений и температур в переменных давление-энтальпия-состав;
-
определены требования к корректным, не противоречащим второму началу термодинамики, постановкам задач неизотермической фильтрации;
-
создан комплекс программ для прямого численного моделирования фильтрации бинарных смесей, теплофизические свойства которых определяются в рамках разработанного метода;
-
решены новые теоретические задачи и проведены трёхмерные инженерные расчёты в проблемах подземного захоронения сверхкритического углекислого газа. Исследованы решения автомодельной задачи Римана, проведён анализ гидродинамической устойчивости сильных разрывов и исследованы тепловые эффекты при утечке газа из пласта;
-
проведён параметрический анализ конвекции в геотермальных системах с учётом термогидродинамических процессов в приповерхностных (докритиче-ские условия) и глубокопогруженных (сверхкритические условия) областях;
6. исследованы термогидродинамические процессы в нагретой кимберлито-вой трубке при внедрении холодных подземных вод с учётом экзотермической минеральной реакции между флюидом и породой и сопутствующих изменений пористости и проницаемости.
Научная новизна диссертационной работы состоит в том, что
-
разработан ускоренный метод определения теплофизических свойств бинарных смесей в широком диапазоне до- и сверхкритических давлений и температур, с учётом трёхфазных парожидкостных равновесий пар-жидкость-жидкость и двухфазных равновесий пар-жидкость и жидкость-жидкость. Классические подходы к определению свойств в композиционных моделях фильтрации не позволяют эффективно рассчитывать подобные равновесия в широком диапазоне давлений и температур и при околокритических термодинамических условиях;
-
определены коэффициенты трёхпараметрического кубического уравнения состояния для бинарной смеси углекислый газ-вода, позволяющие с инженерной точностью описывать лабораторные измерения теплофизических свойств смеси в широком диапазоне давлений (0.1-150 МПа) и температур (0-700С);
-
определена корректная формулировка закона сохранения энергии в задачах неизотермической фильтрации, гарантирующая неотрицательное производство энтропии;
-
построена конечно-разностная схема расчёта фильтрации, удовлетворяющая условию неотрицательного производства энтропии;
-
создан комплекс программ для прямого численного моделирования на суперкомпьютерах фильтрации бинарных смесей, теплофизические свойства которых определяются в рамках разработанного метода. Комплекс содержит программную реализацию новых теоретических результатов диссертации;
-
проведён дисперсионный анализ уравнений фильтрации бинарной смеси в областях различного фазового состояния и определены типы малых возмущений;
-
впервые исследовано поведение адиабат разрывов при фильтрации бинарной смеси углекислый газ-вода и ограничены параметры эволюционных разрывов;
-
разработан асимптотический метод исследования волновых пакетов (по-
следовательностей разрывов и волн Римана) для смешанных систем уравнений, описывающих фильтрацию;
9. решена автомодельная задача Римана, описывающая закачку сверхкритического углекислого газа в водонасыщенный пласт. Исследована гидродинамическая устойчивость сильных разрывов, присутствующих в решении задачи Римана;
-
в проблемах подземного захоронения углекислого газа впервые исследованы тепловые эффекты из-за фазовых превращений между жидким и газообразным СО2;
-
впервые исследована конвекция в геотермальных системах при до- и сверхкритических термодинамических условиях. Определены параметры геотермальных систем, наиболее сильно влияющие на интенсивность конвекции;
-
даны уточняющие оценки параметров нагретого сверхкритического флюида, которым геотермальная система Campi Flegrei (Италия) питается из магматического очага;
-
впервые построена модель, позволяющая описать внедрение подземных вод в нагретую кимберлитовую трубку с учётом теплопроводности, фазовых превращений, экзотермической минеральной реакции в системе флюид-порода (оливин+вода—^серпентинит) и снижения пористости и проницаемости при серпентинизации. Обоснована новая геофизическая концепция о гидродинамических процессах, приводящих к неоднородному распределению серпентинита в трубках;
-
впервые исследован новый тип неустойчивости серпентинизации в кимбер-литовых трубках, обусловленный самоускорением экзотермической реакции между флюидом и породой при возрастании температуры.
Результаты, представленные в диссертации, важны с общетеоретической точки зрения для развития знаний в области неизотермической многофазной фильтрации при до- и сверхкритических термодинамических условиях. Теоретическая значимость работы обусловлена
-
обобщением известного представления Годунова для гиперболических систем на случай смешанных систем уравнений, описывающих фильтрацию;
-
определением требований к корректным постановкам задач неизотермической фильтрации;
-
развитием асимптотических методов исследования нелинейных волн для уравнений смешанного типа, описывающих фильтрацию;
-
усовершенствованием методов моделирования фильтрации с учётом усложнённых термодинамических эффектов (фазовые превращения, многофазные парожидкостные равновесия, критические условия, минеральные реакции) в условиях значительного изменения давления и температуры;
-
научной новизной диссертационной работы.
Практическая значимость работы заключается в том, что её результаты будут полезны для
-
проведения параллельных расчётов неизотермических фильтрационных течений в рамках разработанного комплекса программ MUFITS. Программный комплекс будет полезен в проектных организациях нефтегазовой отрасли и других научно-исследовательских институтах для расчёта фильтрации в задачах рационального недропользования;
-
прогнозирования последствий подземного захоронения углекислого газа, расчёта показателей разработки месторождений нефти и газа и при получении геотермальной энергии;
-
расчёта теплофизических свойств бинарных смесей в переменных давление-энтальпия-состав в геофизических приложениях и в других технологических проблемах, связанных со сжижением газов и сложными парожид-костными равновесиями;
-
анализа процессов в призабойной зоне скважин при закачке газа в водо-насыщенный пласт, в частности при гидродинамическом исследовании скважин;
-
прогнозирования активности геотермальной системы Campi Flegrei в рамках созданной трёхмерной геологогидродинамической модели системы;
6. интерпретации геологического строения кимберлитовых трубок.
Практическая значимость работы также подтверждается тем, что автор
диссертации был приглашён в Бристольский университет и Немецкий научно-исследовательский центр по наукам о Земле для проведения практических семинаров-тренингов по использованию разработанного пакета MUFITS в различных задачах недропользования. В настоящее время комплекс, в том числе модель фильтрации бинарной смеси, находит практическое применение в дан-
ных организациях без непосредственного участия автора диссертации.
Обзор подходов для моделирования фильтрации
Модели фильтрации часто опираются на предположение о течениях, равновесных по отношению к внутренним процессам в среде. Предполагается, что пластовый флюид находится в локальном термодинамическом равновесии, т.е. что характерное время изменения параметров в элементарном объёме сплошной среды из-за гидродинамических процессов - thydro значительно больше характерного времени установления локального термодинамического равновесия Hhermo Hhermo / hydro - -L yL.A.Lj
В случае неизотермической фильтрации также делается допущение о локальном тепловом равновесии между флюидом и породой. Обоснование данных предположений связано тем, что в теории фильтрации рассматриваются медленные течения, характерная скорость которых лежит в диапазоне 10 - 10 м/сек [29]. Отсюда, предполагая, что характерный размер элементарного объёма сплошной среды есть 1 м (данное значение заведомо меньше характерных размеров в геофизических приложениях), имеем характерное время для гидро - 12 динамических процессов thydro = 104 — 106 сек. Данные времена в большинстве случаев на несколько порядков больше времени tthermo установления термодинамического равновесия в камерах PVT, т.е. в лабораторных установках для исследования свойств флюидов.
Отметим, что в пористой среде жидкости и газы разделены искривлёнными межфазными границами - капиллярами, а давления в фазах различаются. Это может приводить к различным термодинамическим равновесиям в пористой среде и камерах PVT. В теории фильтрации часто предполагается, что данные равновесия мало отличаются друг от друга и что можно ввести среднее эффективное давление многофазного флюида Р, при котором определяется парожидкостное равновесие в пласте [24,39].
Несомненно возможны случаи нарушения предположения (1.2.1), например в призабойной зоне скважин, однако в настоящей работе подобные течения не рассматриваются. Применение численных методов Использование моделей фильтрации в практических приложениях и в современных теоретических исследованиях требует привлечения развитых методов прямого численного моделирования [1]. Во-первых, это связано с необходимостью описания гидродинамики в сложнопостроенных неоднородных геологических пластах и совместных течений пласт-скважина. Во-вторых, в каждый момент времени в каждом элементарном объёме сплошной среды необходимо решать термодинамическую задачу, связанную с определением парожидкост-ного равновесия флюида, а затем эти решения учесть в системе законов сохранения. Нелинейное поведение теплофизических свойств многофазных пластовых флюидов осложняет аналитическое исследование фильтрации во многих приложениях. В связи с этим неотъемлемым элементом исследований фильтрации является разработка и использование пакетов программ для модели 13 рования фильтрации - гидродинамических симуляторов. В зарубежной науке создание новых моделей фильтрации или новых методов моделирования связано с их апробацией в академических пакетах программ [103,112,142,167]. Если доказывается, что модели и методы эффективны, то в дальнейшем они могут внедряться в более сложные коммерческие пакеты. Явные и композиционные модели
Основополагающим фактором при исследовании фильтрационных течений является термодинамическая модель пластового флюида. Существующие модели фильтрации можно разбить на два типа в зависимости от используемых уравнений для описания теплофизических свойств жидкостей и газов. К первому типу отнесём модели, в которых свойства многофазного флюида, в частности условия термодинамического равновесия, задаются явными аналитическими формулами или табличными данными. Например, к первому типу относится модель Чёрной нефти [1,78,82,157], широко использующаяся для прогнозирования показателей разработки месторождений нефти и газа и при оценке последствий подземного захоронения углекислого газа [88,101]. Также, явными соотношениями часто задаются свойства воды и водяного пара в моделях, применяющихся к геотермальным системам [4,22,44,163], и свойства газовых гидратов при исследовании их разложения в пласте [41,45].
Достоинство моделей первого типа заключается в их относительной простоте - фазовая диаграмма флюида явно задана уравнениями термодинамической модели, что упрощает исследование и расчёт соответствующих фильтрационных течений. К недостаткам этих моделей следует отнести то, что они работают в узком диапазоне параметров, например только при докритических условиях, при которых применимо соответствующее упрощённое описание свойств. Второй недостаток заключается в том, что для задания теплофизических свойств используются интерполяционные формулы, которые имеют свой уникальный вид для каждого пластового флюида [142]. Такой подход не универсален, например, если моделируются свойства бинарной смеси, то для смеси различных веществ могут потребоваться качественно различные интерполяционные формулы. Определение вида и коэффициентов таких формул нужно проводить для каждого набора веществ отдельно, что представляет собой сложную задачу.
Ко второму типу отнесём композиционные модели фильтрации [1,24,75,82, 126], в которых свойства многокомпонентного флюида задаются кубическим (или более сложным) уравнением состояния. В подобных моделях термодинамическое равновесие не задано явными алгебраическими соотношениями, а определяется из системы нелинейных неразрешимых явно уравнений, для которой во многих случаях необходимо строить численное решение. Композиционные модели активно применяются в проблемах разработки газоконденсатных месторождений, сопровождающихся сложными фазовыми превращениями и изменениями компонентного состава флюида в пласте. Подобные модели более универсальны по-сравнению с моделями первого типа, так как они позволяют в рамках единого подхода описывать фильтрацию флюидов различного компонентного состава.
Редуцирование композиционных моделей
В общем случае пластовые флюиды представляют собой многокомпонентные термодинамические системы [1,24,39]. Исследование фильтрации смесей со значительным числом компонентов есть сложная задача, в том числе в рамках прямого численного моделирования. В связи с этим актуально соблюдение баланса между сложностью модели и точностью прогнозируемых ею результатов. Большее число компонентов, используемых в композиционном моделировании фильтрации, соответствует как улучшенному описанию теплофизических свойств, так и большему (процессорному) времени, затрачиваемому на расчёт фильтрации. В проблемах фильтрации применяется редуцирование многоком - 15 понентной композиционной модели к более простой модели с меньшим числом компонентов. Например, в случае месторождений нефти и газа многокомпонентную углеводородную смесь описывают бинарной смесью двух псевдокомпонент, соответствующих тяжёлым (группа С\+) и лёгким фракциям (модель Чёрной нефти) [82]. Подобный подход позволяет достаточно точно и за приемлемое процессорное время рассчитывать фазовые превращения в пласте и сопутствующие гидродинамические эффекты. Подземное захоронение углекислого газа и течения в геотермальных системах также часто рассматриваются в рамках уравнений фильтрации двухкомпонентной смеси [88,140,142]. Отсюда можно резюмировать, что редуцирование многокомпонентной системы к бинарной смеси позволяет во многих случаях достичь удовлетворительного баланса между точностью модели и вычислительной эффективностью. Далее обсудим уравнения фильтрации двухкомпонентных смесей и некоторые их частные случаи, широко использующиеся в приложениях.
Представление уравнений многокомпонентной фильтрации в форме Годунова
Рассмотрим численное моделирование фильтрации в рамках метода конечных объёмов [1,140,142]. Поскольку к производству энтропии приводят потоки массы и энергии между любыми двумя связанными общей границей ячейками расчётной сетки, то для оценки количества производимой энтропии в конечно-разностных расчётах достаточно взять сетку состоящую только из двух ячеек а и Ъ (Рисунок 2.2). Общее количество энтропии, производимое в сеточной области, есть сумма вкладов от каждой пары ячеек. Следовательно, если показать, что потоки между любыми двумя ячейками вычислительной задачи дают неотрицательное производство энтропии, то общее производство энтропии для всей задачи также будет неотрицательным.
Параметры, относящиеся к ячейкам а и 6, обозначим верхними индексами а и 6. Согласно (2.1.1) - (2.1.3) и при условии, что шаг по времени стремится к нулю (dt — 0), законы сохранения для ячейки I = а,Ъ представим в конечно-разностном виде:
Здесь Q - геометрический объём ячейки, S - площадь общей грани между ячейками, ql7? - потоки из ячейки / в ячейку т (ql7? = — qV )-, Л1 - конечно-разностная аппроксимация работы силы тяжести, производимой в ячейке /. Дифференциалы d/L (і = г, 0,... ,пс) в уравнениях (2.3.1) - (2.3.3) обозначают изменение плотности і-ого компонента смеси (і т 0) или плотности энергии (і = 0) в ячейке / за бесконечно малый шаг по времени
Потоки ql7? задаём по схеме с разностями против потоков [1,140,142]. Обозначим APJ = Pm-Pl -fff(zm-zl), j = l,...,nj,, l,m = a,b, Іфт (2.3.4) где ]fj - аппроксимация плотности j -й фазы из ячейки / на грани между ячейками а и Ь, п - число фаз смеси в ячейке I, z - вертикальная координата (глубина) центра ячейки. Предполагаем, что направление оси z совпадает с направлением вектора "у (Рисунок 2.2). Параметры ДР-, с точностью до умножения на константу, являются аппроксимациями величины, взятой в скобки в законе Дарси (2.1.9). Таким образом, выражения (2.3.4) задают направление течения фаз из ячейки в ячейку через их общую границу.
Согласно (2.1.5), (2.1.9), (2.2.22) и (2.3.4), обозначим как q1-, поток і-ого компонента в j -й фазе, находящейся в ячейке / = а, 6, из ячейки / в связанную Здесь К - аппроксимация проницаемости на грани, d - расстояние между геометрическими центрами ячеек (Рисунок 2.2). В соответствии с (2.1.5), (2.1.9), (2.3.4) и (2.3.5), имеем следующее выражение для потоков между ячейками 3=1 3=1
Согласно (2.1.3), (2.1.6) и (2.3.3), работа силы тяжести ЛаЬ, производимая из-за тепломассопереноса между ячейками, имеет вид
В расчётах часть работы (2.3.6) может быть отнесена к ячейке а (Ла), а оставшаяся часть - к ячейке Ь (Л). Работа ЛА, производимая в результате течения j -й фазы из ячейки /, равна пс Aij = Sj2qlj{ (zm-zl), l,m = a,b, Іфт (2.3.7) г=\ Обозначим через у1А ту часть работы Л1А ИЗ (2.3.7), которая относится, согласно закону сохранения энергии (2.3.3), к ячейке /. Тогда оставшаяся часть 1 — у- принадлежит ячейке тф\. Следовательно, выполняется соотношение
В дальнейшем величины /Г-, у-, j = 1,.. . , п , I = а, Ь считаем теми параметрами конечно-разностной схемы, которые должны обеспечивать выполнение требова-ний, предъявляемых к схеме, В частности, параметры/)-, у, могут задаваться так, чтобы выполнялось условие неотрицательного производства энтропии при численном моделировании фильтрации.
Умножим уравнения (2.3.1), (2.3.2) и (2.3.3) наи[, и\, і = 1,..., пс и и10 (I = а, Ь) и сложим все (2пс + 4) получившиеся соотношения. Согласно (2.2.1), имеем следующее уравнение, описывающее баланс энтропии: nadf e) + nbdf{e) = SEahdt (2.3.9) пс ab = Е W - О 4) + _1 «ла+ лЬ) (2-ЗЛ) Левая часть уравнения (2.3.9) есть изменение общего количества энтропии в ячейках а и Ь, правая часть пропорциональна, с коэффициентом Sdt, конечно-разностному производству энтропии . Действительно, ячейки а и Ь можно рассматривать как изолированную термодинамическую систему, приток энтропии через границы которой отсутствует. Таким образом, правая часть уравнения (2.3.9) не может быть ни чем иным, кроме как производством энтропии, вызванным потоками массы и энергии между ячейками.
Подставляя соотношение (2.3.8) в (2.3.10), получим следующее выражение для производства энтропии: производство энтропии, обусловленное только течением j -й фазы, находящейся в ячейке /. В соответствии с термодинамикой необратимых процессов и соотношениями (2.3.11), величину Х- естественно назвать конечно-разностной термодинамической силой, соответствующей потоку q., [28]. Для того чтобы энтропия возрастала, должны выполняться неравенства (2.3.11). Согласно (2.3.5), при АР- 0 течение j -й фазы из ячейки / отсутствует, а = 0. Таким образом, неравенства (2.3.11) должны выполняться только при APJ 0.
Термодинамический потенциал бинарной смеси в переменных давление-энтальпия-состав
Задача Римана - классическая одномерная автомодельная задача (задача о распаде произвольного разрыва) для системы уравнений в частных производных, представляющих собой законы сохранения [111,114]. Начальное условия для задачи Римана - кусочно постоянное распределение параметров с одним произвольным разрывом. Эволюция данного распределения может привести к распаду начального разрыва на систему нескольких разрывов (ударных волн) и волн Римана (волн разрежения). Задача Римана позволяет детальнее интерпретировать физические эффекты в различных моделях механики сплошной среды. Например, данная задача рассматривалась в газовой динамике [42], магнитной гидродинамике [34], в теории упругости [35] и многих других моделях. Решения задачи Римана также использовались для построения алгоритмов численного моделирования [26], например в расчёте фильтрации методом линий тока [98,149].
Имеется обширная литература об аналитических решениях задач Римана для многофазных течений в пористой среде. В классической теории Баклея-Леверетта [69] задача Римана рассмотрена для двухкомпонентного двухфазного изотермического вытеснения. Показано, что распространение фронта вытеснения с присоединённой волной Римана описывается функцией Баклея-Ле-ве-ретта, в частности её точками перегиба, а скорость разрыва пропорциональна тангенсу угла наклона секущей к функции между состояниями перед и за разрывом. В различных предположениях данная теория была развита на случай неизотермического несмешивающегося вытеснения [66,108,122,135,153].
Теория многокомпонентных многофазных течений в пористой среде, основывающаяся на методе характеристик, также широко используется для исследования изотермического несмешивающегося вытеснения в рамках решения задач Римана [83,89,107,126]. Это более общая теория для решения задач фильтрации, включающая в себя как частный случай метод Баклея-Леверетта. В основе алгоритма построения решений лежит концепция многоконтактного динамического смешения и опорных нод термодинамического равновесия пластового флюида [126]. Эта теория активно применялась ранее для исследования газового заводнения нефтяных пластов [106,126], физико-химических методов повышения нефтеотдачи [65] и полимерного заводнения [95]. Схожий подход применялся для исследования трёхфазной фильтрации [59,97]. Разработано ограниченное число обобщений теории на случай неизотермической фильтрации в таких проблемах как вытеснение нефти с учётом тепловых процессов [166], получение геотермальной энергии при использовании СС в качестве теплоносителя [160] и закачка воздуха и пара для очистки загрязнённых грунтов [109]. Основная проблема в приложении теории к неизотермическим процессам связана с тем, что перенос тепла отличается от переноса дополнительного компонента смеси. Тепло не только переносится с каждой фазой флюида, но и запасается породой. Решения, построенные ранее для неизотермической фильтрации бинарных смесей [109, 160, 166], отличаются от решений для изотермической фильтрации трёхкомпонентных смесей [126]. Концепция опорных нод термодинамического равновесия не работает для течений с переменной температурой.
В данном разделе диссертации исследуются решения задачи Римана для процесса закачки сверхкритического углекислого газа в водонасыщенный пласт с учётом тепловых эффектов и фазовых переходов. Плотность и вязкость сверхкритического СО2 и составы жидкой и газовой фаз быстро изменяются в зависимости от давления и температуры (см. Главу 3) [3, 152]. Следовательно, теория многокомпонентных многофазных течений в пористой среде не может применяться для полноценного исследования закачки сверхкритического СО , так как, во-первых, её приложения ограничены изотермическим процессами, а во-вторых, она наиболее эффективна, если используются предположения о постоянном объёме фаз при смешении и о постоянных коэффициентах распределения между жидкостью и паром. В данной работе, нагнетание СО в водона-сыщенный пласт исследуется методом характеристик в общем виде (без дополнительных предположений, использующихся в отмеченной теории) [32,111,114]. Учитываются значительные вариации плотности и состава фаз смеси СО -Ь О из-за изменения давления и температуры, а также из-за фазовых превращений.
Анализ фильтрации при подземном захоронении СС проведём в рамках решения модельной осесимметричной задачи о течении СС от вертикальной скважины в однородный горизонтальный пласт бесконечной протяжённости (Рисунок 5.2а). Пористость и проницаемость имеют однородные распределения, а верхняя и нижняя границы (кровля и подошва пласта) непроницаемые и теплоизолированные. В начальный момент времени t = 0 пласт насыщен водой с однородным распределением давления Р = Ро и температуры Т = Т$. При t = 0 через скважину начинается закачка СО2 с постоянным расходом Q и заданной энтальпией /ig, соответствующей температуре Т = TQ = ТО при Р = Ро-Влияние силы тяжести на начальном it — 0) этапе закачки СО2 пренебрегается (Раздел 5.2.3) [51].
Сформулированная задача Римана не содержит характерного масштаба по времени іипо пространству г, поэтому у неё существуют решения, зависящие только от отношения г/л/t, где г - расстояние до скважины.
Поведение адиабаты в окрестности двухкратной точки Жуге
Рассмотрим решение на фазовой плоскости {iti, } (Рисунки 5.4 и 5.5д). Движению вдоль пути AG от точки А к точке G, т.е. от скважины г = 0 в пласт, соответствует следующая последовательность волн. Сначала, путь AG содержит разрывный отрезок АВ, соответствующий медленному разрыву S\. Эволюционный отрезок адиабаты разрыва, выпущенной из точки А, которая соответствует параметрам за разрывом S\, оканчивается в точке В (тёмно-серый отрезок АВ на Рисунке 5.5г). Это означает, что разрыв Si - фронт Жу-ге [32,110,113]. Действительно, скорость W(S\) разрыва Si равна характеристической скорости c+(Si) перед разрывом (W(Si) = c+(Si); Рисунок 5.56"). Следующий сплошной отрезок ВС, касающийся векторов га, соответствует присоединённой к разрыву S\ волне Римана Ra. Температура имеет однородное распределение в данной волне (см. (4.2.18)). Далее, решение продолжается сплошным отрезком CD, касающимся собственных векторов fg и, следовательно, соответствующим волне Римана Rp. Так как условие са = 6р выполняется в точке С, то волна Rp{CD) присоединена к волне Ra{BC) (т.е. между данными волнами нет разрыва или области с однородным распределением параметров). Разрывный отрезок DE соответствует внутреннему разрыву 5 2. Эволюционный отрезок адиабаты разрыва, выпущенной из точки Е оканчивается в точке D (тёмно-серый отрезок ED). Это означает, что разрыв 5 2 суть фронт Жуге. Действительно, скорость W{S2) разрыва 5 2 равна характеристической скорости Cg(S2) за разрывом (W(S2) = (62); Рисунок 5.56"). Точка Е соответствует области однородного состояния перед разрывом 5 2, в которой температура и насыщенность газа постоянны, а модуль градиента давления ito убывает вниз по потоку (г / ). Далее, сплошной отрезок ЕЕ, касающийся векторов га, соответствует волне Римана Ra, а разрывный отрезок FG соответствует переднему разрыву 5з. Эволюционные отрезки (GF2 и F\F) ветви адиабаты разрыва, выпущенной из точки G, соответствуют возможным параметрам за разрывом 5з, а один из отрезков [F\F) оканчивается в точке F. Это означает, что 5з - фронт Жуге. Действительно, скорость W(Ss) разрыва 5з равна характеристической скорости с (5з) за разрывом (W(S ) = с (5з); Рисунок 5.56").
Все разрывы (5 1, 5 2 и 5з) в построенном решении удовлетворяют условиям эволюционности (4.3.3), (4.3.4), так как, согласно Рисунку 5.5 , одна и только одна характеристика уходит от каждого разрыва. Например, разрыв 5 1 отстаёт от характеристики [5 в состоянии перед разрывом {W{S\) ct(S\)).
Заметим, что в соответствии с общими исследованиями нелинейных волн [32], адиабаты разрывов на плоскости {щ щ} имеют касание в точке Жуге с интегральной кривой соответствующей волны Римана (или, что тоже самое, с соответствующим собственным вектором). Например, эволюционный отрезок адиабаты ED касается в точке Жуге D собственного вектора fg.
Закачка сухого газа (СО2) приводит к полному испарению Н2О вблизи скважины. Вода испаряется в газовую фазу и уносится вместе с СС вниз по потоку. Таким образом, за медленным разрывом 5 і образуется область однофазного течения чистого углекислого газа. Испарение воды фокусируется на разрыве Si, а необходимое тепло подводится за счёт охлаждения флюида, который пересекает поверхность разрыва в направлении потока. В результате конвективного переноса тепла пласт прогревается за внутренним разрывом . Действительно, температура почти достигает значения начальной пластовой температуры То в системе разрывов S\, S2 и волн Римана между ними. Перед разрывом 5 2 течение можно приближенно считать изотермическим (Т То), где малое изменение температуры на переднем фронте 5 і связано с экзотермическим растворением CO2 в воде (Рисунок 3.11) [104]. Растворение локализуется на быстром разрыве 5з, где выделяющееся тепло приводит к незначительному повышению температуры за разрывом. Если пренебречь незначительным изменением температуры на разрыве 5з, то изотермическое течение перед фронтом 5 2 - разрыв 5з с присоединённой волной Римана Ra - описывается решением Баклея-Леверетта. Начальные пластовые условия сохраняются перед фронтом S3.
Исследование возможных волновых картин
Поставим в соответствие описанному выше решению аббревиатуру SRaR/3S— RaS, где символ « —» обозначает область однородного распределения параметров (T,sg = const). Оценим изменение данной волновой картины при увеличении пластовой температуры То в начальных условиях (5.2.12). Так как при возрастании температуры энтальпия щ увеличивается, то точка G, соответствующая начальным пластовым условиям, перемещается по плоскости{iti, } направо по оси щ. Далее, выбранные положения точки G обозначим как точки d (Т0 = 30С), G2 (Т0 = 50С), G3 (Т0 = 80С) и G4 (Т0 = 120С). Соответствующие решения показаны на Рисунках 5.4 и 5.5г в виде путей из точки А в точки Gi, G2, G3 и 6г4- Начальные отрезки данных путей накладываются друг на друга. Это означает, что решения совпадают вблизи скважины. Сначала, при увеличении пластовой температуры То уменьшается протяжённость отрезка DE, т.е. уменьшается амплитуда разрыва . Однако, волновая картина сохраняет тип SRaRpS — RaS (точка G\). Разрыв 5 2 пропадает при обращении в ноль длины отрезка DE. Далее, уменьшается протяженность волны Rp, соответствующей отрезку CD, а волновая картина имеет тип SRaRp — RaS (точка GQ). Волна Rp пропадает при обращении в ноль длины отрезка CD. В этот момент решение имеет тип SRaRaS. Анализ направления собственных векторов га и Г/з на плоскости {щ, щ} и результаты численного моделирования показывают, что решение имеет тип SRa — SRaS при более высоких пластовых
Рассмотрим поведение решения в окрестности точки пересечения пути AG и кривой са = 6р. На Рисунке 5.6а изображены интегральные кривые волн Римана в окрестности точки О на кривой са = 6р. Если путь AG пересекает кривую са = ср справа от точки О, то волна разрежения Ra (если са 6р) продолжается при переходе через кривую са = ср в виде присоединённой волны Римана Rp (если са ср). Это связано с тем, что направления собственных векторов га и гр совпадают справа от точки О в окрестности кривой са = ср (если са 6р). Векторы га и гр имеют противоположные направления слева от точки О, поэтому в этой области решение в виде волны Римана Ra не может быть продолжено в виде присоединённой волны Rp. Это означает, что решение продолжается в виде присоединённого разрыва. Также, решение в виде волны Римана Rp не пересекает кривую #, так как на ней собственные векторы гр изменяют своё направление на противоположное.
Точка Е, соответствующая внутренней области однородного распределения параметров (T,sg = const), делит путь AG на два сегмента АЕ и EG (Рису - 159 нок 5.5г). Каждый из этих сегментов может быть построен от соответствующей точки А (или G), не учитывая положение противоположной точки G (или А). Действительно, так как каждый разрыв в решении суть фронт Жуге и между различными волнами Римана отсутствуют промежуточные области однородного распределения параметров («—»), путь AG продолжается с увеличением (или уменьшением) г с помощью единственно возможной присоединённой волны, если текущая волна не может быть продолжена далее. Например, если текущая волна есть фронт Жуге, скорость которого совпадает с характеристической скоростью а (или /з) перед разрывом, то решение в области перед фронтом продолжается волной Римана Ra (или Rp). Следовательно, волновая картина в окрестности скважины, соответствующая сегменту АЕ, не зависит от начальных термобарических условий в пласте (5.2.12). А волновая картина вдали от скважины, соответствующая сегменту EG, не зависит от параметров закачки (5.2.13), в частности от температуры газаТд. Таким образом, волновая картина определяется с помощью взаимно независимого построения сегментов пути AG от точек А и G до их точки пересечения Е [59]. Численные эксперименты показывают, что траектория AG, выпущенная из точки А, при увеличении г попадает в особую точку О, если температура нагнетаемого газа равна Тд = 45С (при Ро = 10 МПа). Траектория AG, выпущенная из точки G, при уменьшении г попадает в особую точку О, если пластовая температура равна То = 44.5С (при Ро = 10 МПа). Следовательно, учитывая выводы предыдущего параграфа, имеем диаграмму решений на плоскости {То,Тд} (Рисунок 5.66"), где введено обозначение Т 44.5С 45С. Это качественная диаграмма для малой окрестности проекции точки О на плоскость {То,Тд}.
Из предыдущего параграфа следует, что координаты точки О на плоскости {То,Тд} приблизительно равны друг другу. Таким образом, положение точки О задаётся одной переменной, для которой введено обозначение Т . На фазовой диаграмме СО2 (Рисунок 5.7а), продолжение кривой термодинамического равновесия i пар-жидкость в область сверхкритических значений (по - построенное как выходящая из критической точки Сп\ изохора р = рсгп), где Peril) = 470 кг/м - критическая плотность СО2 [3]) пересекает прямую Р = Ро, соответствующую пластовому давлению Ро = 10 МПа, приблизительно при Т = 45С, т.е. при Т Т . Численные эксперименты показывают, что данное утверждение верно при более высоких пластовых давлениях. Для заданного давления Ро, температура Т(Ро) есть абсцисса точки пересечения прямой Р = Ро и продолжения р = рсг(\\ кривой термодинамического равновесия \ (Рисунок 5.7а). Объединяя Рисунки 5.66 и 5.7а, построим диаграмму решений в пространстве {То, Тд, Ро} (Рисунок 5.76). Разрывная кривая 5 на Рисунке 5.76 есть геометрическое место точек О для различных давлений Ро. Данная кривая задаётся уравнениями То = Т(Ро), Тд = Т(Ро). Для любого пластового давления Ро, сечение диаграммы плоскостью Р = Ро есть диаграмма, изображённая на Рисунке 5.65, где особая точка О есть точка пересечения кривой 5 и плоскости Р = Ро. Таким образом, положение точки О на плоскости {То,Тд} и, следовательно, тип решения определяются теплофизическими свойствами сверхкритического СО2, которые подвержены наиболее быстрому изменению вблизи продолжения р = рсг(\\ кривой термодинамического равновесия пар-жидкость \.